From 7ede2b028657713fc7d57e2635e7831636bb8fff Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Egor Ivanov <56685477+sibenshtern@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 7 Jan 2024 03:53:09 +0000
Subject: [PATCH 1/7] Finish first part of theory

---
 doc/README.md |   2 +-
 doc/Theory.md | 468 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 2 files changed, 469 insertions(+), 1 deletion(-)
 create mode 100644 doc/Theory.md

diff --git a/doc/README.md b/doc/README.md
index 755f421..3f3d2ea 100644
--- a/doc/README.md
+++ b/doc/README.md
@@ -1,6 +1,6 @@
 # Теория по алгоритмам:
 
-## 1. Обходы гррафа
+## 1. Обходы графа
 ### 1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неор. графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ор. графе. Компоненты слабой, сильной связности.
 ### 1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях(с доказательством).
 ### 1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка.
diff --git a/doc/Theory.md b/doc/Theory.md
new file mode 100644
index 0000000..820f927
--- /dev/null
+++ b/doc/Theory.md
@@ -0,0 +1,468 @@
+# Теория по алгоритмам <!-- omit in $to$ c -->
+
+## Содержание
+
+- [Теория по алгоритмам ](#теория-по-алгоритмам-)
+  - [Содержание](#содержание)
+  - [1. Обходы графа](#1-обходы-графа)
+    - [1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности](#11-ориентированный-граф-псевдограф-неориентированный-граф-псевдограф-связность-в-неориентированном-графе-компоненты-связности-слабая-и-сильная-связность-в-ориентированном-графе-компоненты-слабой-сильной-связности)
+      - [Ориентированный граф](#ориентированный-граф)
+      - [Неориентированный граф](#неориентированный-граф)
+    - [1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)](#12-обход-в-глубину-цвета-вершин-времена-входа-и-выхода-лемма-о-белых-путях-с-доказательством)
+      - [Обход в глубину](#обход-в-глубину)
+      - [Лемма о белых путях](#лемма-о-белых-путях)
+    - [1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка](#13-проверка-связности-неориентированного-графа-поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе-топологическая-сортировка)
+      - [Проверка связности неориентированного графа](#проверка-связности-неориентированного-графа)
+      - [Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе](#поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе)
+      - [Топологическая сортировка](#топологическая-сортировка)
+    - [1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности](#14-нахождение-компонент-сильной-связности-алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция-алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности)
+      - [Нахождение компонент сильной связности](#нахождение-компонент-сильной-связности)
+      - [Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция)](#алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция)
+      - [Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности](#алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности)
+    - [1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов](#15-компоненты-реберной-двусвязности-мосты-поиск-мостов)
+      - [Компоненты реберной двусвязности](#компоненты-реберной-двусвязности)
+      - [Мосты](#мосты)
+      - [Поиск мостов](#поиск-мостов)
+    - [1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения](#16-компоненты-вершинной-двусвязности-точки-сочленения-поиск-точек-сочленения)
+      - [Компоненты вершинной двусвязности](#компоненты-вершинной-двусвязности)
+      - [Точки сочленения](#точки-сочленения)
+      - [Поиск точек сочленения](#поиск-точек-сочленения)
+    - [1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)](#17-волновой-алгоритм-обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме)
+      - [Волновой алгоритм](#волновой-алгоритм)
+      - [Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)](#обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме)
+    - [1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла](#18-критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-и-неориентированном-графе-поиск-эйлерова-пути-и-цикла)
+      - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-неориентированном-графе)
+      - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-графе)
+      - [Поиск эйлерова пути и цикла](#поиск-эйлерова-пути-и-цикла)
+
+## 1. Обходы графа
+
+### 1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности
+
+#### Ориентированный граф
+
+> **Ориентированным графом** (англ. *directed graph*) $G$ называется пара $G = (V, E)$, где $V$ — множество вершин (англ. vertices), а $E \subset V \times V$ — множество рёбер.
+
+> **Псевдограф(*мультиорграф*)** — это ориентированный граф, в котором разрешены кратные дуги, то есть дуги, имеющие те же начальные и конечные вершины.
+
+**Псевдографом** $G$ называется упорядоченная пара $G := (V, A)$, в которой $V$ — множество вершин, $A$ — мультимножество упорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются дугами.
+
+> Ориентированный граф называется **слабо связным**, если соответствующий неориентированный граф является связным;
+
+> Ориентированный граф называется **сильно связным**, если всякая вершина $v$ достижима из любой другой вершины $v$;
+
+> **Компонентой сильной связности** ориентированного графа называется максимальный по включению сильно связный подграф. Другими словами, это подграф, любые две вершины которого принадлежат какому-либо циклу, и содержащий все такие циклы для своих вершин.
+
+> **Компонентой слабой связности** ориентированного графа называют его максимальный слабо связный подграф.
+
+#### Неориентированный граф
+
+> **Неориентированным графом** (англ. *undirected graph*) $G$ называется пара $G = (V, E)$, где $V$ — множество вершин, а $E \subset {{v,u} : v,u \in V}$ — множество рёбер.
+
+Формально, псевдографом (*мультифграфом*) $G$ называется упорядоченная пара $G := (V, E)$, в которой $V$ — множество вершин, $E$ — мультимножество неупорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются рёбрами.
+
+> Неориентированный граф называется *связным*, если все его вершины достижимы из некоторой вершины (эквивалентно, из любой его вершины).
+
+> **Компонентой связности** неориентированного графа называется максимальный по включению связный подграф
+
+### 1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)
+
+#### Обход в глубину
+
+> **Обход в глубину** (поиск в глубину, англ. *Depth-First Search*, *DFS*) — один из основных методов обхода графа, часто используемый для проверки связности, поиска цикла и компонент сильной связности и для топологической сортировки.
+
+```c++
+#include <vector>
+
+std::vector<std::vector<int>> graph; // граф
+int vertex_count; // число вершин
+
+std::vector<int> color; // цвет вершины (0, 1, или 2)
+
+std::vector<int> time_in, time_out; // "времена" захода и выхода из вершины
+int dfs_timer = 0; // "таймер" для определения времён
+
+void dfs (int vertex) {
+  time_in[vertex] = dfs_timer++;
+  color[vertex] = 1;
+  for (int u : graph[vertex])
+    if (color[u] == 0)
+      dfs(u);
+  color[v] = 2;
+  time_out[v] = dfs_timer++;
+}
+```
+
+#### Лемма о белых путях
+
+> Лемма: Не существует такого момента выполнения поиска в глубину, в который бы существовало ребро из черной вершины в белую.
+
+**Доказательство**: Пусть в процессе выполнения процедуры DFS нашлось ребро из черной вершины  $v$ в белую вершину u. Рассмотрим момент времени, когда мы запустили DFS(v). В этот момент вершина  $v$ была перекрашена из белого в серый, а вершина u была белая. Далее в ходе выполнения алгоритма будет запущен DFS(u), поскольку обход в глубину обязан посетить все белые вершины, в которые есть ребро из v. По алгоритму вершина  $v$ будет покрашена в черный цвет тогда, когда завершится обход всех вершин, достижимых из нее по одному ребру, кроме тех, что были рассмотрены раньше нее. Таким образом, вершина  $v$ может стать черной только тогда, когда DFS выйдет из вершины u, и она будет покрашена в черный цвет. Получаем противоречие.
+
+### 1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка
+
+#### Проверка связности неориентированного графа
+
+Небольшая модификация алгоритма обхода в глубину, в которой будем возвращать количество посещенных вершин. Запустим такой **DFS** от некоторой вершины графа $G$, если его результат равен $|V|$, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен, иначе какие-то вершины остались непосещенными. Работает алгоритм за $O(|V|+|E|)$
+
+```c++
+std::vector<std::vector<int>> graph; // граф
+
+// visited — массив цветов вершин  
+int dfs(int vertex, std::vector<bool> visited):              
+  int visitedVertices = 1
+  visited[vertex] = true // помечаем вершину как пройденную
+  for (auto u : graph[vertex]) // проходим по смежным с u вершинам
+    // проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
+    if (!visited[v])
+      visitedVertices += dfs(v, visited)
+    return visitedVertices
+```
+
+#### Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе
+
+*Условие:*
+
+Пусть дан ориентированный или неориентированный граф без петель и кратных рёбер. Требуется проверить, является ли он ациклическим, а если не является, то найти любой цикл.
+
+*Решение:*
+
+Произведём серию поисков в глубину в графе. Т.е. из каждой вершины, в которую мы ещё ни разу не приходили, запустим поиск в глубину, который при входе в вершину будет красить её в серый цвет, а при выходе - в чёрный. И если поиск в глубину пытается пойти в серую вершину, то это означает, что мы нашли цикл (если граф неориентированный, то случаи, когда поиск в глубину из какой-то вершины пытается пойти в предка, не считаются).
+
+```c++
+#include <iostream>
+#include <vector>
+
+int n;
+std::vector<vector<int>> graph;
+std::vector<int> color;
+std::vector<int> parent;
+int cycle_start, cycle_end;
+
+bool dfs(int vertex) {
+  color[vertex] = 1;
+  for (size_t i = 0; i < graph[vertex].size(); ++i) {
+    int $to$  = graph[vertex][i];
+    if (color[to] == 0) {
+      parent[to] = vertex;
+      if (dfs(to)) return true;
+    }
+    else if (color[to] == 1) {
+      cycle_end = vertex;
+      cycle_start = $to$ ;
+      return true;
+    }
+  }
+  color[vertex] = 2;
+  return false;
+}
+
+int main() {
+  // чтение графа
+
+  parent.assign(n, -1);
+  color.assign(n, 0);
+  cycle_start = -1;
+  for (int i = 0; i < n; ++i)
+    if (dfs(i))
+      break;
+
+  if (cycle_st == -1)
+    std::cout << "Acyclic" << "\n";
+  else {
+    std::cout << "Cyclic" << "\n";
+    std::vector<int> cycle;
+    cycle.push_back(cycle_start);
+    for (int vertex = cycle_end; vertex != cycle_start; vertex = parent[vertex])
+      cycle.push_back(vertex);
+    cycle.push_back(cycle_start);
+    reverse(cycle.begin(), cycle.end());
+    for (size_t i = 0; i < cycle.size(); ++i)
+      std::cout << cycle[i]+1 << " ";
+  }
+}
+```
+
+#### Топологическая сортировка
+
+*Условие:*
+Дан ориентированный граф с n вершинами и m рёбрами. Требуется перенумеровать его вершины таким образом, чтобы каждое рёбро вело из вершины с меньшим номером в вершину с большим. Иными словами, требуется найти перестановку вершин (топологический порядок), соответствующую порядку, задаваемому всеми рёбрами графа.
+(**Топологическая сортировка** - упорядочивание вершин ациклического ориентированного графа согласно частичному порядку, заданному ребрами орграфа на множестве его вершин.)
+Топологическая сортировка может быть не единственной (например, если граф — пустой; или если есть три такие вершины `a`, `b`, `c`, что из `a` есть пути в `b` и в `c`, но ни из `b` в `c`, ни из `c` в `b` добраться нельзя).
+
+Топологической сортировки может не существовать вовсе — если граф содержит циклы (поскольку при этом возникает противоречие: есть путь и из одной вершины в другую, и наоборот).
+
+```c++
+#include <vector>
+
+int n; // число вершин
+std::vector<std::vector<int>> graph; // граф
+std::vector<bool> visited;
+std::vector<int> $to$ pological_sort;
+
+void dfs (int vertex) {
+  visited[vertex] = true;
+  for (int u : graph[vertex])
+    if (!visited[u] == 0)
+      dfs(u);
+  $to$ pological_sort.push_back(vertex);
+}
+
+void $to$ pological_sort() {
+  visited.assign(n, false);
+  answer.clear();
+  for (int i = 0; i < n; ++i)
+    if (!visited[i])
+      dfs(i);
+  reverse(answer.begin(), answer.end());
+}
+```
+
+### 1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности
+
+#### Нахождение компонент сильной связности
+
+*Условие:*
+
+Дан ориентированный граф $G$, множество вершин которого $V$ и множество рёбер — $E$. Петли и кратные рёбра допускаются. Обозначим через $n$ количество вершин графа, через $m$ — количество рёбер.
+
+*Решение:*
+
+Напомним, что **компонентой сильной связности** (*strongly connected component*) называется такое (максимальное по включению) подмножество вершин $C4, что любые две вершины этого подмножества достижимы друг из друга, т.е. для любых $u,  $v$ \in C: u \rightarrow v,  $v$ \rightarrow u$, где символом $\rightarrow$ здесь и далее мы будем обозначать достижимость, т.е. существование пути из первой вершины во вторую. Понятно, что компоненты сильной связности для данного графа не пересекаются, т.е. фактически это разбиение всех вершин графа. Отсюда логично определение конденсации G как графа, получаемого из данного графа сжатием каждой компоненты сильной связности в одну вершину. Каждой вершине графа конденсации соответствует компонента сильной связности графа G, а ориентированное ребро между двумя вершинами $C_i$ и $C_j$ графа конденсации проводится, если найдётся пара вершин u из $C_i$, из $C_j$, между которыми существовало ребро в исходном графе, т.е. $(u, v)$ из $E$.
+
+Важнейшим свойством графа конденсации является то, что он ацикличен. Действительно, предположим, что $C \rightarrow C'$, докажем, что $C' \mapsto C$. Из определения конденсации получаем, что найдутся две вершины $u$ из $C$ и $v$ из $C'$, что $u \rightarrow v$. Доказывать будем от противного, т.е. предположим, что $C' \rightarrow C$, тогда найдутся две вершины $u'$ из $C$ и $v'$ из $C'$, что $v' \rightarrow u'$. Но т.к. $u$ и $u'$ находятся в одной компоненте сильной связности, то между ними есть путь; аналогично для $v$ и $v'$. В итоге, объединяя пути, получаем, что $v \rightarrow u$, и одновременно $u \rightarrow v$. Следовательно, $u$ и $v$ должны принадлежать одной компоненте сильной связности, т.е. получили противоречие, что и требовалось доказать
+
+#### Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция)
+
+Алгоритм Косарайю предназначен для поиска компонент сильной связности в ориентированном графе и состоит из трёх шагов:
+
+1. Выполнить поиск в глубину (DFS), пока не будут «помечены» все вершины. Вершина считается «помеченной», когда ей присвоено время выхода из рекурсии (см. основные понятия).
+
+2. Инвертировать исходный граф
+
+3. Выполнить DFS в порядке убывания пометок вершин.
+
+Полученные деревья каждого такта DFS последнего шага являются компонентами сильной связности
+
+**Доказательство корректности алгоритма:**
+
+Немного уточним, что требуется доказать: Вершины $u$ и $v$ сильно связаны $\Leftrightarrow$ после выполнения алгоритма они принадлежат одному дереву такта DFS.
+
+Если вершины u и  $v$ были сильно связаны в графе $G$, на третьем этапе будет найден путь из одной вершины в другую (по Лемме (Инвертирование рёбер цикла не влияет на его цикличность)), так как на первом шаге был найден путь $u \rightarrow v$, а на третьем - путь $v \rightarrow u$. Это означает, что по окончании алгоритма обе вершины лежат в одном дереве.
+
+Вершины $u$ и $v$ лежат в одном и том же дереве поиска в глубину на третьем шаге алгоритма. Значит, они обе достижимы из корня $r$ этого дерева.
+
+Вершина $r$ была рассмотрена на 3 шаге раньше всех, значит время выхода из неё на 1 шаге больше, чем время выхода из вершин $u$ и $v$. Из этого мы получаем 2 случая:
+
+Обе эти вершины были достижимы из $r$ в исходном графе. Это означает сильную связность вершин $u$ и $r$ и сильную связность вершин $v$ и $r$ (по Лемме 3). Склеивая пути мы получаем связность вершин $u$ и $v$ (по Лемме 1)
+
+Хотя бы одна вершина не достижима из $r$ в исходном графе, например $v$. Значит и $r$ была не достижима из $v$ в исходном графе, так как время выхода из $r$ — больше (если бы она была достижима, то время выхода из $v$ было бы больше, чем из $r$, просмотрите ещё раз первый шаг примера). Значит между этими вершинами нет пути (ни в исходном, ни в инвертированном графах), но последнего быть не может, потому что по условию  $v$ достижима из r на 3 шаге (в инвертированном графе)
+
+Значит, из случая 1 и не существования случая 2 получаем, что вершины $u$ и $v$ сильно связаны в обоих графах
+
+#### Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности
+
+Основой для алгоритма является структура данных "Система непересекающихся множеств", которая и была изобретена Тарьяном (Tarjan).
+
+Алгоритм фактически представляет собой обход в глубину из корня дерева, в процессе которого постепенно находятся ответы на запросы. А именно, ответ на запрос $(v, u)$ находится, когда обход в глубину находится в вершине $u$, а вершина $v$ уже была посещена, или наоборот.
+
+Итак, пусть обход в глубину находится в вершине $v$ (и уже были выполнены переходы в её сыновей), и оказалось, что для какого-то запроса $(v, u)$ вершина u уже была посещена обходом в глубину. Научимся тогда находить $LCA$ этих двух вершин.
+
+Заметим, что $LCA(v, u)$ является либо самой вершиной $v$, либо одним из её предков. Получается, нам надо найти самую нижнюю вершину среди предков $v$ (включая её саму), для которой вершина u является потомком. Заметим, что при фиксированном $v$ по такому признаку (т.е. какой наименьший предок $v$ является и предком какой-то вершины) вершины дерева дерева распадаются на совокупность непересекающихся классов. Для каждого предка $p \neq v$ вершины $v$ её класс содержит саму эту вершину, а также все поддеревья с корнями в тех её сыновьях, которые лежат "слева" от пути до $v$ (т.е. которые были обработаны ранее, чем была достигнута $v$).
+
+Нам надо научиться эффективно поддерживать все эти классы, для чего мы и применим структуру данных "Система непересекающихся множеств". Каждому классу будет соответствовать в этой структуре множество, причём для представителя этого множества мы определим величину **ANCESTOR** — ту вершину $p$, которая и образует этот класс.
+
+Рассмотрим подробно реализацию обхода в глубину. Пусть мы стоим в некоторой вершине $v$. Поместим её в отдельный класс в структуре непересекающихся множеств, **ANCESTOR**[v] = $v$. Как обычно в обходе в глубину, перебираем все исходящие рёбра $(v, $to$ )$. Для каждого такого $to$ мы сначала должны вызвать обход в глубину из этой вершины, а потом добавить эту вершину со всем её поддеревом в класс вершины $v$. Это реализуется операцией **Union** структуры данных "система непересекающихся множеств", с последующей установкой **ANCESTOR** = $v$ для представителя множества (т.к. после объединения представитель класса мог измениться). Наконец, после обработки всех рёбер мы перебираем все запросы вида $(v, u)$, и если u была помечена как посещённая обходом в глубину, то ответом на этот запрос будет вершина $LCA(v,u)$ = **ANCESTOR**[FindSet(u)]. Нетрудно заметить, что для каждого запроса это условие (что одна вершина запроса является текущей, а другая была посещена ранее) выполнится ровно один раз.
+
+Оценим асимптотику. Она складывается из нескольких частей. Во-первых, это асимптотика обхода в глубину, которая в данном случае составляет $O(n)$. Во-вторых, это операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают $O(n)$ операций. В-третьих, это для каждого запроса проверка условия (два раза на запрос) и определение результата (один раз на запрос), каждое, опять же, для всех разумных n выполняется за $O(1)$. Итоговая асимптотика получается $O(n + m)$, что означает для достаточно больших $m$ $(n = O(m))$ ответ за $O(1)$ на один запрос
+
+### 1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов
+
+#### Компоненты реберной двусвязности
+
+> **Компонентами рёберной двусвязности** (англ. *costal doubly-linked components*) графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности рёберной двусвязности, а множества рёбер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.
+
+#### Мосты
+
+> **Мостом** называется такое ребро, удаление которого делает граф несвязным (или, точнее, увеличивает число компонент связности).
+
+#### Поиск мостов
+
+- Алгоритм:
+    Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через **root**. Заметим следующий факт (который несложно доказать):
+
+    Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины $v$. Тогда, если текущее ребро $(v,to)$ таково, что из вершины $to$ и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в вершину  $v$ или какого-либо её предка, то это ребро является мостом. В противном случае оно мостом не является. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из  $v$ в $to$ , кроме как спуск по ребру $(v,to)$ дерева обхода в глубину.)
+    Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.
+
+    Итак, пусть $tin[v]$ — это время захода поиска в глубину в вершину $v$. Теперь введём массив $fup[v]$, который и позволит нам отвечать на вышеописанные запросы. Время $fup[v]$ равно минимуму из времени захода в саму вершину $tin[v]$, времён захода в каждую вершину $p$, являющуюся концом некоторого обратного ребра $(v, p)$, а также из всех значений $fup[to]$ для каждой вершины $to$ , являющейся непосредственным сыном $v$ в дереве поиска:
+
+    $fup[v] = \min(tin[v], tin[p], fup(to))$ $(v, p)$ - back edge, $(v, to)$ - tree edge (здесь "back edge" — обратное ребро, "tree edge" — ребро дерева)
+
+    Тогда, из вершины  $v$ или её потомка есть обратное ребро в её предка тогда и только тогда, когда найдётся такой сын $to$ , что $fup[to] \leq tin[v]$. (Если $fup[to] = tin[v]$, то это означает, что найдётся обратное ребро, приходящее точно в $v$; если же $fup[to] < tin[v]$, то это означает наличие обратного ребра в какого-либо предка вершины $v$.)
+
+    Таким образом, если для текущего ребра $(v,to)$ (принадлежащего дереву поиска) выполняется $fup[to] > tin[v]$, то это ребро является мостом; в противном случае оно мостом не является.
+
+### 1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения
+
+#### Компоненты вершинной двусвязности
+
+> **Компонентами вершинной двусвязности** графа, называют его подграфы, множества ребер которых — классы эквивалентности вершинной двусвязности, а множества вершин — множества всевозможных концов ребер из соответствующих классов.
+
+#### Точки сочленения
+
+> **Точкой сочленения** называется вершина, при удалении которой связный неориентированный граф становится несвязным.
+
+#### Поиск точек сочленения
+
+- Алгоритм:
+    Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через $root$. Заметим следующий факт (который несложно доказать):
+
+    Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины  $v \neq root$. Тогда, если текущее ребро $(v, to)$ таково, что из вершины $to$  и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в какого-либо предка вершины v, то вершина  $v$ является точкой сочленения. В противном случае, т.е. если обход в глубину просмотрел все рёбра из вершины $v$, и не нашёл удовлетворяющего вышеописанным условиям ребра, то вершина $v$ не является точкой сочленения. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из  $v$ в $to$ )
+    Рассмотрим теперь оставшийся случай:  $v = root$. Тогда эта вершина является точкой сочленения тогда и только тогда, когда эта вершина имеет более одного сына в дереве обхода в глубину. (В самом деле, это означает, что, пройдя из $root$ по произвольному ребру, мы не смогли обойти весь граф, откуда сразу следует, что $root$ — точка сочленения).
+    (Ср. формулировку этого критерия с формулировкой критерия для алгоритма поиска мостов.)
+
+    Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.
+
+    Итак, пусть $tin[v]$ — это время захода поиска в глубину в вершину v. Теперь введём массив $fup[v]$, который и позволит нам отвечать на вышеописанные запросы. Время $fup[v]$ равно минимуму из времени захода в саму вершину $tin[v]$, времён захода в каждую вершину p, являющуюся концом некоторого обратного ребра $(v, p)$, а также из всех значений $fup[to]$ для каждой вершины $to$ , являющейся непосредственным сыном  $v$ в дереве поиска:
+
+    $fup[v] = \min(tin[v], tin[p], fup(to))$ $(v, p)$ - back edge, $(v, to)$ - tree edge (здесь "back edge" — обратное ребро, "tree edge" — ребро дерева)
+
+    Тогда, из вершины  $v$ или её потомка есть обратное ребро в её предка тогда и только тогда, когда найдётся такой сын $to$ , что $fup[to] < tin[v]$.
+
+    Таким образом, если для текущего ребра $(v,to)$ (принадлежащего дереву поиска) выполняется $fup[to] \geq tin[v]$, то вершина  $v$ является точкой сочленения. Для начальной вершины  $v = root$ критерий другой: для этой вершины надо посчитать число непосредственных сыновей в дереве обхода в глубину.
+
+### 1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)
+
+#### Волновой алгоритм
+
+> **Алгоритм волновой трассировки** (*волновой алгоритм*) — алгоритм поиска пути, алгоритм поиска кратчайшего пути на планарном графе. Принадлежит к алгоритмам, основанным на методах поиска в ширину.
+
+Алгоритм предназначен для поиска кратчайшего пути от стартовой ячейки к конечной ячейке, если это возможно, либо, при отсутствии пути, выдать сообщение о непроходимости.
+
+Работа алгоритма включает в себя три этапа: инициализацию, распространение волны и восстановление пути.
+
+Инициализация
+
+```c
+Пометить стартовую ячейку 
+d := 0 
+```
+
+Распространение волны
+
+```c
+ЦИКЛ
+  ДЛЯ каждой ячейки loc, помеченной числом d
+    пометить все соседние свободные непомеченные ячейки числом d + 1
+  КЦ
+  d := d + 1
+ПОКА (финишная ячейка не помечена) И (есть возможность распространения волны) 
+```
+
+Восстановление пути
+
+```c
+ЕСЛИ финишная ячейка помечена
+ТО
+  перейти в финишную ячейку
+  ЦИКЛ
+    выбрать среди соседних ячейку, помеченную числом на 1 меньше числа в текущей ячейке
+    перейти в выбранную ячейку и добавить её к пути
+  ПОКА текущая ячейка — не стартовая
+  ВОЗВРАТ путь найден
+ИНАЧЕ
+  ВОЗВРАТ путь не найден
+```
+
+#### Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)
+
+> **Поиск в ширину** (англ. *breadth-first search*) — один из основных алгоритмов на графах, позволяющий находить все кратчайшие пути от заданной вершины и решать многие другие задачи.
+
+- Описание алгоритма
+    На вход алгоритма подаётся невзвешенный граф и номер стартовой вершины $s$. Граф может быть как ориентированным, так и неориентированным — для алгоритма это не важно.
+
+    Основную идею алгоритма можно понимать как процесс «поджигания» графа: на нулевом шаге мы поджигаем вершину $s$, а на каждом следующем шаге огонь с каждой уже горящей вершины перекидывается на всех её соседей, в конечном счете поджигая весь граф.
+
+    Если моделировать этот процесс, то за каждую итерацию алгоритма будет происходить расширение «кольца огня» в ширину на единицу. Номер шага, на котором вершина  $v$ начинает гореть, в точности равен длине её минимального пути из вершины s.
+
+```c++
+std::vector<int> graph;
+
+void bfs(int s) {
+    std::queue<int> queue;
+    queue.push(s);
+    
+    std::vector<int> depth(n, -1), parent(n);
+    depth[s] = 0;
+    
+    while (!queue.empty()) {
+        int vertex = queue.front();
+        queue.pop();
+        for (int u : g[vertex]) {
+            if (depth[u] == -1) {
+                queue.push(u);
+                depth[u] = depth[vertex] + 1;
+                parent[u] = vertex;
+            }
+        }
+    }
+} 
+```
+
+Теперь, чтобы восстановить кратчайший путь до какой-то вершины v, это можно сделать через массив p:
+
+```c++
+while (v != s) {
+    std::cout << v << endl;
+    v = p[v];
+}
+```
+
+Обратим внимание, что путь выведется в обратном порядке.
+
+### 1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла
+
+#### Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе
+
+- Согласно теореме, доказанной Эйлером, эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда
+    1. Граф связный или будет являться связным, если удалить из него все изолированные вершины.
+    2. В нём отсутствуют вершины нечётной степени.
+
+- Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда
+    1. Граф связный
+    2. Содержит не более двух вершин нечётной степени. Ввиду леммы о рукопожатиях, число вершин с нечётной степенью должно быть чётным. А значит эйлеров путь существует только тогда, когда это число равно нулю или двум. Причём, когда оно равно нулю, эйлеров путь вырождается в эйлеров цикл.
+
+#### Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе
+
+- В ориентированном графе $G = (V, E)$ существует эйлеров цикл тогда и только тогда, когда:
+    1. Входная степень любой вершины равна ее выходной степени.
+    2. Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.
+- В ориентированном графе $G = (V, E)$ существует эйлеров путь если:
+    1. Входная степень любой вершины равна ее выходной степени, кроме двух вершин графа, для одной из которых (deg+) − (deg−) = 1, а для другой (deg+) − (deg−) = −1 .
+    2. Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.
+
+#### Поиск эйлерова пути и цикла
+
+- Поиск эйлерова пути в графе
+    Можно всегда свести задачу поиска эйлерова пути к задаче поиска эйлерова цикла. Действительно, предположим, что эйлерова цикла не существует, а эйлеров путь существует. Тогда в графе будет ровно 2 вершины нечётной степени. Соединим эти вершины ребром, и получим граф, в котором все вершины чётной степени, и эйлеров цикл в нём существует. Найдём в этом графе эйлеров цикл (алгоритмом, описанным ниже), а затем удалим из ответа несуществующее ребро.
+
+- Поиск эйлерова цикла в графе
+    Будем рассматривать самый общий случай — случай ориентированного мультиграфа, возможно, с петлями. Также мы предполагаем, что эйлеров цикл в графе существует (и состоит хотя бы из одной вершины). Для поиска эйлерова цикла воспользуемся тем, что эйлеров цикл — это объединение всех простых циклов графа. Следовательно, наша задача — эффективно найти все циклы и эффективно объединить их в один.
+
+    Реализовать это можно, например, так, рекурсивно:
+
+    ```c
+    procedure find_all_cycles (v)
+    var массив cycles
+    1. пока есть цикл, проходящий через v, находим его
+        добавляем все вершины найденного цикла в массив cycles (сохраняя порядок обхода)
+        удаляем цикл из графа
+    2. идем по элементам массива cycles
+        каждый элемент cycles[i] добавляем к ответу
+        из каждого элемента рекурсивно вызываем себя: find_all_cycles (cycles[i])
+    ```
+
+    Достаточно вызвать эту процедуру из любой вершины графа, и она найдёт все циклы в графе, удалит их из графа и объединит их в один эйлеров цикл.
+    Для поиска цикла на шаге 1 используем поиск в глубину.
+    Сложность полученного алгоритма — $O(|E|)$, то есть линейная относительно количества рёбер в данном графе
+    
\ No newline at end of file

From 222b6e27e369d07f30a9d5cbf1119f53c86abde3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Egor Ivanov <56685477+sibenshtern@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 7 Jan 2024 04:02:31 +0000
Subject: [PATCH 2/7] Finish second part of theory

---
 doc/Theory.md | 69 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 68 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/doc/Theory.md b/doc/Theory.md
index 820f927..869d316 100644
--- a/doc/Theory.md
+++ b/doc/Theory.md
@@ -34,6 +34,15 @@
       - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-неориентированном-графе)
       - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-графе)
       - [Поиск эйлерова пути и цикла](#поиск-эйлерова-пути-и-цикла)
+  - [2. Планарность графа](#2-планарность-графа)
+    - [2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера](#21-формула-эйлера-теорема-портнягина-куратовского-теорема-вагнера)
+      - [Формула Эйлера](#формула-эйлера)
+      - [Теорема Портнягина-Куратовского](#теорема-портнягина-куратовского)
+      - [Теорема Вагнера](#теорема-вагнера)
+    - [2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина](#22-гамма-алгоритм-контактная-вершина)
+      - [Гамма алгоритм](#гамма-алгоритм)
+    - [2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма](#23-теорема-о-корректности-гамма-алгоритма-асимптотика-алгоритма)
+      - [Теорема о корректности Гамма алгоритма](#теорема-о-корректности-гамма-алгоритма)
 
 ## 1. Обходы графа
 
@@ -465,4 +474,62 @@ while (v != s) {
     Достаточно вызвать эту процедуру из любой вершины графа, и она найдёт все циклы в графе, удалит их из графа и объединит их в один эйлеров цикл.
     Для поиска цикла на шаге 1 используем поиск в глубину.
     Сложность полученного алгоритма — $O(|E|)$, то есть линейная относительно количества рёбер в данном графе
-    
\ No newline at end of file
+
+## 2. Планарность графа
+
+### 2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера
+
+#### Формула Эйлера
+
+Для произвольного плоского связного графа $G$ с $V$ вершинами, $E$ ребрами и $F$ гранями справедливо следующее соотношение: $V − E + F = 2$.
+
+#### Теорема Портнягина-Куратовского
+
+Теорема Понтрягина — Куратовского, или теорема Куратовского, — теорема в теории графов, дающая необходимое и достаточное условие планарности графа. Имеет эквивалентную формулировку на языке миноров, так называемою теорему Вагнера.
+
+Теорема утверждает, что графы $K_5$ (полный граф на 5 вершинах) и $K_{3,3}$ (полный двудольный граф имеющий по 3 вершины в каждой доле) являются единственными минимальными непланарными графами.
+
+#### Теорема Вагнера
+
+Теорема Вагнера — характеризация планарных графов тесно связанная с теоремой Понтрягина — Куратовского.
+
+Теорема утверждает, что конечный граф является планарным тогда и только тогда, когда его миноры не включают ни $K_5$ (полный граф с пятью вершинами), ни $K_{3,3}$ (коммунальный граф, полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой доле).
+
+### 2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина
+
+#### Гамма алгоритм
+
+- Чтобы проверить планарность графа и произвести его плоскую укладку, удобно пользоваться гамма-алгоритмом.
+- Определения:
+    1. Сегмент графа $Г$ относительно подграфа $H$ — компонента связности графа $G \setminus H$.
+    2. *Допустимая грань сегмента* — грань графа $H$, содержащая все контактные вершины.
+    3. **Контактная вершина** сегмента $S$ графа $G$ подграфа $H$ — любая вершина в $S$ и в $H$.
+    4. *Гамма-цепь сегмента* — любая цепь без повторов вершин, содержащих ровно две контактные вершины — начало и конец.
+- Алгоритм:
+    1. Уложить на плоскость любой цикл $H$ графа $G$ без повторов вершин.
+    2. Построить все сегменты $S_1$ , $...$ , $S_k$ графа $G$ по $H$.
+    3. Если есть сегмент $S_i$ c одной допустимой гранью — выбрать его.
+    4. Если все сегменты имеют несколько дополнительных граней — выбрать любой.
+    5. Выбрать произвольную гамма-цепь сегмента и уложить её в допустимую грань.
+    6. Перейти к шагу (2), добавив гамма-цепь к графу $H$.
+
+### 2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма
+
+#### Теорема о корректности Гамма алгоритма
+
+- Теорема: Гамма-алгоритм корректен, то есть если $G$ — планарный граф, то результатом каждого шага гамма-алгоритма является частичная укладка $G'$.
+- Доказательство:
+    Докажем индукцией по числу шагов.
+
+    База индукции: полученный на этапе инициализации граф $G_0$ является простым циклом, он будет присутствовать в любой укладке графа $G$. Таким образом, $G_0$  является частичной укладкой.
+
+    Шаг индукции: пусть граф $G_{k−1}$, полученный на $k−1$-м шаге работы алгоритма, является частичной укладкой. Докажем, что граф $G_k = G_{k−1} \cup L_k$, полученный на $k$-м шаге присоединением цепи $L_k$, также является частичной укладкой.
+
+    Заметим, что на текущем шаге нет такого сегмента $S$  относительно $G_{k−1}$, для которого бы выполнялось равенство $Γ(S) = \varnothing$, так как в противном случае существовала бы цепь этого сегмента, контактные вершины которой принадлежали бы разным граням и укладка которой была бы невозможна. Следовательно, нельзя было бы уложить $S$,что противоречит тому, что $G$ — планарный граф. Значит, мы можем рассматривать только следующие два случая:
+    1. Существует сегмент $S$ для которого есть единственная вмещающая грань $Γ$, то есть $|Γ(S)| = 1$. Так как только грани $Γ$ принадлежат все контактные вершины $S$, то укладка этого сегмента в эту грань неизбежна. Это значит, что помещая любую цепь $L \subset S$, снова получим частичную укладку графа.
+    
+    2. Для любого сегмента $S$ $|Γ(S)| \geq 2$. Построим граф $A(G'k−1)$, который по лемме 2 является двудольным. Рассмотрим его связную компоненту $K$, которая содержит не менее двух вершин. Граф $K$ также является двудольным. По лемме 1 для любого сегмента $S \in K$  справедливо $Γ(S)={Γ1, Γ2}$. Так как граф $K$ двудольный, то мы можем по очереди помещать сегменты $K$ в разные грани, причем конфликтующих сегментов не возникнет в силу четности всех циклов в графе. Результатом будет частичная укладка графа.
+
+    Таким образом, на каждом шаге мы получаем частичную укладку графа, что доказывает корректность гамма-алгоритма.
+
+**Асимптотика алгоритма - O(n^3)**

From a5a28c73616648f6567170178ddffa67ff198225 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Egor Ivanov <56685477+sibenshtern@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 7 Jan 2024 04:35:34 +0000
Subject: [PATCH 3/7] finish third part of theory

---
 doc/Theory.md | 305 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 304 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/doc/Theory.md b/doc/Theory.md
index 869d316..f9ba607 100644
--- a/doc/Theory.md
+++ b/doc/Theory.md
@@ -43,6 +43,35 @@
       - [Гамма алгоритм](#гамма-алгоритм)
     - [2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма](#23-теорема-о-корректности-гамма-алгоритма-асимптотика-алгоритма)
       - [Теорема о корректности Гамма алгоритма](#теорема-о-корректности-гамма-алгоритма)
+  - [3. Кратчайшие пути во взвешенном графе](#3-кратчайшие-пути-во-взвешенном-графе)
+    - [3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей](#31-алгоритм-дейкстры-доказательство-корректностис-доказательством-оценка-времени-работы-дерево-кратчайших-путей)
+      - [Алгоритм Дейкстры](#алгоритм-дейкстры)
+      - [Доказательство корректности](#доказательство-корректности)
+      - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы)
+      - [Дерево кратчайших путей](#дерево-кратчайших-путей)
+    - [3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал $\\pi(v) = \\rho(v, t)$](#32-потенциалы-условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер-потенциал-piv--rhov-t)
+      - [Потенциалы](#потенциалы)
+      - [Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер](#условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер)
+      - [Потенциал $\\pi(v) = \\rho(v, t)$](#потенциал-piv--rhov-t)
+    - [3.3. Алгоритм A\*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик](#33-алгоритм-a-условие-монотонности-на-эвристику-примеры-эвристик)
+      - [Алгоритм A\*](#алгоритм-a)
+      - [Примеры эвристик](#примеры-эвристик)
+    - [3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: $D\_{vk}$ равно длине кратчайшего пути до вершины $v$ за ровно $k$ ребер (не более $k$ ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы](#34-алгоритм-форда-беллмана-хранение-в-матрице-d_vk-равно-длине-кратчайшего-пути-до-вершины-v-за-ровно-k-ребер-не-более-k-ребер-доказательство-корректности-полное-оценка-времени-работы)
+      - [Доказательство корректности(полное)](#доказательство-корректностиполное)
+      - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-1)
+    - [3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла](#35-восстановление-пути-детектирование-цикла-отрицательного-веса-поиск-самого-цикла)
+      - [Восстановление пути](#восстановление-пути)
+      - [Детектирование цикла отрицательного веса](#детектирование-цикла-отрицательного-веса)
+      - [Поиск самого цикла](#поиск-самого-цикла)
+    - [3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса](#36-нахождение-кратчайших-путей-с-учетом-циклов-отрицательного-веса)
+    - [3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути](#37-алгоритм-флойда-доказательство-концепция-восстановление-пути)
+      - [Алгоритм Флойда](#алгоритм-флойда)
+      - [Доказательство (концепция)](#доказательство-концепция)
+      - [Восстановление пути](#восстановление-пути-1)
+    - [3.8. Нахождение цикла отрицательного веса](#38-нахождение-цикла-отрицательного-веса)
+    - [3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#39-алгоритм-джонсона-добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
+      - [Алгоритм Джонсона](#алгоритм-джонсона)
+      - [Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
 
 ## 1. Обходы графа
 
@@ -532,4 +561,278 @@ while (v != s) {
 
     Таким образом, на каждом шаге мы получаем частичную укладку графа, что доказывает корректность гамма-алгоритма.
 
-**Асимптотика алгоритма - O(n^3)**
+**Асимптотика алгоритма - $O(n^3)$.**
+
+## 3. Кратчайшие пути во взвешенном графе
+
+### 3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей
+
+#### Алгоритм Дейкстры
+
+**Алгоритм Дейкстры** (англ. *Dijkstra’s algorithm*) — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским учёным Эдсгером Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшие пути от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.
+
+```c
+func dijkstra(s):
+    for $v \in V$
+        d[v] = $ \infinity $
+        used[v] = false
+    d[s] = 0
+    for $i \in V$
+        v = null
+        for $j \in V$    // найдём вершину с минимальным расстоянием
+            if !used[j] and (v == null or d[j] < d[v])
+                v = j
+        if d[v] == $\infinity$
+            break
+        used[v] = true
+        for e : исходящие из v рёбра     // произведём релаксацию по всем рёбрам, исходящим из v
+            if d[v] + e.len < d[e.to]
+                d[e.to] = d[v] + e.len
+```
+
+#### Доказательство корректности
+
+- Пусть $G=(V,E)$ — ориентированный взвешенный граф, вес рёбер которого неотрицателен, s — стартовая вершина. Тогда после выполнения алгоритма Дейкстры $d(u)=\rho(s, u)$ для всех $u$, где $\rho (s,u)$ — длина кратчайшего пути из вершины $s$ в вершину $u$.
+
+Докажем по индукции, что в момент посещения любой вершины $u$, $d(u)= \rho (s,u)$.
+
+На первом шаге выбирается $s$, для неё выполнено: $d(s) = \rho (s,s) = 0$. Пусть для $n$ первых шагов алгоритм сработал верно и на $n+1$ шагу выбрана вершина $u$. Докажем, что в этот момент $d(u)= \rho (s,u)$. Для начала отметим, что для любой вершины $v$, всегда выполняется $d(v) \geq \rho (s,v)$ (алгоритм не может найти путь короче, чем кратчайший из всех существующих). Пусть $P$ — кратчайший путь из $s$ в $u$, $v$ — первая непосещённая вершина на $P$, $z$ — предшествующая ей (следовательно, посещённая). Поскольку путь $P$ кратчайший, его часть, ведущая из $s$ через $z$ в $v$, тоже кратчайшая, следовательно $\rho(s,v)= \rho(s,z)+w(zv)$. По предположению индукции, в момент посещения вершины $z$ выполнялось $d(z)= \rho (s,z)$, следовательно, вершина $v$ тогда получила метку не больше чем $d(z) + w(zv) = \rho (s,z) + w(zv) = \rho(s,v)$, следовательно, $d(v)=\rho(s,v)$. С другой стороны, поскольку сейчас мы выбрали вершину $u$, её метка минимальна среди непосещённых, то есть $d(u) \leq d(v) = \rho (s,v) \leq \rho (s,u)$, где второе неравенсто верно из-за ранее упомянутого определения вершины $v$ в качестве первой непосещённой вершины на $P$, то есть вес пути до промежуточной вершины не превосходит веса пути до конечной вершины вследствие неотрицательности весовой функции. Комбинируя это с $d(u) \geq \rho(s,u)$, имеем $d(u)=\rho(s,u)$, что и требовалось доказать. Поскольку алгоритм заканчивает работу, когда все вершины посещены, в этот момент $d(u)= \rho (s,u)$ для всех $u$.
+
+#### Оценка времени работы
+
+- Если $m = n ^ 2$(граф плотный), то $O(n^2)$.
+- Если $m = n$(граф разреженный), то $O(m log n)$.
+
+#### Дерево кратчайших путей
+
+Решение ряда прикладных задач сводится к нахождению дерева кратчайших путей с корнем в заданной вершине $s$. Такое дерево дает кратчайшие $(s, v)$-пути от заданной вершины $s$ до любой вершины $v$ орграфа $G = (V, Е)$. Если веса всех дуг орграфа $G$ неотрицательны, то дерево кратчайших путей можно построить с помощью алгоритма Дейкстры.
+
+### 3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал $\pi(v) = \rho(v, t)$
+
+#### Потенциалы
+
+Пусть дана транспортная сеть $G(V,E)$, где $V$ — множество вершин графа, а $E$ — множество рёбер. Введем в каждой вершине потенциал $\pi(v)$. Тогда потенциальный вес (то есть стоимость) ребра $(u,v)$ определяется как $w_p(u,v)=w(u,v)+\pi(u)−\pi(v)$
+
+#### Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер
+
+Можно применять, когда нет отрицательных циклов (следует из курса дискретной математики 1 курс 2 семестр)
+
+#### Потенциал $\pi(v) = \rho(v, t)$
+
+### 3.3. Алгоритм A*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик
+
+#### Алгоритм A*
+
+Алгоритм A* - алгоритм поиска по первому наилучшему совпадению на графе, который находит маршрут с наименьшей стоимостью от одной вершины (начальной) к другой (целевой, конечной).
+
+Порядок обхода вершин определяется эвристической функцией «расстояние + стоимость» (обычно обозначаемой как $f(x)$). Эта функция — сумма двух других: функции стоимости достижения рассматриваемой вершины (x) из начальной (обычно обозначается как $g(x)$ и может быть как эвристической, так и нет), и функции эвристической оценки расстояния от рассматриваемой вершины к конечной (обозначается как $h(x)$).
+
+1. Функция $h(x)$ должна быть *допустимой эвристической оценкой*, то есть не должна переоценивать расстояния к целевой вершине. Например, для задачи маршрутизации $h(x)$ может представлять собой расстояние до цели по прямой линии, так как это физически наименьшее возможное расстояние между двумя точками.
+2. Более сильное условие — функция $h(v)$ должна быть **монотонной**. (Эвристическая функция $h(v)$ называетя **монотонной** (или преемственной), если для любой вершины $v_1$ и ее потомка $v_2$ разность $h(v_1)$ и $h(v_2)$ не превышает фактического веса ребра $c(v_1, v_2)$ от $v_1$ до $v_2$, а эвристическая оценка целевого состояния равна нулю.)
+
+```c
+function A*(start, goal, f)
+     % множество уже пройденных вершин
+     var closed := the empty set
+     % множество частных решений
+     var open := make_queue(f)
+     enqueue(open, path(start))
+     while open is not empty
+         var p := remove_first(open)
+         var x := the last node of p
+         if x in closed
+            continue
+         if x = goal
+            return $\rho$
+         add(closed, x)
+         % добавляем смежные вершины
+         foreach y in successors(x)
+            enqueue(open, add_to_path(p, y))
+     return failure
+```
+
+#### Примеры эвристик
+
+- Если мы можем перемещаться в четырех направлениях, то в качестве эвристики стоит выбрать манхэттенское расстояние $h(v)=|v.x−goal.x|+|v.y−goal.y|$.
+- Расстояние Чебышева применяется, когда к четырем направлениям добавляются диагонали: $h(v)=max(|v.x−goal.x|,|v.y−goal.y|)$.
+- Если передвижение не ограничено сеткой, то можно использовать евклидово расстояние по прямой: $h(v)=((v.x−goal.x) ^ 2+(v.y−goal.y)^2) ^ {1/2}$.
+
+### 3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: $D_{vk}$ равно длине кратчайшего пути до вершины $v$ за ровно $k$ ребер (не более $k$ ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы
+
+Количество путей длины k рёбер можно найти с помощью метода динамического программирования. Пусть $d[k][u]$ — количество путей длины k рёбер, заканчивающихся в вершине u. Тогда $d[k][u]= \Sigma v: v u \in E(d[k−1][v])$.
+
+Аналогично посчитаем пути кратчайшей длины. Пусть $s$ — стартовая вершина. Тогда $d[k][u]=\min v: v u \in E(d[k−1][v]+w(u,v))$, при этом $d[0][s]=0$, а $d[0][u]=+\infty$
+
+Если существует кратчайший путь от s до t, то $\rho(s,t)=\min d[k][t](k=0..n−1)$
+
+Пусть кратчайший путь состоит из $k$ ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной ниже.
+
+```c++
+for k = 0 to |V|−2       // вершины нумеруются с единицы
+    for v∈V
+       for (u,v)∈E
+          d[k + 1][v] = min(d[k + 1][v], d[k][u] + ω(u,v))     // ω(u,v) — вес ребра uv
+```
+
+
+```c++
+bool fordBellman(s):
+    for v∈V
+        d[v] = 1
+    d[s] = 0
+    for i = 0 to |V|−1
+        for (u,v)∈E
+            if d[v] > d[u] + ω(u,v)     // ω(u,v) — вес ребра uv
+                d[v] = d[u] + ω(u,v)
+    for (u,v)∈E
+        if d[v] > d[u] + ω(u,v)
+            return false
+    return true
+```
+
+#### Доказательство корректности(полное)
+
+Во-первых, сразу заметим, что для недостижимых из $v$ вершин алгоритм отработает корректно: для них метка $d[]$ так и останется равной бесконечности (т.к. алгоритм Форда-Беллмана найдёт какие-то пути до всех достижимых из $s$ вершин, а релаксация во всех остальных вершинах не произойдёт ни разу).
+
+Докажем теперь следующее утверждение: после выполнения $i$ фаз алгоритм Форда-Беллмана корректно находит все кратчайшие пути, длина которых (по числу рёбер) не превосходит $i$.
+
+Иными словами, для любой вершины $a$ обозначим через $k$ число рёбер в кратчайшем пути до неё (если таких путей несколько, можно взять любой). Тогда это утверждение говорит о том, что после $k$ фаз этот кратчайший путь будет найден гарантированно.
+
+**Доказательство.**
+
+Рассмотрим произвольную вершину a, до которой существует путь из стартовой вершины v, и рассмотрим кратчайший путь до неё: $(p_0=v, p_1, ..., p_k=a)$. Перед первой фазой кратчайший путь до вершины $p_0=v$ найден корректно. Во время первой фазы ребро $(p_0,p_1)$ было просмотрено алгоритмом Форда-Беллмана, следовательно, расстояние до вершины $p_1$ было корректно посчитано после первой фазы. Повторяя эти утверждения k раз, получаем, что после $k$-й фазы расстояние до вершины $p_k=a$ посчитано корректно, что и требовалось доказать.
+
+Последнее, что надо заметить — это то, что любой кратчайший путь не может иметь более $n-1$ ребра. Следовательно, алгоритму достаточно произвести только $n-1$ фазу. После этого ни одна релаксация гарантированно не может завершиться улучшением расстояния до какой-то вершины.
+
+#### Оценка времени работы
+
+Инициализация занимает $\theta(V)$ времени, каждый из $|V|−1$ проходов требует $\theta(E)$ времени, обход по всем ребрам для проверки наличия отрицательного цикла занимает $O(E)$ времени. Значит алгоритм Беллмана-Форда работает за $O(VE)$ времени.
+
+### 3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла
+
+#### Восстановление пути
+
+```c++
+void solve() {
+  vector<int> d (n, INF);
+  d[v] = 0;
+  vector<int> p (n, -1);
+  for (;;) {
+    bool any = false;
+    for (int j=0; j<m; ++j)
+      if (d[e[j].a] < INF)
+        if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
+          d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
+          p[e[j].b] = e[j].a;
+          any = true;
+        }
+    if (!any)  break;
+  }
+ 
+  if (d[t] == INF)
+    cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
+  else {
+    vector<int> path;
+    for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
+      path.push_back (cur);
+    reverse (path.begin(), path.end());
+ 
+    cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
+    for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
+      cout << path[i] << ' ';
+  }
+}
+```
+
+Здесь мы сначала проходимся по предкам, начиная с вершины t, и сохраняем весь пройденный путь в списке $\rm path$. В этом списке получается кратчайший путь от v до t, но в обратном порядке, поэтому мы вызываем $\rm reverse$ от него и затем выводим.
+
+#### Детектирование цикла отрицательного веса
+
+Пусть $G=(V,E)$ — взвешенный ориентированный граф, $s$ — стартовая вершина. Если граф $G$ не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины $s$, то алгоритм возвращает $\rm true$ и для всех $v \in V$ $d[v]= \delta (s,v)$. Если граф $G$ содержит отрицательные циклы, достижимые из вершины $s$, то алгоритм возвращает $\rm false$.
+
+#### Поиск самого цикла
+
+Приведенная выше реализация позволяет определить наличие в графе цикла отрицательного веса. Чтобы найти сам цикл, достаточно хранить вершины, из которых производится релаксация.
+
+Если после $|V|−1$ итерации найдется вершина $v$, расстояние до которой можно уменьшить, то эта вершина либо лежит на каком-нибудь цикле отрицательного веса, либо достижима из него. Чтобы найти вершину, которая лежит на цикле, можно $|V|−1$ раз пройти назад по предкам из вершины $v$. Так как наибольшая длина пути в графе из $|V|$ вершин равна $|V|−1$, то полученная вершина u будет гарантированно лежать на отрицательном цикле.
+
+Зная, что вершина u лежит на цикле отрицательного веса, можно восстанавливать путь по сохраненным вершинам до тех пор, пока не встретится та же вершина u. Это обязательно произойдет, так как в цикле отрицательного веса релаксации происходят по кругу.
+
+### 3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса
+
+Заметим, что updated_vertices на $|V|$-м шаге содержит два типа вершин: те, которые лежат на цикле отрицательного веса и те, которые сами достижимы из какого-то цикла отрицательного веса. При этом из доказательства леммы выше мы знаем, что от каждого (!) цикла отрицательного веса в множестве будет хотя бы по одному представителю. Из этих двух наблюдений следует корректность и полнота следующего алгоритма:
+
+Запускаем Форда-Беллмана на $|V|$ шагов. Если на последнем шаге до вершины расстояние не поменялось, то оно и кратчайшее. Если поменялось, то до неё и до всех вершин, достижимых из неё, расстояние от стартовой вершины равно минус бесконечности. Чтобы найти все вершины с расстоянием минус бесконечность, достаточно запустить dfs из всех вершин, расстояние до которых уменьшилось на последней итерации алгоритма.
+
+### 3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути
+
+#### Алгоритм Флойда
+
+> **Алгоритм Флойда** (*алгоритм Флойда–Уоршелла*) — алгоритм нахождения длин кратчайших путей между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе. Работает корректно, если в графе нет циклов отрицательной величины, а в случае, когда такой цикл есть, позволяет найти хотя бы один такой цикл.
+
+Ключевая идея алгоритма — разбиение процесса поиска кратчайших путей на фазы.
+
+Перед $k$-ой фазой $(k = 1 ... n)$ считается, что в матрице расстояний $d[][]$ сохранены длины таких кратчайших путей, которые содержат в качестве внутренних вершин только вершины из множества ${1, 2, ..., k-1}$ (вершины графа мы нумеруем, начиная с единицы).
+
+Иными словами, перед $k$-ой фазой величина $d[i][j]$ равна длине кратчайшего пути из вершины $i$ в вершину $j$, если этому пути разрешается заходить только в вершины с номерами, меньшими k (начало и конец пути не считаются).
+
+Легко убедиться, что чтобы это свойство выполнилось для первой фазы, достаточно в матрицу расстояний $d[][]$ записать матрицу смежности графа: $d[i][j] = g[i][j]$ — стоимости ребра из вершины $i$ в вершину $j$. При этом, если между какими-то вершинами ребра нет, то записать следует величину "бесконечность". Из вершины в саму себя всегда следует записывать величину 0, это критично для алгоритма.
+
+Пусть теперь мы находимся на $k$-ой фазе, и хотим пересчитать матрицу $d[][]$ таким образом, чтобы она соответствовала требованиям уже для $k+1$-ой фазы. Зафиксируем какие-то вершины $i$ и $j$. У нас возникает два принципиально разных случая:
+
+Кратчайший путь из вершины $i$ в вершину $j$, которому разрешено дополнительно проходить через вершины ${1, 2, ..., k}$, совпадает с кратчайшим путём, которому разрешено проходить через вершины множества ${1, 2, ..., k-1}$.
+В этом случае величина $d[i][j]$ не изменится при переходе с $k$-ой на $k+1$-ую фазу.
+
+"Новый" кратчайший путь стал лучше "старого" пути. Это означает, что "новый" кратчайший путь проходит через вершину $k$. Сразу отметим, что мы не потеряем общности, рассматривая далее только простые пути (т.е. пути, не проходящие по какой-то вершине дважды).
+
+Тогда заметим, что если мы разобьём этот "новый" путь вершиной $k$ на две половинки (одна идущая $i \rightarrow k$, а другая — $k \rightarrow j$), то каждая из этих половинок уже не заходит в вершину $k$. Но тогда получается, что длина каждой из этих половинок была посчитана ещё на $k-1$-ой фазе или ещё раньше, и нам достаточно взять просто сумму $d[i][k] + d[k][j]$, она и даст длину "нового" кратчайшего пути.
+
+Объединяя эти два случая, получаем, что на $k$-ой фазе требуется пересчитать длины кратчайших путей между всеми парами вершин $i$ и $j$ следующим образом:
+
+```c++
+new_d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
+```
+
+Таким образом, вся работа, которую требуется произвести на $k$-ой фазе — это перебрать все пары вершин и пересчитать длину кратчайшего пути между ними. В результате после выполнения $n$-ой фазы в матрице расстояний $d[i][j]$ будет записана длина кратчайшего пути между $i$ и $j$, либо бесконечность, если пути между этими вершинами не существует.
+
+Последнее замечание, которое следует сделать, — то, что можно не создавать отдельную матрицу $new_d[][]$ для временной матрицы кратчайших путей на $k$-ой фазе: все изменения можно делать сразу в матрице $d[][]$. В самом деле, если мы улучшили (уменьшили) какое-то значение в матрице расстояний, мы не могли ухудшить тем самым длину кратчайшего пути для каких-то других пар вершин, обработанных позднее.
+
+#### Доказательство (концепция)
+
+Доказательство "правильности" работы этого алгоритма также очевидно и выполняется с помощью математической индукции по $k$, показывая, что на $k$-й итерации вершина $k$ включается в путь только тогда, когда новый путь короче старого.
+
+#### Восстановление пути
+
+Легко поддерживать дополнительную информацию — так называемых "предков", по которым можно будет восстанавливать сам кратчайший путь между любыми двумя заданными вершинами в виде последовательности вершин.
+
+Для этого достаточно кроме матрицы расстояний $d[][]$ поддерживать также матрицу предков $p[][]$, которая для каждой пары вершин будет содержать номер фазы, на которой было получено кратчайшее расстояние между ними. Понятно, что этот номер фазы является не чем иным, как "средней" вершиной искомого кратчайшего пути, и теперь нам просто надо найти кратчайший путь между вершинами $i$ и $p[i][j]$, а также между $p[i][j]$ и $j$. Отсюда получается простой рекурсивный алгоритм восстановления кратчайшего пути.
+
+### 3.8. Нахождение цикла отрицательного веса
+
+Если в графе есть циклы отрицательного веса, то формально алгоритм Флойда-Уоршелла неприменим к такому графу.
+
+На самом же деле, для тех пар вершин $i$ и $j$, между которыми нельзя зайти в цикл отрицательного вес, алгоритм отработает корректно.
+
+Для тех же пар вершин, ответа для которых не существует (по причине наличия отрицательного цикла на пути между ними), алгоритм Флойда найдёт в качестве ответа какое-то число (возможно, сильно отрицательное, но не обязательно). Тем не менее, можно улучшить алгоритм Флойда, чтобы он аккуратно обрабатывал такие пары вершин и выводил для них, например, - бесконечность.
+
+Для этого можно сделать, например, следующий критерий "не существования пути". Итак, пусть на данном графе отработал обычный алгоритм Флойда. Тогда между вершинами $i$ и $j$ не существует кратчайшего пути тогда и только тогда, когда найдётся такая вершина $t$, достижимая из $i$ и из которой достижима $j$, для которой выполняется $d[t][t] < 0$.
+
+Кроме того, при использовании алгоритма Флойда для графов с отрицательными циклами следует помнить, что возникающие в процессе работы расстояния могут сильно уходить в минус, экспоненциально с каждой фазой. Поэтому следует принять меры против целочисленного переполнения, ограничив все расстояния снизу какой-нибудь величиной (например, - Бесконечность).
+
+### 3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана
+
+#### Алгоритм Джонсона
+
+> Алгоритм Джонсона позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин в течение времени $O(V \cdot 2 \log(V) + VE)$. Для разреженных графов этот алгоритм ведет себя асимптотически быстрее алгоритма Флойда. Этот алгоритм либо возвращает матрицу кратчайших расстояний между всеми парами вершин, либо сообщение о том, что в графе существует цикл отрицательной длины.
+
+В этом алгоритме используется метод изменения веса (англ. reweighting). Суть его заключается в том, что для заданного графа G строится новая весовая функция $\omega_\varphi$, неотрицательная для всех ребер графа G и сохраняющая кратчайшие пути. Такая весовая функция строится с помощью так называемой потенциальной функции.
+
+Пусть $\varphi: V \rightarrow R$ — произвольное отображение из множества вершин в вещественные числа. Тогда новой весовой функцией будет $\omega_\varphi(u,v)=\varphi(u,v)+\varphi(u)−\varphi(v)$.
+
+Такая потенциальная функция строится добавлем фиктивной вершины $s$ в $G$, из которой проведены ориентированные ребра нулевого веса во все остальные вершины графа, и запуском алгоритма Форда-Беллмана из нее ($\varphi(v)$ будет равно длине кратчайшего пути из $s$ в $v$). На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.
+
+Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить алгоритм Дейкстры из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.
+
+#### Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана
+
+Как в случае применения алгоритма Беллмана-Форда для обнаружения отрицательных циклов, существуют два способа сделать вес каждого ребра неотрицательным в произвольной сети без отрицательных циклов. Либо можно начать с истока в каждом сильно связном компоненте, либо добавить фиктивную вершину с ребром нулевой длины в каждую вершину сети. В любом случае получится остовный лес кратчайших путей, которым можно воспользоваться для присвоения весов вершинам (вес пути из корня в данную вершину в ее SPT).

From c50cad092ccd7f3bd479e7f9839488a94f84ded7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Egor Ivanov <56685477+sibenshtern@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 7 Jan 2024 05:20:31 +0000
Subject: [PATCH 4/7] finish theory

---
 doc/Theory.md | 503 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 503 insertions(+)

diff --git a/doc/Theory.md b/doc/Theory.md
index f9ba607..cd5202a 100644
--- a/doc/Theory.md
+++ b/doc/Theory.md
@@ -72,6 +72,68 @@
     - [3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#39-алгоритм-джонсона-добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
       - [Алгоритм Джонсона](#алгоритм-джонсона)
       - [Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
+  - [4. Остовные деревья](#4-остовные-деревья)
+    - [4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину](#41-остовное-дерево-построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину)
+      - [Остовное дерево](#остовное-дерево)
+      - [Построение с помощью обхода в глубину и в ширину](#построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину)
+    - [4.2. Определение минимального остовного дерева](#42-определение-минимального-остовного-дерева)
+    - [4.3. Теорема о разрезе. Доказательство](#43-теорема-о-разрезе-доказательство)
+      - [Теорема о разрезе](#теорема-о-разрезе)
+    - [4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)](#44-алгоритм-прима-аналогия-с-алгоритмом-дейкстры-оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча-последнее-без-доказательства)
+      - [Алгоритм Прима](#алгоритм-прима)
+      - [Аналогия с алгоритмом Дейкстры](#аналогия-с-алгоритмом-дейкстры)
+      - [Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча](#оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча)
+    - [4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе](#45-алгоритм-прима-доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе)
+      - [Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе](#доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе)
+    - [4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы](#46-алгоритм-краскала-доказательство-корректности-оценка-времени-работы)
+      - [Алгоритм Краскала](#алгоритм-краскала)
+        - [Доказательство корректности](#доказательство-корректности-1)
+        - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-2)
+    - [4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы](#47-система-непересекающихся-множеств-эвристика-потенциалов-без-доказательства-эвристика-сжатия-пути-без-доказательства-почти-константное-время-работы)
+    - [4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство(полное). Оценка времени работы](#48-алгоритм-борувки-доказательствополное-оценка-времени-работы)
+      - [Алгоритм Борувки](#алгоритм-борувки)
+        - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-3)
+    - [4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева](#49-приближение-решения-задачи-коммивояжера-с-помощью-минимального-остовного-дерева)
+  - [5. Потоки в сетях](#5-потоки-в-сетях)
+    - [5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез](#51-определение-сети-определение-потока-физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа-определение-разреза-понятия-потока-через-разрез)
+      - [Определение сети](#определение-сети)
+      - [Определение потока](#определение-потока)
+      - [Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа](#физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа)
+      - [Определение разреза](#определение-разреза)
+      - [Понятия потока через разрез](#понятия-потока-через-разрез)
+    - [5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый](#52-доказательство-факта-что-поток-через-любой-разрез-одинаковый)
+    - [5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока](#53-понятие-остаточной-сети-понятие-дополняющего-пути-необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока)
+      - [Понятие остаточной сети](#понятие-остаточной-сети)
+      - [Понятие дополняющего пути](#понятие-дополняющего-пути)
+      - [Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока](#необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока)
+    - [5.4. Теорема Форда-Фалкерсона](#54-теорема-форда-фалкерсона)
+    - [5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго](#55-алгоритм-форда-фалкерсона-поиск-минимального-разреза-пример-целочисленной-сети-в-котором-алгоритм-работает-долго)
+      - [Алгоритм Форда-Фалкерсона](#алгоритм-форда-фалкерсона)
+      - [Поиск минимального разреза](#поиск-минимального-разреза)
+    - [5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается](#56-алгоритм-эдмондса-карпа-доказательство-что-кратчайшее-расстояние-в-остаточной-сети-не-уменьшается)
+      - [Алгоритм Эдмондса-Карпа](#алгоритм-эдмондса-карпа)
+    - [5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа](#57-общая-оценка-времени-работы-алгоритма-эдмондса-карпа)
+    - [5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства](#58-слоистая-сеть-алгоритм-диница-оценка-времени-работы-без-доказательства)
+      - [Слоистая сеть](#слоистая-сеть)
+      - [Алгоритм Диница](#алгоритм-диница)
+      - [Оценка времени работы без доказательства](#оценка-времени-работы-без-доказательства)
+  - [6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу](#6-rmq-sparse-table-дерево-отрезков-lca-декартово-дерево-по-неявному-ключу)
+    - [6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table](#61-rsq-и-rmq-sparse-table)
+      - [RSQ и RMQ.](#rsq-и-rmq)
+    - [6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня](#62-дерево-отрезков-обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня)
+      - [Дерево отрезков](#дерево-отрезков)
+      - [Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня](#обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня)
+    - [6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции](#63-изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков-множественные-операции)
+      - [Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.](#изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков)
+      - [Множественные операции](#множественные-операции)
+    - [6.4. LCA. Метод двоичного подъёма](#64-lca-метод-двоичного-подъёма)
+      - [LCA](#lca)
+      - [Метод двоичного подъёма](#метод-двоичного-подъёма)
+    - [6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два](#65-декартово-дерево-по-неявному-ключу-интерфейс-быстрого-массива-доступ-к-элементу-в-позиции-i-вставка-элемента-в-позицию-i-удаление-элемента-из-позиции-i-конкатенация-двух-массивов-разделение-массива-на-два)
+      - [Декартово дерево по неявному ключу](#декартово-дерево-по-неявному-ключу)
+      - [Интерфейс быстрого массива](#интерфейс-быстрого-массива)
+      - [Конкатенация двух массивов](#конкатенация-двух-массивов)
+      - [Разделение массива на два](#разделение-массива-на-два)
 
 ## 1. Обходы графа
 
@@ -836,3 +898,444 @@ new_d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
 #### Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана
 
 Как в случае применения алгоритма Беллмана-Форда для обнаружения отрицательных циклов, существуют два способа сделать вес каждого ребра неотрицательным в произвольной сети без отрицательных циклов. Либо можно начать с истока в каждом сильно связном компоненте, либо добавить фиктивную вершину с ребром нулевой длины в каждую вершину сети. В любом случае получится остовный лес кратчайших путей, которым можно воспользоваться для присвоения весов вершинам (вес пути из корня в данную вершину в ее SPT).
+
+## 4. Остовные деревья
+
+### 4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину
+
+#### Остовное дерево
+
+> **Остовное дерево** графа (англ. *Spanning tree*) — это дерево, подграф данного графа, с тем же числом вершин, что и у исходного графа. Неформально говоря, остовное дерево получается из исходного графа удалением максимального числа рёбер, входящих в циклы, но без нарушения связности графа. Остовное дерево включает в себя все n вершин исходного графа и содержит $n-1$ ребро.
+
+#### Построение с помощью обхода в глубину и в ширину
+
+Процедуры обхода графа в глубину и в ширину можно простым способом использовать для нахождения остовов. В обоих случаях достижение новой вершины графа $u$ из вершины $v$ вызывает "включение" в остовное дерево ребра $(u, v)$.
+
+```c++
+void Spisok::Depth_First_Search (Lref r)
+//Рекурсивный обход графа в глубину. r - указатель 
+//на структуру Вирта.
+{
+  Tref t;
+
+  t = (*r).Trail; cout<<(*r).Key; (*r).Flag = FALSE;
+  while (t!=NULL)
+  { if ((*(*t).Id).Flag) Depth_First_Search ((*t).Id); t = (*t).Next; }
+} 
+```
+
+```c++
+void Spisok::Ostov_Depth (Lref r)
+//Рекурсивный обход графа в глубину, соединенный с
+//нахождением ребра остовного дерева.
+//r - указатель на структуру Вирта.
+{
+  Tref t;
+  Lref s;
+
+  s = r;
+  t = (*r).Trail; (*r).Flag = FALSE;
+  while ( t != NULL )
+  { if ((*(*t).Id).Flag) 
+    { cout << "(" << s->Key << "," << t->Id->Key << ") ";
+      Ostov_Depth ((*t).Id);
+    }
+    t = (*t).Next; 
+  }
+}
+```
+
+### 4.2. Определение минимального остовного дерева
+
+> **Минимальное остовное дерево** (англ. *minimum spanning tree*) графа — это его ациклический связный подграф, в который входят все его вершины, обладающий минимальным суммарным весом ребер. Заметим, что граф может содержать несколько минимальных остовных деревьев.
+
+### 4.3. Теорема о разрезе. Доказательство
+
+#### Теорема о разрезе
+
+**Теорема Форда — Фалкерсо́на** — теорема о максимальном потоке в графе, тесно связанная с теоремой Менгера.
+Звучит так: величина максимального потока в графе путей равна величине пропускной способности его минимального разреза.
+
+*Доказательство:*
+
+**Достаточность**: любой поток между вершинами t и s меньше или равен величине любого сечения. Пусть дан некоторый поток и некоторое сечение. Величина данного потока складывается из величин «грузов», перевозимых по всем возможным путям из вершины t в s. Каждый такой путь обязан иметь общее ребро с данным сечением. Так как по каждому ребру сечения суммарно нельзя перевести «груза» больше, чем его пропускная способность, поэтому сумма всех грузов меньше или равна сумме всех пропускных способностей рёбер данного сечения. Утверждение доказано.
+
+Отсюда следует, что любой поток меньше или равен величине минимального сечения, а значит и максимальный поток меньше или равен величине минимального сечения.
+
+### 4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)
+
+#### Алгоритм Прима
+
+> **Алгоритм Прима** (англ. *Prim's algorithm*) — алгоритм поиска минимального остовного дерева (англ. minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе.
+
+#### Аналогия с алгоритмом Дейкстры
+
+Данный алгоритм очень похож на алгоритм Дейкстры. Будем последовательно строить поддерево $F$ ответа графе $G$, поддерживая приоритетную очередь $Q$ из вершин $G \setminus F$, в которой ключом для вершины $v$ является $\min(\omega(uv) (u \in V(F), (u, v) \in E(G)))$ — вес минимального ребра из вершин $F$ в вершины $G \setminus F$. Также для каждой вершины в очереди будем хранить $p(v)$ — вершину $u$, на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево $F$ поддерживается неявно, и его ребра — это пары $(v,p(v))$, где $v \in G \setminus {r} \setminus Q$, а $r$ — корень $F$. Изначально $F$ пусто и значения ключей у всех вершин равны $+\infty$. Выберём произвольную вершину $r$ и присвоим её ключу значение 0. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину $v$ из приоритетной очереди и релаксировать все ребра $(v, u)$, такие что $u \in Q$, выполняя при этом операцию $\rm decreaseKey$ над очередью и обновление $p(v)$. Ребро $(v,p(v))$ при этом добавляется к ответу.
+
+#### Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча
+
+Двоичная куча - $O(ElogV)$
+(Чтобы упростить операцию $\rm decreaseKey$ можно написать кучу на основе сбалансированного бинарного дерева поиска. Тогда просто удалим вершину и добавим ее обратно уже с новым ключом. Асимптотика таких преобразований $O(logn)$. Если же делать с бинарной кучей, то вместо операции $\rm decreaseKey$, будем всегда просто добавлять вершину с новым ключом, если из кучи достали вершину с ключом, значение которого больше чем у нее уже стоит, просто игнорировать. Вершин в куче будет не больше $2 \cdot n$, следовательно, операция $\rm extractMin$ будет выполняться за $O(log(\cdot n))$, что равно $O(logn)$. Максимальное количество вершин, которое мы сможем достать, равняется количеству ребер, то есть m, поэтому общая асимптотика составит $O(mlogn)$, что хорошо только на разреженных графах.)
+
+Фибоначчиева куча - $O(VlogV+E)$
+
+### 4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе
+
+Приведем еще раз теорему о разрезе:
+> Для любого разбиения множества вершин $V = A \cup B$, существует минимальный остов, содержащий $e$ – минимальное по весу ребро, проходящее через разрез $\langle A, B \rangle$
+
+Доказательство. Возьмём минимальный остов без $e$. Добавим $e$, получится цикл. Два ребра этого цикла проходят через разрез $\langle A, B \rangle$. Старое неменьше $e$, удалим его. Если же в процессе построения $\rm min$ остова уже известно подмножество рёбер будущего $\rm min$ остова, эти рёбра задают компоненты связности. Мы можем сжать компоненты в вершины и для конденсации применить лемму о разрезе.
+
+Следствие $X$ – подмножество рёбер некого минимального остова. Зафиксируем разрез $V = A \cup B$ такой, что все рёбра $X$ не пересекают разрез. Тогда $\exist$ минимальный остов, содержащий $X \cup \{e\}$, где $e$ – минимальное по весу ребро, проходящее через разрез $\langle A, B \rangle$.
+
+#### Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе
+
+Разрез – текущее множество $A$ и дополнение $V \setminus A$.
+
+### 4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы
+
+#### Алгоритм Краскала
+
+Будем последовательно строить подграф $F$ графа $G$ ("растущий лес"), пытаясь на каждом шаге достроить $F$ до некоторого $MST$. Начнем с того, что включим в $F$ все вершины графа $G$. Теперь будем обходить множество $E(G)$ в порядке неубывания весов ребер. Если очередное ребро $e$ соединяет вершины одной компоненты связности $F$, то добавление его в остов приведет к возникновению цикла в этой компоненте связности. В таком случае, очевидно, $e$ не может быть включено в $F$. Иначе $e$ соединяет разные компоненты связности $F$, тогда существует $\langle S, T \rangle$ разрез такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа — вторую. Тогда $e$ — минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из леммы о безопасном ребре следует, что $e$ является безопасным, поэтому добавим это ребро в $F$. На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности, полученный подграф будет минимальным остовным деревом графа $G$. Для проверки возможности добавления ребра используется система непересекающихся множеств.
+
+##### Доказательство корректности
+
+Обратимся к теореме о разрезе из Пункта 4.5
+Добавляем ребро $(a, b)$. Разрез – любой такой, что $(a, b)$ через него проходит.
+
+##### Оценка времени работы
+
+$O(ElogE)$.
+
+### 4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы
+
+### 4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство(полное). Оценка времени работы
+
+#### Алгоритм Борувки
+
+Алгоритм состоит из нескольких шагов:
+
+1. Изначально каждая вершина графа $G$ — тривиальное дерево, а ребра не принадлежат никакому дереву.
+2. Для каждого дерева $T$ найдем минимальное инцидентное ему ребро. Добавим все такие ребра.
+3. Повторяем шаг 2 пока в графе не останется только одно дерево $T$.
+
+Данный алгоритм может работать неправильно, если в графе есть ребра равные по весу. Например, полный граф из трех вершин, вес каждого ребра равен один. В $T$ могут быть добавлены все три ребра. Избежать эту проблему можно, например, выбирая в первом пункте среди ребер, равных по весу, ребро с наименьшим номером.
+
+**Доказательство:**
+
+Обратимся к теореме о разрезе из Пункта 4.5
+Рёбра, которые хочет добавить Борувка, разобьём на компоненты связности. Каждая компонента – дерево, рёбра компоненты будем добавлять по одному от корня к листьям. Добавляя
+очередное ребро ведущее в лист $v$, используем разрез $\langle \{v\}, V \setminus \{v\} \rangle$ и лемму о разрезе.
+
+##### Оценка времени работы
+
+На $i$-ой итерации внешнего цикла каждая компонента состоит как минимум из двух компонент из $(i−1)$-й итерации. Значит, на каждой итерации число компонент уменьшается как минимум в 2 раза. Тогда внешний цикл повторяется $O(logV)$ раз, так как количество компонент изначально равно количеству вершин. Что же касается внутреннего цикла, то он выполняется за $O(E)$, где $E$ — количество рёбер в исходном графе. Следовательно конечное время работы алгоритма $O(ElogV)$.
+
+### 4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева
+
+> **Алгоритм Кристофидеса** или **алгоритм Кристофидеса-Сердюкова** — это алгоритм поиска приближённых решений задачи коммивояжёра для случаев, когда расстояния образуют метрическое пространство (симметричны и удовлетворяют неравенству треугольника).
+ 
+Алгоритм является аппроксимационным алгоритмом, который гарантирует, что решения находятся в пределах 3/2 от длины оптимального решения. Алгоритм назван именем Никоса Кристофидеса и Анатолия Ивановича Сердюкова, которые независимо друг от друга нашли его в 1976, и он обладает лучшим аппроксимационным коэффициентом, который был доказан для задачи коммивояжёра на метрических пространствах общего вида, хотя известны лучшие приближения для некоторых специальных случаев.
+
+Пусть $G=(V,w)$ будет представителем задачи коммивояжёра. То есть $G$ является полным графом на множестве вершин $V$, а функция $w$ назначает неотрицательные вещественные веса каждому ребру графа $G$.
+Алгоритм можно описать на псевдокоде следующим образом:
+
+1. Создаём минимальное остовное дерев $T$ графа $G$.
+2. Пусть $O$ будет набором вершин с нечётными степенями в $T$. Согласно лемме о рукопожатиях, $O$ имеет чётное число вершин.
+3. Находим совершенное паросочетание $M$ минимального веса в порождённом подграфе, заданным вершинами из $O$.
+4. Комбинируем рёбра $M$ и $T$ с образованием связного мультиграфа $H$, в котором каждая вершина имеет чётную степень.
+5. Образуем эйлеров цикл в $H$.
+6. Преобразуем цикл, найденный на предыдущем шаге, в гамильтонов цикл путём пропуска повторяющихся вершин (сокращение).
+
+## 5. Потоки в сетях
+
+### 5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез
+
+#### Определение сети
+
+> **Сеть** (англ. *flow network*) представляет собой ориентированный граф, в котором каждое ребро имеет положительную пропускную способность (англ. *capacity*).
+
+#### Определение потока
+
+> **Потоком** (англ. *flow*) $f$ в $G$ является действительная функция $f: V \times V \rightarrow R$, удоволетворяющая условиям:
+
+1) $f(u,v) = −f(v,u)$ (антисимметричность)
+2) $f(u,v) \leq c(u,v)$ (ограничение пропускной способности), если ребра нет, то $f(u,v)=0$;
+3) $\Sigma v \cdot f(u,v) = 0$ для всех вершин $u$, кроме $s$ и $t$ (закон сохранения потока).
+
+> Величина потока $f$ определяется как $|f|=\Sigma v \in V \cdot f(s,v)$.
+
+#### Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа
+
+#### Определение разреза
+
+> $(s,t)$ - **разрезом** (англ. *s-t cut*) $\langle S,T \rangle$ в сети $G$ называется пара множеств $S$, $T$, удоволетворяющих условиям: $s \in S$,$t \in T$ и $S = V \setminus T$.
+
+#### Понятия потока через разрез
+
+> **Поток в разрезе** (англ. *flow in the cut*) $\langle S,T \rangle$ обозначается $f(S,T)$ и вычисляется по формуле: $f(S,T)= \Sigma u \in S \cdot \Sigma v \in T \cdot f(u,v)$.
+
+### 5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый
+
+$f(S,T) = f(S,V) − f(S,S) = f(S,V) = f(S \setminus s,V) + f(s,V) = f(s,V) = |f|$
+
+1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются: $f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)$
+2-е равенство выполняется из-за антисимметричности: $f(S,S)=−f(S,S)=0$
+3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм
+4-е равенство выполняется из-за сохранения потока
+
+### 5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока
+
+#### Понятие остаточной сети
+
+Если задана некоторая транспортная сеть $G$ и поток $f$, то **остаточная сеть** $G_f$ - это сеть, состоящая из ребер с пропускными способностями, указывающими, как могут меняться потоки через ребра $G$.
+
+#### Понятие дополняющего пути
+
+Для заданной транспортной сети и потока **дополняющим путем** (англ. *augmenting path*) является простой путь из истока в сток в остаточной сети.
+
+#### Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока
+
+В случае существования дополняющего пути поток можно увеличить.
+
+### 5.4. Теорема Форда-Фалкерсона
+
+> **Теорема Форда — Фалкерсо́на** — теорема о максимальном потоке в графе, тесно связанная с теоремой Менгера. Звучит так: величина максимального потока в графе путей равна величине пропускной способности его минимального разреза.
+
+### 5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго
+
+#### Алгоритм Форда-Фалкерсона
+
+Идея алгоритма заключается в следующем. Изначально величине потока присваивается значение 0: $f(u,v)=0$ для всех $u, v \in V$. Затем величина потока итеративно увеличивается посредством поиска увеличивающего пути (путь от источника $s$ к стоку $t$, вдоль которого можно послать ненулевой поток). В данной статье рассматривается алгоритм, осуществляющий этот поиск с помощью обхода в глубину (dfs). Процесс повторяется, пока можно найти увеличивающий путь.
+
+**Неформальное описание:**
+
+1. Обнуляем все потоки. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.
+2. В остаточной сети находим любой путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.
+3. Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
+    1. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью $c_{min}$.
+    2. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на $c_{min}$, а в противоположном ему — уменьшаем на $c_{min}$.
+    3. Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных (антипараллельных) им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.
+4. Возвращаемся на шаг 2.
+
+#### Поиск минимального разреза
+
+Алгоритм Форда-Фалкерсона использует поиск в ширину для нахождения увеличивающего пути в сети и постепенно увеличивает поток через этот путь, пока не будет достигнут максимальный поток. Затем алгоритм ищет минимальный разрез, основываясь на значении потока.
+
+### 5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается
+
+#### Алгоритм Эдмондса-Карпа
+
+> **Алгоритм Эдмондса-Карпа** является реализацией метода Форда-Фалкерсона, в которой в качестве дополняющего пути выбирается кратчайший по рёбрам путь в остаточной сети (длины всех рёбер равны 1).
+
+**Описание:**
+
+1. Положим все потоки равными нулю. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.
+2. В остаточной сети находим кратчайший путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.
+3. Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
+    1. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью $c_{min}$.
+    2. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на $c_{min}$, а в противоположном ему — уменьшаем на $c_{min}$.
+    3. Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.
+4. Возвращаемся на шаг 2.
+
+**Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшаетcя:**
+
+**Лемма:**
+
+> Кратчайшее расстояние от истока до каждой вершины не уменьшается с выполнением каждой итерации, т.е. $level_{i+1}[v] >= level_i[v]$, где нижний индекс обозначает номер фазы, перед которой взяты значения этих переменных.
+
+**Доказательство:**
+
+Зафиксируем произвольную фазу $i$ и произвольную вершину $v$ и рассмотрим любой кратчайший $s - v$ путь $P$ в сети $G^R_{i+1}$ (напомним, так мы обозначаем остаточную сеть, взятую перед выполнением $i+1$-ой фазы). Очевидно, длина пути $P$ равна $level_{i+1}[v]$.
+
+Заметим, что в остаточную сеть $G^R_{i+1}$ могут входить только рёбра из $G^R$, а также рёбра, обратные рёбрам из $G^R$ (это следует из определения остаточной сети). Рассмотрим два случая:
+
+Путь $P$ содержит только рёбра из $G^R$. Тогда, понятно, длина пути $P$ больше либо равна $level_i[v]$ (потому что $level_i[v]$ по определению — длина кратчайшего пути), что и означает выполнение неравенства. Путь $P$ содержит как минимум одно ребро, не содержащееся в $G^R$ (но обратное какому-то ребру из $G^R$). Рассмотрим первое такое ребро; пусть это будет ребро $(u,w)$. $s \rightarrow u \rightarrow w$
+
+Мы можем применить нашу лемму к вершине $u$, потому что она подпадает под первый случай; итак, мы получаем неравенство $level_{i+1}[u] >= level_i[u]$.
+
+Теперь заметим, что поскольку ребро $(u, w)$ появилось в остаточной сети только после выполнения $i$-ой фазы, то отсюда следует, что вдоль ребра $(w, u)$ был дополнительно пропущен какой-то поток; следовательно, ребро $(w, u)$ принадлежало слоистой сети перед $i$-ой фазой, а потому $level_i[u] = level_i[w] + 1$. Учтём, что по свойству кратчайших путей $level_{i+1}[w] = level_{i+1}[u] + 1$, и объединяя это равенство с двумя предыдущими неравенствами, получаем:
+$level_{i+1}[w] >= level_i[w] + 2$.
+
+Теперь мы можем применять те же самые рассуждения ко всему оставшемуся пути до $v$ (т.е. что каждое инвертированное ребро добавляет к $\rm level$ как минимум два), и в итоге получим требуемое неравенство.
+
+### 5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа
+
+Сложность алгоритма Эдмондса-Карпа равна $O(VE^2)$.
+
+### 5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства
+
+#### Слоистая сеть
+
+> **Слоистая сеть** — это сеть состоящая только из таких рёбер $(v, u)$ сети $G$, что $d(v) + 1 = d(u)$, где $d$ - расстояние от истока.
+
+#### Алгоритм Диница
+
+**Схема алгоритма:**
+
+1. Построить слоистую сеть по остаточной, если сток не достижим то завершить алгоритм
+2. Пустить блокирующий поток в слоистой сети
+3. Если алгоритм завершился, то в остаточной сети сток не достижим из истока, а значит не существует увеличивающего пути, следовательно найденный поток максимален.
+
+#### Оценка времени работы без доказательства
+
+Так как расстояние строго увеличивается количество итераций алгоритма = $O(V)$. В зависимости от выбора алгоритма поиска блокирующего потока время данного алгоритма может составить $O(VE^2), O(V^2E)$ или $O(V^3)$.
+
+## 6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу
+
+### 6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table
+
+#### RSQ и RMQ.
+Дан числовой массив: $A[0]$, $A[1]$, ..., $A[N−1$.$
+
+Нужно отвечать на запросы:
+
+- для данных $L$ и $R$ вычислить сумму $A[L] + ... + A[R−1]$;
+- (опционально) обновить элемент: $A[i] := x$.
+
+Операция — не обязательно сумма, а элементы — не обязательно числа.
+
+- Сумма $\rightarrow$ RSQ (range sum query)
+- Минимум $\rightarrow$ RMQ (range minimum query)
+
+### 6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня
+
+#### Дерево отрезков
+
+Дерево отрезков — это структура данных, которая позволяет эффективно (т.е. за асимптотику $O(log n)$) реализовать операции следующего вида: нахождение суммы/минимума элементов массива в заданном отрезке ($a[l ... r]$, где $l$ и $r$ поступают на вход алгоритма), при этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и изменение элементов на целом подотрезке массива (т.е. разрешается присвоить всем элементам $a[l ... r]$ какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число).
+
+Вообще, дерево отрезков — очень гибкая структура, и число задач, решаемых ей, теоретически неограниченно. Помимо приведённых выше видов операций с деревьями отрезков, также возможны и гораздо более сложные операции (см. раздел "Усложнённые версии дерева отрезков"). В частности, дерево отрезков легко обобщается на большие размерности: например, для решения задачи о поиске суммы/минимума в некотором подпрямоугольнике данной матрицы (правда, уже только за время $O(log^2 n)$).
+
+Важной особенностью деревьев отрезков является то, что они потребляют линейный объём памяти: стандартному дереву отрезков требуется порядка $4n$ элементов памяти для работы над массивом размера $n$.
+
+#### Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня
+
+В дереве отрезков обработка запросов может осуществляться как от листьев (bottom-up), так и от корня (top-down). Это связано с тем, как информация распространяется вдоль дерева при выполнении запросов.
+
+1. **Обработка запросов от листьев (Bottom-Up):**
+   - Идея заключается в том, что сначала вычисляются значения для листьев (первоначальные элементы массива), а затем эта информация постепенно передается вверх по дереву для расчета значений на более высоких уровнях.
+   - Когда поступает запрос на определенный отрезок, начинаются вычисления от соответствующих листьев. Затем результаты объединяются на более высоких уровнях дерева, пока не достигнется корень.
+   - Этот подход обеспечивает эффективность расчетов для запросов на отрезках.
+
+2. **Обработка запросов от корня (Top-Down):**
+   - Здесь запрос начинается с корня дерева, и информация передается вниз по дереву до тех пор, пока не достигнут нужные листья (или пока не выполнены условия запроса).
+   - Этот метод может быть полезен в случаях, когда запросы связаны с каким-то условием, которое позволяет пропускать некоторые поддеревья, не вычисляя их полностью.
+   - Позволяет оптимизировать запросы, если известно, что результаты на некоторых уровнях дерева не повлияют на результат запроса.
+
+Реализация обработки запросов от листьев или от корня зависит от конкретных требований задачи и структуры дерева отрезков. В некоторых случаях может быть полезно использовать комбинацию обоих методов для оптимизации производительности и удовлетворения специфических требований запросов.
+
+### 6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции
+
+#### Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.
+
+Напомним, что запрос обновления получает на вход индекс $i$ и значение $x$, и перестраивает дерево отрезков таким образом, чтобы оно соответствовало новому значению $A[i] := x$. Этот запрос должен также выполняться за время $O(log n)$.
+
+Это более простой запрос по сравнению с запросом подсчёта суммы. Дело в том, что элемент $A[i]$ участвует только в относительно небольшом числе вершин дерева отрезков: а именно, в $O(log n)$ вершинах — по одной с каждого уровня.
+
+Тогда понятно, что запрос обновления можно реализовать как рекурсивную функцию: ей передаётся текущая вершина дерева отрезков, и эта функция выполняет рекурсивный вызов от одного из двух своих сыновей (от того, который содержит позицию i в своём отрезке), а после этого — пересчитывает значение суммы в текущей вершине точно таким же образом, как мы это делали при построении дерева отрезков (т.е. как сумма значений по обоим сыновьям текущей вершины).
+
+```c++
+void update (int v, int tl, int tr, int pos, int new_val) {
+  if (tl == tr)
+    t[v] = new_val;
+  else {
+    int tm = (tl + tr) / 2;
+    if (pos <= tm)
+      update (v*2, tl, tm, pos, new_val);
+    else
+      update (v*2+1, tm+1, tr, pos, new_val);
+    t[v] = t[v*2] + t[v*2+1];
+  }
+}
+```
+
+#### Множественные операции
+
+Множественные операции в дереве отрезков относятся к расширенной концепции структуры данных "дерево отрезков", которая позволяет эффективно выполнять несколько операций на отрезках массива или последовательности данных. Обычно дерево отрезков предназначено для выполнения операций типа запроса на сумму, минимум, максимум на определенном подотрезке массива. Однако, при необходимости, можно расширить возможности дерева отрезков для поддержки нескольких операций.
+
+Примеры множественных операций в дереве отрезков могут включать в себя:
+
+1. **Сумма и обновление (Range Sum Query and Range Update):** Помимо запросов на сумму элементов на определенном отрезке, можно добавить операции обновления, изменяющие значения элементов на определенном отрезке.
+
+2. **Минимум/максимум и обновление (Range Minimum/Maximum Query and Range Update):** Поддержка запросов на поиск минимума или максимума на определенном отрезке, а также операций обновления значений элементов.
+
+3. **Подсчет количества элементов в диапазоне с заданным условием (Count Elements in Range with a Given Condition):** Дерево отрезков может быть настроено для подсчета количества элементов, удовлетворяющих определенному условию, на определенном отрезке.
+
+4. **Операции нахождения k-го порядкового статистического элемента (K-th Order Statistics Operations):** Поиск $k$-го минимального/максимального элемента на определенном отрезке.
+
+5. **Сложные агрегатные функции:** Различные агрегатные функции, такие как нахождение среднего значения, медианы и др., могут быть реализованы с использованием множественных операций.
+
+Реализация множественных операций требует изменений в структуре дерева отрезков и логике обработки запросов и обновлений. Это может потребовать более сложного кода, но в то же время предоставляет более широкий спектр возможностей для решения различных задач.
+
+### 6.4. LCA. Метод двоичного подъёма
+
+#### LCA
+
+Наименьший общий предок (нижайший общий предок) вершин $u$ и $v$ в корневом дереве $T$ — наиболее удалённая от корня дерева вершина, лежащая на обоих путях от $u$ и $v$ до корня, т. е. являющаяся предком обеих вершин. Общепринятое сокращение — $LCA$ от англ. *lowest (least) common ancestor*.
+
+#### Метод двоичного подъёма
+
+> **Метод двоичного подъёма** — один из самых простых методов для решения задачи LCA в online. Он не использует метод решения задачи RMQ и основан на методе динамического программирования.
+
+```c++
+function preprocess():
+     int[] p = dfs(0)
+     for i = 1 to n
+        dp[i][0] = p[i]
+     for j = 1 to log(n)
+        for i = 1 to n
+           dp[i][j] = dp[dp[i][j - 1]][j - 1]
+  
+  int lca(int v, int u):
+     if d[v] > d[u]
+        swap(v, u)
+     for i = log(n) downto 0
+        if d[dp[u][i]] - d[v] >= 0
+           u = dp[u][i]
+     if v == u
+        return v
+     for i = log(n) downto 0
+        if dp[v][i] != dp[u][i]
+           v = dp[v][i]
+           u = dp[u][i]
+     return p[v]
+```
+
+### 6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два
+
+#### Декартово дерево по неявному ключу
+
+Декартово дерево по неявному ключу - это структура данных, объединяющая свойства декартова дерева и быстрого массива (cartesian tree on implicit key). Декартово дерево основано на двух параметрах: приоритете (обычно случайном) и ключе элемента. В случае декартова дерева по неявному ключу, элементы упорядочены по порядку, заданному индексами массива.
+
+#### Интерфейс быстрого массива
+
+1. **Доступ к элементу в позиции i:**
+   - Так как элементы упорядочены по неявному ключу (порядковому номеру), доступ к элементу в позиции i выполняется, обращаясь к элементу с ключом i.
+
+2. **Вставка элемента в позицию i:**
+   - Вставка элемента в позицию i может быть выполнена путем создания нового узла с соответствующим приоритетом и неявным ключом i, затем соединения этого нового узла с существующими поддеревьями вокруг позиции i.
+
+3. **Удаление элемента из позиции i:**
+   - Удаление элемента из позиции i подразумевает разделение декартова дерева на два поддерева: одно до позиции i и второе после позиции i. Затем оба поддерева могут быть объединены, игнорируя узел с ключом i.
+
+Декартово дерево по неявному ключу обеспечивает эффективный доступ к элементам по индексу, а также эффективную вставку и удаление элементов, поддерживая при этом свойства декартова дерева.
+
+#### Конкатенация двух массивов
+
+Декартово дерево можно использовать для эффективной конкатенации двух массивов и разделения массива на две части, представляя массив в виде декартова дерева по неявному ключу.
+
+Для конкатенации двух массивов, представленных в виде декартова дерева, можно выполнить следующие шаги:
+
+1. Создать новый узел, который станет корнем нового дерева.
+2. Как корень нового дерева выбрать узел с максимальным приоритетом из обоих деревьев.
+3. Сделать корень дерева с максимальным приоритетом корнем нового дерева.
+4. Поддерево с меньшим приоритетом становится левым (или правым) поддеревом корня нового дерева.
+5. Рекурсивно повторить процесс для поддеревьев, соответствующих двум исходным деревьям.
+
+#### Разделение массива на два
+
+Для разделения массива на две части в декартовом дереве, можно воспользоваться тем фактом, что приоритеты узлов определяют порядок элементов. Мы ищем узел, чей неявный ключ соответствует индексу разделения.
+
+1. Выполняем поиск в декартовом дереве по индексу разделения.
+2. Получаем поддерево с корнем, у которого неявный ключ равен индексу разделения.
+3. Разделяем это поддерево на два: левое поддерево становится левой частью, а правое поддерево становится правой частью.

From f82496621f691ec8736d267324afd714a20af24a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Egor Ivanov <56685477+sibenshtern@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 7 Jan 2024 05:58:54 +0000
Subject: [PATCH 5/7] update theory

---
 doc/Theory.html | 1387 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 doc/Theory.md   |  279 +++++-----
 2 files changed, 1532 insertions(+), 134 deletions(-)
 create mode 100644 doc/Theory.html

