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<title>Estatística Não Paramétrica</title>
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margin: 0 0.8em 0.2em -1em; /* quarto-specific, see https://github.com/quarto-dev/quarto-cli/issues/4556 */
vertical-align: middle;
}
/* CSS for syntax highlighting */
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pre > code.sourceCode > span > a:first-child::before { text-decoration: underline; }
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<script type="text/javascript">
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if (window.MathJax) {
// MathJax Typeset
window.MathJax.typeset([el]);
} else if (window.katex) {
// KaTeX Render
var mathElements = el.getElementsByClassName("math");
var macros = [];
for (var i = 0; i < mathElements.length; i++) {
var texText = mathElements[i].firstChild;
if (mathElements[i].tagName == "SPAN") {
window.katex.render(texText.data, mathElements[i], {
displayMode: mathElements[i].classList.contains('display'),
throwOnError: false,
macros: macros,
fleqn: false
});
}
}
}
}
window.Quarto = {
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<div id="quarto-margin-sidebar" class="sidebar margin-sidebar">
<nav id="TOC" role="doc-toc" class="toc-active">
<h2 id="toc-title">Navegação</h2>
<ul>
<li><a href="#vantagens-da-estatística-não-paramétrica" id="toc-vantagens-da-estatística-não-paramétrica" class="nav-link active" data-scroll-target="#vantagens-da-estatística-não-paramétrica">Vantagens da Estatística Não-Paramétrica</a></li>
<li><a href="#desvantagens" id="toc-desvantagens" class="nav-link" data-scroll-target="#desvantagens">Desvantagens</a></li>
<li><a href="#quando-usar-métodos-paramétricos-ou-não-paramétricos" id="toc-quando-usar-métodos-paramétricos-ou-não-paramétricos" class="nav-link" data-scroll-target="#quando-usar-métodos-paramétricos-ou-não-paramétricos">Quando Usar Métodos Paramétricos ou Não-Paramétricos</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#métodos-paramétricos" id="toc-métodos-paramétricos" class="nav-link" data-scroll-target="#métodos-paramétricos">Métodos Paramétricos</a></li>
<li><a href="#métodos-não-paramétricos" id="toc-métodos-não-paramétricos" class="nav-link" data-scroll-target="#métodos-não-paramétricos">Métodos Não-Paramétricos</a></li>
</ul></li>
<li><a href="#importação" id="toc-importação" class="nav-link" data-scroll-target="#importação">Importação</a></li>
<li><a href="#teste-u-de-mannwhitney" id="toc-teste-u-de-mannwhitney" class="nav-link" data-scroll-target="#teste-u-de-mannwhitney">Teste U de Mann–Whitney</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#hipóteses" id="toc-hipóteses" class="nav-link" data-scroll-target="#hipóteses">Hipóteses</a></li>
<li><a href="#metodologia" id="toc-metodologia" class="nav-link" data-scroll-target="#metodologia">Metodologia</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#passo-1-combine-e-ordene-os-dados" id="toc-passo-1-combine-e-ordene-os-dados" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-1-combine-e-ordene-os-dados">Passo 1: Combine e ordene os dados</a></li>
<li><a href="#passo-2-atribua-os-postos" id="toc-passo-2-atribua-os-postos" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-2-atribua-os-postos">Passo 2: Atribua os postos</a></li>
<li><a href="#passo-3-calcule-a-soma-dos-postos" id="toc-passo-3-calcule-a-soma-dos-postos" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-3-calcule-a-soma-dos-postos">Passo 3: Calcule a soma dos postos</a></li>
<li><a href="#passo-4-calcule-as-estatísticas-de-mannwhitney" id="toc-passo-4-calcule-as-estatísticas-de-mannwhitney" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-4-calcule-as-estatísticas-de-mannwhitney">Passo 4: Calcule as estatísticas de Mann–Whitney</a></li>
<li><a href="#passo-5-compare-com-o-valor-crítico" id="toc-passo-5-compare-com-o-valor-crítico" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-5-compare-com-o-valor-crítico">Passo 5: Compare com o valor crítico</a></li>
</ul></li>
<li><a href="#definição-das-variáveis" id="toc-definição-das-variáveis" class="nav-link" data-scroll-target="#definição-das-variáveis">Definição das Variáveis</a></li>
<li><a href="#exemplo" id="toc-exemplo" class="nav-link" data-scroll-target="#exemplo">Exemplo:</a></li>
</ul></li>
<li><a href="#teste-de-wilcoxon-postos-com-sinais" id="toc-teste-de-wilcoxon-postos-com-sinais" class="nav-link" data-scroll-target="#teste-de-wilcoxon-postos-com-sinais">Teste de Wilcoxon (Postos com Sinais)</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#hipóteses-para-uma-amostra" id="toc-hipóteses-para-uma-amostra" class="nav-link" data-scroll-target="#hipóteses-para-uma-amostra">Hipóteses (Para uma amostra)</a></li>
<li><a href="#metodologia-para-uma-amostra" id="toc-metodologia-para-uma-amostra" class="nav-link" data-scroll-target="#metodologia-para-uma-amostra">Metodologia (Para uma amostra)</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#suponha-a-amostra" id="toc-suponha-a-amostra" class="nav-link" data-scroll-target="#suponha-a-amostra">Suponha a amostra:</a></li>
<li><a href="#passo-1-calcule-as-diferenças-d_i-x_i---m_0" id="toc-passo-1-calcule-as-diferenças-d_i-x_i---m_0" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-1-calcule-as-diferenças-d_i-x_i---m_0">Passo 1: Calcule as diferenças <span class="math inline">\(d_i = x_i - m_0\)</span></a></li>
<li><a href="#passo-2-ignore-as-diferenças-d_i-0" id="toc-passo-2-ignore-as-diferenças-d_i-0" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-2-ignore-as-diferenças-d_i-0">Passo 2: Ignore as diferenças <span class="math inline">\(d_i = 0\)</span></a></li>
<li><a href="#passo-3-calcule-os-valores-absolutos-das-diferenças-não-nulas-d_i" id="toc-passo-3-calcule-os-valores-absolutos-das-diferenças-não-nulas-d_i" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-3-calcule-os-valores-absolutos-das-diferenças-não-nulas-d_i">Passo 3: Calcule os valores absolutos das diferenças não nulas, <span class="math inline">\(|d_i|\)</span></a></li>
<li><a href="#passo-4-ordene-os-d_i-e-atribua-postos-com-média-em-empates" id="toc-passo-4-ordene-os-d_i-e-atribua-postos-com-média-em-empates" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-4-ordene-os-d_i-e-atribua-postos-com-média-em-empates">Passo 4: Ordene os <span class="math inline">\(|d_i|\)</span> e atribua postos (com média em empates)</a></li>
<li><a href="#passo-5-reatribua-os-sinais-originais-dos-d_i-aos-postos" id="toc-passo-5-reatribua-os-sinais-originais-dos-d_i-aos-postos" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-5-reatribua-os-sinais-originais-dos-d_i-aos-postos">Passo 5: Reatribua os sinais originais dos <span class="math inline">\(d_i\)</span> aos postos</a></li>
<li><a href="#passo-6-calcule-a-soma-dos-postos-positivos-w-e-negativos-w-" id="toc-passo-6-calcule-a-soma-dos-postos-positivos-w-e-negativos-w-" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-6-calcule-a-soma-dos-postos-positivos-w-e-negativos-w-">Passo 6: Calcule a soma dos postos positivos (<span class="math inline">\(W^+\)</span>) e negativos (<span class="math inline">\(W^-\)</span>)</a></li>
<li><a href="#passo-7-a-estatística-do-teste-é-w-minw-w-" id="toc-passo-7-a-estatística-do-teste-é-w-minw-w-" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-7-a-estatística-do-teste-é-w-minw-w-">Passo 7: A estatística do teste é <span class="math inline">\(W = \min(W^+, W^-)\)</span></a></li>
<li><a href="#passo-8-compare-w-com-o-valor-crítico-ou-utilize-o-valor-p" id="toc-passo-8-compare-w-com-o-valor-crítico-ou-utilize-o-valor-p" class="nav-link" data-scroll-target="#passo-8-compare-w-com-o-valor-crítico-ou-utilize-o-valor-p">Passo 8: Compare <span class="math inline">\(W\)</span> com o valor crítico ou utilize o valor-<span class="math inline">\(p\)</span></a></li>
</ul></li>
<li><a href="#exemplo-para-uma-amostra" id="toc-exemplo-para-uma-amostra" class="nav-link" data-scroll-target="#exemplo-para-uma-amostra">Exemplo (Para uma amostra)</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#considerações-finais" id="toc-considerações-finais" class="nav-link" data-scroll-target="#considerações-finais">Considerações Finais</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li><a href="#teste-de-kruskal-wallis" id="toc-teste-de-kruskal-wallis" class="nav-link" data-scroll-target="#teste-de-kruskal-wallis">Teste de Kruskal-Wallis</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#hipóteses-1" id="toc-hipóteses-1" class="nav-link" data-scroll-target="#hipóteses-1">Hipóteses</a></li>
<li><a href="#metodologia-1" id="toc-metodologia-1" class="nav-link" data-scroll-target="#metodologia-1">Metodologia</a></li>
<li><a href="#exemplo-1" id="toc-exemplo-1" class="nav-link" data-scroll-target="#exemplo-1">Exemplo</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#considerações-finais-1" id="toc-considerações-finais-1" class="nav-link" data-scroll-target="#considerações-finais-1">Considerações Finais</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li><a href="#teste-de-friedman" id="toc-teste-de-friedman" class="nav-link" data-scroll-target="#teste-de-friedman">Teste de Friedman</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#hipóteses-2" id="toc-hipóteses-2" class="nav-link" data-scroll-target="#hipóteses-2">Hipóteses</a></li>