diff --git a/doc/Theory.html b/doc/Theory.html
new file mode 100644
index 0000000..f40dda1
--- /dev/null
+++ b/doc/Theory.html
@@ -0,0 +1,1387 @@
+<!DOCTYPE html>
+    <html>
+    <head>
+        <meta charset="UTF-8">
+        <title>&Tcy;&iecy;&ocy;&rcy;&icy;&yacy; &pcy;&ocy; &acy;&lcy;&gcy;&ocy;&rcy;&icy;&tcy;&mcy;&acy;&mcy;</title>
+        <style>
+/* From extension vscode.github */
+/*---------------------------------------------------------------------------------------------
+ *  Copyright (c) Microsoft Corporation. All rights reserved.
+ *  Licensed under the MIT License. See License.txt in the project root for license information.
+ *--------------------------------------------------------------------------------------------*/
+
+.vscode-dark img[src$=\#gh-light-mode-only],
+.vscode-light img[src$=\#gh-dark-mode-only] {
+	display: none;
+}
+
+/* From extension ezrafree.markdown-preview */
+.vscode-body {
+  box-sizing: border-box;
+  margin: 0 auto;
+  max-width: 838px;
+  min-width: 320px;
+  padding: 20px 40px;
+}
+
+/* tables */
+
+.vscode-body table {
+  margin-bottom: 12px;
+}
+
+.vscode-body th,
+.vscode-body td {
+  border: 1px solid;
+}
+
+.vscode-body td {
+  vertical-align: top;
+}
+
+/* blockquotes */
+
+.vscode-body blockquote {
+  margin: 12px 0 12px 0 !important;
+  padding: 5px 16px 5px 10px !important;
+}
+
+.vscode-body blockquote p:last-child {
+  margin-bottom: 0;
+}
+
+/* checkboxes */
+
+.vscode-dark input.task-list-item-checkbox[type="checkbox"]:focus {
+  outline: 1px solid rgba(0, 0, 0, 0.2);
+}
+.vscode-light input.task-list-item-checkbox[type="checkbox"]:focus {
+  outline: 1px solid rgba(255, 255, 255, 0.2);
+}
+
+.vscode-body input.task-list-item-checkbox[type="checkbox"] {
+  background-color: var(--vscode-icon-foreground, #ddd);
+  border-radius: .14rem;
+  appearance: none;
+  -webkit-appearance: none;
+  -moz-appearance: none;
+  width: 1.2rem;
+  height: 1.2rem;
+  cursor: pointer;
+  position: relative;
+  top: .14rem;
+}
+
+.vscode-body input.task-list-item-checkbox[type="checkbox"]:checked {
+  background-color: var(--vscode-editorInfo-foreground, #409fd6);
+  background: var(--vscode-editorInfo-foreground, #409fd6)
+    url("data:image/gif;base64,R0lGODlhCwAKAIABAP////3cnSH5BAEKAAEALAAAAAALAAoAAAIUjH+AC73WHIsw0UCjglraO20PNhYAOw==")
+    3px 3px no-repeat;
+}
+
+.vscode-body input.task-list-item-checkbox[type="checkbox"]:disabled {
+  cursor: default;
+}
+
+/* kbd elements */
+
+.vscode-body kbd {
+  background-color: var(--vscode-editor-background, #444d56) !important;
+  border: solid 1px #5e6a77 !important;
+  border-radius: 3px !important;
+  border-bottom-color: #565c62 !important;
+  box-shadow: inset 0 -1px 0 rgb(0 0 0 / 33%),
+    inset 0 1px 0 #6f7e8d !important;
+  color: var(--vscode-editor-foreground, #fafbfc) !important;
+  padding: 5px 8px !important;
+  display: inline-block;
+  font: 11px "SFMono-Regular", Consolas, "Liberation Mono", Menlo, Courier, monospace;
+  line-height: 10px;
+  vertical-align: middle;
+}
+
+</style>
+        <link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex/dist/katex.min.css">
+<link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex-copytex@latest/dist/katex-copytex.min.css" rel="stylesheet" type="text/css">
+        <link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/gh/Microsoft/vscode/extensions/markdown-language-features/media/markdown.css">
+<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/gh/Microsoft/vscode/extensions/markdown-language-features/media/highlight.css">
+<style>
+            body {
+                font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'Segoe WPC', 'Segoe UI', system-ui, 'Ubuntu', 'Droid Sans', sans-serif;
+                font-size: 14px;
+                line-height: 1.6;
+            }
+        </style>
+        <style>
+.task-list-item {
+    list-style-type: none;
+}
+
+.task-list-item-checkbox {
+    margin-left: -20px;
+    vertical-align: middle;
+    pointer-events: none;
+}
+</style>
+        
+    </head>
+    <body class="vscode-body vscode-light">
+        <h1 id="теория-по-алгоритмам-">Теория по алгоритмам <!-- omit in $to$ c --></h1>
+<h2 id="содержание">Содержание</h2>
+<ul>
+<li><a href="#%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0%D0%BC-">Теория по алгоритмам </a>
+<ul>
+<li><a href="#%D1%81%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5">Содержание</a></li>
+<li><a href="#1-%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D1%8B-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B0">1. Обходы графа</a>
+<ul>
+<li><a href="#11-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84-%D0%BF%D1%81%D0%B5%D0%B2%D0%B4%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84-%D0%BF%D1%81%D0%B5%D0%B2%D0%B4%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%B2-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D1%81%D0%BB%D0%B0%D0%B1%D0%B0%D1%8F-%D0%B8-%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%B2-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D1%81%D0%BB%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84">Ориентированный граф</a></li>
+<li><a href="#%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84">Неориентированный граф</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#12-%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4-%D0%B2-%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83-%D1%86%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B0-%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0-%D0%B8-%D0%B2%D1%8B%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0-%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85-%D0%BF%D1%83%D1%82%D1%8F%D1%85-%D1%81-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%BC">1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4-%D0%B2-%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83">Обход в глубину</a></li>
+<li><a href="#%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85-%D0%BF%D1%83%D1%82%D1%8F%D1%85">Лемма о белых путях</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#13-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%B0-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%B2-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B8-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5-%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0">1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%B0-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B0">Проверка связности неориентированного графа</a></li>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%B2-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B8-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5">Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе</a></li>
+<li><a href="#%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0">Топологическая сортировка</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#14-%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82-%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B9%D1%8E-%D1%81-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%BC-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%86%D0%B8%D1%8F-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8C%D1%8F%D0%BD%D0%B0-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82-%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Нахождение компонент сильной связности</a></li>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B9%D1%8E-%D1%81-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%BC-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%86%D0%B8%D1%8F">Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция)</a></li>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8C%D1%8F%D0%BD%D0%B0-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#15-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2">1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Компоненты реберной двусвязности</a></li>
+<li><a href="#%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B">Мосты</a></li>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2">Поиск мостов</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#16-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8-%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BA-%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F">1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Компоненты вершинной двусвязности</a></li>
+<li><a href="#%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8-%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F">Точки сочленения</a></li>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BA-%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F">Поиск точек сочленения</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#17-%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4-%D0%B2-%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%83-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8-%D0%B2-%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BC-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B5">1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC">Волновой алгоритм</a></li>
+<li><a href="#%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4-%D0%B2-%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%83-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8-%D0%B2-%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BC-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B5">Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#18-%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9-%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B8-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%B2-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B8-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B8-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0">1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9-%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B8-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%B2-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5">Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе</a></li>
+<li><a href="#%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9-%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B8-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%B2-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5">Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе</a></li>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B8-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0">Поиск эйлерова пути и цикла</a></li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#2-%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B0">2. Планарность графа</a>
+<ul>
+<li><a href="#21-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%BD%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0-%D0%BA%D1%83%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%B2%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0">2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0">Формула Эйлера</a></li>
+<li><a href="#%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%BD%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0-%D0%BA%D1%83%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE">Теорема Портнягина-Куратовского</a></li>
+<li><a href="#%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%B2%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0">Теорема Вагнера</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#22-%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0">2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC">Гамма алгоритм</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#23-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0">2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0">Теорема о корректности Гамма алгоритма</a></li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#3-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B2%D0%BE-%D0%B2%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5">3. Кратчайшие пути во взвешенном графе</a>
+<ul>
+<li><a href="#31-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%81-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%BC-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B8%D1%85-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B5%D0%B9">3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B">Алгоритм Дейкстры</a></li>
+<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Доказательство корректности</a></li>
+<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B">Оценка времени работы</a></li>
+<li><a href="#%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B8%D1%85-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B5%D0%B9">Дерево кратчайших путей</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#32-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8B-%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB-piv--rhov-t">3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>p</mi><mi>i</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>r</mi><mi>h</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\\pi(v) = \\rho(v, t)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="mspace newline"></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace newline"></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8B">Потенциалы</a></li>
+<li><a href="#%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80">Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер</a></li>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB-piv--rhov-t">Потенциал <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>p</mi><mi>i</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>r</mi><mi>h</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\\pi(v) = \\rho(v, t)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="mspace newline"></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace newline"></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#33-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-a-%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B5-%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B0-%D1%8D%D0%B2%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D1%83-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D1%8B-%D1%8D%D0%B2%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA">3.3. Алгоритм A*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-a">Алгоритм A*</a></li>
+<li><a href="#%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D1%8B-%D1%8D%D0%B2%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA">Примеры эвристик</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#34-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0-%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B2-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B5-d_vk-%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE-%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B5%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B4%D0%BE-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D1%8B-v-%D0%B7%D0%B0-%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE-k-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80-%D0%BD%D0%B5-%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B5-k-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B">3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>D</mi><mi mathvariant="normal">_</mi><mrow><mi>v</mi><mi>k</mi></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D\_{vk}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0044em;vertical-align:-0.31em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="mord" style="margin-right:0.02778em;">_</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span></span> равно длине кратчайшего пути до вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> за ровно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> ребер (не более <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B5">Доказательство корректности(полное)</a></li>
+<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-1">Оценка времени работы</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#35-%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B4%D0%B5%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B2%D0%B5%D1%81%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0">3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8">Восстановление пути</a></li>
+<li><a href="#%D0%B4%D0%B5%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B2%D0%B5%D1%81%D0%B0">Детектирование цикла отрицательного веса</a></li>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0">Поиск самого цикла</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#36-%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B8%D1%85-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B5%D0%B9-%D1%81-%D1%83%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%BC-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B2%D0%B5%D1%81%D0%B0">3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса</a></li>
+<li><a href="#37-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%84%D0%BB%D0%BE%D0%B9%D0%B4%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%86%D0%B8%D1%8F-%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8">3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%84%D0%BB%D0%BE%D0%B9%D0%B4%D0%B0">Алгоритм Флойда</a></li>
+<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%86%D0%B8%D1%8F">Доказательство (концепция)</a></li>
+<li><a href="#%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-1">Восстановление пути</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#38-%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B2%D0%B5%D1%81%D0%B0">3.8. Нахождение цикла отрицательного веса</a></li>
+<li><a href="#39-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B6%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%84%D0%B8%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8F-%D0%B8-%D1%84%D0%B8%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0">3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B6%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0">Алгоритм Джонсона</a></li>
+<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%84%D0%B8%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8F-%D0%B8-%D1%84%D0%B8%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0">Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана</a></li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#4-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8C%D1%8F">4. Остовные деревья</a>
+<ul>
+<li><a href="#41-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E-%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0-%D0%B2-%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83-%D0%B8-%D0%B2-%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%83">4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE">Остовное дерево</a></li>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E-%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0-%D0%B2-%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83-%D0%B8-%D0%B2-%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%83">Построение с помощью обхода в глубину и в ширину</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#42-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0">4.2. Определение минимального остовного дерева</a></li>
+<li><a href="#43-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE">4.3. Теорема о разрезе. Доказательство</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5">Теорема о разрезе</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#44-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%BE%D0%BC-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9-%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8-%D1%81-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%BC-%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%BA%D1%83%D1%87%D0%B0-%D1%84%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%B0-%D0%BA%D1%83%D1%87%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0">4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B0">Алгоритм Прима</a></li>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%BE%D0%BC-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B">Аналогия с алгоритмом Дейкстры</a></li>
+<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9-%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8-%D1%81-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%BC-%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%BA%D1%83%D1%87%D0%B0-%D1%84%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%B0-%D0%BA%D1%83%D1%87%D0%B0">Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#45-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B-%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5">4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B-%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5">Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#46-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B">4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0">Алгоритм Краскала</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-1">Доказательство корректности</a></li>
+<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-2">Оценка времени работы</a></li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#47-%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B8%D1%85%D1%81%D1%8F-%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2-%D1%8D%D0%B2%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B2-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0-%D1%8D%D0%B2%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0-%D1%81%D0%B6%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D1%87%D1%82%D0%B8-%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8F-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B">4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы</a></li>
+<li><a href="#48-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%BA%D0%B8-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B">4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство(полное). Оценка времени работы</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%BA%D0%B8">Алгоритм Борувки</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-3">Оценка времени работы</a></li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#49-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%8F%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B0-%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E-%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0">4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#5-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B8-%D0%B2-%D1%81%D0%B5%D1%82%D1%8F%D1%85">5. Потоки в сетях</a>
+<ul>
+<li><a href="#51-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0-%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8-%D0%BA%D0%B8%D1%80%D1%85%D0%B3%D0%BE%D1%84%D0%B0-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0-%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7">5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8">Определение сети</a></li>
+<li><a href="#%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0">Определение потока</a></li>
+<li><a href="#%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8-%D0%BA%D0%B8%D1%80%D1%85%D0%B3%D0%BE%D1%84%D0%B0">Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа</a></li>
+<li><a href="#%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B0">Определение разреза</a></li>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0-%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7">Понятия потока через разрез</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#52-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0-%D1%87%D1%82%D0%BE-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA-%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7-%D0%BB%D1%8E%D0%B1%D0%BE%D0%B9-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7-%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B9">5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый</a></li>
+<li><a href="#53-%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8-%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5-%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8F%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%83%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F-%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8F%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0">5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8">Понятие остаточной сети</a></li>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5-%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8F%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8">Понятие дополняющего пути</a></li>
+<li><a href="#%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%83%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F-%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8F%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0">Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#54-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D1%84%D0%B0%D0%BB%D0%BA%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0">5.4. Теорема Форда-Фалкерсона</a></li>
+<li><a href="#55-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D1%84%D0%B0%D0%BB%D0%BA%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B0-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8-%D0%B2-%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BC-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%B5%D1%82-%D0%B4%D0%BE%D0%BB%D0%B3%D0%BE">5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D1%84%D0%B0%D0%BB%D0%BA%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0">Алгоритм Форда-Фалкерсона</a></li>
+<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B0">Поиск минимального разреза</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#56-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%8D%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D1%81%D0%B0-%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%BF%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D1%87%D1%82%D0%BE-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B5%D0%B5-%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B2-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B5-%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B0%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F">5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%8D%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D1%81%D0%B0-%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%BF%D0%B0">Алгоритм Эдмондса-Карпа</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#57-%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B0%D1%8F-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D1%8D%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D1%81%D0%B0-%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%BF%D0%B0">5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа</a></li>
+<li><a href="#58-%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%8F-%D1%81%D0%B5%D1%82%D1%8C-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0">5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%8F-%D1%81%D0%B5%D1%82%D1%8C">Слоистая сеть</a></li>
+<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0">Алгоритм Диница</a></li>
+<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0">Оценка времени работы без доказательства</a></li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#6-rmq-sparse-table-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2-lca-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BF%D0%BE-%D0%BD%D0%B5%D1%8F%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D1%83">6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу</a>
+<ul>
+<li><a href="#61-rsq-%D0%B8-rmq-sparse-table">6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table</a>
+<ul>
+<li><a href="#rsq-%D0%B8-rmq">RSQ и RMQ.</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#62-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D1%82-%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%8C%D0%B5%D0%B2-%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D1%82-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8F">6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2">Дерево отрезков</a></li>
+<li><a href="#%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D1%82-%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%8C%D0%B5%D0%B2-%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D1%82-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8F">Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#63-%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B2-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B5-%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2-%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8">6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B2-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B5-%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2">Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.</a></li>
+<li><a href="#%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8">Множественные операции</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#64-lca-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4-%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D1%91%D0%BC%D0%B0">6.4. LCA. Метод двоичного подъёма</a>
+<ul>
+<li><a href="#lca">LCA</a></li>
+<li><a href="#%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4-%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D1%91%D0%BC%D0%B0">Метод двоичного подъёма</a></li>
+</ul>
+</li>
+<li><a href="#65-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BF%D0%BE-%D0%BD%D0%B5%D1%8F%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D1%83-%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%84%D0%B5%D0%B9%D1%81-%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF-%D0%BA-%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83-%D0%B2-%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B8-i-%D0%B2%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0-%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0-%D0%B2-%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D0%B8%D1%8E-i-%D1%83%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0-%D0%B8%D0%B7-%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B8-i-%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%B2-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0-%D0%BD%D0%B0-%D0%B4%D0%B2%D0%B0">6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два</a>
+<ul>
+<li><a href="#%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BF%D0%BE-%D0%BD%D0%B5%D1%8F%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D1%83">Декартово дерево по неявному ключу</a></li>
+<li><a href="#%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%84%D0%B5%D0%B9%D1%81-%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0">Интерфейс быстрого массива</a></li>
+<li><a href="#%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%B2">Конкатенация двух массивов</a></li>
+<li><a href="#%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0-%D0%BD%D0%B0-%D0%B4%D0%B2%D0%B0">Разделение массива на два</a></li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+<h2 id="1-обходы-графа">1. Обходы графа</h2>
+<h3 id="11-ориентированный-граф-псевдограф-неориентированный-граф-псевдограф-связность-в-неориентированном-графе-компоненты-связности-слабая-и-сильная-связность-в-ориентированном-графе-компоненты-слабой-сильной-связности">1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности</h3>
+<h4 id="ориентированный-граф">Ориентированный граф</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Ориентированным графом</strong> (англ. <em>directed graph</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> называется пара <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G = (V, E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество вершин (англ. vertices), а <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi><mo>⊂</mo><mi>V</mi><mo>×</mo><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E \subset V \times V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">⊂</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество рёбер.</p>
+</blockquote>
+<blockquote>
+<p><strong>Псевдограф(<em>мультиорграф</em>)</strong> — это ориентированный граф, в котором разрешены кратные дуги, то есть дуги, имеющие те же начальные и конечные вершины.</p>
+</blockquote>
+<p><strong>Псевдографом</strong> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> называется упорядоченная пара <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G := (V, A)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, в которой <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество вершин, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span> — мультимножество упорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются дугами.</p>
+<blockquote>
+<p>Ориентированный граф называется <strong>слабо связным</strong>, если соответствующий неориентированный граф является связным;</p>
+</blockquote>
+<blockquote>
+<p>Ориентированный граф называется <strong>сильно связным</strong>, если всякая вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> достижима из любой другой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>;</p>
+</blockquote>
+<blockquote>
+<p><strong>Компонентой сильной связности</strong> ориентированного графа называется максимальный по включению сильно связный подграф. Другими словами, это подграф, любые две вершины которого принадлежат какому-либо циклу, и содержащий все такие циклы для своих вершин.</p>
+</blockquote>
+<blockquote>
+<p><strong>Компонентой слабой связности</strong> ориентированного графа называют его максимальный слабо связный подграф.</p>
+</blockquote>
+<h4 id="неориентированный-граф">Неориентированный граф</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Неориентированным графом</strong> (англ. <em>undirected graph</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> называется пара <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G = (V, E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество вершин, а <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi><mo>⊂</mo><mrow><mrow><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi></mrow><mo>:</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>V</mi></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E \subset {{v,u} : v,u \in V}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">⊂</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span></span> — множество рёбер.</p>
+</blockquote>
+<p>Формально, псевдографом (<em>мультифграфом</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> называется упорядоченная пара <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G := (V, E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, в которой <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество вершин, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span> — мультимножество неупорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются рёбрами.</p>
+<blockquote>
+<p>Неориентированный граф называется <em>связным</em>, если все его вершины достижимы из некоторой вершины (эквивалентно, из любой его вершины).</p>
+</blockquote>
+<blockquote>
+<p><strong>Компонентой связности</strong> неориентированного графа называется максимальный по включению связный подграф</p>
+</blockquote>
+<h3 id="12-обход-в-глубину-цвета-вершин-времена-входа-и-выхода-лемма-о-белых-путях-с-доказательством">1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)</h3>
+<h4 id="обход-в-глубину">Обход в глубину</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Обход в глубину</strong> (поиск в глубину, англ. <em>Depth-First Search</em>, <em>DFS</em>) — один из основных методов обхода графа, часто используемый для проверки связности, поиска цикла и компонент сильной связности и для топологической сортировки.</p>
+</blockquote>
+<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-meta">#<span class="hljs-keyword">include</span> <span class="hljs-string">&lt;vector&gt;</span></span>
+
+std::vector&lt;std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt;&gt; graph; <span class="hljs-comment">// граф</span>
+<span class="hljs-type">int</span> vertex_count; <span class="hljs-comment">// число вершин</span>
+
+std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; color; <span class="hljs-comment">// цвет вершины (0, 1, или 2)</span>
+
+std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; time_in, time_out; <span class="hljs-comment">// &quot;времена&quot; захода и выхода из вершины</span>
+<span class="hljs-type">int</span> dfs_timer = <span class="hljs-number">0</span>; <span class="hljs-comment">// &quot;таймер&quot; для определения времён</span>
+
+<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">dfs</span> <span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> vertex)</span> </span>{
+  time_in[vertex] = dfs_timer++;
+  color[vertex] = <span class="hljs-number">1</span>;
+  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> u : graph[vertex])
+    <span class="hljs-keyword">if</span> (color[u] == <span class="hljs-number">0</span>)
+      <span class="hljs-built_in">dfs</span>(u);
+  color[v] = <span class="hljs-number">2</span>;
+  time_out[v] = dfs_timer++;
+}
+</code></pre>
+<h4 id="лемма-о-белых-путях">Лемма о белых путях</h4>
+<blockquote>
+<p>Лемма: Не существует такого момента выполнения поиска в глубину, в который бы существовало ребро из черной вершины в белую.</p>
+</blockquote>
+<p><strong>Доказательство</strong>: Пусть в процессе выполнения процедуры DFS нашлось ребро из черной вершины  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в белую вершину u. Рассмотрим момент времени, когда мы запустили DFS(v). В этот момент вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> была перекрашена из белого в серый, а вершина u была белая. Далее в ходе выполнения алгоритма будет запущен DFS(u), поскольку обход в глубину обязан посетить все белые вершины, в которые есть ребро из v. По алгоритму вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> будет покрашена в черный цвет тогда, когда завершится обход всех вершин, достижимых из нее по одному ребру, кроме тех, что были рассмотрены раньше нее. Таким образом, вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> может стать черной только тогда, когда DFS выйдет из вершины u, и она будет покрашена в черный цвет. Получаем противоречие.</p>
+<h3 id="13-проверка-связности-неориентированного-графа-поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе-топологическая-сортировка">1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка</h3>
+<h4 id="проверка-связности-неориентированного-графа">Проверка связности неориентированного графа</h4>
+<p>Небольшая модификация алгоритма обхода в глубину, в которой будем возвращать количество посещенных вершин. Запустим такой <strong>DFS</strong> от некоторой вершины графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, если его результат равен <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span></span></span></span>, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен, иначе какие-то вершины остались непосещенными. Работает алгоритм за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>E</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(|V|+|E|)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mord">∣</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></p>
+<pre><code class="language-c++">std::vector&lt;std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt;&gt; graph; <span class="hljs-comment">// граф</span>
+
+<span class="hljs-comment">// visited — массив цветов вершин  </span>
+<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">int</span> <span class="hljs-title">dfs</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> vertex, std::vector&lt;<span class="hljs-type">bool</span>&gt; visited)</span>:              
+  int visitedVertices =</span> <span class="hljs-number">1</span>
+  visited[vertex] = <span class="hljs-literal">true</span> <span class="hljs-comment">// помечаем вершину как пройденную</span>
+  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">auto</span> u : graph[vertex]) <span class="hljs-comment">// проходим по смежным с u вершинам</span>
+    <span class="hljs-comment">// проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине</span>
+    <span class="hljs-keyword">if</span> (!visited[v])
+      visitedVertices += <span class="hljs-built_in">dfs</span>(v, visited)
+    <span class="hljs-keyword">return</span> visitedVertices
+</code></pre>
+<h4 id="поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе">Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе</h4>
+<p><em>Условие:</em></p>
+<p>Пусть дан ориентированный или неориентированный граф без петель и кратных рёбер. Требуется проверить, является ли он ациклическим, а если не является, то найти любой цикл.</p>
+<p><em>Решение:</em></p>
+<p>Произведём серию поисков в глубину в графе. Т.е. из каждой вершины, в которую мы ещё ни разу не приходили, запустим поиск в глубину, который при входе в вершину будет красить её в серый цвет, а при выходе - в чёрный. И если поиск в глубину пытается пойти в серую вершину, то это означает, что мы нашли цикл (если граф неориентированный, то случаи, когда поиск в глубину из какой-то вершины пытается пойти в предка, не считаются).</p>
+<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-meta">#<span class="hljs-keyword">include</span> <span class="hljs-string">&lt;iostream&gt;</span></span>
+<span class="hljs-meta">#<span class="hljs-keyword">include</span> <span class="hljs-string">&lt;vector&gt;</span></span>
+
+<span class="hljs-type">int</span> n;
+std::vector&lt;vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt;&gt; graph;
+std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; color;
+std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; parent;
+<span class="hljs-type">int</span> cycle_start, cycle_end;
+
+<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">bool</span> <span class="hljs-title">dfs</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> vertex)</span> </span>{
+  color[vertex] = <span class="hljs-number">1</span>;
+  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">size_t</span> i = <span class="hljs-number">0</span>; i &lt; graph[vertex].<span class="hljs-built_in">size</span>(); ++i) {
+    <span class="hljs-type">int</span> $to$  = graph[vertex][i];
+    <span class="hljs-keyword">if</span> (color[to] == <span class="hljs-number">0</span>) {
+      parent[to] = vertex;
+      <span class="hljs-keyword">if</span> (<span class="hljs-built_in">dfs</span>(to)) <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-literal">true</span>;
+    }
+    <span class="hljs-keyword">else</span> <span class="hljs-keyword">if</span> (color[to] == <span class="hljs-number">1</span>) {
+      cycle_end = vertex;
+      cycle_start = $to$ ;
+      <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-literal">true</span>;
+    }
+  }
+  color[vertex] = <span class="hljs-number">2</span>;
+  <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-literal">false</span>;
+}
+
+<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">int</span> <span class="hljs-title">main</span><span class="hljs-params">()</span> </span>{
+  <span class="hljs-comment">// чтение графа</span>
+
+  parent.<span class="hljs-built_in">assign</span>(n, <span class="hljs-number">-1</span>);
+  color.<span class="hljs-built_in">assign</span>(n, <span class="hljs-number">0</span>);
+  cycle_start = <span class="hljs-number">-1</span>;
+  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> i = <span class="hljs-number">0</span>; i &lt; n; ++i)
+    <span class="hljs-keyword">if</span> (<span class="hljs-built_in">dfs</span>(i))
+      <span class="hljs-keyword">break</span>;
+
+  <span class="hljs-keyword">if</span> (cycle_st == <span class="hljs-number">-1</span>)
+    std::cout &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;Acyclic&quot;</span> &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;\n&quot;</span>;
+  <span class="hljs-keyword">else</span> {
+    std::cout &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;Cyclic&quot;</span> &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;\n&quot;</span>;
+    std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; cycle;
+    cycle.<span class="hljs-built_in">push_back</span>(cycle_start);
+    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> vertex = cycle_end; vertex != cycle_start; vertex = parent[vertex])
+      cycle.<span class="hljs-built_in">push_back</span>(vertex);
+    cycle.<span class="hljs-built_in">push_back</span>(cycle_start);
+    <span class="hljs-built_in">reverse</span>(cycle.<span class="hljs-built_in">begin</span>(), cycle.<span class="hljs-built_in">end</span>());
+    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">size_t</span> i = <span class="hljs-number">0</span>; i &lt; cycle.<span class="hljs-built_in">size</span>(); ++i)
+      std::cout &lt;&lt; cycle[i]+<span class="hljs-number">1</span> &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot; &quot;</span>;
+  }
+}
+</code></pre>
+<h4 id="топологическая-сортировка">Топологическая сортировка</h4>
+<p><em>Условие:</em>
+Дан ориентированный граф с n вершинами и m рёбрами. Требуется перенумеровать его вершины таким образом, чтобы каждое рёбро вело из вершины с меньшим номером в вершину с большим. Иными словами, требуется найти перестановку вершин (топологический порядок), соответствующую порядку, задаваемому всеми рёбрами графа.
+(<strong>Топологическая сортировка</strong> - упорядочивание вершин ациклического ориентированного графа согласно частичному порядку, заданному ребрами орграфа на множестве его вершин.)
+Топологическая сортировка может быть не единственной (например, если граф — пустой; или если есть три такие вершины <code>a</code>, <code>b</code>, <code>c</code>, что из <code>a</code> есть пути в <code>b</code> и в <code>c</code>, но ни из <code>b</code> в <code>c</code>, ни из <code>c</code> в <code>b</code> добраться нельзя).</p>
+<p>Топологической сортировки может не существовать вовсе — если граф содержит циклы (поскольку при этом возникает противоречие: есть путь и из одной вершины в другую, и наоборот).</p>
+<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-meta">#<span class="hljs-keyword">include</span> <span class="hljs-string">&lt;vector&gt;</span></span>
+
+<span class="hljs-type">int</span> n; <span class="hljs-comment">// число вершин</span>
+std::vector&lt;std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt;&gt; graph; <span class="hljs-comment">// граф</span>
+std::vector&lt;<span class="hljs-type">bool</span>&gt; visited;
+std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; $to$ pological_sort;
+
+<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">dfs</span> <span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> vertex)</span> </span>{
+  visited[vertex] = <span class="hljs-literal">true</span>;
+  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> u : graph[vertex])
+    <span class="hljs-keyword">if</span> (!visited[u] == <span class="hljs-number">0</span>)
+      <span class="hljs-built_in">dfs</span>(u);
+  $to$ pological_sort.<span class="hljs-built_in">push_back</span>(vertex);
+}
+
+<span class="hljs-type">void</span> $to$ <span class="hljs-built_in">pological_sort</span>() {
+  visited.<span class="hljs-built_in">assign</span>(n, <span class="hljs-literal">false</span>);
+  answer.<span class="hljs-built_in">clear</span>();
+  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> i = <span class="hljs-number">0</span>; i &lt; n; ++i)
+    <span class="hljs-keyword">if</span> (!visited[i])
+      <span class="hljs-built_in">dfs</span>(i);
+  <span class="hljs-built_in">reverse</span>(answer.<span class="hljs-built_in">begin</span>(), answer.<span class="hljs-built_in">end</span>());
+}
+</code></pre>
+<h3 id="14-нахождение-компонент-сильной-связности-алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция-алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности">1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности</h3>
+<h4 id="нахождение-компонент-сильной-связности">Нахождение компонент сильной связности</h4>
+<p><em>Условие:</em></p>
+<p>Дан ориентированный граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, множество вершин которого <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> и множество рёбер — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span>. Петли и кратные рёбра допускаются. Обозначим через <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> количество вершин графа, через <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>m</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">m</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span></span></span></span> — количество рёбер.</p>
+<p><em>Решение:</em></p>
+<p>Напомним, что <strong>компонентой сильной связности</strong> (<em>strongly connected component</em>) называется такое (максимальное по включению) подмножество вершин $C4, что любые две вершины этого подмножества достижимы друг из друга, т.е. для любых $u,  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> \in C: u \rightarrow v,  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> \rightarrow u$, где символом <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>→</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rightarrow</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.3669em;"></span><span class="mrel">→</span></span></span></span> здесь и далее мы будем обозначать достижимость, т.е. существование пути из первой вершины во вторую. Понятно, что компоненты сильной связности для данного графа не пересекаются, т.е. фактически это разбиение всех вершин графа. Отсюда логично определение конденсации G как графа, получаемого из данного графа сжатием каждой компоненты сильной связности в одну вершину. Каждой вершине графа конденсации соответствует компонента сильной связности графа G, а ориентированное ребро между двумя вершинами <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>C</mi><mi>i</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C_i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>C</mi><mi>j</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C_j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> графа конденсации проводится, если найдётся пара вершин u из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>C</mi><mi>i</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C_i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>C</mi><mi>j</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C_j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, между которыми существовало ребро в исходном графе, т.е. <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(u, v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span>.</p>
+<p>Важнейшим свойством графа конденсации является то, что он ацикличен. Действительно, предположим, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>C</mi><mo>→</mo><msup><mi>C</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C \rightarrow C&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, докажем, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>C</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup><mo>↦</mo><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C&#x27; \mapsto C</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7629em;vertical-align:-0.011em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">↦</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span></span></span></span>. Из определения конденсации получаем, что найдутся две вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>C</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>→</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u \rightarrow v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Доказывать будем от противного, т.е. предположим, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>C</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup><mo>→</mo><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C&#x27; \rightarrow C</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span></span></span></span>, тогда найдутся две вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>u</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>v</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>C</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>v</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup><mo>→</mo><msup><mi>u</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v&#x27; \rightarrow u&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>. Но т.к. <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>u</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> находятся в одной компоненте сильной связности, то между ними есть путь; аналогично для <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>v</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>. В итоге, объединяя пути, получаем, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>→</mo><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v \rightarrow u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, и одновременно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>→</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u \rightarrow v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Следовательно, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> должны принадлежать одной компоненте сильной связности, т.е. получили противоречие, что и требовалось доказать</p>
+<h4 id="алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция">Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция)</h4>
+<p>Алгоритм Косарайю предназначен для поиска компонент сильной связности в ориентированном графе и состоит из трёх шагов:</p>
+<ol>
+<li>
+<p>Выполнить поиск в глубину (DFS), пока не будут «помечены» все вершины. Вершина считается «помеченной», когда ей присвоено время выхода из рекурсии (см. основные понятия).</p>
+</li>
+<li>
+<p>Инвертировать исходный граф</p>
+</li>
+<li>
+<p>Выполнить DFS в порядке убывания пометок вершин.</p>
+</li>
+</ol>
+<p>Полученные деревья каждого такта DFS последнего шага являются компонентами сильной связности</p>
+<p><strong>Доказательство корректности алгоритма:</strong></p>
+<p>Немного уточним, что требуется доказать: Вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> сильно связаны <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>⇔</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Leftrightarrow</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.3669em;"></span><span class="mrel">⇔</span></span></span></span> после выполнения алгоритма они принадлежат одному дереву такта DFS.</p>
+<p>Если вершины u и  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> были сильно связаны в графе <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, на третьем этапе будет найден путь из одной вершины в другую (по Лемме (Инвертирование рёбер цикла не влияет на его цикличность)), так как на первом шаге был найден путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>→</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u \rightarrow v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, а на третьем - путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>→</mo><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v \rightarrow u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>. Это означает, что по окончании алгоритма обе вершины лежат в одном дереве.</p>
+<p>Вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> лежат в одном и том же дереве поиска в глубину на третьем шаге алгоритма. Значит, они обе достижимы из корня <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> этого дерева.</p>
+<p>Вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> была рассмотрена на 3 шаге раньше всех, значит время выхода из неё на 1 шаге больше, чем время выхода из вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Из этого мы получаем 2 случая:</p>
+<p>Обе эти вершины были достижимы из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> в исходном графе. Это означает сильную связность вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> и сильную связность вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> (по Лемме 3). Склеивая пути мы получаем связность вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> (по Лемме 1)</p>
+<p>Хотя бы одна вершина не достижима из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> в исходном графе, например <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Значит и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> была не достижима из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в исходном графе, так как время выхода из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> — больше (если бы она была достижима, то время выхода из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> было бы больше, чем из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span>, просмотрите ещё раз первый шаг примера). Значит между этими вершинами нет пути (ни в исходном, ни в инвертированном графах), но последнего быть не может, потому что по условию  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> достижима из r на 3 шаге (в инвертированном графе)</p>
+<p>Значит, из случая 1 и не существования случая 2 получаем, что вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> сильно связаны в обоих графах</p>
+<h4 id="алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности">Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности</h4>
+<p>Основой для алгоритма является структура данных &quot;Система непересекающихся множеств&quot;, которая и была изобретена Тарьяном (Tarjan).</p>
+<p>Алгоритм фактически представляет собой обход в глубину из корня дерева, в процессе которого постепенно находятся ответы на запросы. А именно, ответ на запрос <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> находится, когда обход в глубину находится в вершине <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, а вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> уже была посещена, или наоборот.</p>
+<p>Итак, пусть обход в глубину находится в вершине <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> (и уже были выполнены переходы в её сыновей), и оказалось, что для какого-то запроса <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> вершина u уже была посещена обходом в глубину. Научимся тогда находить <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mi>C</mi><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">LCA</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span> этих двух вершин.</p>
+<p>Заметим, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mi>C</mi><mi>A</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">LCA(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> является либо самой вершиной <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, либо одним из её предков. Получается, нам надо найти самую нижнюю вершину среди предков <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> (включая её саму), для которой вершина u является потомком. Заметим, что при фиксированном <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> по такому признаку (т.е. какой наименьший предок <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> является и предком какой-то вершины) вершины дерева дерева распадаются на совокупность непересекающихся классов. Для каждого предка <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo mathvariant="normal">≠</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p \neq v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel"><span class="mrel"><span class="mord vbox"><span class="thinbox"><span class="rlap"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="inner"><span class="mord"><span class="mrel"></span></span></span><span class="fix"></span></span></span></span></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> её класс содержит саму эту вершину, а также все поддеревья с корнями в тех её сыновьях, которые лежат &quot;слева&quot; от пути до <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> (т.е. которые были обработаны ранее, чем была достигнута <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>).</p>
+<p>Нам надо научиться эффективно поддерживать все эти классы, для чего мы и применим структуру данных &quot;Система непересекающихся множеств&quot;. Каждому классу будет соответствовать в этой структуре множество, причём для представителя этого множества мы определим величину <strong>ANCESTOR</strong> — ту вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span></span></span></span>, которая и образует этот класс.</p>
+<p>Рассмотрим подробно реализацию обхода в глубину. Пусть мы стоим в некоторой вершине <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Поместим её в отдельный класс в структуре непересекающихся множеств, <strong>ANCESTOR</strong>[v] = <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Как обычно в обходе в глубину, перебираем все исходящие рёбра $(v, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> )$. Для каждого такого <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> мы сначала должны вызвать обход в глубину из этой вершины, а потом добавить эту вершину со всем её поддеревом в класс вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Это реализуется операцией <strong>Union</strong> структуры данных &quot;система непересекающихся множеств&quot;, с последующей установкой <strong>ANCESTOR</strong> = <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> для представителя множества (т.к. после объединения представитель класса мог измениться). Наконец, после обработки всех рёбер мы перебираем все запросы вида <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, и если u была помечена как посещённая обходом в глубину, то ответом на этот запрос будет вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mi>C</mi><mi>A</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">LCA(v,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> = <strong>ANCESTOR</strong>[FindSet(u)]. Нетрудно заметить, что для каждого запроса это условие (что одна вершина запроса является текущей, а другая была посещена ранее) выполнится ровно один раз.</p>
+<p>Оценим асимптотику. Она складывается из нескольких частей. Во-первых, это асимптотика обхода в глубину, которая в данном случае составляет <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Во-вторых, это операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> операций. В-третьих, это для каждого запроса проверка условия (два раза на запрос) и определение результата (один раз на запрос), каждое, опять же, для всех разумных n выполняется за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Итоговая асимптотика получается <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(n + m)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, что означает для достаточно больших <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>m</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">m</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span></span></span></span> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>=</mo><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(n = O(m))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mclose">))</span></span></span></span> ответ за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> на один запрос</p>
+<h3 id="15-компоненты-реберной-двусвязности-мосты-поиск-мостов">1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов</h3>
+<h4 id="компоненты-реберной-двусвязности">Компоненты реберной двусвязности</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Компонентами рёберной двусвязности</strong> (англ. <em>costal doubly-linked components</em>) графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности рёберной двусвязности, а множества рёбер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.</p>
+</blockquote>
+<h4 id="мосты">Мосты</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Мостом</strong> называется такое ребро, удаление которого делает граф несвязным (или, точнее, увеличивает число компонент связности).</p>
+</blockquote>
+<h4 id="поиск-мостов">Поиск мостов</h4>
+<ul>
+<li>
+<p>Алгоритм:
+Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через <strong>root</strong>. Заметим следующий факт (который несложно доказать):</p>
+<p>Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Тогда, если текущее ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> таково, что из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в вершину  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> или какого-либо её предка, то это ребро является мостом. В противном случае оно мостом не является. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> , кроме как спуск по ребру <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> дерева обхода в глубину.)
+Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся &quot;временами входа в вершину&quot;, вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.</p>
+<p>Итак, пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> — это время захода поиска в глубину в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Теперь введём массив <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, который и позволит нам отвечать на вышеописанные запросы. Время <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> равно минимуму из времени захода в саму вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, времён захода в каждую вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span></span></span></span>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, p)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, а также из всех значений <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> для каждой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> , являющейся непосредственным сыном <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в дереве поиска:</p>
+<p><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>min</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo separator="true">,</mo><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v] = \min(tin[v], tin[p], fup(to))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mop">min</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">]</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">))</span></span></span></span> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, p)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> - back edge, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> - tree edge (здесь &quot;back edge&quot; — обратное ребро, &quot;tree edge&quot; — ребро дерева)</p>
+<p>Тогда, из вершины  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> или её потомка есть обратное ребро в её предка тогда и только тогда, когда найдётся такой сын <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> , что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>≤</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] \leq tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≤</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>. (Если <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] = tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, то это означает, что найдётся обратное ребро, приходящее точно в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>; если же <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&lt;</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] &lt; tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, то это означает наличие обратного ребра в какого-либо предка вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>.)</p>
+<p>Таким образом, если для текущего ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> (принадлежащего дереву поиска) выполняется <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&gt;</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] &gt; tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, то это ребро является мостом; в противном случае оно мостом не является.</p>
+</li>
+</ul>
+<h3 id="16-компоненты-вершинной-двусвязности-точки-сочленения-поиск-точек-сочленения">1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения</h3>
+<h4 id="компоненты-вершинной-двусвязности">Компоненты вершинной двусвязности</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Компонентами вершинной двусвязности</strong> графа, называют его подграфы, множества ребер которых — классы эквивалентности вершинной двусвязности, а множества вершин — множества всевозможных концов ребер из соответствующих классов.</p>
+</blockquote>
+<h4 id="точки-сочленения">Точки сочленения</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Точкой сочленения</strong> называется вершина, при удалении которой связный неориентированный граф становится несвязным.</p>
+</blockquote>
+<h4 id="поиск-точек-сочленения">Поиск точек сочленения</h4>
+<ul>
+<li>
+<p>Алгоритм:
+Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span>. Заметим следующий факт (который несложно доказать):</p>
+<p>Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo mathvariant="normal">≠</mo><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v \neq root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel"><span class="mrel"><span class="mord vbox"><span class="thinbox"><span class="rlap"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="inner"><span class="mord"><span class="mrel"></span></span></span><span class="fix"></span></span></span></span></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span>. Тогда, если текущее ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> таково, что из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span>  и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в какого-либо предка вершины v, то вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> является точкой сочленения. В противном случае, т.е. если обход в глубину просмотрел все рёбра из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, и не нашёл удовлетворяющего вышеописанным условиям ребра, то вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> не является точкой сочленения. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> )
+Рассмотрим теперь оставшийся случай:  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v = root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span>. Тогда эта вершина является точкой сочленения тогда и только тогда, когда эта вершина имеет более одного сына в дереве обхода в глубину. (В самом деле, это означает, что, пройдя из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span> по произвольному ребру, мы не смогли обойти весь граф, откуда сразу следует, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span> — точка сочленения).
+(Ср. формулировку этого критерия с формулировкой критерия для алгоритма поиска мостов.)</p>
+<p>Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся &quot;временами входа в вершину&quot;, вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.</p>
+<p>Итак, пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> — это время захода поиска в глубину в вершину v. Теперь введём массив <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, который и позволит нам отвечать на вышеописанные запросы. Время <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> равно минимуму из времени захода в саму вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, времён захода в каждую вершину p, являющуюся концом некоторого обратного ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, p)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, а также из всех значений <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> для каждой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> , являющейся непосредственным сыном  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в дереве поиска:</p>
+<p><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>min</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo separator="true">,</mo><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v] = \min(tin[v], tin[p], fup(to))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mop">min</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">]</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">))</span></span></span></span> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, p)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> - back edge, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> - tree edge (здесь &quot;back edge&quot; — обратное ребро, &quot;tree edge&quot; — ребро дерева)</p>
+<p>Тогда, из вершины  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> или её потомка есть обратное ребро в её предка тогда и только тогда, когда найдётся такой сын <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> , что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&lt;</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] &lt; tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>.</p>
+<p>Таким образом, если для текущего ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> (принадлежащего дереву поиска) выполняется <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>≥</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] \geq tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≥</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, то вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> является точкой сочленения. Для начальной вершины  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v = root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span> критерий другой: для этой вершины надо посчитать число непосредственных сыновей в дереве обхода в глубину.</p>
+</li>
+</ul>
+<h3 id="17-волновой-алгоритм-обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме">1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)</h3>
+<h4 id="волновой-алгоритм">Волновой алгоритм</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Алгоритм волновой трассировки</strong> (<em>волновой алгоритм</em>) — алгоритм поиска пути, алгоритм поиска кратчайшего пути на планарном графе. Принадлежит к алгоритмам, основанным на методах поиска в ширину.</p>
+</blockquote>
+<p>Алгоритм предназначен для поиска кратчайшего пути от стартовой ячейки к конечной ячейке, если это возможно, либо, при отсутствии пути, выдать сообщение о непроходимости.</p>
+<p>Работа алгоритма включает в себя три этапа: инициализацию, распространение волны и восстановление пути.</p>
+<p>Инициализация</p>
+<pre><code class="language-c">Пометить стартовую ячейку 
+d := <span class="hljs-number">0</span> 
+</code></pre>
+<p>Распространение волны</p>
+<pre><code class="language-c">ЦИКЛ
+  ДЛЯ каждой ячейки loc, помеченной числом d
+    пометить все соседние свободные непомеченные ячейки числом d + <span class="hljs-number">1</span>
+  КЦ
+  d := d + <span class="hljs-number">1</span>
+ПОКА (финишная ячейка не помечена) И (есть возможность распространения волны) 
+</code></pre>
+<p>Восстановление пути</p>
+<pre><code class="language-c">ЕСЛИ финишная ячейка помечена
+ТО
+  перейти в финишную ячейку
+  ЦИКЛ
+    выбрать среди соседних ячейку, помеченную числом на <span class="hljs-number">1</span> меньше числа в текущей ячейке
+    перейти в выбранную ячейку и добавить её к пути
+  ПОКА текущая ячейка — не стартовая
+  ВОЗВРАТ путь найден
+ИНАЧЕ
+  ВОЗВРАТ путь не найден
+</code></pre>
+<h4 id="обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме">Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Поиск в ширину</strong> (англ. <em>breadth-first search</em>) — один из основных алгоритмов на графах, позволяющий находить все кратчайшие пути от заданной вершины и решать многие другие задачи.</p>
+</blockquote>
+<ul>
+<li>
+<p>Описание алгоритма
+На вход алгоритма подаётся невзвешенный граф и номер стартовой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>. Граф может быть как ориентированным, так и неориентированным — для алгоритма это не важно.</p>
+<p>Основную идею алгоритма можно понимать как процесс «поджигания» графа: на нулевом шаге мы поджигаем вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>, а на каждом следующем шаге огонь с каждой уже горящей вершины перекидывается на всех её соседей, в конечном счете поджигая весь граф.</p>
+<p>Если моделировать этот процесс, то за каждую итерацию алгоритма будет происходить расширение «кольца огня» в ширину на единицу. Номер шага, на котором вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> начинает гореть, в точности равен длине её минимального пути из вершины s.</p>
+</li>
+</ul>
+<pre><code class="language-c++">std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; graph;
+
+<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">bfs</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> s)</span> </span>{
+    std::queue&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; queue;
+    queue.<span class="hljs-built_in">push</span>(s);
+    
+    <span class="hljs-function">std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; <span class="hljs-title">depth</span><span class="hljs-params">(n, <span class="hljs-number">-1</span>)</span>, <span class="hljs-title">parent</span><span class="hljs-params">(n)</span></span>;
+    depth[s] = <span class="hljs-number">0</span>;
+    
+    <span class="hljs-keyword">while</span> (!queue.<span class="hljs-built_in">empty</span>()) {
+        <span class="hljs-type">int</span> vertex = queue.<span class="hljs-built_in">front</span>();
+        queue.<span class="hljs-built_in">pop</span>();
+        <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> u : g[vertex]) {
+            <span class="hljs-keyword">if</span> (depth[u] == <span class="hljs-number">-1</span>) {
+                queue.<span class="hljs-built_in">push</span>(u);
+                depth[u] = depth[vertex] + <span class="hljs-number">1</span>;
+                parent[u] = vertex;
+            }
+        }
+    }
+} 
+</code></pre>
+<p>Теперь, чтобы восстановить кратчайший путь до какой-то вершины v, это можно сделать через массив p:</p>
+<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-keyword">while</span> (v != s) {
+    std::cout &lt;&lt; v &lt;&lt; endl;
+    v = p[v];
+}
+</code></pre>
+<p>Обратим внимание, что путь выведется в обратном порядке.</p>
+<h3 id="18-критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-и-неориентированном-графе-поиск-эйлерова-пути-и-цикла">1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла</h3>
+<h4 id="критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-неориентированном-графе">Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе</h4>
+<ul>
+<li>
+<p>Согласно теореме, доказанной Эйлером, эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда</p>
+<ol>
+<li>Граф связный или будет являться связным, если удалить из него все изолированные вершины.</li>
+<li>В нём отсутствуют вершины нечётной степени.</li>
+</ol>
+</li>
+<li>
+<p>Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда</p>
+<ol>
+<li>Граф связный</li>
+<li>Содержит не более двух вершин нечётной степени. Ввиду леммы о рукопожатиях, число вершин с нечётной степенью должно быть чётным. А значит эйлеров путь существует только тогда, когда это число равно нулю или двум. Причём, когда оно равно нулю, эйлеров путь вырождается в эйлеров цикл.</li>
+</ol>
+</li>
+</ul>
+<h4 id="критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-графе">Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе</h4>
+<ul>
+<li>В ориентированном графе <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G = (V, E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> существует эйлеров цикл тогда и только тогда, когда:
+<ol>
+<li>Входная степень любой вершины равна ее выходной степени.</li>
+<li>Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.</li>
+</ol>
+</li>
+<li>В ориентированном графе <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G = (V, E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> существует эйлеров путь если:
+<ol>
+<li>Входная степень любой вершины равна ее выходной степени, кроме двух вершин графа, для одной из которых (deg+) − (deg−) = 1, а для другой (deg+) − (deg−) = −1 .</li>
+<li>Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.</li>
+</ol>
+</li>
+</ul>
+<h4 id="поиск-эйлерова-пути-и-цикла">Поиск эйлерова пути и цикла</h4>
+<ul>
+<li>
+<p>Поиск эйлерова пути в графе
+Можно всегда свести задачу поиска эйлерова пути к задаче поиска эйлерова цикла. Действительно, предположим, что эйлерова цикла не существует, а эйлеров путь существует. Тогда в графе будет ровно 2 вершины нечётной степени. Соединим эти вершины ребром, и получим граф, в котором все вершины чётной степени, и эйлеров цикл в нём существует. Найдём в этом графе эйлеров цикл (алгоритмом, описанным ниже), а затем удалим из ответа несуществующее ребро.</p>
+</li>
+<li>
+<p>Поиск эйлерова цикла в графе
+Будем рассматривать самый общий случай — случай ориентированного мультиграфа, возможно, с петлями. Также мы предполагаем, что эйлеров цикл в графе существует (и состоит хотя бы из одной вершины). Для поиска эйлерова цикла воспользуемся тем, что эйлеров цикл — это объединение всех простых циклов графа. Следовательно, наша задача — эффективно найти все циклы и эффективно объединить их в один.</p>
+<p>Реализовать это можно, например, так, рекурсивно:</p>
+<pre><code class="language-c">procedure <span class="hljs-title function_">find_all_cycles</span> <span class="hljs-params">(v)</span>
+var массив cycles
+1. пока есть цикл, проходящий через v, находим его
+    добавляем все вершины найденного цикла в массив <span class="hljs-title function_">cycles</span> <span class="hljs-params">(сохраняя порядок обхода)</span>
+    удаляем цикл из графа
+2. идем по элементам массива cycles
+    каждый элемент cycles[i] добавляем к ответу
+    из каждого элемента рекурсивно вызываем себя: <span class="hljs-title function_">find_all_cycles</span> <span class="hljs-params">(cycles[i])</span>
+</code></pre>
+<p>Достаточно вызвать эту процедуру из любой вершины графа, и она найдёт все циклы в графе, удалит их из графа и объединит их в один эйлеров цикл.
+Для поиска цикла на шаге 1 используем поиск в глубину.
+Сложность полученного алгоритма — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>E</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(|E|)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mord">∣</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, то есть линейная относительно количества рёбер в данном графе</p>
+</li>
+</ul>
+<h2 id="2-планарность-графа">2. Планарность графа</h2>
+<h3 id="21-формула-эйлера-теорема-портнягина-куратовского-теорема-вагнера">2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера</h3>
+<h4 id="формула-эйлера">Формула Эйлера</h4>
+<p>Для произвольного плоского связного графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> с <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> вершинами, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span> ребрами и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> гранями справедливо следующее соотношение: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mo>−</mo><mi>E</mi><mo>+</mo><mi>F</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V − E + F = 2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">2</span></span></span></span>.</p>
+<h4 id="теорема-портнягина-куратовского">Теорема Портнягина-Куратовского</h4>
+<p>Теорема Понтрягина — Куратовского, или теорема Куратовского, — теорема в теории графов, дающая необходимое и достаточное условие планарности графа. Имеет эквивалентную формулировку на языке миноров, так называемою теорему Вагнера.</p>
+<p>Теорема утверждает, что графы <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>K</mi><mn>5</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K_5</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">5</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (полный граф на 5 вершинах) и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>K</mi><mrow><mn>3</mn><mo separator="true">,</mo><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K_{3,3}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">3</span><span class="mpunct mtight">,</span><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (полный двудольный граф имеющий по 3 вершины в каждой доле) являются единственными минимальными непланарными графами.</p>
+<h4 id="теорема-вагнера">Теорема Вагнера</h4>
+<p>Теорема Вагнера — характеризация планарных графов тесно связанная с теоремой Понтрягина — Куратовского.</p>
+<p>Теорема утверждает, что конечный граф является планарным тогда и только тогда, когда его миноры не включают ни <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>K</mi><mn>5</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K_5</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">5</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (полный граф с пятью вершинами), ни <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>K</mi><mrow><mn>3</mn><mo separator="true">,</mo><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K_{3,3}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">3</span><span class="mpunct mtight">,</span><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (коммунальный граф, полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой доле).</p>
+<h3 id="22-гамма-алгоритм-контактная-вершина">2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина</h3>
+<h4 id="гамма-алгоритм">Гамма алгоритм</h4>
+<ul>
+<li>Чтобы проверить планарность графа и произвести его плоскую укладку, удобно пользоваться гамма-алгоритмом.</li>
+<li>Определения:
+<ol>
+<li>Сегмент графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mtext>Г</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Г</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord cyrillic_fallback">Г</span></span></span></span> относительно подграфа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span> — компонента связности графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>∖</mo><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G \setminus H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>.</li>
+<li><em>Допустимая грань сегмента</em> — грань графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>, содержащая все контактные вершины.</li>
+<li><strong>Контактная вершина</strong> сегмента <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span> графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> подграфа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span> — любая вершина в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span> и в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>.</li>
+<li><em>Гамма-цепь сегмента</em> — любая цепь без повторов вершин, содержащих ровно две контактные вершины — начало и конец.</li>
+</ol>
+</li>
+<li>Алгоритм:
+<ol>
+<li>Уложить на плоскость любой цикл <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span> графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> без повторов вершин.</li>
+<li>Построить все сегменты <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S_1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0576em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> , <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">...</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.1056em;"></span><span class="mord">...</span></span></span></span> , <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mi>k</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S_k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0576em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> по <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>.</li>
+<li>Если есть сегмент <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mi>i</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S_i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0576em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> c одной допустимой гранью — выбрать его.</li>
+<li>Если все сегменты имеют несколько дополнительных граней — выбрать любой.</li>
+<li>Выбрать произвольную гамма-цепь сегмента и уложить её в допустимую грань.</li>
+<li>Перейти к шагу (2), добавив гамма-цепь к графу <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>.</li>
+</ol>
+</li>
+</ul>
+<h3 id="23-теорема-о-корректности-гамма-алгоритма-асимптотика-алгоритма">2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма</h3>
+<h4 id="теорема-о-корректности-гамма-алгоритма">Теорема о корректности Гамма алгоритма</h4>
+<ul>
+<li>
+<p>Теорема: Гамма-алгоритм корректен, то есть если <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> — планарный граф, то результатом каждого шага гамма-алгоритма является частичная укладка <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</p>
+</li>
+<li>
+<p>Доказательство:
+Докажем индукцией по числу шагов.</p>
+<p>База индукции: полученный на этапе инициализации граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> является простым циклом, он будет присутствовать в любой укладке графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>. Таким образом, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>  является частичной укладкой.</p>
+<p>Шаг индукции: пусть граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_{k−1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8917em;vertical-align:-0.2083em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mbin mtight">−</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, полученный на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7778em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>-м шаге работы алгоритма, является частичной укладкой. Докажем, что граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>∪</mo><msub><mi>L</mi><mi>k</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_k = G_{k−1} \cup L_k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8917em;vertical-align:-0.2083em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mbin mtight">−</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∪</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">L</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, полученный на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-м шаге присоединением цепи <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>L</mi><mi>k</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L_k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">L</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, также является частичной укладкой.</p>
+<p>Заметим, что на текущем шаге нет такого сегмента <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>  относительно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_{k−1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8917em;vertical-align:-0.2083em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mbin mtight">−</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, для которого бы выполнялось равенство <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∅</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Γ(S) = \varnothing</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">Γ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6633em;vertical-align:-0.0817em;"></span><span class="mord amsrm">∅</span></span></span></span>, так как в противном случае существовала бы цепь этого сегмента, контактные вершины которой принадлежали бы разным граням и укладка которой была бы невозможна. Следовательно, нельзя было бы уложить <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>,что противоречит тому, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> — планарный граф. Значит, мы можем рассматривать только следующие два случая:</p>
+<ol>
+<li>
+<p>Существует сегмент <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span> для которого есть единственная вмещающая грань <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Γ</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord">Γ</span></span></span></span>, то есть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|Γ(S)| = 1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣Γ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>. Так как только грани <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Γ</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord">Γ</span></span></span></span> принадлежат все контактные вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>, то укладка этого сегмента в эту грань неизбежна. Это значит, что помещая любую цепь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mo>⊂</mo><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L \subset S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">⊂</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>, снова получим частичную укладку графа.</p>
+</li>
+<li>
+<p>Для любого сегмента <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>≥</mo><mn>2</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|Γ(S)| \geq 2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣Γ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≥</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">2</span></span></span></span>. Построим граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>G</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A(G&#x27;k−1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, который по лемме 2 является двудольным. Рассмотрим его связную компоненту <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span></span></span></span>, которая содержит не менее двух вершин. Граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span></span></span></span> также является двудольным. По лемме 1 для любого сегмента <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S \in K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span></span></span></span>  справедливо <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mn>2</mn></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Γ(S)={Γ1, Γ2}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">Γ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord">Γ1</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">Γ2</span></span></span></span></span>. Так как граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span></span></span></span> двудольный, то мы можем по очереди помещать сегменты <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span></span></span></span> в разные грани, причем конфликтующих сегментов не возникнет в силу четности всех циклов в графе. Результатом будет частичная укладка графа.</p>
+</li>
+</ol>
+<p>Таким образом, на каждом шаге мы получаем частичную укладку графа, что доказывает корректность гамма-алгоритма.</p>
+</li>
+</ul>
+<p><strong>Асимптотика алгоритма - <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(n^3)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">n</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</strong></p>
+<h2 id="3-кратчайшие-пути-во-взвешенном-графе">3. Кратчайшие пути во взвешенном графе</h2>
+<h3 id="31-алгоритм-дейкстры-доказательство-корректностис-доказательством-оценка-времени-работы-дерево-кратчайших-путей">3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей</h3>
+<h4 id="алгоритм-дейкстры">Алгоритм Дейкстры</h4>
+<p><strong>Алгоритм Дейкстры</strong> (англ. <em>Dijkstra’s algorithm</em>) — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским учёным Эдсгером Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшие пути от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.</p>
+<pre><code class="language-c">func <span class="hljs-title function_">dijkstra</span><span class="hljs-params">(s)</span>:
+    <span class="hljs-keyword">for</span> $v \in V$
+        d[v] = $ \infinity $
+        used[v] = <span class="hljs-literal">false</span>
+    d[s] = <span class="hljs-number">0</span>
+    <span class="hljs-keyword">for</span> $i \in V$
+        v = null
+        <span class="hljs-keyword">for</span> $j \in V$    <span class="hljs-comment">// найдём вершину с минимальным расстоянием</span>
+            <span class="hljs-keyword">if</span> !used[j] and (v == null or d[j] &lt; d[v])
+                v = j
+        <span class="hljs-keyword">if</span> d[v] == $\infinity$
+            <span class="hljs-keyword">break</span>
+        used[v] = <span class="hljs-literal">true</span>
+        <span class="hljs-keyword">for</span> e : исходящие из v рёбра     <span class="hljs-comment">// произведём релаксацию по всем рёбрам, исходящим из v</span>
+            <span class="hljs-keyword">if</span> d[v] + e.len &lt; d[e.to]
+                d[e.to] = d[v] + e.len
+</code></pre>
+<h4 id="доказательство-корректности">Доказательство корректности</h4>
+<ul>
+<li>Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G=(V,E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> — ориентированный взвешенный граф, вес рёбер которого неотрицателен, s — стартовая вершина. Тогда после выполнения алгоритма Дейкстры <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u)=\rho(s, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> для всех <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rho (s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> — длина кратчайшего пути из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>.</li>
+</ul>
+<p>Докажем по индукции, что в момент посещения любой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u)= \rho (s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
+<p>На первом шаге выбирается <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>, для неё выполнено: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(s) = \rho (s,s) = 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span>. Пусть для <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> первых шагов алгоритм сработал верно и на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n+1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> шагу выбрана вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>. Докажем, что в этот момент <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u)= \rho (s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Для начала отметим, что для любой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, всегда выполняется <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≥</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(v) \geq \rho (s,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≥</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> (алгоритм не может найти путь короче, чем кратчайший из всех существующих). Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> — кратчайший путь из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> — первая непосещённая вершина на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>z</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">z</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span></span></span></span> — предшествующая ей (следовательно, посещённая). Поскольку путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> кратчайший, его часть, ведущая из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> через <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>z</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">z</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, тоже кратчайшая, следовательно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rho(s,v)= \rho(s,z)+w(zv)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. По предположению индукции, в момент посещения вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>z</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">z</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span></span></span></span> выполнялось <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(z)= \rho (s,z)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, следовательно, вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> тогда получила метку не больше чем <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(z) + w(zv) = \rho (s,z) + w(zv) = \rho(s,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, следовательно, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(v)=\rho(s,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. С другой стороны, поскольку сейчас мы выбрали вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, её метка минимальна среди непосещённых, то есть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≤</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≤</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u) \leq d(v) = \rho (s,v) \leq \rho (s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≤</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≤</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где второе неравенсто верно из-за ранее упомянутого определения вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в качестве первой непосещённой вершины на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span>, то есть вес пути до промежуточной вершины не превосходит веса пути до конечной вершины вследствие неотрицательности весовой функции. Комбинируя это с <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≥</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u) \geq \rho(s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≥</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, имеем <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u)=\rho(s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, что и требовалось доказать. Поскольку алгоритм заканчивает работу, когда все вершины посещены, в этот момент <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u)= \rho (s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> для всех <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>.</p>
+<h4 id="оценка-времени-работы">Оценка времени работы</h4>
+<ul>
+<li>Если <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">m = n ^ 2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">n</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>(граф плотный), то <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(n^2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">n</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</li>
+<li>Если <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">m = n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span>(граф разреженный), то <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(m log n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</li>
+</ul>
+<h4 id="дерево-кратчайших-путей">Дерево кратчайших путей</h4>
+<p>Решение ряда прикладных задач сводится к нахождению дерева кратчайших путей с корнем в заданной вершине <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>. Такое дерево дает кратчайшие <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(s, v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>-пути от заданной вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> до любой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> орграфа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mtext>Е</mtext><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G = (V, Е)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord cyrillic_fallback">Е</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Если веса всех дуг орграфа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> неотрицательны, то дерево кратчайших путей можно построить с помощью алгоритма Дейкстры.</p>
+<h3 id="32-потенциалы-условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер-потенциал-piv--rhov-t">3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\pi(v) = \rho(v, t)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">π</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></h3>
+<h4 id="потенциалы">Потенциалы</h4>
+<p>Пусть дана транспортная сеть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G(V,E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество вершин графа, а <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span> — множество рёбер. Введем в каждой вершине потенциал <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\pi(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">π</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Тогда потенциальный вес (то есть стоимость) ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(u,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> определяется как <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>w</mi><mi>p</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">w_p(u,v)=w(u,v)+\pi(u)−\pi(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1514em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">p</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">π</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">π</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></p>
+<h4 id="условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер">Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер</h4>
+<p>Можно применять, когда нет отрицательных циклов (следует из курса дискретной математики 1 курс 2 семестр)</p>
+<h4 id="потенциал-piv--rhov-t">Потенциал <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\pi(v) = \rho(v, t)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">π</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></h4>
+<h3 id="33-алгоритм-a-условие-монотонности-на-эвристику-примеры-эвристик">3.3. Алгоритм A*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик</h3>
+<h4 id="алгоритм-a">Алгоритм A*</h4>
+<p>Алгоритм A* - алгоритм поиска по первому наилучшему совпадению на графе, который находит маршрут с наименьшей стоимостью от одной вершины (начальной) к другой (целевой, конечной).</p>
+<p>Порядок обхода вершин определяется эвристической функцией «расстояние + стоимость» (обычно обозначаемой как <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>). Эта функция — сумма двух других: функции стоимости достижения рассматриваемой вершины (x) из начальной (обычно обозначается как <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">g(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> и может быть как эвристической, так и нет), и функции эвристической оценки расстояния от рассматриваемой вершины к конечной (обозначается как <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>).</p>
+<ol>
+<li>Функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> должна быть <em>допустимой эвристической оценкой</em>, то есть не должна переоценивать расстояния к целевой вершине. Например, для задачи маршрутизации <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> может представлять собой расстояние до цели по прямой линии, так как это физически наименьшее возможное расстояние между двумя точками.</li>
+<li>Более сильное условие — функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> должна быть <strong>монотонной</strong>. (Эвристическая функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> называетя <strong>монотонной</strong> (или преемственной), если для любой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v_1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> и ее потомка <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v_2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> разность <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v_1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v_2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span> не превышает фактического веса ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>c</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub><mo separator="true">,</mo><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c(v_1, v_2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">c</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span> от <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v_1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> до <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v_2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, а эвристическая оценка целевого состояния равна нулю.)</li>
+</ol>
+<pre><code class="language-c">function A*(start, goal, f)
+     % множество уже пройденных вершин
+     var closed := the empty <span class="hljs-built_in">set</span>
+     % множество частных решений
+     var open := make_queue(f)
+     enqueue(open, path(start))
+     <span class="hljs-keyword">while</span> open is not empty
+         var p := remove_first(open)
+         var x := the last node of p
+         <span class="hljs-keyword">if</span> x in closed
+            <span class="hljs-keyword">continue</span>
+         <span class="hljs-keyword">if</span> x = goal
+            <span class="hljs-keyword">return</span> $\rho$
+         add(closed, x)
+         % добавляем смежные вершины
+         foreach y in successors(x)
+            enqueue(open, add_to_path(p, y))
+     <span class="hljs-keyword">return</span> failure
+</code></pre>
+<h4 id="примеры-эвристик">Примеры эвристик</h4>
+<ul>
+<li>Если мы можем перемещаться в четырех направлениях, то в качестве эвристики стоит выбрать манхэттенское расстояние <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v)=|v.x−goal.x|+|v.y−goal.y|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mord">∣</span></span></span></span>.</li>
+<li>Расстояние Чебышева применяется, когда к четырем направлениям добавляются диагонали: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v)=max(|v.x−goal.x|,|v.y−goal.y|)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ma</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mord">∣</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mord">∣</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</li>
+<li>Если передвижение не ограничено сеткой, то можно использовать евклидово расстояние по прямой: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup><msup><mo stretchy="false">)</mo><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">/</mi><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v)=((v.x−goal.x) ^ 2+(v.y−goal.y)^2) ^ {1/2}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">((</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose"><span class="mclose">)</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.138em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mclose"><span class="mclose">)</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose"><span class="mclose">)</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.888em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">1/2</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</li>
+</ul>
+<h3 id="34-алгоритм-форда-беллмана-хранение-в-матрице-d_vk-равно-длине-кратчайшего-пути-до-вершины-v-за-ровно-k-ребер-не-более-k-ребер-доказательство-корректности-полное-оценка-времени-работы">3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>D</mi><mrow><mi>v</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D_{vk}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0278em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> равно длине кратчайшего пути до вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> за ровно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> ребер (не более <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы</h3>
+<p>Количество путей длины k рёбер можно найти с помощью метода динамического программирования. Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[k][u]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> — количество путей длины k рёбер, заканчивающихся в вершине u. Тогда <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mi>v</mi><mo>:</mo><mi>v</mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[k][u]= \Sigma v: v u \in E(d[k−1][v])</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord">Σ</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">vu</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">])</span></span></span></span>.</p>
+<p>Аналогично посчитаем пути кратчайшей длины. Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> — стартовая вершина. Тогда <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>min</mi><mo>⁡</mo><mi>v</mi><mo>:</mo><mi>v</mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[k][u]=\min v: v u \in E(d[k−1][v]+w(u,v))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6679em;"></span><span class="mop">min</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">vu</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">))</span></span></span></span>, при этом <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>s</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[0][s]=0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord">0</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span>, а <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[0][u]=+\infty</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord">0</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">+</span><span class="mord">∞</span></span></span></span></p>
+<p>Если существует кратчайший путь от s до t, то <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>min</mi><mo>⁡</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0..</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rho(s,t)=\min d[k][t](k=0..n−1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mop">min</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">0..</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></p>
+<p>Пусть кратчайший путь состоит из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной ниже.</p>
+<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-keyword">for</span> k = <span class="hljs-number">0</span> to |V|−<span class="hljs-number">2</span>       <span class="hljs-comment">// вершины нумеруются с единицы</span>
+    <span class="hljs-keyword">for</span> v∈V
+       <span class="hljs-keyword">for</span> (u,v)∈E
+          d[k + <span class="hljs-number">1</span>][v] = <span class="hljs-built_in">min</span>(d[k + <span class="hljs-number">1</span>][v], d[k][u] + ω(u,v))     <span class="hljs-comment">// ω(u,v) — вес ребра uv</span>
+</code></pre>
+<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function"><span class="hljs-type">bool</span> <span class="hljs-title">fordBellman</span><span class="hljs-params">(s)</span>:
+    for v∈V
+        d[v] =</span> <span class="hljs-number">1</span>
+    d[s] = <span class="hljs-number">0</span>
+    <span class="hljs-keyword">for</span> i = <span class="hljs-number">0</span> to |V|−<span class="hljs-number">1</span>
+        <span class="hljs-keyword">for</span> (u,v)∈E
+            <span class="hljs-keyword">if</span> d[v] &gt; d[u] + ω(u,v)     <span class="hljs-comment">// ω(u,v) — вес ребра uv</span>
+                d[v] = d[u] + ω(u,v)
+    <span class="hljs-keyword">for</span> (u,v)∈E
+        <span class="hljs-keyword">if</span> d[v] &gt; d[u] + ω(u,v)
+            <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-literal">false</span>
+    <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-literal">true</span>
+</code></pre>
+<h4 id="доказательство-корректностиполное">Доказательство корректности(полное)</h4>
+<p>Во-первых, сразу заметим, что для недостижимых из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> вершин алгоритм отработает корректно: для них метка <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> так и останется равной бесконечности (т.к. алгоритм Форда-Беллмана найдёт какие-то пути до всех достижимых из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> вершин, а релаксация во всех остальных вершинах не произойдёт ни разу).</p>
+<p>Докажем теперь следующее утверждение: после выполнения <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> фаз алгоритм Форда-Беллмана корректно находит все кратчайшие пути, длина которых (по числу рёбер) не превосходит <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span>.</p>
+<p>Иными словами, для любой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span></span></span> обозначим через <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> число рёбер в кратчайшем пути до неё (если таких путей несколько, можно взять любой). Тогда это утверждение говорит о том, что после <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> фаз этот кратчайший путь будет найден гарантированно.</p>
+<p><strong>Доказательство.</strong></p>
+<p>Рассмотрим произвольную вершину a, до которой существует путь из стартовой вершины v, и рассмотрим кратчайший путь до неё: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>p</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><msub><mi>p</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(p_0=v, p_1, ..., p_k=a)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Перед первой фазой кратчайший путь до вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>p</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p_0=v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> найден корректно. Во время первой фазы ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>p</mi><mn>0</mn></msub><mo separator="true">,</mo><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(p_0,p_1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span> было просмотрено алгоритмом Форда-Беллмана, следовательно, расстояние до вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p_1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> было корректно посчитано после первой фазы. Повторяя эти утверждения k раз, получаем, что после <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-й фазы расстояние до вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>p</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p_k=a</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span></span></span> посчитано корректно, что и требовалось доказать.</p>
+<p>Последнее, что надо заметить — это то, что любой кратчайший путь не может иметь более <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n-1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> ребра. Следовательно, алгоритму достаточно произвести только <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n-1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> фазу. После этого ни одна релаксация гарантированно не может завершиться улучшением расстояния до какой-то вершины.</p>
+<h4 id="оценка-времени-работы-1">Оценка времени работы</h4>
+<p>Инициализация занимает <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>θ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\theta(V)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">θ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> времени, каждый из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> проходов требует <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>θ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\theta(E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">θ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> времени, обход по всем ребрам для проверки наличия отрицательного цикла занимает <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> времени. Значит алгоритм Беллмана-Форда работает за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(VE)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> времени.</p>
+<h3 id="35-восстановление-пути-детектирование-цикла-отрицательного-веса-поиск-самого-цикла">3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла</h3>
+<h4 id="восстановление-пути">Восстановление пути</h4>
+<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">solve</span><span class="hljs-params">()</span> </span>{
+  <span class="hljs-function">vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; <span class="hljs-title">d</span> <span class="hljs-params">(n, INF)</span></span>;
+  d[v] = <span class="hljs-number">0</span>;
+  <span class="hljs-function">vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; <span class="hljs-title">p</span> <span class="hljs-params">(n, <span class="hljs-number">-1</span>)</span></span>;
+  <span class="hljs-keyword">for</span> (;;) {
+    <span class="hljs-type">bool</span> any = <span class="hljs-literal">false</span>;
+    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> j=<span class="hljs-number">0</span>; j&lt;m; ++j)
+      <span class="hljs-keyword">if</span> (d[e[j].a] &lt; INF)
+        <span class="hljs-keyword">if</span> (d[e[j].b] &gt; d[e[j].a] + e[j].cost) {
+          d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
+          p[e[j].b] = e[j].a;
+          any = <span class="hljs-literal">true</span>;
+        }
+    <span class="hljs-keyword">if</span> (!any)  <span class="hljs-keyword">break</span>;
+  }
+ 
+  <span class="hljs-keyword">if</span> (d[t] == INF)
+    cout &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;No path from &quot;</span> &lt;&lt; v &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot; to &quot;</span> &lt;&lt; t &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;.&quot;</span>;
+  <span class="hljs-keyword">else</span> {
+    vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; path;
+    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> cur=t; cur!=<span class="hljs-number">-1</span>; cur=p[cur])
+      path.<span class="hljs-built_in">push_back</span> (cur);
+    <span class="hljs-built_in">reverse</span> (path.<span class="hljs-built_in">begin</span>(), path.<span class="hljs-built_in">end</span>());
+ 
+    cout &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;Path from &quot;</span> &lt;&lt; v &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot; to &quot;</span> &lt;&lt; t &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;: &quot;</span>;
+    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">size_t</span> i=<span class="hljs-number">0</span>; i&lt;path.<span class="hljs-built_in">size</span>(); ++i)
+      cout &lt;&lt; path[i] &lt;&lt; <span class="hljs-string">&#x27; &#x27;</span>;
+  }
+}
+</code></pre>
+<p>Здесь мы сначала проходимся по предкам, начиная с вершины t, и сохраняем весь пройденный путь в списке <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">h</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm path</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">path</span></span></span></span></span>. В этом списке получается кратчайший путь от v до t, но в обратном порядке, поэтому мы вызываем <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">v</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm reverse</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">reverse</span></span></span></span></span> от него и затем выводим.</p>
+<h4 id="детектирование-цикла-отрицательного-веса">Детектирование цикла отрицательного веса</h4>
+<p>Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G=(V,E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> — взвешенный ориентированный граф, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> — стартовая вершина. Если граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>, то алгоритм возвращает <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm true</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">true</span></span></span></span></span> и для всех <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v \in V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>δ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[v]= \delta (s,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03785em;">δ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Если граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> содержит отрицательные циклы, достижимые из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>, то алгоритм возвращает <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm false</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">false</span></span></span></span></span>.</p>
+<h4 id="поиск-самого-цикла">Поиск самого цикла</h4>
+<p>Приведенная выше реализация позволяет определить наличие в графе цикла отрицательного веса. Чтобы найти сам цикл, достаточно хранить вершины, из которых производится релаксация.</p>
+<p>Если после <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> итерации найдется вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, расстояние до которой можно уменьшить, то эта вершина либо лежит на каком-нибудь цикле отрицательного веса, либо достижима из него. Чтобы найти вершину, которая лежит на цикле, можно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> раз пройти назад по предкам из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Так как наибольшая длина пути в графе из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span></span></span></span> вершин равна <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>, то полученная вершина u будет гарантированно лежать на отрицательном цикле.</p>
+<p>Зная, что вершина u лежит на цикле отрицательного веса, можно восстанавливать путь по сохраненным вершинам до тех пор, пока не встретится та же вершина u. Это обязательно произойдет, так как в цикле отрицательного веса релаксации происходят по кругу.</p>
+<h3 id="36-нахождение-кратчайших-путей-с-учетом-циклов-отрицательного-веса">3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса</h3>
+<p>Заметим, что updated_vertices на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span></span></span></span>-м шаге содержит два типа вершин: те, которые лежат на цикле отрицательного веса и те, которые сами достижимы из какого-то цикла отрицательного веса. При этом из доказательства леммы выше мы знаем, что от каждого (!) цикла отрицательного веса в множестве будет хотя бы по одному представителю. Из этих двух наблюдений следует корректность и полнота следующего алгоритма:</p>
+<p>Запускаем Форда-Беллмана на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span></span></span></span> шагов. Если на последнем шаге до вершины расстояние не поменялось, то оно и кратчайшее. Если поменялось, то до неё и до всех вершин, достижимых из неё, расстояние от стартовой вершины равно минус бесконечности. Чтобы найти все вершины с расстоянием минус бесконечность, достаточно запустить dfs из всех вершин, расстояние до которых уменьшилось на последней итерации алгоритма.</p>
+<h3 id="37-алгоритм-флойда-доказательство-концепция-восстановление-пути">3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути</h3>
+<h4 id="алгоритм-флойда">Алгоритм Флойда</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Алгоритм Флойда</strong> (<em>алгоритм Флойда–Уоршелла</em>) — алгоритм нахождения длин кратчайших путей между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе. Работает корректно, если в графе нет циклов отрицательной величины, а в случае, когда такой цикл есть, позволяет найти хотя бы один такой цикл.</p>
+</blockquote>
+<p>Ключевая идея алгоритма — разбиение процесса поиска кратчайших путей на фазы.</p>
+<p>Перед <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазой <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1...</mn><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(k = 1 ... n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1...</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> считается, что в матрице расстояний <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> сохранены длины таких кратчайших путей, которые содержат в качестве внутренних вершин только вершины из множества <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mn>2</mn><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{1, 2, ..., k-1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord">1</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span></span> (вершины графа мы нумеруем, начиная с единицы).</p>
+<p>Иными словами, перед <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазой величина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> равна длине кратчайшего пути из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>, если этому пути разрешается заходить только в вершины с номерами, меньшими k (начало и конец пути не считаются).</p>
+<p>Легко убедиться, что чтобы это свойство выполнилось для первой фазы, достаточно в матрицу расстояний <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> записать матрицу смежности графа: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>g</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[i][j] = g[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> — стоимости ребра из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>. При этом, если между какими-то вершинами ребра нет, то записать следует величину &quot;бесконечность&quot;. Из вершины в саму себя всегда следует записывать величину 0, это критично для алгоритма.</p>
+<p>Пусть теперь мы находимся на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазе, и хотим пересчитать матрицу <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> таким образом, чтобы она соответствовала требованиям уже для <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k+1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7778em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>-ой фазы. Зафиксируем какие-то вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>. У нас возникает два принципиально разных случая:</p>
+<p>Кратчайший путь из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>, которому разрешено дополнительно проходить через вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mn>2</mn><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{1, 2, ..., k}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord">1</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span></span>, совпадает с кратчайшим путём, которому разрешено проходить через вершины множества <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mn>2</mn><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{1, 2, ..., k-1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord">1</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span></span>.
+В этом случае величина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> не изменится при переходе с <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k+1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7778em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>-ую фазу.</p>
+<p>&quot;Новый&quot; кратчайший путь стал лучше &quot;старого&quot; пути. Это означает, что &quot;новый&quot; кратчайший путь проходит через вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>. Сразу отметим, что мы не потеряем общности, рассматривая далее только простые пути (т.е. пути, не проходящие по какой-то вершине дважды).</p>
+<p>Тогда заметим, что если мы разобьём этот &quot;новый&quot; путь вершиной <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> на две половинки (одна идущая <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi><mo>→</mo><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i \rightarrow k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>, а другая — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi><mo>→</mo><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k \rightarrow j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>), то каждая из этих половинок уже не заходит в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>. Но тогда получается, что длина каждой из этих половинок была посчитана ещё на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k-1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7778em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>-ой фазе или ещё раньше, и нам достаточно взять просто сумму <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[i][k] + d[k][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, она и даст длину &quot;нового&quot; кратчайшего пути.</p>
+<p>Объединяя эти два случая, получаем, что на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазе требуется пересчитать длины кратчайших путей между всеми парами вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span> следующим образом:</p>
+<pre><code class="language-c++">new_d[i][j] = <span class="hljs-built_in">min</span>(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
+</code></pre>
+<p>Таким образом, вся работа, которую требуется произвести на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазе — это перебрать все пары вершин и пересчитать длину кратчайшего пути между ними. В результате после выполнения <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span>-ой фазы в матрице расстояний <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> будет записана длина кратчайшего пути между <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>, либо бесконечность, если пути между этими вершинами не существует.</p>
+<p>Последнее замечание, которое следует сделать, — то, что можно не создавать отдельную матрицу <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mi>e</mi><msub><mi>w</mi><mi>d</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">new_d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">d</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> для временной матрицы кратчайших путей на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазе: все изменения можно делать сразу в матрице <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>. В самом деле, если мы улучшили (уменьшили) какое-то значение в матрице расстояний, мы не могли ухудшить тем самым длину кратчайшего пути для каких-то других пар вершин, обработанных позднее.</p>
+<h4 id="доказательство-концепция">Доказательство (концепция)</h4>
+<p>Доказательство &quot;правильности&quot; работы этого алгоритма также очевидно и выполняется с помощью математической индукции по <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>, показывая, что на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-й итерации вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> включается в путь только тогда, когда новый путь короче старого.</p>
+<h4 id="восстановление-пути-1">Восстановление пути</h4>
+<p>Легко поддерживать дополнительную информацию — так называемых &quot;предков&quot;, по которым можно будет восстанавливать сам кратчайший путь между любыми двумя заданными вершинами в виде последовательности вершин.</p>
+<p>Для этого достаточно кроме матрицы расстояний <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> поддерживать также матрицу предков <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, которая для каждой пары вершин будет содержать номер фазы, на которой было получено кратчайшее расстояние между ними. Понятно, что этот номер фазы является не чем иным, как &quot;средней&quot; вершиной искомого кратчайшего пути, и теперь нам просто надо найти кратчайший путь между вершинами <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, а также между <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>. Отсюда получается простой рекурсивный алгоритм восстановления кратчайшего пути.</p>
+<h3 id="38-нахождение-цикла-отрицательного-веса">3.8. Нахождение цикла отрицательного веса</h3>
+<p>Если в графе есть циклы отрицательного веса, то формально алгоритм Флойда-Уоршелла неприменим к такому графу.</p>
+<p>На самом же деле, для тех пар вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>, между которыми нельзя зайти в цикл отрицательного вес, алгоритм отработает корректно.</p>
+<p>Для тех же пар вершин, ответа для которых не существует (по причине наличия отрицательного цикла на пути между ними), алгоритм Флойда найдёт в качестве ответа какое-то число (возможно, сильно отрицательное, но не обязательно). Тем не менее, можно улучшить алгоритм Флойда, чтобы он аккуратно обрабатывал такие пары вершин и выводил для них, например, - бесконечность.</p>
+<p>Для этого можно сделать, например, следующий критерий &quot;не существования пути&quot;. Итак, пусть на данном графе отработал обычный алгоритм Флойда. Тогда между вершинами <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span> не существует кратчайшего пути тогда и только тогда, когда найдётся такая вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">t</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span>, достижимая из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и из которой достижима <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>, для которой выполняется <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&lt;</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[t][t] &lt; 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span>.</p>
+<p>Кроме того, при использовании алгоритма Флойда для графов с отрицательными циклами следует помнить, что возникающие в процессе работы расстояния могут сильно уходить в минус, экспоненциально с каждой фазой. Поэтому следует принять меры против целочисленного переполнения, ограничив все расстояния снизу какой-нибудь величиной (например, - Бесконечность).</p>
+<h3 id="39-алгоритм-джонсона-добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана">3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана</h3>
+<h4 id="алгоритм-джонсона">Алгоритм Джонсона</h4>
+<blockquote>
+<p>Алгоритм Джонсона позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин в течение времени <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo>⋅</mo><mn>2</mn><mi>log</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>V</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(V \cdot 2 \log(V) + VE)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mop">lo<span style="margin-right:0.01389em;">g</span></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Для разреженных графов этот алгоритм ведет себя асимптотически быстрее алгоритма Флойда. Этот алгоритм либо возвращает матрицу кратчайших расстояний между всеми парами вершин, либо сообщение о том, что в графе существует цикл отрицательной длины.</p>
+</blockquote>
+<p>В этом алгоритме используется метод изменения веса (англ. reweighting). Суть его заключается в том, что для заданного графа G строится новая весовая функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>ω</mi><mi>φ</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\omega_\varphi</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7167em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">ω</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1514em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">φ</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, неотрицательная для всех ребер графа G и сохраняющая кратчайшие пути. Такая весовая функция строится с помощью так называемой потенциальной функции.</p>
+<p>Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>φ</mi><mo>:</mo><mi>V</mi><mo>→</mo><mi>R</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\varphi: V \rightarrow R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">φ</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span> — произвольное отображение из множества вершин в вещественные числа. Тогда новой весовой функцией будет <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>ω</mi><mi>φ</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><mi>φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\omega_\varphi(u,v)=\varphi(u,v)+\varphi(u)−\varphi(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">ω</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1514em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">φ</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">φ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">φ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">φ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
+<p>Такая потенциальная функция строится добавлем фиктивной вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, из которой проведены ориентированные ребра нулевого веса во все остальные вершины графа, и запуском алгоритма Форда-Беллмана из нее (<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\varphi(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">φ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> будет равно длине кратчайшего пути из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>). На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.</p>
+<p>Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить алгоритм Дейкстры из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.</p>
+<h4 id="добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана">Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана</h4>
+<p>Как в случае применения алгоритма Беллмана-Форда для обнаружения отрицательных циклов, существуют два способа сделать вес каждого ребра неотрицательным в произвольной сети без отрицательных циклов. Либо можно начать с истока в каждом сильно связном компоненте, либо добавить фиктивную вершину с ребром нулевой длины в каждую вершину сети. В любом случае получится остовный лес кратчайших путей, которым можно воспользоваться для присвоения весов вершинам (вес пути из корня в данную вершину в ее SPT).</p>
+<h2 id="4-остовные-деревья">4. Остовные деревья</h2>
+<h3 id="41-остовное-дерево-построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину">4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину</h3>
+<h4 id="остовное-дерево">Остовное дерево</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Остовное дерево</strong> графа (англ. <em>Spanning tree</em>) — это дерево, подграф данного графа, с тем же числом вершин, что и у исходного графа. Неформально говоря, остовное дерево получается из исходного графа удалением максимального числа рёбер, входящих в циклы, но без нарушения связности графа. Остовное дерево включает в себя все n вершин исходного графа и содержит <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n-1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> ребро.</p>
+</blockquote>
+<h4 id="построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину">Построение с помощью обхода в глубину и в ширину</h4>
+<p>Процедуры обхода графа в глубину и в ширину можно простым способом использовать для нахождения остовов. В обоих случаях достижение новой вершины графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> вызывает &quot;включение&quot; в остовное дерево ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(u, v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
+<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">Spisok::Depth_First_Search</span> <span class="hljs-params">(Lref r)</span>
+<span class="hljs-comment">//Рекурсивный обход графа в глубину. r - указатель </span>
+<span class="hljs-comment">//на структуру Вирта.</span>
+</span>{
+  Tref t;
+
+  t = (*r).Trail; cout&lt;&lt;(*r).Key; (*r).Flag = FALSE;
+  <span class="hljs-keyword">while</span> (t!=<span class="hljs-literal">NULL</span>)
+  { <span class="hljs-keyword">if</span> ((*(*t).Id).Flag) <span class="hljs-built_in">Depth_First_Search</span> ((*t).Id); t = (*t).Next; }
+} 
+</code></pre>
+<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">Spisok::Ostov_Depth</span> <span class="hljs-params">(Lref r)</span>
+<span class="hljs-comment">//Рекурсивный обход графа в глубину, соединенный с</span>
+<span class="hljs-comment">//нахождением ребра остовного дерева.</span>
+<span class="hljs-comment">//r - указатель на структуру Вирта.</span>
+</span>{
+  Tref t;
+  Lref s;
+
+  s = r;
+  t = (*r).Trail; (*r).Flag = FALSE;
+  <span class="hljs-keyword">while</span> ( t != <span class="hljs-literal">NULL</span> )
+  { <span class="hljs-keyword">if</span> ((*(*t).Id).Flag) 
+    { cout &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;(&quot;</span> &lt;&lt; s-&gt;Key &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;,&quot;</span> &lt;&lt; t-&gt;Id-&gt;Key &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;) &quot;</span>;
+      <span class="hljs-built_in">Ostov_Depth</span> ((*t).Id);
+    }
+    t = (*t).Next; 
+  }
+}
+</code></pre>
+<h3 id="42-определение-минимального-остовного-дерева">4.2. Определение минимального остовного дерева</h3>
+<blockquote>
+<p><strong>Минимальное остовное дерево</strong> (англ. <em>minimum spanning tree</em>) графа — это его ациклический связный подграф, в который входят все его вершины, обладающий минимальным суммарным весом ребер. Заметим, что граф может содержать несколько минимальных остовных деревьев.</p>
+</blockquote>
+<h3 id="43-теорема-о-разрезе-доказательство">4.3. Теорема о разрезе. Доказательство</h3>
+<h4 id="теорема-о-разрезе">Теорема о разрезе</h4>
+<p><strong>Теорема Форда — Фалкерсо́на</strong> — теорема о максимальном потоке в графе, тесно связанная с теоремой Менгера.
+Звучит так: величина максимального потока в графе путей равна величине пропускной способности его минимального разреза.</p>
+<p><em>Доказательство:</em></p>
+<p><strong>Достаточность</strong>: любой поток между вершинами t и s меньше или равен величине любого сечения. Пусть дан некоторый поток и некоторое сечение. Величина данного потока складывается из величин «грузов», перевозимых по всем возможным путям из вершины t в s. Каждый такой путь обязан иметь общее ребро с данным сечением. Так как по каждому ребру сечения суммарно нельзя перевести «груза» больше, чем его пропускная способность, поэтому сумма всех грузов меньше или равна сумме всех пропускных способностей рёбер данного сечения. Утверждение доказано.</p>
+<p>Отсюда следует, что любой поток меньше или равен величине минимального сечения, а значит и максимальный поток меньше или равен величине минимального сечения.</p>
+<h3 id="44-алгоритм-прима-аналогия-с-алгоритмом-дейкстры-оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча-последнее-без-доказательства">4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)</h3>
+<h4 id="алгоритм-прима">Алгоритм Прима</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Алгоритм Прима</strong> (англ. <em>Prim's algorithm</em>) — алгоритм поиска минимального остовного дерева (англ. minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе.</p>
+</blockquote>
+<h4 id="аналогия-с-алгоритмом-дейкстры">Аналогия с алгоритмом Дейкстры</h4>
+<p>Данный алгоритм очень похож на алгоритм Дейкстры. Будем последовательно строить поддерево <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> ответа графе <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, поддерживая приоритетную очередь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>Q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Q</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">Q</span></span></span></span> из вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>∖</mo><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G \setminus F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>, в которой ключом для вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> является <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>min</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>ω</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>F</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo separator="true">,</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>∈</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>G</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\min(\omega(uv) (u \in V(F), (u, v) \in E(G)))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mop">min</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">ω</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">uv</span><span class="mclose">)</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span><span class="mclose">)</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mclose">)))</span></span></span></span> — вес минимального ребра из вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> в вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>∖</mo><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G \setminus F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>. Также для каждой вершины в очереди будем хранить <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> — вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> поддерживается неявно, и его ребра — это пары <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,p(v))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">))</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>G</mi><mo>∖</mo><mi>r</mi><mo>∖</mo><mi>Q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v \in G \setminus {r} \setminus Q</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">Q</span></span></span></span>, а <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> — корень <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>. Изначально <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> пусто и значения ключей у всех вершин равны <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">+\infty</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">+</span><span class="mord">∞</span></span></span></span>. Выберём произвольную вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> и присвоим её ключу значение 0. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> из приоритетной очереди и релаксировать все ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, такие что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>Q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u \in Q</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">Q</span></span></span></span>, выполняя при этом операцию <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">K</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm decreaseKey</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm" style="margin-right:0.01389em;">decreaseKey</span></span></span></span></span> над очередью и обновление <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,p(v))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">))</span></span></span></span> при этом добавляется к ответу.</p>
+<h4 id="оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча">Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча</h4>
+<p>Двоичная куча - <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(ElogV)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">El</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>
+(Чтобы упростить операцию <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">K</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm decreaseKey</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm" style="margin-right:0.01389em;">decreaseKey</span></span></span></span></span> можно написать кучу на основе сбалансированного бинарного дерева поиска. Тогда просто удалим вершину и добавим ее обратно уже с новым ключом. Асимптотика таких преобразований <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(logn)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Если же делать с бинарной кучей, то вместо операции <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">K</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm decreaseKey</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm" style="margin-right:0.01389em;">decreaseKey</span></span></span></span></span>, будем всегда просто добавлять вершину с новым ключом, если из кучи достали вершину с ключом, значение которого больше чем у нее уже стоит, просто игнорировать. Вершин в куче будет не больше <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">2 \cdot n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span>, следовательно, операция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm extractMin</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">extractMin</span></span></span></span></span> будет выполняться за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>⋅</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(log(\cdot n))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">⋅</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">))</span></span></span></span>, что равно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(logn)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Максимальное количество вершин, которое мы сможем достать, равняется количеству ребер, то есть m, поэтому общая асимптотика составит <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(mlogn)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, что хорошо только на разреженных графах.)</p>
+<p>Фибоначчиева куча - <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>V</mi><mo>+</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(VlogV+E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></p>
+<h3 id="45-алгоритм-прима-доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе">4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе</h3>
+<p>Приведем еще раз теорему о разрезе:</p>
+<blockquote>
+<p>Для любого разбиения множества вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V = A \cup B</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∪</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span></span></span></span>, существует минимальный остов, содержащий <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> – минимальное по весу ребро, проходящее через разрез <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>A</mi><mo separator="true">,</mo><mi>B</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle A, B \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span></p>
+</blockquote>
+<p>Доказательство. Возьмём минимальный остов без <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span>. Добавим <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span>, получится цикл. Два ребра этого цикла проходят через разрез <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>A</mi><mo separator="true">,</mo><mi>B</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle A, B \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span>. Старое неменьше <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span>, удалим его. Если же в процессе построения <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm min</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6679em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">min</span></span></span></span></span> остова уже известно подмножество рёбер будущего <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm min</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6679em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">min</span></span></span></span></span> остова, эти рёбра задают компоненты связности. Мы можем сжать компоненты в вершины и для конденсации применить лемму о разрезе.</p>
+<p>Следствие <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>X</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">X</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07847em;">X</span></span></span></span> – подмножество рёбер некого минимального остова. Зафиксируем разрез <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V = A \cup B</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∪</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span></span></span></span> такой, что все рёбра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>X</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">X</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07847em;">X</span></span></span></span> не пересекают разрез. Тогда <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∃</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\exist</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord">∃</span></span></span></span> минимальный остов, содержащий <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>X</mi><mo>∪</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>e</mi><mo stretchy="false">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">X \cup \{e\}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07847em;">X</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∪</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">{</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mclose">}</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> – минимальное по весу ребро, проходящее через разрез <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>A</mi><mo separator="true">,</mo><mi>B</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle A, B \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span>.</p>
+<h4 id="доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе">Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе</h4>
+<p>Разрез – текущее множество <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span> и дополнение <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mo>∖</mo><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V \setminus A</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span>.</p>
+<h3 id="46-алгоритм-краскала-доказательство-корректности-оценка-времени-работы">4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы</h3>
+<h4 id="алгоритм-краскала">Алгоритм Краскала</h4>
+<p>Будем последовательно строить подграф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> (&quot;растущий лес&quot;), пытаясь на каждом шаге достроить <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> до некоторого <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>M</mi><mi>S</mi><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">MST</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">MST</span></span></span></span>. Начнем с того, что включим в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> все вершины графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>. Теперь будем обходить множество <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>G</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E(G)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> в порядке неубывания весов ребер. Если очередное ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> соединяет вершины одной компоненты связности <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>, то добавление его в остов приведет к возникновению цикла в этой компоненте связности. В таком случае, очевидно, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> не может быть включено в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>. Иначе <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> соединяет разные компоненты связности <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>, тогда существует <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle S, T \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span> разрез такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа — вторую. Тогда <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> — минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из леммы о безопасном ребре следует, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> является безопасным, поэтому добавим это ребро в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>. На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности, полученный подграф будет минимальным остовным деревом графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>. Для проверки возможности добавления ребра используется система непересекающихся множеств.</p>
+<h5 id="доказательство-корректности-1">Доказательство корректности</h5>
+<p>Обратимся к теореме о разрезе из Пункта 4.5
+Добавляем ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo separator="true">,</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(a, b)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Разрез – любой такой, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo separator="true">,</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(a, b)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> через него проходит.</p>
+<h5 id="оценка-времени-работы-2">Оценка времени работы</h5>
+<p><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(ElogE)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">El</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
+<h3 id="47-система-непересекающихся-множеств-эвристика-потенциалов-без-доказательства-эвристика-сжатия-пути-без-доказательства-почти-константное-время-работы">4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы</h3>
+<h3 id="48-алгоритм-борувки-доказательствополное-оценка-времени-работы">4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство(полное). Оценка времени работы</h3>
+<h4 id="алгоритм-борувки">Алгоритм Борувки</h4>
+<p>Алгоритм состоит из нескольких шагов:</p>
+<ol>
+<li>Изначально каждая вершина графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> — тривиальное дерево, а ребра не принадлежат никакому дереву.</li>
+<li>Для каждого дерева <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> найдем минимальное инцидентное ему ребро. Добавим все такие ребра.</li>
+<li>Повторяем шаг 2 пока в графе не останется только одно дерево <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span>.</li>
+</ol>
+<p>Данный алгоритм может работать неправильно, если в графе есть ребра равные по весу. Например, полный граф из трех вершин, вес каждого ребра равен один. В <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> могут быть добавлены все три ребра. Избежать эту проблему можно, например, выбирая в первом пункте среди ребер, равных по весу, ребро с наименьшим номером.</p>
+<p><strong>Доказательство:</strong></p>
+<p>Обратимся к теореме о разрезе из Пункта 4.5
+Рёбра, которые хочет добавить Борувка, разобьём на компоненты связности. Каждая компонента – дерево, рёбра компоненты будем добавлять по одному от корня к листьям. Добавляя
+очередное ребро ведущее в лист <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, используем разрез <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">}</mo><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo>∖</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">}</mo><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle \{v\}, V \setminus \{v\} \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨{</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">}</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">{</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">}⟩</span></span></span></span> и лемму о разрезе.</p>
+<h5 id="оценка-времени-работы-3">Оценка времени работы</h5>
+<p>На <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span>-ой итерации внешнего цикла каждая компонента состоит как минимум из двух компонент из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(i−1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>-й итерации. Значит, на каждой итерации число компонент уменьшается как минимум в 2 раза. Тогда внешний цикл повторяется <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(logV)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> раз, так как количество компонент изначально равно количеству вершин. Что же касается внутреннего цикла, то он выполняется за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span> — количество рёбер в исходном графе. Следовательно конечное время работы алгоритма <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(ElogV)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">El</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
+<h3 id="49-приближение-решения-задачи-коммивояжера-с-помощью-минимального-остовного-дерева">4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева</h3>
+<blockquote>
+<p><strong>Алгоритм Кристофидеса</strong> или <strong>алгоритм Кристофидеса-Сердюкова</strong> — это алгоритм поиска приближённых решений задачи коммивояжёра для случаев, когда расстояния образуют метрическое пространство (симметричны и удовлетворяют неравенству треугольника).</p>
+</blockquote>
+<p>Алгоритм является аппроксимационным алгоритмом, который гарантирует, что решения находятся в пределах 3/2 от длины оптимального решения. Алгоритм назван именем Никоса Кристофидеса и Анатолия Ивановича Сердюкова, которые независимо друг от друга нашли его в 1976, и он обладает лучшим аппроксимационным коэффициентом, который был доказан для задачи коммивояжёра на метрических пространствах общего вида, хотя известны лучшие приближения для некоторых специальных случаев.</p>
+<p>Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G=(V,w)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> будет представителем задачи коммивояжёра. То есть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> является полным графом на множестве вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span>, а функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>w</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">w</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span></span></span></span> назначает неотрицательные вещественные веса каждому ребру графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>.
+Алгоритм можно описать на псевдокоде следующим образом:</p>
+<ol>
+<li>Создаём минимальное остовное дерев <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>.</li>
+<li>Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span></span></span></span> будет набором вершин с нечётными степенями в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span>. Согласно лемме о рукопожатиях, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span></span></span></span> имеет чётное число вершин.</li>
+<li>Находим совершенное паросочетание <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10903em;">M</span></span></span></span> минимального веса в порождённом подграфе, заданным вершинами из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span></span></span></span>.</li>
+<li>Комбинируем рёбра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10903em;">M</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> с образованием связного мультиграфа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>, в котором каждая вершина имеет чётную степень.</li>
+<li>Образуем эйлеров цикл в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>.</li>
+<li>Преобразуем цикл, найденный на предыдущем шаге, в гамильтонов цикл путём пропуска повторяющихся вершин (сокращение).</li>
+</ol>
+<h2 id="5-потоки-в-сетях">5. Потоки в сетях</h2>
+<h3 id="51-определение-сети-определение-потока-физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа-определение-разреза-понятия-потока-через-разрез">5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез</h3>
+<h4 id="определение-сети">Определение сети</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Сеть</strong> (англ. <em>flow network</em>) представляет собой ориентированный граф, в котором каждое ребро имеет положительную пропускную способность (англ. <em>capacity</em>).</p>
+</blockquote>
+<h4 id="определение-потока">Определение потока</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Потоком</strong> (англ. <em>flow</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> является действительная функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo>:</mo><mi>V</mi><mo>×</mo><mi>V</mi><mo>→</mo><mi>R</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f: V \times V \rightarrow R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span>, удоволетворяющая условиям:</p>
+</blockquote>
+<ol>
+<li><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(u,v) = −f(v,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> (антисимметричность)</li>
+<li><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≤</mo><mi>c</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(u,v) \leq c(u,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≤</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">c</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> (ограничение пропускной способности), если ребра нет, то <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(u,v)=0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span>;</li>
+<li><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mi>v</mi><mo>⋅</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Sigma v \cdot f(u,v) = 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord">Σ</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span> для всех вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, кроме <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">t</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span> (закон сохранения потока).</li>
+</ol>
+<blockquote>
+<p>Величина потока <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span></span></span></span> определяется как <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>f</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>V</mi><mo>⋅</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|f|=\Sigma v \in V \cdot f(s,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord">Σ</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
+</blockquote>
+<h4 id="физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа">Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа</h4>
+<h4 id="определение-разреза">Определение разреза</h4>
+<blockquote>
+<p><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(s,t)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> - <strong>разрезом</strong> (англ. <em>s-t cut</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle S,T \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span> в сети <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> называется пара множеств <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span>, удоволетворяющих условиям: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s \in S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>,<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mo>∈</mo><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">t \in T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6542em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi><mo>=</mo><mi>V</mi><mo>∖</mo><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S = V \setminus T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span>.</p>
+</blockquote>
+<h4 id="понятия-потока-через-разрез">Понятия потока через разрез</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Поток в разрезе</strong> (англ. <em>flow in the cut</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle S,T \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span> обозначается <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(S,T)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> и вычисляется по формуле: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>S</mi><mo>⋅</mo><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>T</mi><mo>⋅</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(S,T)= \Sigma u \in S \cdot \Sigma v \in T \cdot f(u,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord">Σ</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord">Σ</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
+</blockquote>
+<h3 id="52-доказательство-факта-что-поток-через-любой-разрез-одинаковый">5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый</h3>
+<p><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo>∖</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>f</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(S,T) = f(S,V) − f(S,S) = f(S,V) = f(S \setminus s,V) + f(s,V) = f(s,V) = |f|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord">∣</span></span></span></span></p>
+<p>1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>
+2-е равенство выполняется из-за антисимметричности: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(S,S)=−f(S,S)=0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span>
+3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм
+4-е равенство выполняется из-за сохранения потока</p>
+<h3 id="53-понятие-остаточной-сети-понятие-дополняющего-пути-необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока">5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока</h3>
+<h4 id="понятие-остаточной-сети">Понятие остаточной сети</h4>
+<p>Если задана некоторая транспортная сеть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> и поток <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span></span></span></span>, то <strong>остаточная сеть</strong> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mi>f</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_f</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.10764em;">f</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> - это сеть, состоящая из ребер с пропускными способностями, указывающими, как могут меняться потоки через ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>.</p>
+<h4 id="понятие-дополняющего-пути">Понятие дополняющего пути</h4>
+<p>Для заданной транспортной сети и потока <strong>дополняющим путем</strong> (англ. <em>augmenting path</em>) является простой путь из истока в сток в остаточной сети.</p>
+<h4 id="необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока">Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока</h4>
+<p>В случае существования дополняющего пути поток можно увеличить.</p>
+<h3 id="54-теорема-форда-фалкерсона">5.4. Теорема Форда-Фалкерсона</h3>
+<blockquote>
+<p><strong>Теорема Форда — Фалкерсо́на</strong> — теорема о максимальном потоке в графе, тесно связанная с теоремой Менгера. Звучит так: величина максимального потока в графе путей равна величине пропускной способности его минимального разреза.</p>
+</blockquote>
+<h3 id="55-алгоритм-форда-фалкерсона-поиск-минимального-разреза-пример-целочисленной-сети-в-котором-алгоритм-работает-долго">5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго</h3>
+<h4 id="алгоритм-форда-фалкерсона">Алгоритм Форда-Фалкерсона</h4>
+<p>Идея алгоритма заключается в следующем. Изначально величине потока присваивается значение 0: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(u,v)=0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span> для всех <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u, v \in V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span>. Затем величина потока итеративно увеличивается посредством поиска увеличивающего пути (путь от источника <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> к стоку <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">t</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span>, вдоль которого можно послать ненулевой поток). В данной статье рассматривается алгоритм, осуществляющий этот поиск с помощью обхода в глубину (dfs). Процесс повторяется, пока можно найти увеличивающий путь.</p>
+<p><strong>Неформальное описание:</strong></p>
+<ol>
+<li>Обнуляем все потоки. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.</li>
+<li>В остаточной сети находим любой путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.</li>
+<li>Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
+<ol>
+<li>На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</li>
+<li>Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, а в противоположном ему — уменьшаем на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</li>
+<li>Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных (антипараллельных) им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.</li>
+</ol>
+</li>
+<li>Возвращаемся на шаг 2.</li>
+</ol>
+<h4 id="поиск-минимального-разреза">Поиск минимального разреза</h4>
+<p>Алгоритм Форда-Фалкерсона использует поиск в ширину для нахождения увеличивающего пути в сети и постепенно увеличивает поток через этот путь, пока не будет достигнут максимальный поток. Затем алгоритм ищет минимальный разрез, основываясь на значении потока.</p>
+<h3 id="56-алгоритм-эдмондса-карпа-доказательство-что-кратчайшее-расстояние-в-остаточной-сети-не-уменьшается">5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается</h3>
+<h4 id="алгоритм-эдмондса-карпа">Алгоритм Эдмондса-Карпа</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Алгоритм Эдмондса-Карпа</strong> является реализацией метода Форда-Фалкерсона, в которой в качестве дополняющего пути выбирается кратчайший по рёбрам путь в остаточной сети (длины всех рёбер равны 1).</p>
+</blockquote>
+<p><strong>Описание:</strong></p>
+<ol>
+<li>Положим все потоки равными нулю. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.</li>
+<li>В остаточной сети находим кратчайший путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.</li>
+<li>Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
+<ol>
+<li>На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</li>
+<li>Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, а в противоположном ему — уменьшаем на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</li>
+<li>Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.</li>
+</ol>
+</li>
+<li>Возвращаемся на шаг 2.</li>
+</ol>
+<p><strong>Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшаетcя:</strong></p>
+<p><strong>Лемма:</strong></p>
+<blockquote>
+<p>Кратчайшее расстояние от истока до каждой вершины не уменьшается с выполнением каждой итерации, т.е. <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&gt;</mo><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_{i+1}[v] &gt;= level_i[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, где нижний индекс обозначает номер фазы, перед которой взяты значения этих переменных.</p>
+</blockquote>
+<p><strong>Доказательство:</strong></p>
+<p>Зафиксируем произвольную фазу <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и произвольную вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> и рассмотрим любой кратчайший <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s - v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> в сети <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>G</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>R</mi></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R_{i+1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.1583em;vertical-align:-0.317em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-2.4413em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.317em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (напомним, так мы обозначаем остаточную сеть, взятую перед выполнением <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i+1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7429em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>-ой фазы). Очевидно, длина пути <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> равна <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_{i+1}[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>.</p>
+<p>Заметим, что в остаточную сеть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>G</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>R</mi></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R_{i+1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.1583em;vertical-align:-0.317em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-2.4413em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.317em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> могут входить только рёбра из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mi>R</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8413em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, а также рёбра, обратные рёбрам из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mi>R</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8413em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (это следует из определения остаточной сети). Рассмотрим два случая:</p>
+<p>Путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> содержит только рёбра из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mi>R</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8413em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>. Тогда, понятно, длина пути <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> больше либо равна <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_i[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> (потому что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_i[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> по определению — длина кратчайшего пути), что и означает выполнение неравенства. Путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> содержит как минимум одно ребро, не содержащееся в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mi>R</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8413em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (но обратное какому-то ребру из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mi>R</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8413em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>). Рассмотрим первое такое ребро; пусть это будет ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(u,w)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi><mo>→</mo><mi>u</mi><mo>→</mo><mi>w</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s \rightarrow u \rightarrow w</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span></span></span></span></p>
+<p>Мы можем применить нашу лемму к вершине <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, потому что она подпадает под первый случай; итак, мы получаем неравенство <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&gt;</mo><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_{i+1}[u] &gt;= level_i[u]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>.</p>
+<p>Теперь заметим, что поскольку ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(u, w)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> появилось в остаточной сети только после выполнения <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span>-ой фазы, то отсюда следует, что вдоль ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>w</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(w, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> был дополнительно пропущен какой-то поток; следовательно, ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>w</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(w, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> принадлежало слоистой сети перед <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span>-ой фазой, а потому <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_i[u] = level_i[w] + 1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>. Учтём, что по свойству кратчайших путей <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_{i+1}[w] = level_{i+1}[u] + 1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>, и объединяя это равенство с двумя предыдущими неравенствами, получаем:
+<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&gt;</mo><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_{i+1}[w] &gt;= level_i[w] + 2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">2</span></span></span></span>.</p>
+<p>Теперь мы можем применять те же самые рассуждения ко всему оставшемуся пути до <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> (т.е. что каждое инвертированное ребро добавляет к <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">v</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm level</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">level</span></span></span></span></span> как минимум два), и в итоге получим требуемое неравенство.</p>
+<h3 id="57-общая-оценка-времени-работы-алгоритма-эдмондса-карпа">5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа</h3>
+<p>Сложность алгоритма Эдмондса-Карпа равна <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><msup><mi>E</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(VE^2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
+<h3 id="58-слоистая-сеть-алгоритм-диница-оценка-времени-работы-без-доказательства">5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства</h3>
+<h4 id="слоистая-сеть">Слоистая сеть</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Слоистая сеть</strong> — это сеть состоящая только из таких рёбер <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> сети <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(v) + 1 = d(u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span></span></span></span> - расстояние от истока.</p>
+</blockquote>
+<h4 id="алгоритм-диница">Алгоритм Диница</h4>
+<p><strong>Схема алгоритма:</strong></p>
+<ol>
+<li>Построить слоистую сеть по остаточной, если сток не достижим то завершить алгоритм</li>
+<li>Пустить блокирующий поток в слоистой сети</li>
+<li>Если алгоритм завершился, то в остаточной сети сток не достижим из истока, а значит не существует увеличивающего пути, следовательно найденный поток максимален.</li>
+</ol>
+<h4 id="оценка-времени-работы-без-доказательства">Оценка времени работы без доказательства</h4>
+<p>Так как расстояние строго увеличивается количество итераций алгоритма = <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(V)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. В зависимости от выбора алгоритма поиска блокирующего потока время данного алгоритма может составить <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><msup><mi>E</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo separator="true">,</mo><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>V</mi><mn>2</mn></msup><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(VE^2), O(V^2E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> или <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>V</mi><mn>3</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(V^3)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
+<h2 id="6-rmq-sparse-table-дерево-отрезков-lca-декартово-дерево-по-неявному-ключу">6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу</h2>
+<h3 id="61-rsq-и-rmq-sparse-table">6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table</h3>
+<h4 id="rsq-и-rmq">RSQ и RMQ.</h4>
+<p>Дан числовой массив: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[0]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord">0</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[1]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord">1</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, ..., <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[N−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10903em;">N</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>.$</p>
+<p>Нужно отвечать на запросы:</p>
+<ul>
+<li>для данных <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>R</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span> вычислить сумму <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>L</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo>+</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>R</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[L] + ... + A[R−1]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>;</li>
+<li>(опционально) обновить элемент: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[i] := x</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">x</span></span></span></span>.</li>
+</ul>
+<p>Операция — не обязательно сумма, а элементы — не обязательно числа.</p>
+<ul>
+<li>Сумма <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>→</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rightarrow</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.3669em;"></span><span class="mrel">→</span></span></span></span> RSQ (range sum query)</li>
+<li>Минимум <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>→</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rightarrow</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.3669em;"></span><span class="mrel">→</span></span></span></span> RMQ (range minimum query)</li>
+</ul>
+<h3 id="62-дерево-отрезков-обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня">6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня</h3>
+<h4 id="дерево-отрезков">Дерево отрезков</h4>
+<p>Дерево отрезков — это структура данных, которая позволяет эффективно (т.е. за асимптотику <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(log n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>) реализовать операции следующего вида: нахождение суммы/минимума элементов массива в заданном отрезке (<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>r</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a[l ... r]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">...</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">l</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> поступают на вход алгоритма), при этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и изменение элементов на целом подотрезке массива (т.е. разрешается присвоить всем элементам <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>r</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a[l ... r]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">...</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число).</p>
+<p>Вообще, дерево отрезков — очень гибкая структура, и число задач, решаемых ей, теоретически неограниченно. Помимо приведённых выше видов операций с деревьями отрезков, также возможны и гораздо более сложные операции (см. раздел &quot;Усложнённые версии дерева отрезков&quot;). В частности, дерево отрезков легко обобщается на большие размерности: например, для решения задачи о поиске суммы/минимума в некотором подпрямоугольнике данной матрицы (правда, уже только за время <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(log^2 n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>).</p>
+<p>Важной особенностью деревьев отрезков является то, что они потребляют линейный объём памяти: стандартному дереву отрезков требуется порядка <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>4</mn><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">4n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">4</span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> элементов памяти для работы над массивом размера <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span>.</p>
+<h4 id="обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня">Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня</h4>
+<p>В дереве отрезков обработка запросов может осуществляться как от листьев (bottom-up), так и от корня (top-down). Это связано с тем, как информация распространяется вдоль дерева при выполнении запросов.</p>
+<ol>
+<li>
+<p><strong>Обработка запросов от листьев (Bottom-Up):</strong></p>
+<ul>
+<li>Идея заключается в том, что сначала вычисляются значения для листьев (первоначальные элементы массива), а затем эта информация постепенно передается вверх по дереву для расчета значений на более высоких уровнях.</li>
+<li>Когда поступает запрос на определенный отрезок, начинаются вычисления от соответствующих листьев. Затем результаты объединяются на более высоких уровнях дерева, пока не достигнется корень.</li>
+<li>Этот подход обеспечивает эффективность расчетов для запросов на отрезках.</li>
+</ul>
+</li>
+<li>
+<p><strong>Обработка запросов от корня (Top-Down):</strong></p>
+<ul>
+<li>Здесь запрос начинается с корня дерева, и информация передается вниз по дереву до тех пор, пока не достигнут нужные листья (или пока не выполнены условия запроса).</li>
+<li>Этот метод может быть полезен в случаях, когда запросы связаны с каким-то условием, которое позволяет пропускать некоторые поддеревья, не вычисляя их полностью.</li>
+<li>Позволяет оптимизировать запросы, если известно, что результаты на некоторых уровнях дерева не повлияют на результат запроса.</li>
+</ul>
+</li>
+</ol>
+<p>Реализация обработки запросов от листьев или от корня зависит от конкретных требований задачи и структуры дерева отрезков. В некоторых случаях может быть полезно использовать комбинацию обоих методов для оптимизации производительности и удовлетворения специфических требований запросов.</p>
+<h3 id="63-изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков-множественные-операции">6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции</h3>
+<h4 id="изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков">Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.</h4>
+<p>Напомним, что запрос обновления получает на вход индекс <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и значение <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">x</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">x</span></span></span></span>, и перестраивает дерево отрезков таким образом, чтобы оно соответствовало новому значению <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[i] := x</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">x</span></span></span></span>. Этот запрос должен также выполняться за время <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(log n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
+<p>Это более простой запрос по сравнению с запросом подсчёта суммы. Дело в том, что элемент <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[i]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> участвует только в относительно небольшом числе вершин дерева отрезков: а именно, в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(log n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> вершинах — по одной с каждого уровня.</p>
+<p>Тогда понятно, что запрос обновления можно реализовать как рекурсивную функцию: ей передаётся текущая вершина дерева отрезков, и эта функция выполняет рекурсивный вызов от одного из двух своих сыновей (от того, который содержит позицию i в своём отрезке), а после этого — пересчитывает значение суммы в текущей вершине точно таким же образом, как мы это делали при построении дерева отрезков (т.е. как сумма значений по обоим сыновьям текущей вершины).</p>
+<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">update</span> <span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> v, <span class="hljs-type">int</span> tl, <span class="hljs-type">int</span> tr, <span class="hljs-type">int</span> pos, <span class="hljs-type">int</span> new_val)</span> </span>{
+  <span class="hljs-keyword">if</span> (tl == tr)
+    t[v] = new_val;
+  <span class="hljs-keyword">else</span> {
+    <span class="hljs-type">int</span> tm = (tl + tr) / <span class="hljs-number">2</span>;
+    <span class="hljs-keyword">if</span> (pos &lt;= tm)
+      <span class="hljs-built_in">update</span> (v*<span class="hljs-number">2</span>, tl, tm, pos, new_val);
+    <span class="hljs-keyword">else</span>
+      <span class="hljs-built_in">update</span> (v*<span class="hljs-number">2</span>+<span class="hljs-number">1</span>, tm+<span class="hljs-number">1</span>, tr, pos, new_val);
+    t[v] = t[v*<span class="hljs-number">2</span>] + t[v*<span class="hljs-number">2</span>+<span class="hljs-number">1</span>];
+  }
+}
+</code></pre>
+<h4 id="множественные-операции">Множественные операции</h4>
+<p>Множественные операции в дереве отрезков относятся к расширенной концепции структуры данных &quot;дерево отрезков&quot;, которая позволяет эффективно выполнять несколько операций на отрезках массива или последовательности данных. Обычно дерево отрезков предназначено для выполнения операций типа запроса на сумму, минимум, максимум на определенном подотрезке массива. Однако, при необходимости, можно расширить возможности дерева отрезков для поддержки нескольких операций.</p>
+<p>Примеры множественных операций в дереве отрезков могут включать в себя:</p>
+<ol>
+<li>
+<p><strong>Сумма и обновление (Range Sum Query and Range Update):</strong> Помимо запросов на сумму элементов на определенном отрезке, можно добавить операции обновления, изменяющие значения элементов на определенном отрезке.</p>
+</li>
+<li>
+<p><strong>Минимум/максимум и обновление (Range Minimum/Maximum Query and Range Update):</strong> Поддержка запросов на поиск минимума или максимума на определенном отрезке, а также операций обновления значений элементов.</p>
+</li>
+<li>
+<p><strong>Подсчет количества элементов в диапазоне с заданным условием (Count Elements in Range with a Given Condition):</strong> Дерево отрезков может быть настроено для подсчета количества элементов, удовлетворяющих определенному условию, на определенном отрезке.</p>
+</li>
+<li>
+<p><strong>Операции нахождения k-го порядкового статистического элемента (K-th Order Statistics Operations):</strong> Поиск <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-го минимального/максимального элемента на определенном отрезке.</p>
+</li>
+<li>
+<p><strong>Сложные агрегатные функции:</strong> Различные агрегатные функции, такие как нахождение среднего значения, медианы и др., могут быть реализованы с использованием множественных операций.</p>
+</li>
+</ol>
+<p>Реализация множественных операций требует изменений в структуре дерева отрезков и логике обработки запросов и обновлений. Это может потребовать более сложного кода, но в то же время предоставляет более широкий спектр возможностей для решения различных задач.</p>
+<h3 id="64-lca-метод-двоичного-подъёма">6.4. LCA. Метод двоичного подъёма</h3>
+<h4 id="lca">LCA</h4>
+<p>Наименьший общий предок (нижайший общий предок) вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в корневом дереве <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> — наиболее удалённая от корня дерева вершина, лежащая на обоих путях от <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> до корня, т. е. являющаяся предком обеих вершин. Общепринятое сокращение — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mi>C</mi><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">LCA</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span> от англ. <em>lowest (least) common ancestor</em>.</p>
+<h4 id="метод-двоичного-подъёма">Метод двоичного подъёма</h4>
+<blockquote>
+<p><strong>Метод двоичного подъёма</strong> — один из самых простых методов для решения задачи LCA в online. Он не использует метод решения задачи RMQ и основан на методе динамического программирования.</p>
+</blockquote>
+<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function">function <span class="hljs-title">preprocess</span><span class="hljs-params">()</span>:
+     int[] p =</span> <span class="hljs-built_in">dfs</span>(<span class="hljs-number">0</span>)
+     <span class="hljs-keyword">for</span> i = <span class="hljs-number">1</span> to n
+        dp[i][<span class="hljs-number">0</span>] = p[i]
+     <span class="hljs-keyword">for</span> j = <span class="hljs-number">1</span> to <span class="hljs-built_in">log</span>(n)
+        <span class="hljs-keyword">for</span> i = <span class="hljs-number">1</span> to n
+           dp[i][j] = dp[dp[i][j - <span class="hljs-number">1</span>]][j - <span class="hljs-number">1</span>]
+  
+  <span class="hljs-type">int</span> <span class="hljs-built_in">lca</span>(<span class="hljs-type">int</span> v, <span class="hljs-type">int</span> u):
+     <span class="hljs-keyword">if</span> d[v] &gt; d[u]
+        <span class="hljs-built_in">swap</span>(v, u)
+     <span class="hljs-keyword">for</span> i = <span class="hljs-built_in">log</span>(n) downto <span class="hljs-number">0</span>
+        <span class="hljs-keyword">if</span> d[dp[u][i]] - d[v] &gt;= <span class="hljs-number">0</span>
+           u = dp[u][i]
+     <span class="hljs-keyword">if</span> v == u
+        <span class="hljs-keyword">return</span> v
+     <span class="hljs-keyword">for</span> i = <span class="hljs-built_in">log</span>(n) downto <span class="hljs-number">0</span>
+        <span class="hljs-keyword">if</span> dp[v][i] != dp[u][i]
+           v = dp[v][i]
+           u = dp[u][i]
+     <span class="hljs-keyword">return</span> p[v]
+</code></pre>
+<h3 id="65-декартово-дерево-по-неявному-ключу-интерфейс-быстрого-массива-доступ-к-элементу-в-позиции-i-вставка-элемента-в-позицию-i-удаление-элемента-из-позиции-i-конкатенация-двух-массивов-разделение-массива-на-два">6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два</h3>
+<h4 id="декартово-дерево-по-неявному-ключу">Декартово дерево по неявному ключу</h4>
+<p>Декартово дерево по неявному ключу - это структура данных, объединяющая свойства декартова дерева и быстрого массива (cartesian tree on implicit key). Декартово дерево основано на двух параметрах: приоритете (обычно случайном) и ключе элемента. В случае декартова дерева по неявному ключу, элементы упорядочены по порядку, заданному индексами массива.</p>
+<h4 id="интерфейс-быстрого-массива">Интерфейс быстрого массива</h4>
+<ol>
+<li>
+<p><strong>Доступ к элементу в позиции i:</strong></p>
+<ul>
+<li>Так как элементы упорядочены по неявному ключу (порядковому номеру), доступ к элементу в позиции i выполняется, обращаясь к элементу с ключом i.</li>
+</ul>
+</li>
+<li>
+<p><strong>Вставка элемента в позицию i:</strong></p>
+<ul>
+<li>Вставка элемента в позицию i может быть выполнена путем создания нового узла с соответствующим приоритетом и неявным ключом i, затем соединения этого нового узла с существующими поддеревьями вокруг позиции i.</li>
+</ul>
+</li>
+<li>
+<p><strong>Удаление элемента из позиции i:</strong></p>
+<ul>
+<li>Удаление элемента из позиции i подразумевает разделение декартова дерева на два поддерева: одно до позиции i и второе после позиции i. Затем оба поддерева могут быть объединены, игнорируя узел с ключом i.</li>
+</ul>
+</li>
+</ol>
+<p>Декартово дерево по неявному ключу обеспечивает эффективный доступ к элементам по индексу, а также эффективную вставку и удаление элементов, поддерживая при этом свойства декартова дерева.</p>
+<h4 id="конкатенация-двух-массивов">Конкатенация двух массивов</h4>
+<p>Декартово дерево можно использовать для эффективной конкатенации двух массивов и разделения массива на две части, представляя массив в виде декартова дерева по неявному ключу.</p>
+<p>Для конкатенации двух массивов, представленных в виде декартова дерева, можно выполнить следующие шаги:</p>
+<ol>
+<li>Создать новый узел, который станет корнем нового дерева.</li>
+<li>Как корень нового дерева выбрать узел с максимальным приоритетом из обоих деревьев.</li>
+<li>Сделать корень дерева с максимальным приоритетом корнем нового дерева.</li>
+<li>Поддерево с меньшим приоритетом становится левым (или правым) поддеревом корня нового дерева.</li>
+<li>Рекурсивно повторить процесс для поддеревьев, соответствующих двум исходным деревьям.</li>
+</ol>
+<h4 id="разделение-массива-на-два">Разделение массива на два</h4>
+<p>Для разделения массива на две части в декартовом дереве, можно воспользоваться тем фактом, что приоритеты узлов определяют порядок элементов. Мы ищем узел, чей неявный ключ соответствует индексу разделения.</p>
+<ol>
+<li>Выполняем поиск в декартовом дереве по индексу разделения.</li>
+<li>Получаем поддерево с корнем, у которого неявный ключ равен индексу разделения.</li>
+<li>Разделяем это поддерево на два: левое поддерево становится левой частью, а правое поддерево становится правой частью.</li>
+</ol>
+
+        <script async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex-copytex@latest/dist/katex-copytex.min.js"></script>
+        
+    </body>
+    </html>
\ No newline at end of file
diff --git a/doc/Theory.md b/doc/Theory.md
index cd5202a..657d1c4 100644
--- a/doc/Theory.md
+++ b/doc/Theory.md
@@ -1,139 +1,140 @@
-# Теория по алгоритмам <!-- omit in $to$ c -->
+# Теория по алгоритмам <!-- omit in toc -->
 
 ## Содержание
 
-- [Теория по алгоритмам ](#теория-по-алгоритмам-)
-  - [Содержание](#содержание)
-  - [1. Обходы графа](#1-обходы-графа)
-    - [1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности](#11-ориентированный-граф-псевдограф-неориентированный-граф-псевдограф-связность-в-неориентированном-графе-компоненты-связности-слабая-и-сильная-связность-в-ориентированном-графе-компоненты-слабой-сильной-связности)
-      - [Ориентированный граф](#ориентированный-граф)
-      - [Неориентированный граф](#неориентированный-граф)
-    - [1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)](#12-обход-в-глубину-цвета-вершин-времена-входа-и-выхода-лемма-о-белых-путях-с-доказательством)
-      - [Обход в глубину](#обход-в-глубину)
-      - [Лемма о белых путях](#лемма-о-белых-путях)
-    - [1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка](#13-проверка-связности-неориентированного-графа-поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе-топологическая-сортировка)
-      - [Проверка связности неориентированного графа](#проверка-связности-неориентированного-графа)
-      - [Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе](#поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе)
-      - [Топологическая сортировка](#топологическая-сортировка)
-    - [1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности](#14-нахождение-компонент-сильной-связности-алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция-алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности)
-      - [Нахождение компонент сильной связности](#нахождение-компонент-сильной-связности)
-      - [Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция)](#алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция)
-      - [Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности](#алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности)
-    - [1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов](#15-компоненты-реберной-двусвязности-мосты-поиск-мостов)
-      - [Компоненты реберной двусвязности](#компоненты-реберной-двусвязности)
-      - [Мосты](#мосты)
-      - [Поиск мостов](#поиск-мостов)
-    - [1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения](#16-компоненты-вершинной-двусвязности-точки-сочленения-поиск-точек-сочленения)
-      - [Компоненты вершинной двусвязности](#компоненты-вершинной-двусвязности)
-      - [Точки сочленения](#точки-сочленения)
-      - [Поиск точек сочленения](#поиск-точек-сочленения)
-    - [1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)](#17-волновой-алгоритм-обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме)
-      - [Волновой алгоритм](#волновой-алгоритм)
-      - [Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)](#обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме)
-    - [1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла](#18-критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-и-неориентированном-графе-поиск-эйлерова-пути-и-цикла)
-      - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-неориентированном-графе)
-      - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-графе)
-      - [Поиск эйлерова пути и цикла](#поиск-эйлерова-пути-и-цикла)
-  - [2. Планарность графа](#2-планарность-графа)
-    - [2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера](#21-формула-эйлера-теорема-портнягина-куратовского-теорема-вагнера)
-      - [Формула Эйлера](#формула-эйлера)
-      - [Теорема Портнягина-Куратовского](#теорема-портнягина-куратовского)
-      - [Теорема Вагнера](#теорема-вагнера)
-    - [2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина](#22-гамма-алгоритм-контактная-вершина)
-      - [Гамма алгоритм](#гамма-алгоритм)
-    - [2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма](#23-теорема-о-корректности-гамма-алгоритма-асимптотика-алгоритма)
-      - [Теорема о корректности Гамма алгоритма](#теорема-о-корректности-гамма-алгоритма)
-  - [3. Кратчайшие пути во взвешенном графе](#3-кратчайшие-пути-во-взвешенном-графе)
-    - [3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей](#31-алгоритм-дейкстры-доказательство-корректностис-доказательством-оценка-времени-работы-дерево-кратчайших-путей)
-      - [Алгоритм Дейкстры](#алгоритм-дейкстры)
-      - [Доказательство корректности](#доказательство-корректности)
-      - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы)
-      - [Дерево кратчайших путей](#дерево-кратчайших-путей)
-    - [3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал $\\pi(v) = \\rho(v, t)$](#32-потенциалы-условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер-потенциал-piv--rhov-t)
-      - [Потенциалы](#потенциалы)
-      - [Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер](#условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер)
-      - [Потенциал $\\pi(v) = \\rho(v, t)$](#потенциал-piv--rhov-t)
-    - [3.3. Алгоритм A\*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик](#33-алгоритм-a-условие-монотонности-на-эвристику-примеры-эвристик)
-      - [Алгоритм A\*](#алгоритм-a)
-      - [Примеры эвристик](#примеры-эвристик)
-    - [3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: $D\_{vk}$ равно длине кратчайшего пути до вершины $v$ за ровно $k$ ребер (не более $k$ ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы](#34-алгоритм-форда-беллмана-хранение-в-матрице-d_vk-равно-длине-кратчайшего-пути-до-вершины-v-за-ровно-k-ребер-не-более-k-ребер-доказательство-корректности-полное-оценка-времени-работы)
-      - [Доказательство корректности(полное)](#доказательство-корректностиполное)
-      - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-1)
-    - [3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла](#35-восстановление-пути-детектирование-цикла-отрицательного-веса-поиск-самого-цикла)
-      - [Восстановление пути](#восстановление-пути)
-      - [Детектирование цикла отрицательного веса](#детектирование-цикла-отрицательного-веса)
-      - [Поиск самого цикла](#поиск-самого-цикла)
-    - [3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса](#36-нахождение-кратчайших-путей-с-учетом-циклов-отрицательного-веса)
-    - [3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути](#37-алгоритм-флойда-доказательство-концепция-восстановление-пути)
-      - [Алгоритм Флойда](#алгоритм-флойда)
-      - [Доказательство (концепция)](#доказательство-концепция)
-      - [Восстановление пути](#восстановление-пути-1)
-    - [3.8. Нахождение цикла отрицательного веса](#38-нахождение-цикла-отрицательного-веса)
-    - [3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#39-алгоритм-джонсона-добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
-      - [Алгоритм Джонсона](#алгоритм-джонсона)
-      - [Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
-  - [4. Остовные деревья](#4-остовные-деревья)
-    - [4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину](#41-остовное-дерево-построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину)
-      - [Остовное дерево](#остовное-дерево)
-      - [Построение с помощью обхода в глубину и в ширину](#построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину)
-    - [4.2. Определение минимального остовного дерева](#42-определение-минимального-остовного-дерева)
-    - [4.3. Теорема о разрезе. Доказательство](#43-теорема-о-разрезе-доказательство)
-      - [Теорема о разрезе](#теорема-о-разрезе)
-    - [4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)](#44-алгоритм-прима-аналогия-с-алгоритмом-дейкстры-оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча-последнее-без-доказательства)
-      - [Алгоритм Прима](#алгоритм-прима)
-      - [Аналогия с алгоритмом Дейкстры](#аналогия-с-алгоритмом-дейкстры)
-      - [Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча](#оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча)
-    - [4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе](#45-алгоритм-прима-доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе)
-      - [Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе](#доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе)
-    - [4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы](#46-алгоритм-краскала-доказательство-корректности-оценка-времени-работы)
-      - [Алгоритм Краскала](#алгоритм-краскала)
-        - [Доказательство корректности](#доказательство-корректности-1)
-        - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-2)
-    - [4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы](#47-система-непересекающихся-множеств-эвристика-потенциалов-без-доказательства-эвристика-сжатия-пути-без-доказательства-почти-константное-время-работы)
-    - [4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство(полное). Оценка времени работы](#48-алгоритм-борувки-доказательствополное-оценка-времени-работы)
-      - [Алгоритм Борувки](#алгоритм-борувки)
-        - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-3)
-    - [4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева](#49-приближение-решения-задачи-коммивояжера-с-помощью-минимального-остовного-дерева)
-  - [5. Потоки в сетях](#5-потоки-в-сетях)
-    - [5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез](#51-определение-сети-определение-потока-физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа-определение-разреза-понятия-потока-через-разрез)
-      - [Определение сети](#определение-сети)
-      - [Определение потока](#определение-потока)
-      - [Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа](#физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа)
-      - [Определение разреза](#определение-разреза)
-      - [Понятия потока через разрез](#понятия-потока-через-разрез)
-    - [5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый](#52-доказательство-факта-что-поток-через-любой-разрез-одинаковый)
-    - [5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока](#53-понятие-остаточной-сети-понятие-дополняющего-пути-необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока)
-      - [Понятие остаточной сети](#понятие-остаточной-сети)
-      - [Понятие дополняющего пути](#понятие-дополняющего-пути)
-      - [Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока](#необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока)
-    - [5.4. Теорема Форда-Фалкерсона](#54-теорема-форда-фалкерсона)
-    - [5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго](#55-алгоритм-форда-фалкерсона-поиск-минимального-разреза-пример-целочисленной-сети-в-котором-алгоритм-работает-долго)
-      - [Алгоритм Форда-Фалкерсона](#алгоритм-форда-фалкерсона)
-      - [Поиск минимального разреза](#поиск-минимального-разреза)
-    - [5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается](#56-алгоритм-эдмондса-карпа-доказательство-что-кратчайшее-расстояние-в-остаточной-сети-не-уменьшается)
-      - [Алгоритм Эдмондса-Карпа](#алгоритм-эдмондса-карпа)
-    - [5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа](#57-общая-оценка-времени-работы-алгоритма-эдмондса-карпа)
-    - [5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства](#58-слоистая-сеть-алгоритм-диница-оценка-времени-работы-без-доказательства)
-      - [Слоистая сеть](#слоистая-сеть)
-      - [Алгоритм Диница](#алгоритм-диница)
-      - [Оценка времени работы без доказательства](#оценка-времени-работы-без-доказательства)
-  - [6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу](#6-rmq-sparse-table-дерево-отрезков-lca-декартово-дерево-по-неявному-ключу)
-    - [6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table](#61-rsq-и-rmq-sparse-table)
-      - [RSQ и RMQ.](#rsq-и-rmq)
-    - [6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня](#62-дерево-отрезков-обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня)
-      - [Дерево отрезков](#дерево-отрезков)
-      - [Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня](#обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня)
-    - [6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции](#63-изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков-множественные-операции)
-      - [Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.](#изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков)
-      - [Множественные операции](#множественные-операции)
-    - [6.4. LCA. Метод двоичного подъёма](#64-lca-метод-двоичного-подъёма)
-      - [LCA](#lca)
-      - [Метод двоичного подъёма](#метод-двоичного-подъёма)
-    - [6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два](#65-декартово-дерево-по-неявному-ключу-интерфейс-быстрого-массива-доступ-к-элементу-в-позиции-i-вставка-элемента-в-позицию-i-удаление-элемента-из-позиции-i-конкатенация-двух-массивов-разделение-массива-на-два)
-      - [Декартово дерево по неявному ключу](#декартово-дерево-по-неявному-ключу)
-      - [Интерфейс быстрого массива](#интерфейс-быстрого-массива)
-      - [Конкатенация двух массивов](#конкатенация-двух-массивов)
-      - [Разделение массива на два](#разделение-массива-на-два)
+- [Содержание](#содержание)
+- [1. Обходы графа](#1-обходы-графа)
+  - [1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности](#11-ориентированный-граф-псевдограф-неориентированный-граф-псевдограф-связность-в-неориентированном-графе-компоненты-связности-слабая-и-сильная-связность-в-ориентированном-графе-компоненты-слабой-сильной-связности)
+    - [Ориентированный граф](#ориентированный-граф)
+    - [Неориентированный граф](#неориентированный-граф)
+  - [1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)](#12-обход-в-глубину-цвета-вершин-времена-входа-и-выхода-лемма-о-белых-путях-с-доказательством)
+    - [Обход в глубину](#обход-в-глубину)
+    - [Лемма о белых путях](#лемма-о-белых-путях)
+  - [1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка](#13-проверка-связности-неориентированного-графа-поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе-топологическая-сортировка)
+    - [Проверка связности неориентированного графа](#проверка-связности-неориентированного-графа)
+    - [Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе](#поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе)
+    - [Топологическая сортировка](#топологическая-сортировка)
+  - [1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности](#14-нахождение-компонент-сильной-связности-алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция-алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности)
+    - [Нахождение компонент сильной связности](#нахождение-компонент-сильной-связности)
+    - [Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция)](#алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция)
+    - [Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности](#алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности)
+  - [1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов](#15-компоненты-реберной-двусвязности-мосты-поиск-мостов)
+    - [Компоненты реберной двусвязности](#компоненты-реберной-двусвязности)
+    - [Мосты](#мосты)
+    - [Поиск мостов](#поиск-мостов)
+  - [1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения](#16-компоненты-вершинной-двусвязности-точки-сочленения-поиск-точек-сочленения)
+    - [Компоненты вершинной двусвязности](#компоненты-вершинной-двусвязности)
+    - [Точки сочленения](#точки-сочленения)
+    - [Поиск точек сочленения](#поиск-точек-сочленения)
+  - [1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)](#17-волновой-алгоритм-обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме)
+    - [Волновой алгоритм](#волновой-алгоритм)
+    - [Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)](#обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме)
+  - [1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла](#18-критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-и-неориентированном-графе-поиск-эйлерова-пути-и-цикла)
+    - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-неориентированном-графе)
+    - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-графе)
+    - [Поиск эйлерова пути и цикла](#поиск-эйлерова-пути-и-цикла)
+- [2. Планарность графа](#2-планарность-графа)
+  - [2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера](#21-формула-эйлера-теорема-портнягина-куратовского-теорема-вагнера)
+    - [Формула Эйлера](#формула-эйлера)
+    - [Теорема Портнягина-Куратовского](#теорема-портнягина-куратовского)
+    - [Теорема Вагнера](#теорема-вагнера)
+  - [2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина](#22-гамма-алгоритм-контактная-вершина)
+    - [Гамма алгоритм](#гамма-алгоритм)
+  - [2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма](#23-теорема-о-корректности-гамма-алгоритма-асимптотика-алгоритма)
+    - [Теорема о корректности Гамма алгоритма](#теорема-о-корректности-гамма-алгоритма)
+- [3. Кратчайшие пути во взвешенном графе](#3-кратчайшие-пути-во-взвешенном-графе)
+  - [3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей](#31-алгоритм-дейкстры-доказательство-корректностис-доказательством-оценка-времени-работы-дерево-кратчайших-путей)
+    - [Алгоритм Дейкстры](#алгоритм-дейкстры)
+    - [Доказательство корректности](#доказательство-корректности)
+    - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы)
+    - [Дерево кратчайших путей](#дерево-кратчайших-путей)
+  - [3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал $\\pi(v) = \\rho(v, t)$](#32-потенциалы-условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер-потенциал-piv--rhov-t)
+    - [Потенциалы](#потенциалы)
+    - [Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер](#условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер)
+    - [Потенциал $\\pi(v) = \\rho(v, t)$](#потенциал-piv--rhov-t)
+  - [3.3. Алгоритм A\*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик](#33-алгоритм-a-условие-монотонности-на-эвристику-примеры-эвристик)
+    - [Алгоритм A\*](#алгоритм-a)
+    - [Примеры эвристик](#примеры-эвристик)
+  - [3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: $D\_{vk}$ равно длине кратчайшего пути до вершины $v$ за ровно $k$ ребер (не более $k$ ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы](#34-алгоритм-форда-беллмана-хранение-в-матрице-d_vk-равно-длине-кратчайшего-пути-до-вершины-v-за-ровно-k-ребер-не-более-k-ребер-доказательство-корректности-полное-оценка-времени-работы)
+    - [Доказательство корректности(полное)](#доказательство-корректностиполное)
+    - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-1)
+  - [3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла](#35-восстановление-пути-детектирование-цикла-отрицательного-веса-поиск-самого-цикла)
+    - [Восстановление пути](#восстановление-пути)
+    - [Детектирование цикла отрицательного веса](#детектирование-цикла-отрицательного-веса)
+    - [Поиск самого цикла](#поиск-самого-цикла)
+  - [3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса](#36-нахождение-кратчайших-путей-с-учетом-циклов-отрицательного-веса)
+  - [3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути](#37-алгоритм-флойда-доказательство-концепция-восстановление-пути)
+    - [Алгоритм Флойда](#алгоритм-флойда)
+    - [Доказательство (концепция)](#доказательство-концепция)
+    - [Восстановление пути](#восстановление-пути-1)
+  - [3.8. Нахождение цикла отрицательного веса](#38-нахождение-цикла-отрицательного-веса)
+  - [3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#39-алгоритм-джонсона-добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
+    - [Алгоритм Джонсона](#алгоритм-джонсона)
+    - [Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
+- [4. Остовные деревья](#4-остовные-деревья)
+  - [4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину](#41-остовное-дерево-построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину)
+    - [Остовное дерево](#остовное-дерево)
+    - [Построение с помощью обхода в глубину и в ширину](#построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину)
+  - [4.2. Определение минимального остовного дерева](#42-определение-минимального-остовного-дерева)
+  - [4.3. Теорема о разрезе. Доказательство](#43-теорема-о-разрезе-доказательство)
+    - [Теорема о разрезе](#теорема-о-разрезе)
+  - [4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)](#44-алгоритм-прима-аналогия-с-алгоритмом-дейкстры-оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча-последнее-без-доказательства)
+    - [Алгоритм Прима](#алгоритм-прима)
+    - [Аналогия с алгоритмом Дейкстры](#аналогия-с-алгоритмом-дейкстры)
+    - [Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча](#оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча)
+  - [4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе](#45-алгоритм-прима-доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе)
+    - [Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе](#доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе)
+  - [4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы](#46-алгоритм-краскала-доказательство-корректности-оценка-времени-работы)
+    - [Алгоритм Краскала](#алгоритм-краскала)
+      - [Доказательство корректности](#доказательство-корректности-1)
+      - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-2)
+  - [4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы](#47-система-непересекающихся-множеств-эвристика-потенциалов-без-доказательства-эвристика-сжатия-пути-без-доказательства-почти-константное-время-работы)
+  - [4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство(полное). Оценка времени работы](#48-алгоритм-борувки-доказательствополное-оценка-времени-работы)
+    - [Алгоритм Борувки](#алгоритм-борувки)
+      - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-3)
+  - [4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева](#49-приближение-решения-задачи-коммивояжера-с-помощью-минимального-остовного-дерева)
+- [5. Потоки в сетях](#5-потоки-в-сетях)
+  - [5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез](#51-определение-сети-определение-потока-физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа-определение-разреза-понятия-потока-через-разрез)
+    - [Определение сети](#определение-сети)
+    - [Определение потока](#определение-потока)
+    - [Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа](#физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа)
+    - [Определение разреза](#определение-разреза)
+    - [Понятия потока через разрез](#понятия-потока-через-разрез)
+  - [5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый](#52-доказательство-факта-что-поток-через-любой-разрез-одинаковый)
+  - [5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока](#53-понятие-остаточной-сети-понятие-дополняющего-пути-необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока)
+    - [Понятие остаточной сети](#понятие-остаточной-сети)
+    - [Понятие дополняющего пути](#понятие-дополняющего-пути)
+    - [Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока](#необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока)
+  - [5.4. Теорема Форда-Фалкерсона](#54-теорема-форда-фалкерсона)
+  - [5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго](#55-алгоритм-форда-фалкерсона-поиск-минимального-разреза-пример-целочисленной-сети-в-котором-алгоритм-работает-долго)
+    - [Алгоритм Форда-Фалкерсона](#алгоритм-форда-фалкерсона)
+    - [Поиск минимального разреза](#поиск-минимального-разреза)
+  - [5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается](#56-алгоритм-эдмондса-карпа-доказательство-что-кратчайшее-расстояние-в-остаточной-сети-не-уменьшается)
+    - [Алгоритм Эдмондса-Карпа](#алгоритм-эдмондса-карпа)
+  - [5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа](#57-общая-оценка-времени-работы-алгоритма-эдмондса-карпа)
+  - [5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства](#58-слоистая-сеть-алгоритм-диница-оценка-времени-работы-без-доказательства)
+    - [Слоистая сеть](#слоистая-сеть)
+    - [Алгоритм Диница](#алгоритм-диница)
+    - [Оценка времени работы без доказательства](#оценка-времени-работы-без-доказательства)
+- [6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу](#6-rmq-sparse-table-дерево-отрезков-lca-декартово-дерево-по-неявному-ключу)
+  - [6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table](#61-rsq-и-rmq-sparse-table)
+    - [RSQ и RMQ.](#rsq-и-rmq)
+  - [6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня](#62-дерево-отрезков-обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня)
+    - [Дерево отрезков](#дерево-отрезков)
+    - [Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня](#обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня)
+  - [6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции](#63-изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков-множественные-операции)
+    - [Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.](#изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков)
+    - [Множественные операции](#множественные-операции)
+  - [6.4. LCA. Метод двоичного подъёма](#64-lca-метод-двоичного-подъёма)
+    - [LCA](#lca)
+    - [Метод двоичного подъёма](#метод-двоичного-подъёма)
+  - [6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два](#65-декартово-дерево-по-неявному-ключу-интерфейс-быстрого-массива-доступ-к-элементу-в-позиции-i-вставка-элемента-в-позицию-i-удаление-элемента-из-позиции-i-конкатенация-двух-массивов-разделение-массива-на-два)
+    - [Декартово дерево по неявному ключу](#декартово-дерево-по-неявному-ключу)
+    - [Интерфейс быстрого массива](#интерфейс-быстрого-массива)
+    - [Конкатенация двух массивов](#конкатенация-двух-массивов)
+    - [Разделение массива на два](#разделение-массива-на-два)
+
+<div class="page"/>
 
 ## 1. Обходы графа
 
@@ -566,6 +567,8 @@ while (v != s) {
     Для поиска цикла на шаге 1 используем поиск в глубину.
     Сложность полученного алгоритма — $O(|E|)$, то есть линейная относительно количества рёбер в данном графе
 
+<div class="page"/>
+
 ## 2. Планарность графа
 
 ### 2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера
@@ -618,13 +621,15 @@ while (v != s) {
 
     Заметим, что на текущем шаге нет такого сегмента $S$  относительно $G_{k−1}$, для которого бы выполнялось равенство $Γ(S) = \varnothing$, так как в противном случае существовала бы цепь этого сегмента, контактные вершины которой принадлежали бы разным граням и укладка которой была бы невозможна. Следовательно, нельзя было бы уложить $S$,что противоречит тому, что $G$ — планарный граф. Значит, мы можем рассматривать только следующие два случая:
     1. Существует сегмент $S$ для которого есть единственная вмещающая грань $Γ$, то есть $|Γ(S)| = 1$. Так как только грани $Γ$ принадлежат все контактные вершины $S$, то укладка этого сегмента в эту грань неизбежна. Это значит, что помещая любую цепь $L \subset S$, снова получим частичную укладку графа.
-    
+
     2. Для любого сегмента $S$ $|Γ(S)| \geq 2$. Построим граф $A(G'k−1)$, который по лемме 2 является двудольным. Рассмотрим его связную компоненту $K$, которая содержит не менее двух вершин. Граф $K$ также является двудольным. По лемме 1 для любого сегмента $S \in K$  справедливо $Γ(S)={Γ1, Γ2}$. Так как граф $K$ двудольный, то мы можем по очереди помещать сегменты $K$ в разные грани, причем конфликтующих сегментов не возникнет в силу четности всех циклов в графе. Результатом будет частичная укладка графа.
 