<li><a href="#metodologia-2" id="toc-metodologia-2" class="nav-link" data-scroll-target="#metodologia-2">Metodologia</a></li>
<li><a href="#exemplo-2" id="toc-exemplo-2" class="nav-link" data-scroll-target="#exemplo-2">Exemplo</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#considerações-finais-2" id="toc-considerações-finais-2" class="nav-link" data-scroll-target="#considerações-finais-2">Considerações Finais</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li><a href="#correlação-de-spearman-rho" id="toc-correlação-de-spearman-rho" class="nav-link" data-scroll-target="#correlação-de-spearman-rho">Correlação de Spearman (<span class="math inline">\(\rho\)</span>)</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#hipóteses-3" id="toc-hipóteses-3" class="nav-link" data-scroll-target="#hipóteses-3">Hipóteses</a></li>
<li><a href="#metodologia-3" id="toc-metodologia-3" class="nav-link" data-scroll-target="#metodologia-3">Metodologia</a></li>
<li><a href="#exemplo-3" id="toc-exemplo-3" class="nav-link" data-scroll-target="#exemplo-3">Exemplo</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#considerações-finais-3" id="toc-considerações-finais-3" class="nav-link" data-scroll-target="#considerações-finais-3">Considerações Finais</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li><a href="#referências" id="toc-referências" class="nav-link" data-scroll-target="#referências">Referências</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
<main class="content" id="quarto-document-content">
<header id="title-block-header" class="quarto-title-block default">
<div class="quarto-title">
<h1 class="title">Estatística Não Paramétrica</h1>
</div>
<div class="quarto-title-meta">
</div>
</header>
<p><img src="images/clipboard-2513748340.png" class="img-fluid"></p>
<p>A <strong>Estatística Não-Paramétrica</strong> é uma abordagem de análise estatística que <strong>não assume uma forma específica de distribuição</strong> para os dados. Em contraste com a <strong>Estatística Paramétrica</strong>, que depende de <strong>pressupostos rígidos</strong>, como normalidade dos dados e homogeneidade de variâncias, os métodos não-paramétricos são mais <strong>flexíveis e robustos</strong>, sendo especialmente úteis quando os dados são <strong>ordinais, categóricos ou provenientes de pequenas amostras</strong>.</p>
<p>Enquanto a estatística paramétrica busca estimar parâmetros de distribuições conhecidas (como média e variância em uma distribuição normal), a não-paramétrica trabalha principalmente com <strong>ordens, postos (rankings)</strong> e <strong>frequências</strong>, evitando suposições rígidas e podendo ser aplicada em contextos mais amplos.</p>
<section id="vantagens-da-estatística-não-paramétrica" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="vantagens-da-estatística-não-paramétrica">Vantagens da Estatística Não-Paramétrica</h2>
<ul>
<li>Pode ser aplicada em situações com <strong>dados não normais</strong> ou quando não se conhece a distribuição populacional;</li>
<li>Apresenta <strong>maior robustez a outliers</strong>;</li>
<li>É apropriada para <strong>pequenas amostras</strong>, onde os testes paramétricos podem ter desempenho insatisfatório;</li>
<li>Funciona bem com <strong>dados ordinais e categóricos</strong>, que não satisfazem os requisitos para análise paramétrica.</li>
</ul>
</section>
<section id="desvantagens" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="desvantagens">Desvantagens</h2>
<ul>
<li>Em geral, possuem <strong>menor poder estatístico</strong> quando os pressupostos dos testes paramétricos são atendidos;</li>
<li><strong>Não fornecem estimativas de parâmetros populacionais</strong>, como média e desvio padrão, dificultando interpretações inferenciais mais precisas;</li>
</ul>
</section>
<section id="quando-usar-métodos-paramétricos-ou-não-paramétricos" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="quando-usar-métodos-paramétricos-ou-não-paramétricos">Quando Usar Métodos Paramétricos ou Não-Paramétricos</h2>
<section id="métodos-paramétricos" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="métodos-paramétricos">Métodos Paramétricos</h3>
<p>Utilize métodos paramétricos quando:</p>
<ul>
<li>Os dados forem <strong>quantitativos contínuos</strong>;</li>
<li>Os pressupostos de alguma <strong>distribuição conhecida</strong> e <strong>homogeneidade de variâncias</strong> forem atendidos;</li>
<li>O objetivo for estimar parâmetros populacionais ou construir intervalos de confiança com maior precisão.</li>
</ul>
</section>
<section id="métodos-não-paramétricos" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="métodos-não-paramétricos">Métodos Não-Paramétricos</h3>
<p>Utilize métodos não-paramétricos quando:</p>
<ul>
<li>Os dados forem <strong>ordinais, categóricos</strong> ou com <strong>muitas assimetrias</strong>;</li>
<li>Os pressupostos dos testes paramétricos <strong>não forem atendidos</strong>, especialmente em <strong>amostras pequenas</strong>;</li>
<li>Houver <strong>outliers</strong> que comprometam os resultados dos testes clássicos.</li>
</ul>
</section>
</section>
<section id="importação" class="level1">
<h1>Importação</h1>
<div class="sourceCode" id="cb1"><pre class="sourceCode python code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb1-1"><a href="#cb1-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="im">import</span> numpy <span class="im">as</span> np <span class="co"># operações matemáticas e vetoriais</span></span>
<span id="cb1-2"><a href="#cb1-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="im">import</span> pandas <span class="im">as</span> pd <span class="co"># manipulação de dados em tabelas (DataFrames)</span></span>
<span id="cb1-3"><a href="#cb1-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="im">from</span> scipy.stats <span class="im">import</span> (</span>
<span id="cb1-4"><a href="#cb1-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> mannwhitneyu, <span class="co"># teste para comparar dois grupos independentes (não paramétrico)</span></span>
<span id="cb1-5"><a href="#cb1-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> wilcoxon, <span class="co"># teste para dois grupos pareados (não paramétrico)</span></span>
<span id="cb1-6"><a href="#cb1-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> kruskal, <span class="co"># compara mais de dois grupos independentes (não paramétrico)</span></span>
<span id="cb1-7"><a href="#cb1-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> friedmanchisquare, <span class="co"># compara mais de dois grupos pareados (não paramétrico)</span></span>
<span id="cb1-8"><a href="#cb1-8" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> spearmanr <span class="co"># correlação por postos (dados ordinais ou não lineares)</span></span>
<span id="cb1-9"><a href="#cb1-9" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
</section>
<section id="teste-u-de-mannwhitney" class="level1">
<h1>Teste U de Mann–Whitney</h1>
<p>O <strong>Teste U de Mann–Whitney</strong>, também conhecido como <strong>teste de Wilcoxon para duas amostras independentes</strong>, é uma alternativa <strong>não paramétrica</strong> ao teste t de Student. Ele permite verificar se duas amostras independentes provêm da mesma população quanto à <strong>mediana</strong>, <strong>sem pressupor normalidade</strong>.</p>
<p>Esse teste é particularmente útil quando:</p>
<ul>
<li>Os dados não seguem distribuição normal;</li>
<li>As variâncias são diferentes;</li>
<li>As variáveis são ordinais ou contínuas e não podem ser modeladas de forma paramétrica.</li>
</ul>
<section id="hipóteses" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="hipóteses">Hipóteses</h2>
<p>Queremos testar se duas populações independentes têm <strong>a mesma mediana</strong>.</p>
<ul>
<li><p><strong>Hipótese nula</strong>: <span class="math inline">\(H_0\)</span>: as distribuições de <span class="math inline">\(X\)</span> e <span class="math inline">\(Y\)</span> são iguais, ou seja, <span class="math inline">\(md_X = md_Y\)</span>;</p></li>
<li><p><strong>Hipótese alternativa</strong>: <span class="math inline">\(H_1\)</span>: as distribuições são diferentes, ou seja, <span class="math inline">\(md_X \neq md_Y\)</span> (bilateral) ou <span class="math inline">\(md_X > md_Y\)</span> / <span class="math inline">\(md_X < md_Y\)</span> (unilateral).</p></li>
</ul>
</section>
<section id="metodologia" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="metodologia">Metodologia</h2>
<p>Comparar dois grupos independentes (<span class="math inline">\(X\)</span> e <span class="math inline">\(Y\)</span>) quanto à tendência central, <strong>sem assumir normalidade</strong>.</p>
<p>Suponha:</p>
<ul>
<li>Grupo <span class="math inline">\(X\)</span>: 5, 7, 9<br>
</li>
<li>Grupo <span class="math inline">\(Y\)</span>: 1, 6, 8, 10</li>
</ul>
<section id="passo-1-combine-e-ordene-os-dados" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-1-combine-e-ordene-os-dados">Passo 1: Combine e ordene os dados</h3>
<p>Combine as duas amostras:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">\(X\)</span>: 5, 7, 9<br>
</li>
<li><span class="math inline">\(Y\)</span>: 1, 6, 8, 10</li>
</ul>
<p>Dados combinados em ordem crescente:</p>
<p>1, 5, 6, 7, 8, 9, 10</p>
</section>
<section id="passo-2-atribua-os-postos" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-2-atribua-os-postos">Passo 2: Atribua os postos</h3>
<table class="caption-top table">
<thead>
<tr class="header">
<th>Valor</th>
<th>Posto</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td>1</td>
<td>1</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>5</td>
<td>2</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td>6</td>
<td>3</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>7</td>
<td>4</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td>8</td>
<td>5</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>9</td>
<td>6</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td>10</td>
<td>7</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Identificando os grupos:</p>
<ul>
<li>Grupo <span class="math inline">\(X\)</span>: valores 5, 7, 9 → postos: 2, 4, 6<br>
</li>
<li>Grupo <span class="math inline">\(Y\)</span>: valores 1, 6, 8, 10 → postos: 1, 3, 5, 7</li>
</ul>
</section>
<section id="passo-3-calcule-a-soma-dos-postos" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-3-calcule-a-soma-dos-postos">Passo 3: Calcule a soma dos postos</h3>
<ul>
<li><p>Soma dos postos de <span class="math inline">\(X\)</span>:<br>
<span class="math inline">\(R_X = 2 + 4 + 6 = 12\)</span></p></li>
<li><p>Soma dos postos de <span class="math inline">\(Y\)</span>:<br>
<span class="math inline">\(R_Y = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)</span></p></li>
</ul>
</section>
<section id="passo-4-calcule-as-estatísticas-de-mannwhitney" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-4-calcule-as-estatísticas-de-mannwhitney">Passo 4: Calcule as estatísticas de Mann–Whitney</h3>
<p>Definições:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">\(n_X = 3\)</span>: tamanho da amostra do grupo <span class="math inline">\(X\)</span><br>
</li>
<li><span class="math inline">\(n_Y = 4\)</span>: tamanho da amostra do grupo <span class="math inline">\(Y\)</span></li>
</ul>
<p>Cálculos:</p>
<p><span class="math inline">\(U_X = R_X - \dfrac{n_X(n_X + 1)}{2} = 12 - \dfrac{3(3 + 1)}{2} = 12 - 6 = 6\)</span></p>
<p><span class="math display">\[U_Y = R_Y - \dfrac{n_Y(n_Y + 1)}{2} = 16 - \dfrac{4(4 + 1)}{2} = 16 - 10 = 6\]</span></p>
<p><span class="math inline">\(U = \min(U_X, U_Y) = \min(6, 6) = 6\)</span></p>
</section>
<section id="passo-5-compare-com-o-valor-crítico" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-5-compare-com-o-valor-crítico">Passo 5: Compare com o valor crítico</h3>
<ul>
<li><p>O valor crítico de <span class="math inline">\(U\)</span> é obtido em <strong>tabelas específicas</strong>, de acordo com <span class="math inline">\(n_X\)</span>, <span class="math inline">\(n_Y\)</span> e o nível de significância <span class="math inline">\(\alpha\)</span>.</p></li>
<li><p>Para <span class="math inline">\(n_X = 3\)</span>, <span class="math inline">\(n_Y = 4\)</span> e <span class="math inline">\(\alpha = 0{,}05\)</span> (teste bicaudal), o <strong>valor crítico tabelado</strong> é <strong>2</strong>.</p></li>
<li><p>Como <span class="math inline">\(U = 6 > 2\)</span>, <strong>não rejeitamos a hipótese nula</strong>: não há evidência significativa de diferença entre os grupos.</p></li>
</ul>
<blockquote class="blockquote">
<p>Alternativamente, pode-se usar o <strong>valor-p</strong> calculado por software estatístico (como R ou Python) para tomar a decisão.</p>
</blockquote>
</section>
</section>
<section id="definição-das-variáveis" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="definição-das-variáveis">Definição das Variáveis</h2>
<table class="caption-top table">
<colgroup>
<col style="width: 12%">
<col style="width: 87%">
</colgroup>
<thead>
<tr class="header">
<th>Símbolo</th>
<th>Definição</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td><span class="math inline">\(X\)</span></td>
<td>Grupo 1 (exemplo: tratamento)</td>
</tr>
<tr class="even">
<td><span class="math inline">\(Y\)</span></td>
<td>Grupo 2 (exemplo: controle)</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td><span class="math inline">\(n_X\)</span></td>
<td>Tamanho da amostra do grupo <span class="math inline">\(X\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td><span class="math inline">\(n_Y\)</span></td>
<td>Tamanho da amostra do grupo <span class="math inline">\(Y\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td><span class="math inline">\(R_X\)</span></td>
<td>Soma dos postos atribuídos aos elementos do grupo <span class="math inline">\(X\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td><span class="math inline">\(R_Y\)</span></td>
<td>Soma dos postos atribuídos aos elementos do grupo <span class="math inline">\(Y\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td><span class="math inline">\(U_X\)</span></td>
<td>Estatística <span class="math inline">\(U\)</span> calculada para o grupo <span class="math inline">\(X\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td><span class="math inline">\(U_Y\)</span></td>
<td>Estatística <span class="math inline">\(U\)</span> calculada para o grupo <span class="math inline">\(Y\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td><span class="math inline">\(U\)</span></td>
<td>Estatística final do teste de Mann–Whitney: <span class="math inline">\(\min(U_X, U_Y)\)</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<hr>
</section>
<section id="exemplo" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="exemplo">Exemplo:</h2>
<section id="comparação-entre-marcas-a-e-b-de-fertilizante-no-crescimento-de-plantas" class="level4">
<h4 class="anchored" data-anchor-id="comparação-entre-marcas-a-e-b-de-fertilizante-no-crescimento-de-plantas">Comparação entre marcas A e B de fertilizante no crescimento de plantas</h4>
<p>Marca A (<span class="math inline">\(n_1 = 6\)</span>): 78, 85, 83, 74, 88, 90<br>
Marca B (<span class="math inline">\(n_2 = 7\)</span>): 82, 79, 76, 81, 77, 80, 78</p>
<p><strong>Objetivo</strong>: Verificar se há diferença no efeito dos fertilizantes sobre o <strong>crescimento das plantas</strong>.</p>
<p><strong>Variável de estudo</strong>: <strong>crescimento das plantas</strong> (em alguma unidade mensurável, como altura ou biomassa).</p>
<p>Teste:</p>
<p><span class="math inline">\(H_0: md_X = md_Y \quad\)</span></p>
<p><span class="math inline">\(H_1: md_X \ne md_Y\)</span></p>
<div class="sourceCode" id="cb2"><pre class="sourceCode python code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb2-1"><a href="#cb2-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Imports já feitos na seção #Importação</span></span>
<span id="cb2-2"><a href="#cb2-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb2-3"><a href="#cb2-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>marca_A <span class="op">=</span> np.array([<span class="dv">78</span>, <span class="dv">85</span>, <span class="dv">83</span>, <span class="dv">74</span>, <span class="dv">88</span>, <span class="dv">90</span>]) </span>
<span id="cb2-4"><a href="#cb2-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>marca_B <span class="op">=</span> np.array([<span class="dv">82</span>, <span class="dv">79</span>, <span class="dv">76</span>, <span class="dv">81</span>, <span class="dv">77</span>, <span class="dv">80</span>, <span class="dv">78</span>])</span>
<span id="cb2-5"><a href="#cb2-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb2-6"><a href="#cb2-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>stat, p_valor <span class="op">=</span> mannwhitneyu(marca_A, marca_B, alternative<span class="op">=</span><span class="st">'two-sided'</span>) </span>
<span id="cb2-7"><a href="#cb2-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Estatística U = </span><span class="sc">{</span>stat<span class="sc">}</span><span class="ss">, Valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss">"</span>)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
</section>
</section>
</section>
<section id="teste-de-wilcoxon-postos-com-sinais" class="level1">
<h1>Teste de Wilcoxon (Postos com Sinais)</h1>
<p>O <strong>Teste de Wilcoxon para Postos com Sinais</strong> é uma alternativa <strong>não paramétrica</strong> ao teste t pareado. Ele é utilizado para comparar <strong>duas amostras relacionadas ou pareadas</strong>, ou para testar se a <strong>mediana de uma única amostra é igual a um valor específico</strong>, sem assumir normalidade das diferenças.</p>
<p>Este teste é útil quando:</p>
<ul>
<li>Os dados são pareados (e.g., antes e depois de um tratamento).</li>