     Таким образом, на каждом шаге мы получаем частичную укладку графа, что доказывает корректность гамма-алгоритма.
 
 **Асимптотика алгоритма - $O(n^3)$.**
 
+<div class="page"/>
+
 ## 3. Кратчайшие пути во взвешенном графе
 
 ### 3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей
@@ -899,6 +904,8 @@ new_d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
 
 Как в случае применения алгоритма Беллмана-Форда для обнаружения отрицательных циклов, существуют два способа сделать вес каждого ребра неотрицательным в произвольной сети без отрицательных циклов. Либо можно начать с истока в каждом сильно связном компоненте, либо добавить фиктивную вершину с ребром нулевой длины в каждую вершину сети. В любом случае получится остовный лес кратчайших путей, которым можно воспользоваться для присвоения весов вершинам (вес пути из корня в данную вершину в ее SPT).
 
+<div class="page"/>
+
 ## 4. Остовные деревья
 
 ### 4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину
@@ -1047,6 +1054,8 @@ $O(ElogE)$.
 5. Образуем эйлеров цикл в $H$.
 6. Преобразуем цикл, найденный на предыдущем шаге, в гамильтонов цикл путём пропуска повторяющихся вершин (сокращение).
 
+<div class="page"/>
+
 ## 5. Потоки в сетях
 
 ### 5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез
@@ -1181,6 +1190,8 @@ $level_{i+1}[w] >= level_i[w] + 2$.
 
 Так как расстояние строго увеличивается количество итераций алгоритма = $O(V)$. В зависимости от выбора алгоритма поиска блокирующего потока время данного алгоритма может составить $O(VE^2), O(V^2E)$ или $O(V^3)$.
 
+<div class="page"/>
+
 ## 6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу
 
 ### 6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table

From 7820c7ddc71e907825acced8b2591f4ee103ed2f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Egor Ivanov <56685477+sibenshtern@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 14 Jan 2024 10:25:55 +0000
Subject: [PATCH 6/7] update theory and upload pdf file

---
 doc/theory.md  | 1350 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 doc/theory.pdf |  Bin 0 -> 387856 bytes
 2 files changed, 1350 insertions(+)
 create mode 100644 doc/theory.md
 create mode 100644 doc/theory.pdf