<li>As diferenças entre os pares não seguem uma distribuição normal.</li>
<li>Queremos testar a mediana de uma amostra contra um valor hipotético (<span class="math inline">\(m_0\)</span>).</li>
</ul>
<section id="hipóteses-para-uma-amostra" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="hipóteses-para-uma-amostra">Hipóteses (Para uma amostra)</h2>
<p>Queremos testar se a mediana populacional (<span class="math inline">\(md\)</span>) é igual a um valor <span class="math inline">\(m_0\)</span>.</p>
<ul>
<li><strong>Hipótese nula</strong>: <span class="math inline">\(H_0: md = m_0\)</span></li>
<li><strong>Hipótese alternativa</strong>: <span class="math inline">\(H_1: md \ne m_0\)</span> (bilateral) ou <span class="math inline">\(md > m_0\)</span> / <span class="math inline">\(md < m_0\)</span> (unilateral).</li>
</ul>
</section>
<section id="metodologia-para-uma-amostra" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="metodologia-para-uma-amostra">Metodologia (Para uma amostra)</h2>
<section id="suponha-a-amostra" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="suponha-a-amostra">Suponha a amostra:</h3>
<p><span class="math inline">\(x = [12,\ 8,\ 11,\ 7,\ 10,\ 14,\ 9]\)</span></p>
<p>Hipóteses: <span class="math inline">\(H_0:\ m_0 = 10\)</span></p>
<p><span class="math inline">\(H_1:\ m_0\ne 10\)</span></p>
</section>
<section id="passo-1-calcule-as-diferenças-d_i-x_i---m_0" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-1-calcule-as-diferenças-d_i-x_i---m_0">Passo 1: Calcule as diferenças <span class="math inline">\(d_i = x_i - m_0\)</span></h3>
<table class="caption-top table">
<thead>
<tr class="header">
<th><span class="math inline">\(x_i\)</span></th>
<th><span class="math inline">\(d_i = x_i - 10\)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td>12</td>
<td>2</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>8</td>
<td>-2</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td>11</td>
<td>1</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>7</td>
<td>-3</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td>10</td>
<td>0</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>14</td>
<td>4</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td>9</td>
<td>-1</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<hr>
</section>
<section id="passo-2-ignore-as-diferenças-d_i-0" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-2-ignore-as-diferenças-d_i-0">Passo 2: Ignore as diferenças <span class="math inline">\(d_i = 0\)</span></h3>
<p>Removemos a observação <span class="math inline">\(x = 10\)</span> (pois <span class="math inline">\(d = 0\)</span>).</p>
<p>Valores restantes:<br>
<span class="math inline">\(d = [2,\ -2,\ 1,\ -3,\ 4,\ -1]\)</span></p>
</section>
<section id="passo-3-calcule-os-valores-absolutos-das-diferenças-não-nulas-d_i" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-3-calcule-os-valores-absolutos-das-diferenças-não-nulas-d_i">Passo 3: Calcule os valores absolutos das diferenças não nulas, <span class="math inline">\(|d_i|\)</span></h3>
<p><span class="math inline">\(|d| = [2,\ 2,\ 1,\ 3,\ 4,\ 1]\)</span></p>
</section>
<section id="passo-4-ordene-os-d_i-e-atribua-postos-com-média-em-empates" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-4-ordene-os-d_i-e-atribua-postos-com-média-em-empates">Passo 4: Ordene os <span class="math inline">\(|d_i|\)</span> e atribua postos (com média em empates)</h3>
<p>Valores ordenados: <span class="math inline">\([1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4]\)</span></p>
<table class="caption-top table">
<thead>
<tr class="header">
<th><span class="math inline">\(|d_i|\)</span></th>
<th>Posto</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td>1</td>
<td>1.5</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>1</td>
<td>1.5</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td>2</td>
<td>3.5</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>2</td>
<td>3.5</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td>3</td>
<td>5</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>4</td>
<td>6</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</section>
<section id="passo-5-reatribua-os-sinais-originais-dos-d_i-aos-postos" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-5-reatribua-os-sinais-originais-dos-d_i-aos-postos">Passo 5: Reatribua os sinais originais dos <span class="math inline">\(d_i\)</span> aos postos</h3>
<table class="caption-top table">
<thead>
<tr class="header">
<th><span class="math inline">\(d_i\)</span></th>
<th><span class="math inline">\(|d_i|\)</span></th>
<th>Posto</th>
<th>Sinal aplicado</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td>2</td>
<td>2</td>
<td>+3.5</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>-2</td>
<td>2</td>
<td>-3.5</td>
<td>-</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>+1.5</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>-3</td>
<td>3</td>
<td>-5</td>
<td>-</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td>4</td>
<td>4</td>
<td>+6</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr class="even">
<td>-1</td>
<td>1</td>
<td>-1.5</td>
<td>-</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</section>
<section id="passo-6-calcule-a-soma-dos-postos-positivos-w-e-negativos-w-" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-6-calcule-a-soma-dos-postos-positivos-w-e-negativos-w-">Passo 6: Calcule a soma dos postos positivos (<span class="math inline">\(W^+\)</span>) e negativos (<span class="math inline">\(W^-\)</span>)</h3>
<p><span class="math inline">\(W^+ = 3.5 + 1.5 + 6 = 11\)</span></p>
<p><span class="math inline">\(W^- = 3.5 + 5 + 1.5 = 10\)</span></p>
</section>
<section id="passo-7-a-estatística-do-teste-é-w-minw-w-" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-7-a-estatística-do-teste-é-w-minw-w-">Passo 7: A estatística do teste é <span class="math inline">\(W = \min(W^+, W^-)\)</span></h3>
<p><span class="math inline">\(W = \min(11,\ 10) = 10\)</span></p>
</section>
<section id="passo-8-compare-w-com-o-valor-crítico-ou-utilize-o-valor-p" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="passo-8-compare-w-com-o-valor-crítico-ou-utilize-o-valor-p">Passo 8: Compare <span class="math inline">\(W\)</span> com o valor crítico ou utilize o valor-<span class="math inline">\(p\)</span></h3>
<ul>
<li>Se <span class="math inline">\(W\)</span> for menor ou igual ao valor crítico tabelado para <span class="math inline">\(n = 6\)</span> (pares válidos), rejeita-se <span class="math inline">\(H_0\)</span>.</li>
<li>Ou calcule o valor-<span class="math inline">\(p\)</span> e compare com <span class="math inline">\(\alpha\)</span>.</li>
</ul>
<hr>
</section>
</section>
<section id="exemplo-para-uma-amostra" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="exemplo-para-uma-amostra">Exemplo (Para uma amostra)</h2>
<p><strong>Teste da mediana de uma amostra:</strong></p>
<p>Amostra de tempos de reação (em segundos): 95, 92, 90, 96, 94, 91, 93. Queremos testar se a mediana do tempo de reação é igual a 70 s</p>
<p>Testar:</p>
<p><span class="math display">\[
H_0: md = 70 \quad \text{vs} \quad H_1: md \ne 70
\]</span></p>
<div class="sourceCode" id="cb3"><pre class="sourceCode python code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb3-1"><a href="#cb3-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Objetivo: testar H0: mediana da população = m0</span></span>
<span id="cb3-2"><a href="#cb3-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb3-3"><a href="#cb3-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="im">import</span> numpy <span class="im">as</span> np</span>
<span id="cb3-4"><a href="#cb3-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="im">from</span> scipy.stats <span class="im">import</span> wilcoxon</span>
<span id="cb3-5"><a href="#cb3-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb3-6"><a href="#cb3-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Amostra observada (ex: tempos de reação em segundos)</span></span>
<span id="cb3-7"><a href="#cb3-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>x <span class="op">=</span> np.array([<span class="dv">95</span>, <span class="dv">92</span>, <span class="dv">90</span>, <span class="dv">96</span>, <span class="dv">94</span>, <span class="dv">91</span>, <span class="dv">93</span>])</span>
<span id="cb3-8"><a href="#cb3-8" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb3-9"><a href="#cb3-9" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Mediana sob a hipótese nula</span></span>
<span id="cb3-10"><a href="#cb3-10" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>m0 <span class="op">=</span> <span class="dv">70</span></span>
<span id="cb3-11"><a href="#cb3-11" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb3-12"><a href="#cb3-12" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># O teste de Wilcoxon avalia se a mediana das diferenças (x - m0) é zero.</span></span>