diff --git a/doc/theory.md b/doc/theory.md
new file mode 100644
index 0000000..8a6bd92
--- /dev/null
+++ b/doc/theory.md
@@ -0,0 +1,1350 @@
+# Теория по алгоритмам <!-- omit in toc -->
+
+- [1. Обходы графа](#1-обходы-графа)
+  - [1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности](#11-ориентированный-граф-псевдограф-неориентированный-граф-псевдограф-связность-в-неориентированном-графе-компоненты-связности-слабая-и-сильная-связность-в-ориентированном-графе-компоненты-слабой-сильной-связности)
+    - [Ориентированный граф](#ориентированный-граф)
+    - [Неориентированный граф](#неориентированный-граф)
+  - [1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)](#12-обход-в-глубину-цвета-вершин-времена-входа-и-выхода-лемма-о-белых-путях-с-доказательством)
+    - [Обход в глубину](#обход-в-глубину)
+    - [Лемма о белых путях](#лемма-о-белых-путях)
+  - [1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка](#13-проверка-связности-неориентированного-графа-поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе-топологическая-сортировка)
+    - [Проверка связности неориентированного графа](#проверка-связности-неориентированного-графа)
+    - [Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе](#поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе)
+    - [Топологическая сортировка](#топологическая-сортировка)
+  - [1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности](#14-нахождение-компонент-сильной-связности-алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция-алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности)
+    - [Нахождение компонент сильной связности](#нахождение-компонент-сильной-связности)
+    - [Алгоритм Косарайю с доказательством корректности](#алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректности)
+    - [Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности](#алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности)
+  - [1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов](#15-компоненты-реберной-двусвязности-мосты-поиск-мостов)
+    - [Компоненты реберной двусвязности](#компоненты-реберной-двусвязности)
+    - [Мосты](#мосты)
+    - [Поиск мостов](#поиск-мостов)
+  - [1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения](#16-компоненты-вершинной-двусвязности-точки-сочленения-поиск-точек-сочленения)
+    - [Компоненты вершинной двусвязности](#компоненты-вершинной-двусвязности)
+    - [Точки сочленения](#точки-сочленения)
+    - [Поиск точек сочленения](#поиск-точек-сочленения)
+  - [1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)](#17-волновой-алгоритм-обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме)
+    - [Волновой алгоритм](#волновой-алгоритм)
+    - [Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)](#обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме)
+  - [1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла](#18-критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-и-неориентированном-графе-поиск-эйлерова-пути-и-цикла)
+    - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-неориентированном-графе)
+    - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-графе)
+    - [Поиск эйлерова пути и цикла](#поиск-эйлерова-пути-и-цикла)
+- [2. Планарность графа](#2-планарность-графа)
+  - [2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера](#21-формула-эйлера-теорема-портнягина-куратовского-теорема-вагнера)
+    - [Формула Эйлера](#формула-эйлера)
+    - [Теорема Портнягина-Куратовского](#теорема-портнягина-куратовского)
+    - [Теорема Вагнера](#теорема-вагнера)
+  - [2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина](#22-гамма-алгоритм-контактная-вершина)
+    - [Гамма алгоритм](#гамма-алгоритм)
+  - [2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма](#23-теорема-о-корректности-гамма-алгоритма-асимптотика-алгоритма)
+    - [Теорема о корректности Гамма алгоритма](#теорема-о-корректности-гамма-алгоритма)
+- [3. Кратчайшие пути во взвешенном графе](#3-кратчайшие-пути-во-взвешенном-графе)
+  - [3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей](#31-алгоритм-дейкстры-доказательство-корректностис-доказательством-оценка-времени-работы-дерево-кратчайших-путей)
+    - [Алгоритм Дейкстры](#алгоритм-дейкстры)
+    - [Доказательство корректности](#доказательство-корректности)
+    - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы)
+    - [Дерево кратчайших путей](#дерево-кратчайших-путей)
+  - [3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал $\\pi(v) = \\rho(v, t)$](#32-потенциалы-условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер-потенциал-piv--rhov-t)
+    - [Потенциалы](#потенциалы)
+    - [Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер](#условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер)
+    - [Потенциал $\\pi(v) = \\rho(v, t)$](#потенциал-piv--rhov-t)
+  - [3.3. Алгоритм A\*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик](#33-алгоритм-a-условие-монотонности-на-эвристику-примеры-эвристик)
+    - [Алгоритм A\*](#алгоритм-a)
+    - [Примеры эвристик](#примеры-эвристик)
+  - [3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: $D\_{vk}$ равно длине кратчайшего пути до вершины $v$ за ровно $k$ ребер (не более $k$ ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы](#34-алгоритм-форда-беллмана-хранение-в-матрице-d_vk-равно-длине-кратчайшего-пути-до-вершины-v-за-ровно-k-ребер-не-более-k-ребер-доказательство-корректности-полное-оценка-времени-работы)
+    - [Доказательство корректности(полное)](#доказательство-корректностиполное)
+    - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-1)
+  - [3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла](#35-восстановление-пути-детектирование-цикла-отрицательного-веса-поиск-самого-цикла)
+    - [Восстановление пути](#восстановление-пути)
+    - [Детектирование цикла отрицательного веса](#детектирование-цикла-отрицательного-веса)
+    - [Поиск самого цикла](#поиск-самого-цикла)
+  - [3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса](#36-нахождение-кратчайших-путей-с-учетом-циклов-отрицательного-веса)
+  - [3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути](#37-алгоритм-флойда-доказательство-концепция-восстановление-пути)
+    - [Алгоритм Флойда](#алгоритм-флойда)
+    - [Доказательство (концепция)](#доказательство-концепция)
+    - [Восстановление пути](#восстановление-пути-1)
+  - [3.8. Нахождение цикла отрицательного веса](#38-нахождение-цикла-отрицательного-веса)
+  - [3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#39-алгоритм-джонсона-добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
+    - [Алгоритм Джонсона](#алгоритм-джонсона)
+    - [Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
+- [4. Остовные деревья](#4-остовные-деревья)
+  - [4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину](#41-остовное-дерево-построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину)
+    - [Остовное дерево](#остовное-дерево)
+    - [Построение с помощью обхода в глубину и в ширину](#построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину)
+  - [4.2. Определение минимального остовного дерева](#42-определение-минимального-остовного-дерева)
+  - [4.3. Теорема о разрезе. Доказательство](#43-теорема-о-разрезе-доказательство)
+    - [Теорема о разрезе](#теорема-о-разрезе)
+  - [4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)](#44-алгоритм-прима-аналогия-с-алгоритмом-дейкстры-оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча-последнее-без-доказательства)
+    - [Алгоритм Прима](#алгоритм-прима)
+    - [Аналогия с алгоритмом Дейкстры](#аналогия-с-алгоритмом-дейкстры)
+    - [Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча](#оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча)
+  - [4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе](#45-алгоритм-прима-доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе)
+    - [Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе](#доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе)
+  - [4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы](#46-алгоритм-краскала-доказательство-корректности-оценка-времени-работы)
+    - [Алгоритм Краскала](#алгоритм-краскала)
+  - [4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы](#47-система-непересекающихся-множеств-эвристика-потенциалов-без-доказательства-эвристика-сжатия-пути-без-доказательства-почти-константное-время-работы)
+  - [4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство. Оценка времени работы](#48-алгоритм-борувки-доказательство-оценка-времени-работы)
+    - [Алгоритм Борувки](#алгоритм-борувки)
+      - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-2)
+  - [4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева](#49-приближение-решения-задачи-коммивояжера-с-помощью-минимального-остовного-дерева)
+- [5. Потоки в сетях](#5-потоки-в-сетях)
+  - [5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез](#51-определение-сети-определение-потока-физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа-определение-разреза-понятия-потока-через-разрез)
+    - [Определение сети](#определение-сети)
+    - [Определение потока](#определение-потока)
+    - [Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа](#физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа)
+    - [Определение разреза](#определение-разреза)
+    - [Понятия потока через разрез](#понятия-потока-через-разрез)
+  - [5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый](#52-доказательство-факта-что-поток-через-любой-разрез-одинаковый)
+  - [5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока](#53-понятие-остаточной-сети-понятие-дополняющего-пути-необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока)
+    - [Понятие остаточной сети](#понятие-остаточной-сети)
+    - [Понятие дополняющего пути](#понятие-дополняющего-пути)
+    - [Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока](#необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока)
+  - [5.4. Теорема Форда-Фалкерсона](#54-теорема-форда-фалкерсона)
+  - [5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго](#55-алгоритм-форда-фалкерсона-поиск-минимального-разреза-пример-целочисленной-сети-в-котором-алгоритм-работает-долго)
+    - [Алгоритм Форда-Фалкерсона](#алгоритм-форда-фалкерсона)
+    - [Поиск минимального разреза](#поиск-минимального-разреза)
+  - [5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается](#56-алгоритм-эдмондса-карпа-доказательство-что-кратчайшее-расстояние-в-остаточной-сети-не-уменьшается)
+    - [Алгоритм Эдмондса-Карпа](#алгоритм-эдмондса-карпа)
+  - [5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа](#57-общая-оценка-времени-работы-алгоритма-эдмондса-карпа)
+  - [5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства](#58-слоистая-сеть-алгоритм-диница-оценка-времени-работы-без-доказательства)
+    - [Слоистая сеть](#слоистая-сеть)
+    - [Алгоритм Диница](#алгоритм-диница)
+    - [Оценка времени работы без доказательства](#оценка-времени-работы-без-доказательства)
+- [6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу](#6-rmq-sparse-table-дерево-отрезков-lca-декартово-дерево-по-неявному-ключу)
+  - [6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table](#61-rsq-и-rmq-sparse-table)
+    - [RSQ и RMQ](#rsq-и-rmq)
+  - [6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня](#62-дерево-отрезков-обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня)
+    - [Дерево отрезков](#дерево-отрезков)
+    - [Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня](#обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня)
+  - [6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции](#63-изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков-множественные-операции)
+    - [Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.](#изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков)
+    - [Множественные операции](#множественные-операции)
+  - [6.4. LCA. Метод двоичного подъёма](#64-lca-метод-двоичного-подъёма)
+    - [LCA](#lca)
+    - [Метод двоичного подъёма](#метод-двоичного-подъёма)
+  - [6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два](#65-декартово-дерево-по-неявному-ключу-интерфейс-быстрого-массива-доступ-к-элементу-в-позиции-i-вставка-элемента-в-позицию-i-удаление-элемента-из-позиции-i-конкатенация-двух-массивов-разделение-массива-на-два)
+    - [Декартово дерево по неявному ключу](#декартово-дерево-по-неявному-ключу)
+    - [Интерфейс быстрого массива](#интерфейс-быстрого-массива)
+    - [Конкатенация двух массивов](#конкатенация-двух-массивов)
+    - [Разделение массива на два](#разделение-массива-на-два)
+
+
+## 1. Обходы графа
+
+### 1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности
+
+#### Ориентированный граф
+
+**Ориентированным графом** (англ. *directed graph*) $G$ называется пара $G = (V, E)$, где $V$ — множество вершин (англ. vertices), а $E \subset V \times V$ — множество рёбер.
+
+**Псевдограф (*мультиорграф*)** — это ориентированный граф, в котором разрешены кратные дуги, то есть дуги, имеющие те же начальные и конечные вершины.
+
+**Псевдографом** $G$ называется упорядоченная пара $G := (V, A)$, в которой $V$ — множество вершин, $A$ — мультимножество упорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются дугами.
+
+Ориентированный граф называется **слабо связным**, если соответствующий неориентированный граф является связным;
+
+Ориентированный граф называется **сильно связным**, если всякая вершина $v$ достижима из любой другой вершины $v$;
+
+**Компонентой сильной связности** ориентированного графа называется максимальный по включению сильно связный подграф. Другими словами, это подграф, любые две вершины которого принадлежат какому-либо циклу, и содержащий все такие циклы для своих вершин.
+
+**Компонентой слабой связности** ориентированного графа называют его максимальный слабо связный подграф.
+
+#### Неориентированный граф
+
+**Неориентированным графом** (англ. *undirected graph*) $G$ называется пара $G = (V, E)$, где $V$ — множество вершин, а $E \subset {{v,u} : v,u \in V}$ — множество рёбер.
+
+Формально, **псевдографом** (***мультифграфом***) $G$ называется упорядоченная пара $G := (V, E)$, в которой $V$ — множество вершин, $E$ — мультимножество неупорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются рёбрами.
+
+Неориентированный граф называется **связным**, если все его вершины достижимы из некоторой вершины (эквивалентно, из любой его вершины).
+
+**Компонентой связности** неориентированного графа называется максимальный по включению связный подграф
+
+### 1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)
+
+#### Обход в глубину
+
+**Обход в глубину** (поиск в глубину, англ. *Depth-First Search*, *DFS*) — один из основных методов обхода графа, часто используемый для проверки связности, поиска цикла и компонент сильной связности и для топологической сортировки.
+
+```c++
+#include <vector>
+
+std::vector<std::vector<int>> graph; // граф
+int vertex_count; // число вершин
+
+std::vector<int> color; // цвет вершины (0, 1, или 2)
+
+std::vector<int> time_in, time_out; // "времена" захода и выхода из вершины
+int dfs_timer = 0; // "таймер" для определения времён
+
+void dfs (int vertex) {
+  time_in[vertex] = dfs_timer++;
+  color[vertex] = 1;
+  for (int u : graph[vertex])
+    if (color[u] == 0)
+      dfs(u);
+  color[v] = 2;
+  time_out[v] = dfs_timer++;
+}
+```
+
+
+#### Лемма о белых путях
+
+**Лемма**: Не существует такого момента выполнения поиска в глубину, в который бы существовало ребро из черной вершины в белую.
+
+**Доказательство**: Пусть в процессе выполнения процедуры DFS нашлось ребро из черной вершины  $v$ в белую вершину u. Рассмотрим момент времени, когда мы запустили DFS(v). В этот момент вершина  $v$ была перекрашена из белого в серый, а вершина u была белая. Далее в ходе выполнения алгоритма будет запущен DFS(u), поскольку обход в глубину обязан посетить все белые вершины, в которые есть ребро из v. По алгоритму вершина  $v$ будет покрашена в черный цвет тогда, когда завершится обход всех вершин, достижимых из нее по одному ребру, кроме тех, что были рассмотрены раньше нее. Таким образом, вершина  $v$ может стать черной только тогда, когда DFS выйдет из вершины u, и она будет покрашена в черный цвет. Получаем противоречие.
+
+### 1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка
+
+#### Проверка связности неориентированного графа
+
+Небольшая модификация алгоритма обхода в глубину, в которой будем возвращать количество посещенных вершин. Запустим такой **DFS** от некоторой вершины графа $G$, если его результат равен $|V|$, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен, иначе какие-то вершины остались не посещёнными. Работает алгоритм за $O(|V|+|E|)$
+
+```c++
+std::vector<std::vector<int>> graph; // граф
+
+// visited — массив цветов вершин  
+int dfs(int vertex, std::vector<bool> visited):              
+  int visitedVertices = 1
+  visited[vertex] = true // помечаем вершину как пройденную
+  for (auto u : graph[vertex]) // проходим по смежным с u вершинам
+    // проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
+    if (!visited[v])
+      visitedVertices += dfs(v, visited)
+    return visitedVertices
+```
+
+
+#### Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе
+
+*Условие:*
+
+Пусть дан ориентированный или неориентированный граф без петель и кратных рёбер. Требуется проверить, является ли он ациклическим, а если не является, то найти любой цикл.
+
+*Решение:*
+
+Произведём серию поисков в глубину в графе. Т.е. из каждой вершины, в которую мы ещё ни разу не приходили, запустим поиск в глубину, который при входе в вершину будет красить её в серый цвет, а при выходе - в чёрный. И если поиск в глубину пытается пойти в серую вершину, то это означает, что мы нашли цикл (если граф неориентированный, то случаи, когда поиск в глубину из какой-то вершины пытается пойти в предка, не считаются).
+
+```c++
+#include <iostream>
+#include <vector>
+
+int n;
+std::vector<vector<int>> graph;
+std::vector<int> color;
+std::vector<int> parent;
+int cycle_start, cycle_end;
+
+bool dfs(int vertex) {
+  color[vertex] = 1;
+  for (size_t i = 0; i < graph[vertex].size(); ++i) {
+    int to  = graph[vertex][i];
+    if (color[to] == 0) {
+      parent[to] = vertex;
+      if (dfs(to)) return true;
+    }
+    else if (color[to] == 1) {
+      cycle_end = vertex;
+      cycle_start = to;
+      return true;
+    }
+  }
+  color[vertex] = 2;
+  return false;
+}
+
+int main() {
+  // чтение графа
+
+  parent.assign(n, -1);
+  color.assign(n, 0);
+  cycle_start = -1;
+  for (int i = 0; i < n; ++i)
+    if (dfs(i))
+      break;
+
+  if (cycle_st == -1)
+    std::cout << "Acyclic" << "\n";
+  else {
+    std::cout << "Cyclic" << "\n";
+    std::vector<int> cycle;
+    cycle.push_back(cycle_start);
+    for (int vertex = cycle_end; vertex != cycle_start; vertex = parent[vertex])
+      cycle.push_back(vertex);
+    cycle.push_back(cycle_start);
+    reverse(cycle.begin(), cycle.end());
+    for (size_t i = 0; i < cycle.size(); ++i)
+      std::cout << cycle[i]+1 << " ";
+  }
+}
+```
+
+#### Топологическая сортировка
+
+**Топологическая сортировка** - упорядочивание вершин ациклического ориентированного графа согласно частичному порядку, заданному ребрами орграфа на множестве его вершин.
+
+*Условие:*
+
+Дан ориентированный граф с $n$ вершинами и $m$ рёбрами. Требуется перенумеровать его вершины таким образом, чтобы каждое ребро вело из вершины с меньшим номером в вершину с большим. Иными словами, требуется найти перестановку вершин (топологический порядок), соответствующую порядку, задаваемому всеми рёбрами графа.
+
+Топологическая сортировка может быть не единственной (например, если граф — пустой; или если есть три такие вершины $a$, $b$, $c$, что из $a$ есть пути в $b$ и в $c$, но ни из $b$ в $c$, ни из $c$ в $b$ добраться нельзя).
+
+Топологической сортировки может не существовать вовсе — если граф содержит циклы (поскольку при этом возникает противоречие: есть путь и из одной вершины в другую, и наоборот).
+
+*Решение:*
+
+```c++
+#include <vector>
+
+int n; // число вершин
+std::vector<std::vector<int>> graph; // граф
+std::vector<bool> visited;
+std::vector<int> topological_sort;
+
+void dfs (int vertex) {
+  visited[vertex] = true;
+  for (int u : graph[vertex])
+    if (!visited[u] == 0)
+      dfs(u);
+  topological_sort.push_back(vertex);
+}
+
+void topological_sort() {
+  visited.assign(n, false);
+  answer.clear();
+  for (int i = 0; i < n; ++i)
+    if (!visited[i])
+      dfs(i);
+  reverse(answer.begin(), answer.end());
+}
+```
+
+### 1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности
+
+#### Нахождение компонент сильной связности
+
+**Компонента сильной связанности** (англ. *strongly connected component*) - такое (максимальное по включению) подмножество вершин $C$, что любые две вершины этого подмножества достижимы друг из друга, т.е. для любых $u$,  $v \in C: u \rightarrow v,  v \rightarrow u$, где символом $\rightarrow$ здесь и далее мы будем обозначать достижимость, т.е. существование пути из первой вершины во вторую.
+
+*Условие:*
+
+Дан ориентированный граф $G$, множество вершин которого $V$ и множество рёбер — $E$. Петли и кратные рёбра допускаются. Обозначим через $n$ количество вершин графа, через $m$ — количество рёбер.
+
+*Решение:*
+
+Понятно, что компоненты сильной связности для данного графа не пересекаются, т.е. фактически это разбиение всех вершин графа. Отсюда логично определение конденсации G как графа, получаемого из данного графа сжатием каждой компоненты сильной связности в одну вершину. Каждой вершине графа конденсации соответствует компонента сильной связности графа G, а ориентированное ребро между двумя вершинами $C_i$ и $C_j$ графа конденсации проводится, если найдётся пара вершин u из $C_i$, из $C_j$, между которыми существовало ребро в исходном графе, т.е. $(u, v)$ из $E$.
+
+Важнейшим свойством графа конденсации является то, что он ацикличен. Действительно, предположим, что $C \rightarrow C'$, докажем, что $C' \mapsto C$. Из определения конденсации получаем, что найдутся две вершины $u$ из $C$ и $v$ из $C'$, что $u \rightarrow v$. Доказывать будем от противного, т.е. предположим, что $C' \rightarrow C$, тогда найдутся две вершины $u'$ из $C$ и $v'$ из $C'$, что $v' \rightarrow u'$. Но т.к. $u$ и $u'$ находятся в одной компоненте сильной связности, то между ними есть путь; аналогично для $v$ и $v'$. В итоге, объединяя пути, получаем, что $v \rightarrow u$, и одновременно $u \rightarrow v$. Следовательно, $u$ и $v$ должны принадлежать одной компоненте сильной связности, т.е. получили противоречие, что и требовалось доказать
+
+#### Алгоритм Косарайю с доказательством корректности
+
+**Алгоритм Косарайю** предназначен для поиска компонент сильной связности в ориентированном графе и состоит из трёх шагов:
+
+1. Выполнить поиск в глубину (DFS), пока не будут «помечены» все вершины. Вершина считается «помеченной», когда ей присвоено время выхода из рекурсии (см. основные понятия).
+2. Инвертировать исходный граф
+3. Выполнить DFS в порядке убывания пометок вершин.
+
+Полученные деревья каждого такта DFS последнего шага являются компонентами сильной связности
+
+*Условие:*
+
+Вершины $u$ и $v$ сильно связаны $\Leftrightarrow$ после выполнения алгоритма они принадлежат одному дереву такта DFS.
+
+*Доказательство корректности алгоритма:*
+
+Если вершины u и  $v$ были сильно связаны в графе $G$, на третьем этапе будет найден путь из одной вершины в другую (по Лемме (Инвертирование рёбер цикла не влияет на его цикличность)), так как на первом шаге был найден путь $u \rightarrow v$, а на третьем – путь $v \rightarrow u$. Это означает, что по окончании алгоритма обе вершины лежат в одном дереве.
+
+Вершины $u$ и $v$ лежат в одном и том же дереве поиска в глубину на третьем шаге алгоритма. Значит, они обе достижимы из корня $r$ этого дерева.
+
+Вершина $r$ была рассмотрена на 3 шаге раньше всех, значит время выхода из неё на 1 шаге больше, чем время выхода из вершин $u$ и $v$. Из этого мы получаем 2 случая:
+
+Обе эти вершины были достижимы из $r$ в исходном графе. Это означает сильную связность вершин $u$ и $r$ и сильную связность вершин $v$ и $r$. Склеивая пути мы получаем связность вершин $u$ и $v$
+
+Хотя бы одна вершина не достижима из $r$ в исходном графе, например $v$. Значит и $r$ была не достижима из $v$ в исходном графе, так как время выхода из $r$ — больше (если бы она была достижима, то время выхода из $v$ было бы больше, чем из $r$). Значит между этими вершинами нет пути (ни в исходном, ни в инвертированном графах), но последнего быть не может, потому что по условию  $v$ достижима из $r$ на 3 шаге (в инвертированном графе)
+
+Значит, из случая 1 и не существования случая 2 получаем, что вершины $u$ и $v$ сильно связаны в обоих графах
+
+#### Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности
+
+Основой для алгоритма является структура данных "Система непересекающихся множеств", которая и была изобретена Тарьяном (*Tarjan*).
+
+Алгоритм фактически представляет собой обход в глубину из корня дерева, в процессе которого постепенно находятся ответы на запросы. А именно, ответ на запрос $(v, u)$ находится, когда обход в глубину находится в вершине $u$, а вершина $v$ уже была посещена, или наоборот.
+
+Итак, пусть обход в глубину находится в вершине $v$ (и уже были выполнены переходы в её сыновей), и оказалось, что для какого-то запроса $(v, u)$ вершина u уже была посещена обходом в глубину. Научимся тогда находить $LCA$ этих двух вершин.
+
+Заметим, что $LCA(v, u)$ является либо самой вершиной $v$, либо одним из её предков. Получается, нам надо найти самую нижнюю вершину среди предков $v$ (включая её саму), для которой вершина u является потомком. Заметим, что при фиксированном $v$ по такому признаку (т.е. какой наименьший предок $v$ является и предком какой-то вершины) вершины дерева дерева распадаются на совокупность непересекающихся классов. Для каждого предка $p \neq v$ вершины $v$ её класс содержит саму эту вершину, а также все поддеревья с корнями в тех её сыновьях, которые лежат "слева" от пути до $v$ (т.е. которые были обработаны ранее, чем была достигнута $v$).
+
+Нам надо научиться эффективно поддерживать все эти классы, для чего мы и применим структуру данных "Система непересекающихся множеств". Каждому классу будет соответствовать в этой структуре множество, причём для представителя этого множества мы определим величину **ANCESTOR** — ту вершину $p$, которая и образует этот класс.
+
+Рассмотрим подробно реализацию обхода в глубину. Пусть мы стоим в некоторой вершине $v$. Поместим её в отдельный класс в структуре непересекающихся множеств, **ANCESTOR**[v] = $v$. Как обычно в обходе в глубину, перебираем все исходящие рёбра \$(v, $to$ )\$. Для каждого такого $to$ мы сначала должны вызвать обход в глубину из этой вершины, а потом добавить эту вершину со всем её поддеревом в класс вершины $v$. Это реализуется операцией **Union** структуры данных "система непересекающихся множеств", с последующей установкой **ANCESTOR** = $v$ для представителя множества (т.к. после объединения представитель класса мог измениться). Наконец, после обработки всех рёбер мы перебираем все запросы вида $(v, u)$, и если u была помечена как посещённая обходом в глубину, то ответом на этот запрос будет вершина $LCA(v,u)$ = **ANCESTOR**[FindSet(u)]. Нетрудно заметить, что для каждого запроса это условие (что одна вершина запроса является текущей, а другая была посещена ранее) выполнится ровно один раз.
+
+Оценим асимптотику. Она складывается из нескольких частей. Во-первых, это асимптотика обхода в глубину, которая в данном случае составляет $O(n)$. Во-вторых, это операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают $O(n)$ операций. В-третьих, это для каждого запроса проверка условия (два раза на запрос) и определение результата (один раз на запрос), каждое, опять же, для всех разумных n выполняется за $O(1)$. Итоговая асимптотика получается $O(n + m)$, что означает для достаточно больших $m$ $(n = O(m))$ ответ за $O(1)$ на один запрос
+
+### 1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов
+
+#### Компоненты реберной двусвязности
+
+**Компонентами рёберной двусвязности** (англ. *costal doubly-linked components*) графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности рёберной двусвязности, а множества рёбер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.
+
+#### Мосты
+
+**Мостом** называется такое ребро, удаление которого делает граф несвязным (или, точнее, увеличивает число компонент связности).
+
+#### Поиск мостов
+
+*Алгоритм:*
+
+Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через **root**. Заметим следующий факт (который несложно доказать):
+
+Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины $v$. Тогда, если текущее ребро $(v,to)$ таково, что из вершины $to$ и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в вершину  $v$ или какого-либо её предка, то это ребро является мостом. В противном случае оно мостом не является. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из  $v$ в $to$ , кроме как спуск по ребру $(v,to)$ дерева обхода в глубину.)
+
+Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.
+
+Итак, пусть $tin[v]$ — это время захода поиска в глубину в вершину $v$. Теперь введём массив $fup[v]$, который и позволит нам отвечать на вышеописанные запросы. Время $fup[v]$ равно минимуму из времени захода в саму вершину $tin[v]$, времён захода в каждую вершину $p$, являющуюся концом некоторого обратного ребра $(v, p)$, а также из всех значений $fup[to]$ для каждой вершины $to$ , являющейся непосредственным сыном $v$ в дереве поиска:
+
+$fup[v] = \min(tin[v], tin[p], fup(to))$ $(v, p)$ - back edge, $(v, to)$ - tree edge (здесь "back edge" — обратное ребро, "tree edge" — ребро дерева)
+
+Тогда, из вершины  $v$ или её потомка есть обратное ребро в её предка тогда и только тогда, когда найдётся такой сын $to$ , что $fup[to] \leq tin[v]$. (Если $fup[to] = tin[v]$, то это означает, что найдётся обратное ребро, приходящее точно в $v$; если же $fup[to] < tin[v]$, то это означает наличие обратного ребра в какого-либо предка вершины $v$.)
+
+Таким образом, если для текущего ребра $(v,to)$ (принадлежащего дереву поиска) выполняется $fup[to] > tin[v]$, то это ребро является мостом; в противном случае оно мостом не является.
+
+### 1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения
+
+#### Компоненты вершинной двусвязности
+
+**Компонентами вершинной двусвязности** графа, называют его подграфы, множества ребер которых — классы эквивалентности вершинной двусвязности, а множества вершин — множества всевозможных концов ребер из соответствующих классов.
+
+#### Точки сочленения
+
+**Точкой сочленения** называется вершина, при удалении которой связный неориентированный граф становится несвязным.
+
+#### Поиск точек сочленения
+
+Алгоритм:
+
+Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через $root$. Заметим следующий факт (который несложно доказать):
+
+Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины  $v \neq root$. Тогда, если текущее ребро $(v, to)$ таково, что из вершины $to$  и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в какого-либо предка вершины v, то вершина  $v$ является точкой сочленения. В противном случае, т.е. если обход в глубину просмотрел все рёбра из вершины $v$, и не нашёл удовлетворяющего вышеописанным условиям ребра, то вершина $v$ не является точкой сочленения. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из  $v$ в $to$ )
+
+Рассмотрим теперь оставшийся случай:  $v = root$. Тогда эта вершина является точкой сочленения тогда и только тогда, когда эта вершина имеет более одного сына в дереве обхода в глубину. (В самом деле, это означает, что, пройдя из $root$ по произвольному ребру, мы не смогли обойти весь граф, откуда сразу следует, что $root$ — точка сочленения).
+
+Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.
+
+Итак, пусть $tin[v]$ — это время захода поиска в глубину в вершину v. Теперь введём массив $fup[v]$, который и позволит нам отвечать на вышеописанные запросы. Время $fup[v]$ равно минимуму из времени захода в саму вершину $tin[v]$, времён захода в каждую вершину p, являющуюся концом некоторого обратного ребра $(v, p)$, а также из всех значений $fup[to]$ для каждой вершины $to$ , являющейся непосредственным сыном  $v$ в дереве поиска:
+
+$fup[v] = \min(tin[v], tin[p], fup(to))$ $(v, p)$ - back edge, $(v, to)$ - tree edge (здесь "back edge" — обратное ребро, "tree edge" — ребро дерева)
+
+Тогда, из вершины  $v$ или её потомка есть обратное ребро в её предка тогда и только тогда, когда найдётся такой сын $to$ , что $fup[to] < tin[v]$.
+
+Таким образом, если для текущего ребра $(v,to)$ (принадлежащего дереву поиска) выполняется $fup[to] \geq tin[v]$, то вершина  $v$ является точкой сочленения. Для начальной вершины  $v = root$ критерий другой: для этой вершины надо посчитать число непосредственных сыновей в дереве обхода в глубину.
+
+### 1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)
+
+#### Волновой алгоритм
+
+**Алгоритм волновой трассировки** (*волновой алгоритм*) — алгоритм поиска пути, алгоритм поиска кратчайшего пути на планарном графе. Принадлежит к алгоритмам, основанным на методах поиска в ширину.
+
+Алгоритм предназначен для поиска кратчайшего пути от стартовой ячейки к конечной ячейке, если это возможно, либо, при отсутствии пути, выдать сообщение о непроходимости.
+
+Работа алгоритма включает в себя три этапа: инициализацию, распространение волны и восстановление пути.
+
+Инициализация
+
+```c
+Пометить стартовую ячейку 
+d := 0 
+```
+
+Распространение волны
+
+```c
+ЦИКЛ
+  ДЛЯ каждой ячейки loc, помеченной числом d
+    пометить все соседние свободные непомеченные ячейки числом d + 1
+  КЦ
+  d := d + 1
+ПОКА (финишная ячейка не помечена) И (есть возможность распространения волны) 
+```
+
+Восстановление пути
+
+```c
+ЕСЛИ финишная ячейка помечена
+ТО
+  перейти в финишную ячейку
+  ЦИКЛ
+    выбрать среди соседних ячейку, помеченную числом на 1 меньше числа в текущей ячейке
+    перейти в выбранную ячейку и добавить её к пути
+  ПОКА текущая ячейка — не стартовая
+  ВОЗВРАТ путь найден
+ИНАЧЕ
+  ВОЗВРАТ путь не найден
+```
+
+#### Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)
+
+**Поиск в ширину** (англ. *breadth-first search*) — один из основных алгоритмов на графах, позволяющий находить все кратчайшие пути от заданной вершины и решать многие другие задачи.
+
+Описание алгоритма
+
+На вход алгоритма подаётся невзвешенный граф и номер стартовой вершины $s$. Граф может быть как ориентированным, так и неориентированным — для алгоритма это не важно.
+
+Основную идею алгоритма можно понимать как процесс «поджигания» графа: на нулевом шаге мы поджигаем вершину $s$, а на каждом следующем шаге огонь с каждой уже горящей вершины перекидывается на всех её соседей, в конечном счете поджигая весь граф.
+
+Если моделировать этот процесс, то за каждую итерацию алгоритма будет происходить расширение «кольца огня» в ширину на единицу. Номер шага, на котором вершина  $v$ начинает гореть, в точности равен длине её минимального пути из вершины s.
+
+```c++
+std::vector<int> graph;
+
+void bfs(int s) {
+    std::queue<int> queue;
+    queue.push(s);
+    
+    std::vector<int> depth(n, -1), parent(n);
+    depth[s] = 0;
+    
+    while (!queue.empty()) {
+        int vertex = queue.front();
+        queue.pop();
+        for (int u : g[vertex]) {
+            if (depth[u] == -1) {
+                queue.push(u);
+                depth[u] = depth[vertex] + 1;
+                parent[u] = vertex;
+            }
+        }
+    }
+} 
+```
+
+Теперь, чтобы восстановить кратчайший путь до какой-то вершины v, это можно сделать через массив p:
+
+```c++
+while (v != s) {
+    std::cout << v << endl;
+    v = p[v];
+}
+```
+
+Обратим внимание, что путь выведется в обратном порядке.
+
+### 1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла
+
+#### Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе
+
+Согласно теореме, доказанной Эйлером, эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда
+
+1. Граф связный или будет являться связным, если удалить из него все изолированные вершины.
+2. В нём отсутствуют вершины нечётной степени.
+
+Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда
+
+1. Граф связный
+2. Содержит не более двух вершин нечётной степени. Ввиду леммы о рукопожатиях, число вершин с нечётной степенью должно быть чётным. А значит эйлеров путь существует только тогда, когда это число равно нулю или двум. Причём, когда оно равно нулю, эйлеров путь вырождается в эйлеров цикл.
+
+#### Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе
+
+В ориентированном графе $G = (V, E)$ существует эйлеров цикл тогда и только тогда, когда:
+
+1. Входная степень любой вершины равна ее выходной степени.
+2. Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.
+
+В ориентированном графе $G = (V, E)$ существует эйлеров путь если:
+
+1. Входная степень любой вершины равна ее выходной степени, кроме двух вершин графа, для одной из которых $(deg+) − (deg−) = 1$, а для другой $(deg+) − (deg−) = −1$.
+2. Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.
+
+#### Поиск эйлерова пути и цикла
+
+**Поиск эйлерова пути в графе:**
+
+Можно всегда свести задачу поиска эйлерова пути к задаче поиска эйлерова цикла. Действительно, предположим, что эйлерова цикла не существует, а эйлеров путь существует. Тогда в графе будет ровно 2 вершины нечётной степени. Соединим эти вершины ребром, и получим граф, в котором все вершины чётной степени, и эйлеров цикл в нём существует. Найдём в этом графе эйлеров цикл (алгоритмом, описанным ниже), а затем удалим из ответа несуществующее ребро.
+
+**Поиск эйлерова цикла в графе:**
+
+Будем рассматривать самый общий случай — случай ориентированного мультиграфа, возможно, с петлями. Также мы предполагаем, что эйлеров цикл в графе существует (и состоит хотя бы из одной вершины). Для поиска эйлерова цикла воспользуемся тем, что эйлеров цикл — это объединение всех простых циклов графа. Следовательно, наша задача — эффективно найти все циклы и эффективно объединить их в один.
+
+Реализовать это можно, например, так, рекурсивно:
+
+```c
+procedure find_all_cycles (v)
+var массив cycles
+1. пока есть цикл, проходящий через v, находим его добавляем все вершины найденного цикла в массив cycles (сохраняя порядок обхода) удаляем цикл из графа
+2. идем по элементам массива cycles каждый элемент cycles[i] добавляем к ответу из каждого элемента рекурсивно вызываем себя: find_all_cycles(cycles[i])
+```
+
+Достаточно вызвать эту процедуру из любой вершины графа, и она найдёт все циклы в графе, удалит их из графа и объединит их в один эйлеров цикл.
+Для поиска цикла на шаге 1 используем поиск в глубину.
+Сложность полученного алгоритма — $O(|E|)$, то есть линейная относительно количества рёбер в данном графе
+
+## 2. Планарность графа
+
+### 2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера
+
+#### Формула Эйлера
+
+Для произвольного плоского связного графа $G$ с $V$ вершинами, $E$ ребрами и $F$ гранями справедливо следующее соотношение: $V − E + F = 2$.
+
+#### Теорема Портнягина-Куратовского
+
+**Теорема Понтрягина — Куратовского**, или **теорема Куратовского**, — теорема в теории графов, дающая необходимое и достаточное условие планарности графа. Имеет эквивалентную формулировку на языке миноров, так называемою теорему Вагнера.
+
+Теорема утверждает, что графы $K_5$ (полный граф на 5 вершинах) и $K_{3,3}$ (полный двудольный граф имеющий по 3 вершины в каждой доле) являются единственными минимальными непланарными графами.
+
+#### Теорема Вагнера
+
+**Теорема Вагнера** — характеризация планарных графов тесно связанная с теоремой Понтрягина — Куратовского.
+
+Теорема утверждает, что конечный граф является планарным тогда и только тогда, когда его миноры не включают ни $K_5$ (полный граф с пятью вершинами), ни $K_{3,3}$ (коммунальный граф, полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой доле).
+
+### 2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина
+
+#### Гамма алгоритм
+
+Чтобы проверить планарность графа и произвести его плоскую укладку, удобно пользоваться гамма-алгоритмом.
+Определения:
+
+1. Сегмент графа $Г$ относительно подграфа $H$ — компонента связности графа $G \setminus H$.
+2. **Допустимая грань сегмента** — грань графа $H$, содержащая все контактные вершины.
+3. **Контактная вершина** сегмента $S$ графа $G$ подграфа $H$ — любая вершина в $S$ и в $H$.
+4. **Гамма-цепь сегмента** — любая цепь без повторов вершин, содержащих ровно две контактные вершины — начало и конец.
+
+Алгоритм:
+
+1. Уложить на плоскость любой цикл $H$ графа $G$ без повторов вершин.
+2. Построить все сегменты $S_1$ , $...$ , $S_k$ графа $G$ по $H$.
+3. Если есть сегмент $S_i$ c одной допустимой гранью — выбрать его.
+4. Если все сегменты имеют несколько дополнительных граней — выбрать любой.
+5. Выбрать произвольную гамма-цепь сегмента и уложить её в допустимую грань.
+6. Перейти к шагу (2), добавив гамма-цепь к графу $H$.
+
+### 2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма
+
+#### Теорема о корректности Гамма алгоритма
+
+**Теорема:**
+Гамма-алгоритм корректен, то есть если $G$ — планарный граф, то результатом каждого шага гамма-алгоритма является частичная укладка $G'$.
+
+**Доказательство:**
+
+Докажем индукцией по числу шагов.
+
+База индукции: полученный на этапе инициализации граф $G_0$ является простым циклом, он будет присутствовать в любой укладке графа $G$. Таким образом, $G_0$  является частичной укладкой.
+
+Шаг индукции: пусть граф $G_{k−1}$, полученный на $k−1$-м шаге работы алгоритма, является частичной укладкой. Докажем, что граф $G_k = G_{k−1} \cup L_k$, полученный на $k$-м шаге присоединением цепи $L_k$, также является частичной укладкой.
+
+Заметим, что на текущем шаге нет такого сегмента $S$  относительно $G_{k−1}$, для которого бы выполнялось равенство $Γ(S) = \varnothing$, так как в противном случае существовала бы цепь этого сегмента, контактные вершины которой принадлежали бы разным граням и укладка которой была бы невозможна. Следовательно, нельзя было бы уложить $S$,что противоречит тому, что $G$ — планарный граф. Значит, мы можем рассматривать только следующие два случая:
+
+1. Существует сегмент $S$ для которого есть единственная вмещающая грань $Γ$, то есть $|Γ(S)| = 1$. Так как только грани $Γ$ принадлежат все контактные вершины $S$, то укладка этого сегмента в эту грань неизбежна. Это значит, что помещая любую цепь $L \subset S$, снова получим частичную укладку графа.
+2. Для любого сегмента $S$ $|Γ(S)| \geq 2$. Построим граф $A(G'k−1)$, который по лемме 2 является двудольным. Рассмотрим его связную компоненту $K$, которая содержит не менее двух вершин. Граф $K$ также является двудольным. По лемме 1 для любого сегмента $S \in K$  справедливо $Γ(S)={Γ1, Γ2}$. Так как граф $K$ двудольный, то мы можем по очереди помещать сегменты $K$ в разные грани, причем конфликтующих сегментов не возникнет в силу четности всех циклов в графе. Результатом будет частичная укладка графа.
+
+Таким образом, на каждом шаге мы получаем частичную укладку графа, что доказывает корректность гамма-алгоритма.
+
+**Асимптотика алгоритма - $O(n^3)$.**
+
+## 3. Кратчайшие пути во взвешенном графе
+
+### 3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей
+
+#### Алгоритм Дейкстры
+
+**Алгоритм Дейкстры** (англ. *Dijkstra’s algorithm*) — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским учёным Эдсгером Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшие пути от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.
+
+```c
+func dijkstra(s):
+    for v in V
+        d[v] = infinity
+        used[v] = false
+    d[s] = 0
+    for i in V
+        v = null
+        for j in V    // найдём вершину с минимальным расстоянием
+            if !used[j] and (v == null or d[j] < d[v])
+                v = j
+        if d[v] == infinity
+            break
+        used[v] = true
+        for e : исходящие из v рёбра     // произведём релаксацию по всем рёбрам, исходящим из v
+            if d[v] + e.len < d[e.to]
+                d[e.to] = d[v] + e.len
+```
+
+#### Доказательство корректности
+
+Пусть $G=(V,E)$ — ориентированный взвешенный граф, вес рёбер которого неотрицателен, s — стартовая вершина. Тогда после выполнения алгоритма Дейкстры $d(u)=\rho(s, u)$ для всех $u$, где $\rho (s,u)$ — длина кратчайшего пути из вершины $s$ в вершину $u$.
+
+Докажем по индукции, что в момент посещения любой вершины $u$, $d(u)= \rho (s,u)$.
+
+На первом шаге выбирается $s$, для неё выполнено: $d(s) = \rho (s,s) = 0$. Пусть для $n$ первых шагов алгоритм сработал верно и на $n+1$ шагу выбрана вершина $u$. Докажем, что в этот момент $d(u)= \rho (s,u)$. Для начала отметим, что для любой вершины $v$, всегда выполняется $d(v) \geq \rho (s,v)$ (алгоритм не может найти путь короче, чем кратчайший из всех существующих). Пусть $P$ — кратчайший путь из $s$ в $u$, $v$ — первая непосещённая вершина на $P$, $z$ — предшествующая ей (следовательно, посещённая). Поскольку путь $P$ кратчайший, его часть, ведущая из $s$ через $z$ в $v$, тоже кратчайшая, следовательно $\rho(s,v)= \rho(s,z)+w(zv)$. По предположению индукции, в момент посещения вершины $z$ выполнялось $d(z)= \rho (s,z)$, следовательно, вершина $v$ тогда получила метку не больше чем $d(z) + w(zv) = \rho (s,z) + w(zv) = \rho(s,v)$, следовательно, $d(v)=\rho(s,v)$. С другой стороны, поскольку сейчас мы выбрали вершину $u$, её метка минимальна среди непосещённых, то есть $d(u) \leq d(v) = \rho (s,v) \leq \rho (s,u)$, где второе неравенсто верно из-за ранее упомянутого определения вершины $v$ в качестве первой непосещённой вершины на $P$, то есть вес пути до промежуточной вершины не превосходит веса пути до конечной вершины вследствие неотрицательности весовой функции. Комбинируя это с $d(u) \geq \rho(s,u)$, имеем $d(u)=\rho(s,u)$, что и требовалось доказать. Поскольку алгоритм заканчивает работу, когда все вершины посещены, в этот момент $d(u)= \rho (s,u)$ для всех $u$.
+
+#### Оценка времени работы
+
+Если $m = n ^ 2$(граф плотный), то $O(n^2)$.
+Если $m = n$(граф разреженный), то $O(m log n)$.
+
+#### Дерево кратчайших путей
+
+Решение ряда прикладных задач сводится к нахождению дерева кратчайших путей с корнем в заданной вершине $s$. Такое дерево дает кратчайшие $(s, v)$-пути от заданной вершины $s$ до любой вершины $v$ орграфа $G = (V, Е)$. Если веса всех дуг орграфа $G$ неотрицательны, то дерево кратчайших путей можно построить с помощью алгоритма Дейкстры.
+
+### 3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал $\pi(v) = \rho(v, t)$
+
+#### Потенциалы
+
+Пусть дана транспортная сеть $G(V,E)$, где $V$ — множество вершин графа, а $E$ — множество рёбер. Введем в каждой вершине потенциал $\pi(v)$. Тогда потенциальный вес (то есть стоимость) ребра $(u,v)$ определяется как $w_p(u,v)=w(u,v)+\pi(u)−\pi(v)$
+
+#### Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер
+
+Можно применять, когда нет отрицательных циклов (следует из курса дискретной математики 1 курс 2 семестр)
+
+#### Потенциал $\pi(v) = \rho(v, t)$
+
+### 3.3. Алгоритм A*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик
+
+#### Алгоритм A*
+
+**Алгоритм A*** - алгоритм поиска по первому наилучшему совпадению на графе, который находит маршрут с наименьшей стоимостью от одной вершины (начальной) к другой (целевой, конечной).
+
+Порядок обхода вершин определяется эвристической функцией «расстояние + стоимость» (обычно обозначаемой как $f(x)$). Эта функция — сумма двух других: функции стоимости достижения рассматриваемой вершины (x) из начальной (обычно обозначается как $g(x)$ и может быть как эвристической, так и нет), и функции эвристической оценки расстояния от рассматриваемой вершины к конечной (обозначается как $h(x)$).
+
+1. Функция $h(x)$ должна быть *допустимой эвристической оценкой*, то есть не должна переоценивать расстояния к целевой вершине. Например, для задачи маршрутизации $h(x)$ может представлять собой расстояние до цели по прямой линии, так как это физически наименьшее возможное расстояние между двумя точками.
+2. Более сильное условие — функция $h(v)$ должна быть **монотонной**. (Эвристическая функция $h(v)$ называетя **монотонной** (или преемственной), если для любой вершины $v_1$ и ее потомка $v_2$ разность $h(v_1)$ и $h(v_2)$ не превышает фактического веса ребра $c(v_1, v_2)$ от $v_1$ до $v_2$, а эвристическая оценка целевого состояния равна нулю.)
+
+```c
+function A*(start, goal, f)
+     % множество уже пройденных вершин
+     var closed := the empty set
+     % множество частных решений
+     var open := make_queue(f)
+     enqueue(open, path(start))
+     while open is not empty
+         var p := remove_first(open)
+         var x := the last node of p
+         if x in closed
+            continue
+         if x = goal
+            return $\rho$
+         add(closed, x)
+         % добавляем смежные вершины
+         foreach y in successors(x)
+            enqueue(open, add_to_path(p, y))
+     return failure
+```
+
+#### Примеры эвристик
+
+- Если мы можем перемещаться в четырех направлениях, то в качестве эвристики стоит выбрать манхэттенское расстояние $h(v)=|v.x−goal.x|+|v.y−goal.y|$.
+- Расстояние Чебышева применяется, когда к четырем направлениям добавляются диагонали: $h(v)=max(|v.x−goal.x|,|v.y−goal.y|)$.
+- Если передвижение не ограничено сеткой, то можно использовать евклидово расстояние по прямой: $h(v)=((v.x−goal.x) ^ 2+(v.y−goal.y)^2) ^ {1/2}$.
+
+### 3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: $D_{vk}$ равно длине кратчайшего пути до вершины $v$ за ровно $k$ ребер (не более $k$ ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы
+
+Количество путей длины $k$ рёбер можно найти с помощью метода динамического программирования. Пусть $d[k][u]$ — количество путей длины $k$ рёбер, заканчивающихся в вершине $u$. Тогда $d[k][u]= \Sigma v: v, u \in E(d[k−1][v])$.
+
+Аналогично посчитаем пути кратчайшей длины. Пусть $s$ — стартовая вершина. Тогда $d[k][u]=\min v: v, u \in E(d[k−1][v]+w(u,v))$, при этом $d[0][s]=0$, а $d[0][u]=+\infty$
+
+Если существует кратчайший путь от s до t, то $\rho(s,t)=\min d[k][t](k=0..n−1)$
+
+Пусть кратчайший путь состоит из $k$ ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной ниже.
+
+```c++
+for k = 0 to |V|−2       // вершины нумеруются с единицы
+    for v∈V
+       for (u,v)∈E
+          d[k + 1][v] = min(d[k + 1][v], d[k][u] + ω(u,v))     // ω(u,v) — вес ребра uv
+```
+
+```c++
+bool fordBellman(s):
+    for v∈V
+        d[v] = 1
+    d[s] = 0
+    for i = 0 to |V|−1
+        for (u,v)∈E
+            if d[v] > d[u] + ω(u,v)     // ω(u,v) — вес ребра uv
+                d[v] = d[u] + ω(u,v)
+    for (u,v)∈E
+        if d[v] > d[u] + ω(u,v)
+            return false
+    return true
+```
+
+#### Доказательство корректности(полное)
+
+Во-первых, сразу заметим, что для недостижимых из $v$ вершин алгоритм отработает корректно: для них метка $d[]$ так и останется равной бесконечности (т.к. алгоритм Форда-Беллмана найдёт какие-то пути до всех достижимых из $s$ вершин, а релаксация во всех остальных вершинах не произойдёт ни разу).
+
+Докажем теперь следующее утверждение: после выполнения $i$ фаз алгоритм Форда-Беллмана корректно находит все кратчайшие пути, длина которых (по числу рёбер) не превосходит $i$.
+
+Иными словами, для любой вершины $a$ обозначим через $k$ число рёбер в кратчайшем пути до неё (если таких путей несколько, можно взять любой). Тогда это утверждение говорит о том, что после $k$ фаз этот кратчайший путь будет найден гарантированно.
+
+**Доказательство.**
+
+Рассмотрим произвольную вершину a, до которой существует путь из стартовой вершины v, и рассмотрим кратчайший путь до неё: $(p_0=v, p_1, ..., p_k=a)$. Перед первой фазой кратчайший путь до вершины $p_0=v$ найден корректно. Во время первой фазы ребро $(p_0,p_1)$ было просмотрено алгоритмом Форда-Беллмана, следовательно, расстояние до вершины $p_1$ было корректно посчитано после первой фазы. Повторяя эти утверждения k раз, получаем, что после $k$-й фазы расстояние до вершины $p_k=a$ посчитано корректно, что и требовалось доказать.
+
+Последнее, что надо заметить — это то, что любой кратчайший путь не может иметь более $n-1$ ребра. Следовательно, алгоритму достаточно произвести только $n-1$ фазу. После этого ни одна релаксация гарантированно не может завершиться улучшением расстояния до какой-то вершины.
+
+#### Оценка времени работы
+
+Инициализация занимает $\theta(V)$ времени, каждый из $|V|−1$ проходов требует $\theta(E)$ времени, обход по всем ребрам для проверки наличия отрицательного цикла занимает $O(E)$ времени. Значит алгоритм Беллмана-Форда работает за $O(VE)$ времени.
+
+### 3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла
+
+#### Восстановление пути
+
+```c++
+void solve() {
+  vector<int> d (n, INF);
+  d[v] = 0;
+  vector<int> p (n, -1);
+  for (;;) {
+    bool any = false;
+    for (int j=0; j<m; ++j)
+      if (d[e[j].a] < INF)
+        if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
+          d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
+          p[e[j].b] = e[j].a;
+          any = true;
+        }
+    if (!any)  break;
+  }
+ 
+  if (d[t] == INF)
+    cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
+  else {
+    vector<int> path;
+    for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
+      path.push_back (cur);
+    reverse (path.begin(), path.end());
+ 
+    cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
+    for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
+      cout << path[i] << ' ';
+  }
+}
+```
+
+Здесь мы сначала проходимся по предкам, начиная с вершины t, и сохраняем весь пройденный путь в списке $\rm path$. В этом списке получается кратчайший путь от v до t, но в обратном порядке, поэтому мы вызываем $\rm reverse$ от него и затем выводим.
+
+#### Детектирование цикла отрицательного веса
+
+Пусть $G=(V,E)$ — взвешенный ориентированный граф, $s$ — стартовая вершина. Если граф $G$ не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины $s$, то алгоритм возвращает $\rm true$ и для всех $v \in V$ $d[v]= \delta (s,v)$. Если граф $G$ содержит отрицательные циклы, достижимые из вершины $s$, то алгоритм возвращает $\rm false$.
+
+#### Поиск самого цикла
+
+Приведенная выше реализация позволяет определить наличие в графе цикла отрицательного веса. Чтобы найти сам цикл, достаточно хранить вершины, из которых производится релаксация.
+
+Если после $|V|−1$ итерации найдется вершина $v$, расстояние до которой можно уменьшить, то эта вершина либо лежит на каком-нибудь цикле отрицательного веса, либо достижима из него. Чтобы найти вершину, которая лежит на цикле, можно $|V|−1$ раз пройти назад по предкам из вершины $v$. Так как наибольшая длина пути в графе из $|V|$ вершин равна $|V|−1$, то полученная вершина u будет гарантированно лежать на отрицательном цикле.
+
+Зная, что вершина u лежит на цикле отрицательного веса, можно восстанавливать путь по сохраненным вершинам до тех пор, пока не встретится та же вершина u. Это обязательно произойдет, так как в цикле отрицательного веса релаксации происходят по кругу.
+
+### 3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса
+
+Заметим, что updated_vertices на $|V|$-м шаге содержит два типа вершин: те, которые лежат на цикле отрицательного веса и те, которые сами достижимы из какого-то цикла отрицательного веса. При этом из доказательства леммы выше мы знаем, что от каждого (!) цикла отрицательного веса в множестве будет хотя бы по одному представителю. Из этих двух наблюдений следует корректность и полнота следующего алгоритма:
+
+Запускаем Форда-Беллмана на $|V|$ шагов. Если на последнем шаге до вершины расстояние не поменялось, то оно и кратчайшее. Если поменялось, то до неё и до всех вершин, достижимых из неё, расстояние от стартовой вершины равно минус бесконечности. Чтобы найти все вершины с расстоянием минус бесконечность, достаточно запустить dfs из всех вершин, расстояние до которых уменьшилось на последней итерации алгоритма.
+
+### 3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути
+
+#### Алгоритм Флойда
+
+**Алгоритм Флойда** (*алгоритм Флойда–Уоршелла*) — алгоритм нахождения длин кратчайших путей между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе. Работает корректно, если в графе нет циклов отрицательной величины, а в случае, когда такой цикл есть, позволяет найти хотя бы один такой цикл.
+
+Ключевая идея алгоритма — разбиение процесса поиска кратчайших путей на фазы.
+
+Перед $k$-ой фазой $(k = 1 ... n)$ считается, что в матрице расстояний $d[][]$ сохранены длины таких кратчайших путей, которые содержат в качестве внутренних вершин только вершины из множества ${1, 2, ..., k-1}$ (вершины графа мы нумеруем, начиная с единицы).
+
+Иными словами, перед $k$-ой фазой величина $d[i][j]$ равна длине кратчайшего пути из вершины $i$ в вершину $j$, если этому пути разрешается заходить только в вершины с номерами, меньшими k (начало и конец пути не считаются).
+
+Легко убедиться, что чтобы это свойство выполнилось для первой фазы, достаточно в матрицу расстояний $d[][]$ записать матрицу смежности графа: $d[i][j] = g[i][j]$ — стоимости ребра из вершины $i$ в вершину $j$. При этом, если между какими-то вершинами ребра нет, то записать следует величину "бесконечность". Из вершины в саму себя всегда следует записывать величину 0, это критично для алгоритма.
+
+Пусть теперь мы находимся на $k$-ой фазе, и хотим пересчитать матрицу $d[][]$ таким образом, чтобы она соответствовала требованиям уже для $k+1$-ой фазы. Зафиксируем какие-то вершины $i$ и $j$. У нас возникает два принципиально разных случая:
+
+Кратчайший путь из вершины $i$ в вершину $j$, которому разрешено дополнительно проходить через вершины ${1, 2, ..., k}$, совпадает с кратчайшим путём, которому разрешено проходить через вершины множества ${1, 2, ..., k-1}$.
+В этом случае величина $d[i][j]$ не изменится при переходе с $k$-ой на $k+1$-ую фазу.
+
+"Новый" кратчайший путь стал лучше "старого" пути. Это означает, что "новый" кратчайший путь проходит через вершину $k$. Сразу отметим, что мы не потеряем общности, рассматривая далее только простые пути (т.е. пути, не проходящие по какой-то вершине дважды).
+
+Тогда заметим, что если мы разобьём этот "новый" путь вершиной $k$ на две половинки (одна идущая $i \rightarrow k$, а другая — $k \rightarrow j$), то каждая из этих половинок уже не заходит в вершину $k$. Но тогда получается, что длина каждой из этих половинок была посчитана ещё на $k-1$-ой фазе или ещё раньше, и нам достаточно взять просто сумму $d[i][k] + d[k][j]$, она и даст длину "нового" кратчайшего пути.
+
+Объединяя эти два случая, получаем, что на $k$-ой фазе требуется пересчитать длины кратчайших путей между всеми парами вершин $i$ и $j$ следующим образом:
+
+```c++
+new_d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
+```
+
+Таким образом, вся работа, которую требуется произвести на $k$-ой фазе — это перебрать все пары вершин и пересчитать длину кратчайшего пути между ними. В результате после выполнения $n$-ой фазы в матрице расстояний $d[i][j]$ будет записана длина кратчайшего пути между $i$ и $j$, либо бесконечность, если пути между этими вершинами не существует.
+
+Последнее замечание, которое следует сделать, — то, что можно не создавать отдельную матрицу $new_d[][]$ для временной матрицы кратчайших путей на $k$-ой фазе: все изменения можно делать сразу в матрице $d[][]$. В самом деле, если мы улучшили (уменьшили) какое-то значение в матрице расстояний, мы не могли ухудшить тем самым длину кратчайшего пути для каких-то других пар вершин, обработанных позднее.
+
+#### Доказательство (концепция)
+
+Доказательство "правильности" работы этого алгоритма также очевидно и выполняется с помощью математической индукции по $k$, показывая, что на $k$-й итерации вершина $k$ включается в путь только тогда, когда новый путь короче старого.
+
+#### Восстановление пути
+
+Легко поддерживать дополнительную информацию — так называемых "предков", по которым можно будет восстанавливать сам кратчайший путь между любыми двумя заданными вершинами в виде последовательности вершин.
+
+Для этого достаточно кроме матрицы расстояний $d[][]$ поддерживать также матрицу предков $p[][]$, которая для каждой пары вершин будет содержать номер фазы, на которой было получено кратчайшее расстояние между ними. Понятно, что этот номер фазы является не чем иным, как "средней" вершиной искомого кратчайшего пути, и теперь нам просто надо найти кратчайший путь между вершинами $i$ и $p[i][j]$, а также между $p[i][j]$ и $j$. Отсюда получается простой рекурсивный алгоритм восстановления кратчайшего пути.
+
+### 3.8. Нахождение цикла отрицательного веса
+
+Если в графе есть циклы отрицательного веса, то формально алгоритм Флойда-Уоршелла неприменим к такому графу.
+
+На самом же деле, для тех пар вершин $i$ и $j$, между которыми нельзя зайти в цикл отрицательного вес, алгоритм отработает корректно.
+
+Для тех же пар вершин, ответа для которых не существует (по причине наличия отрицательного цикла на пути между ними), алгоритм Флойда найдёт в качестве ответа какое-то число (возможно, сильно отрицательное, но не обязательно). Тем не менее, можно улучшить алгоритм Флойда, чтобы он аккуратно обрабатывал такие пары вершин и выводил для них, например, - бесконечность.
+
+Для этого можно сделать, например, следующий критерий "не существования пути". Итак, пусть на данном графе отработал обычный алгоритм Флойда. Тогда между вершинами $i$ и $j$ не существует кратчайшего пути тогда и только тогда, когда найдётся такая вершина $t$, достижимая из $i$ и из которой достижима $j$, для которой выполняется $d[t][t] < 0$.
+
+Кроме того, при использовании алгоритма Флойда для графов с отрицательными циклами следует помнить, что возникающие в процессе работы расстояния могут сильно уходить в минус, экспоненциально с каждой фазой. Поэтому следует принять меры против целочисленного переполнения, ограничив все расстояния снизу какой-нибудь величиной (например, - Бесконечность).
+
+### 3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана
+
+#### Алгоритм Джонсона
+
+**Алгоритм Джонсона** позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин в течение времени $O(V \cdot 2 \log(V) + VE)$. Для разреженных графов этот алгоритм ведет себя асимптотически быстрее алгоритма Флойда. Этот алгоритм либо возвращает матрицу кратчайших расстояний между всеми парами вершин, либо сообщение о том, что в графе существует цикл отрицательной длины.
+
+В этом алгоритме используется **метод изменения веса** (англ. *reweighting*). Суть его заключается в том, что для заданного графа $G$ строится новая весовая функция $\omega_\varphi$, неотрицательная для всех ребер графа $G$ и сохраняющая кратчайшие пути. Такая весовая функция строится с помощью так называемой потенциальной функции.
+
+Пусть $\varphi: V \rightarrow R$ — произвольное отображение из множества вершин в вещественные числа. Тогда новой весовой функцией будет $\omega_\varphi(u,v)=\varphi(u,v)+\varphi(u)−\varphi(v)$.
+
+Такая потенциальная функция строится добавлем фиктивной вершины $s$ в $G$, из которой проведены ориентированные ребра нулевого веса во все остальные вершины графа, и запуском алгоритма Форда-Беллмана из нее ($\varphi(v)$ будет равно длине кратчайшего пути из $s$ в $v$). На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.
+
+Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить алгоритм Дейкстры из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.
+
+#### Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана
+
+Как в случае применения алгоритма Беллмана-Форда для обнаружения отрицательных циклов, существуют два способа сделать вес каждого ребра неотрицательным в произвольной сети без отрицательных циклов. Либо можно начать с истока в каждом сильно связном компоненте, либо добавить фиктивную вершину с ребром нулевой длины в каждую вершину сети. В любом случае получится остовный лес кратчайших путей, которым можно воспользоваться для присвоения весов вершинам (вес пути из корня в данную вершину в ее SPT).
+
+## 4. Остовные деревья
+
+### 4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину
+
+#### Остовное дерево
+
+**Остовное дерево** графа (англ. *Spanning tree*) — это дерево, подграф данного графа, с тем же числом вершин, что и у исходного графа. Неформально говоря, остовное дерево получается из исходного графа удалением максимального числа рёбер, входящих в циклы, но без нарушения связности графа. Остовное дерево включает в себя все n вершин исходного графа и содержит $n-1$ ребро.
+
+#### Построение с помощью обхода в глубину и в ширину
+
+Процедуры обхода графа в глубину и в ширину можно простым способом использовать для нахождения остовов. В обоих случаях достижение новой вершины графа $u$ из вершины $v$ вызывает "включение" в остовное дерево ребра $(u, v)$.
+
+```c++
+void Spisok::Depth_First_Search (Lref r)
+//Рекурсивный обход графа в глубину. r - указатель 
+//на структуру Вирта.
+{
+  Tref t;
+
+  t = (*r).Trail; cout<<(*r).Key; (*r).Flag = FALSE;
+  while (t!=NULL)
+  { if ((*(*t).Id).Flag) Depth_First_Search ((*t).Id); t = (*t).Next; }
+} 
+```
+
+```c++
+void Spisok::Ostov_Depth (Lref r)
+//Рекурсивный обход графа в глубину, соединенный с
+//нахождением ребра остовного дерева.
+//r - указатель на структуру Вирта.
+{
+  Tref t;
+  Lref s;
+
+  s = r;
+  t = (*r).Trail; (*r).Flag = FALSE;
+  while ( t != NULL )
+  { if ((*(*t).Id).Flag) 
+    { cout << "(" << s->Key << "," << t->Id->Key << ") ";
+      Ostov_Depth ((*t).Id);
+    }
+    t = (*t).Next; 
+  }
+}
+```
+
+### 4.2. Определение минимального остовного дерева
+
+**Минимальное остовное дерево** (англ. *minimum spanning tree*) графа — это его ациклический связный подграф, в который входят все его вершины, обладающий минимальным суммарным весом ребер. Заметим, что граф может содержать несколько минимальных остовных деревьев.
+
+### 4.3. Теорема о разрезе. Доказательство
+
+#### Теорема о разрезе
+
+**Теорема Форда — Фалкерсо́на** — теорема о максимальном потоке в графе, тесно связанная с теоремой Менгера.
+Звучит так: величина максимального потока в графе путей равна величине пропускной способности его минимального разреза.
+
+*Доказательство:*
+
+**Достаточность**: любой поток между вершинами $t$ и $s$ меньше или равен величине любого сечения. Пусть дан некоторый поток и некоторое сечение. Величина данного потока складывается из величин «грузов», перевозимых по всем возможным путям из вершины $t$ в $s$. Каждый такой путь обязан иметь общее ребро с данным сечением. Так как по каждому ребру сечения суммарно нельзя перевести «груза» больше, чем его пропускная способность, поэтому сумма всех грузов меньше или равна сумме всех пропускных способностей рёбер данного сечения. Утверждение доказано.
+
+Отсюда следует, что любой поток меньше или равен величине минимального сечения, а значит и максимальный поток меньше или равен величине минимального сечения.
+
+### 4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)
+
+#### Алгоритм Прима
+
+**Алгоритм Прима** (англ. *Prim's algorithm*) — алгоритм поиска минимального остовного дерева (англ. minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе.
+
+#### Аналогия с алгоритмом Дейкстры
+
+Данный алгоритм очень похож на алгоритм Дейкстры. Будем последовательно строить поддерево $F$ ответа графе $G$, поддерживая приоритетную очередь $Q$ из вершин $G \setminus F$, в которой ключом для вершины $v$ является $\min(\omega(uv) (u \in V(F), (u, v) \in E(G)))$ — вес минимального ребра из вершин $F$ в вершины $G \setminus F$. Также для каждой вершины в очереди будем хранить $p(v)$ — вершину $u$, на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево $F$ поддерживается неявно, и его ребра — это пары $(v,p(v))$, где $v \in G \setminus {r} \setminus Q$, а $r$ — корень $F$. Изначально $F$ пусто и значения ключей у всех вершин равны $+\infty$. Выберём произвольную вершину $r$ и присвоим её ключу значение 0. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину $v$ из приоритетной очереди и релаксировать все ребра $(v, u)$, такие что $u \in Q$, выполняя при этом операцию $\rm decreaseKey$ над очередью и обновление $p(v)$. Ребро $(v,p(v))$ при этом добавляется к ответу.
+
+#### Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча
+
+Двоичная куча - $O(ElogV)$
+
+(Чтобы упростить операцию $\rm decreaseKey$ можно написать кучу на основе сбалансированного бинарного дерева поиска. Тогда просто удалим вершину и добавим ее обратно уже с новым ключом. Асимптотика таких преобразований $O(logn)$. Если же делать с бинарной кучей, то вместо операции $\rm decreaseKey$, будем всегда просто добавлять вершину с новым ключом, если из кучи достали вершину с ключом, значение которого больше чем у нее уже стоит, просто игнорировать. Вершин в куче будет не больше $2 \cdot n$, следовательно, операция $\rm extractMin$ будет выполняться за $O(log(\cdot n))$, что равно $O(logn)$. Максимальное количество вершин, которое мы сможем достать, равняется количеству ребер, то есть m, поэтому общая асимптотика составит $O(mlogn)$, что хорошо только на разреженных графах.)
+
+Фибоначчиева куча - $O(VlogV+E)$
+
+### 4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе
+
+Приведем еще раз теорему о разрезе:
+Для любого разбиения множества вершин $V = A \cup B$, существует минимальный остов, содержащий $e$ – минимальное по весу ребро, проходящее через разрез $\langle A, B \rangle$
+
+Доказательство. Возьмём минимальный остов без $e$. Добавим $e$, получится цикл. Два ребра этого цикла проходят через разрез $\langle A, B \rangle$. Старое неменьше $e$, удалим его. Если же в процессе построения $\rm min$ остова уже известно подмножество рёбер будущего $\rm min$ остова, эти рёбра задают компоненты связности. Мы можем сжать компоненты в вершины и для конденсации применить лемму о разрезе.
+
+Следствие $X$ – подмножество рёбер некого минимального остова. Зафиксируем разрез $V = A \cup B$ такой, что все рёбра $X$ не пересекают разрез. Тогда $\exists$ минимальный остов, содержащий $X \cup \{e\}$, где $e$ – минимальное по весу ребро, проходящее через разрез $\langle A, B \rangle$.
+
+#### Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе
+
+Разрез – текущее множество $A$ и дополнение $V \setminus A$.
+
+### 4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы
+
+#### Алгоритм Краскала
+
+Будем последовательно строить подграф $F$ графа $G$ ("растущий лес"), пытаясь на каждом шаге достроить $F$ до некоторого $MST$. Начнем с того, что включим в $F$ все вершины графа $G$. Теперь будем обходить множество $E(G)$ в порядке неубывания весов ребер. Если очередное ребро $e$ соединяет вершины одной компоненты связности $F$, то добавление его в остов приведет к возникновению цикла в этой компоненте связности. В таком случае, очевидно, $e$ не может быть включено в $F$. Иначе $e$ соединяет разные компоненты связности $F$, тогда существует $\langle S, T \rangle$ разрез такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа — вторую. Тогда $e$ — минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из леммы о безопасном ребре следует, что $e$ является безопасным, поэтому добавим это ребро в $F$. На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности, полученный подграф будет минимальным остовным деревом графа $G$. Для проверки возможности добавления ребра используется система непересекающихся множеств.
+
+**Доказательство корректности:**
+
+Обратимся к теореме о разрезе из Пункта 4.5
+Добавляем ребро $(a, b)$. Разрез – любой такой, что $(a, b)$ через него проходит.
+
+**Оценка времени работы** - $O(ElogE)$.
+
+### 4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы
+
+### 4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство. Оценка времени работы
+
+#### Алгоритм Борувки
+
+Алгоритм состоит из нескольких шагов:
+
+1. Изначально каждая вершина графа $G$ — тривиальное дерево, а ребра не принадлежат никакому дереву.
+2. Для каждого дерева $T$ найдем минимальное инцидентное ему ребро. Добавим все такие ребра.
+3. Повторяем шаг 2 пока в графе не останется только одно дерево $T$.
+
+Данный алгоритм может работать неправильно, если в графе есть ребра равные по весу. Например, полный граф из трех вершин, вес каждого ребра равен один. В $T$ могут быть добавлены все три ребра. Избежать эту проблему можно, например, выбирая в первом пункте среди ребер, равных по весу, ребро с наименьшим номером.
+
+**Доказательство:**
+
+Обратимся к теореме о разрезе из Пункта 4.5
+Рёбра, которые хочет добавить Борувка, разобьём на компоненты связности. Каждая компонента – дерево, рёбра компоненты будем добавлять по одному от корня к листьям. Добавляя
+очередное ребро ведущее в лист $v$, используем разрез $\langle \{v\}, V \setminus \{v\} \rangle$ и лемму о разрезе.
+
+##### Оценка времени работы
+
+На $i$-ой итерации внешнего цикла каждая компонента состоит как минимум из двух компонент из $(i−1)$-й итерации. Значит, на каждой итерации число компонент уменьшается как минимум в 2 раза. Тогда внешний цикл повторяется $O(logV)$ раз, так как количество компонент изначально равно количеству вершин. Что же касается внутреннего цикла, то он выполняется за $O(E)$, где $E$ — количество рёбер в исходном графе. Следовательно конечное время работы алгоритма $O(ElogV)$.
+
+### 4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева
+
+**Алгоритм Кристофидеса** или **алгоритм Кристофидеса-Сердюкова** — это алгоритм поиска приближённых решений задачи коммивояжёра для случаев, когда расстояния образуют метрическое пространство (симметричны и удовлетворяют неравенству треугольника).
+
+Алгоритм является аgпроксимационным алгоритмом, который гарантирует, что решения находятся в пределах 3/2 от длины оптимального решения. Алгоритм назван именем Никоса Кристофидеса и Анатолия Ивановича Сердюкова, которые независимо друг от друга нашли его в 1976, и он обладает лучшим аппроксимационным коэффициентом, который был доказан для задачи коммивояжёра на метрических пространствах общего вида, хотя известны лучшие приближения для некоторых специальных случаев.
+
+Пусть $G=(V,w)$ будет представителем задачи коммивояжёра. То есть $G$ является полным графом на множестве вершин $V$, а функция $w$ назначает неотрицательные вещественные веса каждому ребру графа $G$.
+Алгоритм можно описать на псевдокоде следующим образом:
+
+1. Создаём минимальное остовное дерев $T$ графа $G$.
+2. Пусть $O$ будет набором вершин с нечётными степенями в $T$. Согласно лемме о рукопожатиях, $O$ имеет чётное число вершин.
+3. Находим совершенное паросочетание $M$ минимального веса в порождённом подграфе, заданным вершинами из $O$.
+4. Комбинируем рёбра $M$ и $T$ с образованием связного мультиграфа $H$, в котором каждая вершина имеет чётную степень.
+5. Образуем эйлеров цикл в $H$.
+6. Преобразуем цикл, найденный на предыдущем шаге, в гамильтонов цикл путём пропуска повторяющихся вершин (сокращение).
+
+## 5. Потоки в сетях
+
+### 5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез
+
+#### Определение сети
+
+**Сеть** (англ. *flow network*) представляет собой ориентированный граф, в котором каждое ребро имеет положительную пропускную способность (англ. *capacity*).
+
+#### Определение потока
+
+**Потоком** (англ. *flow*) $f$ в $G$ является действительная функция $f: V \times V \rightarrow R$, удовлетворяющая условиям:
+
+1) $f(u,v) = −f(v,u)$ (антисимметричность)
+2) $f(u,v) \leq c(u,v)$ (ограничение пропускной способности), если ребра нет, то $f(u,v)=0$;
+3) $\Sigma v \cdot f(u,v) = 0$ для всех вершин $u$, кроме $s$ и $t$ (закон сохранения потока).
+
+**Величина потока** $f$ определяется как $|f|=\Sigma v \in V \cdot f(s,v)$.
+
+#### Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа
+
+#### Определение разреза
+
+$(s,t)$ - **разрезом** (англ. *s-t cut*) $\langle S,T \rangle$ в сети $G$ называется пара множеств $S$, $T$, удовлетворяющих условиям: $s \in S$,$t \in T$ и $S = V \setminus T$.
+
+#### Понятия потока через разрез
+
+**Поток в разрезе** (англ. *flow in the cut*) $\langle S,T \rangle$ обозначается $f(S,T)$ и вычисляется по формуле: $f(S,T)= \Sigma u \in S \cdot \Sigma v \in T \cdot f(u,v)$.
+
+### 5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый
+
+$f(S,T) = f(S,V) − f(S,S) = f(S,V) = f(S \setminus s,V) + f(s,V) = f(s,V) = |f|$
+
+1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются: $f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)$
+2-е равенство выполняется из-за антисимметричности: $f(S,S)=−f(S,S)=0$
+3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм
+4-е равенство выполняется из-за сохранения потока
+
+### 5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока
+
+#### Понятие остаточной сети
+
+Если задана некоторая транспортная сеть $G$ и поток $f$, то **остаточная сеть** $G_f$ - это сеть, состоящая из ребер с пропускными способностями, указывающими, как могут меняться потоки через ребра $G$.
+
+#### Понятие дополняющего пути
+
+Для заданной транспортной сети и потока **дополняющим путем** (англ. *augmenting path*) является простой путь из истока в сток в остаточной сети.
+
+#### Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока
+
+В случае существования дополняющего пути поток можно увеличить.
+
+### 5.4. Теорема Форда-Фалкерсона
+
+**Теорема Форда — Фалкерсо́на** — теорема о максимальном потоке в графе, тесно связанная с теоремой Менгера. Звучит так: величина максимального потока в графе путей равна величине пропускной способности его минимального разреза.
+
+### 5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго
+
+#### Алгоритм Форда-Фалкерсона
+
+Идея алгоритма заключается в следующем. Изначально величине потока присваивается значение 0: $f(u,v)=0$ для всех $u, v \in V$. Затем величина потока итеративно увеличивается посредством поиска увеличивающего пути (путь от источника $s$ к стоку $t$, вдоль которого можно послать ненулевой поток). В данной статье рассматривается алгоритм, осуществляющий этот поиск с помощью обхода в глубину (dfs). Процесс повторяется, пока можно найти увеличивающий путь.
+
+**Неформальное описание:**
+
+1. Обнуляем все потоки. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.
+2. В остаточной сети находим любой путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.
+3. Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
+   1. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью $c_{min}$.
+   2. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на $c_{min}$, а в противоположном ему — уменьшаем на $c_{min}$.
+   3. Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных (антипараллельных) им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.
+4. Возвращаемся на шаг 2.
+
+#### Поиск минимального разреза
+
+Алгоритм Форда-Фалкерсона использует поиск в ширину для нахождения увеличивающего пути в сети и постепенно увеличивает поток через этот путь, пока не будет достигнут максимальный поток. Затем алгоритм ищет минимальный разрез, основываясь на значении потока.
+
+### 5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается
+
+#### Алгоритм Эдмондса-Карпа
+
+**Алгоритм Эдмондса-Карпа** является реализацией метода Форда-Фалкерсона, в которой в качестве дополняющего пути выбирается кратчайший по рёбрам путь в остаточной сети (длины всех рёбер равны 1).
+
+**Описание:**
+
+1. Положим все потоки равными нулю. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.
+2. В остаточной сети находим кратчайший путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.
+3. Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
+   1. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью $c_{min}$.
+   2. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на $c_{min}$, а в противоположном ему — уменьшаем на $c_{min}$.
+   3. Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.
+4. Возвращаемся на шаг 2.
+
+**Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшаетcя:**
+
+**Лемма:**
+
+Кратчайшее расстояние от истока до каждой вершины не уменьшается с выполнением каждой итерации, т.е. $\rm level_{i+1}[v] >= level_i[v]$, где нижний индекс обозначает номер фазы, перед которой взяты значения этих переменных.
+
+**Доказательство:**
+
+Зафиксируем произвольную фазу $i$ и произвольную вершину $v$ и рассмотрим любой кратчайший $s - v$ путь $P$ в сети $G^R_{i+1}$ (напомним, так мы обозначаем остаточную сеть, взятую перед выполнением $i+1$-ой фазы). Очевидно, длина пути $P$ равна $\rm level_{i+1}[v]$.
+
+Заметим, что в остаточную сеть $G^R_{i+1}$ могут входить только рёбра из $G^R$, а также рёбра, обратные рёбрам из $G^R$ (это следует из определения остаточной сети). Рассмотрим два случая:
+
+Путь $P$ содержит только рёбра из $G^R$. Тогда, понятно, длина пути $P$ больше либо равна $level_i[v]$ (потому что $level_i[v]$ по определению — длина кратчайшего пути), что и означает выполнение неравенства. Путь $P$ содержит как минимум одно ребро, не содержащееся в $G^R$ (но обратное какому-то ребру из $G^R$). Рассмотрим первое такое ребро; пусть это будет ребро $(u,w)$. $s \rightarrow u \rightarrow w$
+
+Мы можем применить нашу лемму к вершине $u$, потому что она подпадает под первый случай; итак, мы получаем неравенство $\rm level_{i+1}[u] >= level_i[u]$.
+
+Теперь заметим, что поскольку ребро $(u, w)$ появилось в остаточной сети только после выполнения $i$-ой фазы, то отсюда следует, что вдоль ребра $(w, u)$ был дополнительно пропущен какой-то поток; следовательно, ребро $(w, u)$ принадлежало слоистой сети перед $i$-ой фазой, а потому $\rm level_i[u] = level_i[w] + 1$. Учтём, что по свойству кратчайших путей $\rm level_{i+1}[w] = level_{i+1}[u] + 1$, и объединяя это равенство с двумя предыдущими неравенствами, получаем:
+$\rm level_{i+1}[w] \geq level_i[w] + 2$.
+
+Теперь мы можем применять те же самые рассуждения ко всему оставшемуся пути до $v$ (т.е. что каждое инвертированное ребро добавляет к $\rm level$ как минимум два), и в итоге получим требуемое неравенство.
+
+### 5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа
+
+Сложность алгоритма Эдмондса-Карпа равна $O(VE^2)$.
+
+### 5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства
+
+#### Слоистая сеть
+
+**Слоистая сеть** — это сеть состоящая только из таких рёбер $(v, u)$ сети $G$, что $d(v) + 1 = d(u)$, где $d$ - расстояние от истока.
+
+#### Алгоритм Диница
+
+**Схема алгоритма:**
+
+1. Построить слоистую сеть по остаточной, если сток не достижим то завершить алгоритм
+2. Пустить блокирующий поток в слоистой сети
+3. Если алгоритм завершился, то в остаточной сети сток не достижим из истока, а значит не существует увеличивающего пути, следовательно найденный поток максимален.
+
+#### Оценка времени работы без доказательства
+
+Так как расстояние строго увеличивается количество итераций алгоритма = $O(V)$. В зависимости от выбора алгоритма поиска блокирующего потока время данного алгоритма может составить $O(VE^2), O(V^2E)$ или $O(V^3)$.
+
+## 6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу
+
+### 6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table
+
+#### RSQ и RMQ
+
+Дан числовой массив: $A[0]$, $A[1]$, ..., $A[N−1]$.\$
+
+Нужно отвечать на запросы:
+
+- для данных $L$ и $R$ вычислить сумму $A[L] + ... + A[R−1]$;
+- (опционально) обновить элемент: $A[i] := x$.
+
+Операция — не обязательно сумма, а элементы — не обязательно числа.
+
+- Сумма $\rightarrow$ RSQ (range sum query)
+- Минимум $\rightarrow$ RMQ (range minimum query)
+
+### 6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня
+
+#### Дерево отрезков
+
+Дерево отрезков — это структура данных, которая позволяет эффективно (т.е. за асимптотику $O(log n)$) реализовать операции следующего вида: нахождение суммы/минимума элементов массива в заданном отрезке ($a[l ... r]$, где $l$ и $r$ поступают на вход алгоритма), при этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и изменение элементов на целом подотрезке массива (т.е. разрешается присвоить всем элементам $a[l ... r]$ какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число).
+
+Вообще, дерево отрезков — очень гибкая структура, и число задач, решаемых ей, теоретически неограниченно. Помимо приведённых выше видов операций с деревьями отрезков, также возможны и гораздо более сложные операции (см. раздел "Усложнённые версии дерева отрезков"). В частности, дерево отрезков легко обобщается на большие размерности: например, для решения задачи о поиске суммы/минимума в некотором подпрямоугольнике данной матрицы (правда, уже только за время $O(log^2 n)$).
+
+Важной особенностью деревьев отрезков является то, что они потребляют линейный объём памяти: стандартному дереву отрезков требуется порядка $4n$ элементов памяти для работы над массивом размера $n$.
+
+#### Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня
+
+В дереве отрезков обработка запросов может осуществляться как от листьев (bottom-up), так и от корня (top-down). Это связано с тем, как информация распространяется вдоль дерева при выполнении запросов.
+
+1. **Обработка запросов от листьев (Bottom-Up):**
+    - Идея заключается в том, что сначала вычисляются значения для листьев (первоначальные элементы массива), а затем эта информация постепенно передается вверх по дереву для расчета значений на более высоких уровнях.
+    - Когда поступает запрос на определенный отрезок, начинаются вычисления от соответствующих листьев. Затем результаты объединяются на более высоких уровнях дерева, пока не достигнется корень.
+    - Этот подход обеспечивает эффективность расчетов для запросов на отрезках.
+2. **Обработка запросов от корня (Top-Down):**
+    - Здесь запрос начинается с корня дерева, и информация передается вниз по дереву до тех пор, пока не достигнут нужные листья (или пока не выполнены условия запроса).
+    - Этот метод может быть полезен в случаях, когда запросы связаны с каким-то условием, которое позволяет пропускать некоторые поддеревья, не вычисляя их полностью.
+    - Позволяет оптимизировать запросы, если известно, что результаты на некоторых уровнях дерева не повлияют на результат запроса.
+
+Реализация обработки запросов от листьев или от корня зависит от конкретных требований задачи и структуры дерева отрезков. В некоторых случаях может быть полезно использовать комбинацию обоих методов для оптимизации производительности и удовлетворения специфических требований запросов.
+
+### 6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции
+
+#### Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.
+
+Напомним, что запрос обновления получает на вход индекс $i$ и значение $x$, и перестраивает дерево отрезков таким образом, чтобы оно соответствовало новому значению $A[i] := x$. Этот запрос должен также выполняться за время $O(log n)$.
+
+Это более простой запрос по сравнению с запросом подсчёта суммы. Дело в том, что элемент $A[i]$ участвует только в относительно небольшом числе вершин дерева отрезков: а именно, в $O(log n)$ вершинах — по одной с каждого уровня.
+
+Тогда понятно, что запрос обновления можно реализовать как рекурсивную функцию: ей передаётся текущая вершина дерева отрезков, и эта функция выполняет рекурсивный вызов от одного из двух своих сыновей (от того, который содержит позицию $i$ в своём отрезке), а после этого — пересчитывает значение суммы в текущей вершине точно таким же образом, как мы это делали при построении дерева отрезков (т.е. как сумма значений по обоим сыновьям текущей вершины).
+
+```c++
+void update (int v, int tl, int tr, int pos, int new_val) {
+  if (tl == tr)
+    t[v] = new_val;
+  else {
+    int tm = (tl + tr) / 2;
+    if (pos <= tm)
+      update (v*2, tl, tm, pos, new_val);
+    else
+      update (v*2+1, tm+1, tr, pos, new_val);
+    t[v] = t[v*2] + t[v*2+1];
+  }
+}
+```
+
+#### Множественные операции
+
+Множественные операции в дереве отрезков относятся к расширенной концепции структуры данных "дерево отрезков", которая позволяет эффективно выполнять несколько операций на отрезках массива или последовательности данных. Обычно дерево отрезков предназначено для выполнения операций типа запроса на сумму, минимум, максимум на определенном подотрезке массива. Однако, при необходимости, можно расширить возможности дерева отрезков для поддержки нескольких операций.
+
+Примеры множественных операций в дереве отрезков могут включать в себя:
+
+1. **Сумма и обновление (Range Sum Query and Range Update):** Помимо запросов на сумму элементов на определенном отрезке, можно добавить операции обновления, изменяющие значения элементов на определенном отрезке.
+2. **Минимум/максимум и обновление (Range Minimum/Maximum Query and Range Update):** Поддержка запросов на поиск минимума или максимума на определенном отрезке, а также операций обновления значений элементов.
+3. **Подсчет количества элементов в диапазоне с заданным условием (Count Elements in Range with a Given Condition):** Дерево отрезков может быть настроено для подсчета количества элементов, удовлетворяющих определенному условию, на определенном отрезке.
+4. **Операции нахождения k-го порядкового статистического элемента (K-th Order Statistics Operations):** Поиск $k$-го минимального/максимального элемента на определенном отрезке.
+5. **Сложные агрегатные функции:** Различные агрегатные функции, такие как нахождение среднего значения, медианы и др., могут быть реализованы с использованием множественных операций.
+
+Реализация множественных операций требует изменений в структуре дерева отрезков и логике обработки запросов и обновлений. Это может потребовать более сложного кода, но в то же время предоставляет более широкий спектр возможностей для решения различных задач.
+
+### 6.4. LCA. Метод двоичного подъёма
+
+#### LCA
+
+Наименьший общий предок (нижайший общий предок) вершин $u$ и $v$ в корневом дереве $T$ — наиболее удалённая от корня дерева вершина, лежащая на обоих путях от $u$ и $v$ до корня, т. е. являющаяся предком обеих вершин. Общепринятое сокращение — $LCA$ от англ. *lowest (least) common ancestor*.
+
+#### Метод двоичного подъёма
+
+**Метод двоичного подъёма** — один из самых простых методов для решения задачи LCA в online. Он не использует метод решения задачи RMQ и основан на методе динамического программирования.
+
+```c++
+function preprocess():
+     int[] p = dfs(0)
+     for i = 1 to n
+        dp[i][0] = p[i]
+     for j = 1 to log(n)
+        for i = 1 to n
+           dp[i][j] = dp[dp[i][j - 1]][j - 1]
+  
+  int lca(int v, int u):
+     if d[v] > d[u]
+        swap(v, u)
+     for i = log(n) downto 0
+        if d[dp[u][i]] - d[v] >= 0
+           u = dp[u][i]
+     if v == u
+        return v
+     for i = log(n) downto 0
+        if dp[v][i] != dp[u][i]
+           v = dp[v][i]
+           u = dp[u][i]
+     return p[v]
+```
+
+### 6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два
+
+#### Декартово дерево по неявному ключу
+
+Декартово дерево по неявному ключу - это структура данных, объединяющая свойства декартова дерева и быстрого массива (*cartesian tree on implicit key*). Декартово дерево основано на двух параметрах: приоритете (обычно случайном) и ключе элемента. В случае декартова дерева по неявному ключу, элементы упорядочены по порядку, заданному индексами массива.
+
+#### Интерфейс быстрого массива
+
+1. **Доступ к элементу в позиции i:**
+    - Так как элементы упорядочены по неявному ключу (порядковому номеру), доступ к элементу в позиции i выполняется, обращаясь к элементу с ключом i.
+2. **Вставка элемента в позицию i:**
+    - Вставка элемента в позицию i может быть выполнена путем создания нового узла с соответствующим приоритетом и неявным ключом i, затем соединения этого нового узла с существующими поддеревьями вокруг позиции i.
+3. **Удаление элемента из позиции i:**
+    - Удаление элемента из позиции i подразумевает разделение декартова дерева на два поддерева: одно до позиции i и второе после позиции i. Затем оба поддерева могут быть объединены, игнорируя узел с ключом i.
+
+Декартово дерево по неявному ключу обеспечивает эффективный доступ к элементам по индексу, а также эффективную вставку и удаление элементов, поддерживая при этом свойства декартова дерева.
+
+#### Конкатенация двух массивов
+
+Декартово дерево можно использовать для эффективной конкатенации двух массивов и разделения массива на две части, представляя массив в виде декартова дерева по неявному ключу.
+
+Для конкатенации двух массивов, представленных в виде декартова дерева, можно выполнить следующие шаги:
+
+1. Создать новый узел, который станет корнем нового дерева.
+2. Как корень нового дерева выбрать узел с максимальным приоритетом из обоих деревьев.
+3. Сделать корень дерева с максимальным приоритетом корнем нового дерева.
+4. Поддерево с меньшим приоритетом становится левым (или правым) поддеревом корня нового дерева.
+5. Рекурсивно повторить процесс для поддеревьев, соответствующих двум исходным деревьям.
+
+#### Разделение массива на два
+
+Для разделения массива на две части в декартовом дереве, можно воспользоваться тем фактом, что приоритеты узлов определяют порядок элементов. Мы ищем узел, чей неявный ключ соответствует индексу разделения.
+
+1. Выполняем поиск в декартовом дереве по индексу разделения.
+2. Получаем поддерево с корнем, у которого неявный ключ равен индексу разделения.
+3. Разделяем это поддерево на два: левое поддерево становится левой частью, а правое поддерево становится правой частью.
diff --git a/doc/theory.pdf b/doc/theory.pdf
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..404281bf1df61077a0b38cf6f9176c5e6ebe3230
GIT binary patch
literal 387856
zcmd?RbyStx)&~p%(%mV7w6NK9cXxNomhKc#x>4zFLAp_pmXb~ZN$Kuxz6~6Yde6D%
zzTbH7_})K0hhwn!v*%iCt~uxWtu<pk6bd3@^gsr7WCV&2;D5*nKvG6h8zXaM1RfrM
z$_rZ%K-kdH(9*^PpkQbMav)^_|EvU%F|;<Jws)deQl%jU$buXVjlo2uKvuT9U)9V&
zE+Bgad(d-`J;?eQxD}9<{q`3=K4b)tweel|w;la9&RzciVH+oFM^a`^fV7#hgElGi
zZ8K8l`#&s<ci&j<cpznAx%<X?|B&_mA?qIx?-(Iv<+vkZyC-40Ct<rMVY??`yC-44
zCt<%QVZSF~zb9e8C*im!;kYN^;JoXa^Hy9+q@4E*a<blkyPGU2=RFCK@xB`%<9$Cs
z;C)9x;C)X(;QeSo;2(6rKj@hLpkw-jj_D6NraL-a(qE-{JN{p!304_c{*Hg>ObO&*
z<75xk23WCTHr9@}e}JTS90SCdNbk7;h%uAi^8*lLAqC#e03gOn%5*nRfEXL;{pbKO
zc2cH0KKb|nqOOkO%8rJPAaIxB%HZkU&+zs$kQDs?PV)c-dz)v<AV+Ng*x~>xAXi6#
zq!rktgzo<c-~W-kofg=ljLi&%Y+SX$O&Lkqz^t)zGU<|njl<dzJRt|tJ4pb<?QNWF
zf0*gr7l1NA#oo}`!S;6I&t3q8l>s6kXR~J@C2=8ezbb}C4glp}<#yZA54nk%SvrF3
z0b-WmnTUX%*%*TWG9YUcM^jQJc23}JD+fn=kf9Yaf@^Y{j_lioYV>;cft$}?o(Rxg
zzK3Q(s;n)7v6p5NKndlgkL28XSbKIOAfXoVR4clMK57E;x!Y!}s?pxwNC8=QBQJlM
z_ZdGXE|oLWwmx_8@XpPvSLb8;a*cfax(&SiS5C`RhJl^Q4Oc5?!L=LTg43e$dOGc~
zXKvbbk6QRSxnJI-)h?}Z*Dapz2d?Bi(#KC?U9jXSP;cktZ}dwWs&_KffjdFkza+bI
zZ@!snbZ$KGEZHuB-}$sL=WxwD_1(JNV);Nm$HvqBRZY#x)y2WEjXqI4haDfIDv}HV
z8?|I0&O_*y)8V!LS|m=?{p^dLj)&ydR<7zacz}w}x|Sm9va@9T#(ldtxOG`6u+<|i
zS!$`)C9uYA;cUK6dIQ6xUqWy<`+#{NG%bO4Z9_BYYl--<1lb6}zKq9<q}i8^qcS<)
z8^>m@#1q|g2n^3#TK7wzk{#w$$f9}03^;CQ6FG9re}D{1<{^0tAu*za>V+ok^1!d4
zbT?r|;b!=;ckgA7zqtR(>%B`OuV+xUM1c?`dJ)RK;}EGbtr39<mO+o{d0i*ChE<SW
zyP-96DysyqH(nr(Gyyqn3kl8P-b&IVZ3PBiLDRD&a-j^C2+%w()$7xVkbXe8hV{a@
z?hxVg3hxwSb3r;?Qyg>RW-Z*?==YJ+wmWbtB-_naOKdOjO!|1WnG8Bk!xR<#f;t5(
zOur&xj6!>63rjA*$?v7MH^~|j^Wngf4GCP58eOXDlfb%$hGi4KqJ%{XeDoal11dl8
z`ZNL#()vX=W?#SEa-II!rX;k-`$4LwzVKL+8oqe;!!SDJY@`oyu4KOC<v~E%Y@2*(
zhdpm{?=vZmDu$L|bVhU)fCv-F9!%;T^gY}^_!h<$llYK#E449JC94w8&jU^Bv$s0d
z8m&A&DdO^)(9|pMPy3JNnB}l^tS<_&w(!(931-IZl(Z?dbz-2?KAC97pXcvhKmB%d
zZYLMU*Fq5F(GwLMpHozb!t~B;tpOH?Ay{t?uElYl7<k+yzW9c9%(BcZ16EULb}!f3
z!lxs<|2RumtId3TrW$jUHM=<*uTZOOB$A}sKCuHUU^^RDX7w4VtAdXQPR-<;m<C^N
zUfElA+jk!@{bA?cn-{=Z2W7b1K@D;PM{`)t(L4x*O;mgdrL@^?vc$9qN~q3r#OMMh
za>Tw4_$E{+XRLpSRNh4!r$qIQka$5TTz!Mx>m=mL>_r~t%GU!k0fZEnCRCQgZ4c8-
zP!Vz?RBiId;=?zl-`2YpEI!wPGm;Tm-qj}@Vfa+>C^{DlZip4vehXW&+E!%ubtBP6
zwVB2kohb@>8U(ahodfMgex;A^PH`^0SR%R40d!3}Jk-F|839gm#(9U(W7toKAkg`V
zx6s;F@;8x{EcX1VbSs53bK2hcD2c5urYPd9rvam^mO$2B{}egH0`mg#Z)5?^9Vr@V
z!`(~jS+KzxUj9f7Rx$Q#Xf-k|)lX8g=3ZY_zd>GVo^?cHTmQ&q;7d@0N!XNRI6}2A
zmz=;1@>hRs(gkBO?;eDkib*?T8!BMR99C1N&(0FY<W?$f8jmf!#frpwm>U2TgvMIZ
z^`2NzJA1>PU4iOTp6pqoddVnep;Sg=0rS?v4#kK(Hk@;^(5gdaF+g$QB_L04_90w9
z=aM*_Z-Y;9P(G-_W87H40XJfv&haA4HdRPZZQ~?o&LzeS*B(z56}R)id(k!V3hi*F
z8CfQEMuTXvtN|wriys%Yj#YmS2f4e7;T3|WjLaA#t%XvtGG5WdI=a}B-WoE|K<p7-
z(INTr<NC7)8^9??1W9reJK|DfVfFFi2K&V3uWlY6Q-+Y^_ZOJFYl=u1moAvS`-NgW
zUsKoOeBy>zMAPkwtedOvnb8kb7MSs-=+;em4WUT=;K310j|0+F7}C}*uYIG*2oB=L
zY3#7wxXiQ~tcSAj$^6A<)8Z;0&f?ICcDn@w21;(m>2C{!FWyu#(3Qe2a)J$Qh4bsc
zyBB@)1JKsc5^#m0-u6BZK!p~|^)gu{UFhDnZ6+7#L0t|;&6Tn#RVt0uIq->YcHyKu
zLsA^eaVU*A-K1%ruS5N<H`=M9K_qzk6)q<-$;C{z0U&l(X)(lD9zK*jjdlz+&gX;V
z{Sob*Yr2e5%srqF64#I|lL{VjuBb@PNY7X>)J2d2wp``rQexY8QhSmyVQ#)S3_7?9
z^f-6rzj}&Pzoez8=r1-D4evi0vs%dt8Csx0=gu>3{Y6i!QB@vtkhPSKDje6D3+6b#
zh{QVuZ=&LW*4uIqj~`2Q{?nm69`4yntkXe=Msl}#M|C|T%@&7D-QJ~@ff9$JI~HZZ
zM>m5=yqYRU68Z4L2)a(C<%+4G*s#>#cGA2M(qNVeM_+)V1y_{CcD6d4iiSZDOA1uX
z>rl%O^_57?mMziVtfZ{=_;C%`p3ePuqk<!9Z=D2?h|5u)*MAMxG!-E$UJX;Rd+EWN
zRU6km>rdp#p$4K}o2m;aMF~#BLzTKzL;4_pnVTVw*=UzQs47=#Z5rg^c0~Dz;2<Jp
z@1b)R^>L~#pV;}Ei-Kw@XL<NfcwdtHn~kuVzvwzz7OEo|0>8L7NxGz@=~eM0^*ziZ
z^fgVH^#@`{d=H%6_{fFE!|Dk5yd!#rFt5pwK3LQReF8y(dWLkuFQm(@S@dE7egYz;
zJP_pJq|GZJjx-HfGaSm?6H~j?59#S(oZwdyK>TIY;>$;p@purBBvyFD>L?y$lsg@u
zg0H92xJp*->t(%JOh4GxuH|A5JE+S3RnQS#7?tg{T=)Ay*k<{ufUzfy^@}glOXW4_
zR<i6P8BmmW%m&Dha_V^fvj<Ss4%6En*Bdg#upilUX=!ZgCW9cW7O%x>>Jcr(zg#>s
zIutBgf$bip6J<52*Il>v&QBzBN_ln0@xmc+zy@sV=h*>ol$}925QT5LW!q6V=(a3b
z^$fP6Q+L>Pp~PX)wAfbP321y6f%0n|n328sqFI(gsgN;PTy()kn(=7|miHlssx~jF
zAQCH2PPFK(GpTRZeyIdy;oeImtNPjuvMbAda+Sr9jAPnJ0=G)XljRLqL~qBDEF%wD
zyKD{_v}ah`cwL#r^pb`gn<?+UB|g*FS)U^(ewG!8Di_$=+lD9*M?@Wh?2#2mc9ImF
z$<4nh*@sBdvv<DS3SSsfNAI8<AH2umGTRp0GR4w34=hhnaVy}c*G**=sI{u{4wIg3
zZ+D%ZwPaZTjy&R90k&3KHlSlktYu}jd6F3NLX9+w@iWijXU37%$0*GbV2Ok&2v2jN
z1L>=Ksi_nE#9D2)P6=otm&o@VUT8HSaz0NCMUFDQSXO>D1yQ#t9C7VhZjBs+9AOm0
z?BXY(3H+*;r6Bw^B)WUwz)YsY#&_9@E;w+<J-SZgdkD>;`(vkP4TX{<dZ{hq6v-b)
z@F!fUUPGL+rY{cX?I<fuep<-m>E@@P*Z=rA!oYUy1T!M_fpNH$yEM<qBW=?O&+&w@
z^V%kb-9f1DBqvKKf#y4tZm|@2q2CKCA9#829ULQKV#w<4?^Pf1bvRG8FEzaYQt4`k
zCU^0y7TD##cVoc;adU43Nl$21!cTW<i3p1g1`VYb`p5NP3)W5uBz`M!4Pf2PT#|;i
zX=sx@D1MUoT-}83m7{-$TBCW984Bx5WZN59V}%&7GYEFpew=xK_-(fi!;cg5oqu@i
zO8}Iej2v&B#oH&003kyM(A{GpVG&VLQ95xOOB;vVBR{>6jioU_)Ea!aHnTPXNE(Ar
z^Jb1O=q13%bcbi)Aq=e@ZyP$0-uXBH6&qD+v)hw6*gd)PMSeZI-;&&MqD^||aOsl%
z^e%57{NVCGaPxz8VM&qOp>Jovbnp4zO#%E^#YS9GMAp#uPksR+>R=y-kr4p?QTc^~
zBgjh9`ne71oj-KvTiwpa-ptm~#-8-vg#yzv|KSMzWb&5&2b1#l#vpsJOsIdz1ngKV
zflSQ6;(tLc2zHr4;0MZ1wzifat6QIr@mERQj`5?TKXvkxhdY+!46Q(bzt;!Y<1uj{
zWo80Mf<1k+XM)xymLO6_fZ(l097#Dj82`|YBPl%-6B{@nU@HMKGck1}WoKsr2s)dn
zn;C<hBsNBNfUKeG{TC)CX2!c=)&HOb3rpjVR!ppn0A;Yu)WA*dXoT)uJ$fJ`6YJdw
zU}ZD1-gXXl`EGRpcFaIv2bKBGAO3aTcYfw?6aUi{1qjIk<ZSG%3@riAz>$gHTHPw*
zKeiGU{Fhd@UifdV?#$zd^{Ci8f$l_qCucFH-`0TGZ)*UoRwqkC`=84|-OO6h+QID4
zWpUf_Pwjyx4jx$vAZBLo;3#ZrXn(6I8N)w51DRL>cOnM|S(xt@&2LlvOI+ahzJIff
zzvuG5V;rm;tiKoskd@<C<6!w)<M@N-598nj2WoDu4;)Y6Wc(Z3xQht<HuYa!`#%@O
zzXK}e7gk0#ma-~8mGWa9{tY$(?}H}4fD`jy!drJVcjlr^dLP*N6`t;%{4l0J@##+{
zei+sN9+H4}jNJ+QSBttws#{R{3##6=_`%x$3YG5SSU-CDQv*NQ_-TB9PW+#Z4Gg)g
zzd#Z2S14lRWd0S37=KzD5C~-c&(`)E6fuHL4XmQumZad0{{@Er2z&j+@w+hDUncs~
z)P9EsmY>idXm4ito6-FTB)E?V{u?9!qrwj$xDS;6x*G0U{)NTA)5Q;-{#g~AziR@#
z6aL&3m^glFf`tY6Qxi;VY^?vJ2^o;#?XdtH?)_tbU}3o<{{sTRt#9?hNXi7>dP&)t
zIDQX--i0XtGR2=-_{+&e{GU<z9{}J!BKzy<<UT_Eo5cUzFSJRS?hyP}0JwYdgV{d;
z0K7f_JyZWZK)4Sg---37_DR7T@9h?I3kY|gew)azK>EJ|gu79GO!^-I;ol14KUn4e
z@Tl_t{cdy@HUG=he;ViS5W)5nBEXW60NW`zEn;s5vX=w7C@BBBOZ_Ln_yhj`JUW0O
z?U%Cy_{*P=@t4yn)30af|D>(I;qjkU#Q|RAw+487!lVasaQp%wY+$_p<y83#l(YW<
z2!9+Z|Nh+Y8<Nul!E5!le^NH^k^}erJC@(4l76%HUk~Mf&ibdK{(>TsVC{glU~-FG
z4)lLH+x-)Y+`9(993xonaN;+1{yf@)b76Pq-(OMW?#U0U`V~d~o~i#Hiro7$|B52a
zcZsT76k+)birlsM!Rr4CMeauV(bJzA`Uz%tT>bEN{$3FO!8AEJ|1?doBl3%7va<t!
zS|$hQFO~_$P0qW4|Isu#?rHA#v)g@)^%ihB!N*zPzu4tpj<a_g%x|;4&6ob?4BwA5
z-QTD4{x0qJGsVY2`eQfvKS=R0--+PAk>k7T>4)h4eUguvnS=dy>HP?JxF#>@N{2rA
zgx<h@=$X4PF;G5(iic2BQ-JGH;nD=V5LI?!oTPi>Svo@lqIIarQeX;&b<3}%mClH6
za1A8$eDSIouGTYP0I@;hqLJxve}g|Y?Rx*ByD=@zT0brAdN+f?kF*D%e{*&zvgvdx
z#NbDp#Smil1pEY4a=u691K__ILwRw=c_}%c#?Qxpb%fZSsC(mlcK&50r<V9ozF)r4
zBa+KT(FBV|FZ@IVD(?|P<3=XAmLrFtR;(jh%(@Ty%C;v(@6uSB_Rclu%;D8lSEGT@
zx1+ZD`J^k|Z|W~&3aa*!QXW_A?9ribGvo7-+o&J6dA8iNEkGOxqTS%&s0&TeA(lV~
zLekXd0}N%t$Wz!a98P>A?6r=$Ux~O|#Y5@#3Z6c0(O_p!vrPz&o<97(FklDAty3M)
zs=1`SB`j#+Qaw$ackV(3pp~ntu6=r}-iUncKX5qsMKud1c5c`)Y8$cZ?RTe&O1lan
zxGb8di>P=>c&%f`lt8=CuSk@7t2`a8k65fv={K29Y)=T~i7P}=UWc{S;L&*ifcU@!
zErY@hMC7L^0aO7rnb6Khnut|H#Y>_DzA}gk`B9=;UXjjeF4ThalJ?SG>V729Sm<)w
z->e!ML^RidI7>OWOdP=xeor<*G<1#-XSPyLI@6@=L6FdJc$xT-SgtQYzTr4QO0^9H
z+<T>zhiQC5^mTZlaW93uf`A^vrbxh13Ahq`LA~yI)DP)T1n0;@vZ(DJbQC{-MgZN0
zlNEna(<oCF6eQ{p>6(4)M|Q}Rp0Z!kngJ((@?LT%afZ6NY3Q|imgq^y&F+J$vz~m;
zVg8urAQ`E5#`cgVazGk1!UWS98=I7e^!O_2NXx~zM(8AD^I;;d<E?2S=rY(c));sm
zN}5?3dOBT}L#w@gKq!(9YH6saDB8xL!q>6V!hBjBIq;5BT{`>)&VXjXi(umhkI8!P
zRu~XbMEzBw7or?GHzKaA7PGA)nj02wBjmJjQD?X8iLTH(2`v!A-1sx9le`A#)ssC)
zRj#NYJcDQwTN02QWOB<3a3hWqQWpP%!c;YJb2lHJk3E!L>bo6up9`0+Wp<?|{3u;1
zU@`<tj5kJSK$Sf{*C>xGC?q;En`1+tjQdFyQBV`=Nnpqr2luuqq{Io5bvgm|D$;bk
zIKG7~s)a+j2>Gc)r*nS-l=&?qYdgJZH6KnSEt3*@o6qoRHJ|d-C>jJgi*gO&kL?U(
z|JKHhrq=A{h)jpAr?G|RgR4f7A!ta^vO@+lD|Mxo^k$rj{=p~X;H$<!n*pKR!iH0l
z@K`@3A+4^Zsms>PY8~O&jzH+=j!6qDQB^NZuEl(Vox2NXn+GNBDQ%=@Dbkc}5sElr
z7y`-TyXOvfEJ6)oN+Ujh5JA9OgtbqWZtak?uamS0AOgVkmhwpYxjp|v8*w80%I~1s
zPiz8dYMZL9IkQvgxN2TrO{8sk4@Q|t@gY*?)sx6{3^OM&j67L0A&k5yhq-*(G^N>J
zNj0ZPzL%gA+9-a-J+`*(HZo#@9m_Xv^g5agK7LSq@LsSjvaF@s`v|q6b%V97Hp;I?
zHIq`T?p^(CJp0ndqIro|H%zV}!#)(^BDpdqUCtMIM%GC`%J@W>49L+ZQ*m>aQ|dUF
z1nx89EY!ZUecO%#!7`t>PqG-wKd&1)0iN<>L)q^rqSR3qB_Kq2oVUsPdMpmwOYER$
z6D&tag{yV0XZ2cN(<jSHVaFP}gzS||JadWtgttQf)M+UBQJ(>$G&F7O&eKu)<Yo5u
zd2jt{f7G2gYWg(ci+HWVjpj1irYG6`!d5}-uSGNtY6GE)9{>^UBfk!ASv{A2Pfs0Q
zZT!@r4}l}55MfJlr7M=Hm+13S+0jFMXtkgq^9Yl~c^%EQ(Q*#T_<692%j|(o{Bew=
z5}m*@N`mj_pslU%(8(H5*lGSzltuU)G;q8jm@#E#5=T-Sxq&fq!j9P9GetF!h0)3#
zn_GL(Ps@k_CJ$p1E1w$#J6&)RVmBbj1*>}Rv13tD=9zoJx-LmTWSy410kSuByF=g)
zl?PJ^zL&IkXe?26rAx?-{gn1B()Xj2ockE)&De&eS_<e`p%?vGlZEGOFYulAF?Jn$
zl`z~)5*_?&SBDKOlc&L1F_3y(H=-0SNQ0aQ$%WmXAT(7TJteH64`i%Q8?F>X+sMjy
zC|gRBS_t#{E=fcTWCo)^9R@X^J#)=9t@8eivw%1*=a@|q`M@CxZTkb1RMVi<C9%tX
z-b+o!NhVskvk80>qT%}EJ+X=Et;4p;0=y<FG~v?+3EQ<_={0@I3gTBArDw+#Omv+3
zmiLX|9eNn_Z>*`_pC(<c6$V+!z4_KzcAZTYT`$xp#`!MOb0Iq2t0Ds_uk6EG<zP~U
zA+#M+Dceq+vM#$x3r!?BH%zyY4k?cx;fxspy9p-GLBzOi$9RWe>U=nLtfMJg)4mw3
zpEwpwVV$C7SW9O;bHqq$Z|T!^uZlrO)0}gV-K1uO#3(oG@EJ&{CW*i8%xXAs_A=Iw
zOTOUMD6aRUi)C^YLai9=MPD}eyi;ETyIJqI6Q6;17Yxs6=`X@#ZgNM_L(5N^#Mc&y
zKScs@qo+G*u}RfhaF%NQ`8A;>68o}x8nO;fZTT*d=0)0#61pP79t$Ls`Rx@ttu-$R
zpiiAK^`XZ$HE|i>Tr~28YJzQnQCiS6GaUNZ<?5`=JFlfrtcEtCZ(Qc2VQW$2MhQ~8
zCE68`@4nzwZ?ojf0c8QT{!$w?3aJpe^n@Orc$~&yNBcrUfZy7n-e$SQ3aY~Uuz`YP
zkw#-jyJi^wduW}a^JYeh&r!n&USNyccQ*|jU$^f@ra9p5eCu%^n)?xFBa}HG%1K~<
zgqM}T#_<zV@*iT?%nRAoD0b)Mv!e`|B70r0x9iS*RBd<RtQ^?j`#_T@YpGTK{6n$Y
zOsa^439ZA``yEdTgp##@0{c{LiHfLjvbdxt-)cCg+Hs2_L*M8Xs$&;8O%6bBLJLiK
zJ7}D4xtpsHim*8@yPAWS70-vr0UC-xm|?H>Dr!i*N+?o^g~+!n5E)?8M?(<eWw@Y%
z5k>R1n!`dwfT_!}4QAVj{>-rKz3!C9;uNqx{TRB$O<IUNU;XU+QKs`4ncrqB?Sa{>
zLX*~`Qq{65m@J7wx!A)QHq!#U`3pgm%_d$yDUjBhyUvk<>|&o@>+++?bt+=H)EIwP
zCq@_S);FSQ<N3iRqN8?O8f;P?d%f--lbW7-zGr26ZqSPr<5dB~NQfXdMjEJE!9y*4
zjY@BnVH`$}VE*zYjB92R<Jd-V(jJ89BPxuD2&;nAhw4YWd6o?B#0}=fJj$vm7wAc}
z-(1Z&P7aj(y5fdD<5Rds)8L+OX@%KF9{Dp!@#RDsB?ZWT^nvdrSMU}L8=117J+ATP
zvf2{X2}^fj3zwN4B1;b2bmt05nt&|*YR^>O%BV9rr(#hRCPS!_t0<{sy;l28zB3t_
zr};~f(nP+&_au~0Hp=MB)F{qb&L2NBc&lDJ?}+lBK<w~FeWSbCG1y5sq}NS9A<1D{
zKf?d+`t50}Ki|s<OL+2;FTGu~exvX!T+ScggnzaW>T>suNM$vB6MuT~Me)gc%J5Lc
zXBk~2dylD*%5}#41GR5yN`1&W`!t}YNai_K%`y#TVP=i=D1t*4$zHggr;e|DO?c0!
z=1{0@{6&d;r&C`xp@-Typv)#_Q9=}_AKW;QVmaEOlKG0%1b_~pe66^4?LPbTNoXjr
zGn?jB@fZ^_HV4t|Y^1uNS=X&w5Qyrt>FmEFu(by1reIno%hZp&Hr!lF@OtBvxN|l{
z#EvSbV%?$taM4&%6`yuxcUe(Eab?WJO4+e^RaiMMIMYN4->l<RtqhGk4qJ3_-^h~5
z(P98#Z%vECMbY9ls&ym!X9fMwt<Ic~7q*(Nw7PQE`Nu}1Pq`)CKS=Zr=pm+v_fnKO
z@<@S3I>TvFnbpdt*iVT{=5@n$Rh|aHY-W-)`6WMBWtZ&rg2yk*kBX;rL)esBLEyy}
z(Q4-8*Uv{AaOH%u-rZ;U?Bg2S>(!rZ_|R^&QEuZ)w<U{+xgLz^nKof4oCe$$vwzvc
zcNeor#iqlFO*j-8ea%<x6{k4UsqSsX;pi3@-6W+0i7^Q4Mx~|FFAUb`EDYG-J|~@X
z`^{QiMGgd&*?i>1?OIu1!wL_P8f`s{%^%V!nsQht(curEi?90Rgmk=?rQo!0Fc}}V
zyh~79-oSveqf{Dq9z2oMYtNq;sz|SbbNYT_ci_QW<;wssf6ycA%9#984eoWV{BRC`
zcV{@+RV^(vg1OYOk#{#F)Or-<)R~<M9-+jtD%OBCG5I(lXmq>z%0skFq&c!=Svvag
zKCEJ91a~&KEhs9=o(9(^RWbO?uN}J=8lt$Vn^EL2%tekQVd1s2o+p#*tR^cZyY=9P
zza<>ZsOqDN-Sd<-g$(@L#POXk`NIwS({KNW$cof$+{@6)2plArHFPxnAEjpQQ((VF
zW?BA{6uYCjV+0&ixeJi}7E}2(?DcC*<zLzPFGf@D(=orN=D;=3KVq^hf5|v7{~D$G
z-$hgY3^4sDr2U<Z-=Zo1DuREGqp-98jH7^4cTB$pQhv!1umOL`4YDw^F#YF13LEf_
z=11a~h5asZ%mgk;2B!(x*}<8CyWjsv9JAah`PZ=8U4rB{Tm0`vQ+~!!ew0)H-;_z;
z1$F-$F%*_xbLRg(hQh?j!ufj)WlKl;wotm^u26a$qPO%k5{?D>o0YrwR3uV(3t0|n
zf-=VD@(t8nl4$UL<x*sn0keR-OD)AqjH9yk0@$;I4MdZvn+j5tOM|H!U+h5r>+|#d
zobN=}d*}A&;E$6Vwh#t7#0}S5M=(=%mk_XMP=qMHL<yW8SGC;hU-%#JdtAiTF3xFR
zVh@$@H#A%x_MK7Z@IPv}-acBIXE?tYi%a7VE_Pd0DiwTu3PF(3K=kUH-#d2>gm0#d
zD45SVY~M%UcrqUEc2~{hcuJtY#OHvJSx<rDuLZ0%yxHS6J$ae@@Fpkp;%L1g`i6s~
z=qh;oef9;HEa?#Tl*#oo2yQ_RYotKm-AAAF<>%BNQ*I5MefjtpHzfmYl!<o$<qX-#
z8)S}Bff?+k;2xekKP64ZTi<zdxUK5(off?VGg$ttL`R+!Gvid_x>eqr+8cu@qD{so
zRe6q#N+{8^+wVQG%J64=R?Oylo<96A#B@(<sP(eenz$+y5edu!908Yo=rDGq;Uv#~
zTLk{Mdoc%eCprmU7wUX!Tz1@=^5KtPMHj&XlJS{LEYDYyEe9!5sfW`ZE5RG{JSE!R
zB~^Y}T0+1@(qnYmVSF5bxaV35Pb9BExZ?3PRY~h%?5WkvYz{tWMgQyy0vazraDe>s
z67K7MW0yc#6ZWf!;Gh|=gn91IFNx}O_x-$;#w017-2vV7_HSsD;kg_%#h!S->DSXd
z<9y)n)@F;NPp~3le1>Kt_}rv$gB~W3*o>aLk}s}t(PR&no8M~a!*rn;qlz!OY^_Aj
zXNosn@vx|`2k;&x6&#W>@jEAnf!^!$xcTq}oZ;vSdvNWLl&9?}lXU5PXTz=avrld2
z5W-*CWk;uN_|Szl&X`>)GUkp-REu(I>I>^XFyu9Y^pSr$j$H_HUQ7!G6^W%W*C?i9
z?xf{a?*l*QRX-fd%HFH(Jl59)33{`e<ZKrj+_|zyjyv5moezgGM5O0G*9oG{E%#Tz
z4Yf`9lESTer>pt1U&Qjxx;%JWd}HZBb;vST-&di>|AHaR4ju)vyi%6nLrwp_hRRF@
z^_;8go~9WAq*8AUo~n|3l0IjAQHJOS^MV30&_!^KInW!w?2J$H<?^c25xMZ_Y0oS>
zxl?iQjXQ^2p6@$x_N!{-2x3yJsdprmtTV>+Tl0)V<Dv^QEeIIdsw^Rz*#znC?~*c*
znTo@QS*UrHD_C){^!mfPznxE(Q9}FH9tFI$?Rw3iKtVD~2wCQ=tOM{~g__4EJ@>+c
z;uXMGsPH<iMe?!K-!?>p-lzzwE%9Mr6D97qwySyZIL0AlPlWohdi9j}<sQL;CZuw(
z`eQfEM=kA`QJPOPG&*71b`&wPR$DkVqNWdN&W=_cqKM!cKD?2xflGdlfdd;_cWPbU
znf+=1K}>AO2AAqaL?;!f7cAdZ6(q+J)3eLVv&E^$M_+xPkhBr@?3&5DVldZexHCdQ
zPIrgtfBN(eksgbqlh5)cZXkPKle|~s<)L0`sAVKgXF_GGUtP9U6H_hpgy7_%xAOoS
z+$y>irul@l75O|*!sNs##&<ayKijkDd^H+OPlPC?4CuYBL}fYK>_l_ERWTt?wioKU
z56#xh(XMp|8ZNXgm$&`-{Ci)fzn1?>Skv<y+A$}>exFAp4-kTW4x~ce8m$$AVNF?y
zF4pPM%tr6`-wZ+UMFc$~Dc~l2tGwjO?9YDmQ6NFf&s@sK*qM}as3uW~obl=j>&TZ0
zL0Q9e_mQu}b%>V)bW4l$?Sq|G+4xnhzAsvwY02X~0=9G@Gu0p9t)f#5Jn2-kxGppQ
zO1~r~P4(Q&eRF?7b&Ly9iC>^n8tt-1PF(=TzwqE{JhPttgPVowh<=5CGGhsUX2w&l
zmIa+mM|}zMBvrY(Ip!}En*&G#blN(h<FaMaiFR{>mI#lfO8T-z8ZrR6IIJBOmr_>9
zBg+i=Xl-vVBUU0&vJz2VErkw79DSY7HR?A$lzJqJ@-UNVgH8iImx>P+;d9S8By&k3
zKC>L-;s7&^%=auOxgC+Y9+kzpy6dI4Ev%&u<~v<&InPp%-lWCoK}B{Zpsd*&io9h`
zNr|>3QctbpZ8gIbJe~{ts{QOOqj@I!F)$>))DjgnCAIYUba5zcA#puR&9{@<oC-aM
zHuZgH(bh6@i^zC5x9Rur&_FZwL8$lS#m*SKx`n(Vs1Mwv;##e~h{o$-@zqOkzuA}y
zcXmxA-F~*!gp5=fLC9@^Tuy}}H$`*Ng!w(kb#<Q4Futrcx?0ddpYDTv<_la4)I{=h
z`lA@ujPp_nS#wIbkw|fUw%MLVY;P$Ul*SUQk$eR|E2%-1jBi`|ve`kYGEZ#KA}Rek
zlaL_tWwWRoqZRnxDVK>AS=AJY$;u9j=HNt_6GRY@ZYsfJGLYFSHdu;Tj9L1qOq{fA
zr^#wSX7;xlrPp%RVO`A0dJOuh4ZM8PvrI^)-Hb*XIYN*=mC)GGJVvFV6t7KNvDNy~
z^l4nc#|KKI$tmkTLGrP}!ebcu0q;K`ZAi8xC*_WBUD%H}(i3%^Bk*qZR6ho0X1;jS
zx@xrb7>G9DX>hf9(|Nt-b7pWk!JuU{WpC-RYxf0{Nc&L`pX?iN63M7ZQRZ|9x&&}>
zEy@D?O2U)ZSYq9u!UtquwO3}>$4^gi>?kDhS6)#$kiC<;I>P_<yki)~Dn+gGGi<*%
zYznzuCc2mrWidAfkPo1?^=xZaf^onBhc#vLT{BjG60mhjPU}i2p+T9P(A!nV{pF>B
zSmUfvwavTj@HRBIeP0&_I)yA9{NBriYgkcO-O~JNq7mZ-IT4PWd{uy99n@Tnf;$=t
z<kbn~5S+Vpv)Ch*7HM*7|Hb-fr22I5YQc>LuNJ`<Nc;s)(`{eij{`&sbHBT4zK_kN
zk!rST7Ypj17SdwYmQ`HH^kR9>Yod~bhSZy&Jd9&C+1F)>%eo?|^U&?U5jK%MLFG^&
z$C+|2v($Py>AQShbp1Q+x5JbS1OnM}cuvH)G;138ecG{KPdB65<{$!97+&z|dhHRI
zE8Cx3d-u_H#$F$nPmI-{56SWCGZskOG}qzr>*wrAJZ=bMO<`5pR{8WIj0QPSrP*cC
z#&g=qsTI9ZKg)dGW6M(5|AYo|ikm=pT<D>$w%BZIpwuy$-!rrECx#-FNDJ@rb9F0-
z4Pc+g3LN&C!35248m5aU4+m$_>}JLWf?6UeR2ca79_}+oK5EE06Yf{sXk&OmU>w!@
zat)l);O;7cXQ()@a0%hpJO8p@q)@;Q5`T{b93HK}e-%@%HM<$ryZUS^ythf9zw<e@
zN0!-p*i?e(V5HB5Pe_Ic?I=vUt6imZ#seoF7q<#DrdCIqy9Vo2RlZ^mr>frO8$c;0
zgyfyCS(!X7s^kbjnTluQZp(#;YhB*3#H|eDyZZVt*#liJJsi<$4F}+y9QtiaM)_k<
zOVXxb!!{XK(Yd1@)>Fk!st_NuaieMC4V4{V$6m5rdyE$%@ML(ovgk|7adJLHb!}o*
zwJRSvw&%Decj|UZ>E#}o1zOoL4%CkteX=cWjWg8`U`|X;9D@nTcLStUi19^;e0jZU
zY8tp7K!;C^{l&!6tKxykjuhj-vqgxQhJKeEZ*zl{i{zOK4UhKsmDsx7vb4Eu!|}-b
z2`)-6bI0~HqAbb^zAj4I%87e?ZO3R+gq4)|lwFA1U%SayeY&MVjKQ$55~`zU9yIj{
zDFm5NGbaC|A=dDW-;4f@by3Iwcz8b&_=XBj$hGUjha|2>J)#Q4OboT})Dwf<d?Sij
z`;*>|oDIt_JIlDMNpD!J+Y7yXe`P%l)MXRKZ{$I5^m=(>X5<!JA<y>i?T2nYS!`43
z_?psB72_Y<YND2bQ^=myj5o-|7go!E>y6)4KK%c{1G=xB{cqe9{k4?#-+MsJ%*-tR
z;sNRY^nk=&yq;@#NHsMH@NdHSESA<nEtYl|Vp=Xoj`c0ykb7X|Wy+XMFy$#fTwVJ}
zUq)TNUQiMudOr3Awy*kz-G^h>*Y0Lgk*MK%|8#fdJMs0=>F)X2-rNbU`>hYecXPD|
zIpuWg1I3Q}#y~L#_TM<FzdRw|ZHfD?6BP*9qnPd9A$j!by!DJ!-jmbgx@Dndob~)_
zp{3+ebg}tRwt*V@o}ej~6AzD7<U0#{tkTa4oHBUsvobU{jjRiE8*vl0{IkOPUQj_%
zmy54Dhb!zG&ukGIH`g>H<4kUHYC{4;&n!+wYALG^Wvd^-;rgI>3RSO7Us)2VDZbFj
zU?pt-*iw_p11|K&9hOuy&vc{ida|M>TE?*kpz=LH1qi}kN-J=TUx%=lJXWN?oQ%uG
zF}cA|U1O<1OpfGP@V|U2KdRqa-vF-m0C*9W7-pzGu1o)Fe!5kI!55?WvGFmxtt5N<
z@^^Uy<&u;{M1Y0B6`SJ4)im3>v+!$GAtrdM6&KNGoF<H$S>>vlypFMOHG*cS{d&8r
zw(~a7s}oLggwI<?`>q^uXHp?nuLiLm%=S%sm=zB+!#ynD+XPrt;&TwX46W7_q7cZ!
zOe3_ALF&e928Iy4Wbnz-J?voOHm)OUcIiD5w+c~@(Nb%yNpO~Az<=6%KAOOYE$I7P
zsG5eoY4bz6rwyjcaM57zX?c1;4QoD~Ap1Iw-&xNqe8)YeQ^lkh1lG>pSC_;pwgT)M
z(<c-)H{TF;(|vQ5aK;VorwC&9F%A)84xlp!rk#r36V!+K@kAibb@~fM?%@Dc^`4pQ
zPCA&7&O}FC#Gr+{Z1T@mq>(><VIe`k+2Q!CO^X?uB7UY#W!;C3Ptj^IG7n9#D!xmR
z{Sc0*?$PuFws|q-wJdcrd!6Xwc5YWf$~#ud3j~{bKT6WQMb4H-rWHiJ$#C+U^^~0W
zs3Na$S}AI|R+6qJ$q2aXQmAFSHi`Ehe>BMKjnzd^{NgXK2k>fw=Lmk->`wFblV8KC
zJbWilevI(@XTk`tQ-VY{5p_o*O0f-PxGA~b$gwB0g+_E*$y9Q|ww)$jwDW&1z>L21
zMdP@MV+v9>+my!-jAEawSZiX_uP~L2UI{s5c|s!wEC_|%k@7ZdOfP0AfQ1PtvQySp
zNILD&e!%jCs>N}^qGh)esLjeovI3eOTzEC7tg8k)o#ErQ)+Z(beI+PkiO*#Bi0K3I
z753|L)`oG(clqURrqR<xEV_Ha9TW&8!t=h-$n+WT&9&d(W1kXq!o5voq1oq6bYJQj
zd>ulqFY`PyD~#RE{)u2VJFM`dRVRXgm_t$S$w9YW@Rjh?qE-d19V}sbIP)~?bf0Y*
z_HU<EO*$>2@^X032RZXMD5xq<+vJ=n<e@&)#CFOvd^2U|KivB?eTry}KXww<NLUU*
z75wbr#B|wgz^>HSPN>#a6wknDYQipU1UAn|=}`qe^2!)(dq&w&;hcB0%sTIGIzuiL
z37VkGyx>`6A;v=xYm}!%?rw<QqCKrWDO)Y7OZHj-(i@`j-nZYe@TatW8%!vhwQR&-
zNX9bA^2rEtEj_R*yR$HrFm(vzupswU_7-<B!^zn@UQ^}pzZ+)CF(D_^(%45JX6{S~
zQj*7@=~Nh_p?T-;TOb<+!DwHDgU2(8h?3G}6Gb7!Wy~3mZ1s(1)5}0Q&RDsllSNKm
zOO#5{e*Xa@d!eK-5-TIoJdOL#c2}oRB|rYYbw3S%>X31y*mMWeyMvYNkt*p7Unn=~
z=Xn;Ji$Wjvq~vnG<<S<1Z;C)q2Qj1cr-3*>tS4zz;-+61Mkl2e)1*tcv~THt%5($T
zcUPwh@Ipxr>(InC7!?$;F=)pVH03;ZDJumpU>q?Rs~(q;mv&{QlDa@mPa4df&;|}I
z`d*4k0B?j25bE`pm;Nbq3w13dn;wD+?#^;B)17_dm&h<Nxq@yT!NpOIIdZ3VLiXi{
z?dY}h6N(CRu^fOf`3@W6gpVBk3F9*{@)>==qD0U<Ww~Hn*;gf+FO?nv8#NtWB}#Ai
ztc57a1!4BlafEF1Aq=q}YPU?FUk3>3OVjeptO>YP%~zJUwrCf+3lT|2vxki7y4EW#
zw9lGv<bMt8SeQ)CvdL){=)t`(4JEZVWm`5q5WtP*mOv-8c(Sn;9bu-4q^7<CuwZG3
zIw<K{pSxTdg|jEDKUUDOH4kaUi!kgJne2LH@PLiqN*Ql7F>gyZm=Vd0#yFq_88;F(
z&DOji(83rlAE^NfKOb>jAi%(Zhm}egu(y+J^&so%jC8#yFDaelXQ(jD^n+CjU{2%|
zj;y7qRZVo&lSknk)rm~3W{`VfXQ__xk3nMz%8od=Lx?1H0`eSaV;f9pl_O?LKB8YX
ztK?*)(G;f6`KB_+yLAeuT{&?xjGu*Seum&wBQH6|D<#e4eW)PlV$@_of%%3qp^CX}
z%4&IxS%X@dhIeUH8j%#}FYL@9NuWg$;F-TT0kvyzV>%oMA03h#YKbS2o&_&jVmMS6
zO^`uPks!p%@-Y{#E&{<yshJUmDvGoBSrid!Yk;FR-LTXJSK~*nPd!H2*r_Z#%|;vL
zT%{VctD{(>DPmvW*nM8bEuMTc9ztT;xv1x+5Hli-8kDY!gV^UR^~%T@qWw5&esPw)
z?E`T;_DFbF=%hF+7(j9#qE~`2xsP-m8d)b9Kh4)-q`g65V{ra*sXEmfrK{4Euoyd9
zH;M(%P*YSbNGl3~jJfQ)pY(Q8E~D_1#KQ6dso>e=(g&@Hj1(<`oTrG9TGr@HA+M#d
zeXJ2gdxk4`m~Ot$!Oxzy3|DYnuU$|{*j%4NU!Fd?+3wd*YhSQwtlZ#oZLk*~BNS6i
z7kgjj(w6t;V=~>6w0!lDoqKwSG^}}icG}>pE~~E&NjZ~f$}iT;iQ!{KPI<~}A&0wk
zTKV8G5ybtvLLbMTr?|2SHT#I9nDJU{_Z2F+W*;a^@Q-xJ<>{vaA6iVd$YwFMzI!uA
z!<xpM54S|oF(oU!j}##I%w0EFp)L2yT<!+WNl@VeE(W27Rfrhz1GK7sd6cR8P@cbx
zxP=HCwhE^wiEy(mGX2*WN>_<uiiw<%Eprp53FtxdcTl;*yPr3PM(xHCY>qw%&xI1Q
zxhysE-yE%t6W#1(y+z*BH`OPb)DVvA%q?vX6s-*(1TSvmXoQ-<_4Q?}UfF^ED{Wdp
z4_l$gh~aq>$_T-tdG{$pxHj%rNc-UQt#ECAVaS3fl+FYG=?3S(E%8W0v&_Wc7GhS&
zrp^r51ieM8Xupcq(KUFuPkIN*`^=nIMj<AM<QeAOPwev{i=qP>a<IjP4*3R#ze*3a
zxV%!0@|nye*rqL)VOJZ&zKj{=&Um?7MOy%SjUiaI9Bf@d-=I<*5JHyO#V&(w*4UP{
zB~ffDZY+IaDz2)Ax<%^4mKAdSHu&OMCV}7g)G0MlH4XSMa^*1-k&h-6h&~e)7__T;
zYDUGV21w%E`*p!CwD|8NM>MUbyQ9^qasY!;JocoTGsZqiFO`sWCMXMYKAMRdP6!t%
z5kLXjC=`bJHCGxEq$Jl2EA!S-hB?24U^U=XYkD7Qgk;0UtY$XOt;mSgil>kvF(7=)
zVsX4V^+38xf6XzEEYAc%kH;>W=3XPlI2t<H#ySdevVE;GP}G`-4;}v!%`0cx#_{Sc
z7P3o#*ZT%LHYeR9Jxzf1qk1p`Wt@l%6uI3%LibOYsSUV8GRum0U<t!9O`;qS6k)t+
z+!88S_u(3#C0o_g0+p<No)=OSBsFc5;^LZ?LyLbSJ6!jzCx%S`U=u_6rSa6h_aw+t
zXsAdJ*~#uO!fG->+Z(7yK9gclNL#Sv=HLTtc)j@O<}~ZA%`48cY{N8}pz#U5%YDB$
zJPM<_l$8txzWSLyY^T{6c#EtIJo4QgXB;ALk!0ng6c&j4_Y^%4_K0R99od7JURh;r
zZI)C^Z}8>9neQ;*LVs|HQyHk=wtv;sJu(58m#pzLIjFdIh1h)YWsy;4kd<{&Y&;vI
zkmDAJ3C5zGLta&%g&3JFbjil!oC~p^CC8>S9&jOW$%iDo`Nd|pds8V}B0tD_V5Psx
zWBJ{ZqpO!j73HZ)(EbbsaR#sKbO4!8PB@?+iDpK+|MBw-N=`8b82ggo;FWi#&9k{x
z3dSsSRP!dUeWRKo3Vr2Q+;iaeC#T6(58*G3+Ob`)DWmdiAfXRFtu(llX;*CP+HPYA
z%bYE@0oH@BT6^q1pp>s#Y{Ky#cvuO5fT?9wDJY|gAy!TWJHwK8$**XHm`2DlfXh$Y
zZI>JmtS1ekp!T{K(fm#0hE=fe#NO1Eyvq4fNQtDhwYq;<yria7?wgZ>H74rtx=N0E
zz_Qe_JT_(c1_I4A>*()Y&|fc>+$DtnyGb}s()-*m_%%n2q(5?~{|A-K_r>u4l`PzC
zS^W>E{onhbtW0;egMSt>*T>3QObVa{>^!&%<fZhteEwYh0#XRA%{jg5V*rWN+hBS6
zCs#KEgPXLGz3*F#v3x5N_cj|Y_D*BcHV{~l(t@%CI2$e`)|bkP8$6X7H}b!ajcoPN
zi6E<OrL7};LcyYaQc}N9X_|A~SiL?+=)-k6_ju&7e|$?|&H3O1=;14si+-mMOM;DG
zM-I40tR$zykDVz2nUd>Ly82ne(T-2oXP3DWlhxCUh_`1%kL;;Ijmx4oyrh18AEqo%
znY>JEk^-Jto;LR(>35R%4>(en?O10ar&uYYa{DW@Rz=e)aCJd&w33eaB1Nza!Be&o
z^VhIEv@D;9Er>X9F~eD9;AW(?%rX;TMhhkR#$Vc+yOq}?1s9t&DquUriTjx^&Eue}
z6%Ols3~S246jSg)!jdc9Cy{*gRkY+?2ayd1Un|VeDX4Q1BAx0vQNJehgZA-aFEqx|
zIbS?l^CHMWnN^(-wsF&k@sa*vuVSm2-fbb}#iJSQz+15;3=So3D#*#8`(`Nz+eX)a
zL69GM_lO?gz7#1D!S;Oa$}@=uSKte(QGVfv2g(i^%n1_-euz`qxQlz*Hm<~i@wOY{
zC5fNyjkw~rjLhteB`25pao8sw38gXupz>lQ(=JJ4KS+jT<!PQ?z9ZvNn%kOtXQS|?
ztuFqCFEz-(c4Cklbp2q&1itU@7vZ0`=zq=s|E$XR{bCa5&x=WS_XO|m^Z&oNk941j
z|IZf~@89P3TgLv^vW!2gNB-{C$8U`NbA`hH_!c9$lHupob~f+@$J-)_e{;3{ueTW4
ze=Sx3xBjPFjCVNoV~PJc&wr;6;P3BRkOo)G{JVE8{D+%jEcewW|K^f8kn_)rV)vJP
zepAi=n-Y@0Vevoc=zn;p@BiTS19z_;{7qN?vkmNT-n#em4SWBmmu^`9YXu{BJ^hf)
zzu&4@z;8wTJzUzWD{VvGiQGWA>p3upGAma`GCdOXxCzzFd&&n~Fk+1o+G`vsj8hxc
zdm|rl6dO`5_C6VjaiQ$%I&DK|NylhO6}!38sR>NIViM<NZK2!2(ZN=){;R69v*YEn
z;jP}ClhVP`v%`}~LO9$!WXr<T<zA!R@A5YY>K-R13Q2$)l&VRO;6|bIquR-&okuYb
z2(N`SI;cOu!gK}bUmbtu4M;n^z<9O&@i>A3k~L6&FK3(&ug>^$)$UlMHQ&|V@pIgd
zM>&&8`u$UlGY~Re&QDC^sp{E821XYGcGymEi=dKhmDy1>vU{MfZ4<yXjVq&QS0WAu
z!_F^dEL~ANuVOj8$2dLAHrA%Mk~M=$5*__R(xyd^^KdU&zjNBM&va#>KAkJN!clR6
zU)>!W%5Qb8JHgn2FLIS&sh%u-@reH|(-hsMX<hZ>Cce?4Pp9VM5LZ=0UeE)}!zmyT
z)5VL#qcWNH%?#uoA`>R<j}WkFVN!3?RNSRm80HX&tus?G3RLIlW^m`ROKldHm|#iD
z5saS;O$`%r4bgUt^0HmF#hp}clsUK7KXtS?(ZGBBG*}e52<ofF4B0;KHVhL~kVC6q
zE_>U{Ck&cHrkUqf&am66H^%Qswu2x$1VK?38QOywhZhbeYFXI*dtJJVmwZ;Sd=gS<
z$WQdNoyBUkI4DSA7}bH0Che31lk`>q^WzTlicYb}P_+-K$r`CLWCcpkPqtZKG3MK2
zInk{Mm!Nw*m`>2Z168Ww4^99y6)O}Z$SlYsT*qUGLNzI!u$24Ixz^rl_(5&uBuw^k
z3nlaFP%9xLsB@#(U1UlRvRt-p@@cv5MWxZ#vM_yf)RH!TPBLOxS~=+115`_V_tdXB
z*<c-=Z#~|sQJ7I2F~VR90khOTm_`FPt@BFcJHG6d;3KhBHxSCu1s;h^n9s-elxOoq
z<R?A|+he3RK<~Kn!PldjtTmEvB3kRRq`gm9Z)nKvcWeRT(DIa*f?I>qrvTxj@7pW2
zo-_RMwIykuHB~N+FB@Pn^*l;lk^pl>CH&X+JKNWG_!eShj9qdw$m|uLlP1tcJ<qSV
z11}KU=EN-m;+A7DzhtU&A~ToDHSK9Bw1fq8Ry>IzB3on}R91z>DRl1h9#o1gd&1pH
zEyb^l@{D1uEdt9j=+*P5XD1Sd)zPUr{!4uYFVS_nP9^Dkl+t^nW|dY`@TU=wSa91r
z_mnm&%gcR;;TV>LqL=fAa03SCl$d1_wP`!nn^nw>)0~~7_|YMc%Z%mc-eQDNs4DZR
zQ`kEO+P3DcF1az=dpaY#IlSCiiEbAOQkDnAyL}3G0M=n<!}S=y2+8eG{Gg|)90Rhb
zSzj#*J$jzo8jZ{#jkabWUHsfDug-r(Y1!wEVi3YdUym=m%j*crsm8GAO15;<kBuRX
zq5J$B5woLcIjm~F_8qbrSZywAgx8CN(i)`OE<UiK?6nvAD*D-6VY;2Jcez=|wKB3@
z#1a%78Ai#4WyEYNU9Z)dU74arE;mw2&77!IKd2O0ESRM1gW=@NrNQ%sS242ionNv8
z{rCB;^dkYT(KocsMT78dRRbd(pfkgprcM0@A{V@R*d^D`F%~KHmfdF^$zC&yk<yAO
zJo|0&UDfSKE|j>OGZxXNdza{IGI*u|S_X*kr)?j`ygl(WJmynzg@G$Xs-n-|?UEtU
zI1ZYyb?x+omh8-9ezNA6r6BOyJ1C90a*{;A@z}!)H?AT?m*pTXQc$>L6S^_u>?Gl%
zH2*M-;KZZq7Hm2;RYscp?Aqyz!_O=GwOb$6<3hx#9l6CFMc6i1g+HD5op~}wjY23f
zj0`+Z`JUiZP7Y7GjkSDck0Q9UIlR`&zR45p(P(v=O<sop*fKFkkN(=MUTVur9Yy;M
zQeIMlJI3Gw;T4O=t2c(eu`gbif_S*UC5nZ~i$)jgZ`IYYZ+Mx0-80`0K#%wM27g=x
zv+#x|o=}PRX<6V!T{Lk^vJOBc35bN=hWhx4djX@Yu;0W}6+vbeT{u!oShTkbT$u3c
zpQqA^jP2yd8M`|LxK4D;CBLOd?)#@e%IAHkG!C>_dok4H;6WuB2ig2J{(}gl0%o1R
z;aa4q!0QyM#@+qMr&`GKk(XMTc)5139=HghQaC+xhW07n#}E<ht&^iGIf$b$0qmGt
z;XONjJgX~M6aZ%yG*gHm?RM&+)wEV(+-sOJk54TX%^bxm__c}@mLkR%6yF^qb2a_x
zL}F#il4@m1_EnG}pb6GpaZh1Bi1p|LD++cWlXUR>zTkJ)5VAtScrlgKmt%Yw8y#Qy
zun;F3Jo0pT7))eXcM>d4W)&HhX5_MkATdIX^j}(fHcyUw5l#rS?V;z5^&Uq{jcqDX
zl-eL<EA@Zb55`%C^!C{iU;;W6@3j+^#tvGU%^2r#G5EfwIWIHLw}~k<!<DGUES{Od
z*yq23q?Hyk#SJtJu$c!kL4+ABJ@d^od%lpFEiXa#xq`@iGQu975ZQihE+E};yJtuO
z&XQtL$FQy0n(vr{axc+zv<pW(f{O_Ae2(maaw4MYb`OT7a@jZLe)DH>5NdG}auhA%
zc~s2Yf>Ov9(y9H#^=&<&{3*{KO+0Q^v1?hhG`Bcpos~4K?(2&#NHrC*0S+v>DL2_h
zR6N<mdiqe*V~z9mK%cU-+E*&e(eLnD*G7!I_{x+!_`OW6+}XVEjMCR`giV@lv#k8L
z-&h*)J)1CIs#g5eBo?{dO1-&ZB+B7P)j7V!beL4<Tjac_<&_irp4nS(kBxKXJ&Xnc
zZVt@GM+5uE`1mCh<}WfP_Ug8dK3T4J_e&mXMXn|9sG{?lbSvWjKg7LLl&Ddcon5x=
zI%V6oZQHhO+qP}%lx^E~oicK|lXQ2IPX6wHd>Ofa$G&)P_MUS+YtGkI4^`^6KT%wJ
z2n+o=g#<C2PZcKMIyjW8-pcN*6;1k15s;N88c@P2&_GT88W%V4j$cFi+s5pfL+~O~
z7Y%d|YmZmDRY0eWbroA19m(2YF7NW8aU0`FGuwjLs)c<#vb&0vP9f_EHMk>@48X#(
zDGm_B4cT}ySSoG`jO_#U3izE^T~h&>9D=@SVW;v6z+~h&IX%q7wR9l(#kR_wrVuR|
zG?R3T9cKd+F0P3Txu_{AFIgktr%X>-v>|&sd3Ag)6c~|OLKJ&emJ5r_l2U{=9BX_I
z6<B8%<ql`ndB^8ns6hjClx!1mvpr1l`kT17o;6cq`$0($3O~Xw<Ru!f_RgZm`&*gd
z3i8rgjg<Ido4~}yV8w{k&N%s!@Pnw#Ci6*5WTjjM`6fQByk<?a4_ERvIO@pD^V_CR
zmMR|3$eB*z&)h(d@Yp3ZoU0+dw&Hi&LDo&Nr)ZSx4hIo7?&(Q&tI77);ef5+!%nm-
zD;G3^>tvjuK*Ldbm1z^GN=g%KKKSu6CoPc4)0-wm7D-(f%M+}w9$0O}8I)oN+FNfo
z{1@8B%5cO(LHx4#LrIuYP6leyrmhmEKD@faT;&*b%o~*kBvROk)LFe}<3N*}lk%k~
zpIwMcSkS!;2?j_oj{eQEaQ(9Nb09zfb+f+Ecyc@%&!=JZICs{1oKKcF%7ad;N~Mx=
zYXz+6Hgu15YT+>>hKp|%3ip84FVhyW`W~gEgIAi~g<Ir&>k2NepUw#&pOs0-yY~X{
zE@xf8oE07z04J}c1k<jLmYH1FVk?m1z&7fVuws4CPh2op=Rw?&QMtmOrXlZ=`RrkL
z4`PBe&n<K?0!_Mlg~pBCXW&lz;ZF;L%?5&aE>eoV_}C%7AHQ(G`zO`e+q-seR=Z|j
zTBSq7{Q7o+IzR5y>|2i9+X1f>Fm7%=ANNU(b^0eHT=};;$2;KVd5w4qVQ>`EoZWT%
z2$)!CBBTsqnz2FpI$Dg&hRnDyXKP5fNqIjkTDajwPKO#Q0^)ERgAQ~F7A7x4kBZy%
zNJnc)xG8%H6=%RB;Bisi2>f(4L{e-*oHMZ)YHy)(cr6ecV=PQhFv)$>YtXTZyKRY#
znWlPXW%M6v@l9jGlyF2El~$q#$g~}-B4#v#+KyV;J85~GvE|~ZtSL=e1Q&1zEgP(Y
z%B1XRa2AKEQ%a=d;af7vhU-Wu>0q%8BH<Izd3%?BgO5Y=aLJ{4sRUYKiY?=arJarS
zv2^22z>Uqar%h3Yp7qnib$UZ6*p3K6B&7f8!~Af20;#%mq8xE8Bjwsl+Mok1qBMte
z8p7TL+u`Y_2a5SUP4UOf)#Gz*)7##Io5J(D?7N2fn||lK#1Na#xFIA%<1CDeV5pYc
z$)H3QQWeOI+c^MW53l(WBq5(e;*LgH6>lV~7puQ0NIx~?IGMV?h<V0i!g3Q~Pazd(
zH$Dk|zg3^6u~DBV5SO}s&&kkznk#pd-OI9_%dVz~_PC?X4hB{aGw*?Uh@e*du&fnx
z#|HARAZSOTR{VQ=HPDx-db3kDrBb7X64^m8*gqr={musa{i^N(NxCM><xLD&7Zy0&
z$W%aYcAhx=J6l8cd|zK*{nc9~4EC%*%B$!_+?SGL>0w06Rje>%x>Gt<N6PtCQUoE*
zsL9v>`2Ym-=uZR`-2i0a42`v7;|#B{sqAPiVr0@X>y_5PLh53x6wkz~zSnTj^(8bI
z{=8Xg+&n9{Mhm`RG7EC{uSi@;SsDJ82GB0{KU$I%qD78oCDvh!<9k`fG%WKta%67T
z3TD%iLy!kSVi9;S<YjP`K6%`&$P)_z!pN15)OfaVnk_lvHhG+U3_H<+_%eboG)A1V
zGAG!~NpoTdlHaNM3p}nh0p`I$rurBpv8DPAS7E!Xh?|&EwY?mgcQ@dRCIzSw%j11*
zU7w(3KZG}<45mv3kS1k`LOu=prl8J_qV1mH!7S5XDPbqe_|DT}4lO>0fLzI`#m%fu
zg&$kO3AqgD=zf(n4GNP7O!c*yk`HKm+pkh`OCd42gDHUs*AXQ%zV^A2voWG>5;EH|
zei{QPuIsW!?w35L_d(zt5(CbwX@wj_qgRxn4vG%C!3?K&iQu6{2QvNycKw|XSTy_d
zJq^fK=K|5cZFcK}e}@)GHUr&34cN!}WC&os`<lg%5Bi%i`?g8^7P%MgF{_kj*&d-R
zbDi!+FU2y8_LATdl$xdN)r4=!ejcGaz`9lYq#^@Uz4G8}{d!1Aiq+P#<dD?kkf1P{
zIPy7;kQ{}8EH2nN+v-W4Av`(r4dO(loxNTa906UyYK{t`zeYbSaVy%+SEHrHyj}L*
z&fVxBE=|U|T1=Mwf*Z1?N|t-&6qYny@+mnOV0#;;)1I;f>iyF0f;WgTAbLEL5_I#Z
zw%N_BoY<Ygh`A>?{%C#p6;&FqU<}R)+ft=1mX98mZCAqokv$sc^sUT%(Bcv8n5ysD
zTvs`W$}t{^eo7uF9<~=0Iwe_jV002OOH9o~V0AbeGep;76H}@#?RY1ZESWqIk`z|d
z6X0rowRMwdvT{bu{sdtwqHf#$MDX(i9aeK*{qOpf|LhF@cVFQ@F*NuOc`pC2Cj~73
zFk0=OPx|k_>HlEAFfuXzkM>KCwuYV7D5@`d{*Qe?Z@h#H*T<9#E>NK`*qIgruupx^
zFMGpLek8U=Z4~nNU9Qt9*PG*LVI?8Z@Zn>})FyAUoVUk^z!;eCtagkw{m(vEq`_^v
zH1wZO%h$sP!;g!H13NEXdtOGCZcjIlfiEZPy&$9_%xdTFUA4ZCu->oSru{E6zJoj7
z?&JIGwlwrQJ;v74Xr`79MLNt=+aSL^qArJTEz&P3*u2m*Q=%_m>r;HjeYaQN%Uz~d
z>&L;n3;Z;6uD;$|TDos;N20<;MB3$YkaZ~AU({YK)pD6)YNriEZht)VSL;~-nFSW=
zuS21KB|OyGA^R{o+$C(AdPX$!XELUoHSKqM-$2GSKlZ`o4MOk>@kPQBKi{&cadIz&
zRTn+|yzxL6iBVxU_vlnD(^=K3{b=e{EPr`wetBZGY%a>VGIuh3sho~;Yly98TKBnD
z{motO==^AIt@_yi_>*#%rB;=9vs24)+v=nqR@PBnXVm^sq{-0j`QiCz6<MUK$8S>W
z5lr{C@3wthB06=I4Kj!_EX%v;ro7)VQ*?VRUya!8!ywVnb!qX9LBe6>NMqy_rVG&f
z)5^7n0kM1^u@)$kNtkZP0(bX@RU5oJ4&$hA(~g}N*~Xu?uMzOrLDPp5N5w7jMDk3b
z<+<WFV~|dyR5bL%WT|R|)S54VB6gpSKXqU1ZdJEX&a+&6PLv_|z|u7^ZtWm5<Qj0n
z8s2$Cx({-g;AR9LD&d3B9<p!5W6qi2-D^r4WxsT4Dr6i4qAMD@JVxd-VALv8QDeO(
zIV^V^KICW_IeVLVD^7`pHjsCS^I8~evcSB0#~sC>$*+vXM*A)P?h=%pY@yJ00480;
zLb`kdSEq#&ng!4hnQ&@KVKzdZcGA$iBH>Ko7c1f<3Rxld1Jc=0=shL^aqbkRjEDzE
zY!FnmbH5eXt)U^&QS4ytLTqfZTmB=zZTnOFmOY7z0d^KkHuF-kLz;M;!Oz=X&yDwL
za3R1V>~y=1-ah}PhXL$+zP;hi-4)Y6>wO=XI{^aty6<j3vbQ@se%-(yz2|1{?I}er
zHOD>;4zIQG$S|*OW0<L5W1fqO&A{vItBNqd9U8R9i#+z%X0vnXdlfz8-dE_r_AH!>
z>i(;WCK!t=KezMRR?H;PV&%(Vz$CAl8cP<w*uD3DG~P_0VR{5JNe%Kb4&0(6N^JXT
z+@F$K0H~zyudH7&U@;Y!ujyiXC3gxjrtuXvuc5b%5_iAAe(V~@*#?M>7lTrp@C(In
zN8DGt23AAEDL~&JQ4p&f*dx*#^QBPXc7<(C8;N4dguY392?le1E)CQp##V=v(!`kV
z74(BDngaC5_{kcM;Q;xD)7Iy}(8KJA1_ia(XF=R$Gb#j1&<2UY0XWb}#a)6~B&GIm
zDnd^Q))A`%ufhS!O9jNK9Y56}*n^Y8mhp?pps?VAWi{}`rj~eOyW(3cZk#U;g{eE*
z+X0-p5ALABvm8)&>6)<Tv7>WQ4>@7n77=ZlF>-9`D@Yi0m1oSgeA?ZcZI+YVD{XxE
z-TxF{lwN0qu=ytMrxsuo7Yq*|NWBRz^*~xQ4B{VVYV%)*(X&m|#v(Qh-JA2D>N#c^
z;zY!O@j%W4TP_$0oVS*v4Q*BqZNh(&Y6e~!7Qqt@6=u%sg8aEkJH89>XMjzxkf=**
zdd#r7enro^CZD2|q#Nr%8dj;Ah>vBUUUM4=-zCPsD~hBySVHrK6QCWMB33|HS2G?D
z#YixPbcbv-i5C<YCWa#4D;Juii@=BnV3GJkC_}&rw!KiUutsXu*-5hCDV~Sr)B=K}
zxMe2fYO{538}S@^?tNdsQfYciFZ}*$z!QSt?*Dp@+x^a5y?r4AnQ{yMBMldQdm{vv
zeYx!SYs0e%?|YL$)OB%8*lHa1VjR-3AlTD)k>|Xu`==5feUS?O*35AyOl3ObhOfHr
z>EfkD6znq{^U-s9oxmvhG)m`--aAM;1V?oLDlWI_asH<FnXVU1^t)%*734~Y6;kcA
zke+DOY!PrjALI^)yL$HNxrpr9E_Vh0R+r7?JPeTi9kv^%-ONxdmH$D4bzJ@w0{zgL
zH`cz|l?Pnxf~i2%yBm9_nqRDb<Rwfk`D35y44e|KG%57ud$B8z8_cldakcftgtb@0
zZHYv^$2zfUf`dgS-~IFe2RXkYEc<ezYuqb+x+7lema)GF@K2&d4=*rVBISCyY&Dr&
zJLtG2QsE4;8ULS|A>?D6Gs_q<o({(I_OuJ@;TiWF$Ew)@o-;_p#F*}mRnB$5ml-kF
zs=RR)^C@S2)pAJ0@2=b>HPh@&ty-nsdL}FvlOZO|KO@r6qgRJ!cEmS4_{Ni8oiB8V
zUB2K(h+lP7_Whk$UIas9&Plv3s(@~@qm(SmQ>#Cmj*`)}JPJm$in;T$loqk{@M5U%
zu{yBi7A>!^UxX8?4@6x$Q~X2Cs?y@c4}54Cf|r4jav}J4I^wDkTT%#0GNi^F!q)Nj
zxF27nfb%{+RAsEI%v{9BM|^22k;l^R#TdO;%K_jIhazi1vM!)=#He1yx=%wKJd}&+
zjdq7f3oGX4#O%e_yw1@_njlX+>FJ0)>vJbXONj+W&_mtFq$)Imy)jS9!L?E3D+Gg`
zvl=bwt1=ebuSS_g!wn*RI2rL+7kM<E$=`(@WUxz;-GLe#ZOwlZ8eZ<>;gmPR7jF1j
zqI3(m`)$N!qddUXXSi=oW2n}$TBN3=ArSFx=$o&E%6eB{)0DXlcr)*m*D{6wcKE!&
z3;Y>dN=L!IbiAEqsY%vR(aLgM$<4Cd@KsQV`dB@35k2IWPnWT;CaBM);q!JZN{#7x
z8PzrrQyC1&iRrY*#(o7_ZBU~#Zzg?O1NZdrZ%AWmxWI^b{S)~fI14h5<H>`qlnYqs
zV@*|wKobsCMmp|eOC`e&_}$;g1}im*sE7JcR!%RlerM!E{F!11ks%n889uEp3J3+w
z{M(j2*>mV<7i$4|9B2=sGOmlg{dbLGj`oVYC3`Sv`T`!O9SaW{c`QYD9_dakDbNnQ
zy$wPAyD+vo9ciaR_=q;o@rD#B3aVxnC8=zIR@7a!9$GXDpwTh1`L;3}piA6HVQl41
zrU)wcGrEJK#_r_WZWcFHN{?EyEl<-?$3nMR#RpfFv9pKH`6h`DVF9g&{HAfkUd&*@
zi-1mqv$eU#%?|RtY14tHKY^G|m<@%mZBr_hvLp4SC(r0_8gFPG=z>0wh~!KF*G~R`
z{umeI=D2zqyCzP?05fLqF{Y9={f#vQh;?|3=9MBF+X5<Db0X1|h3K1SS#{VL8&pu`
z`Ks-NdUX_MbxnV*PjNDa?U}>G--$~FGCHFfYNJhUvKya?WHLOb9hW|H$8tg#>dl_Y
zn(f383&<D62t}EAMK1TxUSP|LGVw<hv)fA9{c5Rk){HMUAO*jlW5-OMTr9?dfcD{V
zt5w|;mUBGkvY>#EZsK=Jr++O{1;;xCh0+X)qloKJ#}p^X0eqo!&T#3uTMSN=${wKv
zaKLbBu%eir!`en5Z3#~*@bM_c+6e3FqXh0xd<vUADQZMYJGP-)7h{YdRfo;Ta?xgj
zi|K-`hG0mi;yyB)aDR);IDvMCfj>9FG5rla!y#Ob&4uO)0`QndRRQGee3YSKNC;hM
z8-GIcRTOvOm>Y}t!+6d{1JB1cOtsDY#TPG<pO3CbJR?y_G>%-^49puQ_p2tjbptJ{
zlM{5IL1An}TSs9F@{HVSQWrTiFg%&Qy@>Je;Nm$~p12*Kz*oY-bP}Ax^A{e3m{GtU
zsdF5g){qxf4>M8KO(G6g4G8Q9NT}1XtjDa0x5C{$!;5%YP}F|@9*lhy%ZNlNrQ?j;
z;zb6$hJy0i)DourKvu4GR_7D39Vaf%HBeTd!$u>@MhKR?8T!1v^I|5nHnCO|oe)l*
z^@CDtx?OqV0yT6XnQZ{jGhj5frFjKGM@(uq-oRE^Gp$ZMZ!+M8q_)zd6PU?^Z<`l$
z`+DQj1~=cWiVW&hTu6d+f2}nqJd#6rLprY(zhY1lQ&D+@l6O`yy^|XL#@6SP%d?yM
z)b=%e^BqS`No)84Z0b`>s%WgM<<#=BCYH6W<s_zri8N|h4o-C(YL^h*Q@gW;a#3RY
zrWp}JUtFQojQ;Aim>H_^+?*=WbP(FbuOODVt2>wg*jo2|^#<>#B|*y4me1qrUg92|
zgFGLHz&4Fbq|_NkEcHg2DyTT~1I~Cx6K9ntqgu&b9DpQP-KS|ld*yD@MTyV*^j(ps
z!?|0aXq3l(zylF1j1wxF363~xVzZQlMBteYy=lqz{R43=&6aZwrA5`~!V(I(au!c>
z#xSUHT>P?$9Kxw0`91%EYY}F7_4ml{AZZ<t1l-pIsZxnj{P-*q3^XdAG214m6z(dF
z4%Ag*k}yF{&QVW^EQ~J$T5kp&$Jq97^D#sXq|f2@{^AYPES(Ub`f<vx<Kt4O6y_IW
z|G%Q->^@(E64IwP0OVeu5ajWrc216F9KF4%_}9a<qAJ?MaTMos6J%jpGEc!2jw%wP
z$rT~#@d0M)mFgV|2QIgck`PAHpDCUJ>XwRHZ5`-mVr)fw5#)qOetUZ_3GQvu#ex=P
zN?IVy$3qoP2F1hMRd`4<coU;0IsR17I@~boHuIDj5-p&x3_x&^nEVAmcE#E>1u+Y$
zt<y73r4DNR2J;By;iz5aG*1x>90p*P9pVa@?53RS#>dWC?BGk?i+$;(xbw7|roEBm
z$()mG07u{C#Mf5VAmRM^)SYq^5A^$JW_oW4LT*4XFY*L!ex!o3Ls0(oi8|zZvb>>U
zv4X7Z%w5I~4|*zJ!4)>`-XSxOVxcxx^bwc+AD0f{7;P5UK`eslYM@@DCsy(eT_w+h
z_fZmCtePs_npSc<VR#n}9s&g+nx18tYN3P#I@+rBlFe008PSSvd@Km}5vGkDkH_L0
zm>J8$a?COB9NDVPuZ?O>-8k}Ycxn@?)?6%87UH#ytJ91jW*(zh#hgQ@Y;c}fQ#ijN
zp6iWW;_WeOr<awmP25f1x%QTmOd@3k?}d@XM?=z*Mnhj347WJW>?1O#9{aumPRCU0
zo<F)KI^Gb#MJU3nT~zor!%BfQChjQbY-w@m`{eRgv{Z837xFoi`;h)OAC(M9nqR_R
zwH}3>=z5WtN*hh)j$|aME|B1b+B3C0`%KmB9m<K&B~5v_4(DWlIwNph2Np)>YPNc{
z7hWmaFqGn(a^-VzZc4c1YSW6pz&{+LLydFxSL#fJ!0(BK(74I|yqg$sYu~4`XM4Ul
zw%{VmTDBb9(pu#>OpYm}ZxrjTDI#p!Yf?z{dUFRSe1tSX=0r>g$)<)&6eHhCRA~Cl
z?CD;gJX;(%<Z06$ln5YOY!y+;^4}<`KkZEoW@-$WqpeU&Huy}^j0m!+T8*l@HX|T;
zQ*LHXK0bDyYOl?#Y^bSClI7rV`1yz8(&S~Yk#9Qv*<Ljk-ARqnaxpy9{==Rz&~=(?
zq<8OlN7^?O!REel`arwpbS-7iF2A`_XEUk<DHvB<qBqHZ^%MG=hVkFGe*TlZ=)ZJ<
z{3YAO{<pQ1|3q^A{ovnpT>fh)?te3l{${uQBg-pU{)ysL{73Mh|9sN_x68xC#P&b!
zB=%_A*ln>QecSf`2!vgRZI`ODdnYBoqTRih^!rfJwtpaCi_khO0N89bv59OBe!XPv
z$D@>x7?BlN>-TIdLx(ZVPH{68KA*q*0L*uHad9JD&sC6q-)3#Pg@Nm=3f5)GuB)<&
zrms|jq1f)~;^TFHJ>Tu|ITz;l0U8rwMg4RIy!>2lo(%2}JP+>=EJ7~=Gz+rP?cm`7
z;E`dOclNd<(#GCSN9o;3!ot0wkN~BYzkT2B9XBA198_)MSZu9qj~rlU+r*;uxj7H*
zy*y*ToXGa44W+FE%q5_Ehc;w=r@I}tJeg@*0Y9YIktJT9EAc|VQYSn0vq5&Vbwdv;
zo+10C57=D8u}n;h+j+oehcVe}Em$4$1=eHt3jri^p`3A@v8qi+_2J`X7v=i7w+k4L
z{DKnR%<2$WgQ+t8$~gR_|1DNo2P7xE0)S_s>62G20K?F%lP4L7UQPimj$<a5UM9C{
zx%}D6yHNFVY3uUh>tn3ib;(k`jQ#%5gsSySE)PVef&c=zs0IT4OR|_ort_qj+4oO`
zL<ICLq~~F_(BUWzS0w!vJN;biBR>KUzUdw4k>)+QcUey)&(y-^3fBf&8|VkIry~pQ
z1l%<Xw|p4huxowIdD;UR*AvReY2h!^<qO~fm(^<Up&Ff@5;?cDDi{1`&8-OfwyMh(
z-R)X|UlV?#+q?5OC$?eWa}l#=hfGf(r%29Mm)o#-a8*Vdk9P0RCt!Ww9<Z)04rD)}
zryUA6zwNs&+1foid{4B?3l_7EZYTHBU?WAF)8nBcDb~u>YBXm=dkWZF$s~s*UOGW_
za4Zb%Qdp+=EEf0m!%|(jboJ_{FKP#J{G3=rJP&~0hvraGliCp9@u<y;WE0a?8Wm`1
z!LUulBt4?Z$X9IeGWdPpVaZ9AZ|GfSx=ls>!pjj}5<gMf7u#~*U*pL^^N_@2i=;xu
zuD=SrTVN^%;!wg}!jE`z!0mqvY>QcKC54)6!OR0ZPYOB9PC~t}lozH7WP1qACZ4<d
zhAsl7>C4_PCmiXD?mvY$J~)UYRdocS>2ReJem~UeQxCV6Xb-@kz~B#}HWDGebC-7D
z-FbLlVz2|R6frNsAddO`9`4}GpH3KRnl$ejJ&4*l>T`t?&lT1k+6f^a{{Rm%2SM%i
z1WP+)%1N5%@Nb9EO>IxPI|{E%TN)nfC*u^(mD`H0NKP_U4#1y@Mxne7n8Bu{B-AA0
zVidtRMyy$mzEBfsZq?|09_}WJIxlExWnOXMjiw9@Ynv}tO?EVjExTvN&;r@u@>PyT
zJL3`V2d}RIALw9XbF{%=IPE*Rh7O}l;x|)leaP1(rr(ExL<R56bp390tMmfQ^W~I)
zm7jv;MSEdMfTV#DVLwWUAlV3f(ix|gs+kA}W_&c_sC`L=)*?PmtLpouK&{qCS0QWP
zRY$vuidleqEx#hR!#qbbzF{!d^xQdu8J#EP+T0N9*~bcBa3Oa_^yt!fQhn#-`aydm
zQ*%|TyI8nzp(>;h;}HebLp+MkI{SC5+4`y8w%QeE9<~X8q~gUY&OI$V<xO0a(=gOq
zWlpTzjuV+Vjx`QrDDZ3n_6K0&F5mV<sH7luS+_F2#wPlDgEnb`u2`;tw!~2t`gmwB
zV;l2NB*P$QEyPy1B$hT|@dAOo@bN;+cVu!}7C4Mfm5c=`aoEE&3maw%>w4l<59Dz|
zcy*G<b}Tmt_xKakT}+1;*j_gs>FDoZ4CqU`i_Fs$NWj2Yb2C}4WzE8x-+d4i+ii-+
z^d>wmi&K+?bjCV@vuxZK$GH4)tDqj1twA0eiY<g(HXNzTu{l_y@-~_S!GRLPrL{o^
zM>7+w3rgVX$oU);gXJaJ+7!x)$f}(=3x;vy@&W_Rt&{Lv3Dg@3B<%Rm?ex_#!t5PN
zL!9>aLQZUg+0sxWbD9i99AszOLmd#i7x~aH`<<qYPU)!84FLCewU~a6TOruJ&9$qo
z2Fc+C*G=RM-0p@@)y(h3BuP6YbG4oqc<SaIfAM!GmFZz++yXeJYAuS<)YWfw<fDEF
zwHcT!_2;~h#^@vv342COr4L$_g<s)<Bo#xm?95Q4`LOQx_=hMXhIhz|;-Of#9mFZ5
zZKM6c>(Lk`mq0|JI3lF4C(UDJ*&Put(M6W`Qy4JEpdd8J6E1ZT048&lqQ|yncPI>|
z&Mk)>uJ?c2#s9e1PS0H!a?1(jvAvI{Klc2*m*f4ODo#T6gh3`tK|s9DGP#MLTeVl1
zc_|sK6%MbpbY_FWTuvq+sq`YR3@R$SHSNc!Jz1Dmg?u&YIvWNs(nB^fc*W6T8224n
zl~6`~>EdyC#2w1_GRs$D^V~>$6Rx9o4yS$2j5aC_z+fjOmCig>P`=>^fX(|_E6YN}
zG&+JDm>yNiCL${-Uzk`Ix5_H9e7wU#ie6OU>q?4e^_tDV9rNIS=}mZ!C5s-@t6ZX!
z<<W<uW(xR9m=Ri-A>n+~;SLYrO(w4$M-S|jE<jojHDDRb#(JN|duO8X5YAz1(7z{(
zCt6nDzg-L_B#P`??SpB0UhG(trXA^*LO_RR!L3k9o~h7pf;mynCHp`{q?mO;OJY)_
z?|Y+XnCNgD^GIs{d5AF9^5`u3=J%znDvIP0I!rY{0jumN96oDJGdZMJ=RT9gi6!;V
zc<_N*VeI(u#Irt9s5Uc}ja6x&vj95gI*bZu1`1O?<u<*zy{VE|dO-E3lLMN8#^F5L
zR7zM<%d<z*f_Q%+&cFb)A)TMXs6e@=Y6|BP?EPh6l|A%(R>rp*SobzJ(Pet55u=Ho
zpV8gt%px|%6djLi;+!Wr8qvDJ2lYX;{Y5j7tRW3jDJsQEI(d!+GMJ9UP|jil1Ite1
zMDpoti(?=tOx!$Qz0K9Ic`|iXP8vCftt3x)!SdBP@s9<~{YS+i?)t}=-o%1sk?NYY
zL1L{B#8#aq{f#r%p4wYOAM=Ho8UZ{F3it**Vt`({Vs}O-xR^+|PD)s?h>x5y%;%h&
z0^yjbDev%8w60~`{`H!K3T@#D7G9ZegVXSY=6Wo%PQCRvUVtDKq`K{S?L~ks?R3bS
zReQ!kDsS(%hm9Kk{bE+VeFF!a+m!8%Ynyiv=+wnBUAvu9Lc0Ezs*l82oqBprwS|}Z
z#Y$A84^^Lhg_o6(Rb`V?ln~SbDnR(w9Bmne5yTEWiU=%7P>Jw7e|)<cAU(~ux9&V4
zJGv59XFjOKxTlnbz_am92e}*9LcdQ`x)fCw(TQ8RKwGT`vRzJJ(XE}{eyra81>byG
z<a-L%Jxj8wiah;=GIg0geTVupJ*b(>diM#-p{YpNc;y`q49|spJVzZb2aHsxDuGkO
zCEg#ErSL#ka*6%a@3d-Rw9k}YPnXM7(xGjZeOi=p6@)r{y2==|rnIXtZT~!x<yF6S
z5zJ)7aYMd^%=c}oQ7Unv?zt0|fRDIz&h3DwTOoQM84*D-L-b-ga-^n9$8!nSlYI_B
z%?AD0c-50ai}%k+4VE`C6Yi6&vz&d0j7b)n8H;bNByQIlN=YsG>>IS`FGcuucFmu+
zl;7eKrS2S>{WMXIpI>f_3o1gSka3mHDvywz;gppGc8Dct(qxM3*2UWWgl`GiVOv|Q
zXGH1v?&lkMt5z-V3B0$NFAhG~*urxsPHk_zrKo9+nQmwHx#IgQewnol(^#3$tquys
z*w2nG9lm(0^}GU)eEZ&^KeVeX+ex`}=beS15Bl+j<Ju%DtQ&L<)eZEj5B}?H#?-~M
z=Am|(LnImWi>GP{46|2PLKmny1J{meJ(U^w^HeF6meh9K40<NoZ7BpI4ml1!kH@1M
zT0pUYY9anzT^(4s9@-kz7oDh2W6LHAm>QG)^+%Ql7?D*W=;}W@7%>@a=O54Sz%(z<
zClI<Vr`+Nim1v5%CJl*{531*B+ITQNz8-gis^f7dU&FQZKhv)VHz$rUxdSZ=H$)`@
zW>{hbSvoR{@*-*obFgm=)W7O9^~E)1wHpQT5Slw(Ir#642I7!-p^d)k2yfz9Qo$+D
zR?k55<bixwo*bUC@Gm!-e!4DCzO>$Z0!=duaE_%157JA@5z4d5i_gy4)Fds(wZsPl
z;VA+6xH1~#MSwNj+-?~{p$gdemb#CB=b&KwW{{xa#KmI_%P)!Hfi~(T*4{Zq#-(69
z7HuygSgo;Y<0{w8Quv~%#J7Q+kyt?SWxlGfjK#J7)UV&59quD_14KKZkxO&g0Rl=r
z0Qn~0IXtNPR)e|=7$|CdJ@fGGH%0qy3;Ad0Jyh-nQbsE)bd^)6;FaGU8iOVDrn_<#
zPQ?{&{}#{Nc1%eDmMo)4On!>@^HhI$tdRN&4|XaWeMK$%6sOHD`cCppH0-3})nnkR
zwE)=e0)K#Rn!)myZJ2bKfN4DY+U2Om1UKG9AEl^avf%1k(=j5Bet~-M8!x8f`S-Qx
z|FSmqe_s9g&uP(rRiOX67xFIv!@pS&`G=~~e-26ghp5tjyQ=lSXAhWI{^!1x<-hC!
z(J10Su?O_)-SMp~Hy?KsAi}s{4`{{#-07hNR>#x7!;mC2)*v5tm6lhh;&qm4mj-`9
zn{ymZIlHL&xIEt<v-#~;d%f6u4|&>|sC~O_e{~%aS$W+ko0Xi4lx5t+T(t*Zerz5V
z;q!6vzJvFU-Q}GY8s!B1)Wp5~ylcE%-p{{J-_NJ16&`k*ReC)h-Xn&cs*iGAdJ@$;
zyk6~m0@1keKS-S+#_?SAa`3*p-urqGqW96tEgdv`n2aAEynii>;Il?eH-5Z4blptn
z#m3PF%;o8=5WyWPn|6s+;BP0(n#RO8F^Hb&Ub_}~?YO&y#4GWrffOi>wD<R=1WS=(
zo|@g2VVc>N$n7K9HoCl8E+S9u4Q5X+M+DB^B@WN3a3N}}NJX-^Kr-xVv7sT|wU(r}
z190N6V;;)XZEJ@!>=c}|21>^$2EquO-<GGWzO<E>Dww4C&KCjc@lkId?0+fJ?d;!5
z_@reIlxTPd#4%ryv^BDYUK~qE3AVZs6T}W~P&*{oVJ|$vFbG3-#d48(ap2!%i=uLY
z+*~Bv-lSUIGx=ZM;LVZpLfOE84rW1(3{(XkiR#en&%SyGHUJekLJTZXY=6df_r77a
z`$7}GfB!`iYH#t2dVxRsY-`>$3!uq57Zo2{E?F3CA@b7~5CpgUVa*}wgYpSVG{MtZ
z%}Gyy(x1)M-~j76OYjw1Zg04jY;%o7fC~t<FBpc_tirLnUO?T;_M!58bbLQ>>UhIW
zcgO~}=S;KkfUF{QT*fInP}`YPvKg1_OROll;BC{3QQL7qFxvYxx<M_1Z{dH<xOSsg
zrhRZVXt1KTf<!<j4!Rgfv6|_Vi}27}Q`y!ns#h-g@{jNA>KfU<DoIt5;}nA|AzW^q
zxX##zf5<@qq-Qb#=%2^~^5-mwkFrH&k)TKI-cOPf`ioyTd|=UTh5_}iD)(uM0*QvY
zcZ-@MK{B^6#P8D!O|(I=T(3tL_&+z|K~3$+Lue9odPlv!LuJ3J5j+h|?d9EFH*kei
zo&C`>Ahk!cJ$+3kEAxAV(osOq<)R4~sB$Gj00J4UK(uD1q3F<ck5n9s&}EU82?-oq
zN|Y}zLgGDzc4{{ILtoYbNKC$6I`y>QYEgpp8mt?Hp_4N&I*nmyZd8s?)bqY-;gk5D
zcj(kN2t9yGvW?Fe^l8ks>>n>=UU_NrNB1dGDfwjH%fj<e0%mEy{4JUxeWg)1F%vk}
zMH7|Xx8KejQIPn_-OUdw)j(WRZ4$ZZj8p;XmBhQZq&gk;?iYq~T8cBz>f`cUOW>6l
zzPP4~rdCQNo-kVFx;Z!AcWB@nUW|~qVXd97Ag0ZO)GMfsH?2bm;p-vwuwH@oEcbYQ
z=hH91XHQlc<ajAuNmmz5W5hGyiEG#KKS09-f&RXml{_nnNS|~V6Ky5D%E~WzB=7DY
zTHq0r_;+aAFi7L}>hHscm-)M|mvfpI=*|qTSC<Pt+vCZ00Y_nT?o1<;paCFd7+u3H
zx0<H(6HwVj1$#<jjLb%-LX2wW$8gFd1m!#iVE`)QAOt(U8^02rQ4g+V;E#|s6SXU$
zq&>o1EolQ7LPM|VOUq<0f2M2@V5%l(ES9D+jLWh`RCvR$AT(dv@NI8{VtPd~{1HqL
z58&7N`zF@`J(JnP+BJL;p)|P~`4SY6{iXwUNmWy^Cl@Yuq!I&M{&sX6KaMX{28Gyx
z)L1~=A(;AoyFdfMUZ`cjMLPAlckqxUb9ekzujSJ+3i94~WYNE;5No9@&j~;wWGoW9
zTm-DxjH=6E$_#rjxrqg?jTS#8g`aKW|G1HN{Vg^|{VLxBujsSV!4xVX!B9^tSzr?7
zlI-woUhHNRm4BBL60A*QCJ5|OoWjT?udvK*Jx&+7H5VL8@5oy$f&NCsJGT(b>&Ms;
zVD8LO=hvN=u=6yfio&X6KFl7>Q{TrD={8O~UmQY>`J~=5gri0E)~#ljn#2t8ryXzq
zR@m2SK+I4TtzBecEgj7IZoYmO3wX;U34PgGXVR6L1wyYmhuxhV{vAw#PNX+Os=bte
z?oM_;kIoyaQiRrbG1lawEk@ZG{WOsss;X=iD=1CP&ajmFm=G8MU5`=_ikzsve@I*q
zdKm`#c(z2IY;SuYxEG96D;5<L67F7Kg`8oGvxk%bd~m`I#p%6*hCNy`X1PSFCl+5l
z2z^hXEXLQI<?_Z@<!K&l7GjEyIaE+G7mai7p}E$bTOAl%*>{jsYmDq~*VIm(S>qn?
z*!=bBVz%!*muUJB$!SBp;zzZB1*54shTBfOh|6j?s?nWeH+(-?e1AW_HnSW#2?$Xg
zu5@+h3=OX#e>`1v=XJEAapclIGdn5Fj<os_J{g`Ej$3MoFKv5A8AKwLE4R{|Msi~+
zCJ$M9jx|<gQ}JO9Z$#9YuYOw4!SDmkeIR7|3r3tyTo`H$>&%h~xv*ofq}rvLnTen$
z*bg*qp#Zn`6)Q<P7>ff_r#YSr=R>5c!E47VJmuoc!h-j(-a{R}p6g0VOFk!oy)|#P
zMc~d2^BR|nZp3WCeu!CW<I5WOs1i;H99=wmy|O9PHz(|>L$;~{{fH9;VJN>9XSw#-
zv<o?Ag%i>QH>H!}C1-cmXE*)>j}g`b;6^IEGQF%r?=wpJ#P_(hpSSTf-{=`sy6#!-
zQg`tzJfT@ymRf{xfGl9SDJV<uOB5KwcEOfoVSs6fpafmrnyA?;g{UmSCfv7X4cz*t
zvYlrFz9h}{cP(W0K>yi@HcTlJ!*L~}Y*7Ch&DwC4!6FtsV_d_K`k9%BvBab3-|SJF
zjhj><OjH`OS)5LB*tZ;ZRw&{`{9s0LRuOEiot#aA2ue}_qOi4P9tJx@-$<rH0Ljln
z()lqAocX=zkWof}(0puBIYM)NovRIFW@i4@qQ(Q$19K%#40ea%5eA<NJm>QxlG22c
zG@{1sNx-!b%u9x-GKcZ-Z3XhAGgPE4^74va(?R1>&F-3KqA&-%jYOg{L^dm1B4R(4
zgl7brI3Oilz#Nzn;rPraE$ZOT%LUlR>co1UBQ4S}Ck=yH@DLwH7V^?dpdEJjshrWR
zwKC)q`XgeH9-@}{9BMVhKM{Fkuo<7)2L9`~en`nXzfrLh8Qm97CSk<Y@})|}D#|D+
z41XV^t?>=#$i9HIIaQ4O*;stQG&7+|B0MK3YzEmri2#&cUwJGj2&`~ZsX^hV%p_$>
zjojW?XtvIBt+Fc#xsoBxJd^rN+~Z?8P2;*3p*Pgmo>J{jAjpNSrF>^5p5XHMej7t-
zNC*%Tk@QVg@mW*$17pgl{F_zTor}l9%tm_!SU^0JV*_po`U@>Ee;H*+ci&LnQ66Bo
z;Va{{%)jFdx&IW7P&3YCabrtL=Ex3&ev2L!VL&Ia*Fn4w&sQjC42-+vw(`b0FZN3F
z<fzgu7pFG`R*DM97pYU0$~witplk|#HrT+$y?uG|26M+`a3Asx288MqEBB6goW8rt
z)spZ?w^+JpOX8W?{B}Lcu!R!5diVwhtj|3f2(+}6g+yGW{gXVa*~VL#xq|Rx+Pc<R
zt5xdQOZ26_Le~H`1lhF6hCyO;XHh*fE@S1%FfYNfe0br0XRf(aQ=1Y%Xo(ete7T){
zJ{A+obL1tXIdn`h@+A?;ebHQ;BD<bU2N)U3XVAjSnu11RqNX9FYIccC{}Mp|q4TBk
z>#QotH2P2g_%TT0F!%lkG?f`X>k7UwGt<j5-X?>B9dBQF^V7jZ&4wh9q-t7)lSzsM
zs?*$?Cd`loe*Dh@hCvGVPqz)^&^lhfm~*)YB#4}h0vFkRPccX$k`xO~fb?Q*ndPr_
z(~|eMUM%qh`G^@shZ^FZ3OI;3=4f1!kyw<+P!jB-aacn%ad;s)D>TWOjmB(nfwZ!Z
z&BphD0JI|aMdrlj+BPpR77EJZ_a%9U4JLfOJ55WIq>5vp!9Nf|4qr;%mxKr~BAb(#
z(x~8f5t$RAa50jbMj_qQs?KKXv$nW&pQP#%bVf8>z^=-CoLP8E8K;+u>!gpO(y`Sz
ztB<Q9BBV(g8M|gd8RF3HuOcm(ufl<>D{V+{AvbAkjS=Iy=G;zBveIxXE11a<>qwYG
zBCZ|VPpY|rk|`esk%4knrRUcikq+)tWL1B!qK}kQlCa?-qqpH$)@PqN=G<4++YN53
zLUv==+6#bV`AJ<l2M!&Ib!UTQDCnY#975G>C+_F|sg?sAY3v(<?VAaFhea_C685X_
z{%Hcc$K2W*lwMe`d;HtqwDl^RiyqZQoiEv-_Zc||Z%uD&<Gdp@rM2#0<nnYEk}_XP
zYTTWODgwQnaVKJrX9UjKQTO*`OgRkYxCS`U1(cUshn7*s6S?*Iur?8G?T($ik{7>>
zvRDgee%o_*HBZ>v#E&PePl&>iiGk;t8#T+h8CjQ0Cr5(qT(-w%-5)VG56ls5g|;q{
zHKU>{>U&u);pGp=_9OWJT7W_vAghh6XnMk6=PMyJ4b0An{0ju)W<z8T0TR$!VPrbW
zlgo?+a1$au{V|DOb92vz#L`{&OOq9a@Vf1-Twhr14tb`{o9d$Uy5u#!{JiTu2FwDI
zOCsou9+fwG2?RIqsEP~QW(QHZfC<u-7G8NJN5!ljdJIlwZAdNZDw@N)op3;L;~Tu@
z;!ZfwNhY-I?G^>chVN?c@(TvnbX2F(eiVzYoH01BPw8OoXwc<ZPxt|1T}Wm5_oeo~
z?K=4n5dZ&wrS`uF?0?nV|F@*}f6dzX2ZYl8?T-DA1OhR0a4`LknE$knmK{+WsxRB#
zPkyh24EKJ{;0WSg6iU9G2>RI|Cwcbt&4_uUtPPos!c*T1&JG8mN!^q}m;dU6yQz5Y
zr5kN=-~01yGBq!6Zf^X5d2jenTvS+G8JQ-$GYa(daz9$)n7}>g@!i}0*ZFwZZeH#u
zE<W+=tbFS)XwV<4L*JjYT{_;JT<u;Co;S-$v}8D8>K$)(o&tM(jkyp!@Zr1TJD>X#
zGxtTH&`&5+;q7R&-Q3)6o$ppo<jIe&6pe5HJT$)Qr3YYNPwncF<LL+6lC-?L(=yO4
zqg&rTq{*<dWy~NsW!j$(&cn&9<%8X-TQs|GchANEim!7Qr?MhUh^(3IS$Bn4<nXaq
zYhq(Zgsw&PC#_p@FiK5ejZ7kJyjxW>$2Sn+(^w5Vwd7`vhwTIG$$8Y0$ue;FZ?*17
zH{b09B~zSo+l2BN3PUiSlPMsq7h`l2`Wb~+75wqa*{{I^(}?0ep-MlX8c)s7$j_$F
zS72Rj@8Bx<wtUsTJ!HOK{}Q$;-za@$xNNp@mE#;n%lJd>$Ws1v=@=&+4>PcmOd}0j
zpKwp7rcc~E^Ej|?C^d!or3dUu#f2mx=j0#@#gdu)1bA;=uz_Ib9048;<6=E2m*%4a
z{sB?5Wm{Dq8!R$lo7xsxR~h+;6T&Xjau>0B^O%I(o0^c$AIRdbZz6>4%JHtvJbzR_
zpKh_NW9el8wof2*8YR5_5&Zku+xz`ZH$S1Ev1bDaZv`<?M%eektfML?Maret4t5II
z%2Q{`pYt(s*68a1EGsncgM_YHjq+K0`g|`YPK+7LQs>Bkyqo#wQ$oAzZ?0tBc#jCi
z9{@ML?fj|O$=tcLfe8Xp^QmS5=E_s%_oby6U%yKw{EBPe`K>KpULdh*0YPpPBUEPQ
zA)n8MPLrduKbWaLakmLcIzC`Tp7M<nRh*mQ>5CQ!F4ScT_~$DN_&NQ2g~MX4Fe`5P
zm;F+0@VXJ6oc6;55UdpPCZWv6qFr>bb(x3XQ|8f2(GoX?(g%Q7tNBV%UF9sN&&WF;
zF5S<dzVARcU5~b1M(h=H?=530r#RkuvtHu~OGV?DhKVEUdDuyN%e4uFDg67SBp1>O
zhN675DVCs-f8VPy^P~=AIzQ~e6qhU5Q8kM?3z!A|$)Do#`3wt#AG<qz+`VoALo}Kt
zV)nG0ZnU0nKK5+*L9u%=XQsW)lFm_@$_}!?l!>rnci;Fp@$DLa;H6-Ovo)g9U3woJ
z@*R7NGf@1yjuC;9M)+e?m>4iPvY46tr)Oo4-vW4p=)+~eDk9e*Sj$7`0dU+-9AzO;
z??m>c>fSm&#Mue78qrRJe~U?qy%t)9@L|0!+_7xnQ)pm!ds@`>f8CwEM<140d4u)Z
zUE?Nq;5*<jZh%t^Tq5lT$?faYqq?VIy8-jrZUaB_s9iF6_4Fupy3xC{b=<9P2Vcnp
z>DiHi<KH>DXIi&o`;)U(YhfR|J~7BbliKBRhzo8;W4!Upgdk>Jvdo^?Qp|3<If70W
zTTMVAtsRp^T6HDPBk%IM2JCJh6cc$DQ*p}-x>)3)I1C5)Se=g>o(9P2aXm~7VYn;E
zGW>Gg+jBAGV9C9n;;|zv3Ge_>JsqxPs~Bhq&{PxWLG>T|60fp}mu&poBNB^t6IzqR
zNj1$aUVj*9AN4nLOMv>AHmZ{*Q6iMVz$!x*E?ZpNJtFavDOJY)u)S^iNu(3JJ*%zf
zZDTv-i5N22r-YXd<abpoi8<RNZNEbhTNT~&qm5;8<r?N#B%C{<Dsm1Dr0D$o2o{+Y
zYL1}CrD=rMd2dXItVWW!NOOdhU90;WwfrnE$kLQv%YBgM<XQWEbP+O>S6>Pr=C$Fo
z?<^hzuv<Gl@FHwuPas#9p?=5USibXiXl_UfP>u;<6FdA4nQyUdg9mXANyK3xOVTA1
zD(L3?59Nlw8IOqUg|W4Sw`A^VZaIDrrWx=ttRRl0od&KrOp%2W4uvR?{I8W_NiqI|
zRKI$SU5)4deSBGo41uwg4g9?NvxxBbZ{$6vmQM?j<p({q^u8`|jBg6!dxWIE!FJWx
z=IXCMvs4yTFfVyKe!m|El=y-v+i}=y<h%pyQ2keSdxmwxVuJ!l@=aGNTvnWZv4o%S
z<BBNe*I11E*4uOp;08sBmXM&;*fwc(?@T^kbuRibDEx#weAEnQG8HELHSC2qkGaF2
zc(=O%PkKf}ax!7iZWg{rXx}EXSYPnkgs%s}9|@i{oehni*dZ}YjpD2-abY-{iaVTl
z9fZA6{XiW?GOrUHe>F<rO&jxx(jUWE8d2MS(z@0kb>CsI8%={n#J<AQ+5z!x)d3Bd
z&<e~<4@n_vq7e_f4ZqME=Ez~J_bP(+-K^v6SHmtCejZ6T-ald()gRyE9V6bAoELWA
zEqFzI(x^slWwA1yfv^EhtAZ|tzIg;v$kC(XcI0e`$olE@^lb(QkOv`pl}_b+f*1e}
zSsQ@Fvmc7TGDwIaWXHrMwFAd0X*|j|*ZmEUAz#!^Oa%{R_`^#85EIidN8?%ddK^Go
z+{q15swuQ_+z?xAj8xRTqW+NSj024jy4F-HL}ThgJ*QN$sn~Z;5i1Da&9gFap#H*X
zNq^l?+<n20#;+k7M;xYkbE+nXW!WTm@=*)z<*~_pH9<$e1H9Q*3v8kONQsj_wuV>5
zPmBj49LFH4e=uhg9qLmX2i6yucTT00qaujO8O=nlz;XvrI+qII49ne5aigI;)|#ws
z4`7+KH)i5bLc!5?zut^c?tYb8kAJVBdfZrj3{bbPgY6fC(%?oy3ON=8mVEq}&x^2+
zS77^?PbHL+gpv%;ogKU|K|>2eb>HT!AA!0iVTKe(KHGa~sT0zz!A>l6^Si)GZ!-Li
z`9ybQA(#hUC@{^;EwnK_D3jOwcQxWHQF|KDH{<8Ski?!Jkhu=MINUUy8tSBYlvP#X
zoJ@nD=4b?Nu(wf-bc>3{vDqOc6;U6#YS@`eUrW$eVv+e&S(QS=<O#@^2}wbPk>#|6
z#^1pCig7_d{4#|E@bhK_M_;_-sqr6`r(eTS_qN-sWb#EcYZlciOp6TJWWRyp(R83s
z&lw34)E9-r*<k2oLtp8)ov2p^jyfT#oSw_$CvGo;ScbVZl6JhW(tlPDe`y;1QATGL
zU1CO0fpJdgDH6FTynub^mez-Ja<OoBQzd-81iG$#2liaPK924z<5&$s%kfY~=C+?*
zBU(~@0!CLU$|LrK|7y&JD(9B!hL`MtgoVLmy^JX?A8{1v;f^9C3F?70`4ba#ap;@j
z98SM}$+_}CApnn5&wfeO*<gv>IJQs$VuU7v8cao?XHNk4@TN{!3Tzb0{7M2J%B>3P
zUtuOKS}(Xv*o20TJB{Pu5q_brGmS%%9=k)wwG;-IMlxXKO7m8|HOc0qiV8EQE|78b
z8@X(DsJa>r%&Ysk{+%C0!Kj7Ub@Sk}Iu$?#!K6)ndl6LJ(#;3QKtWkk?~(EC584eT
z=8a97gPU-TP3iTQ%P9afe-c_DLy`v&HJDMRrBRg4xkE|fq+o)O!u(gOT{4MvvPz!v
z3we}*khRNo1J67sn|%PIyKo}NT?UlC<?VQ<S7R$OmX?q);>jqCPS1&V$~H-m*UYxP
zI5-5jm3ypNa|pYcg@T6&b+h#m%kRc~44|Yl@a{rOq{)!p8?9oTC~0v52|`QvGX-O2
zet0jjbd!W@k5bK0<cE6FI|0?6LR=@f@X`9yc2h}peKwh^nQTjO3@}LhFFg}|J(MUW
zAj9Rjmxt>F@6>9-L7!Z<Et7O@9Mpw4j+3pS5iL6AfbWVIYGV3A&tOu)RrxJ=E{cGf
z8JW^xXDjQ)O_G+d(F~b%QWr=Goler8QHiwcV14v)`u1Cq-d^#AD|6N4pPj@=nsb%1
zw5t>r;R&|Bw`5yMmNw~OVggPIgS67n-k}xgtLQt|5o0^)x4xxXT!<Ty4R)op5Md9_
zXO65KvK3cp*UFJaiL&9-b?XB!sz6FF9*0Oou49$CNzF@fsl)pQ#>`6^Ih1^<9z-TA
zj>9sQ!vU!eeeS>cS~>)^*=u!#$D)A_5w6SU)n#(z+}db7`2s+SGqv<}jGY^IRcne!
zj?i4cRc?i3eyh0d4gKN?3}pUN^ko86qC=|}?@g6+OSR%kVB-yYLWmrtUyhPyZhkP{
zg7)3!NF?Se@sOAz=czT@Cw4)Conw{iy26O9cpomMmFxWlyqPXwvEo(uUx<6BAWeg?
zO|#3@Wt&~LZSyPJwr$(CZQHhO+jduN@5IjR?Cc*gvm1ZJoMq-g#(VTe=Jh;z-L6j@
zN%VJAaS|+af?`j;G+4a_=tf(Z5x;SuW-S)DN}010Cof}`b!J4VUsqF?S-=Lz^8ns?
z!<b!Yt%yDDuP$&a`q<sPaF;>X5;l!BhE1WFpa^Nxvz+7L>k09X5wO(tq7V4Ueb`=o
zymz4~J^X9++kcV*n^k|3?3$M+3y714r7~B?RTtkD<dt9ga!p;%Cjcq;XE$G7La71K
zPj2dS5yDO-vFIhWXz>V`tYd3E(>)o&_JzG>HO-}@@`m(m(xa4rIM={eDl=g!7pj$$
z3zA$1U#=`r)TVgA^)Z>&oR*2N{Lw0UHiuifd!p(#e@QXb<v~~RKU~;a*a%Fozo8TB
zy=d)D3`GP1;4=O6NG;e`CWO_2xMDYe51u%Jso%y3uO8zs)g*SBG@UtDz^Zr_n@$G$
zyl~ZiRm2oQY~WPb;!~1RZ3;PCuO@k54Cg32U#%z&<WSF<sEh&}py&aP+C2B*Fa#o*
zeva#Ubqd$d-32o{V@rVy=JO6`Zln?5q24eh9EF4^bu}q{aTK$lCp<?tLN6Z^{plL#
znkat-d9`X^@j`-@zn4;XqwpO$DT)OSe01>^Fd3Zr1v3U!nW_fY-nuJ#W)xGt4B-PV
ziM>j8;vEWY65yaa_udlTye)`j2S1m@?jQ(LTzG7FgI!U(vmqT{<T$qWD~KujS+cEc
zlcs3=tcax>VOV+Q#8s}to1FV!){=&9uK!S6Y?`@t-6eVB0<jLoI#|gxU&bI)9_MXP
zpKqMYCgV-vOm0MD`)#_BR^biVR6#ZD*h>Ko({{50Nx5;YLtso|jJQ%8PoHY~c1=_z
zjG(AA#10^VPmOx1*yb#?PS{!LT0k}5wDZ6q1Qz_2P=hTdcu47>v2+hyCl&oBc3~HL
zyx_^GRgbL~W}(<OHV-#_{FzsO2(R@rN1eKLzOgmf^a+diSMe5zucn9)VS&)yj+QP#
zJ=#W!ilx=9Uv9NAhGlhXMq72xq*#V(Zs%2z)stxMpQ$GuHHiQx=YKl+(8=F=UNkFb