<span id="cb3-13"><a href="#cb3-13" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Logo, usamos: diferencas = x - m0</span></span>
<span id="cb3-14"><a href="#cb3-14" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>diferencas <span class="op">=</span> x <span class="op">-</span> m0</span>
<span id="cb3-15"><a href="#cb3-15" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb3-16"><a href="#cb3-16" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Aplicação do teste de Wilcoxon (teste bilateral por padrão)</span></span>
<span id="cb3-17"><a href="#cb3-17" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># A função ignora automaticamente as diferenças iguais a zero</span></span>
<span id="cb3-18"><a href="#cb3-18" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>estatistica, p_valor <span class="op">=</span> wilcoxon(diferencas)</span>
<span id="cb3-19"><a href="#cb3-19" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb3-20"><a href="#cb3-20" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Resultado</span></span>
<span id="cb3-21"><a href="#cb3-21" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Estatística W = </span><span class="sc">{</span>estatistica<span class="sc">}</span><span class="ss">, Valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss">"</span>)</span>
<span id="cb3-22"><a href="#cb3-22" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb3-23"><a href="#cb3-23" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Interpretação do teste com nível de significância alpha = 5%</span></span>
<span id="cb3-24"><a href="#cb3-24" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>alpha <span class="op">=</span> <span class="fl">0.05</span></span>
<span id="cb3-25"><a href="#cb3-25" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="cf">if</span> p_valor <span class="op"><</span> alpha:</span>
<span id="cb3-26"><a href="#cb3-26" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Com valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss"> < </span><span class="sc">{</span>alpha<span class="sc">}</span><span class="ss">, rejeitamos H0."</span>)</span>
<span id="cb3-27"><a href="#cb3-27" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="st">"Há evidência estatística de que a mediana da população é diferente de 70."</span>)</span>
<span id="cb3-28"><a href="#cb3-28" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="cf">else</span>:</span>
<span id="cb3-29"><a href="#cb3-29" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Com valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss"> ≥ </span><span class="sc">{</span>alpha<span class="sc">}</span><span class="ss">, não rejeitamos H0."</span>)</span>
<span id="cb3-30"><a href="#cb3-30" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="st">"Não há evidência estatística suficiente para afirmar que a mediana difere de 70."</span>)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<p>Com <span class="math inline">\(W = 0\)</span> e valor-<span class="math inline">\(p = 0{,}0078\)</span>, temos:</p>
<ul>
<li>Para <span class="math inline">\(\alpha = 0{,}05\)</span>: <strong>rejeitamos</strong> <span class="math inline">\(H_0\)</span></li>
</ul>
<p>Há <strong>forte evidência estatística</strong> de que a mediana do tempo de reação é diferente de 70 segundos.<br>
Todos os valores da amostra estão bem acima de 70, o que levou a um p-valor bastante pequeno no teste.</p>
<section id="considerações-finais" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="considerações-finais">Considerações Finais</h3>
<ul>
<li>O teste de Wilcoxon é mais poderoso que o teste do sinal quando as diferenças são aproximadamente simétricas.</li>
<li>Para amostras pareadas <span class="math inline">\((x_i, y_i)\)</span>, o teste é aplicado às diferenças <span class="math inline">\(d_i = x_i - y_i\)</span>, testando <span class="math inline">\(H_0: md_{diferença} = 0\)</span>.</li>
</ul>
</section>
</section>
</section>
<section id="teste-de-kruskal-wallis" class="level1">
<h1>Teste de Kruskal-Wallis</h1>
<p>O <strong>Teste de Kruskal-Wallis</strong> é uma extensão não paramétrica do teste U de Mann-Whitney e uma alternativa à Análise de Variância (ANOVA) de um fator. Ele é utilizado para comparar as <strong>medianas de três ou mais grupos independentes</strong>, verificando se pelo menos um dos grupos difere dos demais em termos de localização central, sem assumir a normalidade dos dados.</p>
<p>Este teste é apropriado quando:</p>
<ul>
<li>Queremos comparar três ou mais grupos independentes.</li>
<li>Os dados não seguem uma distribuição normal dentro de cada grupo.</li>
<li>As variâncias entre os grupos não precisam ser homogêneas, mas é importante que as distribuições tenham formas semelhantes para que a diferença observada possa ser atribuída às medianas.</li>
<li>Os dados são pelo menos ordinais.</li>
</ul>
<section id="hipóteses-1" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="hipóteses-1">Hipóteses</h2>
<p>Queremos testar se as medianas de <span class="math inline">\(k\)</span> populações independentes são iguais.</p>
<ul>
<li><strong>Hipótese nula</strong>: <span class="math inline">\(H_0\)</span>: As medianas de todas as <span class="math inline">\(k\)</span> populações são iguais (<span class="math inline">\(md_1 = md_2 = ... = md_k\)</span>).</li>
<li><strong>Hipótese alternativa</strong>: <span class="math inline">\(H_1\)</span>: Pelo menos uma mediana populacional é diferente das outras.</li>
</ul>
</section>
<section id="metodologia-1" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="metodologia-1">Metodologia</h2>
<p><strong>Passo 1:</strong> Combine todas as observações dos <span class="math inline">\(k\)</span> grupos em um único conjunto de dados. Seja <span class="math inline">\(N\)</span> o número total de observações (<span class="math inline">\(N = n_1 + n_2 + ... + n_k\)</span>).</p>
<p><strong>Passo 2:</strong> Ordene todas as <span class="math inline">\(N\)</span> observações em ordem crescente e atribua postos (ranks) de 1 a <span class="math inline">\(N\)</span>. Em caso de empates, atribua a média dos postos que seriam ocupados.</p>
<p><strong>Passo 3:</strong> Calcule a soma dos postos para cada um dos <span class="math inline">\(k\)</span> grupos. Seja <span class="math inline">\(R_i\)</span> a soma dos postos para o grupo <span class="math inline">\(i\)</span>.</p>
<p><strong>Passo 4:</strong> Calcule a estatística de teste <span class="math inline">\(H\)</span>: <span class="math display">\[
H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1)
\]</span> Onde <span class="math inline">\(n_i\)</span> é o tamanho da amostra do grupo <span class="math inline">\(i\)</span>. <em>(Opcional: Se houver muitos empates, uma correção para</em> <span class="math inline">\(H\)</span> pode ser aplicada, mas geralmente tem pouco efeito a menos que a proporção de empates seja grande).</p>
<p><strong>Passo 5:</strong> Compare a estatística <span class="math inline">\(H\)</span> com o valor crítico da distribuição Qui-quadrado (<span class="math inline">\(\chi^2\)</span>) com <span class="math inline">\(k-1\)</span> graus de liberdade, para um nível de significância <span class="math inline">\(\alpha\)</span> escolhido. Alternativamente, calcule o valor-<span class="math inline">\(p\)</span> associado a <span class="math inline">\(H\)</span>.</p>
<p><strong>Passo 6:</strong> Se <span class="math inline">\(H\)</span> for maior que o valor crítico (ou se o valor-<span class="math inline">\(p < \alpha\)</span>), rejeite <span class="math inline">\(H_0\)</span>. Isso sugere que há uma diferença estatisticamente significativa entre as medianas de pelo menos dois grupos.</p>
<hr>
</section>
<section id="exemplo-1" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="exemplo-1">Exemplo</h2>
<p><strong>Comparação da eficácia de três métodos de ensino:</strong></p>
<p>Avaliamos as notas de alunos submetidos a três métodos de ensino diferentes (A, B, C).</p>
<ul>
<li>Método A (<span class="math inline">\(n_1 = 4\)</span>): 75, 80, 82, 78</li>
<li>Método B (<span class="math inline">\(n_2 = 4\)</span>): 85, 88, 90, 81</li>
<li>Método C (<span class="math inline">\(n_3 = 4\)</span>): 70, 72, 76, 68</li>
</ul>
<p>Testar:</p>
<p><span class="math inline">\(H_0: md_A = md_B = md_C \quad \text{vs} \quad H_1: \text{Pelo menos uma mediana é diferente}\)</span></p>
<div id="abebdc7c" class="cell" data-execution_count="1">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb4"><pre class="sourceCode python code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb4-1"><a href="#cb4-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="im">import</span> numpy <span class="im">as</span> np</span>
<span id="cb4-2"><a href="#cb4-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="im">from</span> scipy.stats <span class="im">import</span> kruskal</span>
<span id="cb4-3"><a href="#cb4-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb4-4"><a href="#cb4-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Dados</span></span>