ziECU$`g}_-hi7&~%8`fcd&XPmMz~WxAGhi}MLZi%duA0&0gPDBmvmaKc(MIbkd`*^
zaj@YY9y0URGE^TO*z+;9b*0h>ML?QOv5H=Hb!`IrY8JDATkiX?+3eoX89>dJ6SOLN
z&99~Fw^ayXO_FJ$P-#iu@dMyMuBV)lIr-OZPiv+9j-fFq7qQ<^K-M`!u47!T9kbdd
zpa-%t_K~Rj^2HotE!kz+NQ8;4FKp7txWd+uGnY%#oV>uMv-G63b49v=HpDgrKqHug
ztQn<xS?R+<Za^EXKh{SUl+qBe5O<fRQm`gGTVWu$S;;4UgnIgIhXDO9y!-~%vc`xT
zU?o#ZU2fIq-xO)ST9vK~vs}^9H65EFq})HjXu`qFA=bt<yXnCcy5^Vxu&}qqHCKY0
z3^iuQ7J$3;1#^R6f(mPP^><({^UE#j=<2>wr45wS+*nmAApcCMW@d~6vjJOg+9wH;
z$H3}{0kH`p;~bIiiTX)wLfCM2s4{Hujkw|fvA`G}mH44~`blgd2`DHb+w><<xgWdN
zKI1`tmQr*e_jIr++_@mkIolS=wUAx=?h%mSnJ%2T$qJ-ItUDbs;1ns<(6jdj4w0|g
zX=YoO9z-_wH^bska$QYs<0Z}+x`ODP0pG0$tQlum%V*$NXUimhT+xI$O*vp*UxRkq
zub8ro4o4SjwsJ7qXi~EQjTRP-&DcwS+mUySU!>#{(g-{6*Abw0Tn)A`Yd8(PS0|Jk
z7Bn8*`!|V{S~98&uEA%h;#XD@D!N2^Ip?LrrYjG{_i>(vFe9)qd=&~LT*WM{;u<b`
zc*+}tE2O~o{N@}X9#tF9TX*E{!tbS>ja#I656L)etuoFGVL;`Wj!>(yVOpM&MSJqq
zG&BX#_xNM5)6>x3G@x_?vmjqvrnrMs>B#9dG^o9KdExO^)F&jDIlz8SFAMf$ep)w$
z)VpbAx?*(du6xMOZu4^{Q|56saep^n2<fMXH28QEpbf8cp0{~9Q5A1_unCoW1Y@e+
zfhEx{LRT#6>N?%i5nOxWl0E|C<|<Lvp&jE>$DpFx3N0Wn1a$(3A2eiF)%j~h9%hi-
z+{ZzKJip0Ws<x=>L3<LLZkAN&Jo8`+`p2{=E0U+qu~Oq952<`Uhcp(F%OWrQSxj*S
z-!<yVpX(qJ(y)bRl8zHf_>|j>*-o3(E}`Wj-mXHIGo2xeGLC-v2_rFbyU`$*1IHu=
z)=PokNIP1nIMX5KcHrK6K}4Jwf&8nu%PLg1^1hLKyH!^=Wq^-$U2R%v{s$Uw9uNFK
z1f8t({~gTxUjUu|_2tTc1DF3%+YmDW!~bRW{qJDr{~99w&+IN@{ZA9i{+FHp=Wkw^
zSy=yvB;sLhsYv4Xe@VnozGa6|`NrLfzl8);U6%uFM?iS1yy-`D=-u>JfAFa(P!z}&
zE6U5GFSOIL&o8Qy7*S&Ba^5E&6Hyrdwo-b>LE!)NR(;%E_U7b%e}oRs&dQe7&dU0B
zl?65kZVaya^6{0sWpkGWE)U?NAq#)atp1Et`n*LZgyw#u+q%E~_E9<>#m~w0`TBFb
zE>1FgAIsO1MyEi5`cpJ3BbMpobf25rhVH0Dsr{`(TmQbgkW@K6Uy8pQbB?D`Om`G{
z5c{6%z;UpB%;hE9lX6>10_^qU<u!laFe!iBYyI9#rQ2PkydQFFUF!}(Xp6urn>zXA
z`Bt@a;`H^of0>(;I}`8c>*MorEGl^!sNgB7xsOupTtYwhytx0U4PCx3crLDtz-yH{
zKAL(CMJ6t5>*RD4WX;Qz99A=R4>p4o^F)J7fS;e#I53m5rz6<DFBm!JAxT;MB#-&g
z1(f4TVH7`>()Wf$p0s|)qI<n}I568+oxbh-foj(^qm_E=IRTt^l{)c&dpJ@kq3PiE
z2MLaGY5DLyA7%gV0z;)#54&#hUU<P;v3E+PfYw1tgK#(A{r<sn33>>nR2$Mh9_9w4
z9ShQIAx`I?UWZQMea@CdFvK|8`}uFJ!jp>_7Hji<kib(emW?4APQl;@!}wGO7VaTS
zc^$9We5)}WPEVv`s9vCW7RVx~^y$6dGS`In?T_+Di}4rPvNq0NW(<kbJ5;TO!Cg_M
zmw_lAol}H6iyd$0e7;{rL*7&y^AVO>lQFAC$`VpaA|5Sr3gb0rIgX{!4QWzGl6nDB
zEX9tvi@zNiA>@Vpfu4e`t=?m<cvIEcL<r}lR(^Z%guJER-!HbloiZ-j3YQ*FhZM+0
z;I^FOSsx#_#o-IA@LRe!NgeH^di5HYdJ+{sP)>R#hQq*7Bfd2Ntu~p<!zz2oh|Fxj
z9u6Fb46CIin!Da@!&Y>+2?@|MB<lv@SRiVafqO`!vP270FGalQQ;_|5Ll8s~%0a$v
z=xcFeu}Yl^jG_r?!s_#P$*V!XwO!mRGMSVW6OB}U%8kYVv5Ni`%tfdX7evJ(-?Bap
zYU$<W=Wy;i<+`ga#4+|yd`Oj5j;omN5%+^J)3PSSt4|J7p1rdIMET&?IEV%js<NDj
zZ_?ZW=Lr-(Yo-wMUYQlCk$Qgk@Jt(&Iu$L>$aE7689T8mWz5UbC}3EQM)D5H!J<oE
zAfWE>m%p4L@D|?98DAb_qg9et68sbYN5+>~v{Qx_2zo?~hB;sTNzyN5f-aP39M%4f
zU=HRt#_cyNYRMb)&jGXjJ501Jn3E;1jdK$iPm>Agc74}>(tCvFH$^dknXFXR37cAY
zs@QT8Q5^g`iKE8v&l;pffopdavW<j=#IR%Z)dD|sWdLg=l8e3}4jkXS2p)F8btLIj
z5W5q!O~c9gwOuTl$8qRfAE8i-9{(VJI@n6gArv)b4Rc*07uM6&4q^*#@)o1}f!zTD
z+Kp%~D@4G+{9Ln<_s9uj0UM@=DN;WIR9GOFMYf?}&PN%VKp$xZ(9`)mFbTuJJT&JH
zjTI1~7^DM2kdEKNCP)C(OeaTJ4@=YlDZmne)Q5QoB@+vc^jr1!zns1)aSeJrt+a}a
zC*-}mJ{%jhWV?QumqGJ@z4~NSpQp9fckeu+8<SCb4<EXOiX3Yz`>Z+*i~6Y*1K4p%
zvMsmlZhHd~(<9CL5UQi4sG}vyfznul(iTBLZu!|<1;2G^owyx_5>>_9s)dU<d(b0!
z(}DrZqIKu<6yy<6@RSwJOyQgdqC>X>+R!f-llE9K7y=t|^>m)SBo^h>Dg@Y+HWOtA
z+ER_Kd<~80nxtDIb(Ye6i87Ldl++3Qnr-Jy4)ge*uxiGiAUu}x8DFBh@(_Y{KxfpP
zlN)mwKjlOP<m9srD4Bwe>VASX{>=qL%QmgfS$@1`#wnxB2rX(T;et6t3Hd>#Pcr`K
zWLB0RDVNEGH)P$Z#R|-5!N23^_z)aNRb(!_ED-{(eE}X331zr8Q-*0S%&L_sc3|A$
zK@4%>nzc(&Vm5Nbs>vonKu*<gX0lA5i;N*8Gm2@vUEfIBtH+CEiL2>Y{{hw4D_cUb
zSE;$ulfl*(b79VLWWd=N$EDVghDm`2*HgO~2@r|V`YCcB9Vw<gHQXF|1;1V<4FSfY
zA0|czqsq9I5LCm4sayb!vI^^B090H>nFI&eB#`gk-*=h{mPoawu+Uzr<rNYNsiD?0
zc4;&;QX0OCiN`oibHdoKbq>QyEDy8#wu}`Vv0C$QK|)OJn6|PEpoHbaYJI*a!W0Kg
zDux!-TD8g49i|*gHezmmN@NE=5-~97wMSg+8+J74Vpjhw<(0E>E+G5!aUJ98IdV+$
z*8K{$aC04LaO9{UL~<LQfQND*Izj?>{IE*WHw=-M<dFHc%{;jR(I+E-Om3r(F|rJA
z>bU5wb2`%bjb5J}4LW*y?eP}&p~g;RUJdtZHk!{_K8<MEyQ4E}e&Woh6^N<0E-4FF
za@-!~;p+@^tIWzlkibawK-;^JaWPzZD#UowZ<!!VMrX2H*i{W}2MS){k}53)s1R*c
z7-iQA_MShA)e)o-!Nimac`C{EQjzu;b@Ekcq~i7>er4|6Mp6{^=*Er9FcuF)tzc2P
znfc^p7h0-Iu{-V*NY=}wnB`BXeck~UC>WHa3WOf#2MTPWJtQMddd~uBW$m~|JWz_7
z>g%xf1qR*fiK#nAHh6fToj<k#=oZAxy{;4bE%jnWI3t$#r8ps%UeXi#GBV#ugAj2{
zr8p+DN>2O<zDa+NCaoeSEbV6rG@?*fm+sFh$2|WE(tk~J7E<O}?^j(xKU(fnmr2@9
z+K^`#cLSqxUflksDns_5>~=L1*E*}PnLS}16<ZD*I5(O9Q$_Ur+`(|9Ch2Q_DywDw
zHN~=vN#);p5vCv@Q8`J8oMlwa#I6Wu!ScBr;Bq<#g`VEsOyX|I1Vxj=)PF1;;S{}U
z0I(C8<?lQf5>c-h;4Gu|KTD;~Ru{pF464hpBMQ#EPS_0^4SW&8bkl2oL;cLgs=RVi
zt@3KEnQxh1IcVPfg+dCy4D~pZoacWbZ1q?Vpfhnkh#@k~`S`pJ%1a$7w5iFC`Q%q<
zt(v;PjhYXyS#;=W1`sayFoyIBSuCeFn4({pB})Sg6X~7jhZYk)wB8nv>p%oO$FO21
z&Pl3)1N+WdcaZ$o5pA~vT!+7{&t|MQq5z!E1D0u-y-uZ2^QIXpX30UQD^Wz^gF8VE
z#stUylPPI-+&pdRXIMI)Cq<AplB6np0-Yjj>l#%r(^C1%Zut;gP#d)pGN(^Q(E%Sx
z!I{-05<{e=5(;ME>L1vocz>Y6`dW&qoBLYGQ5wOz87q!580xPz-)Tv9;-8{TX_=eK
z4L*q2VVokh6j40nbkz&##IIJWorMtlSjpu)Zsu4GM9TvhtUg4!t$X2RA1M=!DoLI6
z!6*InLoM$Ej#((9&V^W38``qvXKQ!E!mJ;khQlq|KLDc#YzNhHKHEl!BvzRgTPgaJ
zD|fAvBRX^mDr%oAEWa2sZMr*-Jhn3vOpdSWAj_|vq^e9DSlVMvy3oi>Yjx7-)z9Yd
zna>qAcaw6mG6ah;?B0HPln~@+FpYQN7mOv3o>NvsAC|C!ZTP?57v!T;b#?r~iprPA
zHPSe`7b_2xNV$4NfW<x5)y+TcE@1GQVv)voj3l6IxkIE8q$rDRJf99qlI|(^ij-h>
zV9Od#{VjxI3W%d7UFl%I8?jp<FRhk8?Wy}FRlfpWlgE%SW~JI~OS)gcH!RS4a4@m7
zpUBsIQgY=}g98c_=E=j;uC)kMGnK06q8a}UU#N6Uf^u$-$nr;b_%8uVH~~kK*L3r*
zwXtG~Kc*V}7cF`=DSyUpU{>b!DfaA|Knn45D`iZV4xEj>#PLSlXjCd&gnz8kd6)W<
z%R~P*T(1qWr}0%7V;7Q$jHaSN^pzFuIJKgT1~;i^?xvh#NjA!tTbO#}WZ9=HNnM_F
zEvhe@heVgiV2;-T3;%^|X}QcGrRC14&W>uRsI7Y@uJ)sS3>2I#pId}~bp*^Rla!u-
zSiNo0XJccSa2eBDsts9?S=M*xyVp%+eK?Y!mvGMLD%;b@?}-beKnQoWihgl20Y{nc
zDmYtL$uIW9pFko5g4i5m_LLAz?giW7_aGaEgNje65iv%miyShZh43h=%9Gq?PPGFn
z-@ZGSim7oCoN)LB7W&4qw?dU8idO9Mbkb4Ho3>Mg;{PdWEQp(7lRHyph*Y=Ju#T@9
z;mTj#MSt%QM7B@_v*<*2&Te#2jY?runv_uTA)P1|!-p0*n9H~`b=V|Ld#gzfxusvo
zl|qbSPBZKnZ*izYleH1Hgs6uJeXTzPfu^h`DX`ttPm=z@r33A{0VZ^uwR;6{>W=UT
zHVW4(9J&t-+9gnbve4}Kk)VP|&&#5307IAgRmnI_LMy}&XIpDyj5p5*oijac)>G!E
zR3$k9MlX?>0~h=OecG#PRF8${rRzAL4^t=xw+&MwJ#6-k)=GPSEK@wLrRrNmzMXUw
zR4pqk`em;{`fB5F?U_=iSO!5(2J8;?zTl({4roXg1wFX7;VQ4ygr0^>Ebmhi%8A<*
zv3z~o%^UZEP2Z#aCA+CqWdc|(QMF!r@O_a8jsD#&uAAUsMna7&y_+ME^(dAr0EjO4
zCGDibH0*eKw7r<^9gWeJXUJ8gpZM^6kyWlsNVtLfpP)4=j;+6_&Ut6CDza8dB^Ck(
z%e!J>V)``P6|nF+xF~V>URI)qZ+9T(FTVB>-uX+P2RbR@#Vc7)eEfRz0?b8!v6)d-
zD$C}0m2;wj8CX}qu<=+VqAYZM<}fH=xSMO2IvD`S)H_M{ICUbGd9!53hxY|zWysu<
zLw2Xn$J6B=-nBvT`DaB)qghc)G)q&qna_@Z5CHDE2f2y70GPZi#=KflLw3XBeAAH*
zRJtjn$liSt=EGO0VMm0)8wes>&tN$vW8$}TQyVRdo~}r&aZXi`iJaqaFhK+c-013z
zUZJv`t{(0(Q1wZT?IFtbk!BFeqePx&VokmxvflDgm416L3sSfq>5|q;+vJ=4HHzv<
zvFk2t->qN3IO8kL?hVjbmTih`bnTw_0+osM-Vi%nTbVs`z=MY+HZR7fn>kYG;+a|`
zlWD0cwE?{Cn@*?kHwa&_7#o~VrmG4I8r*hC;VPJ;ORrOUNZw2Wu6H`Q(R7>a>M0a4
z%yz?5tc=8bM%;N|4?oGOWhI5rzdkV-e*YqhOQQMEd#v`j&7Of1Mc)rdn^lsxErtZa
zp<53^KfN?R4bmYK{&;%E&rSY#y7cAkU6Xy!<$LU=5ff9LNWY&j=k97Ej1B$SJmoqa
zghvnF$QVC#u&hFmFUB>mYNU9my9_nn>^pEkytRUcl^5Ez4knMhGL<}lMjZ39w_>AJ
z(2u|>A2B6FlG)X7TucQ>w6Jbeb>9Oh*>jO8r~6yaI_o~!4eqOKZQXX-{4#YkajpfD
zH`zu@SJh8b|AM#L+Du-US`&}|^(kXh>aEN#P}sb`oSIk^tKu@s1+XV|eZ*-bp(R(-
zGISgj{i0%sT4}Zf?T4aqvoh9bIzz{rk@mGDShu`(7G9}}Cc5*%YWI{+I0qM85yy0o
z#dSxym>4*5`D;~}Z(3{Y_WS(MR`bxgze$F6?O%#LYi*V#%|Ml+iGH@YQM81%tl|ha
zlMISfGr$q+L58kzrNq7C@$n$&x*XEcMW>4p()qd0WaAfvAd1oN>JFvc8=Wzc#f9Zu
z*fQc)(!jsR&;!xYS1a@qQI#x(NqiZVqdq6%MAALb!(~pa7j+B;nF-N`1RRYoQWx@>
z^8wCYsVk%`4>K!RF+)_s3`0$PZdLwpmK7@Lib0JrKz`S5G%K9oX9Z~uULx9?0&I;R
zm_tY?A4W0PASX_Y)5hrjw`6dG&0dUn%f*?wMB%yCB~408e>lW~*H}Dk*>awKfQr})
zOaEh(#`ymarTxEK|L8>jZ>sj+Vg&zrf(ibM#O0qE=6?fA`%kk3v;MDT+Osk;{tql|
zT3aI4aNNF!ZSE&OrpVuC=9z{+oS&xX7e4iv#b9VXTnaN1Xmkn9^qSvKw`2HN)KqGJ
zg^36YGrz2Bz4*!Gm|CyegDpN^nZ)o9tM$#&HqLji)yd86uJ6|!{*Tk^;V67;E}zfa
zX=LxBhr-RxBR-$c+`jjP%q|Dhv}>gH;1AyqOV@d7@BGD$EMKr~*QesQ{9tVF*V}%l
zXYov|q-AYW!~U$J+M~nA(ctC1skO|;PH6AxA{qLR%X{~SL&iM~XRpYxZgr{bBagc^
zhj+sr@A3Zady<bcuk}&nztX4|g7ZR0PmZeG{l3h`)+y=&$obRtJrxRfuS@A0U?j_{
z*Jx`yBW3v|3GWUu#XG20S61p{?!47C_viR9)REw}_TTq!QqAh)W(6)!9-%uRg@21b
z4`*(sFcua^WwUbWT-dpGnP($fsx!$xj#x{G7=-Y>Po0R%RkwI)`S-YGgv-vv1Kn+t
zRo^@ko-@^DN^mF1oN39B{}nBEMO~pkXLICT_bM`{7$AqG8Y$M?QIqB5Ew8^TZpDSB
z3m=iSk*%VZIQ=T4<SFT<%gT7UM?v$RI53NIi4{3n=*;zZx>tpNCxIqjtQ$HmN-WZ;
zAijV=z|e*_9v^j%c>tl~K~Ih=w&wLWi@dMC-!Hb7E*K=^=waEB4fz)!J12;4KtLgY
zDq_-<T(nO!5MhvmHp#8MHwn>S9MvNjmg&6UR&JcZBlY+gZN;oLabd2Xs?l|(aB0+D
zJfO}4Mfse^%Q_7iTBP9WlY#z{7bYqQiyd_;ZEczWQT(Nm+&(j5Q2N~{%tG3y0>~k`
zG73lYweV3m`m3(T(P}7wzrWxPvT&iDDN#$*k)N69o$h{hD7=i5gQeWq;a6E$Hv1gM
zm(rS`BzI>Y@p=54Mh`&m9IRCJBb-$_nK`v9t`g;(*lGy1J#3qe?)dutDla_E@pZpH
z8$B5tEoB#hcH&12HuhH4%OOJ#^>rzBk*1{IxA>4mHMZ%2x%F8aewkck+@dclKikc9
zpMWrZ$!!g?Q2q$=MvyA}%QrTuD!@B_^U0)io&Cg|n5`S^pk_<(6$AnxL+%_V$=ujf
zCkL0>`go*jbJ{Qy<C3vm(bQU~4f*m0lKkZ2WS8NNG||DeQ7ixbeu(ts`eapdtSO$G
z^S8Ni;!R+sodXBh=@);<Qw$i(BW6>)lz;|v<@%8cHL$ZPf>A7?_VTI62~fD%!s!E|
z0K`i9xTSkOhG)uS6K$7EDZ@YY$-loZ0@7E~(V$WDF2?LAN)0MH9rifV<mw)vdheDy
zHBb_5^#v}C(1!Sa`$^~}cZ`yUD`^|DGwso!)Yyy^#bK>Hc*4&}Tu=n>Z~5CFFj%`|
z%_cINQbI)g{O^<>Yp0LDTOVZahb-d1Lcm8Ak85it2QE=tBy#C)5Cn0-?K|%`5whI^
z9r==wYe}osHzo&M`_~<y8&k~6PFu&-Tof_;9)JDKV)6%sWRU+T207E&#V{HV+XIa|
z5Y4s<W&e6Fj0fyjxGl++zQ#AI18n>(842%VIyc!ds6%TjjygyP<H)SIy>Axch=)Vf
zs{(DaSTOHnPgnR%{P^4qw2vZfs=~GdB>&XjR`f*MUMrP}k^q%V4mL_k7AcxIr0|f)
zhdWthr$nnuF@OE0bDwS0IgUWOVoS3kGh#MWgh!z^3Ir*#O=FlRB9qujGk3fSLD_h#
zOEhu?h=hh=g5P0o0c~AjYZ2<41s>XjB#B9B#G?lYn)exmt%l5KbNdPK798O>O{lYu
zmr-IM4Bm<;F&AX=Vw=#Ivu)RW0eNTV&Uhf#90XS@Y3~aOEY`M2xW{A!P#{!Z8?^;v
zWj<04Nepi#i*?E{y48Nl-TrDCL6sdY1O(Um?r+~^+m6lLX$*8oz>bH&1LeTqt=a^(
za4LW-%IaII!j_Tck2!|^&OBNz6!f=i1ad$v0q}I?jwg0JkWRf}s-g71y17xUeW7`Y
zip|R*9pN6Gp*C@I$8*v}bAj&4Ylo%Ltx-r#aj86CK#b~&sB!Y0s&J`~KJ*>fEI|x5
zvog_KDa_ue+fdY6!A!1OOJKp)E*rr#rWDQJZD?&SS!%y4=o5(F=*{4W0h>F}ae}+u
z%HCArL}#oJ*1Pr-7SfR$sURs@o{rk6_c``dfUWbdi{@E}tVtb<m(r1VD3ccZ94r)D
z$Vs5H;ZQH;O$;k8Z-}{-RqHhQa`tO8ABZ{(H?vgu%Ds%}B|(mtlq`sRTEMCFtC`D>
zzvDRglQ+`1D4bZXS?d}WmRHUpw32S^z>X?TGQ;EJ;7n#bluw*T=~#<M2+%_<uKz)#
zbi@^QJMTUdEnZd92Llw1&0!$j2M#>~wv$qpLr1FWQG$sg%6OyF&(@hN!%G6L89AnH
zB=cVa<XrLJ19HqU3x<`sV$3Se6F4i{+CfU=*~^LL<57(4b+9W_hXX%amXn1^R`(^}
zHlg*iwbMt<ud_N2+JI+yNqyn_q52}_cOy0r(>6ZPzR<7h|M|=m7M80SPCedc51p{-
zV$ih{sh)16bCWW4r!nr@lZZu-ulPfNmyq0Xp~ULXiqWuN>qGsUM1?7z6$Ubixx)NE
z3f{I=G4@Lwes>8%ihd$k>YZ#lz%Rf3KBblB%)J_$UPCv$fY5*dbLPcB($_~&Y2j_@
zq#;mY`JuF(Qt?MU32`^n1FyoLC9@v)H;?nQn=D%df6BvnY;RsqcNp){))Hi?<hzZy
zWGZx2f-00@M*8l+P#=C%OBG}%<?l&SP7vK`0EGN$eNyYmI5C6Z4w;y(c8vU5OKm}v
zl)x*9X7Rsb2*B@s(f`p(?vnCNe)yId+bKku{Y(ck*LtpOSih94Moc8^_0Rf~{NDap
zDnB<bi2jS+7de_C4r;a{R+3X?lL>Hor5qxBLXoj2Xq*Ge0zXcc<9Wy}-qQ`LeOU2^
z+H+x+MEhVZdflLI*ex=#E4E1-sV<lYOakR7|Mp`crd6~|tG==T;X9OpAZgwE>0EE;
zJ?DNH(}ZOu@kzr8bO^x3i+Q=Ll|4Q5c$>aY<nj7mw&(cD%z`k8iovCyI!Lf-wNGsR
zny-#DqShz<1h5(h26`APlEi-^bqQED3kXe$*l(h7#kPfZVPfN!&@XYD$2@p*%+nX;
z^y|z6htw2;PoYJp;pKtq+js|zKq(RLtl~_pT`DFxci1e?cl!F;Om#4{G@ZvM+S*4h
z>vlYWw~mYJdc<~>Uz8u?5hs9xmV&}$Bb6+>$+1?ky}cPqTA)BikBoTpc)>BXdNw`o
z`E099+j465-sV_IW4c2i6%{M@+lsUMfN@(y7(ei0fe}J>cA6Wm8*0%s_Kf?$3wf}O
z3d6o)G!S;jhG*<6FcgIP`5>k8qf&3n0Rxaxo_r1rDewa-s!NXJ>Cx<v2=0PU>AY=<
zRvLJ3S+u@I|5T7%SbF+sy1L!E_b^138w7<Y41t^Nd3Wyx0f+A(P{aRaI!%@EJW&hu
zEzv&A!)+a`1;u5qT~(XxulnAWuN?fr<7*$Zz4furvTY_clyF8wIBZjIf?D@Pbw(y*
zSJF*Q)9fx64o%i+Jy%oWjG;lG0f=~jF`gAM@!_*mNQXLR22c3D^1N09DgNqd%Da(U
zYfv7L)$r4>ATh&#a@te-P`X$XO3W-qa-?rQ$lC}7kDB4M+$%l)8Z9sgR$nW6*!(?#
zUyS`}XrH$;66*d+LFwBp2n`_kIRNz})<RL6yo;~uEG3(~y62+)ROcMBP}|D47}pQ3
zTRVW;O_}9JPput>1N9Ec!$l!Vzx7J<QAzv(H$6ASmgn|~Gzq2&VEe$!uvIr;VhWrl
zeA<nn*HaJ`2xkd1V?+EC8!xV}S;J3R{;BPbLb=@x&DvvNCgIaT+NRPRdz?QM07`|!
z3@pEuS)R73{0DM{fVLc9>Lpxo4KbP0ggyz~1lpri&PKD91YbAb2hwcWQYJerr}g0s
z`J29kl>0b>!z(o@JafA#s%+qi`5eu|t34q|p#e0oiL$idoy7hjS(;J<PtRZ?r!b-{
z)NG2CV!B2|d#G+xgH-;)xYNrWUR=(a-Y?$eI1knACYDJbYl+W8QT~hmPkm-Yc`gG3
z+>g)F%bj7A$T!Z<^RZaF9&raw4i}jE?g$`clTgH52e&$9>ayVCDFmG<S-qGzw9N!W
z3U&Asg^{ZkGwcMPVnX!HPn1ZF#Ei1)%!1eWIwE-kZ^R}_Tw-b3TSscX;9_Buc+Qs*
zt=V0wfR#HjA!~l~)5tUn@J-P85&gibGe-Jj(1g%G;X@ck*EV*Qa_q9M!_X?TNh&>>
z|Lc?aBn)*wlc}TVyXUdkMP1w6*+`L`XKj+|f>eC%M~z#Qc_q!;Jc`YkUV9m*({HbR
z`joc$p)CrEnr7Y`x>UJ%RjYI1QYCONYGmS_Ruijn7%2fO8T3dYRTgonrRjC033Q0k
zaoTKIM{w!PiBXX^*onWrAw|Q#v<0~+DOmp_U@aF``pDSTVWU;-mDagqo^LIrN%))m
z1_RSHxbMA@l4DrGRBPIV@5>az5-4|5V{e@#OzkjBp#7?0?ulghm_CVcrnrDZW?~qN
z46>!(nIg<GL|TG%$8?#87j)m=4bgjd4J0)?lx=gZXNocPjK7PcxcJRmqNcg+NVM*h
zr0nV{VWXklyBYNtdC+CKJeJ%B9w69sqO3FANn5gdg>$v1dqeTBPkZ3q2jh}tw!9`q
z0-Og}AR@Vsnnz%3LeRZ}3v5U|2y}+Dn=*IAG*MG_u`1==#8_a0KwfsdDijT+%^F3m
z2XigCm{MBf5!aAX`AUL{C+)%9<Xcj2zZNaJAmS}MY2tDRtp!X<u1Io?<{}2LiVN|-
z!8R(=1m$+nu`U<wc-G<xSqOvi;E=WPtR#UnPU&u;NwdCw?{0>k{gGXlzeD|xQJ0&X
z)k{^<dclgq4TYs*E*Wh*N$0#vOf=E{G1%AfsL?{hf%n9`tdc)hD>kY5r^_#7lVJ1&
zm3bmuE(})W9x2*_@QeP2Apf-hVwXlDo-A`747w%eOg8MDQX+<xa^+>qP#%_+a`o;N
zuVt4m1tposO@yA6)7q2<kmjY$DY#3GwdGNxTTKXj5r<`hg6kdJ`KsLAdGI6<t*oF1
zXOC&f%|hfw8hiab*8)bborx{tY;*gw%u^IsrWp$kMH?J{$S5NaMKJMU_Q|JDYNNBG
z`S)J$a-(Z^3t#}}t!i?tfi7$jC5e>c--N6EwDut>#X!cW;r_sZHa8W`%f`g}`eM7}
zo-FwGSC&WYoXiB7<z}0c;|zDa;_-6Up4LGDq)>e^_vOmZ->l9Hgxnzg(peSk&a`WT
zSzvt+A`y5OF#-i>aoB02N-qvCbC$#$YE(fsIUF?O?rbvF^>s0Zk%Tb;2dyQ*f3OCd
z&OLK1`Oo8zoCi5?i+i_m$h38Vszy-Zl<j@BlZ6~4N0wiTaVbFZQ`B^{KxnNIi37rE
z3%dnF=Jh%(VmG!6yilB~4BUt(Xpspjo(nMipXev*n1*fb>J!{zS{Z02sz{=Hs~M0d
zZzd&bP#3$uCwhqOD-ZyhDIwa^<#ftf4yZhrXb=%GtLWL3EycX@Dh~;g!7d>qkwcz7
zE=+789WB*iW}|%b31OT^)97?M8mk)wc&g6VwC+n!@rs$zn8e#IfiR0YSlI_!Au}$V
z+S#b`rzdkW^*D3#amc98H<Ee0?tLdr;$z~f{oT)_@Nl8E@fSBpIa+b@WI21q7(K)_
zV?iwHW;QZ`V(p3O%RTmKF)mvg5A0h5wo(f3BdpDkE_Is;LzRMk^>)N4(OfIe538sH
zR1<AEb_KQ$oU?4e6o+Ue=ny0fL2*ybi3ZG+te=dDB-XL5sgNXMWZhyM4sGpJ6E4fg
z#{2`&W-*i;Ggw>jBY;)TFbBWqo#u*n@mSs1XV6<a8Z}wAsfE?r_2~<Ww9J5oB37|~
zXEmxKxlK*nXgM7lJzdllK_HFfQi;e-#pWTG3#vqx{d7*l1WU|}gJez;abxl7SQm{m
zL(BYF(lWG|g(t>QT5XrwRU|dpPmMMc^6M3tdI_yogHx&L{(WKDz_bCIH~`x~3@zCn
zq#gu|j2=Y{|CbRjqppU8MI~jPKAtPMnOaD14S#U-5hQEmnpJkXBg!*qmv+gro#nU(
zaJ~0d%~j9UpN*o-D$-7xaqvup2};qcokodOD_S_`ol$SMMH|a3s5ddpH#F&n;Ic@{
zp9m^xVOw7**9C_rgk;piCuU0<8g+FBT0p+uE6F+QsHaqI)$^6j6I!U{w2#K$WN+&L
zOBx@>)fuS<euwpf&&i1+X!JwU_n}MVimxVeeHwyr%oL`ir}Td(TN$3J7-&v2c&Pk|
zlD82=5R7TEb9D`9GdeY$y~1n6)8PCB6?3>lH=6mJM?G-XSL-BU93gK&3UMl<iGc`3
z8D#(d5pS8(ByMukC$dt90ie9;^Y9QO$hP3aK(42rxl8*wdR0<H`@k|fGaYv_<X~K<
zvBInpW6D@bYi*e<%wm!T94yA0T)uwIK(4Qb#LKrtQXZ(4ZoZ5FM_DQDs)hJAeTjk+
zqn5<OKYB(b$#~_3^%AXud_5o)I{t{fv3jxNw<4*|5!1Un!4M(mVj+i(yQs!nV~I58
zo4~jP7vJhlmsAN*%3)c6dU6i7)g(0!2Uz_t7^@yJTPomszj;&)dm#ja5Va}vJK<wY
z8YvD?<&%<7vYm(5AqYO*2?o@;V=YRtm5-4~3iG~$b&jfiKQ;kXnL|E<EV6KHx^uYb
z`}Zz?*e$ixOefD50yQ662-vyewE;q6ag8K(EDR_lgNmo1f&FAN!q1<*JkuUERIL%Y
z_owhbYc5lYJr7E%G^M+9bgVsg6T_Z)BbvU0`-~wP#hWE!p;C8}0k&rvd}6eklYbrO
zaO6%kZ#BxScz=U3B2LsA<m}!TVQC>xTug))l}fCJ^DyTU4K5v(gwJqtN*i*9%OGc8
zH(7l1OX>uWVo6qpRyg_uz3{Hz>0an+5wVXV?7iy7+}thN^L%~j@@@UypOn8G{24O1
z+8r)8;=_6NdgIFncJji*My|W^-%4ZdY{<x@?%aSE^L=}?4}V14+NayaZ|3_V{C=d3
zKd#+x{lWG90%pS8+W)+Jh#h^udz4LRt$9Ncu8Rs>U~VmM91?fVBb~0!Ba(r}e{`F9
z#e}J0!zS`|X_911$w=89ft{*AX)Nvpp9zebDzgDmpmnYTs%|Bs815HNUijtwY>}po
z7@Va6g|=V?vp-ZsK-;u2UJosC(d!)J5^EZKKdsdCj7FCwZaYlrBdcI<y}^u|{s%06
zDNhxCfIqwa;-(V|n;J*I>5?|jXQ=#o_pHRPCF&FJxvbwl78S$x@}hSEe;Z{v@}b*>
zGe#2ImOtUP`LTXITwR<I(%G`h{kE8B{`+z^=q1~g=dwvfyZMz)FWhN9Am=Fm3=F1G
zkEcXJ23!i18fWl4u}_Z*(9XoxmP9oyCl>V#(j8Yh51-6f9T(wZQ0DZUN8MNtl>Or4
z1`81#Jei(*?9y(d2x*gcJWPab9jNK#oM_gh=ttBl#YbbGT6j$IJc5<UknYSb8`HF+
zZGP}a!Yt};95=k%#(boUboC7QE#iU;ZBZ3YDm8<93;J=PGlRhanPkG}<9mZ)9wj6{
zLQBc|`=Z0it6G;Z<wLsEsZ48H3+p<u*N)J&Yt_a*4NY3})P;n5;bc3_JS;=cT18}M
zvr}dxvq=)WqQYAO^qKRJ5Jt3L2c;TnpwZ@6V9DU2WmX}X`Zji_dNSUkwAQoDBXg#F
zoJz?cAKG)KzK96fUuI4z1UZ;pY~_cy^PwcPk)?1XsW6pQ!n>fi8_YkQDqtv^w}~4v
zJn?Kh?c4=JEhVE^eA`@Fs|?mcLQyn+qUYZh5jQ1%4)Lyh4&3D<J?>Ry<M&2!8k@WC
zp@Am)OFr;NqO=cxQ~wOQLz;A3>TNY{NxM}O;);HIK4)|9fL|A@#vc_Ra29|nXORqT
z>NfI+j*3?ti-?i=I_<cJG_$bpag+$)*|0$!Qa};5tQgvGef^zGE#&#4W}oIvwYTfq
zZc^b<l6ItT%99yPwkgd;yTR(<Y_(#p{MWFSq@E0YpY8<|hQgX+@M(O`)x4Lye>#5D
zp^(3`L$fODMGhu~8Zls@qu~%OG9=qju|SCpu?ZW#ZaMJ-;okbZ@gLW5{y!@J|7%P1
z|D=xdzq5GrpC<oj{Xcj5pEp9Ya4@s~Kiv=8|B5%no%TKO^gsFei&6P9_5c&$K;Vjw
zO3*h_w_o^1_(tj;5CY)DpFe{z2?F4i80tJM@g)54XRC|N#I0&QYVWPHxl2WRy~>&B
z&y1r#q03!ge`Ry|{(km$ea)WAmfrpwpB(5m<s^B&f1l3gI(=n%%+t+CKT6d}ef_-l
zj==wY*=_Q8KlVLD*7X_py?8ja<@5dc%T`P)YR-eNv)%f(IgF3*OB>4ZPb9Z+f%L<T
z@Aa-&`If+A29m1-SBvIz`KG~Mb)S0yy34-T7-c?t4^e$jcn6k>AIDn(kA;VVpMY0}
z<|g>A@y>(4z;((DGlPx?EM$?47gIYbf(sl2HrW_jJf+yl%%P_2v06Gh0)KRxy%2Uz
z!|19enUxqS+cnG=YuxcplSRg@sSCizx4Hs4#nz?NozV><jCJZh{=DnQ^vT}X(tEws
z$N7Fd{_OSnc8V#w>zvK~ei6t}2WLJ!l+q_uN;CtbAa;9PlOuX~@<?ww42h_eLitrG
zwd8OgtZ~wWp3HB>dFZtQZv#5ZJtBMKV)Lx#hcR=`{eXCiEVbx4OAHxQunQNBh9!Z*
zDdItO+aaBcwl47E*8I9SRZW#}B5zlw4j8f1e4{6c4$UCztt)k22@nDsw%(hx^r}#t
zoP6ag0i#6SlCV1xk<H+1hY({NjCcF<{_vn2HT={d9a9`P1!$>Dpmk8jkC3Bl01~#7
zSCV(kv!F~^@|8<4QLmnD=rW1UsM^j{5`{3U&KT(U0n)G}yLG2<zmO@c_#tP2t@ukl
zmswT`%v?EM((3#z$8lECwj2H-?1iu(#7NtoP^05a$uWJ9hZ?AN5x6MkB1g9&?SXlX
zBbZese1f+d1~3Q*#nLq>m1jUH=!WrX8oj21m={R*60N{f*NQATtz5)Rj2<QG;2rT&
z@qqrBYQV8HVVlm`jtzBQ2@?Z^(V3f2OOUek%Me=4ZBXc+JE0{T?$!$5X2E|8h;XLJ
ztGh(4{!mgB4WPUU(fq2Z+I4mqgFA||9w3Pbzl$ErlM3)e{XMcRh-<9mJ^n-RBDEsM
zzYbQgc!UXx5(>xnhc55LIelfnMB9#GT5igB#8oN1ozt^{sKji&g_F5`Zi!M5Bp0~T
z==Vg8-G^FOBl?j%y+(y7ZLm=z!%6SF5XG#lE|%UyTlTlhC<OM7RnnW|1a!-iLen((
z3VSIhOuhZ$7ZM3AzxdLQC{)EqEyfBiAz~qqwX(m|d7=A>u~_gq(Vt=ZC7fX83*nTR
zwh>sJIbb@=8MMFECFY_ky^dw*5fbe972vbAO4)`FH~XyaP%?}HIM9ty7RZ;RxNAHK
z%cL@Z9Y(`&3uIHW#ux|>|5B_}0qgn0fX#DQzK0&SjVTi-+4XIXKjtRUy}b>dOP;a0
z5q|TJ$*Wc650oiRFOOhJ7;h=<wfU3_mTPi1Vc9Q<2QTVtJo`_a?mm?wf01di#GyNB
z)ggkJE}Jg4*NxbnPy|<OadHWyI9mlM6R6L%eraa#bneLWFtb~;q#l_xi$*YFH&W6*
zSAo`QU1aBzL_-Duscyw)G=&+MKvnD<jTtvDGIE)?6dWb65-vpHj^9Gt3#VUPlp%d7
zz=9*?mf6%X^;DV3l|&8@^l+eo92e1t1d3;eF!Bb?PrPo=B~bjTj=~F@SMz2VFQOpN
zATMI<Z;mq}m`P<5Ho&~_=7v%*LEkHVY%44g7QW)L%zs-WdQv)#v)(rWjY8YDJAwNG
z$+I8h>rn_6@zchk=Ep!+#>x4|!~0nj6g1-{J1>~FdJ@#ovDzt*l&jMsGQ3mhPHMd5
zUvW8xr-b<T%PF?Q_;Zo<3;V-LWJu3!noXGrfwoj}g8mub3~DmP2ED_1GuG9tt9)AR
zuS7>S=f`yxic`H(91IqwJ4qtgLR^lDGqJe9mM~ut_D_uUz8&|C`}xD65PJ4XF!kYa
zjO=*7#YZ}$a#TiPvFB&i9jc06-$^9FSF8N#X?klS^^V3pFpRiU%+AJX74^`IpO8S&
zk4?Vogwc-+BpU0>{>7goRsn#_P_mZu!*b%U)^)?mF(DgRj++&KN1|WzLd{G826q74
zW(3c)C~=B|F5w46cb$-p%-hspG~~u)*T?T3<de!pXwy=T7n@)7Hq&hd1`<J_X^#rH
znd(A?Tz|5C33>Hv<6W@~rmkW*6HPF@vMN32_Ap|&Mr#`mCoDktHjBP<^I^T@kfoR#
zCi)=QC`{D%ES$z;?~hj(-bQLE{_6kgmtvM)6%HB!J~e7nDi8iGP~u(`%Tgi-^w@qN
z10!nGZjN2a%mw`(5yGEgFJ>k1XMGmTIhQjm_K-|v=EfFA#mMnYF0~0}`4<BY@=uQA
z30N|QY3_F93s&}zQCWmzE!cF<rVaN^Rwgx94RvfM<UL?-mHeXS362@0msWt()dwhd
z-;G*+(Rd~CBs{2ua8A!i*=jjsN-M?C&ZC6>B;mVTt~2?B@V6(_mjNjoiXu-*WjP~B
zKzSId@6^`1KqtUd|D~{Ltb`OV6know1Bff#%vXKVW>Uu_H=J~`s$JhW*smV3Avl@@
z3JU1(tI4YRQh<;ij<P1sb+Eb;-ZQ$K>(7+nw)i@xK3Zgf)Qw=pjD(I^nvw6!h9?Qg
zzHOmrn&wn76p&1My38>5SPh=EKAJM8MIbnyvYimep|XM<K1Zs+jPO<+@vj}TzB;Qz
z0N|Ga)mlrlNmRTrg#I~4Z6fA{e~Ncq@GCe6xJS|ulT276V8Nvs=ukLMu-c&t_n%?G
zL6ZR6gk>-4@ycZ~g8G`EIEF`KoW62?as+SUK-y4i!RpHWw+CO8dP%UZDqY0<Uq$a8
zl1Q8G>g{&GSdC6W02<oEo|UEE6`?xU@Uh<-v^7n?(=|QW(qzt=j7m^+m{Q~61TZA@
zyB7@GO*T&6%DByMT!})#&2c*zA`2xmzH07PW)yF}Z%nz$F73i7GIT$62*QVM2_u}5
zhdri5o|b!lAnu1lmYZ|+2RuPxkl8PuyP&?kYT#1ixK!B-VuykiD#SXLksD4|B*|q_
znd#S~3L;2vLB80rk#cXUqgDG&qD%^oSqXdi(S+&a$c&{&)13)r2Orv8KH-O~*2B3E
zZF)Z6l{h_;PFcfSTsv?j>T@!S?KaNAXv#{*Q}QK~(ONkqAc%jw$B?JSDAbTf-tFPi
zBbB=v3^;R2ji9cOf0k2%M&5;{lzk-7Sm7`zfaILSMU|ux(rH5Ou-v%zC>T>vTvi_v
zHjq0MzbRY5gC`ijfL<mqKt0t8wZRd4v>8A74KyuBh@>(5DMSY$iI($#|C5^XH=0A!
zzePeToK>F=<ywl!Q;G*hEah<$-X)k%jV94jC>fvh0z-F~^o8>0`H!?F<B<empOLg9
zOAn~*G<uF7oNB|WY!esl0Uz-)o9(%h0-v!mXSIPiQo+_cPx5nUdY#9hdo$bzH-cR5
zeOa}6Mh+QT@Aul;+M7xI@3++24KMfiMb+2i-rgBqAAj`ySY2Q5<^*b+=K(s6wBhRd
z#C1QIf79s>5*cCjE~SYdBBd;6)_1nt{(Cg`oJ6C9FMa<*^}nQJ|E4+`@o<VNgyA8o
z>=U7Hhly-*?N<PY<#Hw6-xL_w*TJim@JD;m10$5n;ckS-#O*>6kH?d=-&6OeTA_1}
zctpLvEMsu6DqSvdXM+x9Mj@@S{Gu5Sp_T!nT-cTs(@z$AZAE-qV0o#zP&xNE*0=-#
zE%BPeuk8p?-$Bk1LiCOCD8!L6BEeJqy&o0JsXw2etE!32R9{;co4Vm8Kbyk$TNGg{
z%)*#hL9K3Wq_+v?Jp$^?y-jmIQj-`giAI)AV3&Ysmc@@KSjnhU6%cpMLyyHy9^~3Z
z6yK&Rg@tO=lJ&Yt#Apz6+kOcKJgJl*Q*xFAG?ts*BoL2Go;m6h=LO2lV%u?{i6HYz
zrp*Oj%;`JAbikwsIAHU`hmQto{aL!AI{}3?y<?o4##?u4d7=K|xqBL1v+X3b7*2wH
zhh?}|H&&gGq#70XtT6v-U}2*brW!`QU%B|jnQSP9i2vbM>Y=cxb5(H5u+1-95vcF;
zvaK8Wc*Z@1ws?!sKAW^SG4{!#wWL0?63r`3UY6ky%9QRhNxqAXBf8u7KI!iWBN)%u
z-d{y3&!k(Og--}n@~ivn)JMGQ={xF*bl9WSN2w&It&=2Jdq&JwW9Gd*Bd}S3WxGgo
z%|SJ8MqVlHyFf0jf1Yaf#)jkg)96^nC7&p;`rZ<m1c9BMdXBL$6O)yZ>}=w_4iaR7
zbLzk4PGZ+dMPdY$+{$X_-;xBKlquLYd9&F*B@rua3!E!G>ZY{L-A1xU2nx@;H~IA)
z=0-%Y%ck(%J-i2Mn|2l6P0f{NyD;J@7_z!8)*+!?$UeC>(LIXYcts~{p-w(8tgXpw
zInz^8paq=3h_=+{Drbx1G?Go{z@R|g#-j@JNtVh8g;Jz74<o)aiCjtil>D@`o!FiG
zevtD(zEPveBS7Uf*6b@c?EC_37Cz|-?0vySndyaIt_5j^5>V;J1>JUj!3}SxasbFY
z^5Nql42U&Q^y2X#OSeLI#&=8{yFj3hOAw__uJV=vc1kOa?%0sm-!;4?`<*SmLZ>HX
zHj2*8kJY%g-JumL@lXdq1i8WL)kcoqxaOmdAS_a-E+tP;O3PeV5ZGZoy9!HrEtL5u
z-hqfJl|_*0#o^#YRdC~`%vg~q#DJfBWqPjuHc*if=0A7^j6ez~BZL(iXsMkRYxYwG
z&8O_FY`)_HW~p7)`6U7@IWG{BzH1aHohUDm$xy$XPyZkbcwsffx^x8&m?y}ATCOi9
zJh#x0x+A978!Zy2a=5>U8eU&}>VP~|pT^2EhDut;MVO7mJ4moQXk{NU>ZCddlFKO(
z=noF@S>7PRP(PPkc%$+(9&Z&68Cl|Y+|p8XES5f3mnSMMn`tN?a>zC`Ct9n9e0_mY
zS#4)7mS>J8UhbsHyOw)m$22od2AdgCnV6XqQ9X<5k1E{i)FD_mE82ajbteBk`e-fv
zKd5_$V9~;`OYhkC*tTukwr$(CZQHhO+qQkqJw|SKD(R&2S9N#guS#XI2Yc{+lRen)
zTJKtqyo~Yav4LS4xdu*Y8nSZ=X%c}vD_ACm<JAWNQI#k9i76Vg^Te?!+iacXjn(Z=
zT5=4@qWt&lUj;KuwgN&6oNPkVCGtawDpsCyowBt*+g)sxHD+F(D{oaPuXvjvo)*da
zWWdnx4o5*=$_GNK!^dY@HYP-ojzpIsRdGwc)h#)`jt_YVa#xKNr5^!Lw-u|;Y*)sX
zw<ovH`d0`-atUO;1&Xt+M2CPOGLI>8<AgXP4fAo6aVt0G1H$2Eji+KHwB2v69_t7;
zNts34o8-l>R0S)k?+^-<DcOw!4@_)e_hF26@**tt)i4&Gu9M#C+VJgWA&pHIyPem@
zXCNAuTTjmwPERM~jn>-b#whas`@ilHd;+_+5Tp5<1F_?u(H?4Pn?M*tNR{Z}GO@?K
zRXTl~K-x?+X|-6-2qF1Z!PIQ(%7L@Lq6A5WgecvMS%SnhkmBna88+_`J9t6{<a-*T
z4&&s)x?Wy=Q=!)s^ktJR$KsBF!Y$7gXR>Kmd**Arj(-lccw)RkjXFeO;fT#FFuCJJ
zQDuLarI!~LVzKR#o<j;Io6Z(!ok=W;*Od|q(WULUQ)wATwzR%@NU0pxx@>B7sLk_r
zP8{ZTFb-iPyN-IrHbU$rJtjBJf|h*Q2O;wpJcFz<*K4|E^ymr;LB>OR_VyRE!^ApQ
zHahcjHuGd`6{}=ZFt3}5sZdv47Gtrbm_=cE({E~2&rTo6zwhd386@)_izDbeKq|?z
zD*Lp81H*CFD)KJ>1qL5kH&%>wLFIS;7WQ&TXlC_lb*wQNYCwVs)3z1u8cnt)_tS`^
zyQy@}olp#4tU!%Gd?J;tfkh&?UwZEw2ZtcPN$uF%jzkaMR;#nxSFiCDtm-0Mk@ZsU
zkXZTWUomH`41UF^XSJ#6>h6&8U7Bai1cZ)zhuG0PRb1m_lJ4M;ucN%y=-9U?)5K?x
zLC3CTYMfk__wvX`>@M)k!DHa&g|mN!vWwMYsYsh!o`@^77>v)V9f3F)B-)qII6VlA
zgK8Xk^DtRCIBVPX?QCKb-@tYtGO>*HcivdAX4fB}R^U)}j5ej#)Ji7U+IoFh4;I$V
z3g@MQg|FHE<hqQ3+K<332kmBov_E?G+O(~(CQO}Y-jvJUV4YA$q||b$yLu@dhPv_^
zy^3!#HhLP$XZ~#`q+xn(u|)|u*=p7}-ooYVuZ4%h+r$Mvj>F|^kN{~Hn0;89ccydh
z=_uD}zmVT_R%>d$<c?oG#cDXSo4q8YnsgcNlVqYwL_67JM9W{z8eAkzp}o?<z?Xav
z=|0Ic<S~Q<VP&(~7Q&Fw-o(lwJUU8=D3jvnQD?>mpM{qSEGx32)+#WbD2}&=>ZDE5
z#b)Aqmq|yHCk&G5zlw|Q?2vENUKG5Qn>?>AHvNkx@XS)}R8<=xSF>NYvo#UeM^%wW
z!L4-I@cuB~BKM&fB8FPHBT~2)a;e?8#E*-rBLBs(jGz%l7tW6(fezgCEPKu&R0cy1
zsk!21ZFmhuhNplrAu^t}EEY=?v_A{aI?ERqsxg+TCuwOkQP*__6(so{iW6gASj>2n
zI9%QnX1>EuW3Z^?_lav}glrsKzJL003S=icY)WYfZ6MV9a*e8z?4j+oU3;fo*~Xg|
zXJC8WKoYumRkjz*g-r$BQ!&~_K{s6;sLxb{*rDZs(y@^4u41JEieSodo;(4YCqk!A
z@nRrVt@KqQ2mKdML13wtWw*DZ>EtM7pN6!{Q2QltY-@_{@Urml-SDL!5juX~ilS#d
z_hV~R0K$pDpNiY<0K??&>G(_NSA#9XxY3`7lKT3k)E*K>+XUBZ^}AaER$M)GeSg0V
z7YXx-g1K3)@koqVDJRzvP{?B_IM503te$+lIChYENgHPmGNjg{`Wsm8LLNlsHtz%4
zZ7csnYuhT5CH<5jdn~q8Ys_lR{Gc=Y>Yc6=+WCQ0KHde`)>NHR>+<Dd2o5h-wiqq(
ziYpasV|hp~CksV~;cawquPWFp;AF5H8CD~-XCSqAdohZPMQm#2(*`pQ9H)0>%34k`
z{TvgDOjRaLSLMSWceXN5q3}*v0hl}R1XiZyb#Mnf-renY-qBbN2+bKQOHq7A>+1(O
zl{`?7k0w)B^+w*Q%4Mf8p2@N`Gm4WnOQL6>`Z>?<@P9-n{3?uVAKN-%=w5tS=-L<t
zz;G~c9uRL0pmL2W8vFsX+Q_JMl@j6ahC^Z;fc8<dqI$fVGs1$Jc@En~8t)f1VsScF
zF)~?1MmA8hR<U`SvGm}qR4Wm>Fs}VksIC^D6G8GFjOSqomf9q%%JWT~O^LTLZeS)A
z-}Wh46+aQ^EToDgAu3|J_BSAFCcgRpIlLYtZ)hZYh$Nic{`IJ>&vUD0G3DqQTg@CJ
zGt$jjAjcePF6F%NFc8(9V4YNa>)4XB^w@5)3jS@KT<1Ye<r#4SH$Rdn>fKuIydmu&
zZRAv)t$&~kl1XMCm5iFgQ%ZBS0`Qp(PPR9=GC5P#BV^SS!$oEfKKgAg(Dwz}nnTG&
zOMAC)r8Rkp&Eqh<IFd@@oIpyb)Qm1kI0Hz=u4Lejf{Z(>ldxx#fi7W%-Qu8UPNfrG
z=iK0AC^C4+UBiFu&(GN@5_X3qR)>@0(a18|RJXXA%NONTMitcQy>T+BNijNtO_j$=
zU%i6T3K}YN5f2UBd_-Il6}KU_wB=~3hsgC*VsmmVDXBl3E6p&4kA>1#sTL-pi6bpa
z^g{;yua(hLKM)V53QdM%J8KAt&QLv3w%7L9S^Goo*b_fUfRU1X?fJjpEFUeo|FK8$
zzlehR|A9yGpN4{B{hvcYvCuQH{@*={9vvw=Vh+duJz%ovnR3d6C)x#&lHAh2i;CMH
zrh|9wGd)lrp!4h3|6eSMCUlAx%0{qx=PFJr2{58wcgDBZyS?T7{XUVbB+i(F-z7uY
z-?yt*yWgLzrC;BF8IY6DHoxAFq}3qDGQFRd?=0B4iX>hRrs%SX*@NG{FFE&fx8Ks0
zi?v^9JMQmH-<9{ZJ)hr~F+53~nnlVlb2nGM{kZ!pmT#3XJipd^H80<QxMk2^m65x*
z`z!CCxFx#2-yfSlP9H<Bc7A<EkDKcT857S(#SWF4S?t^5q{Vggeasj*Xa(PK+zjgK
zZ%TUO+k2COF&tiBrf;bMWUKeD4_}Dj?lXBCZ!{%)b9AJ<zbz-TIVYJ5ut$S5ZjYk&
z<rA=zPC`9hYy$<RZ0b|BlQjotiN4*5M>thq_4Pxce|Y+gWfj!+p?p^RH!P!JYD?ed
z>UR=IqA8_|;}d|cE+QUxNg4_7Q&f+uPGRIm?5ZEunCG*DC&@6R<WMM}mLeQqFmb)*
zx~q37t-9WVhsadjaiTH#2HC2n8`9oh9$-yR0!H2j{t`FQ1`wF1qv%u%Idq*$l!@$d
zH~MU7SgEg}urdAUO0Wh>`_*T7aCwtt%ft)X2i}%-7FTFz`BZOZ;5vGMc~~Jzqi8EC
zd6H!qYuJqLu-xRAF%P93d7ehwhL3tsnoziO`<p}MW-qZhz-9nV!96}oAF}vD-J|VY
z#KT7nzB|DeO}9e1I{!5x3dWGh5}4zWb;3xhiiPqMAtp-}{8u`M@J1r*@T1^CKs~G!
z*i$N_pn=hQI@5Y1tET`-EKr>-sgC%p{NV~1Nj$TOuuFVNMp?S{RaNY&5vtLYj0|YF
zgypsnbTsP2$rHs8sj;13hNH^h;%5DW(#Dm5T>?(Rrh%lPn51r8A@(CSyb+lng~uX?
z7z*))2GY%#9jVuCHq;f!bP=$3S7U;9%xl?1PJ~7X8E$O1@Uet}Sb_TdZu3Fe2L}J+
zkTC$$ts^*EDd?U4*qp#4Q~HhDR#b*Ke_T`t1%uG1`pSu9BcmVbm7}MU-#8E!5dbbR
zu*#&)iJcOQWL*X}7eht4J_~Dlu%Vy(PwHh+uYyxgb_?3nP#%M-p3b~piM#GI{1hSe
zj@s0WmS3d{@&GA71Of3gxs0dSylvl~YY#Ga5(CtGIC?u4KUg>A9v9Tv?vvWhuoCDo
z)Us2S%tRk4D?WPogrKMaO{5v;{zxYKkfolY*rb_A8OQ5cgRCL}-V&zfdB$#Z`6{T8
za#qU5QLkFcz*M~3$bHsu`xy7};7_sEpvPa~B<WwSiD}Yc2I}Ay^oj;7?c5wftF4dm
zh<EX80n###+w{U>mQSesr+r`<<^M&VFP-j8yHuo~JL)ZB>U7EMF7#Au(rRZ=Y^=Cs
zlZN++UTdyHTecaWpRrtPmQs86U8KHO0pK$tz>WDM^3z`ECq&~UX@lL>=+L!UBgV)I
z3wi0R;QVBZYZ~izyfE`I@G@^Bf(ZpRf-dTO9bXTfps~H`AwcX5I&cd~@eGsEe>XI)
z1RRY9{t^wxR~I;h$wN&o(%evWtd9GP-X}bOp4U3?xTm$IBCG3+ZhY{s$b)WkcBpx%
zH?cL}m8egnFv@Xi-wkyIQc?J;)>D*-H;KJ)a^5z{kRnz$;u9Z=sB*2Jje(U4N=@WP
zLAl)b&IxsFwG0;1D&o8`W-&E<t+paf*@2-?GJK>^a7y-VgUCaBl|M~doDSN0*W!La
zqr#1J*8b6;HnG4B&-(d<q5o8@i!80M|8y(_9LqreY2YDU#;;n*y$Txd=RHoY4}}df
z8bg`xBBa3v5rvMhUR0}39ADI7y2Bl4B4361paE5h#*2@5!9`@Rf}NK6_$jlb>`iFc
zhmgF*ROs*GsMzD1LNc92C`W1*cQ_&#oZh(r=0i*2SFM68*0}n&M`gMY%w}Msqx1!T
zla=cpY?8y-w*H2LNys*6)w=W-CP~P)2iseZ3nWy>(~~|AQ)+n&ADBo#lLVIUbEI&t
z)Hb?`OYE(`6Nh4ocZ^?NMU|T$Z$KCY$~W<7$L_}f`4qcX^2Nib^v08)(|N(ab{vPr
z3coK4FCltVE5)~Xf++>sXvj;8<?Z@Le0^(r)v_EC$y5q<I1Vab9X*f$-((LA(Ye|x
znf>PuF7@<`u7swfkc^rmIbuB}2xEx=?hegxeR>aH3w$%A0r(;<CC?;NS{GOj@eD$G
zkqgf(AmCtaj(ZI${6lmF+PzF{DO^u1H5yhp$=k*VGRUG#J#G*}&NppFmo8Uz$+8%d
zLXBK`S}?n;V3iOL#e;YRdLOqet?gbR)PdxXZV;is{=>w2P(Zx7L@iXwW~}7XHrH>%
z=lH4d2j=9K-{^=Fl`mf%5Q0SzfP=LaLE=z!`i(>-FcJX<C9x7ratv(-#DtbNY27c)
z#K&~?5qW@3;d9^#g$-FE^`fs>T;rWB`h3%|6qRdKMUQCaT;2XPm4%HMQ<&l;&={W<
z7*{xF;us$r0*4Jespa)GUv+njiq)I3if+i3$t_hTKhh{NbdLtuM*^`XaXz9WaFgJ+
z8oqfDg}on4xahaH4VYFn=?*KNh2m>1hV0X<Ny1F~r3%iA5CCflv@X)=pmNQPiqYUq
z&XKH5E&<T9G=oNJk6vqH=PJHY2Flx8^}-cAqxs_8JtxIWj_>@yUbXX%JjIo}z!5y7
zxA3i`y2T1S72t_`B;rQgGMAxC7`DplSsdW<m{`4nVo>gj0SwpbI;xFZ^(TGTRT9sB
z{m^3!CR6}dfal_*W$b#Z-e87ab<j0A%{c|S2IZ7#Wh<l=x+xkll5w$cEN)@^W|g65
zbdP!0;O<|cV*-B%X3BJz2+zFDj+`6LSgCycdj)OAO@X^}Pyy$KBOuOO25m--aU{M_
zsZtBGuGpm-&xjO4xPhsCWr6a}I*i!A=6}408_(B<7{431yQaNHFEz(S|7<cENof9)
z+|jK(A@b5K?0*<E$JX7)p9mOjt?f<Rnk&q)8O?E08HzLJXSn~67y;U2`kO?Tp-lvM
zM+fuii!f!68iIY)ouR!x=lT8Inc3vZ`uVuZ`FY^x`KDm)R3gYa(iaW+_xboXB+?uH
zokmhc7p-mx+F+0(HW<z{fol{t7zP`EoK^>~Qn<2?F5m@Hq0Wa2OHE`n2UJnVp$w-)
zl^4;}a6_7w=O3bCIVrn8S~Ac`BUG&gshuQKl70irJ2rXZmxMp5e%EFkZaJs!<}po6
zetMsx{fa&?qY*l1h)MYIVG{r8G$!4!0tYl!6(pfb@u5#G=4k68WxwldDs|LvCN6Wj
z7$TkE*-Obk5<2%s^{lI{%o2=~_^>i4zK{*=DROVu!?q>DbFf0HafcgcW)O-%?e;>;
zxy<=4MENJDS_+Jma!1F-4#oN|jNfR=t-?$ZK_stptkWumad#L<P%v6d9*-~NwBFyD
z&HYG#6_*+?Upopjv2Tv03Vb&hYq$poy4fm3ytyl4OW`O{(&7lOpIV#GC0AL_>Blp@
zJfEWg+17?Px5Ot7Y{?N2@H{6d`p*P!>7uguv45MB)len9$ZnHm9wRa~I&*t&F#A`4
zUayzn$F-fjWsTCEP&numaVrPYvlv!LDKo48)7($n?I~guc3}CeYP*yM57C7|7*Tsb
zv9pK6+G~!?$tZJ-?3puIY^hRUt!MJly4Yfd0;}PDKzLU0)Y@^?$1rz_HY)Jipu4W!
zQYp~0!rF0?!RWQ#Z;8hOnQ*ROaMVO_yW1}mw1LOsF=`RuI!+CtEm$u!!;>NkCU^(`
z1O{|dytHxQN*1*`HDNvv{@v>zY;ndNd9gv-R4Xfgx*pKG<BVP5Bg2M|&v9)CaGC<P
z{72S%4E!k_g>~)gCwj2KK)o?3IK*gK2fR&1Y&20+3idV~8GJ`94{f1#F$r;F1(3X!
zjXae)Mer}=T3x8L&cJ7!waYWkSGuW>G*_4BAm1?>Ao|FD$2PNRO7|fp3{~(=U48`<
zzLYr-XpE^Z0Wd&rEQtYOmg(j_=Xq4k&R5<wxAZv5B-PL=PJU^WL6Vy=D)H|f$kg!+
zbTtRWX1XK*wclxgMeWGv?=cKbZN&u+=djJt=aD2l1tNQRZ-A}(l?btiJIKV3mOmV(
zQ)rZyp4%UaXp-nVaN$OuuBmd-lA1pzo9&j=!r9;N1ZFM7;#N;B&*?IXKsBp6&$5rY
zL^(d{I0f$FpxT_NbL9}niC4;MX^rCG!4KKFt*xwB{q;6tcU*NsflCT@D5(8QaEPr;
zqU_TsPQB?z63zsNGv;y{{53osLv@Gsk#FBAyXxiW#vLeMX5o1|7#D_Pj^EYHj9%53
zj*gmn#}@5%)L5c4vPBy-Tt5{55%ve(f=zr;86oIEh6*XIgr<$@ff!xxqo})ZLj!m>
zGkS%iR>^Z|v3R{q?s|SGiK8|;JWxmYDGk(VkCKsh3d4j<ysIy+$pgG328X%vMy9E_
ziEkxMu%Txu=}fT;Wp;1}s-RQb;p(ljTL|9g-Y86a6Xt2TL3WUN5m7HGnY31wDxn|c
zo%Z%ydxY~-hD5ZPauJ=6D?FmZNNVEa#VV5VL}~COM#)=;^YF9*NAglPzOC>r8+}@0
zFC5!-A}?dx5XML=CftVE$>KqePRc_DD^5qhiHOVQ!*@5u&ctnkmgpJOkh2L{uT>F-
zkG6r`*kKzcM=MD&@py;4kRrp14QjgQhx1n7a%}{_Jb~d=`gUc{{WrbxImAoqr$O-w
zbc?+l%MlXlry9R$H}4CF`SPgvFO=pVXLI8yN~suqJ9H3@9)Sf^7;n&^%fsexXB(d0
z%&xx+;g-I0>4eQ2)+oke;14gne}t)=XFxDOO!N78AT{g`P7eOYuPyd-ZSUId7qVbX
z%J$l9^x^xKVbyD6BTa7k_+8rH!^K(tUT83uUSK18*FPsxk2UVrLnGJjMQae}LT<*a
z+?tv(5$zw?D~)74zZ9(yfYA_G6V^gWuP+{SZ>e^!M$a1~p)K+B>w@$y=`bpUfz$lH
z9M+#(UK>YAFU?dhlDe1@6J#r^Sup05_vvNICpZ!^%UO&qzu8xo_grMVe;1DJ@Ll!t
zYj8`kJX>AzNKwT0rNV+%P*AlF;m=SSHCakQXnTyhdXVyYs;qO(+7($IXZowI5XEHa
zLKI6O*?47mEiQ2NKEGg6KU2c)%eAxCNnP*|2(XbRMS2dKi?`wQky_A=jsiIPy&Nh)
zH%-T9U1BoP)v!ESd`X}<*^~ote6(2n=+P!q@&*@r<87fN$?wv(uRt$dcZlGs5TWG>
z;En;t(OT4E3g2TyZ+^y+SABlT)yRaU=@+-ka8L)G01KC+Tzr&DdjD++FQIZ3(>$2<
zYO+(Li$FRp-VkE_N)iD>PqBPTZHd5cZSO%vf(nRJ*Rv_BLADL&EuXsE?(m7erWCEf
zA2epml4ILAYg-E)^dU*9RneN~)JA#Xm}a0i&buTqn~i+(RjQGaApvRVPze6JnYIX#
z4!xZ0C5h!f_k`NRPUy|-$V~ueNOY8NKvV1PrRL;TLXwlm*WDJBiIsq`OEfmp^+aDo
zkPaYKw%FmaqunnSXs0lJ>c}BZv!j5{J1OR!35^fUG{i|zD;;&lgg3g7IxPZG-eJ=^
zNV+cNvFvQzyliSF?Tlg{@hbVosO7L#ZXd&vlDe+-TU~5c|9%G;e#Q>Go)*H~a6#FO
zZYilzYXe}jX}AhzAUqSppc}WK7u8)nNJ6CJbficTpHUvsg@RjEBj<!GAB$)jk$f)e
zAO*=nJz!1wn<w`R5eHVW(!_N!@~48>p_$CQ3GH9?jooe09y44~Kw6v--KF;k7d4~q
z4Dwb~AxSEx$z)<a$;+e-ns$4W+cg&2D{I1S9;0JEcPI3Z$LN>PPA&#*aQ8pAt7+sW
z<7VH^^b?I;-uENz?BYW2Xuy^Pog6w8!I<L{*ltt+Dtf6NTQq=zoF?JB6U$~FTkmyW
zofTSs!TL`A9!u$gtXU2<w>aSV1-&v`$B$<l7i&MPh<`lz{TZT5xTb3mXZ#L<O;v)j
zU#yhxO~*ffCC9yo40iK*UrN4VmbRS6G+!AB$(7*VbW4kcO)alH=_iS{(s50FB)>br
z==2QBD(>y-crj>AG_jFO3>wM&f!`G~iY#f4jBDb)5vQOIxJg0hKywi9fCju_x^Xyi
zS}PafB$I^Qd|RDwea7ep@+9i+pdv!StA-Fs=J_^iblZglM1KKmwK9U>r0~z>AGaux
z)-)MccUuxy#jw4TL?{6UtvMu5tk-ws*D^i=QPEhIs{Fa(;z5}Pu%x4rTJ_)*+Odcc
zZrD~T)I<4A9Euc!Gs^4y-NII+=0n2@__k5nj-Ub-95Gw-K{D~%UGa?VX>qNhca5vB
z4Zf7UmV6wXZ9cB1soPusyh3MeW0Qdv7oKqdJvb=e{?SJk<ve`AeviR+ncn5r858~c
z9P9zx0y(x$T&9%Dk(asim$#kb<szAI_7sP_QPFXOA4BQB)GOCdg8kdqEq-qWq0*Vv
zALaB2UDAo*j9p_Ly*pHUg|5%J`a-9m3<@$ZFhpTsHrS&6le~k1U+~Y`{Ph1=|NLL%
z^Zh^d&;Luq&i}rdO(**QZCUky8lR8#e~!<`#KQ95@%ehRHSDk^5PZ?{f9XAl*s3J<
zc8<nDgrl_a?V`}fgHFKfXz=(~!>V_#3CI29RQ7nTOHC@ofQTQ^8>_C~E~_pH`?7Q6
z6ZYqXH~7Io{r(PzW?d~M`F+!SbMtKQ^6|WH>B1(*3d79(!|KVm$HF+nTPp{hg8lIR
zqR@U^<R!!0^$v2u-fin#-u*axJ|1Sr=WJ&`I0;gO=rtg?EA`hAC)>Ztu^wm;vLV|g
z;e2JjA#WV+#00-K(&^t<v6@|P_f5DyIlBK-LX&XDzn(58(ztA6RanJNm}N<~a(9xq
zCN0&`uHqdQy~F)x?19rPc@&AjWNwHO#}ys|9upW0K;1uwc0j8w^n&zZ_VVJkr%8lO
zumoQQDZ{Q^v4VbEb?r7Q5)rGIC>8v+W-?eH97gr6i@GxpN_!3o$@3D;up%YN(q0aY
zVJ@ee+te-}MQ(FGHNq(vBzNWew}tm~&(F*mSuPaNNUtpE1@%)hx`!}&Yy89Xif&#I
zeJ%J@WV(Bv11bYiVai_(G|M9nTk@j^>)GK?x@J~a*~aBWtV*2D>i09D>>SU&?ALz0
zP#=On(eWK|IdS8)@r%zNUQ@c}&O;-K42}gMYH!g{fOILdK5DWwm0$`=q-!`rmyFUo
zI}t~hf?ZqQ+Pa!qL4~i=D9bTHt!|rY9WCgQ(-b=h(YwMZ?<$`ylq*|SJN{ruGWbRP
zA@PWJK+|#VgDe0v?hl!vhHW{5CO)PyP>O!;2COZl?3ylNdb2a^f6(l=A$K9LMB3i%
zWtTHJ6o-0pL_|B>4srMX4ngC$2J&byHjR_po7=ODJOjgyX+^nHVviIqHv>Q&YUDwv
z`XzkgDrsW{!b(3?Cr>h@>xtpHT`;>1L6Cz(hCk#F$Kbiluu7R%adZZWI<QsK2M{io
zS^xr*#gpWX1^kCG0;`9hS6=J1J9IHWtO7F7n*dISN6X+Ab-_&*Te{V_cL!(4UAa^)
z-B&d5kbZgo0_g6(jxH0Uo%#r-lh3mUZBAqTqxni>nOf`|&5c@8RU7P)OJLV3fonC4
zGgtq;rH_(xQohHIXaBYdw}i1!l#$6*B<fZit{jVGw^^0ff&P}o*+`L9-ss4C2MUtN
z?;|~Fp6}}kkdH|7ph*DI(1fo-`q5DC=u)y=<Y3@z08GL&Y9qZd_QE*U4iNdnU|59<
zo{i4DnZP2J!-*Lmo**Mrqw<HG>_z_2C)j>mLYX6jhDV+&pV#^IJ7np+mT#*(YJL%H
z{G0#7WjLp#K;>|0FXxKN#p$d+tH`bCe22v3UOT@k37A`9ciCj8T9Q_ru!PZVAKUG+
zeMbfJ-d4eePwI`zIR?u8Q8b3kk@GBRR#Ho90vj&I2FFWHgjIYW>Oi8Zi?Ryt2AY~>
z+-te_`C<3)QbLUAOAGyqo=`U%dQ|8{+6PeL>*jua_iSohXrJ-Uds63cBwBlAO0r+0
z%cF$e__(m(=hG2FQ)^r^<00Xm^T0{dL9$IJU@CtOxnaxQ(;pNZx=jaV56-{9S&7EL
z>yZ+wIIk_mP)-8Kmg3BeORHxomdB)Wd0hQ$2bY@J@vWh%Ls&)cChc#A`i^#=rc&>}
zK)Bu7(xs0X0y;@iA`QZ9XC0~N4&&n`jqT&mM|7R-YI1e&?%}tA%*Ex^->R%NtI19q
zJd*{W2uGDv0vzq?+Etz?aA|iNx;rfd0h0c|M8dQ}FCNB9yh@<%P&JT}w1*bjzV4Pz
zLXsH6E#lT2mWmfxP9wC(5U-c>UK^pz2T;11E^mklZg<7l)2BJwIqUE&O{tcBAL}K6
zj4`E^t<?@*4)KCMBzK;I4V!zRy~R7F;#&4RfR|b_6`+44A9+fBa+`&yIF%b(n?Rrv
zJ*qwl%c5BcF6?m3KGlL(+t7HOhiD6j6$aNKi3%icKWi)eSqJVZ?>;$qk6K%ydDA=x
zOrl~r2bC=jiDvFIn={>V+Ba|oG;<>Mx#)N6BCWVSW7Clx4<;E#M6Q33E4%H9Bi&@P
zLgNsjQak@qP)BbxmlTvEkP0EBn#DoDH^U<r+yQZ)Av~YC_sbLo9M;x_{8S+KnN(Ct
zj*!vrMnPX;2yX#fnie3Tw>#h%^~&7i0kNf6%r7M;fu0r9Q5CTK4btZ9ni+UZbN%BQ
z@NP-icxUdH1?6tI;z)jQe6Z#q&#MqEO~w_T(OE$|?qZ-yO`YwjEHX{k4EGQMnlWb(
z(18Dfpb>JZ<VGLAoRcRS-@{u)CU<*La$ykwLS|75!m5KcdIXWYHxxO~3Kks^A3ORY
z!6hYfogSHZ%sv-1xTWi5Lr*#OAfplE8ZRtfTsb0-V^n^i(>V!zR3<C2$adB&=Xz%{
zaUgE0SCKh7m5TWoD<R0x{E<e-k!y)FY|f&!kH4J_77u3f@E?YpY=_Q@F5Du>&t(=w
zw+5uH(?<(;XJ0W!C@l72Jc(ikK}qn{x=A}#TkZ&@q)9T9o8sa*$XO(Ym^o!s^nf=N
zPIMs(UC16t8*AsaG6|3(Lo}n12PC8xT`oy0NL?-){#+qdh0rC<+xu%WN_IN2Ayv5Z
zV&Q7Bni?Ami8?>9Boo+E7?)16)vTWldI59cjra$(cP`P}ph4QL0dXoBjTHO^G$r37
z0ik1f;9gcuP@n}{#4Ab%5|qVwxv)bup~o>SoWUuhC9X_{L4?H#7U65G4agf%ZTQ7|
zmkc}GI!FlxJwqjoHJMwpxDs=<TEc_$)R0$dDaH4`sF+Fw=6#mkNL4!{;*<I<HV$8j
zIC$Fcqk*nqtODmxE*LdZVCZ4Ng<H&t_DB6vFGm9vh4NwOKg*>qC)h8=Ph_`*6TRr+
z$oIeqs9={uDU4;87t7IUjC|IPHYltlN5>c+zHDU(-jK7xVVY((+MA5r#E7`y7?KMW
zL$7wfYviR@T3|9^Ds-bu2^5xvtHK@47n{Iff_0Ut;i%jvax-Dx)dK0H@$Oh$W768b
zOZ=;VKV6dOEjq_D#iEtUh^T=hnE{wvGNOXJUm@m77!K-!9K++0f)9S;i<vGluQC5V
z_6kCtAm!em0t!D*#d_Qjb~4V{`gB%eM}K*t)Xa`Ou&)$KtfNzy!&EQ(I3saAB*=4Y
z6Br9xUO!Gb!Ajc0jO$ABty}nzOdpC9)tRFV+2baj6hX;~IBZ~J*-=*N`l>9On+VyR
zz9oh{FXw4h)_UMgM|oYF+~6@YwRomUT7VY-mfJ)xmEGi*%r&HK1k0^RwZ5=K^^e{{
z<B@XuuwfX>>SaV);^zB}E5Mta;kzvJ9IoWMMS#CC66}o%x#vXDHFJ>A;X5|Z1@+o+
zz;$G+u|^m|%88Sg@JGM0;2J4_7{HE3D5)<}dV(tke5w+EO2r-z<Pw2K3dK_j(3`Os
zvqA-6u}G?n_7-{Szo>VV$Cfj0_|quGU$QXa%Gqh4F)oiG>X->)S@g%C5Yi;}2JjUp
zh3$v8tQJk40iq`|tDX-Wybj%{m8&f|Hg{X!*g0>1Gv3hmfIqy3bIW@h4}og;>t@}5
zad*$}zGc@gm=7}Sg<inDV-qlf#v9{nH=NM~F@ys))oI9}zW9i9W=HdQ{Wq?q$M2!n
zXJBQ$b+T4eOs@~9xSd*Xf3_CN7x&EuF%wymi_>wM)Wszvm60}k_&yYPcAW9P&8tBj
z%Cl+cL2Rgf1H^oXu+XD^z*1(+r)k5g4xzb3iGsrLF|{@;v1Fyup`<Wm7b$yb4ck97
z_2!{adgAm8=59H9K0a`9I|BDPjo_u(Q<ss5SAv&JX>^un23G<*LLHPwu0*C6)vJ1K
zMpJ`*NUQ4m##^tfRP>2UoUna@l6`wqZFz5rw7sDB3$!Wyj%Y#1ezH$N=H~4l2Jv(z
z@7TL&L`Ahe&siAF(HPqWjR+#QIyHaM!$59!^$u#XuHxEWHc-H-MYjG+V{#0hgq?@%
zPQ-+<nFZc+3&z-XIuKlqcf%N=t+w8k%>BmPc_BnD9kpvOw*0SL4HaUug4{nfBY9><
zjYfbhq~%r6UXUy(2_eofY*q8G4c7XF;}$F8&Zk4Gj@}jDzRTSa`a>Te-2z%z)r#JJ
z1SZXp^PSz7Cct^#crGC82cx+t%j|J0vkF@#>G`@8h7415aOT1XCM?veLR;$8B<j46
zv^QH@I1X#mw?V;?1+|{m=yEM)=le5)?QS7x0qtePXMdlu6W$+aNiK?(WYCjffp2rv
zYPz*@4{PU*{Ey%~qql4G2_WfBekgN`LR;hkvx)X9g<#8)Ly>4jz1dKp)<ASaeGKDO
z(V?V9yl0>rML515&kd}9Rj}qtN-jkXjmEpD)hTUg^w`|RSysLf{H*MVTxTl$-!(PW
zC`^ujo0&GsMnjc_CS#5BWU*<s)WZWgIlb`gA0pUfbYFSLccB-_I9tw_1aTo)Sg6<4
zU%fVo`Z_eL-6BNTQ8Q_JmSu#86OALvjf^cgkXF`usK}3H0)wKmjIU1a)!H5V=dUc3
zXC9zowKA(QT?pZe3@M6a)sZ5`*es27)<)YqL_3cg|3d56gOh&qym()Sk=WJ!o?8%q
zy}<7*ORtFE%h8w-2eHgM5V^?B#IXFXIT1vRJ=V;u^i_-S?^BnWl~|YapxW6`uPKeh
z!{1*`Vt!WoErH-<sMpGnb;Km=?%^xmB)-|fdjzLw^OZIziU|RsXS@hD;e6wD9#W6}
zhl4cR|04hCf3A7<{}{Lb+mQX=!qNXHIqE;8MEz&-pV<D>_)q`!r2ld3nTds!?f<?~
zbff)mrRX0f5_;Y*eOnYv_-W%>mKFF~d<o1Ex{)8&Dvz}l3Eu&+?g$&`_cfkcHQ}1H
zWP#c%ISg&ya(QV-L=~l~*E2rP?}2N;ZO^y6=fJwrQtUUb>#nb-ry(^$;jS7peH+7e
zJ>ONZV{XsS$Lndvtc}g@70&V34$*PUE$DMk_Wt{hZ_CHc%gNi#>*<}^O_09U?XI_@
z2jP~t7m16jQQ#x3Yp=`A&%th!BQdWF0TO-THfk#?$FB$1?T)v5@3*<@)AIF}t&NTB
zb#~7e^I?IWsWu!u@$MCxa~!mS^(cT@nvX5|?4sMBtdtR*28WIsZ`(S}$Ybc;x_$ph
zpzlC%{NCXnZ{>hjI}>hlXZUQ$=dEVDr0sT$hj>^3-3@x}_6f50=%Dj+;fLWB+V<oU
ze{heR`;_m4>z$$3f;aum@dw>J?6vakM(b@F?@%h1p81#AFWe{*93hma|NNi?Q_phf
z{Chkc0s-k>_4UP8vb@<)n?=31uTOf*Dp6&Vaf9$VbT~NiD5D&Op7N+<KcNp_%9b?#
z6Fx7sJD#iC0oD)PK_+3MJO6@NV4O_?EP<D=z#lHq%oFwR)Q$-w&2ZT6XcjG!ijxgY
z(sQcA3?E+)J0#8uhj~r}wqn>sj2QQeQjP=@&-rLLCYUukjM9-Rt2H`x(^bLO)2;5^
zuRGiIud`d-i(fC(XWiYi@9W9WSeMrk80GK}+E13==kH)1USD@tSK8-J--m{m0r8QL
zRe0LEhH-^g!+LCqC>LD|Zr$hF0+OsXdS)~4&%W?0INgxmuEy(8@bf{PtpBgQ-*>&&
z5pNH{!1uYG)0%bnDd@M3yEjDOuS%bQ)R;YOCQM~j-_zeE*T%&`y4tJpN?GW)I}*UC
z3%l66yCKHUOWFI}Yc$FF3XT)bSDfL7EeE|=7PJo~u~jM7R!Ejp>SDFInp5g$jMiVy
z@&)NqLk%8FWQ4a00C=E5Bm@T#v<v}G;Cy@?u)N5$(V%*jaL9f@fvg~ROn6*?CD36e
zz;^uM2Rm)S*!y6t#$@oU+(5Um4PoNIbl?NBeT+Z$0AYyp62Y-=!NF6)F9@NBVdu6t
zVYD@d|1wWcjx2zJwl{FoFerb}Eun|xB%JhT9{`v@q@AGvcB5YC3wfj6A^Ew%VZy>C
zVQ$Y3;2m@kSOGSh(P`sX{fmpE6^{wv?b93GC4}37@OWYJ{Bf+l6o||=SvijX{k|u$
z!@eQ-dtw8-5A%%(b3;cW-8(pdv;Az<G66th9bC)Wd=VyXK>!N&j;dk9wnZZY7lR&=
znm%<rHj|6MuuY)%|M5MQLy~km2?ooDgA2x@5k*oE85+}26ox=PJansuD|!wUbCg#L
zIDitB4N=UH5iX2|!?&VDS(DnAZuX^{FY^@_h?})z1^a*$6<^zd$LlH6!74DeNi7AF
z9uUF}3;etvCEYDA`X*HpQv3t8|4hZG8sI`^2AqkYd=2u-d6F*9QAit5DH?}x?Jp@A
zg9^V3%O>N10OAp_p>$q;xCvJTrE5BkX5KmMM97Yt5-L<hx{HnqN2#b+VSzTCS%Inw
z=de9)u3q#_pJQ4SwB+)UMrnpbWMP#~&k|isq>L~?|HorfC@JBX;ZNcTM`}ON5}wnW
zdSHop9{CVTlScZ1r<9=H=^pO>MSeH;q6fZIT2dS*VJN7i5U|91_P_eB3|TS8xMtnR
zWq5(kFd^7A2oPaY7*Hk<M0&{F0U)BU5UVrwZAgx(B(XSdQveAtO9C2CrF}<+_qXD{
zmE<;8B_pPGb7{8cD@B%C1k83dBc28eiP5r)mREVa-8;~(=)zis?DS`<X3?fAs2B#7
zoOn0<a<AYIqS1!(B7F`5^LvbOTOlOM<2OyApb<=h8{i7YYUX>q`ehb=Ty0!bFwI&-
zNO|Tre<l9e;#(#G+ja|%n*hYRk#O#P!FiTMFPR`{B1$zdpO^uxni3;?gYh8(;~^59
zge-nO)KIokh@{*wk_hGbo^WFkL{}IkhT%%+Z9TFT<si5-O5Mis)u2?xPF_t}M2I^K
zgAe9-ix}%AVc{)K$f@Z`&K<9(Vq<!_#v+f#Y>JvIVKxRi6~SHZ3~GwQU}_@^7$gLF
z&w=Ssbn;WMJBfa{njqx;+67wu&f)Ab<EWL3C1wZVDQU>nlV_-{@pky5ym-*d%HGKf
znzo(dHDIDj3**Yp@wIs=WGdb<MMkK~44@(Oc7V8vB9bf&x`0^#$1gfiJwvMJl4_G8
zOYvH+k4FifhG=^>Q9YGRt@Jj|f~fg5#8BtzP3WSG<em0K5vpjzB}ppQ7f+SKta6c*
zc}9D%CY8}4q|)xd19;1m%znvp7`RxfD>2a_;SwPeY_x{IOgc#7UH6V=?xK&w$FfZ?
zSdLNHjhC?C=-5*UoRrp>tYqFij+9N)5ROR`VqVYyI8LAhNyJHzxq`6}f7<fQv;&8;
zGa|_g^ne}94_wHmCwnoARWq5ir1EmXD;A!$$<^j1l6aISQ95(Dk%`<)o2;KB*0d}N
z83mhG7GI;<=shbGE2yIEPo<NT=ZW*Pt|>|b#naK*ABBK(jWOPtE}hO!J@;Wdf-&og
z#TE(1EirRHDp^69$blLiBLv}<EG0QlsIU@$G)`FT#tuuc1z7>M4r38A%>=xs!~-Qq
zB7^G6j91^&l_}!XPX9VT1%sMSg3dWE8CNMHdh-;~Q)bDTjuIbHUBt{wuRMz?mM~&`
zrvZJ(LXw~Poy_CXEH6u~WqE-kZeyUlG@0T`q?p9Z)81m@LLI5O_-tk!cAJ(6$I3cX
zKK%X~_(;iTv{XazX{`~O$q;2P(X-NWV6;82tiv0>CMG!}VAm<HPI@nNddvAgscWoE
z@!HTgd2~)>S!W&HH}?8g*kD?<T4blM%tUB%{4F}MPHF?8(Tw{T#BY+E(!mstN_|R0
zLq)%A1|zl33cD2iu3JoutYD>a=$!Xov(PA=LFzQ%T2##3IPK2vj{UX{S4K*r**Uim
zDn_;T6jVPu2G!!%DPF~}-+QNFsb(UvdqJOhfiz$y7-6A}J&@1PUDo*GI2*X(*qFpP
zI)A$~4Pe86%a!>R)mYWKoyksIj*O9F#4^LIVr~<sSb-!N3xAJVCO1$j&w(n@AkGtf
z)kK!lK#TaUC$!{Nwf+}?Vev>tWOf!?V2%Q?ptefU5I!~PTZcI|6C%m#o(oc=V(6A;
z6CkW1TYe!yC+Upni~5k72~GL1%T}yG+!6k*3U>U~Q=VNIpD9KR?`vYjv;E?9k#2?a
zPh&HSt`Cf0H8T7l=FE*}4kZp!7gp<Dfg_kqJu%YEuTOc%-9$9i9<2AFl>?kf-gQ`T
z3BFRFEsEA#tqVw4oD4mw@}1SJnVe=fIU*mx4aF?{plGo=ruEr~D!riC+Av24Cn>Yd
zTp-y#482%!J^UT9uVPq`8LR=T`S;+gu^FsEg=>Ro!)#`SY|HFy5NKaXUIRN&O<6@f
zP?b_w`_q=YD-vRS<Yh>ZZ&qEjL$ag!y%U539_<tPSveq^a*C>7CwqRTe+D`rs}V-U
z27tKM*!o#WINC76;sOH?mwQz%1g@9u2><0}d{HU?##utmpx!sstN8Ep&R!Jd9;RdA
z#w=C2dMSAcsuqey2S2=pa^e26zpZ9yn2iT$ZE8z5cj*sTjq0bb@{(O50IA9>#%sB_
zXgNVz>fW|mvxwQvXgy<bE-oR{o9T$He7kK@Q$(Ti!CQ4v=ZqvP-Ox}OT?m?Z>E;B(
zoONQ@RYs|`9_#EmB$zi}pv=MST!t3#OzDM&7`=d8i|+stYjdt#=VL5J#gJ}tP981y
z0e@3Lt;HPLU0zdf&(!Jz{HA2pg+5{n(l$A;r1&14sX`~NK~DO2WsRWJdsTTP#=1R8
zTSb_?|AdS3$UE&)XoZeVH*U(_lP?agY+}no|Hy4IW`dki((=#XeS7BGNnk~4xo#Oc
zar0k`xhvG5N@2DMIAzGcRA3q1?2k^6A-`oQ@}3l%&|pi~_RfZNK`Zkd*|G+Zhd#&a
zUbs%+4tfI9evjA5fZJvL2ld%fm<S$gHb%Ur&jMmDy?OTZl0A$h?bW$ENewBhs)kmh
zO6t;vDKxPi9m{=i-YX<}MtJ6$byYQC2Y~9hI!oh;an{T+?{0T(&9G)ul_WVyJ>_|R
znzm|lm~oM%ZaSoLX{q$C!~ql3iSZ71Vyl^X!zfxgvBW>tQUbXtTG+b_*S8_oR-`^D
zG^*Sd!!gmVust-6?NtmTKfi|BUmZF17V;0q2%g}Z;MVhqX{NGyTr{h8NY#`<CD=`Q
z!nwhtttRmfZ4c5)?B}H{gqzukky9rOUX8x9Fq}de9m`6mnsLXrTHr!O(`i6Bl|VDD
z_chc`2i|&}S>-(*95#AZ=eiw20kOH|wP9%2PLX@2EIlLR-J80tZYLc@*dj;wcbBXr
zjJnGa@pU6AWI%P;LXGTR3}FKA7Pcp*c(gDp#ko7~8vgU64ImpBV05(zB|1*NVw8V8
zJ-Uw(?&3b%Oc@(Xx{5LWm`#^EPl8}PxObU^P}<aS+U9fd+AVO#z;@XRya*ltKEljb
z0*z$OYb(#?QbHv_pq53^9;TyR$he4+K|GRVDn9zzywC1EC_577eiSf`JgOG2<GR-V
zMKU!p9&EpG|Mu2mM!4ya7(FVlWThe4>I3Y2zo-3=2kigXRG9xZME{?o^Z(&g|6{_?
z<1_ykFI@5e6Dkbbe;O6$zn=6zp0Jsj>HoXX&Ww&m6!92>FJAiZd>qrD(kxe%zD0WO
zE$Z8h`v6=jf@upPm{zOm`o7;CHz6TW6{DA#SK}J$^sTF$3a-N#T0({1?cFf(p<k3T
zSA)}mTwnQ4S=_6e-<Rp@)A!E7_xFz7oGaN0@$~KYzt@c1WUh{8%g3&|a|d&;esFL;
zpWqa(eBYR&+uzB2l5cM}-#dA`kQCPGV$c=A@r$8&9c&L*PCuIMJ<xb1yL=^eLu!lv
zm@qv)YP!gDUKzeVk$sVIV*&Q}J;)B>B;LILR4`B4UaCd29=&@Nv8Scrux@IHSfo>d
zIj@Vu<FoIiP?6!gl1-_oI&}4_@uHELoXVI1yG5wf?<CJOR+B?_I*WmoH;aacyR#lq
z#`R~>Ttx6cSn$5T$-U5@sqGEGMdt)?38IuyZSPu9Q{zWr49cFCzh^t2dpmnMKu3Ol
zey>wmB*GgL#E=q>0*mmFDIQtk<T``_$#fnr^^Cw(P45xnTqLhs;0gKskcSjstJh{P
zHl~X%pUN>ll6R#gJquwwM=DF>v>YMn$K54m>{Rg^)6c}IW0H2v6*4l#)w~k#K;JNt
zP!tM>3G5_@jo^b+&vI#J#4G<=5H_(+d1HxM5^WQEg+i<%c2acCW}2JBeHcY>i%=aU
zxXl=<A%P05$GeStWI5F|@D-dHuqK=iAk;A(W{-JDYB5VU31=S?jqzh%2X(mz(qYqo
zrmsh*)O*yL(zCA><z{{J`KJc}H)geoKm}<W8PQl%BC;W~qc@#M-4D?j1y?;C$w}e8
z4fnH|wRVy-Gv1%8#fwNJfKHO~qxO6K=PV@5FtyLnDmliNP9Lo7j16Qnz98K3Gd%%|
zXzcB-PX>I4IXK>7511TKo<KbM4DKWgR0CCor{cDd%%EX7Psah-gl|Dwy#moe!V4U?
z5su&v4w|MpNfS<Dx7pZW&IU3~pNX$QH@TnWuTlh%H+|#xkcCN<z!3#l`)EW+bdy4@
zW4%(W=(?#GwgN_hDB^yFVS@xu=4mV>eBF1wyxGOL1Yqn{Cd6~;1tkq_Yzga4bFGso
z5Qjzk`}AH!cAyZPNjC#T$_m2?g=4kT<#4Zs5xo?lpiHa!{ST)_?fY$z!$Ems3k@R8
zkK6OD0o;ofl<=p)g+Nq;uaPLgA5$8jfb=50nqH{WK(bs7wp5)_wjjjeM;~~pEgyYO
z<DPv~sgu}pIz&HssaA|Xy(S@X#$&oeC@r`yYAHp0cvl(FLyh%^+-nKO?>tMLC8+iz
zGDy5EYySLO*i%~_{YXJ%GyC+Yw6Tgv(K+!-qV;-~BK>_yMq2e$lO|CR;(mSJz_3G7
z8z7tl#<=0!009quUP32_HLYAtYV&E0RYo)l<fYB&2sMQnm3|p4O$ONXa!iJeHiw<%
zM-(wxDek9FG;~3oVmW>V+bmONI?>KjxK$Y-6v9<!ja~g>$^v5%T5*+G!EKf5n5Kxl
zyj7A9Pk6r57WW&UtW$Ru7eH=*zwTh_WJGk4=T-OH)A)O@yiQx21C{5}z^{o6bEzSp
z+HZ{_WrhJ`?opj1gEmFO?@0^>U_Oc8J@0WF?4^Ri-&o%QSv~aq;YKwM!3d;LlqfML
zZvHw=1{1>3tV!DD9Nv3cla5;F_I%d;iH!S~S3G1xqfOY#I3y=~SAyr{-S6wv=IS4t
zN!7r4Z;}i5=l#tXm-qW<XiV(&Ug+(8?I_9j?b+d#{O?fQgPWhvGaTQT-xvJv+mFIz
zSl`#p0`G9%9p4uj@6Ulk<@5Vdk;j|M>(0<olINS7_gB~0m2g*u5GTps93Srn*zex?
zozC(Uy8<sMl!V(>oCwG+Vg?k_<Kb1*5=sDNz}f*>$fL%uO*HqlkUXbFoTMfFD^bG|
z&cx21AeNDY^Z_86R3xT(ePRw7`;AtCS^ipMJoQwS66SDBePk80Rz@U;EPLi?Il9?w
zjqx)j+u?@0AoBS|CepP;GhXwVau9ftV?$$gMKfnzWm$iJlMpr!m?5X?NDXUQ!3z@X
zp;UlO0#KLTED8PyyNClPgAzwTilZrhCzZg2_`=7L+pIwp>6$jSC1sp$C!uE61|+F`
zgi)fm_<SROmyE;8Ida?0moHi)3JYw1e1&>-Ou|I(4izZfVH}PmKdmw%v1;4|dgHr}
z#J%RJG;(tJ;mM{Z=b(ugGe@Gd@ALAx@!<#BFxGyx(MaNn>(29ljP3qy5^)9Q)ESbO
z=n`j!KOHIDQyiIxp%u+m_AE#+%1ZT&U=qp!HjKtafDk~tNTjfr{RHcW%P&{;Fw7Jc
zVLl<A#1}r5i+aKV3WIX-vEA0G)>%@c?=xm)YmmH1rzA-<f*a~1wa?H}e5uBX%kgPB
zAS++;W(C8|l`n!VDN`;~F2V_joF8La5z6SRZYc6(uGZIogijhJnGt435x2Cr0VhT(
z>DwS*@+k3=V`@RFv{pFiA9zVFOIEVQ0oH8chLa=TNQs&sAqpFb1NbTG8KWY=ClomH
znJl!P(>z<i*^P-%{j3z`_hqoF6UV=p(I(OoSZTT|IkoTBnVZ7R0ql}T(nUm~I0!%d
zoHA{?ZNm!5^qe=5yTapzgSYcEBqu?csfL^`KFm)Js}HYL2WSBp5sOfP483a@YrVHI
zQSYx2rxjv_8*{uW4Ed+Pu9kT-alk!%(2ed9PXoqC^M4D4wMi1Uor>z1>qJWWRcwIQ
zSV2Nr(Jm{{0zuI)R7IBZA9L=XCX;J9mbgW5Ze&ynyE>&J$i4EXi*Ay5=WIebL}7~}
zZiK>0DEaGg$DU4AYMMY#8a6l5Ru#_%#PeGX9~*}P4#e{rYH@%>kw8gaMPK-P9IIa-
zn*TTA-YG`3FkI6t+uUW_cGWK1wr$(C&0V%_+qP{RQ=Lrr>6tkfC!Leb&C0r8|DUWp
z-}^o99CxZo8^Uo>z{<AdQGmszQe{a{wi`wffMi|~r$-%}`ik^kQT?kkB6dar8gB|k
zK4H2%_JkwPRQo{G9rp}qCfK{BT4s3VzzGr!3jv}IX7y+)rA#GF@nQq(DlpJ=wHyCo
zCu$mT)K%;31F>@|zM*F(kYn)Gq%%$I$+3`QP^M?*{kue;^|bMpQM)5(%Llg|E!hW%
z7g+#EOxA={Gu<B@ZHhlrZG<{oxt5pRo!Lp9y*2)EFiDN=%O=_rdu?jyo<(j2%z%Z2
zltJEon(h&Bl7F=~Xd#fxv8!oY6iXdIUSb;<4MlKdS7*q|#}&iaDV)aQ2iq?!oSaI9
zi0;$@9WHDJq+5KJhUwueQAXYGvsrX@RB(jc1;Kgfa6WgAr$l9jzR$6<P;OG%$kf({
zK;lk=-sB-aDe!UCU|8p9nq2QgNS)Z!SMbxci-mRZ)h@?~qv$R!*MNruWZtPEeu~oQ
zBGoG5CG{dFow*RBtH_JU2)Hsa#F>h`nEz>)XFDEqIi4TJQU`>KoL3?M0UrUYBm1pK
zI#maU=B$jXCF=Q?E!00kJTuFU3gM?+BVRgArmX!lG9nnm-GjW7ffR;d9E%~A>nxJ4
zszDQxU3bNpY@<TTrx}AblJpgLM2M>BeWsJ<q@V4crgedDM*jl4W0Te`0G>KF0o!9^
zB`7g>lOoKV%Q6?N2c7C4E1wReDRZ*O@VvmuQ7ao70Sj6oTL`0-J78?uJoYof>8fNT
z<!l3^P&F?x(J**}4k7Ie7<e!}Hp4wEusB|_Sb>pw_!otX+NA;3zG@tUG?!yps0ZRP
zbigzf?jozNc6Pk=0e^Hk!0ur|k<V~CuLvJ?)A*QpHN}#YLlCss-chE?yd?-ak9K=I
z6=$9J?)bY#y4b@SY^C69pQzOh_LQo`aIMhesf7ISyRKXU&~*@IbBQf@%sU4j(P_`>
z!n2igIvgyW4o$d2E}HZl8?hhgD8mx^s&|%^8%U((rJk21m)^(gYSBlnQx3E@P=GD3
zGz+`P!9-ol6q3+N17TNM=;Ry$5Q7)xY%L=s@O0|jL}4@2B-L;^?aZvI5}DyRMY!*~
z<qbPDhK7h-^WA;<_W&oM;BCGe>|S!D=G_rzD*5UCSWBWPE{`eo*~Dn$VKetaA9LlU
zqA4mHBs*N>gqN~4%_MGT40>%0n|(RA3Zv+Q1kH8!6YkmK2ThCO_%joBbk$>Stq)7#
zdzkxdRVr1fglOi4VQoYRZvkDb4Ck>n2IgD3lGy2#{yia7&B%gmf|$PP$E3@#9h)%F
za10-<uZ-q08&w0u`KjggbJ?XZG4cBP<lI6XWocMT63QbZG5Rq6(IUZ{G&?Ulu1~S3
z?N|e#fh19(sIypf(~BQ`CFZ={FTP|p)eT%Q72lZ+PQ=c(!?su)flrqh!VF;FylHMp
z3y>XoMb*7_;DjyTp2-=3bonFGb0b(@IsgRMhlw#fj?mbqAi1TjYgM%qW_im6iO|sc
zE+8r?UvP%1X8Mg~TMr!_qJ=Xau&DlA>b>f{C#hbZiB9!Z1)cH?(+Oqix;^>}TwWVS
zL3c!`@o#0zxn5z512~bf!39?~w&gevDo}aAxDo}<(gjoqFzV8I5JXilKTPVzltirO
z^$l0wcHK!!`yk;<7!E<aG5V(-9TK+IoS9P4E}Qn)2Jv2><DaDjpPpzMMp8b-V_2Zt
zZoGZ9ExJK2D$uYb!(9fKMLc9cA<$Yx-*#1Y=2)lwtjl$rEUDWJPv;|{9HC_1fQffq
z7x2oK%fkqwS^Q^+N_;zpMT}A7g!+NuJ(dW)Q$ww#D$NYms?sjNr)GN;K)G&*?fw;R
z2??j_8CACG?^CB0Fbb@g@lvNI<yc}JZFdN_?Wv8jPa_~j6E4V>?DIU)W!A=sJSk62
zLEE``7lmdz1@RBn)L{sJ*X%Rc9`y%ETMV2qvDH;od(ZyU-mA6|e+Y(ptTG+>n$nn9
zD2qD0=xk`bx`&#7up$|1HK&#XOSSrj<w_xE(j>B~t}E6h<6F`Lu1ijscRmt7s6uO{
z94@w6v-S`Kyfr6(iZq}A-`wX^mOhlWy#55<3>VcO5S6=CcDcKbKI=p%w@%I2QR#S~
z&v(h}@UO@|GP4lQizhw#i}+lqc^|<)(eA@Gp>$&mLvR;W<RL=-WnY$T<8TE0q;PGy
zd*BUd6$Ph+cLw9vO<tF56KgmhvWk)~VJM1^tybJ526qa)nS#=1WMyL^DR!+^Ly)rn
z<C{5|Urge)q_bovq-DYM#I;8ooXBuU+RSA@y?<cH<v-cjn97NL2OEKyS+^bbYV$tQ
zy4S1ag6&NhGOzhA7D^bMm32OEMvg#2l=7y`YOEYrah-#px3*~(&2zlwv8-x0U&f&>
zqpE-21tiScJhM_<!x_CYB3KJt=^u=dGoqM`gE>}6rw4GusOx%|X`!_;HeMmgTxTQ#
z&XedmuXZ<zC}e(#VX;=Fsw=Hv-D&)0DQ3YcCm_>ooF^k16SZhVWqNk>`k7p`znqVT
z<6_-DVbR0{*LANwwmP<u<HLT}1s(tR!v+L=2$p(qOMw=b9JkpVEgp<q4J6&EYlvm$
zgLX0`7o+_nAsTuLVeUV0u`t*uDaCw>{X0*s6I~8uxn3~oI&EgTn-uksOnncYP$E0Z
zpi~@Ltq22tfUZQXxrK1?QtdMak<+Xt7jEZt;Xw%t`vDKh3+<|k1|dAGG%N^+WV>Q1
z#)O&}bB_VA{XKbs@xsH8O`<(30}fSGeU`G-t0Xf=KYnq@Sjsz9^IeEia?2ey2;O7o
zDofEe__lUP$Cjg-gR3Uq{M#Zxx)$~ITuXAhR0Hk<uFn5796V_vnvT|VmkAvJOeJ=S
zi|ZiA0A`+o<CfEkAHT)tjFF}??SE1caAo0DLQ0fg*@>SlHodkSbObFVap=7n@<rHQ
zVk;D0NiqsZQ<s6hb@?57QvP#L#r(gi-Id(!jOpa`P5;Nk!Pv$L|9?;{1v&*|M_XqH
zLt{s7Zo2=O@%Ud*>VKiA|GmEWKXM=cY24$#7AN^{4Tb!-x$xQki!OXd=KmM68q$`G
zG@O9lhM)AkbwHXYd-C~fXx6gje<=V~-)e-K&>^u)`h%xX{=$*6$x~uH6Wqph)m)`W
zDNf?;v1qH?6DHj2D_<VS-umeK8>;B}`FuaJ?cw`8xkz1jsnPv@C54}-S;p!9xwt@2
z-zI~**IV3&)9DZn8hG(7as4{0QNZ^3(tRHvs5uf<_x)U0q3hv>Ca``d+Pf)mr~N_E
z2#Z8!{Gu7c`s7$QeZ6~q8F=CI{c;fh#imaaws_t${@kTX_VyM&i=Tc+b=^2VEwM-<
zVizQGK{*$MbZ4<#63IR?FmXsaTsSzNW=!y4y3-@8+a%{T&ORmVc!FO5pJ3gp6na|k
zn|I;^T)R_y<VTJK1hRj@wsZK}QhUzvj|e9%mN?gk+<cxhX#Nq}5n2~_nAjxbx8Ku>
zzwPuQDym%W)lA$$s?lN7|7vhlmyMnu?u0d3#00r-b-LAp<c=dF4dNj*w{@U2>nleM
zkK@FDI*l+A6>yBdofEJWgR914sOU`HD=y=0l}C32l~bJ2%Bg4GcCI3YO30*t8Y^;T
zF!M@kLTBEZwbQkH**m;j7vzt>yf|bWY)Bc;aEjw8ddwG%e%3$Fi_TL3gC%@B1cZ-D
zz}hI*6?J7e$%Y=(8gEC)xVmz-Q&nG5-n1dw>bZ4W{;F(8E;SsYj@QG!rElM#tI%zX
z7xoV|uNOW9|N96^Ng=sO30te_7bVq<K8tFRgaPyQvz7ItL{6xeb5aTMfVk5@K3{)G
zK`RowIbgyer43jG_nFvx+-H~|XmFce{&%K`diqRcM`^^AM-`c1BmpnQ!Ne#$EPNo_
zkxKRlgUpYNliEe_D6V_HH~c47w|mSOk3SGGD$)UrWUPISmzXXr4|v0R*;C8;i>7Bk
zQ@CZzr$e1q1<Y$F1>9;PTMFtgcU?q;d~24jSL+WcF)dBXW{?B!TE620pvKIKiP!kv
zCS2tE^qY|kUp30pu>C}frpD=zg@v_F7yWzISrPtCk2a_KzvaXYRPKWWCC1@cwS@Y}
z;?%`03=X(90y&O#h@&Ok1f@ErEdr`KF~>Os+1d`Xp&`tDcU4P+fSD3XlHB-sC8x%{
z`jhMoKlyq>Vcl~A2~%S@TYJbYcl>>)Q}1_sX+3-J`inYy@SI+}S;`OKh&enlvLIHl
zqPKLrj7M;KP6XKx5A0+!@pg6Z25a)Vzu#2~TXf{3BC1CgtS<c=r;z3RO}8Z>r>Ewq
zUFrLo#o!GC+4fW)LnQ=I0Qh4a&S|i!>qmy+dO#<2g;8T8^ING#Uc4z`B>JL3W_@<(
zJP&?~LXsVB_x!F{TA!t?k+p>(P(sTsF}lGb<p=2CLZrG}Hm6wN)(ffEk|tV0Xh9`;
zV!&r(Jrxjzo!H=Q-^P~b_eyNXi+n^lj=NThLRfa5Ukx#E_R$mk#AQa|#7{Ufa6yOK
zGH_ATj>A=4+sX|7=i~vdYjM{=S|>Zt3k3noj%MkFBC-Ml=2gax6!*u*=$H?}JwnoT
zmI@r4rzR~1;}JuNGlxya-29b9;&nOrthA&FRz7lZ{|q?kXvS8%_`xt4pqd~I`YI6%
z=p}y(rgvduIU*NQz%?S&5y8>XDDZkOjRphB(x)QWiMep`>I(7EMd={*sFM|mIB;4d
zOuBDG7eT_WZ;pduyco9*#YZeirDusLR3`a|9i?oC&v>Ii(gZ?6%_w_OLO7Sz^`R2t
z`9_u+`L&8786^l36(PEd_nug+>B*-&Uo*(FGoEt&z>1NOh+hf;jR#aanCQX-u;vBJ
zpz1Uz45u2GD(_@Lxq7Rba#VrjdT7nl5{PBh`rr`JjPYuT-NJR|*%3eNS0$nL+2NAY
zpc#cWK2vc6XL8bU`aG$)%A0U2W-XuB;{si@x8-g_wDS3Z;CzO$WR6nxiJCLl6VaHK
zk-{IB?$o7XdSe2^$($_+#KVrI29=6fEQoo5;wquFI7cpIl4Y+oAFlisg&jCLF^vgc
z1;y_$!vXs6nhI4&$aID1u21isHI_amGuJ9j4~5H=q^1$D6nQV;1z^Ki04-kQ9-5Yr
zV=U5?^;STZnxg<L$3$V;q`-YSp9TI@T;<b~iYdaVXnb0=4rXFa0t%9wMxj!qBP%v5
zEipD*BWirRHbHf*OERZhmk6*X*DS=_m7Ba$YlIWgmCM%ypoFS@xf(Aa5%Nc()7Jwm
z$whi#8xZ503q7PDGAh)uv%8*H?<+ssiEaDzYW8s_mmA%XpsP(a$s?iJ`xc{8C6x+S
z{;g1*a)p=bEVE&dV*2Aj$y(J^uPNw|ee#9?md%YgVWn!61OP2(xeZ$zB-l!NgqA&x
zgaH`UPUvh9+?n`@B~BgLpe7I5AQp=}{uDs~{_VRej>Mv>5J$}4Ko>H{ERi_1WN5}w
zs$*CZY?BGIcDSR<iv;?i_a;Zu>gFdQ*cKetD3ME-RfI#}`L|Lt1YJOkJP7{?;Yq?n
zC1-`{E{4@`Ge>+j&d3A6H;{;pv7qR8aLH3QG@&rMCJ!~HOH5@`n}i4%N~!(?u|*E2
z0QJOkj^DPAqg*1QCE#pD+vU~n47#R5+h8O49)>k|@uQY{r(+;q`5mh$-i%BUD)L_P
zKxN9(rA=K&xjYVqo)-|91aWZQUA?fNDC_{8KUC^M9W29AQ(LVzy)P$mHA1FMr*<~<
z)Wv9RL26hDr6~D$nD4GQ$k|nhSDVO*bHqCzInFRaLKZIR{_gc@-Je-e%(tvZk6|Zj
zpS!i3o`wS1<lMc=>1=$Fk&Trdm>cmVRPmhc5tw8ptPQ+UE_McDnEae{-}V5~V#7ky
zlPt>vAj6PysO7#6Gc6tV*`9i=Fda&-fMdo#aT-kC>?c2@sD@3{1*U=;i&*~GPNNb?
zn>kc#QSPpZ!5bcwCY(YA2VQ?}50QF|6L&FR9tU34Z)Rv2xiUk*eFG(bYpW^G;Zat0
zoYM2cCAj(HjRbf03tHcP5k!!E!#8<8&hH<)FVTbqrmVYm6-QBu&<$vf+fOtzKU2L2
z*d^HGTISfra(TTvl%vXW_vDif;n8D4N9tM-gtPQuaXnRHWTa3sg^eRSDDPIW-iG__
zy84>C3vCC!Nvk_A7F6Z~+W?{#+#f(N3H+t^jWPfpGOzPLF9nO!f9%NZm+Q*2!vSy<
zJe?|9_q5W*Mr}a<4x`bFTmt+vzyIe><bn!_PV5rEWFULp9ECzK9M3LH5v>KY+&2#n
z)VB0Dk8Q)b?j`@2f`(tp+f*OZHL-DhYQc8;swjciBDV_ISwmW6EUQtRQ~d7pHO8EB
zj=XqY8mdH|$v7w0TSs1MXQ`)o`d^t?!i4yfN1POY5hk*?Ma0&#KQhN}-KACR_8;TC
z)z@W!DBk0J4>?3z7Ih?V+b}YNT*5*k`I}pl$WkkzX(y*9P)5;>BkGNOUUBjyK*<v-
zjt1>%Ash*irAVs_1xml{d=*wa{39=O-UwRwPRyvq=8h}pfm94>?e$P2|J#uxYJ8fH
zE8s<x&GnnBJY=4v9M1&tMfY*oZ@Ej_co#Gz#uf|Hn_~^PTxhpjQ9YbfBE>-wM9N4?
z1=%GAXYm#_8Z`{u<@|a2ztLp~{3v*`ETKK{n;BgmR%pwwQ$gFeB=&js!iiaX()(`E
zYp@0#9Et4W&dgop+epK^_yjM0!bM_d!!p())#0o*Rp2?PXl=}F?x-t`2AaNtQe1iT
zk?z_1b5X*;<Hzwv^=)EX>NnE;cOD=b**J@&dD-Ve{Tz#Xx#q=H0YLJMxgN4aY9SeW
zvUZ_mCXWhyoXeGOVAgSwG`WhXG8SkR1`~?V?iDp#_=van%%$}`SU6Rx<z3!o*gu6Q
zkt-YS<R1mCkKr8jsvK-IR;-Gwv6ia|5*~wL4Q7b-S3^ZnEE`mSMMMyFo;KrjP)|A*
zxc{1yTEOzC{fHzWrwo$yqw9-eD@$ihA-Oq57R_74eto>&9rHj^_9Y(_ODL)S$^V42
zVGAmWG$Q6`BiNK0`WeaUWL&~@`Zr<UCSL2$Cwf~ZzZbz+FUSIpMs5KYkrMO}K6w8Y
z!C>lYVb;IYGgf+M`QHo()~tD#YjMcZuqj4g77b?6$bTuk)OZ#+(pKE8DFsvuwd`M2
zNFv#N1v!fv`sUe3W&L5&Dbh*XH<VR9P3PO1i~oi~IOJh!oTvqPa;r2ANku@U%B8xF
z=Tsi%6v|#Uq^N#yX%a2XCT)2cpF`jwh-Sx-cr3rgmDN_EEsgTFfM7?bxu+7m>IIzM
zXDGIerHAc?kK^0n_nTS#oCO;&Umv?!jZA;+V7XzLvA_>rS@5@9E_EuaY$*1g+jpLp
zcD_iQlyDs(!=rZ69ysw~Rmeh?Aash6k6N#CFgrZrCMG4<Fi2)TFR&V9hNvP4H1n5$
z{x@8^OMx+HR<LM5#5X{X1?morpFFX7V_h(rPtNh`qQ|PRJzxH2D01#Xyr}fjWSNHt
z^;&2$I9}s`c@*b+gqvv$=vCr2c}0B&;0FaXoYQW3+H5n5D_T}EB$~MIp@%)cJ*2sf
z!7Vjeh&EZ4z=)Y92apI@=cngN!!1DxuR$n&mYqtjhx$zjUr{7}RT(>!c@L__q`;|K
zb;I^~i%Z^h5$KqbENPZR06KL!D0l}L2BaquvHZJ;WU)8)vWX==H=n~qRD>-ZiCkPE
z+_ab<g1j-Mk4zy?u%m*NniXBbJNGXJwg%nv5ok7+)doG?>w<-v&tcP^Yh*ltE9B9H
zIB_k5sd{>4X^+#QV}u6RG0>@sfV}qLJZLJ%{@JAOqGE}d<4Tv|w>kdla1A23ra3zK
zuRoR%%1C6I1vu+SX2-%=an{rcz};t7N#;Gqu)M^-y8|*AHfq>JQ6hy2&dls+BzCka
z#>+bhwBgNO7jQJf+7_^&Y~rC)d^5y<=l-Nk9sXckuh@%Y@|nhTTzB-JyN&?$3juwt
zni_ow!Y+NivE2a5d5iUCcok}PFZ|$^xKN|)FmlPIsq2YdGH4ns6^>UNGLZ`y4DBFY
zhXhU&7-gmxX!QwOil?HM&<7%^;#1_WGJzZ6e$2`4J>yPMKl;chx#T6OrDVHGI`AvY
z#0rB|Zk6L$kNLLLmQ|gGyN-8t8eJcM{GJGY6hd&^#>@Y_0_R1vN}`7ctfA%Tp>vfI
z>Q|CAQ>C)rpIfg^*@p&t@5E=>ykKc+D*9J++!T6gHz{=?4~M<EvkDN+O2l)bpLJoC
zzZP5=VP_MoPjZ5x1qhZvYINF_Jj;DbS4DJ2N;E#VwQ1+K%sdtIZWpMoYtD?HkqtEB
z!56|v#dlTYS|uc&5J^YO$+B{??aUSa@n=p1nOHcluV<qfaZ0xVWQT9;hil8!Ts7&C
z^X~E~p=iJYT$xgn;?d|Z=;>>)@HcyLs5a@CqA^1DQIs-Qt@CPDCNh0%67v9GNGT<u
z82ckUk++LP7LcNpaR)~o$6PY%>}?PM#9Ak@m6yCc^arH>P_t^x`Hm3rjD$>F<2kuO
zSo2tcC1QCv-l(twG*7Hi!j@}ldJ7M+N;<!d(h)WQwSaXPF4TPbr8y>79)-mu9xk=j
zv|NKx|48m%+0XJMLvl+CW`V~))1GsV>Tatoy%LR`o-9vIK0`mV$n(K`lw&)uSHdKD
zGw$7+D`BRgr19suiNor!vFGW$R_<tnRXD1!HKHo&_U>d4%Hq)k`Jf_Q4I&AC@kjxS
znKLguMVeB~dN#Pm3fh}DgCWVU@?oUHzlNOgDlEPg-G{CLh35*XYBu9Sie!%$B>@&1
zE>Ym4*z#Nb)#8BTaFeRpvJaRVD<6_KSC#>I8)0dPkCX0x+|Nr<3a?sv8uvhkj7Ja&
z)gqFk4kt_F{n9haI~h4tH|JjP!;QVX5{6Vnj?v$q4`vtx1qlBH0@pLQM(B7k2DbB;
z{%9Vo+JtKMm9LGOV*xpwt2px<6FJ5GyRXR>*Ph)uf6QHW@5CAFi7vsYS*)FX5NgP7
zs2f=a2!>&&k)a;oY*X`)uZ-qd9=aUg@|GWRI`i^8$Jy{udGOPrWLyBxRsAUpx95U%
z2}yfZb8m$T);TFkyaZJ2nh|I$$2Q6jFN@*7nV_((%ZwC}HP8fK`>GbN>+sJ8Lt5Hv
z8_H0nZE`7M;1HbtR-+5CWw=y)_~H~(Ihmefk(}BCR$E|j#Ysa+@e9bGJjo)@u+0#!
z0H0bTK3#Cd)U;tqiej50rcs{WWmaEm+`jii&Y1ps>3n!vOrE1=0V&wt`A$O&6ldh_
zqExw67zS`H*!Hc^>#bip%ny;+9!x%5##sfJUXWwzG<7X(DgNM;az!{s5QNd}Y;$n#
zE<R~;<!HpPyh=8BHVM7W#<IugTXA5*7`oi5MfBlPpLB_u@3W3M1IAg7!cBFNgkdHc
zoW4Yqn1J|ev6ddQFkUeCd*#%!o9s>yJ6QU~jYnd1(1?^)K9@toLZC4;NX)MMK>0Fn
zXu(aPrlJJwnzocP%#hX#7ov(u!c?MB-57MRMEwan2LMYa7qm6UI4n7`M?p0f$6YMB
zdCh13p5e+wz7#XT2ahf0FE<eZ_2rn<cy)JswYONcDp^)m@2Jy~irL{PeeHT5ZH|VE
zU$+-G`(tqU3*=%oo+dg6(r7=0DM!_otJ>0L+sDrAjd9y}%SHAJ-yXc!M#lV90J5#f
zr+1+*ZQhR${za>Rc1OYqv2xuXgtAoima}X~(XpZNH*n=)<n1C60L7ms-{vQSIu{(n
zIeUFhBdQPB-Of7*pjJ&E2P^T;;=ULQ-EI`tfgew*TPGs6>^B3~)A7K^xDO9t2uhJ9
zBNrdPs^RF(a!>OTpo?7U>>D-8SbiEx293T!HG9|ah#Sr+Gdm|sXF#8TMeXn;de_sP
zizE|q6iV+>7_Q}(KES_UJ1f4c%RgzAFyxm^y2T(WLesxHy6zyp`$=ckSpCn@@Bg7q
z{6CV3{{eUZ1Ni=LA;te`*!f?G`2U}@;(wcBobA7+7-!~SWBh;a1OB4lSgaAmZo1kZ
zeTReLHSwMfvQ-2%T5;euP{f45!axJb5WIMOafUeG+-jeh+Q<}>$VR^<+Oa()S7qlX
z)!6E{qvw$5-(jW}j1~R2FIV{9z{W<V@0Y!suV;g&z30P8!5?<KbWEMjj;_6LPS)GL
z+Bp~%&Yz#ipV!FlZ*bEASG+Hr(3^e9933BTPo_;zPKk)UAvQWTgHBJL&ex5rslJ`h
zn-;bnuVZp0Q<Riwg)$Rte~-L32d2t`0#B#UFHnIK|GGfqESx{+1{GhDqzjVQzEr~;
zpRAfs2;VSxj;K0}=)UPyLAoQiF~JvUKXczjK^H9*r2Cx6dx<#7!=wg9I-=zz1Oehn
ziyCW>#l&eCpd-b^e@YH=^cKuWlTi2&681e7(Flfuy@-iPR!2$NWFE!c)%DL$Oq+;^
zN!EUQGtlN^fRrP<(1Hq+29^TEE0*KW*SP;JVHm$0n|sm~)ESB*Mr+kuXxX;;?KpVm
zM&X)vSncP#Gixqr?MY*w+^)}OaFtD(*)5?Z6*gki6x%jJt5~o>DM41IEhjjTB}L(q
z_2?x3iRQ{i<wL3_G%uFVhhC<X6dS)efid3I!4OcGj{YrcEGk;;6_382OsSi1eYOhB
znjRa+3NpZA-yqxAjSi3+_5%jG2MFgOVJ0@&g{V~&5djE~@hhMI9ksrC7V#k;?n|MA
zpp_QZ00-?;c3R^tr=byUl0TNpybY$qdO;POkjfBup;{H^BJhEAVBGE!)DcVB+xQv#
zMGOH{*r_*n^?EF6Y-oS8*L#8qq(UgG;_@y3OJkSlYmwwIZO=z!+h}GKpGCVSP=P$^
zGzRh9IcY)l>?hItTsB}(7)A2i*&v2`Krmirht*1kj<9H@S*g1GohnsRm;H}iJ<avV
zW^!0Avt+4!SK~uQqiP5D^^SR&9mD-X6={`Si}h35O+D{I_|lFSGZ-FNC7hbOxTC-8
zWt_Weumr48D{Fz%X|0N-%Z&YjNVEigBYBsF4YgdaI}Xlnt<T?^C9UAT<;?V}8qS`^
zkJkPghF1AY$S0rUlp+(|>Va@zTLUoru9a4PddRBa(a1Loe&DMuoftZ41$cSKSnIo|
zl9#Bsl-ovnVKN;h4a}_2%)Lle)aWLbM68nQc}3J@RJ^J``WUFIq+hUZ0w+U%%^!gp
zYWWj}HCsjDCiNQ4zSwL!xkzT+<EzPRHZe3B3D9l6NP}f8YjPmOIk+r@SOgl?H9+T%
z^GF(P&|bP@_g?2Y;=r&;2K9J7Gm`f3s^#a&?sD7ZLt$fh3Z=O^Tb$jYWpG6d<x1@n
zZh33_g9R<-NstkCuNU$M#S_fK><TbjrlY-}_}kM960nmnWH>@>8-0X>h?bBkYRNwC
z+ntFLdmhy6BoTe@t;SDX&HwI^E+JanPAP7>--|Use|)%64xh~#c%IlAH1;bB3=kiU
z&gsv!Lqq^)oGlPKBPL;!Wi9C(6m&QKIl2>C!fI(r%iAxj1JF||=$Yd)3m_5ql*a1a
zR^0-VU>(Y4#9kMD$zsV7fk{E3*%mg{^n$FPu_To3aDHF#n7W3A&zgld4zZW2e2Q1=
zcX9@x_^soTao+9Ofoj<9b=i+(vdl+zbqn_bMK@Cwt~Q;l0)+c{5yIxK<@Teo+SHfj
z21yqMJR@gc8*S_nH(~fNUuQi=7fx5^?P%=VRsG>GkFoJu%ct$70~Too_^3qpALAe|
zYPr(br3OPu-K&uD&BX_x2E$M)`}6iI93GHzcP$_5Ii~Vgn$e?(g_axhYU}eT&iTt}
zOg|n_;u%pHW4%fgViDON5)oje!pRzYG7D^V!Eukc>~;LsecNKQOQXU*T`3-3t2|^C
zeTI$InE5>EN31NNgl@N2cYWr3H6B`NMm-X4S?P}0lTM+T7A+HjRyVt*oUCLG7J#d%
z>4{VeskM&Y9D0V6pDf<zq*FzeZ5~cZgvws#J%EHvHP<-7s+Pi9U_fSUNX8Sw=!lkl
zY7eDfl_iMIV#dK~g_h|luo#!+o}{f_jL$xhk>|B_?>qtI;7RN@dO%dE2ARiR&Nc~n
zz!fZ6ZzkBtjM`(V;(&(8ZKassUFp-N%!CUDCKK#yu8up9d{J*}u2I>sB*Q<rm0q<}
z#7jcfCqtA30iE8;M1)*gTS*K<eJdV=MkI`Vb#GIVc57a?)F?BK3Zht$xr=qM`1_YZ
ztPktI`(5!41FgD0UJVCTEfRcZ*HE8VZ<~6_t{+jiO$+H`k@RaMHop)`fia};>V^AA
z(4hKgu3k;z0TdBO8)u;(M43?b_RA`tgM8*L*4`-cY;6>*$L=+&NWMNYKw;sN1Xs`w
zTYAQLh?4G$T6cP_`D{-zeZ6r7RpFQG6%EZgXIz>HGJu0$6W~}G?{&6~+I{oP#ltdA
zkp4>-N*Q^3LBWrk3|1C+7$664k4vHW?;zDMTgd4Kx*mEXMO+tri(E(9QImBb9Mtko
zLavw&9Rkgt!FI3u=bm;;k;gDo2$Y6HiSltjgeEJP-a5lI&In*Dy(sk7Jj>^GkvB;h
zRroIHbKx-S9zv+3vl_~g@L#2TEvEKFNdo&6Lsn-HvS6T{lID88Tw4kd)UrYtVP>?x
z?g+l+_v_$rAy%8@XxK&kgHCCIS_9BoLCivWcDTD{O&kIDz-1{d8Yqz|7n8NMq<v$8
z^;nUX`P4{0bmpPDiYI7xU3b*1{T;$A*75i3*jzi~!YE73@<~{Svuetw`J{fMNW5tE
zowL~5;TKmlOfEBdB`m%}lB|1C%C6{mIJUv^IfwmA;$GDJ4>Wly;IYsMaX;(8qM}{!
zBJVoYQD~twy~z4|u9<VXgl1GEBBrl+WBIr(Jf-k0w-sEUI?b-<-t--7Z6AG;WNtNe
z>Z!qic(lfI345=0GBmiC&Q|<!H#@#=RLy2p(BoIoc92XQ>%S8m6nhheqI~jUQke)g
zOS^o?+oj7j@!ATMl@XG7qFolDKerEtLtPUHhE>I=^@k`5A;O|qf_PU7oG7`jmbd$1
z3utizaG@q+8%Eno+!1nyWz?bN+7S%ROq_*DM#EocGHWg-g7u|iS)ekJS1e5A;}(EU
zZz{hI7*sqG)rdZUV_C@gK{rdEwQ*Nt?!1cl2;fN(^_+5VH}>W}leV8iFGNfh1_e!E
zeqn|e`*(~{;k0C8r973vls=-&krYMzR_9BHLz&c6FO@}AqMYC<`6bvRQaR@3AKQ*g
zF3nC%_=#G=P4yJ+_l$Jm28H1u7sq$A_#?`_pJzRpCK|wrk$$T%-48k`=rLTQs#{Jh
z;-li|i57E6Wk>Bch^{hrIt5F{Omm~L=<<b&WXTK^3tf;WSw>4rf}s(lj!9j_G4seM
zOL!XXzZ^k3+U>{G4x+T_TuZ_UQ{wShRFGZnOS~26=nG`#f-BotkYXiV*+;ZzbWINA
zKOK94J&OWsH9dhl>s@toQi4;wsfL9=*ReBLx)Qil#Uk#U-L9@L77sgI9q#bHUQAw|
zC#*X=TN6|8-(7foKJ84I@U}YEy!|CL*VpVDpTV^4!_m16to1D7ql05kqo)E{Nys<*
z|Mn&-RO~fuFr)d+LCd~A^;-`N9;iNfymEz4cMdXrk;cU=W)-dG9R<>VRDkWQUT@Y!
zC;(+mIUxf;A!jA}G~?$C4!c2JdV)w0g>F6k_<o=)$;1bQI8f(;oS)8Y)<0wIf>QeS
zK%$7e@BZv<HAd3F7l?QY?>&zBi+{W>M~dMSdYlYB9G7ri)#N9IV3AA*bTco4j7-sy
zz)tB?=!~d6nJ+ot-?5Auh5-R^4MC{WW$j4To;`EG7hgGKrNXJKIkWGSEZHFMu!TT2
zL(bC({B?oJw99=F=tXKnxd{$oac03<Bzv)3i>(;$iFKRk0oiy!E<)fw?lav+7l66d
zl7RR|zSnNY`iT-aO$c1wSrh?_e9;bw*}M4@y4cCiMPNl;;vxQVux0zBI5BI{OA*3u
zWmmL+fz4&k9e;kGak&}PPn#l(DfpO|qq&t_zpnJHg2Y!=S?MT5_u*Wbl5m7na;jb|
zIC)fE=5Q~T){VN2=BNbQj!8l4$ZtkS>I#>EkO}saB5WQ&;G=pufY*x;Qn5Q1#<uJ{
z@d>!?#nb8E6L<xI2V27mx~K#ksEN^qG0%!{12esKvG>o*8`8L|MD&j^Ye5tF&4<PA
zAt*z<9p-=#x&mm=8b;upwhb~L0+NbD(y7-+CEEfhe|#+vuyE>X8lr>q9RY7v_M81T
z@GTlpfJg36-t&PLJAC9_2_2<1ZP>q{oN0Y>4?}Yhk%t}p0C?M-Pq8+}&*Px!x*40E
zG}_RVp!t<3bNoY}1?%s}K3zl?G=&y*{vxvB-)~6VL97rLz#HaoxWe1!xY~49SZm9u
z-vNP_IZZ<HMm%`mx^!QvB<>ONaZX{lr|y&IVu&vV0bxu~5nbm`cgGeoFvM6iI*wTF
zR4p(gt6j(}G40t{yLJR)@h&2vx$LO0_q!jeAFHL54!t@~(R_R?fQE}k4UdO+Vt`^g
zG%D+XZruSL{IN3=HI&1VMEbf2h_3CNUom@+Fr;6|;Muo(cvv(E8kqRK@<i26d}1Rk
z#Ma~S`s49R*?G|g-G$L$c>63<WHuZ4lLIbj@^F8Z9fj`o{>Gw@(*$v69we*n&kq{k
zmDHQJ-J{s%Vh*1t%Njw!xDB+E`PB?9*8^nke~XqtjH22r43YZ2f8Rrw;t;q%v!EPH
zk^hvTMP-(-P$rV441bazv5@3U2^f~V@Mb2zKwIn-NuCWTIptI}bd_^kgxuq@TmMob
zq5g`>L8<(+JHUY2*0?|o{&*@=t;QrH@o&IQ<Y!i<b30~!uTjjiUyAk+3_)WsG~*8d
zbXKUtQC%D@4X#4YADa0PCY_sJx*_MlTae_?!~#L{Dn9<DomhdNPF|Y%_22!^qJRDQ
zm8wUKk24+pg@+&{e5Zx$5|78NqKpeAv=K2jB9QxZ(Bcauu|>e<w0}0HF685HGFH)R
zH?-c>xNI8PVoq#Kv@1-T^zW?aJYu(sbDU$!`dDt7PCxq-Y6camkI9x4)!DOE%m3}H
zJ1ecg;}GJfs&2I&ct|eT5-0Qt1>n3bI`U5K@Xiv96Qh4;s6&!bQPd?)cUtqMlp+_U
z$kS?{o$`*TB-H=If?{^mEm}7trBLFbK;^Ue4WSeB&9ywoaal(GwmFqIEr7<1f}Fq=
z#X_w4<fUPe#XwC^_Akdqh;D9|2uGr#aO>*#pA<p9*dD!bM9$}1zmyo28V(){M_eUw
zlF^yK2c;>S^U9pKiIrik|3#&#exQ0-(AFSb+{hn}LlUJl%;OnwcG@0R18$mjb^P4E
z0N>mx5^lHU2kG7GKSvu3WddkB!pL>)$hXSm0`(2jXx0`Z6qJRDTJD@`AB#56><((=
zQUXApbpBwSTgUG~%`Y^QM!;T2d95U;iE}9sq=;X~BN`s-37(Fa|4uVsWT(;i01g)n
zoFnw!PrvKtnEtC^+FND^@O7W)z$&6zC*CB&67W9MSMg<j(d1s?ceptHwYY|n?F8zO
zW1Z4<@rD!GU^oPLyeKcga5rb>(J{-XZiTPu;0}tQ=;nu24d5~Cw07jqQIm=nC@}6?
zR^nG)Mx)xIM8mrcxyPliN#NFuJn|}Yea(dtMVwM^rV(HJTgk#E*|amn-a<V2oR<~S
zMaQG75W&r{cftk58nOJS$ZP(RA*zs(J&B8%4vkfBEf!pLMMRe}ljoIT{&IPH$RZVy
zMU66Quuq_D&2BV;s4-iK|3vwUtpCG0gpu`6q(l^}hrZSUQDgB}uGP)fw))<PP09NH
z8XTeq$x65X8XQbE{g1maT6a|b-+g|Ju3A{~E~hMJPu%UQU=*7DClFGq>byHu-xAr%
zo6l!|v<5*VxvSR^d!wx&g#68`4z#xG2p?-#Y+LDDD$K4VcmtieXJ`F{HeUl8CXK<t
zjQw+3@cPgKopm5+{s?xC`2285wjQunS8vBDck_)<FbDLr)4p!ogqBf69L@UsB({Xd
zyKof)i4Y$l_R=7SI0QT~_nL%ZV_2>TbP2)CRHPlWA5kh$kuWrTA=E8ECOQRo9A__Z
zQfSic-wXiw>H;j%-oT5~5ZGG)mZGFvfOU8=CvU`=iQr;^mASX@K1c7G{D;|Z;e&R9
ztMQRySAL*|6SKO+(DYQwPLxY?JhsIRFY-D3Kp;Y`CKcKlUQFh?J-b*mXV!@UbL`_V
zg<HlzlYb1#yEluW#&v23?oAM;>+bv}g`S)T59O5OcP0!2)>8$l4xwLeBiwU39koz0
z^Wovg#H>|d#nZ>5m$`E_U7{A8f)+IpctH>(+bRZyDtrXBSkocBKmrlW8CP=%kHbQX
zPIX%Q1Qd$!97CuoU(j+*?@E=z$A)MKH|Ttb1IF+;FqCxj#0`y<%zT%L8P;%Qh=)qu
z+wN%Fb?Y?T-&Du&&y+KVoU}P74Q_6n*1WpIF72xxC0_g0EftA^Vu&S8$-!daP2W!9
z=AfFaoKymS#jtoZHgxE>mp`n?USa<^==?v_hW`i3{13eOAMo@4PQd>E!!-ZfwBc<3
zHElR68|(i!&T30MX5S4@|KmUMTj_f80SE(88@dJL#nk8rZ<!6EPKFit^#f=s)Lp@3
z!9I054}?vdITbTLIqK$vco$ovJ4m|QL%tO0W`CxOw>0tdeRYxg^LjAx<Mrk6_WSPJ
z6^u^7rmy4kQB$L9<dN$ZPbXr1J#-QG{dLu|koo;+N}==p?R$o-`<>&PbTq=}{dNDr
zwpVlaL`T>2wXs6C@|gbf{WQVHE68nSUl_v-O;YxVg-24sRskW=pNU0OR0|pr*D1j(
zAY;wYB~&%$kPwkcB3=~O&Mh)dE9Tw+DOxQd_V!*OvlEQAe;$mYN|5Z)^hQFlz;*k9
z<>i}vuIU5aiKCl(Hc^~wTZ8F?sx#GcKMty!499z>65c8CM&pawNruQ49C!PgBGA(b
z_Cu#z6ucr$O4^;eqh1)&llcCmO6)ndGep8yigNUUD&CNtqhimLVuCW{>Y=egV|M@e
zK75Q559SKWHhF|x_EG-ve89D^Ex~=#S+(M|e0I9!6*J!{@#;5>5;Z@bF%=*AAVQzu
z;IOb5e<vYwaES&#I2yQFM|`wIO0oCa`bRx6LNiY((#=#`IVrP{Elyciq$hg-Ri%_T
zbVfd{-!@~DPbJxWK{A9Dn7yrEqQ~7wN0mxJA|C5?Vghe9s6*K$vC*o>Xesi1`Ct8F
zV11x2`qT$TTc=00Rey0P6ZA8GBtA1R|K{zO+`(YJMaF%a6vQ15pKmkleT|a*ZZ)~x
zEL)2Wa%Yc(JW5jK@USKcJw?wwBkyq4PZK7a6grUYP}JB=(oRDIc1ALw>Fx9RGNnq$
z9-!1)VSCa|BEQjizqJo|r(*JhRP5|D({2q&9QeSbQ>OUl;_Y7XRr0~|m`s6;PHy)K
z{PyV*3zLr3cBQzz4$}b(gnK}4psAL8Tqcj9aG%v7#*?Mv$ZPi5)8J$F-ku2Oxrl@0
zpYY`g1HiXs`^?N`+rBs@Je58w5wTP;%m_3xGQTPc2m!j=GRm%>njX`FTxYgKU2%o)
zsE*EcnN}6i3T8mGw}~F^*1C!#P}#)KDDwsloyD<6-ayU#jjVk1Axh}Pk#3Ij1V>uR
zwpO!1g~$Y`rCKbK{HX-`w?-2fCzPgY3!{AVr}E(j1y#-;;&%H)-Z6L)0q-AeJwkAj
zcEN34|0kRB!{s0`Cb|-|m9wk@vg_lTGs7-}o-7Th1X3NDU%&7ftKbz08J;BuoAFFr
zmd2ZOc0GCa_oJS?+sf`d2#oU3UHzr>i9r*}L}BL45o@&m1SSTx3GBOqS*z~G$#U->
zkshm##B`NAVtjHJDs=5*_?vhs9mCO~T49G!qm2m40w3~lQuO>*cq9_c>hG@MuZSwO
z{gxZ|K+RXxsmy6TINGD+zwW|UfEAqzNJmQ<Xk-^u5Nc-cdiFIe*H7TmPF`2EX*zEl
zBcA^79=+Y!FK%{GF4e4KO$lUH#jG}pi)G5u+qBKP?E74Rci89yg{jO<c$2&#;t^vC
zsUb@nQW4@Cz>rIZbW^>QqIb{l82W9~7{oCJcp=J9SXhZ~4#RL<km@-k|4uyYNx%ec
z$qZ>H+<N9*4dG6X4)eMrDS7$tz@Y7qV#iMyT*B_xZh|ISBW&zPJrfIjEEsskqt(-}
zqef^Jj<Lk6(^*>bdjT7NIq78t(wGac8oH?mC=7(?g27Y`IR-2GnX^5qT9QOaJTE)l
zuvPy2xf%S<l&grwm<S}e=jix@iXXfy+>B;JaD&@+5ns_uT<S^oS|Q)=8#v2nh6;D9
z?j-lkmOr-?w=IS_Xpi|lZ3&MNEUWsX<Mi&^;b_7;bfC1#nH2>I>mF(>XV)XlT`L@D
z8_^xP$gGO}<%!q%G)#?)C_G7CHbEpXMgt<U1~p(O5sByegM!ZUsmhuK_Rzkl_Ut7j
z&$oLjMz^#G941>Xy^*=*bj4I9J$xvC(pSGPVNzyy^`}S%ECNRf+Q9j~7(%mu-VkPy
zE1aDCA*44zqDvJbHH@*{&F}WRGF#I{mKn1#_i)~FW9t-1lls(*w50}Me%E6=`%>9&
z)o8f$T}GU^b0DPn6+s0g#v>pe<AVqzGEi4&C#lh*nScV2-%?N%uJkCAn+|j^DKXm&
z-4)Q^=edjg0Qh&>=i7%fxI6wq7GK7NRU<bXE#7IVPH`Y9#nf1?eX_GmHqc&`zt`Ce
zsmP`*`(G-T^_F!vPHdwVgqtR5ahJZ&AeNKE(lqETfe0#QzDGS2fUO}f3>uo_K=i2|
zYARiHO(20ec|%kiMJ@maBr8J{z{d62Ky9I&9=aK|pu*LWOVKIeVLYn>GOSKx#N6Rb
z^|R{p9`(pHf&M7H6kbTN*O(37<n`8q3{bXeJO*YbFf#Itp)%rYqnIkO0OAD6U=`k_
z%<J-|qasE9eYg&xOIK)S{zF&>%y3`hOhH6J?FZ`IxnY0yJ9DUUl4V8q<`~rr<^Z*O
z6bB7aPQph{^H?8HRK!EhNKbi;P-8V(7Y2!Xso;l*EY)~I+uPiI&UmTZ8$<CXx6pUi
zWWJe_JAR0@?4lX!Gr4Oe)F(_9Vn7p+(=JSu+uKB;f*S@=?q@_V_A9ekfDEBb#Wcc_
zTLXEFs<NAK4;V{sLlnc_IR)o44#VfBscQ;Z#1BS@$g-Q%xUFRAX_ueO&&{AuK8w!W
zhXXb%`-YHa&PSIO1mA<?lo?Hi7?qT%XpVwx2f33*V?n1#B*w}v@h#Wt3k8iTk_(&T
zGFMa6@XIR=T{Ul?SPL;do2Ak|6!;c3)buia*~l1h<YVsF$aghbEE`S3r@UK*qRMk_
znX5PwvR#P+Pex`-ZU4<_FFq#3Y8;BSe5>dzKbd&~wTYPe+e#4hqjXgz&*UR_PDr0X
zO_KEUJ^ZcV_R-)77{>BKNyBZq4+kCNx1Gkg_g9<BJ}f!?JHM}N&d}C)tf!rI6_NlE
z&~D_Ron_C4NH8c$eUa^~F7emx8D=_8j=pGmFDiospCgb7zhZziW_bv+ttGRBBX9vO
zWf^cZYg0gmOO4YT*Yc1WaO^J1r1lXro<E6jmpQQLMUOmZ;EsPmAdnB#zBahBUJf!?
ze}ai!C)`i}n28-%0U>0WY?2}@s+lkFC|M!1q==y6U6s;+J2vwqRXJ9}urx<)#VYhB
z4wh#p_FKA{`6#G63ALYIV{ZOR8-K%&&WyRh`Q0MqeiX_i{ZpDDv$;(uu1;shz{;eJ
zspoTCvj+W?h+NrSQM9*AS?VT;o{*lh)yOY<lTxkORRjAXi0oBj+s%fKq-v3-3q@pR
zeoz`mE(2<H;zh?;CNScMBAbeY85j1@Lak0|-Vkq)g+|4!4qi`Hfo$>i^d`TBk)~hY
zY=R{M)tL@kj!+u0)XP4snZPsZZ9Dq6{k<*yEH=)0>@9aa*$((B;Z)^OgjXxLr&Ec9
zTxOOqf*)QG&arS}vA~NZQH!##87ZVMBBVr&)c=%9LkFME`L9k{pW3MGWinO!?AB9{
zv!dEe6(zC=?UnvGWdoQ*Z2<w5Hp57z1`{7cY6W2d+u!|*Ze<}@!E1ohD^8XE0TPX>
z=Bzb&hT;2!Mi=i2?rpaxx|+nVzDa0S0k&E}Y@@RRubo{68TDZmFa~3c4-MK<<?E)X
zGpu%W!?O{sr9{`F(`;{dSq^4<Z@fld4prb}zAlkdM&XR#h{v`&KO}?DqGfFo+qKox
zF-hA^r9Z(Hh!G8>#-tmtDgJ>-b>xEStd4*yq=$BtPyI6@<N9K|S|;>`o0CqbPkoHd
zgQ(|dIsxkHZpN|uG>o}|O-}JpCP6Y#R=T3wwwSM1Du-gB1n$<+n(TDd<4DA`91s2R
zaSa@hN(qF_skYDZ)-5i;%*m~spF8x)sI*zqH7pGq2hlki{`5I^n>pw{n9Lq5G{Q-s
za~-P*co>s(WD675->eyZ_lo^JX_KT3mCS<7&wu<xsitYKV*%lk$U7#1K2~>%6WIv-
zYFbsw)(x%TI4KArZWlKE9$X-lgZX5=o0m24wqtTA3<kUw|5o!iydEe@Odj6gHHhm(
zRfA4J%|MCNy|Fj4+i>lubB)U3gJO@KG3`!4=(KzawRtu-Gri@zePg}Sy$|u6y>T+p
zwQewHeTx~;r&Pr8K2SBMWRzZ}ZE+}^u?SmpuUl)QNF=C<@^j+ZzH*4k{*YQ~OmZv}
zbMRLvTo?$`n*r(*{$AKMG1xXk3-!)3S4StU$un0=zzqjDOJY-9Tsv;l_pLSQ1<lb+
zAJ@BE(guf4Q9oR+5jrLW{#mwk7GVE0p!>>{hAAu685Sw@*GSO3IgQ6p(T>Z?iUSi0
zjUKC5>z4#Mg&29JTq?1uCM4D~z{md8&M_onSdvGMd=YEfu^RbjO>fQR@l=lR!pLl+
zd!sZYm|^%<#vFKRIiw4HYa73f;zN^9gN<tb$I?%-s5{gSK|pPKVr$z!sIq{?3XN*0
z7J!lS7anS3pg>em4P}*GWX^N&%fr>8Z0t(hC>43gd&iYx(`t|0S4|(3F3jhS*W@#<
z?Jv+HNrYs65YRwlhV!3Q{J*CTpE{T)d|HpMmlAYh#z(1**;}i#8G>9?(3+sdf%q*z
zcRUgx&EGdBiOh^ocpSMghwy03na6EvIUk*jE#c&aXs$x@-~tH*(?e!_iTSS-VX8&}
z6=|L{h9Y2p+nz=aaT?2WKB;SpGJQ#;zL>^jz?xf<-lMdbE`hi9JbFkkFG0l^>2J>m
z2dLR~WJ~c7<zHZxLgb)d%@uiaqdm!A=(Jj3=M2YL0*0F{cQH7@7}OrvzRjDVP5wWk
zF@7O7T;eMw&fs2bJEWBGwCf(uml_ZuD%IMJ*xt{Er><Zo$2%(NtbWQCEa!{1(x!3I
zrFE~CyoqQ-)pze`L^&ow&312}*FX|hOL<LQ03r6?@ZEu&IQE4cq`dur7XWiP^rZr;
zJCFxuBRALnCP~Uunrd_O1Ma{+E|W%(U$KgcOz0uQ!N}D00k0O{2K}ON<VT#hPZ$Jl
zzn*{Zp!^*8dxX8VzzgZNu;K75do_4OBnw!0aOzaB;2{tOVM(dCvW!3FPjh>;N5T(!
zd)9S3Z|0Y`<ai^9xWS-Uk;jJQakJmpQGf8G+2IW|)9&=w{TBv(HYGK{M3>`M0-Nxn
z>ok)d+tu#$Rs7dWW+LYb=a%O@N7WJYaY8;v2Ph5LD`M<<Te3*q$>Q0LtjOyAFXG-Y
zy3%f27mbsOU9oN3wmD<lX2rHy72CFL+cqjrD#^|Ft+Vc0d*6NAIj5b|+Wt3(`skzg
zIcIy{(R+U$b^?3p-C^Vn-?ZSvAb>zo$U7NL@u2j?0%Gw9C!H>Y0PhTzMQlx16J<DO
zr|$jZlUd0qiRZ@eTwmnI$tzi9`5~=ykQ3<u)awc@k<|G1=ycGEit%+FGgaWB%yw-N
zGRe~uv)hQ)AwWWbyVLU4j*IU6-qipW5Sxf?E_{~DG`xTd$$1S~5^*0E1%L`m4ginU
zJ###$xsg%TdVkPHhRqHsAU!+Uc)n1}=2G$#b4R-M%K9FAT|}BMQotN4Y}Ro7;Wds-
z8OwQ`SFz$N&oo-6f(DM^cy`6BZDUC{2Uu+EQeGWIXSSI~&e><8-7~}`hXv^TyY*u&
zW@I6(4H|#TFZm7_BGjEfd_;BBk6UPVOQliDn=gfCn09b-ZS*V`Gwo8fJ&@x;CagF^
z$hNEU9lNyUaTJWbbsfEfto;VxYbaIV`2paa6}sxsXVOdLFX1KTzcn^_`_0oR$<&dT
zlAobd?jrjtcX&5c`p25SL4v2nQ?FWH&@PlGx|M+S#1-0BLG7Lcu{YAPDfHR6q^T9n
zpE0j>TIUXGb<Y$Hw>UCYh|<OZzhXND)mHAP;kWYcH|p(LPN|bIWJBKE@tG;lhk_mg
ztRO{TF^ZSRM#9v(T!6`gHb{d-eAhav4YY0FCIIRbK<M)bxe&v$DPaacw2^>@m6@4n
zQs_azPS~&lf2w>u_%~j$(#_xMV*7HTKu#@Re+G(V7za)@bX%64P<IVqFC%L6P>}Il
zmO33i08+A4^R1nW`7&4x+^>f{#c-(3&<S2|+7coqtXeffkcRk!{sy|KJ`N-J$2fKn
z3z-~`K;GqVwW{4R^P7?<id@Uc>17Mgd2D{Hd3ce$lBJCh$MG6Itoqkj7IZ?Dn^qg^
zrL>?XBEJe+m`yHO%F1QbE1E78%I7P!<z_PccypQpSWOEGLV5TEBe4mJ;g<(7M<_Qt
zC;%NgW5`HG2vg%uhMHi`BKgyi%yC9Eu(O2K2jXo>4t?gRGSz0sKS>#g!##y(_mVuQ
zaCE<6;u&Wj=H=zE$GIpXjZ=<@8f4ne5(6U%{%Ma9HB^s#&8He13kG%7hwi!*;ydKF
zGx9SgA0Z#{e}EN(8Cg8WCxi7;X+YFJR5+;+h~LYm#v~NHcYvUUNVTY~B!uE<)TP0l
z5D8aA5bekd?M&YfnOWean;itdVB5&nF?WK5#u_V*<ZKldyUZZE%(%zha~VM8#i`qL
z%PsciPxpGIr0(%9e2ie7%BcuNrVl``mpw$~AU$Z)Apc54V?%4DlUwgMdcYc8_sUri
zoP3-9y_rUr^NNt6#0W}4byEWZ4W012>u$?dW@x6y)LfY16%}o_*lMH7MNEQeu#wbJ
zj7;FCz<!?DUFB^ii6o=j)=Xxx<n1HMtri1hxnW1tl(kfRgF7g}>6VwHPF4iwS}CR{
z=pC=(c*TZX?IF+`N7Vs522V+=+m;oHfxaTgPGG3T=69li;yh$Z(CEo)>fWlXacB;(
zSJW2*;f*XVaRDF>p`XMANh5qKn8-q;MEW82(qS$bqdAyD6_IWVMRg}xciUAi=Hv<I
zhHQt<e%#*B<HF|RGY#$@c&}M;-Xjxtk74X-9$TgPcYE2y7Z1C5b#3&Lg<y_46Fm5^
zA#(D&FKN0&7L0ddunLY6cMwMYP3Ri?zR-5&76v~bC_8eKIT92*D4h=(7JNcjD;xcU
z;B>7rWXSt$bZxeQ_K`q?idh`We>yQXl9$Mdh8}q4{DEX=1ns9nHG$kcQ!D`4wUB$E
z9rh!KQV+i5iJE9#N6MCgBp>BH#cQMUF&P6<i_5M9hHDDU+<W~<lG|-eYDdLY^E0?|
zR*5VNVV{1t6^bU^W4={2B3V2Htwp%t)H$3v(E+1iUdJJVcPm|QC+og}lwzgPfXkM#
zK@zpQXpvT4M4a`bp*7(#YEM!c`ZVx6jq0kPe0|DoE~sEskKY$p`Sf8=-H%cA^0<*J
zhpKQXVinazSuNTXF|$4wb>4Xhqle>#ZcHn-r?!E4MNe9r18{2aV{e|r9-;p_)s|;g
zr8^^^sk6mHF&qnAsr|YDy>HLKy+Ak0ZB_xkUjLo`BHERZGl3@-hsrs4qECHdD9ejp
z?hj&)R!jldAf|w0u_sv`<cgbyGUpJjj&uPtSs`hqIYLT8Itw#j(x;8BQ#kg4w{ovN
zP2}k3E@8+wzfGYz)Q$goxo=;EkhUXqgOLepskEr=e>7PbFBQjax`tTstxIV8;@Up<
z0P6YPu0o;Uat&I6UHJ$8c-!FN5Q?bVh3CiY`(#-{;e|&~-m=`r>I(ku3FZ&odgbTT
znMh6N@wPPlekhU}eaClnvM0Xz1OKfTXVnBOUCJR~%I$O1veWQ&dz(`)Z!28|n=8d;
z{gwD(-c(X|aVV&y3iTda!2&b^%!59|&oJs#PWeR~%6&RN*I0k|4*83|wSl0nc|lsY
z-A324NfXIzCs*zs4en@Jg4Edi-&U_0i7k88-JidQA=wQiQ375=Rzk$N=_|g0$Ay6r
zPL17=?2>v^p+My<WXhI`@oWbqw6a1rs*$R)Z-teP+W6x~;oe()Tky3sysdgffuw@M
zG#OJ(TKe>`?%${`jln+uMR0YLQQ9$O(w~0?DBBH(q-adTEf1-IF)3QhUf;YQ-bgh+
zv1!&awwqGfqf1q58om~h65yxj%=K&_MRc~%ec-669E7&?$ak-7uY*?^@$7qFIjBmV
zX9#rru7e%AVxlstLB2|DxE{;V%t-C{qF)`4{IkT2`KtmK<?)rNt9k#|*jL5;`JF8!
zPr5l$%FhA(BKjkNfi_heBeq$)WkZQQw=GBcb5Lg|fD@7z25s47N%H2(hNq4ILf6HG
z7wgT~bWs|$fxz9v-u<&|g+Wt)#{?FZRlc@WoFm4W7I!~fd;zAXqHM9nfMliC&%R+7
zSR0e~CFpZ67`oKnsIG`O2Qs5?GY_|EeVyHMcb4bbnb$g*%Nu;d>hPUY-cQ03sT+&o
z&rjsJ0zM)<Ga!XOEQ+VaX1^uqezCzn)b7=XSvvV_d8U_dJz!g{sG!okLuKk7LS7WK
zC;tIh%5K@eo+FKqKmjIBRn7I0PF*yI(21o){G?{i_e4Uag1BdSeu4Yc`v;wLIkJxb
zvBh|kb7%1wd|p5T<~*3(4VwEdu#$mpH4nd=yH7*=g%=s<G+Tz1$$D}2_*<iVGby&!
z>|`!V04bGv@9-_o<E0m=85kw6P%<Qbj)mumvVS&fGf%^2C#-WjRAx;(`f;FAp_UBk
z8cm1aU-xJQGVO9G9<J#)@W{v(%7Fe*JAw&4d1HNR`ouFwGi{S#Yc*oAhE?@a=JBL<
zE*({Fe(u;`#6Zm$_Mlam+>#HVBmhGjfc{h=(XQ#KnMDP;_C(&Fsf%tDwL+Ek+Ez5U
z)}s&{SYI}0mLMzpMIY9o`)Y>7e3@!%`@o!Ou78nwZZwD^aZ2V^|Nb=O8*k7*h`$Fj
zHx(42a%HkE%=g*85(|B0M+(`FAapjjWQeCd*10`*M3k&%>cXaUNyWuR#*#;R4hg4<
zQ@K>!HeN}I(W7IF&R)M4Dt=2TEfgL?Ncpaj?ou%#-ngnbeQNMwq6kvi`~qnRA6R91
z$lW+<?w05)hJSlbbm`cf@etzGPf^brH9HSRX$q9Pyiy*bfmTd5CuprSSH2g701=3r
zh+d$(BP>m{!~faCaVbdtnFiR>eR}6Fo6}zWFQa-K|C<~}|3t3&R|M~Wv3!A<fblPo
z9Hswm*kz9YYs5x>OZuO~F0(N)vi_$+2HtU79PtD<;MY*TiQF&L{kv>UP+H)o72cjL
zbSr)M{6W7s()E>Eio^!DKTjy}v1JukQGikmRVMv#YgKjQ4tz|^m-BP=Jd|fW`bD`5
zoIj^tjb49lUKjPc*L^(S&u-q&)jxfexGA{}T(^ICzf1Kw8IrrnIolq)`0;mtg5$l8
z|B$YIyZyG+^2Yd1byxkv<J}TcKPs4f`_qQLz5H|4=kr&!9`5eu=fmq_wO$L<JV0cd
z(yYuxWC!VB`?1}`-WoI}^obf|3Y$<)SK`#R>H+&%3ySh;=Nj*W52|z_I#fKUOS2(k
zMk89q=Q~a#mK`iH#U+=dK!VgZlMoYu0*g`#3gv#=PqDKaSS4x6g5+$%xV<EK3)x~+
zQ65U~6xnb5_;v*Y)2~vxE~pBnH%_3xaCd)X`lc3Rzk|GVYS<L-@@v#7Ro%TtrqC=#
zdnB^Zd_+?>l<3?VIrJ6V(tJF#RbisTc!s+7Dl2Vki+8|3Phw+k$92&X`)NIM4pi?)
z=AVr{QzdSrrp^o(dspt9QnKM;nQ+UWVs+f2enWmCVTSi>nu-h>Tx<ZYYOV8DM3h1B
zO{eiD1;{+2N$6ws0ZoXYZe$KjjXXrz1+s?@JcqS+&NjjhU+-J(#TLy_cT;@>!?4!s
zw5-{VKR?C&M!-iC^K6vDl74V&<GU6UknA@mtoue-zBGdQY<on<062Ik{i7j>iNw9R
zuyQ_dD9A$O<)fRb^pd|0eE7SXYy6#%KYqLHyl`m&PlX;kxFu=5z$us@^fw=$unlbq
z7%5tX?-bYSLlV$$F0ONJGsyyu_pFDqJ7x*SueML|dR*7mG$STTDHkT7s?ZT*^#;wS
zPP12)2|K?szUfhN5LlE}UX7S~Ltlm}(nxGxKVlstN)e<w(N3umT%H=I0_j)2q5#3U
z*@;sQj#!f~=DtY1IWR)7E%@TCdiDtj*${g5o$Ebd_##czME%C3*j(b39WD17f;j6(
z_qXJ7e907nx6*hn*qANV7`|bk?TPJHK4+gu@KvPmiFVXTXo@Y?mvTafC=kmil-af2
zsLw(-&ng&3!9=&TPa594Cno(TSn`1g5QtrBDF<93Ers5A%W0d?zU{y3jm$x1#sd^v
ze5F7@J||4uqh_*az?jt<b&Yi|y|-WP8ZW9CBbTU5XCoLR9}$zV=ONm}ur?vUCivBg
z>cG^J?K5axhf6>L*+?Wy2Y$$)*4^OL=d3e6V&R!Jl;>TG$QzOe9w%y&`j9_B&?whk
z_rWUFX})4qa+Wk2(fy!+lukHE(AXC`)FGz<k7Q?10ap0|L0`^c&|3Ax?9Mn8QkI&%
zDWc{zUy7-zqXt1aWLgV5KBUA-0?a#kzGkA%CTH4>$B)boN|&VyRmm+6{f9+SREx^K
zmZ;q!QyN9J4<L%Df><P-lu6u-la5M^7cJ#`D{WOqzmT!l%@C-y{u^u_T)c0uktg?h
z0!KG1r8qQ+Z(?^)(-#e66|qL+yc$tRD#6!?<40y*%DzS})tJ8C1(lYm7*{YOZEH<6
z12gBTmbqnyFK{#C1;mCTKy+A2LGYmBjwX5X&|p)d4tZ0i6jMgZ$B^K#fG8UCv(#89
zk8U|eq5hcio03jn|1Xm&p)52crkh$kjb+T2KLJlIiHy{Hzn_WtSL@IrwA=IsnSvvc
z(Xn6_(B@C2B_M4u%T4+MdN&1rS3+s*=RSNggzak>aZn#FoVv?&Uk|)yf;nw1TOQ1p
z)d5W{LxYj_R<IlQ-j0Gi>snD%aG2z(XQQ*ckTv4ltGrH-XW7v>*bWP=T$y*(U72Z(
z)S`k%dWf&Dm3U*1lso6aM5HVSH<gDc*E1FnP>x`BdmvpNoV5{ll4+ui+Y;n!xMItY
z5%UK2b%oj#@CQ|GOFVnw?g!HbbzgH|u134mTNBC9m{=43Da>kVyP<xD+P9x$l);7?
ztD360^pSBmMRZZywON(#-^Acm`>p&bT91WDtd+`_kO-vy`a2E1-!!<)&@m8Os1bWV
zT7)qCrr<YJwR~0$f%UqCVzgrIPQ8B~77Ev<-CiMVj**%1Ym5D73Ea4wnys*4u^Huv
z`B@Z98nd<G8Eo4&t)c!t?In=YY=2kDc4hWJgy#2YN`lUFmiCZFCk;$1tMWTo<l2~}
zs`^K;p(9Liz0D8{HBD>2y`?iU#>TYpt-*%m3v5>qE|k(AqgSq4$A9pIw@x|N&CFd~
z;N_Qmd=oEE%BH6`W!4NQR^rU3&dHqRcS+8h^43Bl8r9RaD6}b|#u~sAEhD_wDgv*A
z$Va+LAVCf$&Npw&R(Si~Izm}sTBt$EAT=PIJjq>ByWVcwQwbG~Az9e9iEeMt)-Hau