<span id="cb4-5"><a href="#cb4-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>metodo_A <span class="op">=</span> np.array([<span class="dv">75</span>, <span class="dv">80</span>, <span class="dv">82</span>, <span class="dv">78</span>])</span>
<span id="cb4-6"><a href="#cb4-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>metodo_B <span class="op">=</span> np.array([<span class="dv">85</span>, <span class="dv">88</span>, <span class="dv">90</span>, <span class="dv">81</span>])</span>
<span id="cb4-7"><a href="#cb4-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>metodo_C <span class="op">=</span> np.array([<span class="dv">70</span>, <span class="dv">72</span>, <span class="dv">76</span>, <span class="dv">68</span>])</span>
<span id="cb4-8"><a href="#cb4-8" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb4-9"><a href="#cb4-9" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Teste de Kruskal-Wallis</span></span>
<span id="cb4-10"><a href="#cb4-10" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>stat, p_valor <span class="op">=</span> kruskal(metodo_A, metodo_B, metodo_C)</span>
<span id="cb4-11"><a href="#cb4-11" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Estatística H = </span><span class="sc">{</span>stat<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss">, Valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss">"</span>)</span>
<span id="cb4-12"><a href="#cb4-12" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb4-13"><a href="#cb4-13" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Interpretação</span></span>
<span id="cb4-14"><a href="#cb4-14" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>alpha <span class="op">=</span> <span class="fl">0.05</span></span>
<span id="cb4-15"><a href="#cb4-15" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="cf">if</span> p_valor <span class="op"><</span> alpha:</span>
<span id="cb4-16"><a href="#cb4-16" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Com valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss"> < </span><span class="sc">{</span>alpha<span class="sc">}</span><span class="ss">, rejeitamos H0."</span>)</span>
<span id="cb4-17"><a href="#cb4-17" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="st">"Há evidência estatística para sugerir que pelo menos um método de ensino difere dos outros em termos de notas medianas."</span>)</span>
<span id="cb4-18"><a href="#cb4-18" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="cf">else</span>:</span>
<span id="cb4-19"><a href="#cb4-19" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Com valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss"> >= </span><span class="sc">{</span>alpha<span class="sc">}</span><span class="ss">, não rejeitamos H0."</span>)</span>
<span id="cb4-20"><a href="#cb4-20" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="st">"Não há evidência estatística suficiente para sugerir uma diferença entre as notas medianas dos métodos de ensino."</span>)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-stdout">
<pre><code>Estatística H = 8.6538, Valor-p = 0.0132
Com valor-p = 0.0132 < 0.05, rejeitamos H0.
Há evidência estatística para sugerir que pelo menos um método de ensino difere dos outros em termos de notas medianas.</code></pre>
</div>
</div>
<p><strong>Resultado no Exemplo</strong>: A execução do código mostrará a estatística H e o valor-p. Se o valor-p for menor que o nível de significância <span class="math inline">\(\alpha\)</span> (e.g., 0.05), concluímos que existe uma diferença significativa entre os métodos. Caso contrário, não há evidências suficientes para afirmar que os métodos produzem resultados diferentes em termos de mediana.</p>
<section id="considerações-finais-1" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="considerações-finais-1">Considerações Finais</h3>
<ul>
<li>O teste de Kruskal-Wallis é uma ferramenta robusta para comparar múltiplos grupos quando as premissas da ANOVA não são atendidas.</li>
<li>Se a hipótese nula for rejeitada, são necessários testes post hoc, que são comparações adicionais entre pares de grupos, para identificar especificamente quais grupos diferem entre si de forma significativa.</li>
</ul>
</section>
</section>
</section>
<section id="teste-de-friedman" class="level1">
<h1>Teste de Friedman</h1>
<p>O <strong>Teste de Friedman</strong> é uma alternativa não paramétrica à Análise de Variância (ANOVA) para medidas repetidas ou blocos aleatorizados. Ele é utilizado para comparar as <strong>distribuições de três ou mais grupos relacionados (dependentes)</strong>, verificando se há diferenças significativas entre as condições ou tratamentos aplicados aos mesmos sujeitos ou blocos.</p>
<p>Este teste é uma extensão do teste de Wilcoxon para postos com sinais para mais de duas amostras pareadas e é particularmente útil quando:</p>
<ul>
<li>Queremos comparar três ou mais condições/tratamentos aplicados aos mesmos sujeitos (medidas repetidas).</li>
<li>Os dados são organizados em blocos, onde cada bloco contém um conjunto de observações relacionadas (e.g., diferentes fertilizantes aplicados em diferentes blocos de terra com características semelhantes).</li>
<li>As suposições da ANOVA para medidas repetidas (como normalidade das diferenças e esfericidade) não são atendidas.</li>
<li>Recomendado que os dados sejam ordinais</li>
</ul>
<section id="hipóteses-2" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="hipóteses-2">Hipóteses</h2>
<p>Queremos testar se as distribuições de <span class="math inline">\(k\)</span> tratamentos (ou condições) aplicados a <span class="math inline">\(n\)</span> blocos (ou sujeitos) são iguais.</p>
<ul>
<li><strong>Hipótese nula</strong>: <span class="math inline">\(H_0\)</span>: As distribuições dos <span class="math inline">\(k\)</span> tratamentos são idênticas (i.e., não há efeito do tratamento).</li>
<li><strong>Hipótese alternativa</strong>: <span class="math inline">\(H_1\)</span>: Pelo menos uma distribuição de tratamento difere das outras (i.e., há um efeito do tratamento).</li>
</ul>
</section>
<section id="metodologia-2" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="metodologia-2">Metodologia</h2>
<p><strong>Passo 1:</strong> Organize os dados em uma matriz onde as linhas representam os blocos (ou sujeitos) e as colunas representam os tratamentos (ou condições).</p>
<p><strong>Passo 2:</strong> Dentro de cada bloco (linha), ordene as observações dos <span class="math inline">\(k\)</span> tratamentos em ordem crescente e atribua postos (ranks) de 1 a <span class="math inline">\(k\)</span>. Em caso de empates dentro de um bloco, atribua a média dos postos.</p>
<p><strong>Passo 3:</strong> Calcule a soma dos postos para cada tratamento (coluna). Seja <span class="math inline">\(R_j\)</span> a soma dos postos para o tratamento <span class="math inline">\(j\)</span>. <strong>Passo 4:</strong> Calcule a estatística de teste <span class="math inline">\(Q\)</span> (também referida como <span class="math inline">\(\chi^2_r\)</span> ou <span class="math inline">\(F_r\)</span>): <span class="math display">\[
Q = \frac{12}{nk(k+1)} \sum_{j=1}^{k} R_j^2 - 3n(k+1)
\]</span> Onde <span class="math inline">\(n\)</span> é o número de blocos (sujeitos) e <span class="math inline">\(k\)</span> é o número de tratamentos (condições). <em>(Opcional: Existem correções para empates, mas a fórmula acima é a mais comum).</em></p>
<p><strong>Passo 5:</strong> Compare a estatística <span class="math inline">\(Q\)</span> com o valor crítico da distribuição Qui-quadrado (<span class="math inline">\(\chi^2\)</span>) com <span class="math inline">\(k-1\)</span> graus de liberdade, para um nível de significância <span class="math inline">\(\alpha\)</span> escolhido. Alternativamente, calcule o valor-<span class="math inline">\(p\)</span> associado a <span class="math inline">\(Q\)</span>.</p>
<p><strong>Passo 6:</strong> Se <span class="math inline">\(Q\)</span> for maior que o valor crítico (ou se o valor-<span class="math inline">\(p < \alpha\)</span>), rejeite <span class="math inline">\(H_0\)</span>. Isso sugere que há uma diferença estatisticamente significativa entre pelo menos dois tratamentos/condições.</p>
<hr>
</section>
<section id="exemplo-2" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="exemplo-2">Exemplo</h2>
<p><strong>Comparação da eficácia de três analgésicos:</strong></p>
<p>Doze pacientes (<span class="math inline">\(n=12\)</span>) receberam três analgésicos diferentes (A, B, C) em momentos distintos, e a eficácia foi medida em uma escala ordinal de alívio da dor (maior valor = maior alívio). Queremos verificar se há diferença na eficácia percebida entre os analgésicos.</p>
<p>(Dados hipotéticos para ilustração - precisaria de uma matriz 12x3)</p>
<div class="sourceCode" id="cb6"><pre class="sourceCode python code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb6-1"><a href="#cb6-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Importando a função necessária</span></span>
<span id="cb6-2"><a href="#cb6-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="im">from</span> scipy.stats <span class="im">import</span> friedmanchisquare</span>
<span id="cb6-3"><a href="#cb6-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb6-4"><a href="#cb6-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Dados hipotéticos (substitua pelos dados reais)</span></span>
<span id="cb6-5"><a href="#cb6-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Cada linha é um paciente, cada coluna é um analgésico (A, B, C)</span></span>
<span id="cb6-6"><a href="#cb6-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Exemplo com 4 pacientes para simplificar</span></span>
<span id="cb6-7"><a href="#cb6-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>paciente1 <span class="op">=</span> [<span class="dv">6</span>, <span class="dv">8</span>, <span class="dv">7</span>]</span>
<span id="cb6-8"><a href="#cb6-8" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>paciente2 <span class="op">=</span> [<span class="dv">5</span>, <span class="dv">5</span>, <span class="dv">6</span>]</span>
<span id="cb6-9"><a href="#cb6-9" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>paciente3 <span class="op">=</span> [<span class="dv">7</span>, <span class="dv">9</span>, <span class="dv">8</span>]</span>
<span id="cb6-10"><a href="#cb6-10" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>paciente4 <span class="op">=</span> [<span class="dv">8</span>, <span class="dv">9</span>, <span class="dv">9</span>]</span>
<span id="cb6-11"><a href="#cb6-11" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb6-12"><a href="#cb6-12" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># A função friedmanchisquare recebe os dados por tratamento (colunas)</span></span>
<span id="cb6-13"><a href="#cb6-13" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>analgesico_A <span class="op">=</span> np.array([p[<span class="dv">0</span>] <span class="cf">for</span> p <span class="kw">in</span> [paciente1, paciente2, paciente3, paciente4]])</span>
<span id="cb6-14"><a href="#cb6-14" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>analgesico_B <span class="op">=</span> np.array([p[<span class="dv">1</span>] <span class="cf">for</span> p <span class="kw">in</span> [paciente1, paciente2, paciente3, paciente4]])</span>
<span id="cb6-15"><a href="#cb6-15" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>analgesico_C <span class="op">=</span> np.array([p[<span class="dv">2</span>] <span class="cf">for</span> p <span class="kw">in</span> [paciente1, paciente2, paciente3, paciente4]])</span>
<span id="cb6-16"><a href="#cb6-16" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb6-17"><a href="#cb6-17" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Executando o teste</span></span>
<span id="cb6-18"><a href="#cb6-18" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>stat, p_valor <span class="op">=</span> friedmanchisquare(analgesico_A, analgesico_B, analgesico_C)</span>
<span id="cb6-19"><a href="#cb6-19" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Estatística Q = </span><span class="sc">{</span>stat<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss">, Valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss">"</span>)</span>
<span id="cb6-20"><a href="#cb6-20" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb6-21"><a href="#cb6-21" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Interpretação:</span></span>
<span id="cb6-22"><a href="#cb6-22" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>alpha <span class="op">=</span> <span class="fl">0.05</span></span>
<span id="cb6-23"><a href="#cb6-23" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="cf">if</span> p_valor <span class="op"><</span> alpha:</span>
<span id="cb6-24"><a href="#cb6-24" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Com valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss"> < </span><span class="sc">{</span>alpha<span class="sc">}</span><span class="ss">, rejeitamos H0."</span>)</span>
<span id="cb6-25"><a href="#cb6-25" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="st">"Há evidência estatística para sugerir que pelo menos um analgésico difere dos outros em termos de eficácia percebida."</span>)</span>
<span id="cb6-26"><a href="#cb6-26" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="co"># Nota: Testes post-hoc (como Nemenyi ou comparações par a par com Wilcoxon e correção) </span></span>
<span id="cb6-27"><a href="#cb6-27" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="co"># podem ser usados para identificar quais pares de analgésicos diferem.</span></span>
<span id="cb6-28"><a href="#cb6-28" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="cf">else</span>:</span>
<span id="cb6-29"><a href="#cb6-29" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Com valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss"> >= </span><span class="sc">{</span>alpha<span class="sc">}</span><span class="ss">, não rejeitamos H0."</span>)</span>
<span id="cb6-30"><a href="#cb6-30" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="st">"Não há evidência estatística suficiente para sugerir uma diferença na eficácia percebida entre os analgésicos."</span>)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<p><strong>Resultado no Exemplo</strong>: A execução do código com os dados reais forneceria a estatística Q e o valor-p. A interpretação seguiria a lógica descrita no código: rejeitar <span class="math inline">\(H_0\)</span> se <span class="math inline">\(p < \alpha\)</span>, indicando diferença entre os tratamentos.</p>
<section id="considerações-finais-2" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="considerações-finais-2">Considerações Finais</h3>
<ul>
<li>O teste de Friedman é adequado para desenhos experimentais com blocos ou medidas repetidas quando a ANOVA paramétrica não é aplicável.</li>
<li>Assim como no Kruskal-Wallis, a rejeição de <span class="math inline">\(H_0\)</span> indica que <em>existe</em> uma diferença, mas não <em>onde</em>. Testes <em>post-hoc</em> são necessários para comparações específicas entre pares de tratamentos.</li>
</ul>
</section>
</section>
</section>
<section id="correlação-de-spearman-rho" class="level1">
<h1>Correlação de Spearman (<span class="math inline">\(\rho\)</span>)</h1>
<p>O Coeficiente de Correlação de Postos de Spearman, denotado por <span class="math inline">\(\rho\)</span> (rho) ou <span class="math inline">\(r_s\)</span>, é uma medida não paramétrica da força e direção da associação monotônica entre duas variáveis ordinais ou contínuas. Ele avalia o quão bem a relação entre duas variáveis pode ser descrita usando uma função monotônica (uma função que é inteiramente não crescente ou inteiramente não decrescente).</p>
<p>Ao contrário do coeficiente de correlação de Pearson, que mede a associação linear, Spearman não assume linearidade nem normalidade dos dados. Ele opera sobre os <strong>postos</strong> (ranks) dos dados.</p>
<p>Este coeficiente é útil quando:</p>
<ul>
<li>As variáveis são ordinais.</li>
<li>As variáveis são contínuas, mas a relação não é linear ou os dados não seguem distribuição normal bivariada.</li>
<li>Queremos medir a força de uma relação monotônica, não necessariamente linear.</li>
<li>Há presença de outliers que poderiam distorcer a correlação de Pearson.</li>
</ul>
<section id="hipóteses-3" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="hipóteses-3">Hipóteses</h2>
<p>Queremos testar se existe uma correlação monotônica significativa entre duas variáveis <span class="math inline">\(X\)</span> e <span class="math inline">\(Y\)</span> na população.</p>
<ul>
<li><strong>Hipótese nula</strong>: <span class="math inline">\(H_0\)</span>: Não há correlação monotônica entre <span class="math inline">\(X\)</span> e <span class="math inline">\(Y\)</span> na população (<span class="math inline">\(\rho = 0\)</span>).</li>
<li><strong>Hipótese alternativa</strong>: <span class="math inline">\(H_1\)</span>: Existe correlação monotônica entre <span class="math inline">\(X\)</span> e <span class="math inline">\(Y\)</span> na população (<span class="math inline">\(\rho \neq 0\)</span>). Pode ser unilateral (<span class="math inline">\(H_1: \rho > 0\)</span> ou <span class="math inline">\(H_1: \rho < 0\)</span>) se houver uma direção esperada para a correlação.</li>
</ul>
</section>
<section id="metodologia-3" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="metodologia-3">Metodologia</h2>
<p><strong>Passo 1:</strong> Obtenha os pares de observações <span class="math inline">\((x_i, y_i)\)</span> para as duas variáveis, com <span class="math inline">\(n\)</span> pares no total.</p>
<p><strong>Passo 2:</strong> Ordene os valores de <span class="math inline">\(X\)</span> e atribua postos <span class="math inline">\(R(x_i)\)</span> de 1 a <span class="math inline">\(n\)</span>. Faça o mesmo para os valores de <span class="math inline">\(Y\)</span>, atribuindo postos <span class="math inline">\(R(y_i)\)</span>. Em caso de empates, atribua a média dos postos.</p>