z|9+Ey?teR`rhMer(>Z_dFWyvL+1`uY)=7VFf1h7$T;tb!czYW*bN|@B(R1bBYsRZ8
z*xLTwAL|SC?T)PWc59qiYHWTGouFUCpfM26<%k1RiaYGi_Ucr8|1_f2$3(_B6UKNO
zlT-AH5Q^Zlpr<fh-5#M;sy(x%!p&p>V{-!;LT{>7(R(m0<Z6jpB3Bt=A!lszMKSWx
z6^!y<HH_p)MT;7I50YIcBv?!>K$HO|7|#bcjaWRGeT2A#$>(YEGw~qtdyi?_{g4`a
z-@oDoM1>Y3sC#~b`gZikeny!d^5@y~>izoB*5>+#pzr7UJWQ`Xcg4ToZyxp$w(a?P
zGhuGo&^v?|p<+`7?9=b54TEg6z@}CJcQL4Tpcd7c$mU_6>E>;M!Rxza9Usj$mD`%&
zRE#z!W+VyH>~Tp`b_eJPxu`=kugK4}(Qgdl^A;2R<0tjKKXCI`Z#VhjA8_ZVj~|L|
zpE1)PfIg^&x$U`T2J@X*aF&WLa>_;13{`3fwWSPGjXL=GwVt?@c;Rl{*7!eY_=aKV
zaAuwhhtF^x-}$?KgqUBGKX-t6KE?J-9=oY`OgQOOOGY%N7r)7!W_Sod$US0)({F|O
z*yw*kI)8p^MI^R!j-1`+^@jM$Q+@D-aOJt=%jJ%m@ZRzPvOBS|8^N#-m9t7<vEic(
zec!X9Ob^%y+d-x;uCe$QEsDK!-BbEDj2riMmoDfH=KB2Je_g^e(rJ#)PgeB$PJE;)
zKRt`3OF`Tm&VtVEPnpozO0N2SY5!+KNk6t@HJtsy7C-T{*i|mby9!60FkFZHMg;or
z`MARm2A;bcq`Up;jv*vRv<NlXrt~gx-^xL@T!lh*V=Zg~DusoDO@7GY2PaBReJo(I
z+i(ZQB?HWw*0fQJL<D{Y5SMpYaHuQDP^>QGCs`<SWQnUgXdv$c$+T<y5XAeJV`}XE
zRGbY4M_#sIMU7_6od-?pzA+%X(Gg>`2V$V61-pqEW$>F1{H&}QMRch9^(=eC!IORt
zR&1Y&JZPJ=Sp1*yXNs>z3h_}pzc@zi>|rAPKCf`e3-H#bC}fb@PZIGtYGEA6pay4~
z>@k}S?Tux+ZR|yWqBws<+4)KsSh`lk1s=o>B{5=wOr@!UF!D%7u&FobGCne{RU*DA
z6qCeJ%lerWHXEq3|Kbkw;rAG)$7iMzzZ!4dPb^{ID<V$_W!5bffB#d%vdGWx9ZLWB
zaLYp~de8Qmtik-MXvy}vyFA9$6Dxdn`@H+XOM=G_r#Xr*tg|zJvx>q2(f;G}gDUm%
z=g++-{9gp!9-)@w*_KijLy7~Ice2l{fn>AO5VGYhXKWKn7H?}A8|j2G!9mBN-M>=L
z@}fU@N)O)SpU1~`@f7Y!G&6CQIyD(F<~xZ486N|1fnoD%w*9`v{!&<X6)rsHTfR0n
zeI_>Z4XAgQI9T_FB0>*XqRKu4s_r<M)O2A3`x)7Ca;22LZeh)C-8!voF~N&^o$8w^
z9zR@QtY<lV9HN$dK!ISP^%hefyzR1t7^%BPR)p=hw*gzp+r*?dHxz0@!5S*JH<U)G
zU&%lhC~}4|@bXP)NCOU%OEG7D>BJ!mNhC%EE04*AdG(%$Tg@Y50yUwvGjAe*6E2iA
zl(|kZYLH=sCJI-5_-<A9r~=IhgH46(6s?o8cc-?M5GKc@L{GJGOg7~9@PviF8pmOJ
zJSp*8NRxBfWE2gmk)0MROfimfwp?Vyc8xTNzobgC#afZK0>R*|(YO}t=nc!zez6RL
zq7xm0$5<tY*|CjN>NW$y?jUHiJ7k!EiXc*mo5nYH%2G;=jeaTbV^1vlB?HpVp-C02
z>R=xgS`7knceSj(^C=qZar3^uN{WmS{S*!ZP9BoRZ`}<_PAo~{V(H6cljDTsG&bBe
zX2yZH&%tc90s`xB(O*QKfj6&o?=1`i7DB`Q_$;a(oF{^SBa%ckwVqn;b#rY7cm1do
z^r3yZw&v_yi;>9hQ=|Efev1hh5+?^@j$z^5KkG@dhUbmHS}6l1Ez?iYG~u;%$_>W9
z9cQL2f$1T$2P`%(u$Fo7ATf)Tz$)JR1mkQ3ZYS`8%_l7(vu6Xr5#PlyeNdLLFnNO)
zBvVyPxF+AN(Qh=HK(^bn$u=F_b*8GOiU!t_+{5qYH-u-+{o)-jC2ehn>ZKn9Yi~DP
z@e(h}l~vNx;bzJV-i)jGl3)iolK*&P&Bv7;Go?zLI*1njM&G^LlX(H)P;0ZrCgB{}
zEw1?F|G~7H$tA?tmrN8M>Vw-)x(lju$Z{lV?!dl+(a%~Sx+VGED7B@DMwT;6tnVOi
zsmO5|HxS8O(5nU{>6pQuo;<ayfdNgwWUS`NPmk>rMGyO=L$~ssq8SM#>w}OtoX9Gv
z@`fdOQ;Y=diY1QaAbPfD7fTyI`a5}r^B^qkM^>Ui!|-Z-!*ey32{pDjrES09_i~4I
z`<ci~mZ@{jXd_(AydI4y2{L+J_p`_)+oRe!yy}z{F?isSir|BaYAAnkZT4CcEdE#1
z6cMB9RWY1_P0?;NNH`7JjIs_iru|y@Uc5b41U=ysDoQNJC5VPbj>9mZds$1+F>0Qr
zHc6WtIIG|_pzwu5+inW>{piccL>{i=U5^zk+X?mkIjqzcSnU19n?Oq(t<L0(ZW=qg
z`}^d@WM_w3qdL9Kbn?mX+UCn`4W_Rmt9a`Bi$bTCaV<sb4t&0?`IMVb?43*Y0L)hD
z_0N7CkwW*lB{J65N*-OB6}*=^cdK;CGHU@d4~yyUv$3K^OXw7Bd?(3XBNSrb$nJt1
ziw1XUXkhuXd2>c})EX+`ok3ki0@A>AEy5V$Rj8EydV=*ZG5q7t#I<S6$<eLhmgFzT
zJbq_8k}tq;G<}>KT=~_YaBlj@wIj-#X|Es{MPq8sNDV2A&+O%!@4~1nze~xDh+ceC
z4b$Kb3C4{%E>NJ)RKzkijybDO=VOR{E%qT3yn@~sJyPsdW8T5>vS?@4(D0lhCS86R
zg^o@$AcnKhcFiKGs+O;MhNgu<8{OniH)kjUW6hW%CeeWIR1Qq_xT27gq`?7F4Gt||
zQPERjiaX?C4QtID*|@V0?s|pjr^fdRvNfcG=c5QP^mEk2j;D*&y=P3EWY!$4y$El2
zPOhQpgzx|Pqsttl+xhn*iiQ3=5kP8IgKuj&T+3P(>~VR#WhpOFsTMM;U}3f(CR`%L
zsB3{-Z(kjnn`<g<GTc|@S)PzrDMs>u8hGkVqV83S?=w!Ck`*koT(Z?KG33m^0=QgY
z!l~J1;tUGl-nbINMjzX!<74l=^~-;)SGthh;`L~EC9;3B4|Gs=whmc9IiazJZ#992
z`qq#pB2AMeB*Lg{k@lF}2GrO}|1h(nz7*IrZhSXk``o*Vc0tJ62zWmAD7|@90;euO
zhCVkem@!o@az)8+Qdr*zoL0t|A4KYSbsn?BdoT;t;@cngLIWQ>c4esFG%+)oOvSzP
zl9E9Cs9YW7s>*(b$?Q_u<ze`v*)YSf0TP?({vSW{8a3VLof4NgsDzZG4hvYf(hXQ-
z&v)m(E5Cv;w-TS`^WcYA_3OHKvz30-L9Ukr5*ViRs;}UiCjbzX+6efH<vWKRsL;oa
zP5us!x`s_0!t0n*-O;r|4x5Y`9Ix>xZlb)@vXjG4W45wuypr4kr;^+mn++C8u=Q2w
zj;VZD57>IhMMIo6s>bmugBj!{tFYs!-hQXesw?gZqf@CK-K_{Nx1FJ%za$_fG1#>X
zys3`OAmOAn;CqwMUo2<hS)!bz?X9EX1^}AX=HVp%L1Qc=ia6Ir0AG*IevTB6w$ei-
z3IHyy?DrB~-8Mi~qwcAcGA7uSkRk;g8{s9ULRTUf#nRiIP^^<JWmd?$Qeo(a^ThXs
zXL-Gb<IG8sR@oOD7EGqtGfJ<i2ZuWf@_n`<?@V7A?g7iTRc$(uQd@3XAw{m$yO7sh
zK)(f#+dFt_`fc{Kyk&xCLAcJQ!`nxm%ZEy(cVCD>bNfAL5~sw=j*rj#o1}?vQs$a^
z2NCK43=c|hHG8BLXQdAf_Cq}!jEH-#YWAsa(JjCnri8bCYkFtU-5+;LXXV_+yrf_#
zE3+W?@S;!!L|(CezQ%{Qt+#8Ejb`Z$KRFW#7ML#xiPEMPz6n@qMT;YFVGfgBR%1wi
zGP-F<53^Fn)~5|hL#oh-2Qdj0?MhqRE3nbib$_Ajhtv+?;=>^bIp?Zxh`JtP>4NyS
zBd9j!t0OyYp_uJ)uGDI28ER<D+S3sd`6Mv=1|cYwzA_=15#so}$nwKZ`lx746lY^h
zYNax@mUYj%QFM)llz&DDyKC65y~X-@^SF9y*&Pm3WS^y#A-~dM0me`^wn9!4KvZsY
z!_OlsJL5q1$|n-Q1c`IV5xSi|ap!>K&3fDnBu=}`?%=vG#@>zzbczy8KM<8en*ZQB
zap3%&g)muc7IB3LPHjD$E>ly^th)om-P~}E4b1zPI1;7CW6bQx{sWfNAEhkGLPloC
zk&QqI#>|Ix4k;7b$6Fi2quZOKESx%Y;H=>-uC+(UN1<0uUyEsr{DAa$kE1;?s1=yj
zXzP0_bR4$YPM@?|#SWH*oo@40eLf;`(+eJ};UrWJ;w+$nE^#7HoU54?;#s594jJ&$
z;ratAk)PO1Y#a+u>cxbW&3Q7Y$uBucSu$(WqK`_SxJ_G1MB1sz<-U<TUaZU42=l$H
zleFn9H70<QXR%=OXrmooNiRDL7(Wh>87&ZWE7^g2_l88Fh(;g`NI|;*R1!;1h|=8G
zl;&g;$tRn;wr5w50omq2k*&kiZJ9Ah+rcyc;2rJRAwO1%zVf?Qf!;kAZ?&OWRu<hT
z!T7<SqnsTWxW82Su8eJjgmJ6m$t_0GcQh`IU`EMUf(rU)>UseJVO33TwL%`NOBTJ~
z2b$!NddMN{eR=b{IG;%x{GEn<<Is1KzoF7Bc?PKG0JG4jbr66n+QQR|p+UJn{l?La
zs`2Ehmg+aGB=<u(_r#)|as(-BP(r0Sa%yR@<H^^paB(B$;toVNo7EVUzBF&(SS@^j
zZFevKhKwK*pQ91^t;L1#s35K$!<O~+#6|?v(5^drGns=VDoN<-9W3nLEGX_4h~V++
z!HF)t^;j~oCe6lxf0*t_sRdEvb#;Jre?UweOZTc0CcMx-LodpRBdLLzMH{|+6OW|E
zTWr?e6Jd%&*1cu6$hL$B&TIgqd;(AFgw0`J!(@qsGL5>MaK{g9ZMRm<7w*c{+OV>A
zOePYA9`2SY)puy0wsNV_z@uWpPDq&6$co_dHwS&GB6{T7h2u)aszvzIlTUo<E?vQ)
z<vE!v$*+KIF-U@w`G$&`HKfbEZ*?}#K+@=1voq2>S1pq61r971+8Di(!Z&6qDIU7q
zb6OWS8zeI993@_2M+i~vkz!LPOm9W_O%|-OMowJDe8`$jgIjVTtVNkOL)e0w_e=e|
zuYDcOY^x*VnO@EF(H#bsds>XnOzrh>eP?;yEsN&o`MiBxjM|?z!^+Hz<_&zDK;n~8
z2T_VVa?`nCm$AHN8;G&=h&Ar>JhUJ~)g-zVw}>af`4%G?M;4g$#3Z+MSzTI#F|ZkW
zS*b{6?olCqk;{D8;i<{&29@25xi+!7u_-cg8Wu%BlY&blf;)&rSoA}d6+@UdPVTj0
z@F1bc*22OQZC}sKs_lg5@J?%!lKr}qBRuto*G3H;;W$`G%%!pw=(+{u<}jlfn;0fX
z&goB7+-MS36Y$dIn(s_ej^;h%5^KtLy58o8QFM2<n3yAVUdZ%YzGC~RrZzSj$C$(2
zKsv<kH2-xp=l_^6^Iz3k|BCQ1G7@n7Gj{V2G^+oWaxISkYlNA9OZuNjZdjQa{!`?p
z6L&lYd-#@4;FDokha2n3sf}C#eFf5jpqW6(G0w%_kP<3uAk6siAXZ+z+e>4xu!IP_
z!c`K!xUKAbQ<e48=S64&<O?!g))3J5X{$Ov{6w$!=OOcypI(or!{cSIy)(NYD>!}2
z+x<l-<a~gHJpahVaV_+7`wzGF{rj)Nw2xcL4To28Ps+RTYrQV_H$Ye?vJ#zJ^~Cwj
zdJsOg@1vXavxGU};CwdfO}t!ckJoL&8+Yk%t6L0R{*BJLn^$1nZOQCz`n$_rfW^F9
z-{tu*km43x&tdi?J2d?~5#H5a=k?vw)t0Q?$Mf$&I)z>NFAbkW96f@xrOq`+WAx)?
zf;pyI?gS`N7r3-S1KZMVrvm~V{Ge%aSc8?;CGbn>Wd1N;O21Ovh-{2E2%1bAx7Y$V
z#q}LlE(MG36+JX_`29|LQX7zV*|_=>Jz!VV<8*4;FZ&oD%JZic=EoJ*b&r)s*X5FG
z3unKr3@Yac8GJ(BFqpfnNRcdTXDpAp8Xn)3xg(zVOkLT9b&U^5FXecXA6y0dJG@nN
z8mlD)k_-!_Mo;q+iEBFFt}vfzifQ(D!&@y=^t-crmCvX7Vf#|2`g>D=8ap??ropkO
zJQI`=*ynC$b$$g*NA<)(5R?LZIQ2vZ$7b10;<Ip?j$xDlQ?5ud5FyG}PV(Ht?X}N=
zLhiD2b~Kjk7P&97pg9x28-M&^$WtGB=&!taWbw73X3-=(CT@OXfB)<aR)3`MeHV1p
z6`SQBywZVGLMDj^6obQXfVI_XuvSi&%oGD7+SY16jRcn;W(WuEV+~&fn=dnNu1g7U
z@BFN%H>OQ`<hU!I_0BZDz!p3jcF%5GF$Og}C*P2lLf6%gj#6XiD^=J(xe+K#7eVi)
zQ$St;E9AW;-;&cBixL08;FA_YmnCd8Aj$3GlN;Ei?%@{;x*7fH9~0^osR#jEuAf0*
z|7Ev1d2OqA+9SJriEoSPF(z_4q~1HJJTxh!h;fbKF?Lpyd?2?cW3pM2#6zu23vwmL
zfJUtc{=-!*BH(%c((&%`_;mfoDxpX5dTUE6{`qVZ?8gW2R`!RFmE8ws%N2k8uI*0X
z>*9@Ei_#X3_ov%K{;!?tX8wNh>n&ef_D{C0KRm{T15qk9a=l{vD_!W84^a?`?ocjJ
zV`N06k}jeOKU$*O-!|PUIOt7N9;G-Sb<SC%?;!N#ip_P*1QoekxPLN+u@X@LOG;7V
zD~VOq^9QJ0Q(%kzN%{ph+M4xjA&KG$o1<)RHRr_$#Lo;NiloaTd+dZX1WY?i-VY>O
z-Dk5aX7};&cyyN@Ljb){Sr3pKs9Isa^eVP6am|?c4PL|+wEWxgBhwK>^#dKZOwV?5
zvOB;cv+f7@m1=`3f_~c8vHUJ1>`rX<!y9TxmHOGyQ&h;>a4_=ud&V<W4}e}=&%!Uh
z3Po?Xh7LzBSAZT>Zx`zKu=+qz?r#hA&&Jhqqd&wX8S*WD#56!oINFX1ip%V+P2S^B
z5zDjY``kO1;LId!6hEy@B%m~+|NPqW2V`TNf|Fmrd63QyQeH2BJHaerQZ@I;d*G;5
zbAMunZ^iq*KBS&DYvJC@yPvc3H7l&K0!W-CDf=gyPkV_IQ6IA$v+ETGQua2`PV70S
zhv|N6B=~F9BkyocTVgS(!#M3pP3j^=>dR{n8WDmREDbDz#PBx8bI4=D)avY0ezzSP
zRV4$1f0Q_jNUrbGiV6DmtrQ^>XZ|zb*GG&4uzw{^I5T-xjTH>|Nmbc_DFy$q^}0!&
zIVWnbdViK;LU}Y#jFE1gIdCsuWm1B9bB6{s6rgm{bO@lyj4f@{Ih&XjjG{X=E@e2H
zA+Fr}WS^nwtx%xGnn^67LlIlFOAAeN9bQxPE&aFoxW=VpI86pTh~XhxLoPgo8uA=t
za68uSYN9z8#_GdDCry(Yq^4sk7fIb(&t|M9z|^W-<=)D^MO^5>O0y87E4SQ;U242T
zA_BQZac>>6FefT(<3|=+A^s-cmI6`5$bQ8Le#u^qR1Wk&s?2~mXgI+<buH8t2T@@F
zR1oKW*p7~+=XZw?<fDW(*%qU=XkNC#-bNr0Ra>oQ?5sMs!=6mV>Q>S+9p~tch)L`c
z2!ay_d*AVr`Jh;=<Q2Ch@JTBAlKF`;%52wKffT=&+xKeKQXjCXNJ!cF(4DtWs8IP|
zTTVx%_cZ9pUf#qYqYH;@eK1nrYp}nAsIB--H-8)%<+RHpf1Znv2>*~9_KS*e|27mX
zgi-u%n0vLW)S!nGhB0ihKgz|R09=X0PBt<UvA}q3*yvrQv|QWebDF^-w1A>_<@h<s
z2jRh{4jj2+O=x&oOCkEoq?$cE=7hh_uT6<1w|L}JE>>2IR#>4H4v5huh)_AF-`@;!
zKZs&jUeyX<sYu3hfD{7qgVg3yqwUcx*g|6iv#Ifcfc*1#gof`cZSO<D;i1lqznFoF
zeO_#o?|<K_<cknB=jrKu#Va90*)HWAzil;%-fEKDWL0n#>|?oj;-z>cdWu-~<PguF
z3nxOU2q1W!N}NL_BEDva!aP}Pq`jOUo-y15w<->W|0r}}i67oVWsB9Z;^vkNa7n3$
zBp3<LQ81o-#sCd=WuXm4k1#pO2?NkD#!SK1MEb}!4wp7;h>)$C#UyB&#qi4AvXN19
zVe(h=Y&PQ^inW&MT)#fT)(J|D6vMdS2wG%|P^zzyB3gKc<y}Rt6pAGpV%5DE9O{$`
zHCT)caygl{g!lhOG()T@m@{LG+)-@ExI|L$nxgRZ-$4%@q)bqPgksSXMVE{YC`73q
zNygduro$UDg>hh7XsP3Qime5$jG~Rso~U&w<7}AW9sAVHf3^%HeayCCFPad&fS{$T
zu0vE#XW=$pdR!)3=ZnBLxyYItX(>-?W^s(QkLmq}$qR)7LN0oaR?FN;-G(l8IUb{a
zsQ9)nrOwF0L#3ngm6xzk4z3kY(pNlIH_E|mij@@({2e~iNl%DmUs6D{&G>v!ZMBek
zbEhf1Y{aIuti~ICV#8d$vq#qG(tjBoPyMzj0fp1|-LNXI4!JFl62Q@4;+7oE>1Y_p
ziSTs6W#twW$*5j(M&j2>k42;8C5n@%gA{aelD70jf2Rg<*>UepIKG|!i-C{x0502a
zkbpHbdL2WU|9Z2L%=TGrn<O*E9vF8I?SgHy7dL-<V6h0SKXw$_gi+D+L}j|NtWy9^
z%??|hm+8q>3!zb+L-!)SvB{PV>c!DEpLO>fwQ@Cv{i$Oeb6_M`Aq}7?S*pQ9g;xYH
zCR{zFiIC1)1k@61@jq5cye4;TQSX2;myY&<SwVY7PVbzv_*s{2VDOQ^D+OjILXzJb
zqJioq&m?MMi1ur!7`Sa1lr1BUDLT6iF@=<FO*)e5*M^k(W~*bBa-0xJJIR`!^oB0H
zrzFZ1T<A=~xW}telsu3_4V_eK)b<DhRU*he5T!pPGBOZCxFK~@<k*c*#8lbIDP>(C
zJ-MG7naIvH2zS&^MbyacTQu{g4JlvX9qt|)@ap7Mnl2)z<9q%_A3*V11C<kva)r(-
z`xtHQ=vWKQi)B(wIg?J}Ha*uM=E_E$$>(6XoIDY0T(6wcXR$lc)QvWEp+PBd4^_?A
zBsR;3(qL!aMv7)dY*FxAc?ZGFQ&&MSc7=^nGyBQI(lypZYisX7{p7X@l<b={%>iB_
z?S<w#QN*<rE!us_LeEka!yCkCtCm6%H7}n<7!^YZ3mwTGq-h8xOpsinTk_)<Z#*4X
z>vx^2uAj)LzfAHIUyeg9%1t}xy!to=WFWgY6yK)L+5}X28(*riX9JaJ9hD9Fa@=Fg
z9oHSP)>)%isEF<-{90)`Vpo6iM0sgC-t`vHn$Ho52hgG@{$BOQ8z;&e4w$8EVp;C*
zHIG>k-9X`ZABqX7KdlCSmTTy+8XsN?tRZ9?-U#ARv}kCnnug+Wap>=ILlN6H{I#(}
z3eIHVBt}kYx$G=ZqQYBs6*6El45mC4D{QHDQAv@1et^hqq6a}{4<{bMsj(N<vnQ46
z3Z(mmS?H7Pua3NDbESKCMO^*ex7sY{yMB>2ja&g!*iO8BdfUzmwQyB{YPu(`kq-`f
zG1CLXqn{XbBq(=L1FoB2(Z*50Py9j2@=@KKgp8C-;Mfla+GN%`!Pf2?Z#dc4<OsHF
zMy%Kb%=*^Xf{8j5aEIRXg#bcI0Mj+QT74Rr#kZ=p+kkBCl0@9Z=VK)oo7p_dF;F;a
zE}NueG^;6jVS0)#Yu9BwvLxszuD2{ON(%#JpQkJDPWkYATRlbqDSWi%vaPN4sI2%l
z-<TrS+6sb#3O4b*bzW<^1=7#~QmhflW-I<G>FIGH5wP<l0z&HmRjcq)%}))0;_!v-
zpc>q%p*8fi{Snd7-HK%-7YHBx&~J>wn)u|tswlp+T87>z<5B}=DWDNs_T<o2fOyd}
zY8hD!9i`gJ7mE~z#w(2WzGKP!sh5|?rh3%{1Z%U3om7jr3otZZzo)(W7ZlpaQ<k_d
z)}D!_Qx<1E)~q}pcNogd&$=9OL4?<dB`(y;oPt8)Sx+u}TCkM6nJCGGn+*^q)D(7c
z4dIc^^dtCCG=J@2RyEKU>kQT@8Sp&wN{4}GRf&?|pOt(dk@1JD_hKW|y$QcLu<QEj
zX4HMM-=!Yrmi0X<t=H%R4u4^cpEj_~_&K22lmu2A#KzrhfYJQaNV=1%^JYjwh*}(F
z8z^BJk0i{^Yg+BN{PXS!8>kxn)MfM77y9gW{{HjnIUL1M*A{_6;&%YAtwH7w)F$$Y
zWI6bpVJQm7_^dko5;$ewq=gf64mEiRDp1lsR6s=?0&pFdkkFKpCq|_qFK}d|ExSv1
z!bCgmp!M`m^Di*4nKh22V(R<h9nHD+HCIlY-tg>AsZorH=7LWJXzzdoP8EiB^l*G0
z7*dm70KpVhuozWZzJNj|`y=C=sIm)qIJ?yF#2PCJU+gg{X3D$)lS0W4Qe;bnPG**G
zm_}emLMj!p_PgmZ-~fMHL;1TywDej-HWH<mFmv*u{IM#YJBE3R$y{HIn9>$ps9gOC
zw7Prc$i9TFc2A!)8PMq42dAY_a2W#@BGD2hd@^Z%g8Q5$5F{N~b&DkoY?yX($p><5
zA0$aWFj}{1ld(ELr6ZquF-&rl-qT7pb0f-G{W-@(jB%!;eFTo=9^UEmOir%MA7na8
z^W|V&{$|(Y-YaATI4-UBJuG?)b!{vTR$cqeo^*o6A^#!j55VoBTou50$$4%#{bCxA
zshBDeV5%_<*^bqhPdb_JhOyepkvGj1rpY$fk7V*R*}tDbV}7dc=B@RsUroA=noLhy
zVa9vwPf}e-0(xVGh4RvpA~{oU0;)1E4+Y(W!3+7EnNKzd5H^pos1uYGFi=!50QJjB
zRhqpyG70BaO?eKvHU`l3C!8?AcNWJgr-ZKY?<k+Vb}~%UKUO^mjH0gcsD%thGmdU*
zsqn;x^x?^^B9yBf2)KgLul-}g9*{`BX<Eqyheol$M>Y<jD!u-Odiqhi>v0rbOo{!v
z5W)6Z&CfiYmvVxH8DSbLH7ir<S``ek+3I^e+=Rp^Oyn~CX|I6doXw`bvQn^MUC}2}
zCaFRy!x(T#SoTuWp1wBOWgW>p^jeIg5iWG-n<9C~DV42U1z4^3QkH^t#~=&lzwQ8F
zPG34`RMeG`WN{=)L^nG4lpY|_i@_tjZw_+dccE3In<^zx^PS*w02T%BZ*ce&*X`t4
zsMNo=9Y|?qZb(<;RZp&BLeSm2_~#|bxR`7-Vum*x3{fY9O)(saRcglcdNRQf)3|F8
zeUsvz66+LA%y~|xW8uJkAel|#5@CpYyOu*7*gBYY1Tj@^{J{fEEJgdGal(2u0dHCH
zTA+E(o*#nlytu*!sUUnrj?4PUaI@BLGpf7Xu+TTA{j{pSaCf95l7%CAiC><RuAdXr
zV~ECrauG5^LZc?hJl30of`eXNQmFtY0JBc!6d$SBTx``soaBVI&NsDGtMF<9z{`)G
zEtOj!^#tr_tN+T=?y_eaRC;eHifzl6T;KS>X?k1}Z!p}AmVOpRZ+71<=D+F$958(=
zeH^9}b%37-FME2mw|Acncw*u<fMt@4_-F^!C~IpSl$dofm{_G?u;utsb7XDoh$JC)
zK@4hpg>Wss5YOYU2`~(1&Vj+ByRX@yev3Hz=Dk)L3fYwdoIT-q$;`e~>%>STH*e(_
z*G!*EYOx`wjI?s!<sQh4!tOp}oI`~%9J)!WC4@o5P?sEXdh${+$!uV(ot6zJpG%UW
z(1swLFFnU~p37$u@2sl+wn4R`w6rn#%49twRkeA^0SQ-io9h8avxSW4t|S~LE!lCO
zPCR+jkn5k}{B^0B7m&p^V4y=_Bf;FrdoR(}nnvU$>or5oYNHWK`~5Q~Z6=%Jq`Y-T
zLBk|>|ECc3b3|56%mo@Vf~C1Z{$bkpYL<(XfI+O)o-knX`8d|PQDO)>dM%FuAWAJ^
zhZuTA)(o7I7smp_;)h1~Du#Ms#&Jbk{YC=Q+gr_*<r)HpW#u`w%~EER2?`qeoVZ;o
z^Z~Fy`USL>4R=V$1U(x;k#zXDivUTcTAVSkA1ug8(*e9;uFO*w%m@vt!X|DTI7c0C
zP^j5FI%7|71#5y2-gq-ycrzDmVJ9Cw<04++cZ=t7Rt=%8Vvz+BO9>Ow<)f{?k<;$^
zY%)DmO_6n`Dp}Wreuu3H6mv?OM2A2i<Dk~dec{mq#r8y~lCIu&Xh2iTMK?f==;q~U
zpefa;#H^JlKPbipT+Bvn`Xq9VaHBOpSh>H9)Euqml=C$TvC+O9Fe!E+Yf|^b<eeW^
z#zmh}1;`m*v&C}SyM*bdVq&7?9|C<*Z4=F<ca*`bm1Y+q8mQ{b$l8zqN3`N^N<xh=
zD%_BylSW5CGa^-EDf118qB5on->C{D15KS&AT%y2kO)u(DMm|5pD}jzj1Gi`WCy)`
zAx9;I$NblK#eZGt{__&_Z_e7ka{K9(T@0Q7BC!3dhk;(mz{%wAZXsb28BtMcVFPOm
zLq`jGQClNBV+&g|dP(CihFc3~4_XO&5fdjP6I){gTj#%4I1zCCgDqCYPSw`pYqkji
zBkSKcxPK+Xf6e=Q>%Zsx{Yi^}<1Z!!B^`o)8~t}~h5tWQ{;9CAq{v_U{-rn5-`fAp
zvP=KftzsuGDI#lN|NkmWFQQJs$iTqx*Pyb8le3A9q^+qP0mnZ$4*rtz*I67b?49i#
z2{``3JyW9pTEY7Ff&PQ~|ITF~?`Uk|_+=A{f7*nS;EVLv%)-gp(St(p>%1mk9m+2D
z_SPmgf6)Rn{0B+@A9S_<sK(!iku$I{q5n^w5VJNgb0T17qL+03@{N(8t(mn60Rz3@
zU%qfAU}t6cAAWHrpk?}M2piZ-m{^#Z|6@qd)lA*O*x8(bm5GsF*1-KA4Muhr=D+t-
z|Hn+0FH33sk5zxkQ2sKQ+Sii5=LiYexoZ*7vNACLy#WCu6AQy%+v*VfJuGHnZSoaK
zVEsFO@E;ER?~rMKfBpV9DU<&dpZFK9+&`li|1I$e&c8}&l<37B?Og1?IG+DL)87qx
zWqK7y16wEizv!TiJm`g$zkK3qVPv8tF7&0Tih-dMz4E`?=5I;={Aqq!(AmV1{>#tK
zCL$(({gCKoOl-}*oW{b)_Ma#+I&oKRafWZRfj$i`zF)7I7GIx+mw>xpV2uVM5rh0D
zK=zkWX7iCGqXd<U`ysFTz{uOa+0byN35;rHW>(a8m0upxjf?Lvbh}MpJj@OA`4o6@
zWfvR!@!;`vemnaTxu4%{EkaJi+~jrp`Yh4o(t(nlGU3`;C*w-*>mS+mTD-IQgm5!(
z<@Ko;6sw1e-^p{Rt?`U>v#<8LfbTf?veuL9hab&PO(?g^o)vh#b6++bYiP3jeYoE0
zITvy!|C!S#$Zl8jqaq0Z9O3r$Zqemw?|N9=O5h-KKYyDK#K^+aG!)jX&v_sg5rD~|
z{Zx+PA|<WtKnU+kr!EZm{zokcooHG-XwyPS+N<G2(GaSb{vFM#4Y=Dj<kxWtM%rTg
zi3eW#VmOa1H93jBPQ+5uOi*Ju93ip$5Z`(D?x=Gfu{daSgE$nO7!uUQ0XF8$ci=2C
z<Q*sRxo0i#ZGzkP!X@RkaSZ~z-rdxA_ctUtS0RQf@*w3vgE19}=982+M+rMnBKTE7
zM#Z@9##<%%wgUv0Dyade#Cr-Uira8_P=6f7rSn{MvWNIFmArJIjC3Ztb<}<96V=oY
zw@qH{wI>;l%~f3ni?71K`ZAOVkCSTt&z8l97|n2b^@+9Yhxaa?*+_P`af4f2JQoBz
zUtQ>Z`E9y~Jxhnii;s5v^~i=feRpFUR(u-0?WhIjnA?{UGtT+ohpSRVQVBWc-10bN
zVOzZI4f<e>EIRpxJ=;}!-$6S(e}8J8`CYf4$?7-BI^L3IpG~OVw+|4p)hX_ODhQ=R
z{Uw!2XHgXnQkEtrhiMU+JTPpN36Vf`iL%4(mN%VtM25AHbwCKq!%{4&z|J<bS=6x}
zt`S-2g<lEaJlgXK;WR;;CRI{B=8)r>3rz(2sJ)a$$>FLU+Gw2nc6pt?WgnP}!4o>0
zNK}vdYz30!s_+UY@ZULKE4*oO$(4q!qD74lK$cBoDBg6P^tTrsgmNsX8Td#a`~a2u
zyqlwGQy&4Fd*qkszTJ14yIRgUuD;0#T~C3Y#Xd4lMil*-COCyroF<sMpM>eI<j<-a
z&P~D(SRK9+C*XGg{iEOQ7u(4`+uieGHp=wFUtF)pjXy-cF!u#S)m0TaxfR?wn_iAl
zE@?lh=}*9YkUga^F?_Bs(6IN0W4j8UJ0ZIEK2m?a`m*tYoR7#0E60MY@&`wMLj`i-
z1iqDNltq-wVOkNb7fH@LYE1~qQPu;i1O`<nyu+*;0fH`klktw$^In@4>0O2-EY&@$
zu&~#rkKlKGmXvSE{fX>$4Bg)D1N%*-g<$FSMN-3ce=s<W+zq4XLdkFSq^AI6CUAQw
z7X$ZT{I1i*r~5(0H(!i-LA6@3ZG!B7YMdj7L-5o9BbqYFaV9^hM#NR8l=VfWt1SHy
z_(;^p5x2Y8)!k5$k{T=w2`Gw65sM~BEil#VEq(?y?AP#630H&`q{VG@M@m{r+xktx
zszN8F6OuUHF$!a-j9@Wmv^O)gd^QH<YhIVRqe)hT0$Xr@4{sH*;gZ?V3qji(p*T>F
zluuaidH#&ux#5l?xU$oGUr^Z-PSPb4O2?nd^PLz#xWu7a0ER|ElYlG41uEgnfp+m~
zJPgcKYG%LQHRppi>rL{~6F@Q>H@i1q8><tyqE|GLNcT0eoEA=dhC=#PZO2c4!P21Y
zFdt}9jg&iqU}NTN2|!>iUfS4G(^njLho^jB5o8ebc%e*D<9mOd)Hw7F#(5=NHQC$Y
zB{4{Vrr#{a-7x#((_LI%XC|2ANc8<#ps^=XmIBDS-}pIA9{ZY>l2ntvY=G`grxcU7
zQmyI2V*T6zbIzv3m2ZP>GZmccoBCjtjQQxXbFNZ~&It~*TFAq$mQ;QnD=jku;>_}i
zqAA?<@qM><iAm3;rgDgCCDV2X=;H=IB)Ern6HjgA6@)CV=IEPz3CL!R{;7o77`1il
zEV~3vxEj#6?sG7<=c7&DwX<V;nYm}C{`a;*_LQB_&@L)S(Rh`>pNu?8ftBQcCZ$i&
z%<Yti?w&z4;K~N|<3l)Z5NZ3nZ$YSLJKA2pfjvX;QcK#*ZvrSeQl>0}DDOrbjt0C7
znGbj3gUL!cVa36h-Y>74jmLX`=n@Vu1Q~T6!(zQ(-x6SY;os@fb{AlLYvo$=G-TNd
zAUomy(P&q1F+PhY7fyvVj?>6nZ^%}8&RJ#tA#(8!B$^d%>dBWCEsDz-1)FNH2>SWM
zPa$CCGU$zPL4Mus|KaW(dvpuHF3mb++dO64K4sgsZQHiZr)=A{ZQHIobKahG`b~FF
zCzI)<llcLAf7xGluC?xK0Vu84Bi`>}pbtAo*%!4wEavj)zAoL@n4U29bUvxtC$m?9
zRgCCntU@}RF=x^YWCnA?xTo5Gg0z5+l<_+|n?`d#6goQF=5-zA5Zobn_amcKP(z#G
z{8qV=5UNjE4O8E#@GAald#m7H4;L7QF*V`kz)NpBveMsvsmcu=3F;F##(>lQvar^#
z0K&fiuKJ9|7TkcsJ(Vth9b$map3@4DR|-J!;e@r+6)O8<sfSlnpj=9a;RH^qon{!4
z${|Fi3!yxs0bFnbBYD)fJ1F(TnUC;0nzAZ1l#4-nyZMS^*<l3icCalPXOzo)CFHXn
z<E>4W;9LtolyBxsTnzIRGc44;i8$IlSOGV?vw#yJ4Q}hn;KV#hRI(WNmqdqDUMzz0
zI>?}*2X4rN5VwImgl#{;F~E7jauHFI2W;;uJWXtM7B<5HRw5fB{M2BI6nRh%IRn3-
zTK38vo*pma7+{EeV9-K2HT8x@V$GH$vZiB;sFDmI7wCX=b~bR>dPLN4KqBvYQEcd-
z!BS(`IOK>U*k@|G8sq(AP7)6L_=hK2>zLWqi*^|;3IOuLzl1&sVJ`q5>{564S%nt?
zL|S^GA7DoTZoq;xiV#7U2$2|qL`C0C6r1;J+&RX$z4UFpjUm?^y{W&%LZk}=ln!`!
z6!Q32g}q4EdEgNr9E>grDTzjlKsi7fp4gkn`@}SVQndOk=|=3Tr73Kblc|}Oz2Dnj
zMoRTP@jd+8v_pE|MFf12aU+r;v?W7`yNQxxdl4$lwVl@9)1|4U2<>h})ZWfQqFUyF
zS|c`w+*oP5J{3z%Bm_a98jr#Dj=9(w5&$klbpGLL<eex*rffp`DLO#9BN2|XbqD&|
zWnC#P9h8<nl_QF9h%ieQh+VsT<+y5$j31JWYlLZH%OM3VXen(JsA?ubin(8ir7f0b
z@{&ux6JU;a$yip|7frlik^IKvp;*X{b$FB(5JM(Y`LGS8XJ=<vM;yrK^^;_QE6UE#
z<#h9oSDLoy+#<u~kgW-y+H;J_Nb)}RLFA)(fn1MIju<wO&%Qf06>xSWtoiwO2iRRl
zN0dIywN6_OY#zHx%4Z&aWv>ifC4jVegE^J*<5z4aoC`M9DwFOZhlP9)>53P2KNAg=
z*OG~m9D-^vDcB70^82#mnT{sn5Oh^4Hr-L5u+E;yB;p?m=@o>4WFknF;xRgiG~1E3
z5ARH#M;-~-fJezO8r)~QT}-9sa{7k^#~;;@Yk<NSp>;0I=qqKgz9w5siKNxlTlq!Q
zP7|y=(3m}tD>bo(9X#>igyRYUC}ri`s9Hj1R|7Gb{5p(b!-rJ7gF;m>XvB*Ns-&ff
zw58Ee!^>)kK1cAlgmF+C8>&(fNhQ)dF^_LV0eItAX0`dae9=7|nTu~JPq7afb+!n-
z1`-h?Z7<j*Mx@qY`d~O?(CZ3ac<e-^r4XTfX+DEQ#@#PBib4~@_S&y;_b5oxAek;(
zz(c&Qu2G`5=_Op8B<U=aaG+~T_3w^i0`E%2wHZ{QROWOlyBD@$5u*hwYxT<hiL&eo
ztO#WfiM80R*>+oZ_mYKl_$YCG=~1$0qd<oQDuQo|<f_mUA@!Bj`e8vr70!<qQure8
zIo06JrDO_%rsX9r^y>0#+@0OzF9EB~1?uRRNdfeBgw_(@>o@EERKpfk4M98OK^o`$
zoHlG4r*Rz90-z}VfYqLLO^4krCZ&+(+Bx*a?SHEtpo$%YzXaawH@ksh6q{Y7)Imx@
z!Vm?2h05@Rtmg6+W#3SZT)MN;hCr5NR3zOskWz%dS}$9()^zCGyg<#btqx-tV9iKx
zW3$tCV8&!Yhb6d=wT4zKul1fO(%`5+f<nC;585T-lysHtlZE!T_Nc6Lnmv%#lRO2p
zwM_Mp1WT9NUHL?UhQv!OCwOw9JQU{^3mS3p+>qOp2oe&nZ!k;N^59tsoPSsI$;z(F
zw|P!KD$a$O2soUM-?Dc&404=^nZ1KwvrUvx1<dYlgkGx3L+@-zqZ>I(F*+fsLdY%G
zcsV>e-kUtipw<~RP`GcNuaGQnBvkM$V^c>bIY-HHDbaaDr@=TMT1!2}N;`uI-DKa+
z+FQ{N1>H}B+PI~0wsfbi*6Gu3;;|l<f|otlP>+a|c08x<IA3A;VO=H2dMzt|r`t+p
z8XJ@qQCSD%2A|Z14r*aD-yJ+`+Q|by|K6yTr(DcchinF;o>f9}UQjpcI!EnU;J*Qi
z?zSRw-40d<LS-z=C3kAZqT3DpO;>#wq9jvtDdK6;{@?{)uR<dTmsJY|ivZ52m2Q_c
zIT6j{a=gbkG_?NSM%3G+T#{v*_1A(|{>k?=+w+~R+>icdQ%?7DTV1%V&n;59C2+)c
z{2Kf1ga*BAfr?emhF3wqY;>YkN(LKzuyZ72n~*Re?o^~PQY`L)jSi@t!&UPAG?Z!M
zg$!A4K2j3(Z(rc4DZqTgmb!!>9SLoPWn0oA5$Z7*Ry!6s+dV(<;MC=!dPK#}zgzjJ
zqHFW#Q0v82y1xZU10tavHYd%~P+Sl#uDINUIH3SM3goW;?>dmRICXoIq9j@eDRar4
z-%5c4(BZ#{=9GYW8!g%e7b+Ipp*r;o4p?19KCny0+YH>aN|B{0#h{Xp)BxC%m=54d
zi&<dvu(AUd@V^CVJg<xMmD!(fB;Vsndl_$Q1sI+2jkfRnZeaEOt>-5gLzj+amHj=W
z#f9&u=wi*4p=J&5&DVl1&}GaRxP?tuw-ZmDw%*oL=<nZ23{gB|!<G&G5{#X3z(Ux)
z%My56H+K_l0VCtxpLjoy79A9ZK#H4(kM>67kE37J=@s*>ksBAe@V&VdTtghpEkxm%
z;SpC|Fb?N4sV;XL?@n|@05~3Vb%XfqQp(AHn=d<&h7wZZS6|f&Y%IN@wqComI3nbc
z=a|T$zlDrr>gniZOAswu=U5}|M|uB}w3X~!c+-%XP>~c_%#qw>+C6rlQih3Td%XY-
zr>T@qwsZc{Nbj5j<&nZMW=G^;ROc#YIy9IVxjshwAA-d-_q@iO1buC)Fn}bLBPHb9
zp89z}D9qJf9~er?d+_n8N?_oqjzV|}NQPuem_BZq7^)<VOOw^P1nHPq$OzGu;Gqb?
zDKCmEVht*zDQi_#={HPlmO2y<>{}~=EVD!_^KyhhtJ)~(-0V)Mtwd{gH!l3;h~%iJ
zC(`iEwUuyt_0XLnUk*pezQq-zT}Uhq{>%T{K@s_X3JN*@!<g}3X~h2vQu9Az8G6zG
z25tUNivKzPqbB>mht&M%!tMVvsbOVf`tQa6yi!rb(+RHu?+9GJY|=J8mC%{s<yuT{
zraXItHF6^_78qThe+?dykgzmTG`5T2#|fUE$eWcDu&{2`el9=RS<9bxE2brK1i##L
zr_cYLUw&`u`TBk2-R{!y_xgRtW$|0^Qo4P-$KCEae`Rx>CowB=OuI(>{rS3mE8zdq
zs9fa#OV4-zH2a`9ILYt*_a%>BlA6FTRSn~>+U6?3`)kRUYMPqOf)$!y%{j5;`f6{k
z@6Y{btCe<tUXS1BDtTImb81J2g-a|g8$A*Ro0k(o8NO=MLK2=pWR};r!Q)AC2dVSg
z+heXCVE6v{@<VY~@@&ix_=y5zHwtly^{2<=DJ1Oy$w>DbhR1y7&jVnAeHn(goM*YK
zl>aimw`!4z?oKA}zUHx2=p8j%`R5=TA%0K$U=~Yv0xvZtxcLGJI%Xj;f53Q^P-jg9
zF}Zb-rk8pVj8)F^Cg|h(iJMWe)i)=Vu$rLJt5m$OS<<*x^RzZ~H^uT8eqh~Y;fM0*
zI58ZTNIbbKTMO_k(fRPRx3;T;2#Pjv6y~@&<CZ9*mNk6>q@27$($+W>9hj|~`Ngz&
z%Nlh{p#jsLr=W{ITq>?Ss~4YPq+|Vc<eP$2xdZl`|CPAfV(gRTx9=-n-#5r}7H~I_
z;Wjzt@vl6~0!@0!C?BAi!e1UOaV_6Z0@gB=*IWhe;O8|gm+W%No4m^9Q>>ybu~PNC
z>2UAqYrxe6BokI_dzZ}0Pk7ntrY)MPED;bjZUIP@sQordN?r`%NX~p(D7d<8FOcpf
zePKr8!GqDC$Dj%8))y<tQ8-EaV9`hXo$p@5k2o(b{Ri5(vTEvM-0c2ia1P}y!)le+
zIp0n$dyU(T!Ns|;w~Ib4kFbm>ZT#}yz<#PyYd^G)0W6A+KtKnI!rlZ0-gR@Y;p$v-
z?Q8(Ewl0ZW0sI3K4D*z2&ot5X0horyK$F{?GK-2xmEJ!hHhFz)<4oMX=45oENRz>f
z_H#r#La@<}IS|~LLD#%J>^#&>bUBhEJT(*oV1wlOo9P@AR|(g72pTF|-Qt}pOBDm`
zOo~xcUsDdG=b>W`X-~0*3Fq-T+%<&KEOx~u%~87Fe1&aTkMQ_Wwaut<=}(q5s_*ks
zq!8GsMmM{hX5$!54L77ok06Jlya5HEi5poNXw(r)BlV9jsc%Eg!vGBy(<lhhxnju#
zu-&hL$cD1OO$I{fru*Ey<8~;d^jpdbnM0;h6Je;=ip8^8F&GwSNIK709jF=*@x10Q
zRgb?Cg{W2Z5g{=6t3(FkmMO#?3}oOFH0IguP|n~NULdbMxW=VDhCL?G;bw^lOvV*L
zg=4ecQge{P%J}D;&o1)j-M~tS0?Ig05g1R78sTKBh@x#80DVu~n#&V^`-~So@%JPK
zWUVyWo<L4@4bFM-BLgdAAZB;2xLQnXURwswjBJ7`nXNWh%bc&VHeoIB^DU6&Exs1k
zf6C`f%5q-4y3#G!Uc4_(O(om$Tl#YwlwHkz;*f+cxx5Jk2RpEAnD<%>Fg|-dLAEvh
zsq8ode*%TxEp^svS4b(AEq$W%EQqU0sR>y*0R;W;7ophXn8!sX;Gyk7nD(N+r7fKD
z(u<V_p#3EW&jWI`WQek%0GUEaw<83Vs9v8FwwltYf(Eu+xl8S?q9g08Rl{>MKMWa}
zlb@C0qUCE7cQXo&FKn_+)~lasQS{I$!VP~^dxFTM57y;(pw3>Xlc1=uRQHF7>(I=l
zYqVTAYMNvx-(%{77c143f;}mwnu68wkN$ZHrYdIF2jV|?X(fbMe?S^=@KKGmmS6xF
z966S91Yn58oci@TQjJI;f6~X@nA3Hcvg~mYtH$@+F2J_I-?ND<F`vubM2pQLX`TeB
zWB=GEi0*d@0yujdZ2I57R2>B6OBv%*{esX1BpOOOJ}Js81qvz;Bc)+@1cKu;pg>zG
zVk$hmBm061ByqvI@ZeAp$?URyx$EmfLt6tF;)5>VnsS9l4Xz>FxSX}|E~u6%JnJG{
zemA2zoM{EF57(N#@Gj}Va3HX{P9>GsNG_4Rh$yRM1k*C^vo3`L2@^6s&qjisr;GMp
zu_VoBmqaytO-n~sO$nhNL%~S+Tl(p<(OwOzvHIq^Wr|brE}Yp~3kSrzR~Aq!>ZrAJ
zhu_wTG_i2L&&9pPZ_wg1GY$wUw9z14XejJms}8tnw<}2(*+&^>W^Y=?R*{IBio5tr
zeUHF~=!{_v6ZdqFN9n3#ev1Bb{H9B1QGINh0cnclj^4Q_ZXbm=I>C$<<R*KJj}o^j
z-_(vnmcGiUQfB-bV$NMM-%k{cakXU<!*q;1u8Z8Y2WzaaA6hoz(ZnO;MMxvRoEH^h
zdLyLKh+7G^z#2?^HZKC$UWccGdQ7jGdshw0sNhUGMkJ$&W<iG=x8`RPn+T1E={hL5
zs9{gbBNL!svvk%!chI@83Ra@6&RQtl#WnC_B91bZ(_B@0WTt8~P^q*RXthjJ^Zp4t
zC*_n3stO^a)}U<?Bv!9Lmr+F9a!1oRw&+tM*KC!6q?|Y`QXO0ZR_7#*{SG>fc*@{J
zvkO6P%M2#b$V0{vna0JQj)@Cwx|{qosF6!br;B54NhCi6RsN=N1@h3)hL;QVLmd5O
zc}f_Pic*2+K`AQ1j}1im%l-2UQc#s|S@~IT@5uJ|2*-$r&HgEtl8sN>2#Ee{HMyk5
zL*mn?wXgGG?!z+~Rzyfjwk3t9(ho92?|}Ibnn$|DTMlLpdEM-jw(Vd260(noR;PW^
zC;RQm5gmciH@NzcP~#-$6SSN?O5C(-*23j|kPwN9YA&=U7x4@D!g8!{t$QbpfnLpw
zBj!|pASa3W5_yVb?b~GKLs92-)n!cG6fe}ur8oI4xKK`U!$1{l&7Ipc%O&CQOtoMS
zcrvgtvl{0+QmAILq;072ga|b$N0rcEWJ*Hnz}PQylTMc783!F5pAGO}9QeU}jMr&K
z%Xv+p^6UXS*+R>fLO;9a&>OzZtLj8aID2-aE97`!2Z!>^bdQFy#LQgfCg%3qLe|+!
z<13)ogLS{tL*Ofg7yh)2_~IVb;wm^rOEBO1(8aVwew=D+rjgx=d!P{pnLIuZo1(_y
z5!!Z2=OT8Ezly(9jhZx$=u=P{y8JWa-iE+1vi{WOw@51;8Aeb1nrLGA1`}ZzX?97<
z@`}AP*vF|A{mmqIi_+gBg5Iqd5tTn_Hq}%WH0>S0r=tfdGGErgQ5mexsyL0tC^;1d
zRjhvLvKvX2$!JQ4sRtzmjqs}W0|t8S6);td;npBkGc@H-mL@Q)7fhy~7F?c-ct~OC
z{ZD~B7U{SaAvu!~B(fV-z{im0hz8O3bID$SIc$9Bhjqln>Elk3uOZo2IYRYvnm9Ye
zY9=_do;DCTxSSPU7pL00wT{jRYN-Tw?=3yrT6d4ZUVyCn+dTy#L-SV2ZP`8q@MPSY
z?fXNkxO7W`lN2a{6m$64#yq;ZeO3j}PPOU6x_M;f*GH9qD(=s^LdHCT{o1lZAt-3A
zWHdJmzU-PxW&*p91?Qt{_$l_z`#D}!^!-<|7|MxSM&-2!9>1~F9DCQ@Kk_jA*q6)q
zrKN|s-T9NPZF<zxh2Ig>#N|SfTi6_+S9T-QN|?e7rafk6uK1pL@#wJ%r|&P}%&=xT
z92F>O8w$6{GwmS9e<$fjbidI*aj`XQ!8}30`lqC$AnB-r9r75)X`QMPe<S=lbCO25
zRm$|n+W~)A|6Xyq#r8Urazj)PKXahi1CUy}@}nAYI5}9pcm2rAX%}65r=(1nW0geT
zY;o05+f&E{?3{rJQ>VUDWLC*tH>{^crXmwQiWsYvn8vWzzY$UgXR@-GZ`?H?P1zwv
z!^dJSFE9dz?O)8E{B9RTM$sZJ2T=b~gz6ODp=R@Nc2we3a0w|)7wXjN-lfX{B+}|X
zY7jLny6e+zVRMJzr5}ZKC3%?sW(glA`~y95M+54N!cawx9;<-*&rb7T3>Kc$6bl}S
zeJi^Jv}l$71eAQ_LCQ|5IAkvu1I)h~{w10t@Ye5yZ=6{ztZ6B~-i((JZA2e=ut;*d
z!!59u^A3WX4&kJ+KSw^5w?Rif<~kqEMjVM`(rGS8?PMR#j7L~JCp;XbX4`Os^(lQY
zOtRWRu4@~bl_Zm}^u@YZrl!YOyJ)y&&)SHB3L!PN(S#t?plTN5yNif;Azxa`?mYaL
zD$D{eZkxVH#KLGcvF=2Ie^0ry&Re`&nppkzMg~ze9pD0aanp~YBi|@BU@k7CMh<0_
z@s#w3cD&dJy(%7cG##3hlJDOqk3S%GgCc`_;sS8h2jC`Ep(s&tRvB@gXr@(mR4M!Q
zZ7lL<<10{;{{HNSk*zkrcqo3LU$XCxh(mOm0AP18#!w2VZ%CW+<=0n|RF%<$F%b@Q
zG#a!ZP$N)!&h!+zup&r&{P?)QsWFrL-QRm(Si`drJW@`Nr?=YnnF^1jz~!$&*evc^
zS>QV1?~EI`kD(GbE^!?7cpn4^Y-=r=3;g1MRar)U^o7uSp0G^ss!mt;fbpY-(J;cd
ziEwL`$E8uG+(1va`NZ3lr#^8@lX1QrlvPBJDWD6-;b<XcYK&R%sY#aAcil@5Ji+$e
zX1i-Rs9^Fhh>2fzWfh1bw2U=wg;yoDk{)SIbYU9kQ>o+9yEJTre<iip$4dE*23$?H
z8IvFgMA%x5i#{mnYb3=So%TUf4%}xSI#Q*GM(dAv<lE+4Ats-l30*sN7Pl>(t?mR9
z4o8K`4JL{{MZXlAGp!GFw(~8J1aUTFBG6ttHj`l|I|AB}`$E{zMX!fSoaO2}wwdW7
z8_=p8k}o3C*qnlkTK^E&4kJ3vol<9x+;M3|A@Hvjy6Bu4OF52K=ug+;4;V!B>BQnS
z<SE0CJ-n(T_Krs^3pm(}JpW3V7q3>rJd|T$syOAmyrQF-ryCKGGX*_cB`S)^kc6Me
zs84i``nP<;$#4jQ<ov93p598V-ayCL7IWz1(eJQIrHLbiI}wUjH9=c0*I%%FUn$l^
zXb!w)tdB4&#TIPvoE<6#2O4DjuGw@nm=4L#s|pv?Dw3_X4Bu*|BkgjfAA_<qWwvO)
zaXm6>D~M0gH-J?ZGg`ov_f*svi!cy5NRFbAo6|`-so$vgZvSv+ao|QEONYTqmlD;Z
ze<sZ3sDFLL?edt{(?K+r1yLDen}tJnZ5y#TZ8np{?Z1q!{!Bfo--QSkosZLsF5JL4
zur@CGwM-er)4KBAQW#HboD@=~7n-S>sn1DW;j>>fq|r!`T(k^{;WFXiReV|Ge8X7Y
z^GEA>3^&eZ9k4TPwaFTA?b$b%KdmQ!^8xu2KCtNuRg`I{vZ7lld_1bvNm-fEtvboA
zIJ`g{sXBtdq$uiUA+T1@M0u1Cv4-eY^>m?hRe7jx@QA-e*5Ga}Y#7TbROuk~0Nwew
z<8Y@H>2{()hOV~!m|4<h(OZKqxfOI&<1P3ONl+3T$g}?&W}ub_1}pAm1l)PFG79qX
z7sV31Qc=y^l`1T#F3R{wyJ2}D4hNf>$l&;rHcq7?4r><GQd2ma%}5q1)uqR-$_Cpy
zyoW|SPgk=WbnjX|ZC=H4IpZ1}2E|41aE?d{XCUdN*BOi2Jy3GK6k1-Y`W5FUlgCBx
zTTjP5LS^YNtbRl&R}vKKma<i5dc_E?(MbzuSc()2xI)_UzQj@?@VOXYi7flL2%8;?
z^#r4Mc#5ysH=W(V2FdET6DHd>UFpfGe2WX;wlUjInsMK7b@}5r<pSZh$;m4D{@iT&
zjcK&dxWCj`j{I!DfjYcBh1RsW(*1S(2{AmWhX>SoZs+OTNJXrLP-3rYS|a6aL5z#U
zAWd$d5FqxbfX0s#O;Kl4iKTmyYPp$LcM)LN4RV5f?c^|jh)ad4F}f(budl>%CBDc*
zn$6ylqxA2P4QgpgOPV%1y!vpdU(C}VfZV`u@27lgfUyv(N`~F3vzT6tM5B<UcJ3T<
zfYiag-v|I#a#_0b<m~IzXHbF28(E0cFP|3CY9}~7G`RL;*S4P9_p%ycyZ&6H>{6g_
z0OnIIOtMRKsC^Fq`ge4&BKqnMT1K$&!C@C<klF`t;?;`|i&YD+)N1juvb8;ub%LNR
zfF9k+E6(AWm)=5uU{J<tx44}=+Gl-Bv>LbYbW}L;{vcaoFYfkTXgFQMSuP|@nGNbO
zsx8K~F%{i2272<$zPQ8R(JRmDMy#Lra$<@UlZMxiY5@Z?I(Fh~NI7$8!?la^Fn2@z
zk^g2EHpWPyRa+cv|9IW_Ou%5Smrj4s+d|!9L+z(=)k&65NZ*~)3f#FP>iim{bjHD8
z_AtLid>`N`Dpv6d!ZLQs@w7GTu$9SqN89U9A#$>zX5)ZtSqpD5@rE8fcng7?uW*@J
z`Y}4C(pnyF5)3&{RmY;Xz4?n~9;aCmWd;&)gJqDaZYM|5`@+3jGNE+yAOdgc9*Ok2
zF)VA-K8}0Ic!ByG=Rydc6;?u^VVQ=i)i~$b04fYyTl`wjNIkLIRJY`%_VjA96W23k
zN3FNiO#*}jqKcX_wFqDwtDYuP^s9%MZRP0DXp$_|p$-OMtM_;_QX#yad~janp543R
z;>z1<S9csGfqBB<E;4?S_-*3kgvhD(@~0PTs(#62PEDN`M@F^s6+U$$d`D%Ldr_bP
zdfv>0@lU0>UkEGR^G}R^cNDmDb=C?a%{(~FrE_Y7j(Q<q-Qzk0{zIR``g4w8eP^P{
zbf9G&a&wID+%SK;a*6I+k%4z?%e9Jb6?YNFP}`$v`g~jJyeP>m{7FXKYz?#3ZBgc8
z?US0Tl&o1Em;1=TpN11>-BI^6*FUPPV2#U80D|(hO@;Au5zGuzMJa*?XPSku@n``?
z)8dSJFZOYjjzKO7*I&eWe5<G?fq{w~7TWims;LUpur7lzcJx;Uo%jCD6#rx<&`~Gs
zd3{H{DH4b@O2I@N^PNkQJH2tX?~|?HM;!p@$HSMTKIL9?J~gBLeHN3>P0jUEug*-q
zylyt(IV)AChfFaF#1t{I?h=SPVL<)a8EYK-b2*c73Hxi-SfNkLxGYYQj=Xb*hpdj2
z5S3l6c1@DF22zJ8z}Sh}%uI8aO@1yzyHkR2iWRz_uE5Zw#2w}4>}5|BdjYnuBxfr|
zq^#LCr^lm)ur9_*K!&OTnEawT*XO}*w)AC{lv_{W+#AN20Ho07dj6*VkXM53vXV8W
zj?YL=q3(S?*BAovjB|R+9h{`7DCGn74_`aPEC*R58F4SdxvgKX9x0AunmvKyW?J9L
zr8}6?BARZr(t~Y$WbhEO9oW#+vbiZ@<ciE)Iy(iHIYrm=Z5LO^X89&~iRXU3LfWGI
zr*d<FJH8MDbX)1pQ^L?GGn}smb;8KnR^Mv(P~-N(Ul29x(vbf-VgHX_?Ek+A`+w<s
z{%`3*{^y$V|AMfybNu&&T}LX;sMBHR-?Xm4r0uBBz^TV?c3{!P#DJ@4*!bb+KA2H9
z<U#N&nupgxA`Rn&Fqcw0H;MMXscQwP1A}^eJ>K`%*}SFVy<VBDB(CZGTN7r0-`D*k
z;P2b=xm_N=PLI#e(=5B+f~Vrm)3sb4|M?xC%L2Js>3h=}>(}>n?Y>O!yIZxa-%s9M
z41gctckwm5>;3ceC?{E&wV;`!^Tzn4S4sP&F*ti;y-!N;1LbG!j_vj1`|<K0Zy&tq
z{r)<?wey~Gxl7-d0<6bF#KeUmm|%>T3`j*CrY@+_wkKyT{Tm(GQxui?5a?vGUHFnL
z%+e(9<};<VB4g$^FZXCb;GzPMjWX>WppTcdj5|_ycWBs?_R8Q)qTQ~bnKmu)I92_y
z@WRkF*5lqgd+u^|F*5i%dUcdn^7n$G5iE5;Pmq**R?qUS2fsNo0PABcJ$D7rrq9yP
zOM6GW{7#2@v+*`!LAul!MbI0}lk(j>u7dLx-tG^k@zreGrj>=NY09Kf87yh4R~s)m
zDNAkB@#rsM1M8Zxxgcv#%wc=Q{IHp9a_oeDLQ$3yJ-65%g5p@fAj>aVj!R2i!Vm=u
z8B(N|xQE6jg7QIhd<H`U|1#}o4|w|o{jD=ccfxZz3o7$(){lk)q}o@qHUwezu1JQ8
ztQ@_1wX6`CL5GNe)Kfw^YfVIM<RSV|c9N4zrjsVg4D<9{<c8%M+n;_kKch@<)*Sez
zpfIN;iF<B7(0&NZ$=<g%F>(>?tgT*=C{iqYn{4<>GEpVF5n_otb@yzF&a8U>m=q*{
zUP5!Ra{wU_6jC&DvzJ3&5xOgmR}uOQ98n<=^N++T1t;BKs>HqLF2!$?B4Ft?i2a4t
z#@LCg#9fe!N9u~<#$3vwKowgs-2mieKELT^{63)c6gx3{^xg6Uqa?ck2$@V)-sH?#
zjrmmC5VMAD;(!(SytO$Xiif5SOJtp^K-CEF`(to6A`f5_YS<VYalO>mT>P#AA0`gH
zM?l;e{h!ZQ2c}6wCx5q1|KUiTV4J{Yrzh)FXVvivRmop_wrn|&IO29%>Ng8nC&K<%
zz0hS`Fh&phj<~(kZdPAN0?*j_xdyAiq9P-T?5hJ&#Z4^Bnq%!BIjM%>fb86+W4W9G
zvb^?()H@YoG>wENLv#?g)xZ%hdvq+xyr`oZ34G>Xz(kM1MswSfJ9$zKPpsp;11gok
z?Ih><v*~M<6x3nd7Agg#2N<jhp1i!W8)!_O)44~Hdw1{)ZEF@-l12s2-r#VfPnpd|
z3z*6230B&KE*vOQX!Z*X#46a&o1}kd$YWWbi-H5*Yui`>y<VL*DiR1~GAs9bNi;)F
zSoiWP_3!GsFz(5NL$+C6rn17QsGoJft#g0I#Py3R=B9>7TIz4GI3C&EIV>k@k9RHV
z_Qy%a3rjfrL}F`)?-#CC#^YFSr_I1Kk`&8`svAydk$o#`2mnCLD_a6VhU?lRn5#r8
z+}mpx-{5a;B)cPQ6?0`&v)IgpSn<ZS%@-ozD5Ccnj}h$oL;<Y{4s;icem=rvQ00(Z
z3{+hCTkjEEoqNExxf)W*q|dluS?j3xc1|??N$!Cb9tWEDWVs^BzMSSra`z1o<^(PU
z9ukfCg@GVI4iZ_v*t9C9V{xO|RATLbqchA#`C`nS9UGI>zBG4w7vJp1$BxbQ63bMw
z#xY&1!Ie#PB{zUQXeuM4K^k_+?Dq!4axm_~HD0v9(7=KpH3quW6rvx&`|b8jB-td;
zy-`0Y=yup3cOE`H&91y~DOwOsPut(D4vZ~tJ&m8K-Z=I-`(_Q7i(@dWK!{^D6%5y9
z_+S}wYunmis~CP1twnAb!73B@n921Z9e&@#aXp2vQ7l#=`0GK_BIQ2B^7SLfJpQ&s
z>6%YERtYY<c{1f(Sgg2zL;J8=Xj#MTTN{-%TA9GR!?T}ZD9P-hB9%>T1qIPWQ9!Ok
zi!I*m#djyMVcMHMh+j{zwT{bSsJW|<oFN~$vGQFB<*7)<Kh8O+Q-dZcV<x3Yq%Oz>
z-M>wnf^-FeMRodVSdU&78Vc8vYU&!W0lHjk7JkIi#k!LowUX#~*PRvv-6HMXkOr@|
zZj+x?)J!Ww%OC60uaA}i*@E_w#C~4&c|-I$pg|e#zX>1>4L48iGgAHizFQ()hn<6Z
zI(t9FXCn}_QFBJ4v*oCUcZ3NgjwHnEN3q2|bpuRbp1M=GOtez9XxQFtJc(DuI-g|r
zN_v){!7X=Vt`~?#yiz_+gHTxD6#sc-K~c6^tp;&QDlNn>N8L+5pWFr)Tj-bUO)GXv
zI)yXIMVX2a;$h^H^onp0<C1fQL?F3f&pi4-8g63U$CP?J__}Cs-d~{Y&sz)Me97xN
zEbkJEKmJG5dFuoz5in<JjTT&>=V{g$y6wYy#)(TCt^IZKiv>P@(h8W8^;s<5duoWh
zNpX8m)9W{;bl?E-AWw<$5@$Aq@R+)zy$ARFbl|VUSYe*aLkuv=AAuDyv(_8dJiZl>
z#RsquSz5Rr#Mg!AExkr_FedN_ajf(ij}g1BYeUu&IxIe>ze^4z5`ji+%_LcfT&G`U
zby5~9SouU^iu1zJ>sQ5WrnC~Plh*xmC+HufHEKM+w3J1-hOU@sh9oWmNlD21l~cGv
zhR;ieq0&0%d2SZKloU+~iqaw=B({Z=>`<GxBCUHzhJNst>hwmC<feEH%P3a;^rw?L
zkPL+w%nNe&v?pBZtzr3nt%6w+*IH7*Nh_s{+oub9S>UZ?3MVB~bqWkKi)K6ViVBST
z6|AQ;3y;@l<YL#C&Ply(>OcW@eq#{=8lIl)HZT6Ux1bI}o*!_9?+E#)xYTbRgpL|N
zt7O?(N5mL|smYgMB^4`wxL9j=!f%78dKPY_1EVJ=)b3_?McG(w`tOo^R~PvQv@phA
z+LPGp(MN@%N_oLZQda&h*7Ci0@86rE^lV#}<=*7o+Rf76oX5@HocryE?ebfFKjqym
z&dzG`ey=`8`F#95`ti@o?aKXyrqBENsPggT^?h)YyX)yEAAs52578Th0c_*^JbZh2
zaeXU&ndm&y-xJ@R-{tP|4)Xtq)O=1_TRy;uh3if2_Etjxie8;+gBGb#)x~*k!>)5T
ziK1eq;v}mzk;hAE*3lZL!%alvrObdVV5C^z_b(GeWL%1dyE|1tJ|cUo|1_=j^;GCy
z!;m%x%%Eko=SKGPRzS6ZPg1F|n4vi*+AGs*NF|0`Ns8PiC)HaSyWI2}Z@RYpuEj+X
zmO^daQ^J@3i~-U_wB&+IpnM4+nf!x`8rYzm>TKGban)bCk-8S?7DfjKeOC5eWSNgH
zGwB6l8}s3J1xK=6qIi9dpwK>07{C@{EN=0*Ry~2{z+#s5Rnh)>RqKMM)NGJcZ3`k{
z%?+mz*%U|0%dp&3eAkf-aH5m9ftF`Qi1A%4LA5%3WV>GajD_8>l((Fq3{k}Ct8va-
zX{mYD&lr~VEL(7rp<d~@{8}r~E@AOh?bUKN7V9hC8l=66GA^?Z;TU$Om1xF?1iR-<
zJs7prIc=%6Hj_$WmRU@^f$lD-sQ86ck&T;q#`H!Sc6_HS&{cdXMhJ@LPw!Wis6kZn
z8+y2kG<#nj9#_>@FEN9y85D4>ua~G%c(+hNAS{FzpUt0NV4Ny$hv<q1*hgf=hUq61
z?S?$SvNDB)zlY`(l~uVZ0?@*NaS{!+C)?IWZbD&Vl9o0Y4s5M#+PE2!@0xd&*!-SK
z!%D1bIZg0vF9D-=Tz>XsYBb6dWiiIuD(yp@(oEEb;?3MDy}@nR%76L@&kcN@>-Uw-
z)vK%??I^8tqYN5yq!R1=oA}mUp_wKUzlss!p?6_LJXUIza7%Qp5T9Z#B2|a(rLfq5
z3#l@^+X1#`^y_jlh<}VO`lHOgJ%c81T!Vp~Qe-gP7GwO*hOAZ8AlaA+gNg(VkTjIk
zKGPu}jc{PzjE=#Zx)#xiI^p7SC9SlJVJJlRmf;g|ppYz$LQ)CN_-^7&as1Ebn=(>!
zkyw#^ix!<E;50j;sKO#|7?W9LvXTgf&gd{@3yom2ip+Pm)>Xc-)b<QUv#fNkxvrz&
zGG@{w(FMoMg2v7VxK3-?0o}fBp$(K~M?z;R%BVX}`0Lu68Y4qK$l+O~^rmW*Bm!^i
z`bNx|Bd>85dT>_%=4R)JCxYm#PW9VoO}2OGSfycHik{&)X+8DMyYcrw(5N_Iv?(3`
zCT3$5^Csb`HRvD5I#<u4E7imX+p*y8YDZKs@;mc<f^sF&<HDPDLwQlf`N@Tu6TP_B
z=GNmdKjDXmtZieduI%t4@l(b-xMF$u@k5Ah^RPe8v`v_0vr%9!_c)Q=#4G=##sch;
z8ScVdlK^Fw_9e50?m!#(9#^R;*)n8mHK0rxW@oQ09JxV`S^WB?JjCa#>6?PFk3bp_
zgA;$~4sY8yP$ac{)Lv37meyguz1~bBvxp5L!f&dV6>*~DsV9_#)HE|O8BmB<BQtQG
zb661u-=#}lgkW5+1UnvPNuGklsN-~WM?sZf*1nIC)K5!lw9-6jN-Q+mzWf$SWwY>h
zKjVEeH+Xlb_t?inLqvFE@dn+_^V%`ov=~28ScJ!pvnade@M80>Ve%66$uJOjUXYSH
zHl_vK$w|@j7Q%-Tf$B|hx;%}~mD?n0VnD|{D49*kZd4_6{X3M_JfG^lwgZ$4vgTsM
zf!$Hj7Y77y6;}w?^_yC=CHtId!1qp{YS^nT1=K<BBv66RN8%g^+BE9Rn2QXP5`((2
ze%x(}x^R1lVKh#wERE1Y!k@Bd@)wyQ*}&CrFNyiRb9VE4d*l=%6yQa2M~h2ocZ$&l
ziQ1lligy;hq>O_3P-n>B!{P<T?#q1?Zqta*-7^GDd(pEqvxr=qoA;NAw9t}cX{9m0
z#pDz+jp`;+;H^}+lpOV>W21}^S=}rSMd-->X6O6xxb^q@jL;_Oq~}DARu(|4BOGvM
z<cGjVl)?$rXAmPbrUyt$r<hJ>2H+%!^$^O=U8iswzZfZp=DPPkX}t^=sz){Fu>nZJ
zo~!V~N9JqD@)<Z)7V0=Ec(1QZGkNT>#J@ITPzmvPxC~ga$NL!lIFsbj#h4GG3^rNq
zD3A7vkk#D~@T_TuHZs_7bOc$j!1s=pv@&<*Vy#K{Lcra|D&5^gWebvd@~J?;@0FGR
z?fEfldt0Hu@@O?Jwl$FQI@LwPNd2C_=LgT6qU~HMyRTh^fXraJEac;v(L|)7!I{y-
zRnCuGw8fm!L^HM<u^QLq+WYM=E-4+Mrt8UQUgx>LSAhluPeUV|K=29@(tpDU0Kvn-
zapMSNTN?bvhq$0gd~XIuC~9Qn!IvYgv270Y?AU*VJDhbsfvqo?S2kNOIn44|hWpO1
zx%y&nKd;h%4`_iX(uaC5HT^V-fe3*qIXR3f%r)ii>*YaSk(M|xhWSoP<%Dv`whmmd
z_XWNDf;UmXj%Nv%)6RN|pc+K4JMj+&MZQg**>!6fhh>)10@9o^9V)2Hz+<6@HxF&b
zW|q|{`th=GnYi)9sUO@atu~G8`1){nPNo|6Y?A#_RCvK*zE#P&EWsMriUu((G5<Z|
zCb_BA_=k~7%y69x{<5DbZWX!u5R&K`-B(GyI3q<7&LyF2ulWHa(+D|&2;cX<M0DGF
z%qiTGw|(*uJt+}nO!G0dy&>p>;=VsP$|Et^1Max<kmHDhRh6Ti<+>X-Ql8}=*})zL
zp3hoYn;C(nygfm`FeD#o06R_Ye8-h6>VT>H$S|32P3&4#2{$Xt>|>!D6K+WL%w2Rn
zr)bd5TMD3+6-eS@QhX5xnl`2%$fR)-Lkv;JG?yZlXi5;@PWU<3U%igEBSWla^RB~g
zjT>eiD~Rh7HnohGA_}3vKi`+Nm~;;-a1=w#!XFp9q@6aE{CUo71KT@9ip~QiqUr6x
z1uM)Bu5qsuBVt2mYe|OiI9ox#p`VC_jj?9NT-@zbX_j8mub}20ZD@^dxPolU2lcXZ
z9`x^j(XuLZJ~VC}Lt3)s;q!neH0BUa0T+d3d;mYyQjp)AvEtfBT5!0184;yw6OsUr
zrq0E!>RUYdHKOe&Fc*)7NcI%sp>i-{n=h8;Fht#+tUK>;x*fs5m4CF-iGXN`VQYfN
zQZFhf);|ogUN6-GhaN1Y-!^1o51<#7WmPg_lu1etWiP;wM<cSxl>T0qK6x{t<;r<e
z#pf!t{P=HLK4{pVnCg1tK8?^&#fJL_hX*Fa<dGvNPFDJIS+Dj1`z$?x&!<6wl&IL_
zQ!tOsvF3vh;e$pdgIIz>4=pwsz(>eGM}J#qK^1SJ+E(br)AWf~M8DelyGy4X8cTd`
zrQoYfD<OX{T6B>lh}G-5<eI!a$E3>bR_=?!WWnHKAhFrvI=%7%Txv<+*m_#fTi<BH
zSIncYCahRk(W-l@q+!B^9hhnISqdJ1Hy{R`8y8En*0Pzl5*C`|LrT5~J|b`H<z}nK
z5Z4aB7-~c-=Ox~7dl+G2N+)taSj+P=VM!vd`Nx96EyVSM#n(Ho=42)5rnX{umhK2k
zrIlFo=&57&@^)DJZUhDA7U96%#6GW@C2eL4RgMpgIU3f*NM*+pOqWl6p@UK@%w`=g
z@<nSfM`?r6D&i%ZMhnP((B)>!wt5wA!_wU`QrG1eux@W9k>)pQ)jYIrtS(bPQylx|
z1J%JGI?ULOP*5;`k8hkC8aT)s{UYB(Cp+j+{>4W5(zUe5)N9G%C(re~wvM7&jcDx^
zey52iHqIA(Pcv1;vypaWjGun%3^9UJ%Su2EJ^#Bf5WG1IvbGuirUVf{h*8IaOE3XW
zgO(ig*ALUA&29wmzE?k^{Mk11y;<3bn*jV5E@c9ZLS&q7niw^29dxrU|FLfehN|lp
z?m6AqXN9B|WCycsN;aJ;y58m<QmN8%)dXw^*+jO|!EhSUO)GWsjii~Rh;0oPr3v%&
z&?dJ_O!x}*G`wcesMuYAXNkwd<6f~#6&&u}TlV8Zn$v~$*j3G(gKR)2Yv<Y-o{C&+
zi`p?;=@GjD=aE&1;$EbnVwX!aGAX&|@GL5SN8}tFLT}xIr0M`ev1lo3*B65A*$a*k
z&pj$bvR%bImX2C8PPj4=g$Rulw<ssB2&*i+<2aj{vZ$-!Q3Yp#K%4{4O__?KNZ@BN
z3miIkh!DW4Q4Zr+d>YBd@IqAuT9>FTZ%8pEHa|z)jm6=#k^Y_P8^Rs>BDL|2(|ilw
zBjIRmxZmXAPz=pxLEF%PZnCkpeVXEm3Dli;qM2pC+)G;+0VH%ZO!Nd2b4h48%0d~Z
z-SD`%!KxjzMU+UQxQ^*)tHp=N4L~g=45O-?UCXjl-_{by7I{COw(vr9Vg35t7v*gv
z#J1yt(jK-nGWXkhwI?l6-QoF}wtz=L+v*GVmdmV+%&Qv)NOQJ|)C(^nWNg^Jz)SD8
zVTjt=-BYrqh?W^OzX5lb;Uq?OpJT!bFE+lDD)W};oNxmbQmMmd@~7$Tjv82vYo@#L
z>wdCfn0(clz0rN{D5)W_HN)qAe0Q<Kk@q*)@zN6PiElW}Lh`~@l{0hTbv{x<@lfZN
z3#Y>7%nG?|GW}9yid(~TWWAQ7c!}=WUxb6rQ|<qG0`MPdiT_Utz<+Dj|5pjZzopIp
z+t&PldUBKVzlc5lw}b)zSqSpK2m@GI{zq}MB}u0XKf~X>5^@H#ZWXXJ@YZd-F}fo`
zbi&H`E#rhg`0=}O_@}sd<;4vEn$Lk8S2wjZ$<yzZ-X341sPMlwioD?v7(dTho^P*u
zJ-+XQwfH~p&y&xmwR*ljtq6*A13X_}tF?N@ZL&OL5Jl*(d(YTE-|qzbg}Yz6kzsm2
zC^v6+Qohvt*LMG&K9m#O>WV)gD^|q7*@31lZrU$m?MZR$_Fg?dj7r|`UR(HlYwoX9
zamUef>9CI3)$Ahj_H?*E_I$_Rjl2}8c;mad@qMqkBV(fTnxBrd>2T5H{gHH6=jFBg
zDRGbJEu9?9Ltc@Anb6u88hJrn3B5ipk$Kxa#+f{oTG#m@;|uH_d#VnSnOlr_a$bcE
zu4^)3NZ_(l8<NU9*mXFUg5galz-Udb@uvpi`gyv0wCnY42UGrgbD8GXoj|4>N2Xd&
zF<eG8FIeh78fFJrIbYbRNVU1HeMH%B6O`L{00#xt2fq^yAM*;82d_q@3!qns<Aca!
zoTcbY-%+xArzFlHC9#NY3*HHIOrzjJnMON%%q8&Y7N5i#)AJ@Q&t$7TR=X#gWvxV{
z9tm>@dE*qO-62Fe+XngEVnQBr8kFrQ7&iL@>RrnMcpb~{^T=phl*{ANPU3U)cB{4L
z{FBkfrNa~lx7BjSmrKwqcLZFE!A%CBDQc4@-PfnftV{0s0HR8>Ot}1MPeepP_y0+b
zxYfl(C_{H=<o)JFW{{YB`W&jq0$dFc?I5TVSd>h@WVj(?n3J);1II|mbuwh|G#W-_
zE%2*UuHRTj><;Ahr5el&mj5EE+bB8vwfFFq-m^gO4CZyGmLJIyP;r8;g3+BKm(N$r
z+9+l0iU?OGkGtbegHMK%zPVBc@&fAmstqKvKX61YcBQ0n1SL*Jc`qm$7_SRO=uRrW
z?~9b5x@XNLtVk!9R~@Z*R1HZ37q$PmM)WJ`s3Vq!cnvuJw2udPkzx~GSO=ZWL5OVn
zDd>Uwen(iqBCtCjqAc5z0W?wLJKnV81^)pbJJCE}wc*zjj)oytfkv$(j4VjjV%+Jk
zdCmGa7to=kkJ8@w2x@QO7G%F#HrvXe$}&(@dGIMR`T+)q7K&ZWM4fq2$UIq)2xVW!
zBC{L>WODRP6c4;rNvK3y?x57F9+Gr6Q1pwnD&7dvIdR#K0OMsJfZbeKl4Y&0+t%I&
z0ggP0Rkvq+gMu~X9PJ*fPLeUbZpO?CLpknJ+!s`Ce^`Ss)o=w6{H#@sHgh3>CLb(g
z?$<>w)WHUu9JsAEYq@7B_b{9eo0KDOKr!U=2A1`hdygQi?>uiP$dIZ1XM<Zl_6d+M
zQ>6m|{WEuzg;_yC57QfO2KpV&%XbXp8!a)Yg#gBDk*oUFn4X0Um|`RMB#q7?lR@(j
zEc-;LFGl&Hv5owiK0$4KUjg`cLsGh~SGsOcpQ4bqml3(;s|=l`u$ofHp(#4!+S1^w
zy_UrQ!q3+zf<FLl9s(z5QD*6Jfc^(1-=ajE>slVSiokfuYVjF+7mr(rcfSqZ3t0t~
zsIJfmx^^X902_xcT4N6k81DCPZ8<*UlhSnZHpw#-(KNw_W?3c!geuF&s3!=2Jf7!n
zcnpQ~p=J1AV9t?*(R^u!2`%Bp`DA!;pAEmG71KmTV|CD@7iUl+`g4~}Aqnk<d92k7
zQf=CluX~EXNMIoQiy5@187?K6VeHwAs2K0E4?g5>HJhl_z8f<4E0mU#lcKaBq^6TA
zXF%(@c9bFxO~Z+5f1i#U`X^q;3stFX1ecMmH;X6><Tp#PDluZ<#tqv*lyR3McMiy;
zo8Z+hKP1`leEEoq^#X6>mW+RuMGDzZCQ?Q*;@g0?pOQO;!RNN6LNM@AHgs5l{UCZa
zsm4E$9}0XoPc`7p&1fiW=~-!2@vg1<9BAs&d$!e%Gd%GPFY$qeR%*8p;>m{YchLEU
z)88AC)tCgr;w*N}`I^osw~55QJhx53>|!B7`UY2>*Hd*q54s(^G^`rDQiaW9j!(gl
zR)rtP@>0qyxoI#+<+=n2D``d-vXiC;vlm#4_8@8MZbySJ!;Bfs5c<)#bx$?NSrsZH
zQU`<$%_*le(OOIsNZ4*uOrl={K@Tavo2KfuMI|DqTZ?X}xDcoF{EVUufSA#77<J6W
zI-jNdi<@rJxv!4Bq$?Mt=n@|e&N7eQDC2li)l(^EiM199128}mMCBJ!kUVmrCj^8-
z4aAT7VgQ7Kn<PzPW%-IJNA}wG{Oi%b-i`o<`=+_pprN$6Oq1L2&~&cn;$tm{2oJER
zoGGt~`Hjbn`U%cX(U_Qby}KE{Sc@)GZ?FDXgLmUoEP;ZM$yy{0=wmU-oHv0K+oeks
zq|jhJv;tyGe{nWd1drI}JdCzS#K}7qx6t&pn@Sx98c@`Io(H8n<tC#9)oCi_1uL}w
z1Rm=w^C~pGO|&IA;6t0Je)yxNJBni=0GYH$eNK^~T!JfLiX>+BH9FdiY{LS%W%=$E
z)_}UWPes+!4G1MGW(h%ou_zy57D1PJos|f|R%hBi4v`80U?E5z9(gV$agbti`S#4v
z56z9x`8C5Y(S!nHN4G3BR>-!?wBwYl2GC5KC9P@hv1S>%2>-G%isSJ)5)0;KMyI-J
zgu%$Pnhy46U28O!GSD3tiRiRGO7dY(_@5jXH%E4q{T(wSM6ta@zvPOCa)-P*!DmvC
zE7svZUHxOC5Vh^f=9;RQ;?Zqd!9v*#muWLeB?e3Z_X~SrVVQ{3H8Xum-kXJSwR)jT
ze^Ee|_3uockQjpG{HxwKqHIF>BE0UyPb3}ny9z{vq4bWKMmzA<pRk8hKe<$^@N-OZ
zw;u8hZ$=&64ceoMhHO9zbs;OUw@g_;wiKJwBfcZp9|x&16Hg+fw6YOWm!?F<WWO8~
zq<14(3vtu;R&;CF>GJEF^^kVkD_leogvb$5xn6|P#)kT+8vT80eql^VT7P)doNbMW
zYL4Ffnz9wfbH=q74-eyx#0__}*PV4|Bpy;h*=0L%gc2@dL%%~{2v`7(vm=mx;oJ<G
z@HZf@e5OS`)e1PG%)F*J1U)GgnjW+Qx%v#<SEyVNeMP_3`8OE_{GgQh7=k`n-&xSE
zB$~}3PjaL~6Cb7JBXHc{Aq8c()+vb*e*NL#?Syp)>2the&_SH8LD*F4A81i!LR5tm
zGj#eC4@W!d#U>|S<YLgAfj}L}GHmDEi98W2Pxychr+xfv_dMB)VRMsch}y8Y+h>W!
ziq4%ALye(+PsMXUhDXy~f{%$Gc@}!dr9{2EUt6x$^wjfKVawoi6T4tltNZI+hm5vX
zXL=Ejrq}<)+&cyd+HC2fRn^5V+qP}nwryKo=(26wW|wW-wr!pIzCC;P?6`Ao#JMpM
z=l;rgS8C<T_eU;0%SPsY;eli>3Iep-bT&#I)$xzc@|N?i$0Cgg&gIpCRVbe;_YsP{
zZ&$FLX)@(FkXE27=|}M8YHjhQzuwwJX|;)Zv_7RoKb&Q>qnv-U%kB1~VrHEg=e!zH
zLjk3PU<q1MqQW>#1+dD!)`EBJ$q-eXKB^|NZ)teW9dyq+T>)$$KdN!3iwcd&>l+a%
zQX=!A)=a}fUy?!Uv7K|-drLB&aj9S5Bqx;S!VNq_RZR-&&q+fy-322B9S^sPIlW5h
zut$^l^n543;u^sEJ>Zuhx3732C&c+UNZ|=$)MchF`!Vvo8*~*-da9_Rl8Oq=2?PR7
z<6duYY>AFxd}2Q6POtcfjfOcrvsC|Wyf<Li18jiGSZ^ioiIyhQ0#<b0arnjL&K{kq
zto<MvC75@Epy)yu#x6N94VY7|=8@dNWfSK-D(F^AEvvgs+(Ut5>u~e|K>I&w^88L;
ze7amU707+#3X_=!V>)S*>{OY1+yvdURHmD@Gr$;YQ^39`Z&D-8EjOChR!|9cIo^6k
zoXg8IOc(u<R``WYsmGf?2Ur&*>G-{oQ{X2?JVU3amaA`t;?GWumQdAE&w^|CRGW^2
zgrK7?NQ6nQ(8dz_|1iTUV$Bf<)zrC~P>Ew=OE-Vom>|Tk(1?@=5hVcl_h1e&XpH-2
zG+YP=e<>uUgs4aNY<_W*e<`Wd8v<~B9;7!!f4v>{;vU{yZFQav>Gq~~dA-@-e7!x{
zKHg;SY|t`#YE2L{|FBZJIE*=Eg%hK#rOoocauLYc$fMM!L^fG*o}j!sTCP2JaG=-r
z79Q{&e+9izTar}`)R2u4u%!VU9o+q`lU`V^_*(L2lB^|JZ{-aRQ!NuD<IyWjj;ww4
zslgZ+uE4@l1!XU#u2kXL4FR%JwOd72ed&AJ#Xl6v?{}=7!X?w7C`8`dBhc#lsB;e~
zzjW*iP4CHzy{+XcIS}CC+q{9&$jIr9Fm-E8@&rnNvFEa-(ys7w7@fq6A{nh(e(|SW
z4(tvtC7MCq4rJiOb7Xt*X+XtwqUbh4!|LIUq{Yc_v*&ECuQ-!J)i1KejZw|ANGq1Y
z#R`U=PueSJT)Rwo9}es@*h+aWds9wxiCbhT#RFEdR)&>bSp1AKiKDwer6PD~veg#V
zY91ha!k2L8Q7~?4nuTmHI37&TaH>KJwOgzV)AtGRz4!;T(+liegdCAO<+Z>_?@#S)
zb64wqOSvWWLv!bk@jQch0LWdVoaXY8ACN*IYk>pfgFlR$jJ|Py(k`b(5?3h2S}Ey0
zlLTZ<JesWrp>X@QNFHA+dgfL48uzVtI~T2IcJ*`_@5I+!{?J;=s)Rf`XG8=B?0IEE
zmAfWpMELK#N=_`;Q;-w{In`#3%RY=j4-oJg%4%Tml$L=9qi8UkoL(y&z}6U;nrM$&
zd0y;xzeOl(g7vKB@@s}ra4c^6!_xQL1JaQKhiyee3LHD6X!kWOq{b|ptUP}{%>mN$
z?z#;F0Ip&>)2YjrQ$PC>az_$RKXXkPaYjIAANF?a_@5>fqAyAahGSLWkb;?_ibd$r
z%{?jhkmy*eNem>rcj|Vb2=uF+>1oEF;W=p-feUcf@{lcRv9Xh^tj#xCMchO_IoI(v
z>RRR+V9%oIDxPsP5u$abgnH<@!<&LZ>9ftrD0+WzrRh3XpuS+G!HVSK-YsdRZQa*l
z-`onN!M0MhiewAiX*?66GdD(wOX6C3@&q0_XGn7GSGO=#`^%t@m3+5`)LW)AK{NJ;
zJt-_QlM3h)Nc3Ru%!w=+VGBgrf|!@!y731=s`RG3nJlg9I#-5J9bJp#*V0m@RfN4M
zIGyq|&#oPxkqBq&L$s37RJ3Zmr)8H#Ag91nG@t6ujRvqBxQ6!BnYGG`j;yH=!Tj;{
zKo`TiI>hOAFn}_41hghg0AV!I*d7tv*Ao*mAm8lbkG`+OQsv9ftimj&aZ+$7w>qO*
zgwc?4{;DN4ZMgNErQXn9W%@81wqDq;ASsfEB`PmYRdEC(kpxXg=&cs=X23m;@|3wV
zz+Yvo)leyOJ0E!lbWUF%k?mV<1*lPKQw9Njvy)Dz2ndoJm50bGrZD{EpG}}Jmmrg<
zg(OYoARCzEFHtNc_8l~ttTk`fIv&-;rY{d8Pfz{R;4VI((%~RL!CVPSrb?}HE(gk!
zpZZ|sGtUn~PgnCWoL5TDLy>7I0-acX2Dd(5Vsotq7R}>m<p+g#D+qV<=#dd<hdA9#
zSyt6+VqtJ(7QsZKZvrJkWdoeIa`PkJZ_~e#WC+#|CCol{rt@$xscHWW=82hc<HYIK
z>y3!J-j19N%SCDq?i);|>sMtf6p)~&2?~qoR6<!I19Cx@5o{u8H4;V!hC_tP{ajnZ
zn;B6HX81^p%03Df(;bA6-tKeTCkL*jkcK`C@TvLb1?<mc`Y|@7&9=M9ls_tdnMwXF
zf8IpRbQ=eo7GW?iVbS^-TnB$nj7aVa{XVhdmAIJsBOtDAz?4tQNDc#Npy*yMm^2D&
z#;42uGX&>K`wp;8G(aw1$e9Q`!<J0q)_!?278H8YDk9{LF#|`>$s3PA=8-j@PY8W-
zA>!f`3dg8^?!epaRftt+L>MN!tx(shjt_`3A96H9x-8avgVFZ{jNF*p;$jt<`L(0b
zB`#n_uw+98fR|gu=ha6c%*h6kw$m^QNHK7}1q7opOJS)L#)?n?mpPCQfLx{yH|KMk
z?9U+YX*OpcXyG-^@72&1+2?W$LdRyh?JM<!nGkEX3lWvz9hG3SVw~GKHJCC09f;7-
zQPm0=(qZYUR`@z+dolf@SEh_dC178JmC;YJKLV-Ob5faaJ;e3mLvO;5Vn>x;sd<rc
zbvL-wS!wxV`j2{>wCUKlNq`gqCMQ8|S!DqU$uq_$eU`6GgyzOr9JBTjUid<}rLk-&
z5PH9fPW^*4pMfQHo{MRjJmVwJ^Te_QSF&UMe)CGR9$6zTQAEKQHa-660nSLsxXC`z
z?WUs3LmP=smk@rHQix3%?H2+<7wS9tt?h|ap@|i{Cfci{Wy_&4OK3HueV|{YSAxt%
z2d~-dU5rTxCR8$)DvvE`w%gFKF$?%OncA~^m6Ft?X~tNp=lW+X{WqP006;*V11<eP
zF2FP5o-GYFJmd0*l_sm5)fWIX+9FK}oNmp`zJZS!)k>VO!<DCBx_-g<<C$43ZbYoY
za7@uxoLGB((bWjz<$TgCnHQZ*CIh8X1U2-HGZL1`&t}(Ea*k5=NV#_<7GZs*uTjT*
zTTY*rag!?OXNyxwbh)hz3LD<pps1U8cG8$qlYkJ}<cdI*TCl8EQHvoUCr)Q?;;0{6
zY0Afb!kdmW6yfSHR3>KB0?pY8H<N7Ge=KZyE!#5eLcmxzF;nws+N=noISmlPns_bp
z>7CJ;q76-M=<t)+iE^bu%X2LyyM~%CYCvV$$uL3-VL@O!Hf-`3qeXHI$zZtz5kO@9
z<ktr5qru4|v3vPf1X$7<@zR(pLPOOrmgQPs>47L(yOwg>e>FH4O_#~?-IY^Kt{&XP
zGhk;Acn(MN=UqmBkY+5^hNqha4Q?O5jWnG4?|NV>i6kf_QbMldB$dN;v5=b$#1G>o
zMcsB?SP>R9e>RkGK=arQpINb`)6NOOxghE?u*Qw`O(yl5^KRS-IzCD{EFs*5TOg!Y
z?%A*<0?IA~!Yhn>j7d&A$=b9|@bFF-iSzsKLc4VSmfRpIL@(S@)lkKdBL$B!IWp3N
z%8nmAe5qrY+@X7&g{eaLSgEbh-H#e=;}NQNP1vd=P)Zo%;+z&ar|RKHW$W}fg%`hi
zl$xxPFCnW^2$>5pI2ksuZfM#*&u84PbJpIIuZCp}PT^i>mrfWW6&GI(QUiGLkFiU~
zCMK2}DX~!C<k>eX5nFh!v}i|Np_g?I`YxgEhdwt*1~P_E2Yl+Hl|8*ffUVn+;ywI(
z)2hPzg2(0z=L@&niPZPMw~hZ-kmdga{F(o>e*eof{@+2;(9_{D{SEQ_e+M-9AL!Em
z6QIHW6+!xcZyRT1W@rBkYxo<L+F0Kj`lnmQhL)!7`XI75YR*^ptGT(;Ny`+SJW5Q(
z243Y3UX34*P@q0rXRdgLn8j-Eu+J5{;|^2{V?zOU86Sw)u7h|M`_okh`lRiUXaV8#
zoZ@1PNRRGD{o(1v&CC`KYZn%7rZyHX_saKM<8b%l20k!cOc1k&W5F!Sht@lYveTPi
z{O%G1XQ|y0xAg1z;bsPwG(Zlz3klp_zy%2g<Xz%9(2#)D(%qn|$f-@<PAsA$0U>e-
z^Y@m6=c>-c&0Un-Ad8PJ&8Ne!hCqF9*I)N*)GzwqK%(%3Nht`Kix7%Q$V1&_=2ybO
zEK1G_#zLZQq7w;H1f&!!??j|^kvtFzeYSg|l(o>KGmz3z0VdUcyy>6)Iw1^1oQFc3
z?i|e=*RqYxv5cPhT!}+#J6X`gC#ER2>pMPAe~Q!jb)C=(I>5~_d?Nf0_l|y-MZTGZ
zQodo;1!5+&t-y{k6vd$FXsRlXmdMn4NdsEj<{`X<GO*S6G4MZ|_Fb2$Qyk<e7RF-h
zl^IA3L-55$nNTgH7ARIqNzYQ~L}V<JPXc=iVcwId%TsK3aq+JHFsc(RGTr`@C-0X7
zLzOF|rf_XbgmEToN&lz(4w@7viz7ZU25U0st1`cNC-V{?+1S`=X^P%nH*^H6Hp|IF
zMX#sPYrBVz?<OA_f(9TDH@CowPC-UP6LXA@#?ssO=xU^R@7fR%C_-)$;zU?-<aEh}
zTBX|CeBq}LZ-b=`?B>qN;bEC}{X%+@#IvHb7uF8|+USZNQb;k{Y9BT2CS>IikP9Q;
zYRUYw6>`)Ms(j^(1j)slDY_xC5Eq_f%`I(DR}{k|WcpEg%iK1-(iDmf_vGpiL=qi6
zZoQlynLMy(GJ^Q@k}d`75}Dv0e_Zu!jA;Jnuh}SDwA;(i$%J^zkQ6D`JT!n;r4SpX
zVjj=1lt**4OhhUzX~k}bLw6VUWH%AImF>P5>7=kztB|gk%%$H|#p0C=k+P>aIczPk
z@W)L8(fFfL<{@`a_X!m@0yVQA?J*tLgZh{2a+PMT@ZvKm$)I}}Q0gSG0MF73^CehR
za6hQ7*{#xE`#awvvbb-vjiC?#U@1q#gwg7qLG#+N;c+sxTZLf#rbAz1=FqTBDo2jk
zP30}D<S8uWR1hv{4!R(L?vL#Mz%+5nXG0J8K7k#b@jo3!`2$=ZNf}^RW(2o}2i#Fh
zW{5UJ2JOPPgOg2%Qqp4rut$}LM)1{fEyD3lwA6@SX$^9K|59v-+Jt;u54Sk`qfZ*@
zO;WY*4z`9yfMu^?7+O$*5nQ*8+z&4WHDMvWs>q_9!ND(V9f+`2YPLU>9jSQf=w~RZ
z@7o`3l7E>6CivVmTVIH9C%EZYEi{m2ytmw_gPM(8*AJ%_Qs8a2AT0>w!7?C4@+1Uz
z7q`TWJ`iMYc71sgsP58<hW|6holH(J7A4GzaRdneAq!e;dsBcBJ-1fJnL8Uf4W;<u
z*q(q_^h#^J9%E`YUoL1)-9u}sOgaX~@b13Mz<`9a>WJF=^rSaaVJ1U-Vl|O+)tnt;
z)^7v0RIO9K`8#OP4Xs;Hr~yzR3)q*vfxjE}!1q&7Jo=+*nyS7y3t@}A%@jA>h)uuW
zNd(2Ml$=2%H(*yd*Er2v2LRuwMeA~sJRSR&3Q_LXQC{9#@$fWegxV%A;mJS?+sQ7i
zv~9I%0+1g7CB4oZex`h{E?FO>$cW+G$S#s$TMeE?=61N<3`>rSX>BhvjVRu@^O;|e
z1M{hn&m%=}2KG-VG393}K@o5kaTOe)ASd35^sM7)g@@+Lxb_v<JClm0;N5=C^F{w%
za0#F=>F%zMw88Eql^j!elL4Mq(Mhh~MmQ{mg-vY+5$R2UGxI;FCN<Qey&@x65qQb=
zS|JtjW#F|z{gcAEmu{hEe1IvN9kgg*{J1d}#NltPwS~Z4kmT}cd50E!ql(fapm4bj
ztjFW-VgVCmU)<6_lRG4waW`MS*4E}77VJXcW)BDani?xo{6U&VB^t_tILSFB#z?p-
zn?$!c=MZmobd|3W08+DJJqOq&hy)~Xw0S4^6!O(e*RIWpt7YDEu_#!PDOn9<*A%9V
zV=FU%IN?|YLB!636ccZ8OHNPS$C;(|KiXSbZ|w`YcF;g1FzD2O0z#3v%ey~C{czXN
zi*B$YTT5#|yHZPC?D(LPEgve)uIrqnSY*_4Y7nwqSjb?WMPvRMK+@yy+i`31Y?(&+
zN6B*S3vSQ}r~>_`^#JBii`x4w9v-V-t4?7(bDp#49ju*O_B<DR!A-g!W~Pg$Bj4~l
zq=MgAkyu;7D%DlIpL^jdm7U${op&k~o88qPx1gYpIIucR2~{q*tBo4kJC#eUkLTg6
z)f%I!s?}S2l@kZ2=<Dtepi>=<?^@bT4{8QE_?41W8|p4w!V8uwwS7w2lC1m>e8Lxz
zsPIISZ7VW#D>rJh8JtpVK!yan!}_!OXF%_Bxr;lFjg!+o)Gm@wVc4vZM~4uH6q!y0
zVmQ;yldY_|*zq9fRg1`b;AFZ;5DQj3@c!^!M##BIAXe~c;JNz_g(&DGJXX>w>gy5)
zaP65$eothJu?Ov<5Lh!APXTeZWR*Y_w|eYIr$<!^(#5HR$x@c=rWfn(3I2Wsr+$f>
zcqJqCYH>|;Xdg)uig5-+888Qm+`NnxjK%^WSuH}2T4AO()80=(3iRlh0D^g9CqN7)
zVks&1T@@if04V(C$_Dhb)+O&Kzyeb11fIdUF`v`@T&zgXB&Y`{a=)@>rSFglD7vMi
z;aTx(TCF%6{2||V6180)6e)X%;B-4aLnNy{Lx;>rN!{##o~^$=yP9V6{(NnNxiS*4
z`QYmiskUY7bXaQCzm9r$_~$Efd4TGwyZxy&3(g?7%1tK9Qs%i@$aOasd1+@|$<fq(
z0g?Cu>i^ipx2rZ%LR;>IHrthTo1{2oFWY@H%`sMzl4g@m>{Vta=HGYr+tDoI0F+;x
z4~t!CsPR>~P2gcx!KOjuOy)1%*>tv<cJ4pLELp5z;A6$sf$a<sj@HI;Uty^V0n*J>
zl0P<jd{JG>nNClpUFVRf^>BW`2wf@15RLP&fWzzL=iqHM^<j^o5{f=vW<|zEp$jb_
zCg1rpf687|=@V?WpEr*C5QG;p=wdZObo*HPDl;-*5CmF4Nh&CwT=*$JCu2-1{o5qg
z%N+Fy^zm)<T#|FgV=UJ$GH^{HZChn3+p;)e4QorMPnZ?gCwPkXjygIw{if-+qBACX
z+@3)&5F!{81Dh|UL&~(N1ijR*fo=PjXk^3)!|wCoP)(jXX*^BVg#JNYwmY;{NSJbq
z%JSa$Sl7N!f)s<ZvSK&bWO}a`se%6k(HO^_rG4B%uB%!;r@F04a#ZX+GuLTyfokPF
zyZ)bFl(bELpz77h<HiB|x1;f-F>}=vMf3nSQph99R@=Wts52%I%U%v)`Ij~E5?HPU
z?ri2;=JF>u8e9)dpU+3jos7fJv{$0@?KI9cr5CqorrQkw8m9|viLdl#0Xhc^NG2ji
zcj8|s%7Jo$rqXD@15ysvq2#;tDC9Ic-T(ggx=X+aa@ft=l8<l%R^26*fA9%;K>um1
zD|jPtb?1k)C+kc>Y?yWxOUR%}Awx%90ciG}yi2Hx=lCisnib!gA@Fn;SDb@r(s~P~
zkAtp&9OjTcsls02WLCChQA(}huO+H!f8?`{pgtrOGSywz<#TnH7zna(oa;}r82I=J
zRfR`hs~sDYBbLi|{G9;mYuiv=WZ{Tr6||MaX{*~{img80X+}%;$mQ#WOtxSSt*Qi{
zBX1q%Fj5X4V4kEHn~SFRsH~(c?p3T5yGWWrv}Yex(epyjDZj|os>SWc7L(CZbwX>#
zSt!3i<;cItm&<47|Epz$mtx~wmjaM!ly`3@9~AZj*g(t(xfnJjA@c;64=Y4nJa!sX
z4J^1qRJvSdI#_QE04ZDFa=I>ixA9d{y2E;U(Q<MdXdAEnc=yFDpU5P-FfWoJ#l~T#
z$fW(G@Q7IQLQ@N3L=~65e{Cf=IliUq>4GkQh+foJ#YzKh>STct%V6m_$tYem-Uv}i
zS6Ny?Z`3`dAf{N^UZL(NlN^y^IQa>3*9I0ASESQjBQ@0wEXaYeA6YSXz9b+H;I>uI
zLOf!0Tu^_Wt1v9dMrvp*;OA_imAIR@G0oHb{>p<ZWWX)glUFgnOsuIv8H4mPHNi_I
zNvJJn+U;kQnt8~2h3@j!jLoTt$Qx(fO;RMsio?v+DS|7?&7BX$2DQEDEHwNDGAHZY
zDazris$y`dS}W^_=p6UQu1-{ZCW-Q&9$N|K4I78$&FVuBOF-~aRFEE;njYK&Y8xSa
z|E>#~)ODPZm99rC(tX!APq%*RFOh13wq#@D*IP1Zfsbq}xZ#Agr(Cjtw7CE%JhX#5
zgzWRLqbK8D^VSFaD@PR8ue-TvMxbZ(*t41q+^V#fmIq0ho1B)<M(jtB`!S2hCy)wG
zvz~JjJx2dd(t&r%yw%QTmU8B<{vWDIM6~epZXg_-L<@V5kdA_7t=#yX@4xLH_}hh!
zaoS4i#}ArFnNAK{Agv2Q|HPrN3JDm?K91GZ-Z9ab!CzA2oGw8TQ~LMbk{-qxwvH_<
zRx|%Zt-oOr9W5sOQuujUz;-?@9F!?yrpCYrHWJxn)7!(-7_fWbmMZSzBHctDZc9s=
zu8jP^cj!uw<r01i+4cCiLTDhylE0MgzAk6kZkrarp!V?v5_uFj_TOvZ{~v4h{7c>b
zmkR!$TKRwK-QVG9-`#Y7q0B1Kiu^Nr?f;54{#_L6Z!Z1^)bW2T_0N#L|GhrW%*@96
z@A~+Fwz{oRo4q%#-lt%fFd`r6`p6G(=#oO4AKqa*kk37j{_sSspbm)79ACJH3IhjB
zXAwop8!Q!^3besSwMo?|C|{2c;c7y!TNDfYSX%GZx(ho?U+=F6uwNd}Th+QUyj~x-
zwy2&l4)BN9b3R@l1bavQ{5UF&!+J0}!2{Uduf*QxtX;{w*LPcUj1xOYw|*70?}ul}
zyq)0WG&e_1OgF0Jv(+bs`O;U%&yG>Fx}%!6S~{KmCj-p|?4$S1PD7^tuohbhug5y4
zsM1fu`g^iuS830L!LG)yLLs~)J`#taCtO1B2hSC{vqw=1gFaK$bYo-kWy$X^@Ahle
zg8e?*nm3h8w=U=nQbX7el9{%jF~P1h2iWL7+G7>Fu6M^CjPBXNC5XPJmDgoK{It%~
zQl~MYi8zFtclo!5vHJ&&T<h7eydRHe$&Tx<Ti@qp1;vqPVc^?^|IW?0_J_iDHy%O_
z9CsH#QI&rbD<TEPs{vbtxJK6gVtH<?1G`A<2WFiSls?Y=rPgqH5?dN;e&h7)GRJm{
zw_&hB7bP!GvT=%f)YM1R^q40%j}4h@dKwaLJrCa<tjys{^@<k8#f2&({cGuS{soc8
z>l(RB^D83yckXTSWaoJcRR*bVpl+;J^c0?cpy=G6Ktw3;3~E~X%c#e*T_*l!S*z$3
z7^SA6G2w}(BLn_N(bseWgyE;qs3rt%`AZgo@k7!`od^Qc5Khd~$=i$H_ck;A!`aJz
z<@Tc}YAw$j*nG;7e!237#w^uAJ3wKDHmRca<UgMeD_e@9RV49DY5cqF$>=f1LX0zE
z2U?Ir*D7*Ze<U{15ZHkR%1i6!w(A$%v`X%2Do179zO~Y<DjKFH#ycP9!c5(i&h}4z
z4dKqfZL!_XpNlu5jg5&j{>d%SPB21^I*CirnI}vt&{{`NL$&U6_B<pI<OWF9qum7j
znH7aBt=g@;g9bzaJXQv63|Ija_KP+rH-vci5_%hieKG{KXe0NaLLwMBl>;K&cM2(`
z2&o%nzW$&M$eq=vx0$v!Z`FV^Z_CifO_X8XowL^@<gU<5%}8P;nQ|dWBna_T4DokK
zDy?6<7i1~H`U2ua)&{vISL=CZ2g*CHx}?g`0709{C&Fz<u8-Y$nKGMmG+cL5tNo&N
z#?>^bARwJ4AX&U(X1iC+-Pm22Etrh;5ch7Sl(u!2Tt<2m)59&c1m4eJKuFm`WGgVy
zsTwL?-V172JFuHj68_2lp$H)sX{$08Gg{Q4w&_;4=kyN&RRjooim0vV3wOcgJrjT)
zc`*96ut}32jQNP^0V1YMt@$;?EPueCNDNLfIok=zg(4Yp!h^Fs9;ecHp^HdIsk3iq
zXCBL5eyw-`pB>gT$Q9m+I_qOV(srpN?f$Uq9Rfi_6zE0eO_kL!2Eq#?5}X^#F(Sky
zOHhGWJ*lMNoKNw;t;k!IT+sOQ6G%HJZ<S7ZM}PYYSiv2L90bcZntP+Fzc+x2<5IW=
zNxdC8LO(Ph>);oejAkXFN0K+k<RGseX%R#C0ulX0<T)2{kw)@0xPb`o#%wPIjk3K7
zwfwl!!48a2c9}Ssq0)X{53Y9B3?adr7na;U(*B$;Q7b`x71)}ujIL;oM;Sm{c<dbk
zFeZLkDk$(gxH{hag~!8on;6?PDEM}F1TwV}%KDI>Vmn)2md=XNI1%M8U&6JHs~M)j
z7MD+mqFBZNbLdb35NKat(D=;#GX5*?<$cZv-6=K(^)v-C);+z`T2>$&eROHhfgrXQ
zD5#Yg6}~&jnvz!2;CwZJU(1S!=sFW}i*`f?#MvgJxKVO;=}OU(NOZ{MhbKh9Qz_0u
z5_HcwO(mZFK*|oEPT#taejUjmfc*`+Hck1TKJ=)(FF#s-AhS4N!Ksa&P9{{0>|dwT
z=ZhV!b+yhBQ|CM5NN5)dP+6<ODt#6aTKf_a1E(OE9ThG-)A-!V%3~I(Bj(8Lx295O
zPKhj3VVkY;fgQMQ(;{P9k7fIn82n0v3!c^8ana~j^EhD&xEbSmkrTdYvx*4g=>m@a
z>RL9!rSk-bHy1z<39HY|&?Zjet4Tmta}&pa?ab+GbQ2=nX$IKZwjtwszO08CB{0YH
z2gq8#&Eyn|s87^aB=|B$x*}-5aS|-x2{SqFD$iC_Oj?I0?Y8}b+Zn0UZFwKz+XD;X
z%2;KRS!{T9!p+xzdkLxaCU|jR1r&k|+>$R0ba)uHNcZm1<XL(NEQX?Bu<4WKEu)>>
z_n75~2E)_aggztPT5mrV+5ABL4T`Xf#cc#sLf1dfaS~|Vn}QKg_@?&wB%m!9{ax`I
za~=>*F*J;gevnw(5Y2vqPR^L#ZNYiA228tgfMy0By_PXe{bCo*tK>>p2@>L-k6I4b
zxf`aCnH@S^`$a6_0cuk8OB?BO^6Z$xCy1<sFC(h=ZV^ewBWPB7XFtHj-78OR2>55+
z^x$_eVQp&5%Og*UaC|ziZ)o_B2g~wTzGNG+@Kq$~NEj5}El}nMT~SN<A7v>uXCS(E
zpb4tY6+Lis22(F+XGdh$e%`es?S<W`HYlB`z4ax??l)drl19SV>gW_@t1yOfLyed}
zse96onU9+SDny9EXk?50=NWR?hRme1dod%@%{2D?@zWK^Nj*dJB@S$oba}-`7Qf4%
zfu<WZ#*#*OxYoki@H3deDEZLky5cDB6QM<xp4U0`SQ|e2Ij0J?k;xD{jUj*X7493o
zX+ocf3V1~DH0ef=JjQhF&-5=n5K(SP;CPXc=6x~3(I{95n~>#2$jAA8-m>T_sUE6@
zL`V6Wfw;e<GQZeWO-c7CFRK>b24`PL3Y!2~k_o5F@8qr|<lNRyP9}LsG}yG(un!AU
zmdD7^yV2}oH=~EKL!TZvH$)ZEIDTkBto<s!Z>2e-0?d$CrcA4`7Vj<uk`T7kX!6ZR
zMs@G(0J^j&n++ZSHK@y2r_5J=oabBlG&UK1S6K#wm@cC$e*mb+cGek8a?vcn6bj$$
zU6PP!wnN$9l*w#LP}WZf-c$UQtUb2=h)yN!C^=nflLnsTv`ZhGglD0^!ufeMJPjhV
z_nxjkcDt6ysp@Cy?vUE+MSl+>R{|E7s`5@~L5D9GPXiD!NfUH<_laa$d;a@}AL<(A
zZrFEC3D94_*XGuseM+e<eKKs#&!zM%8-GI6%fb)~z46*Za4r|sK+fSEp49fBf%PKp
z$jwpe5zh2zZx=-h(#FJJ_~z~w&||2fwo<bc^t4{EZlDd>1GQ0$LrUwG6wQbgfLugk
z32{WpLx-Do*_kzH@{%|m7E@B3!1Z`EWo*SQvMnye>xlZJcLqB}uC;z`PwnegEk+*j
z%@*eo8eDvR1H_hQeZF3(^M2e;@O+GI!TP*pKVMC4WlhX|dBwk;EOiy>etoUI-fx{G
z>)PZmD7jdRIRnjw9&m+0kVoI%7u#ka|Cuxi<hO#eRjysy2XY?^>yT{3+0Vm(LRKxt
zE8~Ni(Tb4G{CRj@Ho$R2oGxVEZ1CoFRmjs7B(Njc<b71;0NdVDp6{SKW8wu?%)9{B
z(!vE>XH{jS-p_7~0dc3|+e$rDahgqlxEZuF^)8$Y9~!t9UZnSR|MBkX8Fi(@TrF6j
zwR}vm;_yx}s`v;!uI$V8*@YBjf$B5+GSGZDPw--Cd>Sbl|5y-<cLk@<9@&#8ZH0&^
zY5*SQq(Vw4I)j|H*b7jy4**(kE%-LNB5g2gaNY%*Z#8-rh{;HBa@Gku1Szw$PSG*U
z7ZZmKQHq!BtO2rVEnuIj>D2I)s`)zIP$KyvK>j|kK`B-bT9m^Fv><)+#_c=F3iZf5
z0K_vLX|u0XK2!)MF6YaATb3b#z)-Db9iag!*UI%KayG`VFEj6bgao>OT&nE*4vJ$f
z(o?<@kBfsfX_#!_!P?Jhhk1u%g3XMCQ}Cp%A3MV^KKaM@T)>G2%Cs7PM|hE67gtN%
z7%CqW{rO%e)Z2JbSQ^cMZtasoR3IznvmgCNJyhZzD;^`y<OKQXWcE3(XwX3TK^{_~
zUhoyg<&rw-qQ7SX1~BqS6pa->U_Wp=y@o+0p_&D|x?nJGb}a_zRp!iJ5plF?yXH`@
zoM%NuwH#{60tMfKK)3M}w&B(5{ud!(2`)``ShrMpOI|5U)+X`9F#u-jS^Om}g-DRF
znTC>uPGp(XFPv^2O5X$Gjwf=2aT>h2TE8tskvDI`tnYVPpnW0o!o;ep#tX@PmI4-V
z7f$XPWg#fQrweR;DWP_e{p6FMe7X)<tu{L!p_0ncS~x+`qvW3fL`OqrT?6fL9QaT4
z!XAdqLh${9_5-2@$W-MkS@UcUs+a(g<QW25<qY!N*ODZVTX+rfMqmR4@^KTz4>1Z=
z6nuk2yD-CbwM1_0jbWr<5;1~AlX>sa<^8x=D(9A&jjSl+d_yT4=DSuawTwbnxs$rz
zo1<$7CLDGa>jF?2sP4O1V<ye7_`uKx!Q_b8>_ZxJc=KwHnTpE_z3!p__mPL$91P?m
zwQf(6L&;c`s<uJQceOyJG%fBrl$ji*F^{|B!@(La2@!7N-sX*B3Q6t<l4mt;9#lFQ
zB6KIN&oPQmry=DB{!Z0RHqk*992AA88&Q|atR&k-hVC5|une;t$fz@Q<EILzdUNKH
zL)U{83L{(ogA8wP&U<Qe`Fk@eac=_{@bDHhoIk@D_pA!UkmF(166QTIyd5vW90m>T
z7pXryYGj~cyBp>;DA&9?6xX?1<?j?qhk~p9bZ7AuEhH-VAIajvu)^aDw}tv}GT-cS
zH;Y-3Lhgd7@^Fh>OD0Qp=neQI1~8bUq&cuBwk!Ar(VZqy;0!}|@Z>nhQyGB-BR>!O
z=iDpKDjt5OcQOigHQ|POGC!Wp6=Y4K-jjkkNIOb+CtJa0-O)z-J8Cse{e&3T$GS@N
z2mvsFzE4WWlw>-hH&1-!gg3nLqeDy#*-}R(<r{itZJ`mVG03mKz|HZu?uRuQTC_Jn
zrc`Y11*;H0xa@0QvBj@_(p#zzi`HhWfwQzo89O4D#UF1ab10w}U3*F^JxSXUTadf)
zJ#|tV{(v`w>>gjBxY3BNiS!81G?d>kKZ+Efv9*ow#q^2@ewYH1?6C-XnO6yip4y)d
zbE1=!D`HUobR{bhQ{UZBSJdhaeTZN>=^p(>rSsHtga=Stf?H->+6WXeyX$Om$}c0k
z?2+I=#(<{YVwpKj?EOju;}vv|V@hqz6ztIou&p}U(b`K?;i%bHH<&!UVy}^!V5nVM
z`zO94OJ{C*GWQ!ZK0c#T7u_*Qxj+ESK%;$Ik|P}eUKmK_nz$ok`*#70>9ndxo1lPB
z1(l+8smHVnNOIW`PQCUF*fo*mH7NYS>D-CHV{OsHnLv>dyl|g<U)$bblzpFgVeh7u
zn_?eF!8{!^imk?6K!PRd(g3=fc#BJIGtDGZgJXE1br377O6Ant*-Os8;UcnA>w&M<
zQe|MIB81jmYH_sqHfa>-gyOb~?Rol>?Iw%btVZNFuH_0Mi;7)QzAO!H9hvbXlcA%N
zb4N*;2?5P{p)ENG#nU~yVK;Lj-$PU&2A8H8mYnQ^zGlivERPQD((}B0KqiqQ?NXW&
zq?b>Xq;@=Ts8D}V+j^pp+#W)8Wu@e1Z0^U7vLL?=F2g?EQLv<G@EgtOYY+hZhKcp;
zxg|mfq9JL~WGPR5@JQnH2`E7r@YNtg6tb=aXd0SiHk*DqLip0YTE0TfazFC2jTKLF
z+N|}Y=E&!~A@y06be<;I0plUd=}p9<;JG0dehw)?K7j<SdmK{*3-<$S-F(tr(AuIB
z3Samw#8n`?HY|$#m8oC8wcvf@JT+xIqHKdq8FPR};~I8DoMwDJm-=Wyxq6A~2n;sR
z-j+waJr!#qKV)%|1d>-qt;ios%n<=rHi#_Q78mPIC?;RPrp#;wtX1dcYl8l=w}`_c
z<||kyct>|l4&iZd20t;<)MM!t67>ykVm1SA+mVqP94b1EqVE)OwF-m^=d$NK^7W_f
zEpYp2%e4`<^AaX4ylGv9h1>NlSw}|5X6Mqt38%z`cUQU&EnPf|dg33DfmU9)m0Mv`
zz9QEvLY$U1Px4h9#G0WC3}A1I2#a`RW0)8SBpY^umjtGEDxop*h%GdewFMJd^ews>
z;M5vcqE|~PwHIebGK7p>E-HJDm3^g-NEXrM&r|YphPB!G;7nlkpfx%AL%}W_<>mFq
z=@>?cw5K1q=|$&tj)ZMc^S+vNUYivHuE`%i%kC2F+1r+`?%16jF7O5XxA$aQ#<VIx
zKcmvz8r?ZgrW~@}KAjJ!T4#8QVT$YbIs^r%m`s}=^FMK#nzUeK?wOveKES>zpH^fN
ztHavdDkg-C&SJiwgGSbGF2OwDo78?fgpQ{&)M*%DypE_YNdxIEW6g}SX9i3j<c_FB
zEmbqhmORI92jHNgY;&>%hQ*>*l?)`B{@+a<fu@qgkD6U3OINdD%Fxk~`Pgmxw*#wI
zw%hMUIZDJKeD_zyx?G|cRatIQkrJt8dcT~4X2HlCnn74obq3GxHf@Un1pl4WQ<_5Q
zNJ1T9;7mH9t5{f9K#0Y|3wco0Fx3^#e(@8<k)cKu+sYB)rDQBXo0DG=fo91+5hapG
zau*vKp@NYlN|m%N(Gz_|)*40IO1CJ22%lDh^pws%@JD45Ox7+~erCkeT=Y$%$@jpF
zfT!FTx6f6aG53q<r^1ZNGl6a|N@HMpHm{_}CT35s(cHiD>@BW(o{ukE1XOE!Hse|3
zn^_-117^7(#-HRhO)t0UgwAuEB@b@G%>|ALzM3XYZWgVr;<XOuee8i)M(;X3(+^Oa
z0vp*<qA3X0r#c;;9xi5rUDX_u&9|hW-Bu^#FQ6PnfMifuP#bj0PW{>lA!MYE!#EPT
zl?7~^EVP>kb(>IcMT@mmdgxahmk}4Lvdmd3yw%3u40v`7<5kD3cPS7HOq+*c5JWjy
za+(ZD);u12>8+CqWClzevuvZ0ba5rf<P;3uEv=fewSqCXiq3#&zlZwuReP`FPuwNz
zL^e>-CsCah1(OK1`LlY9UMQgqWX||<j=WA_>3FVSZ5=`*W(m}_5{90z?6fC&bw$&)
zc~pzV1&OA~9ozoovEUm5>8gsu3GM8p>L+tZ3ZP)<Vy}zXs;@hV2R*EHkGt^1@_;O(
zEL(?1rPu`dRCF0+7r)-c>{|IZz`aW)i{H)#`|>Pr3l>LftG2ang(r?(A4u_q2=i}M
z`FmqjZ7R1fJ}eKZn%>VEYv*V^QOj&MDgrc^hbCHRiowUVEz8DS)#GlH?wn~?G>^B<
zRS*x1`UOh{S4MAkuA$;GxNC&tG3M;gA6-(nr~j=@{T~MJf7*xt4r>#!wQ-_VbT)8u
zw=@2`d^{bkfWD*g-(-FVbA2mn0b460X(d`=o9{C4<~F9Z;zq_cPUcST)MDQi<sA);
zZH)A7oc<c`_-#=CN0BonTV)&b@8QOH^h|%5@fH4Sq4|Fd`kM*O?-_r=&?;!-{mt*+
z#D9?f$>e{}%s&|x6c_qy=f6(E@Hh9ge>46~R<acp7n0Vu`%iXhg;c+Hqobq!?o@Pl
zbTYOUw=uE(CjEu=`t1YwUgodkIGEcx**bia|4NQmp#7f1{I`?f-%s$@oPTmC>tJN;
z@GTg!e+q^ik5<9h)ciZx&7F+j$kxF4o1o}yXJ=(>{Vh2>x_@8l|B;0M@0|S2n2f%)
zG3~$IhKQBEsUsdE1Fg7|zLmKlzm2JtF&-T)|6ljvgvU<D{2zDYgh$Ol|9xhCJ27K(
zQ!^(#Rt7d&eiu_!b0a4+JSJ9lT4{Z^e|#{oe0Tk|x$1w6{Fas4f6QWFrlXZI*8l7N
z@faCt6~CpY@;&?S;Q|7-Zkl-1-?RVT3y<Mj$bW64jrVu=w->_r+ttGSx0B=FkN#g1
z>;Dg8EdS-<`KRB8_Wvg}{^;rc3LE_&Df0J^rT+Pk{lB<!*qGV=lIp)gD?79$!wtt`
zH(Bp}N)8_AoJqD|&43FjM(EmlP)+nrjJb3sd@sIWCx=b<<p)nFoW)R2UBrnqe+_VU
zhP;30DH$MM>n5BExBt2K!Ce^R{e1mc^Z8mE`||m6`TTfm{`#|uO3tdU<NdXDwPp00
z;TB6PVtqMq7W4V__EiY`aU-kH{(g~t5=!esNo(x&GIX`|`7S7S6YEV=teWVpdRs8Z
zdrSQ>eE;}h<P&oLcEa329l#@=`q^>(t|9TAOK*c4uTY4qiG%l6z56S!3_5>I5cpUB
z;nKm!JskQi5^y`|g81Q3!EdNvtQk^XWpoc`7qZtO%{(O~vWW&b@7%EOytG~4epK7!
z2G_5LkF_n{mJ$8h5sJ|X^@a&|$F(F6YWCo;^xU90iLM*y!oZaPB2{C7SN39D=;9sd
zqv28O#kp{<E!O!k-Ub<4bBoxJMa0ZtiM?d0yi_Mf<pF`OKq^d4v7MW>1I<>r)^?R%
z7ShNreVH9mVjp?l%CW1|l&zVRQ0W5Bj@8jDbGUQ}PQ*WARLe!$pb5o~4E6oYK7y~K
zjSqy6LmyWBV>rgFj&1eABqfN4ru}^kD(Vi02lHqw=uph$@LI1oCqsv&A!es%1cgEs
zS75q2#ex$)(Gf`Gm0Miwg1_n#b$nsQ{kE(2x)F18BT+7iifNBYOeuRt-Xp0fp5_(1
z;x;Lqz~6Jin}!n-OSJHNe1x4;Lx1sDxmU$c3F#jEQkOH1eXS<*Z{>(-ck-HF7}T*`
zK!%!Nw${lU>Yq+L-kf$U_b&C!aKAt`i!(tiMKGp$Had6X9ju~^#f!TDcztZ8J-6BD
z6gz!4KPvOKCMXNRUE1V0O2)yKlK(n*r%KBhFHrNTMAF{sG{R3kgoQ14#NI=i)u9rF
z5@&<ln<Vs9-vGwjvp+3pC-Ta1_d4qRZLWH|sE{;yIZaQPb$57hf#g4J{DH{TZNOt4
zB)7=pelZ-eM{JxNV5L=|rFBk}lf<-YyeO-Lt&nzYx*h*cy5XX{Bn^LzNeR?PLR>9R
z)<;6ng1L%0SR2=~PsE-CnPGS$w48=@W+P}PEK8AUoP}fA<d{YTTkn$o4!{YOEdykL
z#`|nf`PP3ij##)&tx`ABV>>w~Ie9p!S+sau7MK@4kay<UExeN<Y=`tTAw><M$pICX
z<Ky}ABO8g{p+0HdZ}hfU)yMLlh@VEenJp|eMrP)d&x&@n1>ZcSv^d*j$$ml5m~))~
z*MH+Z%#rOwh>``lB-iaj$g;`k+okH^9#{;T+<BdxIW^4Ep1e}vGpgW)(HCQQGrEGu
zdT?B;hJ8uo2(#$iHPqqMGha0DV^Bjp?zqXWCb+)a=S)O}6*{<os#gdPF~U}`ATnKU
z3LbK{WnYUYP_+OIh$m-jXdv2XUK7tXA-UgZRzYNzh($Q2if}kIuW+E$`tdwc-7hoo
zP)2zPcF0=;PgD=%Gs6%(B8C^+C!}MDh5f9qMbDUlZbGuT@-D25C9!;Z8C?ANa5V%6
z)h24yP7c)3fs;(f+T~ljCacSo3bfI6Qq;fNi4$euqB|KhnW#O-5`}oN{)&Iz2+^GH
zC>x3eH4~vqA1RJA1A6mp(a#{scCcW)*)~!l6(N3%Efol{S-$8^5R3U`tAd5KywA+y
z!9A)vJcv)IF3+kXV>;beW_s>@iyp}%icr#_zW_TpR6t)^>xLWvVZs=ulN=f!XE!d<
zE745u;HE>Yp9pZlNByu2vy<c<TD(B86su^H`RWY6i*OQ#QXnX$kf3aw0DBKV<5kS=
zsH#QD9{5%coS`hN;zMwjT!C}89|rDJ{F3XO)p_e2%HuNdHc1AXIbol4fKu1m{Zi1d
z(oaF@{Gd#;V5TBz%W~>|roW6pbHxxHW&Y)t-?mC-?%ZUaO!<8A&>5)#yU&PP4c2-m
zL`KOyZQ5&9_%?xIL1n|pZJz9J94JNPY02F&fhvb&a+j6S8{ERk)&(=FA(kCKrkuq{
zRt|v7m%W?$(}X-FVXMK!<Og2=L~EcPf(_%CQ%ki0=RA_&gQrH_s4=V|5rqd*)hq6G
zVR@N_nCl%?IHjAMyI#{ijkhmfox6(BhUQI*M+GXol8GByeYDd3q^Nk&VGFXq+!EL?
zr9i5|^YjDPAle7h1Sbvk1Pt~n%a2*l)Q~u85%;Z^_#p$q^<9bDrOe|uoY5*1#21DO
zfmNhn-P87Z?{lj!?;D3_aJ3NX;Rl3e<Z@^ABwD0$0h56i&dC9O(%G|>)#ECW?w)*X
zB5|lXuATk$O@y?LRKVER0QiR>Q+!@FZvGZw>2s_vK=tO91wifg5;XtVS^s1QG(quU
zD9c3pNy6SkB=&k_AZaErMx!11kg^)=tgpr|W?9}v+LS}7rt<~gtAH%gEqyYN$#~ZI
zlMNJt7AGA;JR(n-I76=#&dL|&BpSZy-&)DLQfCld!m?4uv=Q(w)Lw_m4%)6J<Vnx$
z#;nrSXC#7<GQpc;l1ObCeAr~CD(Z#3Y~{i3m$!8gKz1V5j<~c3Q&-XnSxgvZ11gk2
zd-zpN%pQy$#8e`1=Gom9E>h>y6;`Ybg$zGbiBtOSxjI_rO4U6qBy8f)!W4fK^<gL>
zwLJCMSCQLnav92NSSRTyn*4Tz%@}tFxrxu{4XHGMo?DrfHoIEucBW5f4ujY3k?9mh
z3VMvifU6Fuw(#&q0C)2s%j&FiaT!#JbZ*a7Nm{`4yoH(8>4_)Zqj6PObD)a<e$6{l
z7I!j`oWO-?&#CCJ`A_O;4*EOOn=C{|`cmgkolOFCBhc+J;Q`{(Vu#hm>MMp58>hFB
zr$?LQ7~sAz_2f!Sj=mr3FxZu+%%*%p8I@@+`*m+`sRY-uixGD?R5W-FKk=EW&he=f
zYR~*azIy^#Tx2kbk6d1AOC&TFVHeNdY4|widb&O%cy7s!;3%0`BfSs;Pmj8nkpev!
z{;6_*3sbCp*GO#3rd6e*eJy|Xo5ncUdTR%QxlMN21d_2W9V53NkCEJNvAvKy1$(CV
zyjNglw72eD60vf>fG~Waq9k4fg?praY48zoG<hn*;b)BZnQ(2I{G^Fz<a&oN`bwWP
zII)(Cd#HGA8k|I!w1)$g3ZeiptCEFBJ-ak`Vg{si^nir`88V(OfA&%)Nk0ZaWs}}W
zElGzRGhv1fh>B{;j|P8BB0KbyVUOiqI|N=5oin2KlY?uDI3t(e%Hq}=1!5u)iK0A;
z^2K=r?i*C|o-X-9XJsVhXk{wWNaZ##%N===+y<;ebt8s{DGc>6^zt@3IR4fi4MMI0
zy)q`j{PaOYLhB9cvX{i%3mCfH{RCQohm+y<$v?xc7CHOQrXa!Fr$uWh-cv7P72fN~
z%rJ<pSUZ1>7)a~EFcVC5g5(R+E=WW_mD6n?(VG!fF!k0+AA-tP9oG)9ynRJZggy0y
z_avtiOg`TLn>ej!cmoBd_V0~Ebtd;#?X9P&L!Jb3|Ek4(K>|4)2~!cSEe~1DAHPPe
zacI!H1AM;}PO0E${suPOU!M-EQ@`OfD#uovmIr8oq(D7#d0ebAAX2CFZ{%2H=4e7b
z+l8YO7-*V!CxcZ`j?Je?1_cukD|6@G@M+rc(b@AGN<Phzu0CMGdPF-kkfjfPzLt{G
zmOsyZf0UaJv5_)<uJf#{r=>Y0$=)YACVtsJt%IL=HqT08d@I3w6O+B@RzEq>o7C%c
z(PZlXwJfL!_nZ)J>_4KpxF$0gj+rsU*Gs=fzG7Nfba*vjM(xV!Zk>h}wm=b!u`M{C
z=B7x>VD!`DJuj~F=|0U4sx*``Blao~%E|@qu{%w`LE5c3rqqhy8j*gktkwR{$)ay^
zA6~@-mCfsOLynzb@*_oJW-$Y)X|ciklz@_&`V0m1h-n%!`VEB28DW#@0I8ZGpovsf
zIHQ_j<?mrMW)w=E9uCLuSl1y76@@{d)(3QjqGR#{JaZAeYrD#6Pkle;b6o<?O1o_{
zJzpaz7{RVq8y80u5)U%f9F>9cT?A<%1F}tUyC9W0Qs$>{fQ#w0^z+u}RPiv>Y>|j=
zcj_X}pG0FF)pm{A*is>ahmH#rd<NmGKi($Q=yMx4pqNpPdIZem&0qDF;6g!BvfvPs
zS0&4j8#gtK52$3LZZQ`8H8;5+77gb}&<3XdSOy-~#pQ*BD%+=M)d@!=8W9xVHtvea
ztz(zzL?7hzM(dyw#w@k&OTroQKaT;2cz--zoww4zpp5Y;HEJHI0a9`TKoNEbPxvAq
z92(TImejHxWF~8JsUekDAATJ6F`^**9>JhE6ZP{d^5|xEjC8;LT(n-+;AY_Nfkz?F
z^vB{v+`V9X?SlfQp9Tuyz+F^g2H<ZmY)L}S#HPkO6Kma*Qa(fDznwkX6>5XXuB5$f
zXPdD(p%%Q@vBlIKDUJo@FuIY*-$zd=-1PI-qWqE5TLauXANi=)<Oy9#Zd}P%PevDN
zILPf#1yaUI2~juWZW6|wDGw${v@ODMwdzBiXbJ+d5dLRCURq5Qa{E|Clk^qT5jjOX
zjReDBYGuRu0tm^UrgzkXLqVsdb>5TXjN3w>Vw9_YA5+fI{?cBlg&wtqObNnOF;1p*
z(AmsIf`NK%y9R|4Q=I11rm~@;<wqz+ww(gS2#@hee6M-eEUG<QYcdX_Ir~hSUF`ZW
zTq5|XUQ&hrW`i1dteoKr?4-?+!t~I%l!6?FNvX3vg?Xg|H!bZ&T;kL!__3msTnx_9
z?u~qmj<9&_U7mkXJWWO71|B~RZm~R!wxN&og)Rpu8#hVbRfNh)Rmh*|3Fn#91ytcv
z;$f%L$f~2T^HQmflA@n<eLmD|xLbs(6GqEZHynJX8^sg@_c!n$ryA&d*)+frnH6wv
zhO}}X>Rxl>#PcX?2DA~eW_;1W236;Wg<&||1(0_RF~{?X#VuX=<^tlIUgsnAahlYZ
zB}Tm~yToF?HI=B{Hsz&G6c*+|s$JR}{V||9p!|kX(&>8L-Ff^qnn4I638;bunyEd`
zqZm%W+Uawh=CQs)l#ZEAz%_J@$~yLsme=-(^J*1M;so`0Bf{`+quGq&1k~uj_nRUj
z#FcfCFV7tdqy7<u?v#+5Qm52|gCUbJ+x_uF|BJYDj_oCW^L=gGw(a)Rr?%T~Pi^be
zwr$(CZQHi(p5C*&clUR(dviD0WdEMblgVU~`Q(k)v)(otmP{?A{=x=fv&*aKp%eCL
zni;Q{f8?lz&@8qyIa%LjsCg%@mC$<#*j33CRVO)Z<JbDr=s{(GyB-rpj{0{Ecd8VS
zyQ6R*nUSc-m~6s>VG`eL=m3hyoqwLg_xjAGTT$+q=~sUjW@eNvD^-+02wd7@JDQ!l
zm#K!|J+Y7=ibw?YOjI>O+J&Ocz9!X1dqCih9;JJ^OW?C5vX0zj4|HIGFq6jf>8o<9
z;D`?Emn+BYoFG=VNq~0bc>NaBaDzV8z2jmFI?ipw<J@LhcgmE&9=(=bDF1$e^%DK!
zp(2#2*)dvjh?_^6l<9c7OofEcBCX2n7?c3Q(ifcA7&R>YDYQXZXVxFl>Uq-P{i~Hy
zq9RhnWoJtA8d@&+K-E)cdl#m}I9<#NkvtU+cS(X%aQ7%W$Wys1tv)X!#`-d!NQ4Tg
z>T!C^L;dCos*?|KmoT$69H!W&lTz(hPf2~%fDVr-t-NuTCO+<RETzs<lb<bKduS`e
zLZCkJquj{2%jI|@u3UTQa}|y=bqC1``opoRRhr@Sw(bU+p7|l{d=f~E)9u`91>)tu
z#V9Qbv7&yqRu2<cO@nI(S7B7dUd@EpwQBq0O+MJb+FoVyLS-o%&iw|P)I-(OCdJSy
zTRX=2TK^Rhac|YZB4fpb=&#YJWa;0ql(+1<UXC;A;_u-bRB&0WmPm#(_*{kRP~(i`
zO3hg`?LanUyAcu@`?eb5#T#40s=*4Sh)iNb_%<Xg%DW&v&^#>`XIMJXE$#Z{S`xi+
zF(2-5XAL?t#9{R`_%PI%`2rOx8&5f1PAfC|C9-T-cOD)afQN>DW6R!&FdijMt{;xf
zGE~;4DOYYRZ+#fHvq=+O=GC5`%FT6@ClH!WRIw=63AzPYR%a4@iOIhrvG3GDZiyYj
zts!8U@Uz4ZGeyLn^PYS4*xt+D*85)4u{=nIxf11xTzm6x`YBqVJT-I4I}D+Hhd&54
za+cdp)V|-UC-*=Ly(ct>BPPp6v)!6t0$U130ZXtd0v*(nyzz@HMw)dy5(s{UNLbt+
zjS_5`0&|m)F2WHKy>|;iE&>@CwkeN?Pv~7}DymR2mS#ZgC6ym&AT<i872bA9^Lra+
z6y?{U>Wulxsrf#e-dVwcci!1>zxh|;3=IM!PDkX=tHqSeaP#-2-P8ETCQC}~yWijv
zbT@k<^Q~k!>;jq|8Hi$SYG{`@hEMiJJ+d)B2x|{>jZn$Wf6fc-qQTmkqYdF)0#jgL
zzWe)E;#9n7S14x`(_y?BW#lWVaBnqC0t_=%gyLrwE7N#mA!Ac6>RLNIz}*!q7s;I|
zDk$m3M<-dxyu7-5pPLyjDrASs(yj1D(=Y0G>RLrb3aF+QU!9&o5qLB!*UcmncdN_l
z&cc_r^WgP02N%_$Myv?)O1iYRcNdjm_pMc864T=u>gJ%EH}wK+(gBc#wXoDjEo2Bb
zJ6IPVTyeYYNcLH~4t8RgO}LfwkoR&lD28_wt#pD9qog*;BAjIIi#E<3S0|@?ET?-s
zt!M&OgR*O%&h3W<Y8XznPIm{<INCR9E`oIeafSPcjD86ipt7Qwa_l-}G-q`t=(-}(
z`^3TBLBc0qU$2(#r7T5W1|_~YvL?7YL7sk}4iG-#B{2><sJ*31JHS>qzVUb@g~5$~
zQw*S$Tcvz#{^EvHxm`u{UIfTRYsr6_l7oLuP<ZA&@!+JKme!ed3`N8iORi{8v3#Pv
zA4zi}I*;7249r+|jEK=z50y;p%9iApVu)uma9Fm3rl?Db=b&TOSy!%7)3fXc;#kJp
zMs)0|p}*3DpWV55g(@y`u=s;-GLtJmo8NEjUamA$k-J^}F#d4h?G6HM^k-YHpRK91
z8)T=kwj?96*{|>@$lI!nF2b?kuGUuG(UkCNTblo9)gW7>xyZ7!N`~;~j$O+4Z}?Fh
z%wZqDdislsgk)OzuvqOU`*{;b7Y~C0z$e+ZcT_j=b?yax#kb_diB`cdiR*lZM=~_;
z%i|9FBq(vdpZxblQNvGF|Mf=AtJ|h6zBP~9yz7Di@NB4r2KvgNP*(Pi@TyZhu4y^8
z5J!iF^TiCe0&tqw9NLQQXNZN%zXQ6DG^eOalY;2yln+9M-}i6W+Zec|6Z8FfotHBP
zd^A1GKSl2JY>8Oi*c(2YE(_ge-Gf=-Ov#{V43H-|qj6iz9eO^yrmC0AZpeH<xiKu2
zq_t8QLn&9BOJEzji3B<_AMLlGC;3lPCFWla9bDq>3Wu?M6<p#4^rnZg!<2!;S_mRI
zeG7n%B^b&R8&!nXZTM|Ci?@!~q*$(Mb%Ifev3IL?OQ2A)p2ucC25BT4!}V<V#Ny4Y
zcgNF9Bv4K>iN^R3gI+1w;qWsEW(3y{o7E5Xy{h|g!f~%0iY&@uPFGrY76+Y_W0zWd
zEy?+vjV`;vH}eaj2GpB7#)qbdN~50|Wec)PJKPFd2C6+=9|B8KnS2T$b9nWuF<fsr
zs&UCfHv`<cr)f{PD0VUj+p>%9kacYQx+&mlxUI|0986!16eiWoCuhAaRL29zZYc_L
z9N)*t#<fKuB#I<zk{Xs_(BSISrYQuaPPCfj6%TuWbVJ$2{{v_1e<cz8C(ML@tA_mb
zDE`H~690$4z(&OU&-T?n8Y2JQSYu|Ue|ez)lCsGE+OYYL9R@aTw*SLn7{Z^hA#J;}
z>HW?<pz!7OOn}D%A(Pf3Y9Ru>)Q?k+y`%=_c=I9hR6&o}D!hz48w0}8cKD5{S@|N}
z^W#UDSfNja3Z%W=olj5sfX|=1&&LTu#BXnJ9v=_y_XSykLhVXk&ySObgvgb!06wgy
z)_@fo#Sq)?aLlhyb!vp3FHV8GTWz<$RO6W$`JQeVVlU6J*T1<V%QsasVjFP@`)J!K
z=FVY4j_$uG7-{t}r=Zyp%%neL(U$L2c+T!6<3UO%G4n(7hra;rr|~yQQo}Jj(JWhW
zd4X`$fGQQYMz5*aLRb2Uh;PZd`jGw{E4SLBqLS}}4?}lB-Jv!*VqI(?9Zhj97m%lx
zftDXXegH_NzVAODKT7NwSBBCeKO-GPorY!BMRi6Z^r2`^6KLt^t6sGP;@t?VEAPn<
zXs)%EJ%+;e##b`NpLN<uey{+mUJhGwFKx{Akhrj*Jd8=D*=y%v1is@7FWekq?ds7g
z7P9`*uS>6fa_aR(Oi{;H=e$CyY>dFq5!Ue}MiD6_lM7Sp_C*QQ4ZNu8<2*qVu#*$*
z|C5xXtm~}xDVtO<4(3u$m!YVOcpqO)MTI$NKM!K1=pBQ078eg9JSqsQjM=U7MuqGM
z-U{(9woSK~t*=8UQq3dL2DL!4lIGM8xcuYvI<P6?v`r^>g;+N}<v0vHK4p2l^Xh=T
zlw^9Iw#hOaU)zNv7|$T#VAq_|-(kwLPX=1ut@G#wH{I6ZNp@DogB)GCPkGqDNza?{
zwYHJ<NTb7^=93BU^{329ob8x$LBsP;{-Pdq4iQTO>2aqrJ?6?9bpgfjc2K5_w4CI;
zxVr^o#6J6jxrhpC+~JeKqTW*s$=EZO0I6iTn2SAFf0YAZI0}N@gMo{xb(}5dZD^6!
zPiS8|;yDzY-X4Nq`v%ol$z(&vm$pW;0Oi}LgQ5l=Q9@k*4&+&xN13l;G<^&W<(}on
zE)g|C`$NOy(aPNpB{cxvMw3$k;VzEi?rF#8OOhc5n2q1}B0t~a#xGOKNkFvkhi}5@
zwN4<T)TAgbW#f+EJq#HQ2@soafi;-8b{=3V(L4`wEEG;6t@K3aR3U*}w@gwUB!NIe
z^#?<yNKAbvppk%hxWbtP8M4Xs`^mIQm<=aHJHAhTbG{t&gS5G^owq~<j6iDIk(fKE
zhm%dGDjKL8s$jz|F*yNH`Yc?}Y-8t^*E`!b-<V^OSpNod2w4VGr=Et8l30X>cnI@6
zCME71x4+}zlrSj17}Xu}n>ZDAJaOcT8Rddrh$iFl-VU0<@NNL|thYDIoU2tV_zy@=
z4rDPEQ-)`F6o`i;j!ea07@jEn@lbx$S^p;r{Bl47et18-&fVjZGKGTO67%Rj?A)oq
z+~hL1gQ`7ZK$hzj#r*N#4v){*9u+b?EC0F@x~*-frBfHoyX_LRU>Ha=wiXUADcCe5
zoc8O4I~n}$9C)R!N1M9sb&z4Vam<sUf0uh!(6v%%8Cc_e_^(lEYFy?`qk0gL&_YBj
z^z652iO}mjq-in)RtH6Z;zxCJ2926=wCbb!gHL>g6um)5@*y^rCLib*xI+`<gEW{W
zrb6^^-mewcWY=r4T^51y#_Eng`p2pL(d-s9nz0ZfP1x(J=w@%GhPp*|eF7Lz%pTC6
znCe$;w3ZcCK#HKvaC{9*L}ZdQztk57oHW2?N5iBBPe-xbU9FUtLg$Eqv1j)KM0dc^
z+5i*gqCZHL3=1q^`MXCkAjQ-B>Lg4)w3q0uUsamp@WS`)*i#uM;;Nd!MnF*<@<agq
zmsH-;4*7#{<n|#$y;H%wFn^B*R1zWp;$AOao3M{yV8Xe;(CT~>0-B6wikEEpHB`N*
z`JQF3u9Kg@1@$MU)lwB*Hc9SDw5<}^=E_6Xc0-80vCEsU+0YmJ?el0dc@9{5w6R&e
zfE06BEfJ^ONmt3wRA5Ipcuf?Te2aXr_|a+twl)1kACxNf=nt64!qvLO5N88ndStC<
zvWABHFE3ic`c`rlz43J&b{1_Zqi39I#aNbEoqfy$RJi`k;I8!<MOF1p?KTNszQMNr
z?RR4UWNmS9e}U%FNQQ7&Y8Z0qv>$Y|!wA|tSlE5q;z?>sK|qa%jjV_z#NTCSePKqG
z5hg@15Ep?Hw4v(EM}mu`STB#I&EZUN2P~#!A+fvI9$UHLj%3&d9mwUwJ#EeT>7T{r
zJx+7KHdW$HXiX*Hu9yC@Y*-Rd{xqV3DPFFqW<5A#Jg<r7ROpG|BI#@T&Cw7n1*-@o
z2KW-2rO{-_>dH}0U%zS>=K(FiWOZ%_n<==dQMdfu0?=#88Dt!_6-dM8Kk`F~K(-%N
zY4M7wgV;p^f!(_l5Q$nI=4x~weR#sc6H=SFm#%M+HNT&{gf*V~$~d8o7mTWp6$A(e
z^C0<YI@A27q3*(jb&2im(d5}n<K`{fB7vO9&X#9aBA1=7YcW!{5*C7H`SBi@h|;Qp
z3Q>mCuvBSBCo`BV{pXJ!A?qA@mew+psD>r|nXtrUcmPg;HCk2OrxLKd5Q~K+N&#P3
z%DCKLMxnj~iSQE6neZQ=K$G`{i}qE9FLLL?2=ny@?lz@>OK31s93PsE-8~5e<y~|o
z)%~?{jQ8QNQF1V}dm?0*CEh6J>+<x-`XUYXcDgmEB<R%164H<i1L{y;+;B^^-_)+l
zP!SCF<dbek&ErWGF`a^u!dV;wbTwD3+LmX+W7lTYT-Ca5@QRLGwGt20B=)8WS77)M
zCT6MT?>~Pr!wF6qrJqiTrZ}}0*>lM%y%7`{;VuZDd6cc<mjMe&`UUf}aEHf9CL3}5
z2BU~zBQ*n-1bU>)AQLR}0SDO<H`O|zVVolUQac*7en7dN!=D$`My_yQSJ8NLt3rk>
z?VIeNKNX~Cw_d>YFDH@=KUC4~HpaQq#K!nR68?s=agkVmPSY!1Y(uvOfNMSP^E=Zn
z5^(*gEy5$PkYYHE*<~+$D23s*P5Yy_O&_92r+*xZdt1PDd#f-{EkZM-R%<Kt1DvBA
z-J+=w9(lEp<T)7bcS$Xp4FO1#{TMEm^*DeKZ5g1UMyC|5C#Lwyftsv2iHRhRsW#sH
z#{1zuD}6S=LcPqM2(bc*KP*tmUc?^EwTPJB1JDqFS-9)IJYqvuyQQ{#Fg&$Oiuh1;
zYJE?9e<OA>Qvx4)?c8)WSjtAWK_<nMQ*GR5KwhSsPs&gMZ74ZTa(g^qEDrHNIG;?7
ziMlRSPEbrS6i{=vLTh+dH4L{HMTZAtk^llv*|$WO4MA^ZL_!#p+Qh`5h5fu{9pKiD
zmO_1R>J1V8aMgt(I~5D*D?Zuqu>dU7r>aa6FY8PyIyx&~fp#zuKl)ML8539$Tr5|f
zn#pAVSLWy*?=8F;<AVrWMv)^iKXpNmP{t1o_oeF=n*kqxO)uVq>;AstM|#3;Dm|2X
zL$nJ@rF0y*`q=~1*{*Hq@th?FMhq_|s6h_n4%<lz8m_xY+iq6dtS^KIZan+IXA8I1
zj1xqoyD@0_<WG(c5$TT&Rcwx*R{FxiDAn>>9h_xWgw-=jTsp#CGjZt7EFyu)ItL!Q
zY?(MAqM;~16>v0^zlfy9R~fdYu}vossW+7fn3K^B@kJTyvCmtw^HR4-QZYp}q4Q#I
z@^~E#?1g`Cwp<JjDId&rZ=;niB4mIe%FLC5${5W}4k^#A(0C11F}oj@-L6WgF?{;5
z0mIj4`E5~nPEiY2DErDB%9kokj@Q&}=klp~x~S$@!qB{4kdHQS&(+qd-@ay@B$u?&
zJoJ=SBtM;>oa~1meDaZtJ3oaW<_%@hsqUBeQcQ)m2(Zj<3CjEEpKxQYFjJ=H)oEBk
z1-KsR)Z0VU9@Eer8Ar!NJsS&qW*yLmbe4!CE?Ov6th;8Qigiix!;mIUvwb)_)eT|g
zXbWtwR4xj8^$ntb&^?f-7z^9O3|q)2p|1ME=xW%PIYJ0f`Ej~v(wDC_*%&~0bgQUT
zNR+%FaMTTp5;)Jac83&txhW}wuhQaKh2Pmw9#`3fH>+nGTQpX)sp{`2>a;Rmn(Zvx
zGk*)ldViMo)XyLpnzTwngoQ6$#zp{Qb@Z$Ux~f!$*q64V2;Z0r<IC#T#+{i(!ZT?z
zs#qcv4!p`B2b{fZg^TB7@45-lhPOH^n<scS)iUDkt?{j16W5luTxnF(Vh(I{7<oBC
zHIz|z1X6b3hK?t%t#A)hB}yO{6JH`uCmYSgrI?s)ahYeF^fSbZ0=s<`b#&hAH;GQ6
z)vy|73Q4z`$xDj-@h^BMGBcEhjlyRKO{^w^w2vnh_04<~gtz!@g?Z*wJJ4)@gn0g4
z30k1F!4X@$tig&~$SEzV2N~}4i}*cByAnHoNN27_79-9}BSEYOL6Rn_nO*fBH-m;G
zxVC#1w3b@E>{`z$A2L?!#2TwNeNETI>#y+qnkir{on{vE82mZgSk-d1+R&e~yDZ|2
zD<NBFa2r+(CEUW4QwGV;;0Cj-$);R8z4_)1+yYE{49?N;SL8tAAvcoTrUC&a<**a}
z<!Mo;F(D{|q(`PO-VP_bS8?PBq79+3Ce48P8Cbv~0AH0nTgBe7;I;j#z!q0KI^R2|
zEBwWUP9Nl5`{&|M6qlRe+?t=y!|rp3^Lbf<J3f(~dse#?cuU@o_3|b0q{ZI_Jq*@o
z=oxdN0*1@0ZF4<oyC%o^au9JvdcWnBE9ympnS=@0EJzFmCULU*;5mj;hwYrvg`Lc}
z$ZNPc0n=ASk|PZg4S~0myj-j&yM?F7U2ze21qmKZezOC)9Br^h63?6g4jp|m#M-JK
z9JBR-hhKvRh&^Cmpc1PRb*sFEYzqy{EQK_=gtgS@UN^iMO8$c=*q`YS(jMnkV_nq1
z6hDK7g?=fDXN&i*ZmX5@cdin2H}SVJ2H#aKvK*H$u$TK5?c#|KtlBY5R%ex_rBWUc
ztBQ{m%OVRbY_3kI)8Sb`3_saa^zvUtAHU?+sV1^NSLqQY4Rc+#6PigPEI4HgS$N8j
zrl()DYq9aRMvPcg^V*wh<@MKr<dlLEBuJGHUR!`CUv5O|f}U*W$^3k*-A2!4txYq_
zHpaIBQX#|fT*Ah=Q^f+;cW}U}g6RhhvKZT9crT-yh%>522AkkJC2}nlzMn^zaHigM
zvEnu+@Ii$OSp<efux%cL-GLxB)}hbn(7ecl6;jO}<MNo;yDb~C8>dj5r%X7zBR?}r
zZ{V;rp(&=+WCf+nmUZGInMK1M8sk)MF%OF+-!2QQ7?-}RDGdi1l;9tUQj~$eJ!9xZ
zji+4gYg1(1U?xK<y<+=TI+|~b3PX0&?*@7eJRy+->%eUG`1P#Zab#6y>=|AgT@p*~
z97No3=ra^_+E=Ii;OfJ%X|k<HAqcdqar}dQ)KuC}R$$+n?^04-Ncohro@OVH%B#Uq
zIbwf(+HQ?JqjyB+q`pkg5GOQBjQY=N_JHei73)OsdYe4i(yk%Q+Va{)1{kG++oxiW
zvR{5_a1+8b1)eoT_JuJamo<9ZV{RmcoV9(MyJKT1AR==u5ito$j-WltajK0+|L%4D
zMF&D+u^}G?F&>f9KNc_JPvevUh#w0XD9{BdX8;I?Y)ur>`eP>xOrDYPQn4x8kTU~#
z!x%qzv8*MnEcwOr(pE>9>~Hcxb@QLu?YZsG$%yt6&z>aF2+}j1nDc@$Pq?3xzbc6i
zwU9QSwSc7*Qg2&kHN)x=4j5&#b#g6G!EF;CPh)I}Dio~KvvJY2t@-HqKXTK%kc^FO
zr&wKvLY%aJ^idD6G~Apmnv8QImgZ3>i$<ZTb*bDF*HeIMC|Esfnbo<F%TwSYLlg@b
zHdUKaG&=|ECf$hxj+2uBr)oa8LSs}tHdASv4=knL?yN=LH7#YL@CS+#p2BSCl!G&V
zzjGJuS?{aXfwa4;`|HbYH#nvqAiO=SqSb2cVLIGsn~1XKJ=Jl{A>?Q~PbQzm8Z6at
zW$(8+7d8<oCY9q^5XbNs3T(G8#}D0zeB0rr(2C#gF>UfsgmL98i+Gc8JH#3#_6f6z
zwu9ub$bU`f=Pz23AhA7~>$(dbY4r#oocP=grC(G*8j8mSUPSiJv_fr>xTJWfich$@
z?)o6ASwz4YYGAU~F*?9UIErXEvhJdE%bNraq`94r(!W`1Lev&NpY)IJ?R8&HV(&_o
zOwPY{ns_%w-H%aR4y30K&AWxp-PZDuvKcwoaS}9JtrIBls&BY${1i9lsa!naKRD9W
zc*6%RhNrtRz1y<rj0chaMY$XaV~*DARJWW1VYN_MP(xY5=Ase9`Q$~+mu=dXk783+
z^uwZ^nlQuahi1w~W^f%1ThJIIFrn4f>mRdr5?0SjxpzkfGxc)rj=;NSf@QcbwWQB1
zH&TtNfnb8*oz-!!RI4qV&<8E*`AaKq@v#D_q75m1opP@8f%JDT#Im0oJ<{D+e>T`D
zz-qmD(@;#zA6z$RT)T=yL;TkkHW-8SqLo<{O=svkMuonqgX<29+RwWB1~z~pu8_YG
z+1YO4{(VjJFRkVuG4ua~ruh#6^WO_d|3lRLpW5et5A}xmU)VeU6+-4ekNW?JN;7l+
zU(}niXwnhnE<~p9Uc;6>hLi4IP>`-z5KmURUdS;>p;)87W+Q8)&zI>?oro+&QhR@P
z$JA{JabpuY#^ukwE8IG$SIi=w&;aT0k5Ysm-cQd{JKuJ%*H;-O@;lvc3u^?0I)U7t
z?@t??EM0PVhkd0(_?-x6-}2uHx{qT!g<PHw%I|{%oNqrhy+04HGG?}+sh{rp3TsI4
z?jpE@_gd!n)QO$m6L_UqyGg&~+&|O*cz=%UE%bDHIZDYtue8{DzeY(zC6JSWM8FM@
z+|FHqdZ5>k7MT<#YGkG-v}<2upPiC(`A_fh@I0Q;cBHQ0Qp%levSn^SPqSoY@l{7Z
zoKc~FS}nYs6jYaZ536gricJy{f&VG*Ci$W(;*rYu5opak-%bu;!L5}3+4%}}mUi@}
z!HrJ9<VY@nEzlr@F=84B{$7vfme@+k=!OsS%ANQ-y<UBfYO7<9Uz4IR{w*QrF2c3n
z+A>Dr$LcP^#eMERbI;HHh=m2HxBii7o>H-qw`jnG2`i5rPzE%xK|6(`M2@-D{vG3w
zjs$g>*fhn+2nQ3n1XX{}cm*+JsS#%mF=i<~8Qxp)%$j-4i0q2nLv=p%Y)={=`p!Jo
zfHB8}GCEOxJyIhl<wF)}d<Q$s{=26u&3>)s2#1!=bS<&2RtcNrmFTz@ROE`^yFm1h
z`KMxj*o(BZu8H?s)_(!F&;73MKHRc-94=w;>%YXcOJ#Kmjd>*yRFD0Eq#g6d2?SHj
zgW6@7&si8TtS2*1>7CXxkxp5bqOh?#48*p0ZTL!(C4L02#N*FydD{Zdoe46~Y<Q^y
zi!Ech1j*e?8vz5{nP{=GREGTRjH{-P7Ql^A;p@;~MuaXVel|)suOl(xl~|=rFHt15
zAVM)27B%MFR?(KqQ-411du^JC1!&&k!Z{XcrjeL1(Z(moISC?ypH^G<Oz_(C42KKJ
zw(M75!}X6ugHE?*bmP9zK1WGXbM?GpA0TAs;QHDJ&DB1Jsxhj_xe0gQ-WpP6I5Sup
zsgN*m2OTOuoW~aCqQ-I4tKsiI8E{7Dcc8)dqK7q)glMFhk!(4*+It}TD>zmX=$Uj&
zKkcingR?^msv?030OjtJkZk;^2LeLH;C(Pooa~P5_WR12>kRwKK>_*r1&173g`Kr`
zE~?YoSlpmyg7c`Ri(S+&V^D;kzF7*hb-c@_4uQ?iW@B@FZ+>-Z*Usc{m%T|^Go8s0
zslz4~u@b}_v3Qsd@d0pY(JozKD8u*6E@pj&tBtm(vp>*;<xL})M@E-W%}88pF0Zl3
zN5LFuz)bPn{mJWkdd7Mg`NWyo8N0XE1`-fs)Y}ADBoojQk*P5AC0O>+s_K!d|0P|I
zTYym^2(hoE+B9GoRPG5vy+uOT#-}D-gA)3Zo;!5*Ky#FQN-az{a@Z&EO91x0lLecy
z)-8DDcuntE)YjmkIFJbHkAu#~-&O5TK=@LAg!!H5ZmM2!0iK3dFMZDNeGzU67I1@-
z_8S!Biw64$kcFc0z#rbv7wf@_O;~8ZEq-thBuR}8z4JdSr->~@oHP6RZ=QOJ4rue|
zATKx1v)z_hbeDAcK#Bhn45BlVO{ZzD#b0Dsz9=ti7ou7^Z50jg5lSY&HiUtmpgO-)
zpUoSRb0{o%UvI`=VPgQR;geE~VImm0L^B~?OfpH6e1lokMm4+75Z1&$fp2~6|0eg`