<p><strong>Passo 3:</strong> Calcule as diferenças entre os postos para cada par: <span class="math inline">\(d_i = R(x_i) - R(y_i)\)</span>.</p>
<p><strong>Passo 4:</strong> Calcule o coeficiente de correlação de Spearman <span class="math inline">\(\rho\)</span>:</p>
<ul>
<li>Se não houver empates nos postos: <span class="math display">\[
\rho = 1 - \frac{6 \sum_{i=1}^{n} d_i^2}{n(n^2 - 1)}
\]</span></li>
<li>Se houver empates (ou de forma geral, pois funciona em ambos os casos), calcule a correlação de Pearson sobre os postos <span class="math inline">\(R(x_i)\)</span> e <span class="math inline">\(R(y_i)\)</span>. A função <code>scipy.stats.spearmanr</code> faz isso automaticamente.</li>
</ul>
<p><strong>Passo 5:</strong> O valor de <span class="math inline">\(\rho\)</span> varia entre -1 e +1. * <span class="math inline">\(\rho = +1\)</span> indica uma relação monotônica positiva perfeita. * <span class="math inline">\(\rho = -1\)</span> indica uma relação monotônica negativa perfeita. * <span class="math inline">\(\rho = 0\)</span> indica ausência de relação monotônica.</p>
<p><strong>Passo 6:</strong> Para testar a significância, compare o valor de <span class="math inline">\(\rho\)</span> com valores críticos tabelados ou, mais comumente, calcule o valor-<span class="math inline">\(p\)</span> associado. A função <code>scipy.stats.spearmanr</code> retorna o coeficiente e o valor-<span class="math inline">\(p\)</span>.</p>
<hr>
</section>
<section id="exemplo-3" class="level2">
<h2 class="anchored" data-anchor-id="exemplo-3">Exemplo</h2>
<p><strong>Correlação entre horas de estudo e nota em um exame:</strong></p>
<p>Queremos verificar se há uma associação monotônica entre o número de horas que 10 alunos estudaram (<span class="math inline">\(X\)</span>) e suas notas em um exame (<span class="math inline">\(Y\)</span>).</p>
<ul>
<li>Horas (<span class="math inline">\(X\)</span>): [5, 8, 12, 4, 10, 6, 15, 7, 9, 11]</li>
<li>Notas (<span class="math inline">\(Y\)</span>): [65, 75, 85, 60, 80, 70, 95, 72, 78, 88]</li>
</ul>
<p>Testar:</p>
<p><span class="math inline">\(H_0: \rho = 0 \quad \text{vs} \quad H_1: \rho \neq 0\)</span></p>
<div class="sourceCode" id="cb7"><pre class="sourceCode python code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb7-1"><a href="#cb7-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Caso o pacote scipy não esteja instalado, você pode descomentar a linha abaixo para instalá-lo.</span></span>
<span id="cb7-2"><a href="#cb7-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># !pip install scipy</span></span>
<span id="cb7-3"><a href="#cb7-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb7-4"><a href="#cb7-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Importando a função necessária</span></span>
<span id="cb7-5"><a href="#cb7-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="im">from</span> scipy.stats <span class="im">import</span> spearmanr</span>
<span id="cb7-6"><a href="#cb7-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="im">import</span> numpy <span class="im">as</span> np</span>
<span id="cb7-7"><a href="#cb7-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>horas_estudo <span class="op">=</span> np.array([<span class="dv">5</span>, <span class="dv">8</span>, <span class="dv">12</span>, <span class="dv">4</span>, <span class="dv">10</span>, <span class="dv">6</span>, <span class="dv">15</span>, <span class="dv">7</span>, <span class="dv">9</span>, <span class="dv">11</span>])</span>
<span id="cb7-8"><a href="#cb7-8" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>notas_exame <span class="op">=</span> np.array([<span class="dv">65</span>, <span class="dv">75</span>, <span class="dv">85</span>, <span class="dv">60</span>, <span class="dv">80</span>, <span class="dv">70</span>, <span class="dv">95</span>, <span class="dv">72</span>, <span class="dv">78</span>, <span class="dv">88</span>])</span>
<span id="cb7-9"><a href="#cb7-9" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb7-10"><a href="#cb7-10" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Calculando a correlação de Spearman e o valor-p</span></span>
<span id="cb7-11"><a href="#cb7-11" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># A função retorna (coeficiente, valor-p)</span></span>
<span id="cb7-12"><a href="#cb7-12" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>coeficiente, p_valor <span class="op">=</span> spearmanr(horas_estudo, notas_exame)</span>
<span id="cb7-13"><a href="#cb7-13" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb7-14"><a href="#cb7-14" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Coeficiente de Correlação de Spearman (rho) = </span><span class="sc">{</span>coeficiente<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss">"</span>)</span>
<span id="cb7-15"><a href="#cb7-15" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss">"</span>)</span>
<span id="cb7-16"><a href="#cb7-16" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb7-17"><a href="#cb7-17" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Interpretação:</span></span>
<span id="cb7-18"><a href="#cb7-18" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>alpha <span class="op">=</span> <span class="fl">0.05</span></span>
<span id="cb7-19"><a href="#cb7-19" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="cf">if</span> p_valor <span class="op"><</span> alpha:</span>
<span id="cb7-20"><a href="#cb7-20" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Com valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss"> < </span><span class="sc">{</span>alpha<span class="sc">}</span><span class="ss">, rejeitamos H0."</span>)</span>
<span id="cb7-21"><a href="#cb7-21" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="cf">if</span> coeficiente <span class="op">></span> <span class="dv">0</span>:</span>
<span id="cb7-22"><a href="#cb7-22" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="st">"Há evidência estatística de uma correlação monotônica positiva significativa entre horas de estudo e notas."</span>)</span>
<span id="cb7-23"><a href="#cb7-23" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="cf">elif</span> coeficiente <span class="op"><</span> <span class="dv">0</span>:</span>
<span id="cb7-24"><a href="#cb7-24" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="st">"Há evidência estatística de uma correlação monotônica negativa significativa entre horas de estudo e notas."</span>)</span>
<span id="cb7-25"><a href="#cb7-25" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="cf">else</span>:</span>
<span id="cb7-26"><a href="#cb7-26" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="co"># Caso raro onde p < alpha mas coeficiente é 0 (pode ocorrer com poucos dados e empates)</span></span>
<span id="cb7-27"><a href="#cb7-27" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="st">"Há evidência estatística de uma correlação monotônica significativa, mas o coeficiente é zero."</span>)</span>
<span id="cb7-28"><a href="#cb7-28" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="cf">else</span>:</span>
<span id="cb7-29"><a href="#cb7-29" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="ss">f"Com valor-p = </span><span class="sc">{</span>p_valor<span class="sc">:.4f}</span><span class="ss"> >= </span><span class="sc">{</span>alpha<span class="sc">}</span><span class="ss">, não rejeitamos H0."</span>)</span>
<span id="cb7-30"><a href="#cb7-30" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="bu">print</span>(<span class="st">"Não há evidência estatística suficiente para sugerir uma correlação monotônica significativa entre horas de estudo e notas."</span>)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<p><strong>Resultado no Exemplo</strong>: O código calculará <span class="math inline">\(\rho\)</span> e o valor-p. Um <span class="math inline">\(\rho\)</span> próximo de 1 e um <span class="math inline">\(p < \alpha\)</span> indicariam uma forte associação positiva: mais horas de estudo tendem a estar associadas a notas maiores (de forma monotônica).</p>
<section id="considerações-finais-3" class="level3">
<h3 class="anchored" data-anchor-id="considerações-finais-3">Considerações Finais</h3>
<ul>
<li>Spearman é robusto a outliers e não exige linearidade, sendo uma ótima alternativa a Pearson quando suas premissas não são válidas.</li>
<li>Interpreta a força da correlação de forma similar a Pearson: valores mais próximos de |1| indicam associação mais forte.</li>
<li>É importante lembrar que correlação não implica causalidade.</li>
</ul>
</section>
</section>
</section>
<section id="referências" class="level1">
<h1>Referências</h1>
<p>GIBBONS, J. D.; CHAKRABORTI, S. <strong>Nonparametric Statistical Inference</strong>. 5th ed. Chapman & Hall/CRC, 2010.</p>
<p>WASSERMAN, L. <strong>All of Nonparametric Statistics</strong>. Springer, 2006.</p>
<p>CORDER, G. W.; FOREMAN, D. I. <strong>Nonparametric Statistics for Non-Statisticians: A Step-by-Step Approach</strong>. 2nd ed. Wiley, 2014.</p>
</section>
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