z0ReM76^5rCN7<^(t8`Y8PL{!=tgpq%`{P6@5Z%`z#As7)ZyCFB&)cS)-@^3jD7<?(
zE-ezJC7rHFTV>rzv$tS6ci&TEROg^KS!o&Z8oqERv_(Y+Lm?*VP^4Z_+x8X?1Q~j8
zAUdq&Cwsh)iXmig!dwFeekcl-h&qB8S;A&ZLa8jwj@>ASNm`I$Wj>sr^AZ{pi7#jr
z7m6v)Nc*-g?w@#69<g6wvQFeWqarraj!+g`bA(;eM7zVHGxKJhBLAU+aYRw=h56|J
z7fm9Q@CH1ik^u16#iqFnE388a=e3!k9>$TFRmxOy(&gXurm)zw+Ms(tGVc@IEfrt5
z5f`^0=f~gnWJ5AsaFIWt1tJJ$G81^)$2#_1yyzzitu03x8s~0Qy&XcBt5CfJUyviW
z+abFzdMj<Mn#n&*bf>E+OwCSXmUZ|UM8<JkT#lpDvf^x`R>XOsIn8jWfq8tn7+MzB
zWMS12%mM%nYjP>Rwbh^QHCNk0p}RX=8D}CJ!6<EO-y}k1ZjrP_dJRrX5}H&v$s(s<
ziyL#^j)?Dfx#7W!x3qEm0=3A?@=(v>BSTgrQ@9=2eLMndGn-qI8nv2Lq+h4CMvhLd
z3rw)Z+f@V@rZ*S&1=9sk-?-8UtUf&DMhQUKV(gtvyFJ9p5B$lBCO_l2-Y~DkA9Xv4
z4~rHvq+-toJ)eDcq*q&5nz6c;w_lKrX<fymvRsFC6qP8Ww)w@$jr$^fJw~{VRmx-g
z-hyw92wqsC>otEsu6Z0#@6Et$s(K-YoafuDT3%9?EuNEMB)=$7z0qWaLeSB<OG8`I
zY<E!MMOCAxB27$3j8gFp)MQlrG$sxUH8crmYTD;k^U8ePQeDzHP=1P0b=xTJXt3}6
z`>)YO@g+Zdp#1iQPsg;&c=WJ587gUqRia+muQ-Q~kgp!i<f)*Ihr$Y<?SON|Ii2At
z;X>}h2{B)bko(^C4bmoSdaSu2oZRZUx!QW^+5S=5h^n;h1=;g)zP<V7NqFNOMA+Sv
z@_s$y!^{Ei3Ja9!S~_#XO)YlYZR>N-QaVI+e+YTT80~u_UbhTNHb_x{uUH<igA+G4
z1jgO~nw@Iq0%+s`-Lll7K|xYYlONzWwCX%moVsnB#bb5nB#+*b&Vx{Qz&{3HD(Vco
zf%A;F`ll|f8=v$msN1iNlWHwibiP~k5ogFc!9`@_ABo>7JwR%o?~%E$|B+l&xT4XY
zHSB156OMi&t4c0hY%EXW)r_`UYMtx99%U{U$>>{RNvmytT`1o$s;;iDevdumDywLm
zi&z+(-tlr{T-w6?i(PyK_x`^63J|A%`Z0`i?Ta0KMk*-5ZH+8GF3@vAhZloEBNpoH
zSb%o5@U2YxNlay|$GU;+nd~6oOt8NXUkBpSm|qp_AV8Ae>eA(<Zf{i~D_1RVX7C3q
zbC~vg2qt{?r$0Rn5Ci%0wmqz1!Y}MQkU-zXOggafAZW4An$17v?1AvHaz)KMxI<Jz
zNFQVvqp+cwl!!>bm6{Boj;-P!qfPLyIkZQwFYB}Vgw!FLO3xceGd;iwEuEV8nw%N&
z$!J&*uE=ZgEA)W3G`KbIZ>yGfOh4oH4t%BejbD9hqWUS1klw&eq-e1O9}kCfxK@%T
zGm6dKyo`HYw!=}9B^KP7BO4<_p~{~%QsR*7(1a$|O{eE^+rYZ&7zR!g%&Zs+tshf^
zD$gdQW5%0bEq-e{RGYHSJP-$Q-aORL*Z0d*4?lMui#>&s4X#SJFk2S5fvxI?ju_mq
ztw85@q&au$m%Jq&FG**FiH)&NLo-*L6lNI`nM)Scz){GXi$z|?UDT@=lbJRe^fTc$
z9)`uKv7AG>k2y1EV+N91uX5GU8g4v1>m+c*>8wQPvw@>fD9?Jl8dO*IX3fvL-+hFt
z&v&1uUlQwv?I26v^ara6zU>R_8^b$=-Q;r=2Ec*!xK05iN9k_U6WS=To2M<%vr4%q
zv}XAOEoLlZN-1J2ov#b9cx6KJfLYWtZ`Crmx}y$yiD|T`!Z&}*3?`n^`;KPLTKhr?
zT~G)H>a4)~LWx~q2nOn6{y@r`i69JBxNz5R0>TcB^(d`@Q<(9SsLv;(H*w0P2kUj&
zb2BHKoLmh#fq$OA9C%Q(zJ*}r8D+h8P5SgqB{&W&g`X5FZcDeC{P_am$@E7A^-qPt
zg3=x@#R?~_Cv7ZJ1<TD#p}~+b4hHOUwzQ20-9|OwAZYV%jAiD^FQsZ!=dm9sg0Mas
zze(S!6JXKDXiq3@mG8&04QPz_qdJ#MUJaL>nl4YO4Bd^m%1^3n^u76AH>kF!hcl1j
z7z|d)fxE0|Hj}#CU^0NR^OeSEm1ak2T`ds*0P@y7fpdr()0#Hl8Fs@${wPP~Y&@HB
z3urd0lkx~Wb6}&#te#AhF(*Hw<5(WTp+@Bb4#*vf3`%f`);<{ulP?mf5SiT{>USI7
zWALQP(>K28<ofC{f~ND*?esG<oI^os)TlyGnTTz4W$qR-%`)g$o3$&iA|bCbS9?m+
zuhiJegdc(RMvwHp|GekPO4p}H$}_9-3QKW@wVFVUS-|6_jCYeLpFdA^CP^!9@%v4Z
z2FRxn9JMa#J_XB++SH@%Yt3Ql&n&@zR@UF(o9f}pl#aa89Wp13ICLCxHv_0!rt~Ba
zz1aT}xj3H%=S84k?E1Y~RWfWDsmpYAapQ_pf2pd8clP9dA>WJv8nJD)Dqhw!|3@7+
zG`tut<Dh|mos=O>fQ}N0ky^n*-L-->>fqPnVs3xwy&!`H`mRM*rJ>~9?BH#-)<6nH
z#Uuy2Fg#b2|D#M~V`Xqz!X+J3NzjAjvu28;f{gf_!BEk-M=Gvpb;LrBs*vrR!4oM_
z#)bKIEu%WlURfU|j6GQs!}7aA*={{lI7UTIwJ}Jr1L52JI1y9k!v51j6O4AJJ^OCf
zPN`pmtVGoGS;@c^zJ(zm^S&s`FGKkB!C+Fe51hbX3-dyj7^8-Dzv;nfAY~p!)NOv`
zP`Vh_PX}Tsrf8zVDXS+@o$t4+sTMzcBn!<`TYltci*@Ee9lR>f6ErAS1l8~8BVw|F
zpC+xov)zwD%P#YK4Qel}p$pPJw*upPdCu(bEbsovzj5M>cu+jXeVmX~RW`fax!m)n
z;5B1%^}rgKb3J$fAe6!*S@C_-*Eo7|FK=S;g|1KBh3D{+;hbwH7!{|g09^6ZI0s1!
zj_7d36y69{!sA8_*f&rNL*zh$S17ljtK3f7bTQ!0As2=Cm*BNKlYEhLDCS`^0;hoD
zpL>A!MMgP`t=alpMIQaS$z+Xpd6~<lP`66Yc4pS!78)O-3LkHFgg4!vN2bGZnIIA~
zXIqsW>d=S?kV8t>gR9uN^EG63f=);^nd@97M=fS`TBR&R$-0;)1QY<$%V9USVI{k$
z07%=K6_tAg{;5E(bK4%7X7oIJh^tOtI3%~|%&N6<NTpS`7Y>Qg{JG<LxqOeyhhG<i
zIRbLGBvw4zWQ)bYh%IILM`0JViWgMG$KLJ<sVcV6geO!Q_!3&Hm}%&bgxp<_P)t^5
zGSj?odYxeO!3RscZocxiht{CtQX$_r7Q0ol40{7iFl$4!s2o}Hi(ddhC*h-=iii-~
z;Xxgbl|o{HxmKm09yKbxyJjW|^cNUfS;r5S;<flSXEw?@_dKPJujujCsRDz}G_igw
zAh9fTOKybo8tOdU6+Vd&W0%XyAB1FvxkrKdL)y(rGW{4Ij>RrUo0}pZ{aDP(!Xj>y
z44*ZHzKKkI-<j&X5>ZUas<We5OlGmvT4si$qCF+e8_T*gEHWmj0~*b6tb<sOH;S1k
z6NJN$;T#$GzxrIQFc=fl856upGgJtizK3n9gWH!B&ub_YrwxDk+ZXaQz6B(u3ozNv
zP8iIFtf$2wKT1XC7a&|*TRw9o`jOE2uQQom_if^LcfGiYUjvKF|7nn$;P-r!evf0-
zNIDc6dK1}V&`6>MP^s<0t7*n~vkFCUY8*Xc&~NJ{O#uIJ0AzYVJ-i$ZyV*ljbcR?x
zT|LFYfQ(a&4p;yZlot2C*@sCijm={8t3YTYouN4dVRHD4m($Tx9utbpm{%%WLy=SY
z3za-N#3EWuhJLn!=wX&E_6d2xdFf`d(=w4K?~5$=Tcx5%v*eipMzNyCNe8w4YPk`%
zu)8!GMT;U+SAM<R#bXvs&0uN3G<{)Td+Jv+Oer7(y%oOtw`g<I#gPrsu8%c~Want1
zml$odiiNAzW=)&hJ7`AwXDO7~lhJP%GpE|O*D)-giiAceve7T^>zv|k=MHUjQqhSI
zLTODhYX;~p66_~&!ILV3{nO>L{bhpsdkEKj+(uVi!Kk%$5#8-t2#Z~pIYky~Q4w55
z-E9dy#cM;#i7e(0EU7fSSXquk6-8*;_AHqqu*%j1Cowu}la|DXdV)3$*;#|A510V^
z9d6=lX@md~kvATK6$b7}{js|Hb;P1&#sPpMR;?8$X0pffxy*|iXY2|1QOtz7cFr$N
z4|?mK!z((i(APQ$*@}cNH~G!mGj2UCO4_Iw@?)S!kuIjX!iK$ZUCkd<zf4QDBY8%O
z9aGmk->J3>BrO=ZSlATH&!x4Et_iBNwX2V;Qb-&SlEEU9UmgC~U4pNu3DQ3jOwVP`
z(|eLy$bMEM3!PzPBezj`kA(73d-sHDEYWY~^K<bZJ3R4g;D;MLLTKB)Q}<iP?hkP&
z2_A8@(M*4~Jp!#g>$#N42wRcWG$5dlyrp~G@<gsY^4{^N?OgVs&(60XmT0#)D^*4~
zgi{Pno{a@Up{O#gtdG)zkB*=BCEQO;o+%0`&M@d8gBlgT>^hU9Io;pnEulwt7OD+R
zT+H(1T{3hcY{4Zj`&K5<vbm3VFm=pBr^VrpYIEx`UC74nS0zb@Z^b$cX;oHc271Q=
zL|50ytuoO|pgi#2n<AhffrD5Ip&T9b(3tQIF_ELa9YMJ--~t0lV)#=5u!v$Te+MS7
z!Zt!SShnd0xupSUJMus^uacGtc#NL)o*gzG876IR`^N#PTNbG)^{@@vi0H%}OdZmz
z282@xDbgA6Q`2LYLX6oeGL;40P7b2YT(Qd44tYo~<;O$v1Q5?Mk^qR#Z$#^<t(yNp
z!TqO5>AxzI{|N>6-wUJuL(BcQ%<6xDGyhkG_rFQl{b!;J<9~^;`%k0(_4WNf5~}P>
z?EgChV+f#aOWp$S&AIz+N6-acc`m@}YY+5mntHY+ANG;>R0OGTLx9X|{qb8pQ37C6
zSjSqN1=LYDV@#!l_H;*D^mX(s4g>v7FO_pR7SdB9mh<P~;A(2;kKOy*^YPim)f8dP
zdtqYi^Wzg?3nz`IT=wFa#h!dZ+Q7~)9~i>-g<na0ULUru`)Atks(Up)?Okuza$avA
zXBRoPwhViIK5boZNBr?8QZ|XfEY~q(cKFzGuv;njL`j)5R^zRjTt8+{21{bp`y<hn
zjy-LKm>tz%{@mop-^R!9#lZXMe4=mrtrYg<FrF#n=nBw661MfWOiKmlGzoNs+|#9G
zqw8i7^s`o<cs#^rgWC?7cJDU)I(>PNA@oyxeMKj)xuq1)2JBunuyCysP0VpReJ-uw
z>`TyjF-gydLty=g6K7b0jk;S+oXKiqS|Gb*OOG705LawKZom#zTIX{JPY==z*1{g4
zvZ&+DUlg+sPk%Wc$BP8xS5)I+j%tK)d>W*Z!q(rEsKES~q>|F!`$;f*ak(r}cZn4{
zw^n7}4-Y?jez{zZuUI*4V}08zKR;epM`dD)sC`*DJUv~O^eYhGrlE6MAgB!oh}gz7
zr-<p<ans<rA7K}%rGZhY6~BtFq*U@WPHiNs3zqWlE~#G7nEf&4_Z7L-D72}t#~~J!
z0qEx_1yE*e77D>MdxzoC;{awBz60t{?$&G%wIv6XY0pkgXIFEaQMXW<G^2^aA|Vlf
zKu$b>o+c;O8|;fUm0WX7j{!*_kD!46AVp>P_LWKkUI1b=z^6RUzf*9VJFmo#%7o}9
zIh7Tz(E$8@`zmxF{9fO3JB?PYih}V_f>zfG^eszUT&oVmO``oc4iZ8!^P>n3c+G3P
zz1{)Y<`83&NlKGA1mZAAQR_N%KS+_dXXBr47WQtz1m$*wV7&sP*all;5QYa$NJHT9
zz?AEwU|D}%>&u%Lp2B4gR-7a`<clAGMSPN&w(SiuO=2FyAZiCex>7`FvMa{s6gN=;
z`K*h4o#P^2qQuh85Ic>_9lvjaZ>_6G+_Qd%1ANg<O3dQWQzm!UZb7DApFE=IoxFM0
z5Z0@|$+YCCdajL(kQ_{7krv*H3^+iN_J9?3qZ?`l#Lba%clM1&9pcHWDMzd9BfF|N
z(5d>z{ppHda(e?CINuF(AUoY_Rr1mlqHZCb7*)DgGG9MVyjpJ1f&@xa2G9T$!Qooa
zj_w<jh;}nb4bciA0=Rivlb0mjsG@9E?h6CYG-S&)DMVgdA?6WqW$l;D_|W;?!o_K%
zcgwUmAN$axt0t4iZui0n?m{P^Fh(BS%6iPCiCn1d1dj4vxAKfwNIeOcwY-Zn_kEAy
zkniIkU#%lgv7Qfpf3}?}ikB>mdZLs*+@eTuoueL<Ibf`gUa0^IPVyNfmS<~}7t!1Z
zGqAH*Kv%B#^zmR=e=POv!?ixP;uVcnGC7`|tyQ)i1JahRQrS^G1Qujn*q!(C(4#+q
zNHefkkL1wWj&a=e7vd9Uc}s8D-4}FL8@L-x?R$&GO0cBjzdH-h4B#l&ae8&Uy0($!
ztO#)efhX}Ff|8^v5_LjkK&mq+eZ)A^>ywpBbEgAk<i<}>vgxbWF8Msg7jY!EyInG~
z$mc?B=K7tiT+`-m7!IZFNu9x@DRd~<^NYIVk0oF}l9bkNNCLWTG|M=<((x$N);MA*
zI%OH6SuEj{^^ae}XsgVd3xCP$YOu3x6k>}1^u<70!5lh+bbszgR2^?1q#&+=S6?24
zt?`PA>yNzhNEEs}vyKcAHE9G{mX(9{?=r<aMS4bcf{LX3)jZRxC4;aFKH5v-04=Sc
zBh`nm43Xj@HT^g<Er?t1Zrt<Am{%6;kvCQ1MhpE##Fq=|maU7m()dJdNnkdV&g%gi
z+Rb>PcfFL-00eux$2=aqsQ;JoTJmwLawMXA2TF&7PaEf{*dI(~^&W2@)$E(QTX_+D
z&|ew5n#Cj|W}j#`&Kf6nBbIf5?~@*QlRr(lzORizQbtDKkB>?!vsZ7mO<>j3L1`Dw
z+dZ;EM*@<X54*fjgZ?<(@r9F9MwX-00@F;sUEwCf!G(ZS1lfr@$48Q8_6mE96{js-
z3rv|y#%%xH5kFsXf~4<J^aYF(C5o9aA1x5Son0YXR4BM|iN+qsc?@JG?=2%~8X_P=
z^K8l@RNDWu_Ih`0O!%{|>l#na7tJN~R_fPc)-J5WbZ8#db>VQ(rny5%Li!*Vn<W)9
zLK=`vnZ4G;ygD%5ali8mxS<vobO)Tu!Hn4=h_)4FQCd86d0>IvgQ|FdJ;iW(;w@i^
zS-v^(brBWTysYlmBUwgH;zObZN}NBvrAxzeQqj<NH28){9*-5268sfJvLvv{p?Z??
zQFhLH3EGk2+zD1)sh{i`y!iB)hKaqxIexp^A}{(S3f+sT6-I(!OQ$K}&MCdjD<jVb
z3b4bkx0@a+=a(MFm*eY=6c3M=1<c<s2bf3K-oZQGUn`ieV<j(g-@!cxnBHHMCqkLG
zOIb$}73I~5JX(2E_hvBYn`RO`X8bomytjY_3jGV!N=|LBJUk9p8nsKQHwy9@>e53w
z9`!sTakvV-tV!PXW6^G$fbmVzy~TKF(0eL&>OpenL@PI}!t%G}F1YF+@Q?aC@p%#J
z&shG+uqo)s+qX^d`!#%Ed*%XNi<dpzH;ibmE`?=C%!6Y@WL<hfT=vO4;1}vHp2p>x
z<$7QYgP%&rh2+Td)!x`H0fXY|yIx;b$6<E_a;Wgj)fP~w*W+vX!fIxaB6=fi%kHNZ
z=Xy9RCMhcQqr_*(B_-tyDbK!-aVHeaWuMXg_;m*wlH$J~hwyJ`eJ*>aH7@(l%mR<{
zWio`1?b46Bqy)#?56LiLWK>1->1y#};hMD+@JT)nX3V38Spy@PVb`xRaVE(;%9hGk
zGn$nxvdWb#p^O<yLdSem*1wSIh?jnx%%^qAErk>xSW1sY!)Q$#q(MmG71g*m&yNe`
z%+G4Al<l@_K)Xp&g!}QL^2C>Fbi>O{2{V#{;{8sx#tNVyz`eBwHYZ;BO8)ax+^%sd
zD?<Q+u5uXOw-;N3LZfQmcRV;Kdmyd7RCA!Ns%x*pjpsTIpN!lO91Hd^6R!y?Pd6=t
z8gs$wq5vNIcWp>*27U0W!B+QJ%&_c|DWWhFQwPXZe;Ps$3FF<A{*AmR>&yI#t_a8U
zjsDlR7_8vC$g;e8n`Fe>LSjayT@6)=Mp$`!W=p4V)OhohO+>)PFkIT&CJkr13Dm(d
z5=0zi-8guuB850r*)?H?*{XIsulZoga0tM08@jIIK7xjg-?Cl~cS%R7`^soN@TQbP
zVU(ZbvH1$*2m$u;Yuz2V*_-Mwn7Iujr>r%b<FFsn@4ZZk-_1=_C(3-=5F(Qc#)0QP
z`2BL@-5t?tl1jdehv{?`-;1`x;%d!#Jb6N4J^>v^wA*hJcU<^A>HRb+sleNpGtdsD
zf29{!$=#!7BA?2rx==iRlbaSdi)7r9lr`j~9(IXMksi6BQs+iW?lJlA*NhzYG$pA?
zo%qB`mHyX-$S_E#0iA0GezT8ymvRm(PGeUDQ8P`?X#46F9n+vRs@aZ5EozfYWH1}i
zYuXG*P4y^0D$@9dmQ-?ue!i{-sg#W8K#q%~d)kOEEH+=Nez!pV86M+q-d0j_+4?lL
z&k;SBNR}RPuWAxA$J!|UbZszBJ3LoY8^LGNloGv6aUt^YqZ?0Kv0xll;8ck@IA%?Q
zTT0QGTa$PsGaN7fFdM4PvaXi)$8dI+Qu?rqqVfG7tYMy&s(NEdJ!rUzIV+dnN)g6Z
zuZ>~D4#4Gud<S;Dxd(5?!(#*XNX3%{mg}u$d=bY|lW2yQa2wW>AswJ5l*7(IhSd{N
z7%^0fxzv`eqLPQOul<K6h2zr9@WJoVRBLeuxd#?z321*yQQh*U?eR5}&as8)ksh?a
zwvXWGvi#6n*DT<RSFN^oF_BJ-|Hi+Zqb}Le?}=CML~TU$eUy8A#@LZUeFix>KYzch
zDyupUFom1K8N4Bz9|(AP4dK$LQ0ygypUFjJR`RPU@ZG4Qbii5+whcXDk%YR{XnbZp
z2(hzN*{t_ER*IgC07j}NmB)Xl?U^#PTC5B>gDWYe2Up2<Z$Fr(vqOIz{M3QVKO|`+
zK!|^W2+*_HJC38<riJrog)$y-=N^s#PekZ-qKkM!3D||~m5Y4Z&tzm3s=09O#;Rdf
zSiWA1eIfuo;$sttF{;xw%FX?DE5tkzFU$pYr(9KNQD<-{(QCCh$a*7<M40W1{yE%^
z(xhg`@~o_uzl<>L?KLj7IQ+LbGv>e;ub8}*Q&WH$=7Mcm5=b}!k}HI}3+@+1b21QS
zlpHj*S+CxfaAFMzM!y#xZZOG{_7iY4!(OaRukiqaBvy<NxnHY7w0ifypw_V!T70gJ
zci(y#EpbqB-6E|ce+BMb0^H2AncR_9G-AwgrMEoE8X?d$$&3~NI=>7J%>8cGtM|1l
z<XZa)V|eydz|(SI9LKjZY)lZrpW+Y_jIHHVXK@x&hBh*B7#(or;G9QQ0FjBby`Ehm
z88<t<hk0|xW`@6+xPGfQsM-ORCDc6nA}iFGRJW9PC>(`swNon)8`+kSJ^PakbS3a_
z_tLb#eMix2o7_YW!}kK$*=vd_I=g;@$ZwT2wnUj04K*=~9|+V1wVd0^iB*@A!Y7>S
zOM9V0l<#3csgam;-Ds%P+x2ogR=xVKa3pci{#@3V;c297tL>@d-exl^q^(ZYI!ZuP
zJ&Byf(5hZ|Q^7uTAvOl`ziCGjJ4NAfheV~>`RN>AL987QpCqm2*d0nb=SdF=%36E<
zYp_8|WmZW5$4HL;WnM0>pjNuPfyecQyIWhCMSZJXA+sas6zs9M+PgYP?9sR7djqPy
zymC49T+5<NwkE$48HY>Uxs0ZVveej5Bne-BRm6G;A&Xhc38?4Zbas2?qQDnKZF)m`
zHopeWlvk~O4Gr}n%j7nFQm)JXXn%JXSJX@qD=VYOU*Vd{=E5azO;cvTzQovu<}pd6
z#$7+Nkb9eQfe`$p?_?KFKmHPgGq7eFdca(W>gMxyD~rdKXZD$lLD*v>Wi0%mSksjs
z1&lx=Cw>Yt_I!ZNIe3)`zeaIfUiR9Je&ziV54KM?!+{pif%-B%roakV9}jD1Jldi-
zE7PLT(d23@P%n9t%Ct%MF2xeNx^+|y&UR1;E{1O?0kLuk=Pl+&pD}ZMLz_rvx!d_$
zJ??4|9}z3U##|yhxC^hIMbuOQ2wi|;bm0b!r;q)PxFUS2T(>G+WIn;ooS)0HDAHvC
zj}4#HIMnKU;3N>FUBbs}sTht@Z+S`YD7QuWK_=~p3&04x0fc&&ro)#%()@<5Y>TKA
z61XA8<-5AIX}VC9OCD41|7%2@ME~9eTWA|jOgd!sDT+?*k^FW=x0LS%3;BLO_~T_T
z#sXftyphu+_0h10NDfFNM3#E@KLz_fr-@vKjo<hYztOT{Y+d6_bmKmp==a=tzT+d!
zY2Dfq9O)X%{bZqPKobJk$?%I0S$a}u4RaBy9KUS))ieu48?T7V6Qpr-mVw2F1Kte~
z?_c4tCP$0^Ijvyx<AMW&?=L0I8sdKtcTPc~MT>TA+qP}nwr$&|t<$z`+jgI}ZQHh$
zbCbHsO)4)*y?Uwlw}1Bf+aG((x#kGkj<)|>9H+et(~*11rEIJ&_`>cy$h<yo6XiKB
zEatVknl~?F!c#pmVYP-UM2BB$`s2^X8yC{o>+FG!U__rJg)3jS=`({NHE>L;qEBLf
zr?!^2DS&Xa{$v}70s16|q9U7@$2A4!Y9R1Sb<|MMhm$XQBg|yWW2?KObjoKu0J~{8
zMk{7iZ3KIjpOYn@p97ZN<%Ke8$JtV4Y;*M^6b(9j!=NaUQ$zoJQw!W1U8e&1Mqph}
z%PoG+G)IpJ|J}K1ekVGRDyQ=NeAMGALG6w}Pk%bz;o~=|HrCz00m=S#P50jg$^Hqv
z=>O&J_Wuc&{U?F3|28T79|Feybv5|k24l<|%>N4*yV8-4Bxy(d^N(@ZgVouFoOCG*
zD5}m1G;e0S)q&kW-c_##!@ujWDJW2sNvP-PV`{SW6EKg9)Xc(A!9;)D&sIjjDNR0G
zDSYBWDgO?wzTfWr=HvVP92xkHhrb*f3;(<0JWxq!ePHA_FJGBMHc#0AQ@G^DfK68#
z9R3e3-N#w26rS&!zWebW`fJ(!NG={eoPS(o?Ca;*0RJHVx9jWc$w;WQ`@23KzVFw#
zp@tcTl$;S+p+pn%kUT!z$0$ckRD)p$PqsNFeWS`fQS!1lI-e9WU(SHOx9+~W)bt2B
zvR*ROP3ZxM{XnvK@*lPla%}pCkw>Ei^}E#DsK+jc`Uv$4^LNhA?!nLz?gO{8>(@jj
zhZk1;>R76|EWa41z1HN}nH_2M5eH7XnKP<lxjR(6Qzp$GpFb0g%GVlXo_51n<yTsW
zGgV<OVj2tD@oPFS3HPl@U9<7?BvF4zoApfgw>*70-(MB43Ma#}v#S|es9o<ff}jp*
zC&Hb@NpoLrJ!jG8<W@K8!63tlqKSZ<P=hHUDu!}Z(YhYh%1@fS3^q0+oa1^qeQZeF
zTcaG6=hYx@I+X7p_>{7^mRu2i_aviLOx7*;WPT?r!0SK<B45<jb+3F@mTLi_0+i*H
z$uDB7`EQ&JV;HK~j}p6eKz_)GN{N+C%i)WSb1_c&C<&%V5g#R%Tuxh+_U{j_a!{+t
zN4aJA<V@4(n49~4xOyBIAV7gq6nvVogqGfFu)cwK^TC7i$-Rb?d!nBXAVsX6XsP}J
z<Ah|M1Z6HG?H0`wb{tiUq?l!9+ki;i4Qha(l|wx^1V0tQv}-x@pc}}{Yb@Y}h!w%c
zG{AxZ%EMZpa6gHM5%cH*wm~prwuNGoHlX&dJ~LIa>(v4=XL#+$&<D(*S@<H7knRD-
z5(a`8m>ye4=Y|9^Fk)UEVOn|V170W?>K~ng5OCn6TA|T+)oxrJ1xcPr1h$`ZLaoY1
zr{m-E)9nxl-)~k*r$|nn++p>PjV_X@g&1#6u4Gx0ICZAU97f|eGIAA1^8uxxFU+xQ
zgr?ADg-|vM0u2%AA(6H2^xu}`IToF)a$jw*u%v34-rBz|*LQpF4D~oj2pCDcNqY0z
zR1`TWvOZIr)&ez!N?rj)OOvqOyuH*yf1$S~$ULO4mT@XKNL5q#AYHk&ybwgwm)_H9
z_(&67K&6G%N`h%u%zcR7C;S6CG2@1mWr-AnibF+I$9u2gsO!(a%g(~567SDSjkeI&
znSSJ(SBaQ+V)NdZfb6-X*gw*a+ZTDA@O3R<mC!epeMtiYUq~|;dntgyI>F#Lfs6}P
zXqGELBu~*#Ar2%$-V0iTD)^+Nf`%x*=uh(3lNFE35+R5wluZ&CG79x8i=(_Qzz&1G
z$B;#kel_znJZ8TrIStcS-{shask8T{N+|K66G$$3jm`Kpe>F6ZKgAO;=qW->j&1BP
zQvR)59{NI%5`ME!t1LbDSmJN-W?Uf3vHxhu<kMM@&jiopOcxSMcoJpVphgTbPZ@9=
zn6oGfv4#B^ULKg2lsWPYl}z^prY`{kFo&O5Y;sv#HC?!{6OG}JB48AO^&%o#7!^ZT
zCn6xTf!!>;h#N?cv8@qp6zb+k*00*1Wij2VPyiy`{~ZYV&r=Xld|sECik>Y67p4)*
zE<#ueDHLumHO6@=vFOc`ni-x#Y<$q45j(h(ZjH9QjKLubTosYRIy%&@lj=Z?!9b$<
zC))#FqM4F$rVpqQDxX7GItAoba*q(@?lBg<v2qyg2_S~{P~>6rxNSeWv__{kT&-Q*
zP0dUd^Z1x(98<w%*yWT(ehHm4g-Uh-JaCu_NyB%tYV~Cu>?QrKSLnXk!XrypqwA1)
zRTpok+as9iSkaS{B)0v4g%{bX{5DQymwFhCQr58mE2FE6w)S!lB()x<PBVJ@R5Q_R
z#oZZnb<mUyp*Q4=tl@etQq{F_GDN}z|Irw)IU%ervRf)0ax#=0`wR89S_fhBGo8pL
zw^WWZHBO8cPR!lk=AzF=VRf^6`N+h}Y@loQQ-$}M^|ZHGX6Hyvs}fYVFto%3P(L~j
zsZpC*3$3CJ59$~v8|});CdWm8_p#0<t>`;;(@L|Eh9B45I12}EDr@A-22gz0lPYWC
zQQ}IA7Uhu!stw+J;Ar%A9o3EEalDHe1mc#iAg>iju^O~VpG`-~FrLk2E;Z45v%&lX
zxGnwtY|q(VNcrDI{K<hBw1G#dK2%LY3wXKKjaIPBZGcyp$MwV82KPjgb;dR-!2Sje
zfhuF)#nglpG>p{hi*u-GMzkf}bbhi{mRTWTdyqSOKiDcDH;tT_&q;<`Q3cQy;p{^=
zeoUk1YD8ER!^DBsFFH+q+B(r?uy!G}UD1EQ`2E=}fJ0`Hl3j9@+doAxRe*qXr_<tC
zyCtvD!SKK|Z-TVla~oYaTh;O*gutROe^Amgs)QJ~?BfHq<B%Wnvh#ZcVKBJ(%#Pl9
zxX^!RydM;j3ej=_giSk(9}}UIJL{7;!9+!tAs1`lOu>E^p5?J>_b59;5QJ+wvY7eT
z$eza;G$V~!7~xhxMjoPU^(He!##UicdsIadHK%z6<rw}M8si9bDJa7(z(qlt2sl6*
z#u!GraM8C22^j?fE&rHL7l@!zDhQL$ju)gnc5=HVzp4s8i;ip~fsh8cAmr)Ga%%2O
z%Obv`NN3ZKrM`xl%!>r&o>FT?8Bi+Oa=iL8oW&vPN;gxp+jl>i@J)ppg>+Ri><1*-
ze#BdA^;kfgS0otI5Ql^-8MrXWn2+M^BQ<TZUTH(*aEbw5awUD@E9t(81nsrDtA@OK
zKj>8xjEt~#rYfhfvuS$**bWsr_Hwsv-?S8YHR-^U1-WZ!h-xOcn#u*BtT?Xan$HEF
z)fP2YJ012c*Oj@_I4>SpKXwspzJ7Y<^Zh6YD{~<$t?-so>Ji(7Cm&XlPWOgt2r@;?
zu6-(fm-}SR26tR1#S>1c8`k%$yF9JUt`dA+yRDhFcig|0$)M%6VsR|1f~GK^(vTZN
zx6oU%J~Xk(H8igxQzcZ?lhZdR^ol(hotctg+}%e1)ivrctvC=(BgUwGTHy=5TY3v~
z^kWeq%>&6Sb6SQKfGuSg+%$h=834oDqu@mWjVE6V*a6wo4l(cxtXIGf>Y6upjvFEx
zMVEx}YGE0NWt7qwH-Qo-`)ziDsHAv;2+aP7QJ>nK4ytr2w*w2F%*rNNb~*g`oI=RD
zks3fMuS=$-*tABLP_Q%BR<YJ;3TAYxVajI{C9yj;B149TaaX#!g()Jrwq{@HOk%rJ
zy_HF&aH{+}2>*rKk_B5}Ia&;QW)W&Owmnejz+zi8zdi`zOJ-@0Ue+<Qe;GN#N88mc
z(W1m<NjA<@S>4Cdh^6*0|JRTMZKuU7k}O(^w|@E8MO&^7b@nF7!Nmi63=<0K0#{^7
z*b1qAh2&vPQqbgC-#5kmjI1U=REXQ!4l))drJ33djSFDY;5A8=30*vAL5QuX3b|=j
zSx>sOC$s~p;(;unr?HPdZ3)I%`<ZEkq<D_t&C-uiKYfg{qmuB}@ecUQ7gf$7Z->6S
z&<rKuxU0{sP!heX&#glqN2n?)Oka?wJws=<SWAn`Nt(K^)ofICjGiN>^(>Gp8EkcG
zOT=U_x{}pnb2T&q%~q-*9x=S<9j><(xZ1eI8&|b#b6N!~P%&>o1<|PgwcX3<i+RP+
zaKp$pgE*T-#V+nD=+e%XR{h(&89FNf|KDwnXf2QWG`xJb`72MopiQ#x8?O>z>3h76
zZ1Tqg74Y)yE0xgggv~t-a9(+u(NDM$E@#l2R`;5~9339$JvWy+VK+H9jy3;Mm(W7o
zcj%`L-i>_rV{V-5Jn{jeH!q`5Zz>^ikYW5t2B~E*LvZe)lDZo&Iw0vsx>JAB#{(UZ
z7O?M;b_i8FBlY#{%d@L?2pfa?PTvQ#z{8Nx<D!6dus^M{X$LWi(lDfM?GLKrM4Oj>
zWOa3t1e!23kM=h>q6*q?o!_pVQ+m8H2J~roBr#f0QxON*)1q;c=@89kJ+!-7rxBT-
z4%!u68Gb6f;DqQ6@zV>wtOF(AF&B#mGeQi}@}iW+y)?PaiqOq<^+E}a5a$nPm>|*c
z?L($FB;-ypLqK2A9=X4uk{s_)Fmv8NOdbOg2|itEUieD=NIhed@Z?Y3T;=*G?0g3-
zI$Zn#p+~-k#Pgl-AfXg~DXAD;pgFrqO<M4_S3TFEmsJ>2)+WD{!hrwkqB<-3wLt18
z3*0)?c-=l6;k}fR`QZRloJ2(Xha9c&tXzt$3#E!uQbwLK%e12$OCk^>1f-wEXjTf`
zv;35%ff(j21ob0;roC6vvXsRiB^o1rsxcC^h8SSrLOz+b{wpQEQM%rPQb<9Gy|DD6
zStB6i5S;0AG{P?+*zBYe^|`vpJ|dgvE|_g!&OnS7+evg~4r@Do{H2#HbQQkkb=qd6
zW%qQ|ec6~=-EL`7{fG@?4P=phdL0eJNUW!&zOYkfrivmMAKQCf&2$r_M<vEL`TX10
zG_?9)wEU-<oeVo#X{D?B#fLQf_P*p%=Qp~<iofkDZK{_-xr}l7{W!}ow}Wk+>MCo^
zbnj+?T77N<yZ0IWo;{rW^PLNUF12yb1-0|Y5lbMROc9G0UO(4W4w^6(ZucyyDcJP5
zrJ-Jalk!u&_0e&f>{(Uv{D=9_Y=+8Z>*e@R!-E7zj+#v1b7?a-%QUJC)?Noql6mXL
zuJN=|IYdWi)8%zyET^$)(EIngFg0$W`i`*IU_+3IRon9}HS+rcR_9#PvJm}_d7&ll
zW^YZ}<&NbiXDpRRPPYduU_<#79>OW5wO^Q+Z$43vWp`iOG1+2HB@r}Qa*N}cC8!P0
zs_>RyAro8>KZr)U6BJ?*cU~0Rmb;<c7Kym_QUIiAo}yrc%*$nBH?y-=LB~1HMetHz
z*aIL&3Sur5(j?x?@gP1B-5m^VRbHV_Qb#o>+XjwepoR4pGoP`=p~weC507#PcO|k3
z!VNYG=DL!lktP-YC9T^xd@aC+{=b19{(mZH{$(qUUhJQU;y(#J{Kt7|82@q9|GksL
z#=yb!KX-Ee;iVywbovK+7(J*`2>tx>%g<||`X$Jo4~QGWOIyh+SvUU^>hjPk-r=z<
zqJ1bJuj(dR9Nf9F!N>eF@?vjee4Bf+-%m&Ox#Q{h*3;wj^Q`~l^!8UnQ}d5!dpDmw
zZ{zd(jo-h2h6jFK_R~w*92*rw|NLD2?ic?3Ek8~7`{(C2Jhi8^=l*kr|M$=HM{U&B
zHl}%kqus!Y_3H!XANAWW?9`r+o1+bQP<`3=@lEYdC-_?M9<uGWGyH=)^*#1AulIsI
z{e{qa?bmO-Z-!TaVbGaeqXp?8{k;xEXnwDciKEuvKi^kqe+BS6Jzocr+y`Xb#3UO@
z*Ux0v5^La<kBmx2Qc|}4Gm>9UZwrK6jRR=&b}+g~IOd$hZ--&q9Q6F*;z_=QIrH_l
z>D@JlW)EmSx_$mu-p0G>y%yo<<JS5+GFmEz_)5=l%eH8ojlFnUv-P3Qo(H4#iVdO8
zt`DD_UO}*Ew{Gd}0)4rI7%vo^cNor|O2^CwFYKyv7ijRYBk+pp(R}wad^;Q$a*Rle
zXPP;x^6qGI?A?RSpLAPuWZ4w`CGwy@a^jNUsDVoFD&VG;Vq<kv^k|}EHN$pFh7$#c
z>Ju%!{HFy0c+x3?D6TX#60OzSHfXxmtLl<%wf-;c<a%|rS?RLe-ui(pvJnEJ)!Ie8
zXW$*(M}ly3Pa)l?-xRbj665wz65+Cu;z}zs@LWn-G?HW3gp{pgpv8fBlSxP$0sct7
zW*jy6>OzDJPReOS#Hc{VZ2rISseMJA(kj*>(c(x`UovEI+WriEEv*IlnEe8e-KoG=
z{@OM|-PtG|n+AC1b8+qTVCg?!5ep<2*D{?*?`|xE<zBHQ9~2Z1Ku6W%$hbb%C7qEE
z`!s18T^qaMmmi$D@cG<NXVm6PoEDd9;rjGa&`_2|ZDIFp>UdGt)MlRG3-W5Tl|FOE
zc*zvsxp6>XBqaqJ*!Q}Vl#&LU(aCQr;%y674u=<yntwk6&mW}jbo5qSleLZ7Hkzd{
zYQ3Gor*TqwHFrJH)YFZ&suYrNiX&l?mP2hlR8AH5(@rcI>!H%dpydYS8TgjUXR~uW
zE`GEvI?U{~h#%%4Tr_iX9M#=KYzC*!lxwRWw$&@V>D4hHH6I}7ewC6~;q*=<)@2G6
zcz4d31cyJIBW4IyXU!)uo{dl-axN``zlQx&a&WykSi#uLnIzrL@uvcl7CklCG1x7r
z$z6f6j2GsD3qyNGC1Rg4lTn>=gE5(jl*C<TCab2ipw>8RZFMlaHeAzza-<B#iQX%h
z&NFC9(8jei$hGU(+4b6Fy#5REcLERN#MUuK2V#<AKE!qpkdjj(@>*ULbg)Ba3J0Z-
zDA?KYQUwICFk+U{5&bZ8*!naqZ17`TUG4*@B^ED4fdIzsJ+XI{gQ51%yO(TONNtd%
zqv5L=?f6f(yv6|gb;E=vkW6NOwso?S?x8w*X_K11QFy6}UOzrzCxvQ>c%wd6^Avac
zC^a2hBra|BC^e#ns#wfX5DfRqiCJPB5w@|zm@8yZ61h1aI8;r^N+dLP45eqo`4nu7
z?c!r0<L+I(<UX$`9@7vzr$kBYPBg0W)2%aQbq$6QwJNkq6Cn@u@mBtgL`DcqO<Ld;
zL#CQJ`FsGi8EON~yolEA0857tV=UR~H0GGyV0G|}q(119nU-ujRa=p>^T-q-pPDh4
z)RUsixAo`e=zg&jDG0);F2Pc9XNE5b`l)Tyo;4)3mp}{r#K)k3WAlCC-JRF8ys4)4
z;&j9Qa<){Mc5-p+>Gvf}go>T{XJX7RX9zzYGK9x(yYX=zrfJ=%vsh#v*$K8<ly|5i
zOa$yE|6U8l>k8vcm)8O$`TO)PkQA2gv352@7$l{JSxki91MnoP>s?-%=&AJUKm^xB
zB!2PnFv0U^(99Z675M2V{2-&uhqj;~Wg4=aEf*IN+20M!_5#lSc+^~s+`zJuFVm7!
zYJc9~oaV@>pK32RO^V$z7i$q!hn$@e<<V6orW`)~wA0Iai)y;tD>a};xf`F|VV+-V
zwl&-3rk>0|eCfu6`FYF`tI+PexYn7}M9`YX2K7Q$k-I31d;JS#P-IeyNlwvBG@Hf*
zal`6{(C~($Wh^ZrlO4TvgT@4_X{WIs`J$2(`h_A!3)VOIp1~a1Y*H%=V{CvH3h3P`
zEWpGG?iu7V>B^v343fQ>&85jw`(}F4M5)ts9Cvk`fhj?ep$a|gX@uGj`|J}|8zc&q
zs@Y=f^vRQEgrz!TC_La~D8KlyePk|=VwYh`B~_~dnY_RK!}8*{j1*_6_J8eKL@iif
z>iHG=!1X5e7PnPY9AUoSb`!a87shU=xIpSa`H>$K8GkAR3c<D&zND{dd-|J!as^3^
zF|Y)ULyocc^}3{w3WO%Cc|>eg4ml{6qOVZq8GNh?o8;ZL&vB`fk)6jq%^EQV))Liq
z7cMC?az^3L$6Mecy*nr<(s7Y!rBE-;%L#9`jASxu6ZNBQ0WVkXcL1-Xr7U9wPLAua
zhCa1L1)Sh71IqtigwfWl!g6vekCN2*%|NB49o0;60iObVz61fPKRpFVZQaMpl^q^P
z4p}Z_^Ffu;pj=i?Qm=l3>5``U+k5y(xO6#UQiy@6UO2akfMWq#L_GUiCJQ2_Ug%W0
ze=7?Tgh414?HX`$E#i0ehgE7M`QlX{ebZ@Y!m>eAXhj<!%gERpx1BQ!(P)L!Ql4we
zkjR#9%DCW?S2<Ulw+gSb-IWzMX2yi=PuTXD;<IOl3kCmjY!pNJm?-BTRr88fAFj_F
z)OxcBr|ODtQB8Su-Fe<c(jIq4JMN2g8i{#kd36~p>j1FXRUqM}Cpk$fQ#XeC`5?re
zdn6!-$6dRkCY#CO{EGq^2c|}ZeFwduXRTi$mVMH%3aE<YJvQL9FFZch1?&M=B$mus
zvy9|Hv-25Dp;Wey5_)}aal*lEhol$t_3`0Z52c$HG}G9JoGQ4ug_zfj&9f@tMa_9J
zt7(5gb>*W?mcF8zU7rcnWRI&ro>l@REw<&Se-1tQKosENl)_t`Chlh~w_0h;qmm12
zLp%X(msUgYj=wC`Mm}T@n#^2AOo_ZxyuxGPu?;MI*hq=RMO-(eS3<1!9CmO`{DIa-
zlQzOv#Y2_HVw9+SuJ6$I#xUN&z<5iaB(eF$0nse<kJ`N^4_|c6JvUzumv`og_8UGH
z*W^N02^jR{;1#*01H1&Lj5-~(sDtC|etC+f!YSst6PcFuF`Lo{D?rV5P*6(2G?-;J
zK`RAqp~MZS;c(NecSJ#eY0zK{C^H#`;UC}`T@X1>i-dKiiLX4BV-nJipj{Z{M$8%_
z<=C51j*>qafvRsGSd&~0?K8y_sS`Asu7PIGMr5EELZf%&DlHZ<Kx;LzDo|pwm`qtJ
zve8LmYM&qo9l~`bFff<{9WGAAyFa$i+YqL3+e(8HuyeYIcF?nO)-Q8x%yzSmsBYkf
z96zf*GpDkL`C!rJ^#HHYufrgy=oX92gs{M&iHTtfS;U+91vx4ZjjV`z=mD&VuZU&>
z0xg^}ZWGXsbP5<cYUl<fn+w$ug|-su3Zp%HnC~%^5rNxVHYg*F{Hc#)h)D2Uz|yy<
zzHCj+dKPWQXedigg61GRgnky3*MFK=pzDwSf=MypI|~q22Y7ZWdbsa56gak&i*zOl
z^0VXf9?6XkDs!>_nAKegB3!Xi>4S3Fz4VD8G*7*Zvp%Ip(~ZlG(yvZxDN4kh)U7<F
zuf%y|MxbGlCFYj4J}f%QJmRoc!UD!bVHvTE$KpIgS?s@cQJlYrc_jAL3lfv_gw^mB
z>7oqvcW>pXIz8GdC|l$U&6l?ZTBovXEpiA2Eb*RfW7XN?7(Y6&_3No)mXUy12>OER
z*fS{Oy>d{>g#TeFl`U_sj{OBVCwiTHE4<D5LRZ{$Wn9u~vG+(r|0lMJyf!Xz2lmaw
zR#(#kb?fG>Mj;fHj|?duInSl1u`)KB%~B)2(crX0!m@oTuc>SRs@*Y)-C_U=me#t>
z!fZ%G%Ai=$Rp95iLNgX(Qg9?NuVigVc#!dC`KYEC$&=*vPd_6I67m5bivf({c7bzV
z@~=5feqB`H^FZUE9PZgI`4`}M-+ug|DI#TT;Wa14jG}{p-FeLXS$0lZeAofguLQci
zB;Z7eJIg`Yj954v5D0P;%|TkuIP(#=I3`@(eI;kjpk(|sYD>pyg6d(1Gqek?_zyzZ
zccN={ns`spmr}#_+C5*4kM7;?0f;R~%FKCw`aNHAG^il=iVE~u>gYKx9#xl&HK=@g
z6wJB@tampVJiO!yN}&|R5rdSkiq(Fox}rC&KxnWSOkIu{(W-|+H68PNvtE@_1NPc-
z*J#++>}5^(KShBY)wFe)4EhDW=g^P_WrO>5(@K$4K~YYI^AJk~K(LoH3X!oz0bpiG
z<f36tie%PQQ7A`~3TbKwdWDzCs?e}9l~<@ylp?mw)h+72M|AV=T)imPxd%A;%YAMv
zuUM49TF~hd+4PH8W@p_ZCCw;|MLxkYz%sg3Jh=0U_})VwMR(F6gFPZ8hE)*PX$f2o
zSO{>Z4HhH&)@@&AaupY#Z|YVk@D>v6)i{@2yZO%d=>SZfANc3qWh%kbul^pDXqkqQ
z*4AGrIywnH2PRa!EqTJ{C1`z}O@$k>r#(YABXgekE-k{A*c8(8!Oxp|=6^uK<P1u(
zX1f~d12$4qk8kfo#!Iqp!LOzX5z=#?=A0Qk7tovuGu5>O23l_q18CB#AwD30K~y0$
zj>f<kf_BzvB@nd)pf!V0DTR`)w$Pk$Ts4}|7=qrF@|!HWwGe0<wb1iHgX|={;n&E|
zstEoLT+*jn((Tq%s*kdy@+c9ZpJ{Tb>_rmE?MQ+zm8RbE!B{btZIe&$Sk`-FJxMOO
z^?fXGTu6H{EV1^0!HTs`Nh%5rddxn-a8o&jwLyiFk}IQs1BiHE+I%Q6pE}?>x>;&J
z9l0_qboxWF9;KGan$=gH@0ah(cO1L2(bvlaz~SXw?6|Tg8^rFI;6kwWw3+d$v{Wi~
zAm(ai0<&(w!fm}&Uzc9+nDEwOo~&|iE}o)JCF%-t1U&*NTZp7W<%^Cza$(TM{PMwE
zOZs&eT-&kud5DE>6rO}<kO7^ShEGu0sYn#%pan$$*~>k!O))Mu(PzF!wM7VO3+_)q
z&7^(|;ljL$U#qB*--rcOHQ8l!<YbZ!Kq17!J0FcAsk@tGYXkFMRX?@Xt~>ITPpOkQ
z;+xEAtJFreGHY>{MUF3?ai?4QV^gF#fokGDCXQvwF4G}*Y<Ox>mRfe}TVOCF$(?3l
zTWj`})*J$#dH~S$m6u`FTVeUpjtSUy3(kA0sQ6Ks2snYl;fp{V$_hkrDH_{==dPZ~
z7W)C{V94119_^S~<F<RFDcGpOPRl&W*N`52g25s*@cqFwSo3%1$i%j&c-jsQJ46b`
zm~e0LLO5Y5e%J7zaGElZQLId7caBStw(lyVp(_<#Vo_t>@hh(UQ{JypTA|7qe0<HM
zkX5};KlkQQ(O~^jpgHW}*Bo)T&$6DdUWj0vnZ4mCa)XRjtJb=J*}6x0!|k?4Ak)X!
zQBh;MR&=}usLTtnDiV2ef@ft@<5pdD$>2H9%DyDUI&P>Wq8PE4AfyM1P=6Pg^8&Cr
zX)tF%?}J~$h-=n<0sMm<B`-K=n9ik3b&(B`Ay5}e5Srrxd?SG6@QSE=buo;TG@S)x
z|Am}rmO25UI;SL)&QYJHm&QWpLF7Tf<(q#M)^JFZ?2Q%ks^(lL4A=V+bm|_~0{D`t
zgd6A5^OUtqq0TZWE1dlUzHVx!1-^@Q3m^PmwXcxM>==3bNhmF~df5^kS#FXn8_ZBB
zgq|#wsE3+Zb}HF>Rff~&uUX2pt0HFwtC44?GXhg|z7KvMO}Qs!=A~U~#0LN!PTqFu
zx-Oyi{Y&0%bEwh-|8~AI5Bqka>=kXguMT$XY;%W&blGEroGEWuenL8{>+)Wj_V&{L
z=P#V60Bue0^Yg01J-yw!*<dWGzO0cq?C(J_o?}h`y#l&^PK+*mNL#7|DE*8BwGKlu
zRz@4~d;011*uQDhkahx`VC$V$_EJimo+m(_{!c|SC+tw%(Yje(*!-bNW>4s#Gj^$7
z_RFE!i6JcLAOZO6P-3V4i<=EwNTd{%pfR(jp|jn^S9X;U&3&weW5cGPnMHl-;KQ$A
zzv26(wRpY3f*|mwnFMu-lT)cT6aH{>kO5k)ndw-k@9qfL$67>Z(AE|n&aSPav&Gay
zKpXWM*@->H^N02y??yY@alDKIODe2igVkOoR@FpV#^7!{V@LOvOYz5eSQmOFF-XVH
zD3;lQh6mZyl}B?0oXOrT*`bKp7z)X?#la|kdN@;gC{^D69Pa2R{4}R?5x`ANRE>K0
z#ZTkiB^OVMdiZ_BQoox2)VrE)hcKaknOL?Z$>k0xJj6``a^aP_Eqc$`dq-TcLK}hq
z8vSL&RRMILJXM?4pg2PtW7`!{Dxm5-m1jcoGN5Y8+QZazt&i{9V-ibY9oX+VTlm!=
zH>m@0RJn||@I?!&j)>F+s@#64#zs!QucdXBk%09_1pyM#<jySg%}e>1dHy+QbV$a@
zfHbjhD-J4>brj4o!8R}F%q`9Zbwb616r?YZ3D`gP4`;C%BMe&@<t-|CG)|n-=fzFW
zZ6K!uYvE}iaq%&Wq$+e&9U=xHhfm*gTvLFrghw@7bFsW#)k&v`Ao5mFsY`>2)5-}%
zycbhmLvEFRP2q)^X!11ztG5DR`E4MWBUBtD6YL#L!&df~d_)_t?GrT^?6u}lNt4Np
zUD~dfZTfXQK4z=~Ze-u*wn2h^CGNt~dh-qoZmY5cH_6v)VABtPV=7TZCjpAvgpvM0
z(kbRXAGyk4_dt@_?P;J)3Ur52_`%37iH@}kkCWy%L%cs!F)Ow7-<1-QZK}+RcUw0^
z>A-Wf<c67Sr>)<+1Ctc}LS<pXU*&L-LE6z^(ytboAo4AeIlWcP8Kn#tNeJ#nHFqL&
zd$_(-^>c8Qj0E}-2}y+sIFGt+2l9vAa28uLjQHSaa^jS&m0I_zcMd)iaHD}S%GcG4
z14)%uWg75SBGDsu9NGg5#H>N09J4gm{EwA(=MJ4tE~x8JAJk?)WqwGE=uu9&n)@(M
zKXcZ!?58*YR4*8xdwTuP6T#)<b#rZ*pc?CpLvq4=?Vs<V=WF|Vn#6*op@3;sdLNS$
zH&x=f$HIYo^oSa(3?O%7+U&1hwH+QK1Xb3RWj+WMp0vD!R$a;2ieTvsd%eUX-W3gE
zz>0L2Y_Ls4n@u(#8^E%}MTPqm=e}oHfv&8)Y5*wwBHY*w4q6P54DcqnT{?8*PP*KE
zWUCN^@-N!rQ}5GUlOjSJ+xL;;t0D`2gQJk;xKZipHGw$$m?`jlbn~1`#`_D)uX^?9
zvy$kPgsKOUzT}qIcUauhSm$NsmFsB!71U}O>l5iFUaOwjOuNB1zTCulTre`|vo6Hx
zvVSeo+Q}3rg=ARn*-Ta%(Qi3G+UW-5Fd(w2F~;K35tEaxF~m(_mB-5h1R=GN2<eam
zfh<yyZ20iPe;wW^AMsY~TSrG;=!}`G){JJFDqLBQ2<&t0KJKVrH{ttN%<WZM!5Ua_
zCjJ!PFalln$&_BR*cH>DmV}0%hu2io<kNDgb7`?I*_y+l+nIW_%^z3^@XEY7s}_t+
zkypSFY|^GJc2Z5hlid`pA?3XwG&-V>7=6Sb#UMBL-EGFX)j2I&AVcGc=<+M4%7-c-
zR1*=g^=$|U%{E^-ga`Vb#*vkZ(i|(<jAwC+KtVL{(SvLWDN&%nis(55<J59s?~y`Y
zJe4DPKOtjsCw<W3EIlBx`!SIIXe>LPWv~;DBWw6>-<}G0agvK_A)^81DV13y2cfbG
zMOV6me@YM1M1y&RCkck@R#%bcCt<=8H#t%k9(tz<wl+*AW!V$2gBtqG$CI;Fl+%x`
z@&o2mPM-f83Ch3MyTd@h@{d=Q{-z`Z|E(A)_J6+h%uK-ekD}<`7yg;0(2KDVF#RLJ
zQTk6xRsQ2#Jpa`*^nXuPSU5QUR~L`2bS!Zz;-9}0mV%);MZFt)jceI3AQH?8{s4Sc
z-GXozIBX%tAYr&(xcK)s14Nat7V#PBIT>R>>vM%mL*n)4l@+mz^sVeh2)FhrR>W+D
zKRZ)a4{skEnLXdW4+~dQcLRT~J5MXwByD=Xj$B1Qs)t8!Vz5SGm+t+*^S?{~`5e}N
z7^waB&BWiA4yW(w>V9j(4V_xizuG>#`Y?Q$n#tw6`EGf;J=w@i?D_b6uD%+(aEGIV
z@?0DNAH-JIfLFv?##HDHpWW}T9O)_~qcj)g%aN<jWF@*_nSsl7q3fVJISAv=f%lO$
zelq(0A5>5K>mZbA{*qf2EBAAJ*B`k7Ye@Cr9wn`J9^Z>yeE2)!E}h*Yp|{M+IewV#
z){`@fMN&#|Zq|1Xr&Z6Ls#&Y<-{_vE<>`xs-CjmLs&_hrGrL^H`xvXAt_Tj#zen6X
zEC$E)sS1ODy_@VX7KdLn(mY8fIb=GR(Ke>Eh7t}8MkWaH$yvivtj0K}>n546yr`R2
zSgyc@GP_mW_O3WwM{YOgNs0Ji^|vp)^M9P&Em<w-CR6IZJ-Gw!YZgi8PP69C7#bG3
zmnIr1$HEMocqM<{9$$W66|L5=aMOY+>Loby`d^?9>R1>lAXtai7ZWHVKNHLS(!d<K
zMS=-#Q3MoG0&4k|HU+nz+JM#G_`RVOp8w;CV=_Z>*2dDmGk~|^|0qp{5mxqQl2z0;
z5)5!`LO&qRrHA{+kz|7S5IE+bLoib-knMd=se7Aah;qEV&xJ&?SUxLZI1lnl&axCk
z^lgdlxvB5ve6nmO@kUj7et2g=25`i?UTG%NCsS3Npwnvdfnl6|4wm%Mprd;}re0lY
zGO)YgE~+EH2+ppW)anD&?_vtz2cEkXR({{hyQ829ck+{LyrAo=o2@Eqe4kO>Uc;xB
zCu0xUbStl;0B=%?WDSM2!|;51>6~<SQM%Nt0IHDnGX@zn{hH%G5a7(X8w`RY((jA*
z^$N2PR4}F|tQH9_uk6t84}M-BCjlvp2!P52L?!`Jr2e88<qd;bz88=c2dKpL98m5}
z`WD0V)prf9>Q)@H=VVuXB5so<Or<s^WLgS|KzIppq_X1XA)uPP0)!N!QoyX@9!Mug
zX8?+LkS3^4f^t-<hG5=Y9OW77TzN8CbGfA1Gu7k!0G%y>nXDk;7qRT<=OIQiqVflX
z%v0#X$f)-K=QP0~?C?UNn}=v*pHX(ko}4?LY<8>V7(j*rQQ>*6@G0`5mkGRM5<bzK
zGN+x*J~2FgpqmL}U?OBw+V7<n(`a>*>X8Op%?E}xyB@qK(<D~;z(t>CzG|HcT1_nq
z0Wy0MYaA8*6Ax1lg}hF#8E$<oxi}TC#OA7GTpe|G_mu`ULKPD?Oj*tK&Zs|l4Ix-q
zT|WBongh1B-B&)K*h@~G>+il#j}9N?e;mYOJNPwcUT$b^H-*htDu%njc<jeLVcoYc
zR0QY|G=_lUvJhtt;>8F3Xp3BC2$h&sWIIYF?CFIG+MFO;`_eFVdgesyFbgM)qwpE4
zSRne61pL^pkfAb#@@c&JNwV7WS26N5O1CBzWWXtwQ-)xMvY>CvR_N76_YLuT3+;L|
z^3(k5dMeGyr{C`DW*$v>)4b%|QLKJ#y){H3VhPljuhd@ko>K9^DR;|tS5%%Jk5plX
z&NU;M%oPlubD<p?pYf&1urx?@Q()MzT0gIvGi`;8jWG@%_rr?0nA8s+`yL-H-l*Iv
zDa(-y&CQv}0h=NVr{N(-kG@Li(Y7Ib@j8z<7v<`VD;!0cZY+)VuNe47x-<~(1F3wW
zCBjzPC)qQsX`Lh3G0L#%uI5<C(BV^LHkQ(m%21i_Z3|pUFvIKO|Dl33?BD2JDXCiV
ztL>J{hGi-cW2trQ9%oEO#(2n?5AHHArCqLh+_h~O;V9cSslnZC$!p&!zgp>ZGy9nO
zm}=da>Gb$GE8S}Q0^EN0HE+q(cUyRF&EEKKYuuQkzkRk>a0#B_1AaN_xm|AM9$rsP
zCL9=Kp`fXh9qn6Z*Rqw>tgT=7%;w6T(->wz$ccFHt^amk$x<8OanT;^Jmx7;j_^p^
z2$1>PKAiFawYDRFdVV19x%CZbz3<<U#6;WTH*61{>2Jh$n;#|(qjvIs0_EI5sAP;@
zW!73Cb;ZI*o1xv39hA!q%VxV>3j>Kf8WqWcRWPJ#%lSUSXn?tc*Tt|Ha3EB4679q0
z1$Rf1=EwR)2}U}E^wtR=0o<2bM9S7M?UAnX69XAFs)(mu9ceG>jhzvEONJOaQyvQN
z>loc{{+mXF{gmui9xI+D&E}B8U^}ESVrS|6E;*OLWm}!)<*i*wmuL<lCMNhTZgT?V
ziXJpjnEF*t<AQQDTAcf}@~|{en-qux4xWktb&A&Hvcy^6^`;%EO6f00EY|dTgQ~u;
z){)R`0^`pQy!Dq7Ko?Z?gCxplOLQT<WUjS*rWlW~h2n;Q2hpX!pG+%sS2<9akLSQp
z1{DMIAxTHJ5|J5T1ux>U5t>mtA6(Cn03xDX{HUa$$$p!K;=QI2N&*BerLEtNN7<$y
zU6t}E1%YbFWe*IOp|qY0!Qx;m*}34jm;}20*?H6m@bHj$S1bW(RMwMmSNLygPEoH^
zy_LhNBtStdw_^?poSjplGt0Jp!eTWILnDnS&m6F&H0M%vum@U6H5jY&@B}G*4AFE$
zrZ2tpG5(lu#HtSFs03V+=Z*p&`dDu>iv&FAm(KJH8EEDT<`1web(sr4>hMbHMi|+6
z%KoLr$+3O(SdlcT5JIx&eyUt(;XH-rn+cX$jF)1|zVoCS8xa}e@zB3B?B%eR!9w)7
zHR1uq4#|NKsrcmuqEpePbzJC3DTibFF+Qcd7~&mcIdmz+zLch{bMCVMS=83V^GKzz
zI9b<}bZ2951*RkQ>0_>mpbf#M4PyqVXB#cmVn>|htu!OzUkz!a7EVg%z~qH1wx#Mq
zO(ittc^Yf+LplOUXl&80AI+}tI@-%T94qR$a&~b_SU|h%2}d>2gtau)dAl3A^m1FX
zc6D36)%33|Q4vf?5zyVfOU>Dizb)O;&w!9sSk}}<y-NF&m!`velbN?j@5TpBC{8Y{
z)k5M=qG_htF=jLc_o_QD4`QwlK?7&7j2navDG<A{MZqChkoe-2<skDKh#SO1A-8|S
ztT1r7agI{EG7~l$!>u4O0SZXuXc4-P|NW&MJsv%q)bonI9hBUSePriNnxukRgJ?5+
zs7Wqx{G{CGMv#znFYbOJ6WVun?DOb%vH<4hEB4df?-EDQNUI0hhmyJwrS&Sqs*qOE
z%G<CrzT<{u#1|QF-W}qja|OK&{UYO#P?QRvZ+GdJ>wT~+#jBa0D{xIT8*$9K*z4fx
zQ7!s8<ov@lR9p;^l?(}8Nv@@4iMrltRAekhJWLc>b_K*|?ix(d8YDgLocBpyOg8R5
zEuBzeC(u^PgSH~Wd1q`@oR1=A846Q9w7P2?!Jt3Vf&q>4GOdP^xC|~EfaFrQ9<_Au
z$E<$#$dGB5s5yYP<1%{dV!~+O#12+*yXET`LOU-LcsavG-Vxeu?Bq$UdC*LFn9K@g
z5dTsdsm$sZvYI^P&D75^kj`PNxtY0J17pAy8a9r^q=mt!KnvrL!Huiy;VFx(5=lAe
zzZIioHkY*2c<5S7052lzLgEp@M{9sD96U<Zt^bNy7MgI<3d^4uk{i3h9vhgoBhW)I
z#=XH>BfEa`)*^muDY60?VWNX22vaDfP2ORatz1ZKHcL4AyMs^snHWw%?s@(jZuuZ`
zmv+gL$jcB-^DMf*ik65us1tzuMlzQU+9h((t1=7wAbY3}Jatt)LusPzqP;Fu)x~RC
zdnOwer++DB=sdp5GJr+8R@tx(-i1JU)sOLN8BUEgLBPnPxx{M&>qh-aU(j6l@U@^1
zgkOzXDshZ+>0I$P5gnB9^>5BcE<#6$URTA8j=wX)P1Rv+CZbHzHLF;$kRog~EAfXw
zb49nrYWWI8DjguskcgTJ6tpzI{6lm<Z#4h#lwo>RQ}Hl@5of(CNm;Oz#t1j(a|i`k
z8#P^6avGAn1m|t^G1l0timZ+T;+TUocwN;|Y2DP^aYTYD1WQWHO=hvJPGQd=Km?s5
zaq0J_i76TsTg!Z@vz>GSbCJ{0#Qc#@bh-$4_x&Kt8l?+&vGQ<{nG!j$pzcg~7YwG1
z*+=%hhOCFcLO=K(NgB$#<%8^!#qjzFjX|r#Z-7|Qk|7eBW(}bU66rz~S~&@-NBCMs
zbE4@*0N|2fnU;A-HFWVl6k@F$LJ_hI0A01i0^Fytc_E2SKlRy(xn{<z2Q_q_>j5b$
zFuuH$qzob>3et~-lud?yHtoA4=^)4YmEmH5pg{>Q8Xt8mdj37fD|H-*t_ZtINJ~*L
zi=h0MHSFhKj+D^h@5=Q2EVg5-c#$s4E2~5=lJ7|`C=0Vjcn$JP3QtXDT;8T((jsG3
z&dbiXz6Z0UJm>Cb8RI67jOVNhjwY#aYj$MY8jez_G9N%lHfg6ei`VfSr0k+a4kAT>
z(YGZe%`_NzzK}`BrMogIC@dK#4R}czxChcq&ykn*du(&XMaxA(LdB8sYKaHZQZ6Tr
z%F3KXe-(W~%ObWFW#l6e00}qy%S6QM^-2gb8WP0HTY9q=0zC^j#147|epXavtEyTM
zVKJM!tgYzFCps1s<R@k@zV*ydRhNRKuqvP24en=wQgQ<%A74gCn-rkiwe*pR#KmMB
zO%3$c&2}=Wizv{RLZBZmSYC>;84rt6JNT8g&VN5f8Hmykt2U<&&&+2T@uR&c87`8C
z4cr4w!13u`eJi&(-ZhZRmSfGmBpWC&TR9ISrocCl<RC65F)EvV1ZnS7hI!5oIMt*t
z{2AqJYJSa-oaX|q^&zjh#sv8$ND~r)B|nF;=M~JDK#K9{cE*4PwsN#gu{_u!;V#uT
zt7P{RO!j$AAI|1o^E@by>xU(zmt^ASKm<^qS!xc0e6WSt+`(PJq97k)cY1s%9aBgx
z19Rz=%58Es>-`VnJ@gk%-WuK|vM^OoV!8$!%XgwYe0n8Cbk(=TcT$#LL)(mc?s+~2
z?B~}wmLncnX$ygkx|)?f0*$B4kOZ5pruAq(WT4vh9a7)kT2gwb$4;twOf%J|;FVT$
zv&Xy+rQTNL*=|RAhUpWQAxf`}qnFZV9mCJK;|jmh`Sy=oF~Ebb^$s*$l-}Ld%42Az
z8-t2m@}h7BH#1oc<&C7D9NBG@rWq;8D;@^;a*YWiX#0TJdkZR=Ql&-6cF=+8V76ma
zeT5Ui!kso6U|}byi($SCio#R0tFlwH2kwtEHziv7g1DYeI|eZC^%K0^u)?jZaoS1J
zmEW>5{iaYf2(Qo@4&?I4A(uw7<)tH*72g*clOKg8f|4zMyyI;qmX3o^8Y1aXJM6T=
zT_#u#+NpGxI74LY>1J8TGS6wXOuK7?YL_slL3k-@<HxZTL(w9u08-673bAaV5B(vG
zi4z*2e5YyDN_Wkt`Y)1uI%f~@M-|F#E1}2%`^GKfN@^3)Doxagg9cgLP!SNK4*>b4
zO|k6Mt9%SrEll%&pnv&i&`4GLfndsM+0>eTT0+)J4J=wyo(xLzJ2sxdg)_vku%^^s
z0qRe95~T(c5su?mR>Fyenxco+bJa=H(9={d@9i_I%}?}u?H3(sfEDtr1IunyK$;yL
zyy%q5Af(j)Ej5`2lNOu1l%uQnryAHO@gl-1$OIoh-Y(L0p?qLPo<CC4z?|(W_{n)Z
zkx<pJUzuqjJVgfRFt&qQAWF{$a2s*1i5*}7=rwX@nZE@o=b52COY4)h!r;W*Z;e#z
zgzILO3Idw3+NRU@)pRf9tp{AAnYWXe!H7Mko1psJd^b6Kxfe+<!=$qimx-zlS$l4@
z5px@9Ryc}{=;2r)TqQOf+6In9PoIKrqxquNJCYOzZE0nXdGy`Tvyo^@+_;f^flkM~
zzmcBsHV0Dyds%Y}{fxS=RzhhLw<mpKR%2pU`?n3S1515IFMnp*+kUVD0y>BzT*Oz9
zebN~zBZwf3oK`~Nt0)|g@81f;(NmszQdkJCbQy{gQC&2|9)?9zV60-O#i>$Egq9Z2
z&S?!=Bi>S{KNOUxe)_J1HBM-Gp(P3f`F9O+;knlw?WMaIz_OTUL;aaZjEvI~4SyRH
z8p9S@*dBsDmy6#{Ecfdfy~%Dc<LzIMi5doZOyS2!S)yEtsz*)Vk<jNV!ILCE3?M_m
z4tP5!H9$eNB{<qCJ)D8EEq8PN)<4FsFz7xP`iQD1@Vte{Y4$KfR-k*0<22PzK-Kk6
z#5S!^G0{+fMT5QsszaYxR2z?nAXVAq)G1j0u+blfod*%KxDYI9BtaHVha&PeDA}br
zrAbY|RGd?=nHS)%LXAvChSnzDJ2BGMsvA%IhM)Hl8vfr?OQwIPS?8a;@n0F_|FG@+
z4}SUIk><ZFH2(8K`hO0qWcrWO?floH{vTK+3p?Zg+yEca(YD8FMfF9``(cP(XUVwb
zW3F!SQ(K4qyUGamZh$R1%O&WyDrv*&LGivbF~NCA7^*X7U4zma-^9%v%CmB#!_lLw
zR~O&@gGL9&hVk)Zi8wIgmWuxKYW3>iQSasAaW~ZmlNBoiTkG4_wfoG)c5BF3h-j5|
z_!lxQd3mk5{XVgIy-V~tzBPVL9LU|#)$986Zu;Qr{<Ja?+3j<<Lr3rHMP#d*Kb4LX
zOwhzDn#Y_aCcbj&V9Ksp`fFhI+qcpV<0Q+`tY!FnyyU9cnZLN0{7Svw2e(G)Ik)9U
z=5^I)>bSad-S@KAtW~>aU~5mVJ$vs>r#&>toax>h4{w*=b>^4!?aYxc=Ep6j`5u!O
z`Oe2uUFR!6jh%t1(?;~K`BTR^+Ua)Cch$`h7f!HkZLZL(=CIC9C;zUtW_~wE>}%q_
z_+L5oLN?@W@n^Ir*OlF!jGJ}P>Y%PRtabf9GIozP%hzBZCnrt?i3O0n6;PdB*SBRh
zhRLp_@$sYJ_pt06)-R||=WrT`tK;UiW&XxqCWziA*L)y={#i{6I6pjY;2S#u2F{Cy
zuD3Q1R_3T@T7Sc9Xs5&1zS`tMj;$La2-u~0?0}8=ujlo+P+2*HJUEIT;&XxOU{E&C
zCxL~!SXRYf0@f-_7hVLcJ$XtFjQ8y&sJ#j%t@;cMsP4v0iUZSg;{N9-{Z2&9>J6C&
zv1KHKi5?}Rw*nz8hf`E_h&j2NYO{&Dj|pcX6@WVf-Sb|7ZE_9}YRp?1ms)a8Y6XA8
z=Ft+cLVo@n?_sML5VgiIN6p%j-zc^S=lEh5L0LhV6m@clvW4r#5RA5|Mbq1Hrb;KL
z{n_!xI;!7*BAvn{{@5<85YVOC%C8m?p6AI(%^JcKv_Kz#JdlI<m<aws)OK?#v$jmx
z8&MBZLLw{(_ykTPQnHZ;$_aa^rv!tpR*$<0fuw<`ftjb48d_&9yE9fA%}W?&^<n9U
z9Ld(0HCMvPC<B$hyZ;~=^CM@jQY2R(^R5lLN6+G9i6zG+pZ95tIkcbNnks;bZZ<F6
z0$2^S=7oLB3;U6Y%>l@Gug<Bwcr=iw2r#8GG5}6Lq%vEp$jC)mBJRiVA%?9#8c$&|
z-YLq_BI@K)1aOh^o`V(l@u^`Pp<aHA;Omihta_y`KYy<}_&gc@qOIMw`S!+Ivg$o_
zQjsm7M`c*zIX8z)a}hF!NK+MJ_v<NzY4woiAwh7(RxUPaMBG<4iDHZgfzRb1mQdZb
zR4r(-Sf~K-yQWMZ;EZ9&Mt8`C2D)KH04B^d2_mJxxReD6P!2Yb8dv@UVxUAQBZmoK
z5<>Wiw%WR>k17xd&yq&pEwgS=glCFsOX@vM@bXuWpq`csRiA?F03w0t#^9|Jj{qQ|
z7*-54AVVdG(S|gKAIQz%qO<FzG%CPFQoUiCH)-8~%9IB7(7!b#eI|#u0YMf<1frBv
zL1R}OMMmA$dy6x<m<Iuv2kYYQE6Iu&ec5m(=*R0u==u^AxruS3Un%WbU)P^Q4PS}O
zC9F}7#FZ0TFMLcQ0VX_8f0C1}h+$N57IV0XnifCJ^xiP;2b!^AkTO>{i^7Nl8Yu+b
zDQhYWXvP&vASgV=d&qM&euelH8<NdX$81K?I*T2MzT1JseK3=4Zr77EffdU{Ys!Uq
zy__ToZH-SWlpfQSX20;DG!+u_Zp;=6bkN8BB4o?Ze5Ouu0*&9y)u8f6?n`ot3A(Sf
z{B@!}B@R<wQ6+yVNP%omAx~LSQkj*bc4FqgF!vU)kpx?osF|6WnW@dp%+O|Lw#&@S
z%*<_OW@culHZw!pZF~LZ{l7Ci+R^O(Khmxgr3{sBMo6htsOsDU^%&t9q$?t~^<E~&
z6HNu7?-s-??x9#+h#qQb$#~36wHF@-Db$}Ld>m%^j71qq<s|P5z@aQjn{pM0!4uwP
z?l17Yc1jiXEom^lS_<e`UZJ;}L`wpHSD@Q*Vt@ui!e83(ldkh(GiUQ%8f6qVm^WmG
z2F%r)yy<>B>T(YzyD5|5S5}T=&%-TK{``q#RA4#e4THlgDGaS(OA=zjqBY8I2(1Ne
zdio>Ii_Tr~JiRO0P0{M`&4Y(utv6E)GpC_4{xYdXyZ?698nlr8P5#li0_uEz`EFb+
zE}LV`SAA4N1%zDOcs|AH;~_FB9=b4ohkh`&sx}(ztT-O?jl|!>_|K}}v9=A6m3#PU
z{P=Yt9Y6#_43$*PXJ6_<M@OYO=r?2VAss&Ag%bAl#I~^Vi;l5pEE8SPp`4Ux-)XZ`
z>x5H-Bgk)8tiO5yj{4H3unAoH!P5>2+2$7_CN`nbDIQs+j(XCvk`M0+7E(<*`qutK
z2yuuEl!CR-Fn&z{?8`o_vT#v23wIhNIyS2<_wOV{PR<j-EL1N!vILyf4EaRw4F6pw
zwm$E9bZZq?nR>*GlCo0DdAgvJX)qk_)WpKQIl^TusV<2f;m70R&bCn4oF{4ehq6k~
zkVG!goY4&jb*ST^)quc!53n`?<mbRI9SvqljugY*j24pu(O1qr>0GSI_39y5nj6z=
zh$c5Ua~nAL3_ALdpUNz3p=zTZ-5lA0k<Qowuw8+0>LSYBCHxmk>W(uVj);NJ^nY|4
z3b>qz377A5G_~YW@hE6qoigvCe`2|V_Y~qnA!o)(bGYAwR~uzbWx!n6q9{8bPO)%1
z3<c+@pUyNqhchF<QNjdN0(%8^gc7o<`vg98kUvYCj0E~H!Km%UqF&I}2z6}KFpapF
zUf^DjYcSV4S|NAb*^vxe9u0y}n8%ZcpwV_@_Q8fMD#(ERJ%xkeiE$xr`w>$+w6D0~
z#nU{wvqU{C(W7epa|aJ}3GUSec(~4D5vdmz=cI6bho@t&%wz2?(KVW$EQcAmlL<r2
za0^UM^^Cbd1&a1Amb*=A7vnr#waio}6+)#)@J4kzrDMvmqB(Lk6jzWl>YxcJzzpE?
znZ@Y|$l7fkjKs5y<boK4qq1<r>up%Y1vIl-xe4RZ)R4r<&+}1rG(clUF2ku7qpy8u
zsN*t>BkOTcS8B#KTGaKL-;K$vlUE3@GzdS|k_csr+%F&(A6{+#bdjQuES-WE?XPAM
zvu?-?T-X~m>I_xexUamA8Kq)9uDECyz(Qa|4N6xiTkPJ}VZD-yb+VK;R;C=Ot-#Ho
zkSLa~EDanVf3IBmHQ_0UJP)7XP51V4(5Bol4L<2u%`L2Q(YCzQ()=_f4fgy5qMdN{
z>l{|xH=|jVX!7Ec%Z!=D*97NK5*6Y^)SaLE!Ga=2%6MznN6?$soibC&!;i#pPN1E5
z>~EW;R}IwpOL;chIo)fpY8<a?WMLjYv_Sl-iThO<#CSsiendArH%Cy0*5h@k_~kDy
zm`^b-uVp++R{4tdQK`pbbP}5&3{0opq?JR@jcK2p^R>z*or9OL7Wr)GvZMwsQ*9mZ
z@6_m(Yl#&!%uWqAe9QGX6KyTNpupp#i<lM*X35n+zLgORq_xNA3o`;a`V%V+CLozc
zRY=D@+jTvS5t~!&>NTvf$i(t-RfN&{wf>P7)pNZx=QPK9=xg--qdoh*(wK>6HOZe*
z8Xe;!Qn~50s+L@$^TnoepDmQtrr91|`c^GpuFrW2F_g;*O=tt~Tdl3@tm7EJx~D5q
z5uH?_rM#?VTt6Ook4`S~SPC%V#L-u>32k&zn4ke2lZrmsmX&SM05sT693U)Gi@~!q
z668ZmVjAUxU)MR3Z;`4+JOQ8v4w=$pr)oy`wUHkCph7ZU`ue1?nOCJysZ^JR-$Gt9
zKKRri#jk|E{W3lb;dwX1$p9bho?3CC?$^1cxr`bESzL~k#lmIG=(C7+sgdIz&p>8A
z>M*j*&2z4Nu4z*Hh{|5ddS4k;>jp7!3N=+&R2uQv@C&G`f%J{)Das)J;xDKWAqe_U
z3yR9?m5P%{dOqQdo4Pa%IsB?d$43E@=;S+`d%V-{9F?i%zgT^7m(f>kwK%OMY4@w6
z_YPQT?Ub)*h8SnM3pm_^pRA5<$Olg@y2_l5)|U;muM19&&J*xjKK*I9WKIO_&9$t7
zjJCfL2-i&|E=wq{la6SrKVze_9Lw1_VN?)$h&G&@_;x6>d7n1*vWM55)US@FRYrkz
z&63dP^OxO}Q`%8Er{&Nge}iy}toAFD@)5*`lPZ3mB*yqX0H8>XCYjpf<G5I=!rFP~
z00h8jp>YrQa8*webQsrK!zui+Gp~-9F2Z7Z(}|)i(OU9U=!;IaO^AIQ){lp^@(~|{
zylDakui`?ONfM@gG{3O!cF;5@u_>LrN6xU8(Xt^P_Ge8-w~+z<Bq0U$m-t+UE~pN0
zcgQmrB~nHC-Y;Sn*;4$=?PH{LCQI}@Lss_hQ<d?SLv@@}xF-k;2~=Azx}K{jTs#Gh
z+co$MGCrK5*e5tkMfOnx{Ly|MVX^k}AQ27jH6>^iKDKBw54#s4SR{Gk3sNbKddB^O
zvQNL)kPtjke4vSNXe@4j$5q7)KyUACm^M|eE(w_(ufYHMZIX*h7F2kR8JO<pBI)dS
znEqs?hk<Zd0IS`7AKBGul;^-$dPSs+dj}ahxw;U~Hdfp)28_StS(SO9`G-%2QD5co
zh`nE!Wm$irvSwkt8VhNBJ(e5+=$F)3>=kIumV=oLn(pRy<ZMl|Ug<Iif-}dZpJ;Ez
z1Xxd#g+Bj%C_YE8lLkh-#qV^9=j56R=O(yd4ANR#F3wrBfCwWuoxx%W3RN$3KHvvB
z2{WxGPpieM(LZayHUhYNaIMnhU$2rVVH%mUA@D0Tk<)ou{DI@bT4`RnO*n%BZq{W=
zX6R$)f%3d1paKMsQRn5HI*JN|6X}Bxuy-5aY6^Kqu6~KkGuI^JQ>H3-Oah*XvT%Rm
zYYrk{;Oz1RRGrzvx8rB`108KinnulkJ31J@a>8dFE^Z71xO{H(94#ma2x1Rf*Z0~G
zg{ye85=GdYR%*`fPyhifl)+41FUj9eQ<hcsh9h2xy0DW@pn&ia=vgxslP84y<c8Lg
zmW#Y^;lg=ijff{P`!^6lZlqwH{)whEhxNQ_CQ4l%D<X17W($8aL=d~{Du<gs#w5}5
zPu;VljH5!l-(M&DMcsf*asJ8x#vZm>{KsU_G~@iQK@I&Des_*67up({pEWlx)6E@k
zN2SwFPxddHw|Ucmr;Cx`-X1@9j;{6%2gj!*uZUI1_dkQT@8WtsSD$#k4XeHmt9)?J
zpOEi2Co!?R!?*-nwS*kmYWDBTjC(2<)?b@EF9h`hmxG^YY46>n4`!@?TaAO3LuX7a
zna`40)2Ws;V<y*wt@a~vt2L`%L~WG7nI~vWlM*o>5cQn13+pPw^1|$^*Lt1`y<gkf
zG1Qem)CWr(b=y~ZoQ0_ZBX}@f8IWaTh0u`!=mRV`i^Wg38|#PKlkSvZ@Fy9|Yr9qJ
z=>|Xi&ZuCFw@h@bzg(0~*Lx54Web_6);FAgisUSG#@sX9E_UYjj6?j;K(N26nXx!B
zzn&Sk_`wzBNsv>!NOLghHR)RW*8kAu7;7<jw4BEx!RCDsxK31+?Wq;0OJna`!azhl
zgLT=iy3FZ{0laLPFt#^z4*}AhG+w$t0s|yG^j@>y|AuLtxmha{IQwnp8MsOc(AR9!
zkergU0$$R5hEzQ{L{7+&P}SG;;4FfIy4*jh<;(Z_azW2e=^y5c{oN3oN=|V`gF{cT
za%2haG2$?Ld;<I8qD4LN7|l#T+U%-f`bbihkP|Z>H8?$M#tCnwz>Y^~*4B+fcj^<(
zcQ_b#r|}#13X%fU7C#O!TT{NZrUeZ5o>}eXrJm%ZoAqnBxAL#-2AgwUu|U*1yG6Cq
z+u+4?cIEu$zQU(=n#|^8?GL58@ydnGTq7f2@Al!WigdculM~dWjBXhZ2(aD!$KKfB
zZvn-}NNUBFiyD+rhPB5+LbujCd5-hqfEx);@Of71Bxi)PWpV?PHh}u{FX1xk(er-*
zfc<|ACi(Bc*1uw1|B8S8D=+W=9@vZZUnqnB6`qSM|5)mO0rvXA#PsiAukSFD{|EM}
zi|YhtJ96PvX#)Xl0*M9W#{}@N`7+^As?D!ORI~f_lFf!3!nG%^>P*%hZfi0yp1kD@
zioCr%uri0=n*WoYcV*W6=kfFJW!|nWe|Da3FR#G+qMltbcJO-F-#>q4-&~DIImF=)
zM$Rm6cRl`8+CP27Dckt|x$NBf3t~^+^YMM_GA!}+v#_+IrQWMwalFy9K$4&BUc!?-
zJwHnM(e}|R2|v1U7~_CS2>eIUE9avNzAwYBjo#<e-^-cV?_<ckSHLmAiuA}SKsu_w
z!#l#!urB+`%xy`qg#}4bS$>d{KFqLUIAv2X{Lj6xL?F;NAkZ#JL!?)neH1F$CD{JT
z_tpV%jzJbY(j)P@I=q6CrEju3A{2FP+kLcbn*DfHf;Qx<?X+~yVyP?L?@8C|!kO4M
zeDkJ6H@&MPjh?B0Ft+;IlMSr`IqosYH}F^K{P+=Etf_sfBV-?*?x*?S7&4V-6e{5X
z)88}Q*JDSP4GerkNY)y$(MAMQvD#u`c~M#9_S1C9g%xc49^KnYX+1N*$l+~cT=l?4
z$rOJaS)z>6V|I(E(J*|Ob(HSzaH!LidlX5@0Jp9Uy^yEvNFvo?NK--=<TDs}1X_Hb
zhU2#t+S=iLn}RZ<doU4V*FBGwSX{Vg<`pJD0!(zFj$kJ^)e_1FWE|W4M_J}!KFviC
zT&zk~x|-2!q$G}PF~95YAB~sq_yFT$zUl@xPb5f5(Pwfd?k)`Lh#0cAsN%&8?m{D=
z`o3W4mq5{9ObRyN9X{A657qjQ7e+<zA-&(S@Y1i#TCezCDJ7qyFKVDb(*QMg7}(l#
z{(v!J2hU6|!GJi{>F!LEls#w(S_hbA2WJDnkQ*7Efau97f1vSMJoV*=!VOFs#`UWF
zl0th+9gf6wu$VV?1Hq*UBY)$iy$pk){8BHb>{q%C^PG#jA3T$s^$i~0wbuHi3Ra1|
zTMwtCaIvU#sVVcN#N>1lN_j?*9Y|42PXqquS}$!<S@OivMfkresPG%o^H+RXc0SzE
zF_6Q7^@}8oYJYq5*=Ues0n>%Wa-%9nj2H;3qIiYr1#CXDjUE@&`uzT}=*F;|J{^2K
z418>?1M#53B~GhL)A>s4u;tYfmeQ~8Y%&$;oGu(@W5iON>EoM%6nJ=S?d-*3Z2WOk
zK{&IAC|77&LCqu>E!T8ge13vjg79D?&jBlq!%5|!6PRT*d6(`eN+Al0&8OXqq%a+{
z6!Qc?yc0jF;MBcTD`+V8hcyzsjK@BhdgLRfl2z{`1%Cjivlvjmy@5r~s1V;Ws#L3U
zU&A}08eq)oM}0-P7hj+l#Z1FHyu5b0C!`ME)CinU#T3`313E$v0t2OCuz#1za5QrG
z)&FT+QpG+;6_^|WW3c_oAM>QJ+r2Td--aw_JG35WdTvb6&8CSxCO2571qzPN(s#-X
z1LFbDn3K&y<Q$G;JeE)_fiV;Z3<2Y<N)(=qd~D6gL4iO;_uIx9TyR3Rj6i8Ggkay8
zM+gfqH|%92*nC){>T64wodiIj%KLO3dHY8S_12FPYieXHlZSa;ALc^Xc=!HSV-qZ^
z#ik}%1-n|C&;%$+!JJk;uVUAT#cyW8X{Wp4bR4i_8OyhnM?v&@6;cOib^18*m%9>D
za><PJ^FWmy5J6OwMz;5KI?LjX=dBd-snuvgQY8KSX}lx4c{8w4DC_<viFd+&Gt0+3
zl*s+xPLHzjnspi^Mk~Vnu~96SiG4QWu2a+rc^$wYIx3^Hlwvg~jW!J4t=ygoW7R!-
zPN_kZjy{JPL%Eg09T-Z_$S8UdumrFoGL-eP!pv;Ga0im1Ln``;l}~I~tN90MxO)WY
zL+>p=`eGMMnj-T>UBJi*>@1DXgK|NVmmmkKvn&FXafUI7#D;j83VmXPlrv!0U^hg7
zoWq4)#^<7WfXx2NIHPLq_mb2E)WK6BG{M{+<GclissIOq0D(+h3(YMJ2|kY_m2qGA
z`;)w7AQTXu)=+{p7{gI|jq6he)%ZLXAoi0{ZfpuVHx;HoN^FVdm)m5Tn{axH)FmH4
zrxdnZyF*I_@vg{pG|G}w%!w_w&nyHbgKL?SJ&|rNEhauCzb^6(fV}XwII0`u6}9+q
zM?|v(RfNMGV#L=0$CsF@BB@Jtk!(%_0_1o@HBOVSA}daBMo~IBTw$5Cg&MU2K%0uO
z)#-tSHS%m+pd!!Fd<gPv%m^vzPEhW_q=j<@U);u*nHBaEFF?^(7)BtOr#gkPi$oV~
zS>)<kS8ZJv-qzaqcoGeyp5v3;GY2urnYyDg1Bl${OgKCIz7KKx2hB)Ewx6Wv`mw<$
zrUNS(!dY9#s01z0--alX;_P=`MSFaT*=VJl<B`|U(NG0M4lOVRAfCRsZWKne;6e%O
zK@ZPu1EzZgHujd*GL%bB$}%*=z#iGWSo*M^0z21_&x6;(_I~TS=~rG~b`PU7HaCQ>
z%64Dq{A*oLHyry{FZ)*?U#@cuzShnM`aWAy-tQ`>hoAd90`<3tPuH^_3sDoNLetgF
zfT>F=R)hg|2$;4F@{F%YVf5HOElV>R#YrZ(n*xnU!G=hpXd;R8vk0%X!ZkJ5b|0F$
zLFYn{1Ky5m>{{<pN|IKaoe+AN&?&S~I$Dj%4`y^C6EV@i)}*LJn2I&SmI7Wh@}G)2
zO%rYT@n~Ko7U5hc<nG4E0ir)9)$(QJf$z-33=s`Y1|O(hmn#3X4ny2vnp5T~Ib7<*
z2<G;%?xH40nL=)6F0m4`=n91~%aHK7!o*KKhM2grJP9d)j8}jf+JdeOqLbvSkejKe
zN+<aL;**VKWBz8kigU8HLF5Rb(oStB_}3iorYsGzwU)Wh$3;rZ2U)<QVelsIk_ZgU
zbE>K;-vOa<n*e*>E0cDkwKJk(x0h2v^AF%4us>;H%^uffr=n=i>j>Af%+9~nQ~9AP
z87jDDI1+R?S8~TM4)QjOd*05?fK<HiFJ21+J9+gcnY~*+9N2B~cloq^bvbW_ZFhD1
zy>J<Iqh=Nd&8dxRO+63V8$ts|_<G_ZpFo8_H0JqeEK$dBEU8%I=)&@sVr8pAPKb<}
z_MCJ6$+l8SpJHk)-HX0B1v2M4#n6mX4WZFApY1(POoa&KuwHjHr|#%Vr-J-Z4lB)5
z&HCN@;jboaQj0rSq;m|nqyClDX-mOJs)JgC<HN_OQz?J$v6q?aO+<!hYqkD~-E^K`
z>TmrNpj-k!%H+HNi4e);0x!(WAV$8}45v{{pxlHnZ$Ctq7@lsbv)7-S#Xb>f=$dn;
zEob+WkJHD$=O@QSiY3{BKN2nNjxo1!KtK)h#$oVGc^5a<F_GXjEp6eI?C3eh(+<|s
zF)pyjeBd4^$tejX$N^5EO<6e=ZFt&`V9QD64s*JYIRe&9m{K5c74nCBSx{u-qrDpC
zeo3EMBQ+6{)GTz_GV6p`|1Eq?MkgwGO5vW`_RlW<P)vkoGw;79j)FvD;PE5}F!DA=
zdv(jY_e}2q7%Sp6ZfeM1HD|@r;z@wqK&Lfk?|$9#st%ml9VD-NQf|weh@WrKcAA@x
zifVRj3aeHNs*|)9xe!%p64f)|uC;?LN(&X%@5emH^*^<(zq%~*3Mwq912us)C)g;~
z{erp5B%`WGSWm~CJedB<%mP`g`D+rub{py1tW?ok?KJSMbmhNIB8(ij75HGpDE}S)
z?5ZvmeV}pLQDl$~z#fRU)VO4KtM-}vYJOa6K9?wKaZqw1%-fejf2=zcPT!33c4&SR
zR!q#Wd=8c#QN%KKmLcdsJ_E98iBZCvb+ne6u;RmU4AT6mlZE}6h=CX5=s^aQz+1_0
z9)%l$0Vmy-m^`a!G}bcKbwb-zC1E;GU3Ld8Dwa;e8T=6qe)oJNHK<y!S<B*#vt@!X
z73pS(p}oo-foa!?R+xY<Q(dplHhVvM9L%MpxPFcH3wa72CPMyQ0x~Y$kzH92V-h%f
zL<2$)TBzQuH0tf-VxdkwHpDD63vLBJZxD10Q3a}jFX0WgJy;ityp!A1+JuU%*7<{$
zWX2H+QYn?Bb_)yT%-Zh)pJs06E@G_Dt~m}I^sa=OKSC|d@e2`)+OaggO?)bBG+{=Q
zLXxac-t;eK+rx;*Jrcb~yRwe)O1&bLf!%8U$h;_K^}Dw4QsuT)cJH>%lgu7BbNYN!
z=(*1r!`6oKLj!Q5%*c<Z35Tl5Y56kss6{)By!|WGYUeA1;<1^CLKJrh`qlbYPNyFD
zoR}FgNDg$JQW`8P)0hLiF*D62_~@|**7o1-66%wt7n*QRcK3tpxkoM!oNX&V`NU*r
z9}H}L^1Vx+!3&ywAK8p>%sl*aD-N(3EQ`>&x%lMPmY1f*$bn>DhEH95LwNu62nNUD
zOMX~o>mMkU-DGdDkDb*Qc|8N4w;CiYQ{ZXaHdvguQJQu`+gq$c^M=HY+8mA0&rFM{
zX!|c}ou>?*u;c>iq%TM;S*rI;Ie3sC&gqo1fO+Z^mSYhxri@q4rAlU6MKx@aI>eaD
zs~7Dqk~`4LB$-71eiOsz#)E3KWfv<2AC*YQgn1Qmlb(x_o4kx5A9!w@S%Lf3!)`8b
zW+;UQ)jrjCRE(E}jW0uTH@7--XP?_HHkP(JKQL9;3(ZQwdvX)aLvtOUMUwQBCPJ?l
zao_97LVYE&2W3eA$(rGUL7(whRToO&hy1K>V?N)9zY#Mm0!;6ccmxD&&|jfd|K%yE
zw-7*%?iX`J93lxgwIvGk4ipw|Bak^n%Dev1-YyYYauY+bQKFvZfoZ+#WalW<M0m>F
zc|MB16<XOkmQygt2P&VBsgG65s-VA(Gci`$?~BCB0bxB{%K57QEH#$2<Hf`Fs%@O$
ztwv<2b<hoTYp3$@ft>jK(dl1#gt+k)LBUcCq|Np^J2OBXERY{PZ6hFXIdXN}`~|kt
z`-J#cqSme3j%PmtTm?-!<Iq#<hW{<W@5vcffKb3@$9GLPdeiMjq#9@H<e)Ux#cBh-
z<3|c9tdQ0Vq1GbK>1&e?pAgxoV)ruV25$m(@goitiTN7IRx}0{OGfz|nxb(B3-i^_
zY^K)GRz9_~rN%%AD03UCBQKaEqyd<kndS(*Rc}9~)Lgm>fb)isGG!v;w*TD2_4K&P
z9NWrDGsdFK%T}?W1_#9n7usjGubgz5;_IRgT7;kU2=qoUKC64c6H&sM8<f&7G0mBK
zk}P-ABP&v_*}x6DSlU`@If=ZL*1hGLCvWf7pxUi+9Wzg{0@1Nsk?pvFB(@0?l~x^d
z=o4`AT$ru^XMc=Xa0XYV_kB8^SYqDtdlqqVqY-Q6J@+6^V4yUu5bI%_KT%aEQ83S#
zn5n<9y?8~osX*5B&wo=J>$M`aCqV)0rJ4!>8TIs=fN1Ik5-<L_6C<9ZF|98<s)q8@
zjN4=R+gqhP1JibIjp$6foptAg0G02kU3?6kTxtoXtDK@As%BI6%ac+H7;(f*m)4^i
zj$1{4XkjNbQ?`45ckwvM{ybZPpJEG>EzDXk82(o09C+mGPiO5`O(1vW`jF@5(O+ML
zy1QN;Oaz|vtIn_-w9R*i>;8ku?WPZU-j7Fq14H*e^Mi76><8uHGbbd+%y=3WQxEBx
z)Wz2RZ>2>ShlbX+J^Km*zo)F2uKGy^`GbwwYj=VdIqrz$4_A*FbDOjB{z@dw=jq!I
zo{)Hddafq86~Sr@Hd!bk1lvHDJppX)P&0e6wQ+(z;D|F$LP0P*?1q9Aa^F~bJYTVP
zy-&xWD?tlw>3b)jD<P_##9zr>OhSGreN|MQPQc$}L9F61oC>N&XuRl=?{uNqv-hu%
z$IgX)eq_Zu!<^t{l9e@x%<g}gb0z3uaji}GeLA5um&K)65BF+o^<$^I#|5`)<*E@9
z9V{eqI0)9rCpu++friJ>6#fU8*#Bk@iI_V;LIq$5Fy-ZClu-GGyuQaj^r_!-W}@%$
zPhG0Gy&d4Y;NOT_|2u~EKSR#`UxwK?OH9$p-dM#Hpv|Z#D$b~C>JDI(vNbd}75?W%
z<ewKQU83(&Ia3o$Lt%S&?e9&Qh}fA~zRi+Ybcq;6zBf0u12_{gv;5bEkNnG0|2YuG
z`h$t<e+0s|bu{g_#*qKP|LW_Sregtcyc1!sfu3T~$F~we+#6i<-)@8^>3S74yCwML
zalah`E}T>lNCY#n5ysDJYGZ3FvOJ#;c1uqA|GIjTym_eVzVf(m5Xviz)Tbp~i<`a|
zuns(`yD0a+XStP9-uQ9y{o&A~`o_&fD7j(%Ml*W9MiIA57n2^+N-1Y+Lggp)POp#N
z7g3>4BII2UmNtRy5o)(5_4nlQ!@VI$6L|}-M;DVcvSvPPYCF^X`1rW`K0cpq151!T
z+LAAdyLYc2j~}Mh5wfliTua%v)hDK5Jt+rI81p(6;75&3Yr`h|F&>`7;jDh}LM&b!
z7!Kv73d(+%(4zPWllcw{)V3(wKt*3@d~Iz^yS#uPqM``&o4YA@8pd>JsJQ%mworXV
z5EoyWw?PX^_hQx%ueYXxgfF8gJ@PKT3Mn5;*mQJ`IYp_tGO1|iI6ysBtn{rKx8x$U
z^(u;VBC>$BCGzb8x7Fi7vjk%I=q>-V2bRhsZ|NOax4<Gi4t$6vtlFum(2>@`P|j(~
z1IoFmWw<_rYIa1K4iG~L=}<uW=m7}yZl6zQtvZYiAUmuxZoBUMjlKEAb24%IT&-U3
z+W9Oo49*QNTmmSEnk!>1uLhd4SUe0jt=sK90ErgRM6-SJOU3ZZAhWFE_iUr`rw{4*
z9BnNlpoOCu>!O+}iU%OHU{D?S6KEc=RAZZpZP{;HK0uP(LMRbm-{KH4N7N#r)wa^t
zGj*5K=0}6?any!|WXyl$jtNZ+;I-exZ?m?W8-20*-+9n3AA<%3#R@xKJ++WB7BYT8
z&0n(`twf~iAcCy_TvoznIK;c?2bV2MH`Z{<X=sZRgyqT~Ho$;>)gX(h<yUqXw6D=d
zn3Ru)vp%qr#3yentGMVaAzGZw#FK`Kr+~9g3`8k`ag9&?#SgS|p8N3ht7a&3N*dnO
ztXX+DYN&(`1%4x>IKIy>rkuN)6BmbD^rHi1!hOt9j)we%vRK*F5SHf2%l(Cf8=Ugm
zRS*c|7xy0)1mW88++ZK&XH^Whhie%FNsc@sCAVIV<SMRLbu%s1j*Q_*w(+U+GYe(0
zwJ&bDinB5}%&r=Vq$#r8L<+T`5;p29d8h4G`Hi`)gYv0fQ*u@Vauwu9%Je@<1CNWd
z4aaLv&!Av>^fz2y_TlQal19<Z3erXt+Nk60Ea1agWGh_(wH#zjp}!r)fKBP5brSlp
ziYma&$b~hL|KLNL%0Zj*qN!?|b;s7vD+;EUPE?p03YzrTQ64fWnz|IACxe~0%wtCw
znr@iFL2S>O{m8@0H)(UGa)b5sH=0B9(m|FI2lbwH^$gu|VM{#`9>ew}UYv-~581%w
z^u~JOdD8K(ygEB_64;LlbYAieZe8fB-MWF`wK>&x`y+o)kWll({pb8<hJ10<r87VB
z4ISj)bls?;09dje9BK0&={YWCoqDRQZBd<p8{nB#HZ6}(^F4H`<venP6L-R%oqQ;Q
ztY{H*%v+_K64{&Syb|6vVC$~zo5HPpIyvjZN&?e)mpzK*$v;?}bHRfmjj4t|e|y*F
zr0(MqGpca@uwIYLV`?h)%dt+}NxB}^i#(~)RE&QXrWBXuB&{O@W^ig4d_vZuo_W<4
zH8|G5vZ*jHVBGsi(I5de!;0-E{k3(7WS5c)V?6A5t&$`cCcOgL*kUte7;e)}n-2k9
zaA=p0%7U&uqFIB)q^J5~3)9{((}>oo0v76hyfyn8U=_h_82@@~POuu1_nV`Nm!BCJ
zfDpPTo@d}OUPCQ)eVU_A-g7z)A2;ni!6oKzky8XqdbP(gBAB2w3ad+Y+Ekx_b%(V|
z0R^`{k_=MZ<w7dR9@p=tJ&_;_IpPsb`Pe+j@KnG&^gLQomMoeQB2rOUJgTlOiJBUS
z6(#iKN_RLqIJN?f9dCZIkathb<S+b&jAx<SbFd@<!81ZuYK*5i8>9vO3;K$Wgx;vG
ztx&RZ`;XMX=5X|?;-5BXgDQ)o`Uwtjp(<}GdPp@je%!`53<DR6d&DQ+<uAPss{QsT
zv(dG)S7x!OB*GmD78Hi%s69^q(D8XiV0grkByk5KG+r2g<I-MYn`Dk(R63GW7nNtn
z1gy`_YKkI%A!$8%H0b>~$Kw0(l@_k+NKCy5u(+f|^@b}09jU^~h^#27+vTz=i5jj0
z&85v%GpTn?&9wLJPP{3ZFadyB5yoddv`yq)B}kGgkP|Z3f#b80a$Y`e77GbKD*ktB
zhOPeTw(6{k3=$_|{p~Xcejoo_DCo#y&NGqpF4Z$YxEf^&@Ee|&QDo1K*Ab;K*x>|w
z>>TZD{{l)R<q!4aUXS<V(C5*fclZ~G?muWNay?r%ZiC0$>WlUgIYytUZ-~7%CHtOO
zSyO=1tI?~jKMNlh+kP7!=`11wOAv7ouKi6a69$i?-)>_zGt?sYQ4wdK^=YWudoM<o
zed7hZEMD3;gtK5Wku07A5SmI#ZHsf!O^ZzN13!3e@ZP1=Cm?2gWA}B%(7l+9>K>w(
z!D;i(SrCiDj|Nmd!^d9r-ca%u^POqK+FmwUf78?4DFG$f0SumvbK0}ph4hOt^F?Hg
z@-Z!KB->*;mr&L8XTrtkSv?;NA*9QBwOGUEgU0!tk@#=1<hV!1(*`|S+$|1G@4XM<
zTJSK8)!G8(G`BYk<$f4(xh62j2|7Wur4kl5h{%TT$Q#*Sroe(GvCkJrvm+}C1n(tP
zCO9(eEEezSaP#u%%lrZfNq*#4BST2EcWEy64&1=yuZd6;;T${w9DB<b6Q<1Ccta*(
z!9ZD$+(f5)sW8VJH>W70CXR!23n<`mT#Ojj-8S1>&|8l1Du*hDhY;xSa-}x*SVF!v
z3FX*w{V}0QvT3IYm&Jx*EhK5Z47wqtR7xY8`7m(NJZ?>wsy5WaI6UuL>qPrbc+&Y9
zwwLrwC)RFwR>RT*+z^fCVb1WRQotyQX0j3r5v-8^WAPqT+!(efgI<Vv3I`Wxa^Bm{
zTxT!%gJ}uu2OV?2m4P(6(3<K~&e3GBUmL{55lhK1cX8rOHuDj+T&CwIb!n69%8!^=
z$>ldIf?wDN26EFLPCc0KRAg#}p>{3<wNGulxC+L<JS&fVzPQQ_NDdrrmq{58k?)6Q
zWdPu+WC&bthkeb6I`eO#9pU(ulcPwz;=asEuhh+Y*Cd;qDg7eGsd#YfDyK0HWGNn0
zB~l6mZ=l0~gUX<wTl|z@wj|Z7ce*HXc%|Uzti`)1MRa%2d^RWa*Avh#-V7#I)Z@5@
zq3Dv{C<QzojdZpLTlgOKHJHFkvsfAd?5d$s5X`?OVPInLqKcuRV5Vr@3mtR-_&{Y0
zG<BMY<PMU4j)yiIz#)GDHQtyNtn&b7V*v`YR7w)o+Fi#v5o(t8l<H&fRfPJv-H>YX
z@QH4oe|a)^b)RZvpb;wR++G{OHFrgYasZ*&^_&Rn{4d!i>ZCAR^aWdt32)K~jeh5y
ztGyf`kIGfWz2*6`?UhKQ)0cON#9YGc6o<fK5ps`eE;FrM$rawQ%<vQD2s)N-{pChq
z!2&5}GO4S0IBCDpOTIFr@ga7SgBnCs9#sz-xt=>KT{`{j_h-?P1gxxn<%p)JHk&xE
z@U~*BjWZCk+knpw_H&zuy?1cpEJRKAIKVN@K0UM-Cu|h2TY8aonYoO(M0b6NAp%KR
zyq)!ful0i556Ap7soin9l0J!X>38bv<)tmjA#~uIL(F$o3I6AdDqgD1Dz*gs(6xXG
z9Bjx|wghzOGv(oBe#00v@!6!kqiYxJw;T4H{FtcsRwbhpW+NKDOy!|~7LnAuSAI05
z--Bc&en(7_c82B8aP?Hq@S#63M73L=?d$`kUJEMOW1kOsLy0>$>1G1kDI@CY-sP)@
zQLg;I_=-{{HtR&Um<0&pe(}jvL0QdyCkw4D{55Njeik*3B4(+&<_l)+$RD;QMT~Jc
z10T4-m$`81Jw^es#FN^>tvAT<hD5)qTZ15*&UxtdDVb$Rm#v5mN!NB25T$tcX=w1O
zIZcJf8?{bk(WdR()p6YBN)MglFh$3B(iOP2P)RLICXq3Qv9_S_2XtkSiLW&IBEYVg
z;Mh{14I!d00Y0JBkzUNRO@mnzFN#_7<MLINR^4nDp?se|Y}BS-)2%$5F9YF6t>UkU
zYT2h3Q0}bj<^c4*aGNo@-?q`S%$-3<^{x>{#?$Vqutz#f+kcz)dXrjvn-UMvt0vnL
zU1Z1?66q>DE=%hR-_%&$zJG(K+ttUv3asN~YLlB%(t9%wAud#lzu7AF&>JPfIGV7^
zvU_*t#D5L|vW(XpoSQ0eayR1x)OI>K7zPNs2NJE`ZRz(y#0v3qI5z<aj*;GRVTg$o
zZ1aUTru5aK+r>^9netM*?7HO>JbEbzdObm+!4O(dxJA3ZU(<k@Q54@qqKyNQg-<+f
zY!W4XoSR!$saW|pYzfWD<&T289w=>&wmm-^;f}#XGjQHFb@gPW0keUtC0b5ZbU)my
zsw+kwGh;(%^Fc`ZA4}&cjvTwZU|J|G=|Efe)qVgHUb#aT6x~6-hJ8%Q#2C_|MQd+7
zI}{S}1`~nQ%KQh6J5sm2RJQ=hEhzomYvsx>@M>A`|LC9c|L@q0f2EK78`8)>eW3mi
z>7)MZ5;9o+*Ag;VnArZEK5AJ@ChCwK=^qIhw~nY-VkKdOOjy4N^~UH;h{DKA<1eWL
z<UR#NmCIEd=wBWICZTYTZJViTCCWZeORWb&FlS#7iZM1?FTJ>`4=*>PgN(Zze)x!`
zs|WjG<Lp4fna59Y2f$mL>w?C~7FqHy*IyTTc5^3rLhSlqj;!qZca%eUd2wNkv&wor
z&<%u}=5Fn6aj8I_-VN6rKVJfr-X-=c4<zG|eBBOI+MbI%MmXTU4(G4m*+ScidN}u@
zt}U~1C33bD4)|$eU0Z9exrv|B9H8B*PmoVw{>tT&%n0$eW2WE)T+=F4JmfJOuQRSF
z>`_DdCKTMB;!$=n?S48Y#=$oV%DjAZ6U)13Js3*>2{geghw^X54n)}Fq7{w50+a3a
zK$gE_Z?S%TtR6p&9_*h3_DT=-H~rKxOhce2P*j7_f?iZh;eTFsU^ZQL!`+@yk9F(T
z!e1IWUi)Gl?7+>QazsUk@6};uMn2PZQRLW>D{)Wv$7q!qWixk6!{Bj%r;s!4^tMyK
zrq>1_H=;~=Qy1Hjj+u|7X&%6aAcb`Y)Q<5+C?#Brmxm_k)xq2)Q@f|T+;6mnF$AE@
zVJ1@xo^bP1&!V#IbD$IN*Tmfwz<2|Kn5x(J4pkm>x4~O|XhR1A=d1KAL0O!Y*~pz`
zSOPsMtc53nvls}ONmG9u3k|6zWt>-?8md^as+y&emtCW;rZVzy#F$J3@eICK7&I_g
zfS9z{)o~_o%TNGjgT<X|owDWkx5++CsyVi@;9&(FDeDTOlIFhw5fRgJxXG5qLfUa2
z3+ec$sU9A5*hJ#u+$0}~#>8TT(kY21N7eY`U>QEypeXa=jh`b$=?utLC26T=A-ai{
zTiGKW`RA>Sd4jy+^T|{Q!d%X3#hS}HE(~O<+QD1CaukKYft{^fu8%Y;k#F$S8xPWe
z<58smD!Y7lLp%)j@GYadD0VRq0w+$>?Ad6vTT_IZVeM!amO31KxnoFtxjE;Z#=4aY
zJ2)QLF^R_F!rtn$%4i$0UA4`>G!wND1sW4yht2wx`5zU9&u+>V#uK7$^PeQdH#LmL
z4aR99ow=Q(`Ftu)=l0Z#G`a&n-E$bpYm?exEFCOv=}eq31-Aro_9@5>^F4g<h-JGj
z<L$`xqw@C!3#QxonP1IcY>H9HQ$ku%OFT$fqnt%_D2BM^+z{P{`h*aedezW#TbyT9
z)D~xGZo%3Sth?=%{d=Tt{AW<6b>}q6lK=ct`;72xa8*cduWa6-yM3P#jk+_j>yIc}
zvz45_?28al%y$Y;X^nq0a92a=y>13tLlamPq%xTKu#!GhxkaiLWDB{H>x~>xPH`5b
zO{sfAYlU#QB3h+ZxUJkHI!>@YCs}>|B?~}2OojG1tSE!R7oOg74J@X@x^cAIjKdef
z)aS3?O;DkORH6<>N*)e`He^4u16E5GG<T#Zv2x`P3+tM^;`x0)frHPw%vl<(CR8D-
zEPa!6KE+G#)9d$<JwgH4rXTz1vE3Br>sYSyqIapLoK>?qCPN4{|H4c@*P(p{QA%hc
zZ9^?EEdtOMfTBX#9!^Gs_E0HIB8EEO8leC$Z%ojM%}L?GBv<yfvJb0Ub5GYyHjsmO
z9yhc5#eE1jInGK*sMv`--%{zXK6^a{BNsqMrh@cf+8&N7`%LzO0OJTx^5QDUW9wXl
z*EBRb&`p09(X}{km_$!sy>u{*f2<0NwuwFk^JbjtFAz<ZLP|^oyRdy-YbCv7v0Oci
zg&~ryhUjKG$_OTVt4{inNsa#S5HfCkbhm|rWCg(MqpyrV<Hjmcy#q6!BUPgtcF%z(
zxu+Jk&Y}{1L*nIS*@?48+nS})r09>3jFQ6G9Ly=Zy1vR7j3@IcOTpf&2_{}1=4gdl
z`UFkMu~wT7XH2$Bk9k3|$4)j;BWZ@vi046t0+CM~5w?uvR)JKUi~R7u!W1zd)Po}1
zQ5Q8D`G@}+C5atX(-qlCrKM)>pak3#u0N9xr3vu2?xC?MS$L=iDv}G)&QiPPGNb(&
zygUb_YgI5-8GZT#2T*_vr>V=;RS8SY#1+o)5P+FMGygdzw4<SU$i%)Yb7Lqeap*#V
zI5A2xV?6W24)f49Q~1gr#&c@=A-y^;V;EQN_r*DyXjPNLi7RBvS<`70&BJvWWs)pT
z|L<heEH5FIOmKda8ts;q8*VTqR;Sy~s#aX#iXC9q5pZQ%kxqNaDoN)!up-$p9&6lw
z@03bsNotMU0|$O2(wz8kMMUBoMMh5``@ELlaNqfH;;)%`8RN6Tb9V)BZ)kJF_a%#e
zdc=d3oB4iu>ZeteV5`L!Ko~|6e^b%xN#=F)mB^CQ?rLnb_sM^V*#{WWKG3Iqo^zpN
z=|HjAFht1wDW6XBHiF5bxYTei>sKsnT}vqy9%{JG!6)k4-Ssrj;=THtj*!E5ab^Q&
zdLnz`2V`d*%~X+Trvc27d>`eLWi6K3Y0xPder{C;f93j9Hl;P(fgCfYTrGiqWpJm;
zU1?Zfx!ceO39XUAuP}Tz=J3gN4CF8yv91-XecMYiOl;in81lziTk3eE7`8TGfNdj?
zb<#W`djM^ypb+fAnVCCxbrO~AN@?ohnNX{9bx=K$LnW}3Cr$vZB#+E~B@vPplTU^k
z(?{x>6w|%?bdc+=qP|1MchgWr5K*(m4|uXscJM#wM*Lf2O(7S6g}oD%1;EyZ9$-&z
zVsGqDO~fc;>fvVZWa9kqzZY>bH3WQ@e|`bU0a*eW133ZN137<x%zywuH9$l_8sBp#
zAd~MI3lI|!GZ5GJV*hfJrM;c#cSD0pl$(W#g^h`snT?5wjh%&smWh>;iHY*NOwQiq
zKdJa`TbQ^QoBr=@|Bpt2sh!EcbQPFc{^6_npEnrTm^l8&{(_Inq+JjbQr81Ie@htD
zX1ZW86g9Ev@42wdXHY0QYGvlJcu+t6#;8O#rFyW`(MDF-&Wn*VhGn(cEw{z*tZGfo
zvjM@?Y&nEWs8VSj<%YtE_p{)et{JV-=KipPivoF<b<T?)&H|UFt62ejwvoqBv$5}H
zFia`@^`*712D4$#o1cR49p+mRB<g~eA$kqZKPm&-v05Zyz4V_32S#+T^F&}}e`_kT
zc&G@jnsKGe=JjbhcapU1Y@&1JM|HkapZ`4G%@AraU(c3_y@c+qt0~kjzQeB{jQGeq
z&9%6zE_)%O0b2+rb44L8gCe6;Afkd!mf1>9Z*4szp3ZA+4YlZx=oX`l%jQkI9oIuH
zgVOnIPJ4N_5^3@`GUl$fOHx7{r;;8ib)uuj-ldH929+X88KB%I5@jlABg5h#fBlOn
z-69Hm5|yh6|4eISZzcx*jIZIuK}%D%A3Rh@8#ntYL!3}uhCqTRpb$&%WX#O|hchY-
zdSZ5DZNEQYxE%YWWWgchti^J)?CuZvejGX3|NQM{{kH}T|8amlGaEA(8>6hLojJgQ
znTUmxmG$3+%2jzoyW<UKSg5^h6}5XINENkvvav2$uq{N3C%R0gn*3QXoNPIKZvn=I
zHI8N;!AQG;8bIe`SL!<imU`{#94}J}zvCWiml|V$32^Z40)pNRm1FP2j7^ifJ^fJI
zW<5_Bk?(2cahl#$+tz*3e<D=-A&y0C63hsGeyWeEfLHcb1xeh6sMUJKTjv89EDC}M
zZn7sCLb&2}S~G8?))yN)4|=D4iN5BmqgmYY|33Y8{!H(Dv|j$%`+CF}{P=)+;_J14
zdDhJ(<gZ7`{ZOEKde0Yfj8lf5g(x7{a@)I|kJ>%+L^_`(Ev~;7Xmft2&&licpL^yO
z9P>7KpH~XW>xR948F=Uc?L@Tq1B_bG3$LR7&8*q=HF)7ZVBFuiX6Q@6=W{>UUw@zi
zemQ$63UiJ7G;`~KAx4FKwMH&T>F@S(rN*%T(d-@gc<D74=-a(NGYakP^*d(tlbc8T
z*DHn>bnY?<L<FIGoR0^FgZf{j>olq!F|R})tk5PVt0gdRn=q0c4q;sEw2+R#^$8tO
zK_1o_xWR68k|AxN-CioWXuUy}!y+sZ*{$d~LMZU!q=1>_9IP6a#wx3opj>l(aU%Ey
z)JM}0exKXYK0?%v{RhnYJ%ptQzgUzhm2mT!La5Eq$Ei3aIG=EoS5B*dz}pw4;4@)f
zUfcjrW}g$=V&f5|Xv6&-1XZ}<!7YDIf97L#D&IDOAg|T|p2I%~^>I3mq=@gV?$@Jp
zvoDH>*hwD1d+>@Yf*!Eve&T%YQ1DE0bE~v-E5V*?#y|x*rhA{7(7w1EKyH0u#yf)a
z#R~CQqf<nvbJfPNM2LIcQG0Old;7rrL^_DGNIK6TAK!3_9+i*74Nz0k#dIGiZKUzV
zW$&Of^i~|s+Qpux1!RW%sn;zYKX@I)9_Z~3PM<l}h<%V_XMW$08K7Ax#;`d(e*z1}
znfu&W9^e}!UWz?UcZeF&SE-@;N?>{6Jo!DweSzEDg$6`NreABWFc}6qs3oRYw^%{%
zbBvF(`#>eDU^k;{eEy3EigqA>KyIjaVbQ>UF^L}$(Yjkao07o#`;o0q`SrOc;vHl5
zRR#!?z<LljaLOEIjV*#}8ulX8=_Utt`NPcw(P;sFf=tXd-WNEf>r3i`p=gf5js;Fc
zkAb}zJ%h&i3q+>)zf9ip&J)KQ%bSO9Ax!&99>xt8(n$t*4DZuWiSE2BaqJ^@g4I})
z@rC-5>2=EjG>}DyBZqINtlW?3-=bqZGy)ZX$=(!pd<ad%-rnH$NCgM;#B@t<x&k5}
z0AD^855L_-Z~SDBaEZBRD+)gH0)D+H#tAFDAFVMS=bo&u0_!EeHf7xN3EB3+Gcnv|
zR)cm`oMy|<fxHCxnea!rB+N!^b<HboF9PckR6Iyn@XS6Jg7Ltt_L=t)_Xqo*TnUDO
z*Q5!3iMF%`()ltxi5$ms?)u8R&)7kB#r1b<pXn4j1-XssTol|q2Eg%u`^$oRDpM8I
z0bPCE!tLYte;Hfo!*hxP1$LYB?5{(gF2X!9mx21N;hcuu*6AklV3We`ib?OqA)Ll4
z@qa)z+wvZf*2536cT=6QCZO(53oQ1yR|&zZ_5_cjkU2-4b7ZIlKer0%u}B`ud*lrZ
zY?gwRZw0(mf$n{BNxl=N9@pVXw<)fpeg+{Zarq)P=S$TIjF#)tn6(sgkH8>Z2jOG;
zqY#5%4gn=Y(Gz1)irV7sYg2mY--*=m0J~EHeHwYTfC-4(a!L3A&yQ0IzN`Yr5tiID
z1~!05*MmJwibZJXF2yEY{H~G%!Yi2iMEBlILwdWQYqm8Y9M2984<Kzp%qw;FpJ0}_
z!BJA6iqU-IE_U++57F_9-g=FH<<FTtU|LyJjU!c^6&lSK6<jrr4w!Ls!Y|Ns!CNnI
zFL+ec=S296BjHFzuZW_!QS!_Hy&_^6pQ}&Hw@R_BrpR4#0gv)1`Qf0fBz;9o6*u&P
zTioMLHA#l2RiG+$kn}!DoqS8t1J%b+)|}6R17D}?7=;Y2CuNMRtYHwouE==qFDVSF
z0f8o%LWO`V%cvC<I&TMn#}RAIFP-ChWb5$H9c-SufRW!<4n|`Z>ouAi{nOzc_7SVl
z`{yh~fzkKv{!5pQM`n~wkQYT<tqh~d68y0V|4MANK%|Khm@kT9A$Mv{1^Q8y^x_Ox
zS)q9jHTT2hxfT4YC-2?s_C8PG-SqmV#Ldpz{E6r9X6d8#V^!|5Px1TjznoXScS_7S
zFy^%jl+MFE_lU4}1uPni#C$X$xkB-gQ)7Wu4#UJePDGSWLcB_W(n4CM9(-U*Trk8e
zGBko_N*n6%4VA#Tl!_?J1!xr#@MQ@*mU{j|nCIer7Stq4_fGN15p(Z~0yu&}7C*E=
zo0~20wGbO{g>dJ@o6c?uFM8kGpDWy6iVpnjC0-u`Q^URlZiP<Y+bi`=7-vXTn}72z
zAiyaYdhd>T@Or&?EU7)ynZRDI(APgeY5eitUImogv6nHa%_*LR(Y8#iCYeoosUtp+
z_BigoHs~Jo5bX9`buL6Y!R(J*-zBs$#;m~UgYJq9egZ}%Ew7zk#w1Z6i-<m`ECdcn
z=LVaV5my%o@`EOC;~T6(7^g!aLLtKzjde@TVrvqVdv{lJdf1q<dzRGB39$o8Rk>t=
zcU)s+1~lP0D{1zHNuL|cIJcED#YqnijAC9&M@L3wMgtJaeF=0kSN-Szh9Z;$a|(Hy
zOm@y5)B}53N57;cLhQ`G1J5QfU}<YN8%;ZK7@QMEl(_gS)$ydRXp~HL?wcVe_?u4O
zs$%8c#nfW^wt$)~%{<@$%&4w-oOhx_Ti^wv0x!LaNJ}gU#8Gh@ZAp_oMbtVDraTBY
zfToX_$fbenZd_u9kfbrigr=03Jh9f1P{npbqQq}Qc&EfssRAh8bki>!(*x|%D<R55
zLMSI5w9sI+l3}$}=b{jg+kdPU>dh4j5!8X>MOUY2H5q_T^a-as({pdsc8MXrrUu|M
z5AxNQgg*<PTa^#j<r9+L&t8m*Qa=eQXl_g!*pkfsCc|d1t@rOn9PoP9i9)AS0-s}k
zNwp>5@6$(+R6#Y1f^i3q>G$zI0B0lZmjNT_0ZN?~yVxXqZTXgA@X{><lYrPK=0aM4
zL?oR2MiB)YaK1wM`wMIuY~e+elc?Vo1utn&gRD*Md{&f~_DVk(l6*~Q&u}458%H9T
zP;yRoPj10yqZf)WeotzzhBH<IXH;Te8|4wjJ)QR?=?#6~4LbP6jNBcii`(Oq8M=q6
zzZ#5y;x*DiJ<uK*>c&TsnAzQ|3Dx@r836Z&BY}F#wbwtW_=(>$EA)<R(MwR%cQeaQ
z0y;zlF$OHDGbUtX=Kng|7x@|UItr%gVi1m~S|qB4uTc5h^3hDoR=&}mL|I8Vi7RHI
z<Mh_L#6Gq-<(O?o-O6f`-WT?w_4U6o_72dMeapUZY;|nAW7|o`wr$(Cla6iM>ex=l
z=-9ULcK^@0_dEA}<Gu05%Gz_ys+zNA{dSEtcGj9zbrUj~2EiYXwYZJQZ2Eo#chc$f
zNWucUSKnK$DrnH6UKRBl=GYpdSmDVYdq}D@zSbsK6;)or-iAbp3;tyDOY>xe1f)>-
zT2`i-)?z0+K)#}eFWr8Hb1`FVOeG;S6bkjwu;h~IS70Eati<-6J2K$qTD9r`yGC|j
z5gzZ4`WsmB{9xZBgTCnm(P60#FZ%lrtgcn2_3*fXOj%S^)SBImOi6d8^r0;fw5Y<E
zE^W0f`K@^6auw>%Y$pypSw2*R5Jg&OySmr8wYr}CK7tybs*ESny4~KNG1-fY*)ekX
z+lO=#8xTgW3>fv$CpQl7H)L>*rF-fIxRr6yplPDl=#rJ-tgxe&69y%rVGGys`U+am
z^Ry1YS_}4Ml#9wRgra|>u`}m~u>{odY@ygW1|(d9lmJEVv)^Bur`{e}YiT=L%yoXc
z2lzD^+cC7cjcxuyCM}$?1^eZVX>A^pCtrTYDJc@M$f;10z*(JTWY3h`RQVE6i+kqv
zyi<#Of?DV|z<q-dFY6%7#lbf;`2ghpdhu!4#d8O@$tbv){~A&fu7f6@V6gK{9dmBe
z{^>2Mh%YSbKxhOO`xSZmqpr?39tIRGR1%AVF%DAJgf7dF&et`|9#sA{%~;L6J#PU6
zZ3&rHxe1Jw<wsgCb+ZV$wYI)G6Wva-CwVpS91AJ!DXKTw#ph^h&->_ntH~+(b<DCH
zLD%~l*a5cTT6%6EnjXD5@8(7tIp%N@-aI@SJ659zT`U%GrsSwT`CXD~sC2@Z%zcsi
zSqXD(etwM1V#u?9HU%IdzU%a8*`f&Y6}V+riM{>V{n0RYi;H`dkxieL{rxSDQR+s$
zIOj-MZ1kTqJ6#<d?Tw}VO%bxg^p9{05bw&_Z-O|L(>q!alqn`RQ;~A=1x)V5h}>3K
zj8F{FTr0lcH#hoxF}h2o$2t4QCzWJZVae{n^EWID_9;OZrK!g_6C*r@&~hco4;4xk
zxp9NVw406H)bzPh!d1ogrlvr5w%1PPTbph4CfycV-9kNGvBoj%s%opNX%Iy(HBS%1
ze#j+}rHWy|tJ73sEZ?(wMu6{cSH_(N16QNOClDqqNgc+4bFIEa5*=$)z`eF<i~ja>
z%19^L8pl%L4kmuZRoC}}LHXFe=pri~_DLt$%PCc@$@=`Au65IxZi8Z0_x7+1ePz`9
z=Gsf<UxS83FnO~HL9z~Wy(#8Vn_*;9A9LHy!Do`lxMEmP&32chvvf+6v**TfGJ4CM
zcSxJZ^_WGzv$ly>ZTk*i!i8EZ9;|30x6RJnQ>LAQX?dfB-&$QByTG<gAE~kp*<Ckq
zX0yJs)@0&<<Suor0ot)20(EKHr-nyi{yb^XIH)^52kwm3gsM~RF-}S{Mb*N!hbOtu
z!ks<^awM`Vopn3Ko9dcT+Ao<dqYx+~vDnP0uhKhu2b_leurP?U)-S+JmeB#+^_~+}
zP>DdZ>6ZDKRo`6n+i0N1rFj__=E3@^T#~#p4-?-jW8Gs$d}!?#>tW<2*QU>%tj~Zr
zx1SwT2}#_sp+r2%92NYiLda=fhLxjZQ3;h4Ju8=hT?XUPNdky9%wy@hYsyF^^VSGK
z&kL^7O~}twKLKKYD0}BLM;4g&Q(ItGx&oeJYBjR@ML6EfqefO6HaRlmcQ`W2Cm~Y?
z!#j6M<#eBY-DJ*-j0AF04(aQ-q_|ru%o0fy2=;MK>xTzq`ha9SytkAPua2{n>!{Y&
z1gdt9#Xl&zEwzQ+^~~sJ*0Q0emek*^6hj+cRaj**t5O!D3Vunna<9VP%@0>wRcff{
zvEjq3C|j{CqUBQ}lndwUd(`nL%bL>e2oqcr0nHu3gXm=vKHm<iMbg*<FV=u(3=w0b
zGg@MmlVg|!K`)FO-)0C@M@rul>6+GQAC^n1bjwCCm&91emp^BP0-Hf8t$0^gbX*pF
zW^oO6663?}X{tHVDwL&Mo_S6bey^>pmMo!;Fs$CXpkY&UE*2<uJqedgM%?U9IK}Sf
z#hMpWDsU9sAR4yTB?n^!@3(yQ@zFis$*+eLF8F>(d`uKk7Yc^=;BJwPr3^O(?(E_F
z^CvZRSsBzs6HKVASe*+~&58MUbvE6p^+dKDnb4b_kM6^b^ZRqBo=&S9D*Lw7P6lZw
z^amgWGhj%PK~ugu5IR49=i@+3mr(C@SkVlKGR)CyI^#S!6tmreX|V3n^GHtR1v+kz
z{&+Lma3L>c4+m&?>awK@cfa<1t@D<1QN+t0m!|rX>ZcT?^xD0(X%WYpYRF7#YV;T;
zj8?lcJrl;7i#6v9_qGD!+a3oC5C0?n+~yTIe|*(E;6631sVQe(q&&SmKXhIdwqG9O
z2^g+2FD9;>;rC9y43%oK-5F#pu&Cpp@JOB58s243$7>mb*Hb#x%kbpM7)c0vE0+=}
z>)H9i+^ZGcd1ZJTc2Kq4jRP$wHTmJ4CR(lB+EuM1YD?>xuT~e$54`J|l4I86<D>qP
z3a#6YsRyLW0&Jr4RK)d>jJctJAHfXVSnl1xCD2HU@Tn>IRTuo-HC%j5Y#eVAd91pc
zxHh-7`gCGpvQ>wnwt57ab!xR$M~PBK+NS*1srpOcX(w~|0oernri{M@MSrj^^9+qP
zDMvW7#FLK~f*mMiB=eCu4J1jjHM<;A#aQYBWqzFXVL=&JGSLeQOfX=K@Vku^?jg%k
z^-4sgKv&7?VN$>=vw%DN4(AxFPs3U2f7(W5;_o*}-;x~&kK0Ok`B`ML1wmUWrUmZP
zb?7HFLA)!R@T{CR)@ZG!%EjQy(?*7jjC;k~LZs2UW3D#Q9guVw*fEIF^r}eINwTp`
zFQbyQ&4?R|_{TiFioY>=-Ti0{#_g^I!ELr?r$UX*G3EohbPnYXFVYTE3ons_TAm6K
z`dLzOnpsujEs4Uf?uwdGGWYjBl@YR{zBmSL@UMAwM&9ffxVFp})U#em52hYLWCZ>a
zjw)0ZwSFRce41!bVFx4@)Y*C)iD(a1o3MKRPlH3|bI%h+6s%9THjX=2Q;b;WPg!h!
z5jpM!D0knI7D7<7!+FRxF8GR5(1EwLU=c(u$PcvqDG(!uPrUnmki;y@Z=NhPbM~`l
z0dun)Ix*rPq{ozmLF?kwwgw*PZC;;msU@WZ8xMr}R|;JyD{q7bPKSBY<C@zHPQ@Nh
zCeaPdFdS7`13`rT5%!GHpO|dCZgh7POwWwoFcAF7oS{V=_h@PSuHhNzuw~R@l#Y|y
zCddaecs`p8>Fg3k986Zb4fEhzn?Bx7J|BmBe>9FQs%WUnt?$K=4u?-{a2Y2P@;lia
z)@5tsc&wukn;c{+4OOkIRZy1MkXlWu?=Yw2t;_Ugom?GUF<PdbBw)tLsZPDW>nqUT
zM{NUn@EpNR;CCG5gw>=EuU!rgUp7w;{VXh`@QXoI88KX(34ecwKQLpIOq4FB6BVOw
z$L0r*^<>reT>FNRWe6UhaL^g3X8kY>J@DO_-J1*zmbW0g&8ZYyNG@D(Y)#zfW0ADi
z3un1SjBP-g(MG3Jwz#{2R24s#t;)v15%K%t`clmv@@7ABdfw-6VD!~vQedMs@g=L8
zQ)uI9C5A}fUd-IzWBur?@I&n&$cpRF_TBN8S3J$mCwnuw8VHW3GR2;PvJ{WCZ8aQD
zF9V1-H<aF=&~s>cacLwhxm%Qk8hm;TLMdUxq^A$#JgIY1r9DD6MXMcAH7f1D4ie3a
z!qdVDwWp>{v=xQ6@9PA>FTeVO&YMd3TnY;tstatVi0#VU<ldew9-1mT$W_`cH9o|>
zw!aPJXA^Y~=vuN{MZLRBBsNznURt%jbpeNWMtj;hYFKW`D5kgsi?v3970sbfH#mxU
z3Z{U2aM`E2vuyT%?WmZJRL)Bq8}8m(h1XE{ijWX<TcX7eq@QKFre1K{K~szfeSjzd
zA4+IX6Jl)hBHnMz5@g$+>uU1rtojAzd#^rBT>nhRfmp7>>P0kW6Ku}f)(3g*rtl#3
zI1e%))t>$Sn{_Be_nVS}1r<=@YEdK6SRh~dOWfx3*wN)n-&xPci7?^^6hZF?eNUDL
z*WETnu7B)ZFEIU{=s~;z9tNCYs0l;qKw>O+o>!QeZ=wXXZkfBq<u($^i~E{E4pW^|
zg)tkF1vHPNxG5nEMo@fL5AqQ$%<p^VbW|m3)~#X5yW9%3NNj&)N##bhLa7R!b+>n6
z7gAJXaxA^Oj^U068{m*#qEMIW<|Vpzvh61vNyF;CPof_(?Uke}*xwz<Av1jeA&2!z
zE8cS-G0m}gl{6x1n*op$W$4$({_?1#9XWJNN7|6tYaX0YrSjGct%gQ<^#QSgRADr5
zA@{}7oN{*kd1(@FXc*sJy-ulrb-a;FK^hf?`OpfJELKmkHcO>oM$^@{r?x+j*bnKr
zIqG<IJpY{VYQH3_rj2;4Ifv1MBApPP4y2S}8sOC{XfRJyI($j^-CnUxmDL#BFlx%2
zQgN95E8(~SFNPLp9pqd?rm3Li7wg!v<#a>-^f%!=D>?S%ZX@U`D|KBgIQo;_l&7TB
z5w(TnZx%>hN{K9D;MtV$f3jH0fNtOQ1s{qUQ{+{P$YAvYLqLQQv<cThKqMlf=BH7E
zai~bv<LMDgY|Dn+?gCcyPxgJd>`bz;jTN-!H!QaWAvRV{BCiSP-5xT2(d~`ZJc>x2
zCEC`wd8E`}$N!*$$v*@0;UIo-dzxI_M@Bk8_TNAJ1k%tS0_4mo9i{7(K+e}v;D`nW
zzw=V3CQFVavoe;b+iPpFc)A^rEMCXC;z@4DaO#FJQ&DuveHrxiTCp0i)0`lN@LS%r
zwY`ZQ`kXg{-z-~~Kh^F*faNl)8^m)qr*ct<$F3)laF(nKuMZr`LXcQU1`#aQIDMDD
zIZ8N<r*_s69xuITQYvUdo<foKZHOR#rWDueD;PD_u*`|1P1BZ;w4)YXvTG;+&jw$0
ztnh&42$)V7R($-XI+Dz(scF#tO@g3vDU<Z>>T*WH(RT>V2G*)t%tm;kz+O~;tcGkO
zqVrgLQazSnBuFX)C5ARTs{K+Ia32k<&F|nLO*8o<qj$_Z++e0BEJZ`0#*GPCWHD9D
zES>Z?G5#%ERWyJQ&@LVpA}4LRf%foOy-r~?Hatj*2^F+%verp<$EvNDY8heT%f=nG
z3zfgcbj3vE87my(s}M<Qo%va_QI_|SIT54I$ZqJ=t{|KU#ukr5M*ek!gQ1IhX$v&S
zw8!uF{jPS#EsMyAeex5WePBg35o5KjKZoPU8-DyHC+Jz*VQjGGwXTHXFikmq<B_;=
zxRB|G8VfVW9wmakX0%)baj`XyxfKu|nsNi0dq%{51hJeH@16C8cJR;`tJb8hw4tv#
zwZ7_vY1w(%lv`wq9(f<90-w3g>dL0g;Sx*rIs<fo0Z4aX^Ur7(GCe(|Z<4lKDIU1&
zY{NK~OfzN%vS(e&XQ)io6NPkfdDdKva%Y1ZLKZnp)AJoXSwu*X+E;r^bj6ZKu}P@F
zk-xkRua+j4BYtaa7<e6;Y2d7gFz!i&lCQarEW+vMG%sPaEO}sQer8zj#U3OlPq?v|
z8u%zF@uJS<xLm5^LeXr_jk#Q0z(haL?r5r3neTL{MKTJK41(!Wk=KQ%X&!dTZx&7M
zk(uZ%<;<~qCZw7cAhN;ShAYmHP_vhxG+={mpl2XVDkSImjtCb9aP5ZGDMUj1pAFuK
z-w23u+(FwWf`cnFUlZkxho-=!nWp(gWmE}5fK(+yXVk)>YL)UPEv~&O4+WUlhs;w3
z)hNR&fCrThR_R{?GTy7CV>Hx9pk0@dtx6K750K1A?JEmR9AdrXP136evS=w-jOljB
zYe<61`qeq^q@>d5rAKKvLPu3PIYot~D~lqJrPVZXsV}yUURmjE&9=032Zxx-v2Lwk
zUsxezu_O(z2g&BHm$PC;DqH^WP(s^MR5>rVxl2xJw{a~MJAh(WtJ#n|-tVozGaOEU
zy+F5j0PKduRxmv&8ru!T6f>IE>J7G6&gFi|C*~%!K$#-8fu#V;CC+>`CP@r7)<;rV
zNja`|b#|5Abd=I49x<v^Uad%3`sK5GJcq&`5wd~;m#K5`$gDaWOVmd`kC5SQ{B1JI
z4^~VY?0YqhWfSHgo_NCr{Y-+p{rHv51{+p&d1ZE2oR-;&8?A1#M}AE=Yp7D{79^<9
zG{~%v*7xT!vFpGL@7#T={htk$62H;Ao1BMkJDf^mWx9b*(>&npdfvNN*rj9xF!F7X
zs&KwyyUW?fRd1O-H-xYYiN#?gza3M?+vl0r`HwB9*!k)&XM|CZKV1+#YxnY|Uu~16
zZjB72my%{=0@3e=HQzD!pC5Y&wF`-rAu$VuBz+5&5EI8^{JJ+fdc1gDTP^*(+3u?~
zqPu(E`$~TK<JK)aqbowyQ=JFunNBbb+k|0RWdtlYsU(?>aLlSH0ohNLL0*@HBlb8!
z{+#quWtZD|)<XYlJDjvr&tPQ5KC3?5&=R-GY3{?T1eU+I3zo-$*uL`q9C0#XLzYmq
zTqITzn$xu)H&ak`*V%+ZF0tW^_n=;#GpUqp)OpCAkDMMA(i>@O=pFS%0hMK#u!erz
z(Zup)OoL!hWlo!f&iot2;c#F;VT$Br#2B0HN%VHHTZsQXlE_3ukQ}fB0b44f8S|hu
z*9Kw9z^r`-tqDwvax+%6Cy7%}f#1ilFPT?{0lZDtfP${=03^m@TfgnkHH&&o^k!G*
z4OL_|i%Czf6MIIredg0KYB0W7JJYCy%q%^syZwDxJavKH@2oR)+gA0QU+<CaNl5yk
z9{g^?4CWG*+j;B(dFL-^$?k&#L^*mAYab;)Xk&>(#tfS_`I{UDG@D7z;s2z*5c@uq
z^;yoA-$TS|v9?w9o!+H#OCrv*qQnng_}g%HNC<2bHLj!p1(E@`qa#_XFcqn*K+BNI
zOMLp;huw<KYwdP3$h1lJHjL{!t(l9TF{4E^`P(OIZ_c4{>imY-zvEuo(mQE#m=@^0
z0^L=$!`Geh;;A?Aw%5n9W5b@Tl*)pTx*8{ouy2=D(@7`h3_>8y*N^JmRe`OV+*J@p
zjmP24lj+^%B*Uc$8yS5e^>v<kc#>scfAr0#XO?VAxjqFlr(J!p!iaA>GfN6%R5n?(
zRWK=yKI~c<v`z8y>VTx9Dxl_H@wBy{ND)+wR;~O7!`Eg}Y<ocd>N2>q)Q)!#+kj~3
zrpCA>Xz<R!2lVm->Q7`z9rhRKr^KP{{=^6kJ!!~wWr^zP4lJyfKo}PLy}W8(7?QFO
z?jMG*r-$oL{6n+*52gE$Og<DwcP|7`#ID`3?%ZI>ME&@T{G*T2S_xlp*M@DZ<|>QH
z%jT#NOfB-hm7qN$2jKaToYJMLUXON<(C=H8Is`Ezh4P0qsK_sZvOo;fs3NP$XATzZ
zzMcBW)x{B68Xe<wJbwm~sz<&L$#|G#U3N^Ms}K>@(XU7+BSep~{qe$NV|LkVI7@-J
z^q{=sY5^1sa<es|lRdwq!<IhpF(Jl=5hb8lk$U^>@54EMIoE!IuYr7cwzWc%8P*&Q
zzpD44a=1Ltuy(LKikrsU*9F3x5kP<gmN|-;wk6t&=z}}iD-<&3NM^^W!7YqnrD-}k
zSU0{##AyGUIZ%IB(HSMNirolS&N{%NSAUKQ%k+dKT{vzVquaDm4ou8dFO|pbrFrt|
zstuI;TI8U<+?B=d3hqnpGFyXTwQImwZ{czAWRjo<=H!X|egA;&-PlygbswuEu1!t9
zwkgj2K;^jo`p3o}gI&CHH!R1*LW1s6=LUI!VxtCevLRljobzRJ--m(8+`6;kRAghl
zE5wx?4>l*nn$a%FnIa)$NmoPM_*V5}zUav_vu{j7Lv8wusv(hs2OCt4Ty}GWA|&4$
z@*z)!NKK4ASxm5tr-#;EqFr7AzkfABO{Wd5mj8rpc5MtPTl?<!)76&M8qc8JH$#{_
zsO3FSR!hCb%ggQGzfg4q%@Nf#;6;ZVX&mKF5RF%ls@Vp9zm8gE{7AKMd=HJ#_Lb>3
zh~AB#+_?rDA`&_KO$W1pLn+JE=9l2;9HO7<zyb&#+J<I+5i680Vv~21v{6r~+>M~3
z5p}0Oxxj{E!?m?aV7l96#=w{S+SFKV8t-NJf@K~jo(?uU!M}YQyQIe9eS5@t#Jq!W
z|BnCs@^a2slbYj0lCLU(yT92Ni=NPkuSX?`5%6ScWqxr{fS3<Kt`gb9MMJ(X>aY;|
zI;ZN4lr54m6{xTPWyDim>VrO06mv*r_xWg{uKF-l^y|<WjNIMBwhtJ&YGV!~?L_~Y
zM*rzOenY(%Z`a7D6@FxIp!LCr#4W%J!ZY>B1mwFK-PN5kBHqaXR}DdQbJHM1?bWtt
z9Gpt)Hsq@(^VdSFg%Sb&=>>`6&&N;!%c%nL06eeUn%M^^$uYa*U9}YiEkcfT@`QPR
zO~O&R=;Y@S=1O`$o{ydTUXp!#V1>%btFbiWuw$wF^ZBVjS=Yyi%P&-pYRPH7qiocc
zS-hd9kgS>d*#Vt>t&`?K+DUjNu~pR~b~`0y%9{cY4<6pkM7W3}?jzUmXgGY!Eq?XN
zwme%Y^pQZi1A4vR4=nZuxl#^->9}1j)n|u0B2#OHp}$jXcpsX@d=;F#YE|@bUES=g
z9DaW2ug5Z<_4hhh@WXLzit<v)&75`z5|`oQq00-C5EbuQdTkraZ1I3Ph2c*nT;+sI
zz2I*Phe6t*OY*J;RiibCY#HTL7+@6L=Q$$rv9H8bad|a0Uq`Ch%ujDdHjuqRc3nhS
z(quGb)MQjVmPwtg{MPF%8PZ$rbW-q9lG15t9zfD{*`v1I-^_-GnWSXN=uEOq2GJU*
zo)h<3EqI8szUb@-H2M?scsL!4E;X;{NXIHDSF2u5@Q_~!EBm5h3L_%eo{gE>hAAog
z^5+T!VnwHDGe2ep=i=9+L8oD39$MT>`lJ#%xgDQp8qar1?rce6gzz2@FJZP@aecQx
zk!^()1uYIEv6FC1@Nm(WF-ac%URag9N%w$aP@+2Zmy2OmDBOB9E!<f+#m)710$P1#
z14@*qX>JX$la3&{uX0egvc`||qh61)rp))|BCg?FG|prx!7%&p{^$i2&wvEi77Ijr
zM5H|egcH2uT@QZ9v#S;hg3}_;V`EOpE=f`fKMMau=GwNC+)d&=AM=vWLth2Z9x=Ur
zd9K^|4aLTyy}29e74cHdKI+bW_mBS$Y{czJV|Tz|cR+-=6LJQUwc$aduC!!cezPdB
z`;c-73NO+1%Bn?Wy?k#KE|~VSDQ_9GSci#4xWOkS&64q_*-zPyak3h7e|Xs&%g<E`
z0{+wV`z-JM$}JwZO0(bGkEAX7?;zfMQ(bQ`-bL#Dqwzl%e~@hv!#-i0_tcLHU!+^(
zYw@=0@om@@r%YnEg6!T_bEXZ+u72ND#t3ZR;tOuTQM%3L+fRIN&*igkB~ZvRS!fZ^
zD4<3@v(-U^`4M!kaZp`Y_#-e`1}z|VDpV&^hOTmHCK>gr{9uD`CWY22B}5bOGI;#<
zQC-58zgLr^qU#iUt*a~%t#Ev!BSVx6ImP`sd;U7E-jr@9cH(L;c9QJ%jh^dLOB(8I
zj1J{<jMb@A+IaC|I3(e4OZN{ok_Gj8x^HMZFiYf%e?In*H8@AH5v*u7Q?i7#7<tZX
zUk~4%02uj&oZqWn`qsy7s`H|%Hlzzs54uQZPNit35_LNJ_l#C8HHQ83BBIjb!HS_H
ziYq4-H{nqan02eS%p6EDS?g7gf>zRr=Efu|@adNi8?3{&614V`7}#j^DG8<7`j?~k
z1#isB)t)Slo9Zxx3$A;l@W-AyY=%?cqwL9^QD@0GS6ZG44f#klj*0U4X~#g+Ro@ix
z`rJR`f%hzTEm(=p{5g^rW<LRTe;)rx-SWE`s=~7>092wGcZ_;25B&D@e(r5BSWScE
zKyf|tGu0d<j)Lhe!ZnIpgy9f7>F=GJ7Zo!06J|>DdE+-oNjxALVxI46<9BOruN^;Q
z1cfZpjL@x*Lo)g>@z)p73T5wsPB^R$i)Hr@`^YyHSxfevb**Dksm&5ZH1W-nIHMff
zd6*9yvhw3wI9&H;s?@5};=)(chMtM?(i<in7HU*lz!rnA&-tHUwVj3VwtHolCld`M
z>xulvS}7Nes1l#?2X@>J+9N4C6tOzH9pyNQT!IPHk7NzTMUB}4!jfwxAwV|yO+gmI
z+|ubypk%5-Qm_Y^`5{8{SZhL%;$c{PW|VlC-4Qz%oxCrysyxu|2G^O~SDP0X-9C2w
zo87H%&ZpgPvb0WQK7IOImId@23z>ee%3~L9{I{cjT2r&QKFBVo`tlbEViB%ZhF-!T
zQLBF-DjM`mx}@158e~q=;h8P&)=G>F!xtF|yiP4f9F(Sp$qA{2|0cgiq{ab-@N7zx
zE^$_CDBTfho6a$<FW`k&Wg2cf0ISkey{~`{I<8*9<2~Py;9l1eegmRNd1!%xO!-Ai
z*W=;w((e7%iNO0-v}MHnrM*O_aMpr%!qDx@?z7ZgUjKv2M~QYji&+PZQAD?ixy(k3
z58i&Y94XifsG7PL{G(dllgPu28d44$rDJI=4L0M@%_JqOQJW{VR;Pu~$=ObOGis%(
z{)g!|?w3}KVulLX`H2pKj|?)kAZ1OAl8ZR1LfL9qrHB$`jFN9M7I7xyHf}bW#Jqr<
zn_*^%sm)iL9j`O3XMZkVC61?Z|8(}yt(?bOKChiVQQbbIIwaAPp^+vqamd%()+wIM
z)P**N{>-5D%=jP~UkXmz?3TbcImsZ^3+dkMP^_B3G{d^RWVuy#TWH~-D*SqsqkI&!
zO|)cYMcbYR`f^cbhVfCX84#h?OYyubKTiRFy6-BYSdQJn_V7w&4$ln8C=jj~!jlYR
zWecieGgBW?H68Z}Nj`_eYW&vQKh!YPFyF9jm{#C=Lad_cWpentSxTclqX~9-x5np#
z?*q%Ja(ye?>o8%17XBgTkl9mh>vQw+THNSk+TIt9#*`;#ICiMSbL%iv=TDc{_3UHf
zS!tN|_~j7)Zg+#HquhAV_j@P&@AoS-EvE1{bD9NBXguE36DqON?U7?jXcd?0);bOq
zUZpBNiL!@@6)DbFXlQLbYcX&Wo49`V4K@>f2Dx_6+bJztfiaw$CYLWQv9WAz`k`0u
zKg>)#qr^;>Wwdl<EuSoAot8~F){=e(m3ueU&o8NFRX<u$ge!w+R}4lUg-K?p(VVhU
z=-5{!ReUeTjj3whF)YLk-FNLEdYIe19H(u)cMLtKe`%CkR2$h_eAuF1{j-B(?V{^@
z_U>WZGyl!4rn>dGyE41&>hyZ*eDK%hnVQqCuG{0S?#tjuPnmq1w~E<*`bU7%*T<a7
zr$Pl&k#nJHiIOL5PS|Gl15cBoWj`7|E33`;;`)k*d2)pL9}ja}(9VMo$jj;Jtkj;5
zp|G>l%Rj@stzY!~KVKE!9u?v$2uZL4J1`7n6d`yUa=ckh618d~EDuh8p<iuUqr=8P
z;EE<%$%mDCv$3SV<OSSyqZ2IR$G)|dE9W5MG3_g4>g&qjvphRiiuIQ(i25ugbH$j@
z`0#|R_lk+hot4Jb9@~x9rSXdJQkNk%Yxe~|hKsB#f~)n1v^NrdsE^g*hN*%%T-xT*
zH8aN8x1P`e`)OhNF<VQ&@+{s+26jz>%IYdlX12){W@j)`T-Fb4@uGAj%qgS}>|o;+
zd%5R<Pwz}ePd~VhyJRx{b{$9ExxbYZW>e#P8w;D!+b$_1328Onf^TCk3ym(C^tRzr
z+iytxPPbU@zrFCRkjKMRnLOWOxt?(ZwklAWWo=q=)S;KUydwRpIS2N=x9?*8(YBJ>
zUI&AczsFMVy{)-wC1d^gu|@9wI#!@3%+AiXoZ5I31>3={ncy%nOZo~r9fw5UR`?3q
z@>jdcV~)O!s+~y@KFYb}2gO~Q{*+o11Qr5H$HJp?%mmo-*iQ^>oDG+U?j_aD&h~K?
zzn$ls3&>Z?j*b?$WrSc|UYGTjCDpjv7g@QW<%=s#Pd}ICn&E0Mn-(_&wyn16lyRB5
zlDso#E+J_XJR%mZys8OslY?$U<=n;sCR{jdswmwYQmf`z6i?Ny?X|MK;Lgnn-X_o6
z0E{-RTn{n6z2D(h)0$jCof{SvsX|o6XJxje#Vv3>(9?=V9gP}3T+}Mo1Es~9ZfIz-
z>s$wo!ww+x3-;alZaQj1yv3DIDK|syGMm#C%o}HwwaLz&gCU4Lr>B4BRhKoD*Ol9w
zJ9D%?)thEL-}fUB>*g&Nj7Cl4UsDuw9ue5=Qf-U0Wi^%`Pb$B+M5t74iD#*n+QQ7L
zB~9QbOZHpn+~_%g7I#tEl8iuq^qm;U4Wz9sGi{zR@}=+5IXzRua*n_QJ1lX#6RIyS
zC_}1syX`*uxR?AYvM}T3z4G<>k^DUh7JQ-Ex=+PXl>jC~VQ{lGA2FnRak-7%?*;90
za70$ySNkTPA-K~eV^sB2INuDXI2^XLyjQduk-%o2wxPzktW0Z}h@e2lo3c&$3PiLF
z7*TzOQ<)ES$rW2S1Tmy$a};4qKlfM7+TmsH=}G#j+Y|c({Hv>o=em{`Hnu01rgi{C
zZEL>9O+mbt%Ce@5jV~&;!&Y?^SQ!C0k5<=ooKT9x8UJIUyq}CO>e3qK5m!Uq$rx^F
z=f)o8Y;s&PZjK8i;=L|E_x^3nWXtBp%66?^@~b>$+4|y{D}L1B11_e$mt8l7HuC3a
zQZBa-N9(W7O5Q658?C)_We<ET$#i93{|2oQWx7N~&!65<2wzldKo$OmbpFHqh>c4h
z7GM0gv7UdXX4j;P7G%wibPxLmM9vo{J5w)_?)aH&qDxY&5wL&j{4peK2o>1-H6}#n
zbxJ?(&6sSb4{C1a33jl?&1rdi90Kh8@ZzOXV@9dE4qS;dXC&c~U`W;tU0)>t4}%6j
za_!?ap2S&Ndq!TzvbVrw>Baas)M!`DSIqpC=)r7IENwuQEQWm*_*{+YhCZwKBX7YV
z%c9}gYJ8)>_u(^x3(Zf4L=V)~M_=WuH>#H|O`Z~AuZ+8bi2SnCg~b=|KK_jH^A|Su
z)4(~q;0W1ev17VpOa~t3moHX~+g>_gC-PGek7k%oye|dL$dZEXA5{t31NlWYaumCl
z+Dg5B)h%DaR?rbfRpi_7PId9UD*B+TCzym82ENHZB}am>u0=ittI8#0%gvrbnZFt+
zn!?(Bd1ug0IZi`trceMoS=ABpH&soL#)Po>Bz1{X+bsQwE`i)Io;Z5RbXqU(I`~gY
z@A=u%;0RbUVpOm>%-;jb7w`GzVL7#@JDsLU-siL}V$%pF$l6KT=>wxb^Sh32KP3$2
zTU@TYil-e*4=&z=fO=?;sWE{#6t11~OBocN@vLxq3m#fqfY&Y78%2i;`U<?*{na9M
zsWx+f5mPXgx9K&2-0SvF5|_Uqw`Xt!Egn?-TkqXZbc*FxUEo?ky$3%lK1v_;R{Ydd
zl@7mK(VfwCHuBVVm3d2pZizhW4v7pcQ~T~6JAmO~P-jvPNtWNPPYWH<PBTx>aQN+e
z&%c~ed#SiAQdHnqdKRuJ;gx?{$JCH3I>ox(=I(#>>V1CsuQkBuce+XdtG)Qa^9blb
zoP)OwJY;y4zWF}svG=&$X~^~71;fyJ_#V9cYMol&gZDh@g5BI(hMIBjIsJ%zGPye2
zl;Vr39XtYSo5N558U{stifPh2M!>Cy+KfTkOS_uTzC=J@Lcw64>4#7p#WOP?89U+|
z?<ZI6^@$8|8s)omqOm4Nza&GSCPUCcfIV{fb<)6=z@$S9s};_UHyw7*{kun|0llT-
zx~cq{Mrh+cm|0%0uCW6NHb|uM3m5h*eD&EDed#CB9uO>!c(VgPEKbCLI|l54xA{9N
z>`^@IFnxVpdJ@jpaDRKz0IJyz&mV;}jQwkJWCov%5L#oJzdCx%c0g2CVD!Fkt%)Z%
zKn$Q&9HCuzagFd|=JKZ?nVFJ(LU&geyHw^9Ad(4r#ZJM#r=db$gU(ULUH$YH5{HQp
zB|={L7B~E}D{Wu+y&zsZl$4SB+Q6M$<k^@q#X8V=mxUm9W-4N=2s5tlPI%-w^DtOF
z9C3*Fy?2z*F9_+I@VhflA4PFI>Gqv54^3zR53Lv+?0cd;C6%NQQ||=X<+oT#Z%08e
z?Zc44CZv>t5r!~(9`cC#kY^B4Ce&|6%-%f16a&zL;o#5TA~1}0j)g?TZ|8T3r_^d@
zor(EI<e->g=i~!ZcfA>~VF(mpv|z|Qo`tduRuDx(3jK|U2jhlOZjKY43$#-u6kvd{
z3t_L)QH-8Ri9|x=6+a`9l?n!f-IBV1LplUD@Lie%Zzy@ptt_n4!4g5Ho?8T@q$o=A
zpfk(^c^d`pjlDHBVaUMJf$t(XW`($hM@pGFN_Q27(!Tvnj0egp5}_oX3_<>J49WDv
z{4_wIL)F(N*_6zpyR_ZI!h(unh8hKEnr#MV?!{CrPb9GzBr)nvktrUvFu>ig#N+82
z6N}Wrxil9j!60-JIpTUBx@~RN;!Slo?3x3*?+s}c^yDxCNN$)=2W${72QHoxsP>gF
zf)V%=_Bc<iH;Fqhi&Fc(I{XPqJ1UJF+5kF7jPZ&=>POGsjSk$U3=MyRv{42}I%pmz
z*$#dfi{q=XKZ%@epc@DetN|yZH#1PdCE<Gyuu|l+Eq1rGJ{9sVVcBnr9UaVhQAYA*
zv0yWnMdS@cgH`0E<ljO%BfQu5l#0yI#A&0)OmXef1H5o@1>u!}!kAWqCrCl`yY^H`
za75jVdGv7><~au5!e`=A_<f1y*pk1%#p$<~=dZ09V`?*m=dXE-iR8$)r{KI%MCtCX
z`4FB6hX?jYJ2GhdoL=?lf)2}zKY(s;C<~21PIw|+iac-w-U>qLe~M=#6%JGC-{S9E
zODBgeu|_6|TaGJgmL%Dx-?~Yj!B<&zI!;`)6SoFFE6WNx<u8+36%!Zw;_R=3%$AP}
zkL6Qk58&rDZ~V59$_RCn3XjS=0lpK*Xx9-}FXd>tj(OF7>`oHki(E+oj~0#3gtq1f
znN2!$C)Ek;h@<pC>}}3b`-E>7(Mkg2c<g2B!a5Zv0&<`=1F4!}6ZRaR@PM+=LMpCf
zqi;{1&wY!p3nO!gh9dN3zV>Cuf|#7|Vzy?#$7;cXfY%A74fP#x2~`+SeNhwJzS7gv
z?-6eKluL*^wo5)Ho?C%~Jt99~&`~>x4Jk_VyH+R8K&bM0vtxvIIQ&0E^ZiYB`A@(m
zAOWQoA)o?^4k01479kVs-wQ@YEkb4vhJQ|$e^FQg6hIB;f2e?#h2yUr)8C<ttbp{D
ze^XcjPC%l`e_Cc%LRJ>QH4A_SxCV^;J3X5gAv-{doq_dV?cb4r5v-hmJ~Jyog5|Ho
zUkW<|AqOWwk_~XO{~gQ91mFOuYyerdzbz|(!~B=S#sOFZV6AL`*;v{C>i;|AUk*Eq
z);~QqfIcR6mcNvL%Q6Gj#PL@az+q$fXDoor@z+LxR#t#kKospi>-x*(0E9mNqv0Qr
zn3&lAWd<8S>0eX+inIR%5)(6E2EdvDb1^ahl>(>%Eb>21`78O40e^w`#|S{n36Nn2
zfXdGP7X&8Of8q4cCFj45`>O|_j|HIXUyuQ21&m;2W&0Q4fLZ?X|A7)f|L05iYuLYx
z`v(}-zjQ$VFO2_~^Vci@2poVfiQ_MTe^&rl9qZo{KxgOptMk9WWab3;#6O7Z5dKHt
zFY|v_CHlvA08aHkkH7x%uj9Ww=fC>@YX5r2zxe?5|9Sic2(Tc)C;R{OlmC|b-@N3n
z^#9*O{#*J#=l(YU|I=dtl7D^Y-`?`ixW9h#7qtKO5<u@iJ>*}20{r8DV)Fl3c8KMF
zOSbBxtYcRpfaG(ec5ZYf4EjcvhKVdM?%igi<mCs{Zz*vqr0RXWwPg}(gN7pE>;(9K
znX_>MiEg>F*#;85yS-*JE#N|Pox|x|wua5x>aiLg%uGfL5kutbA^$XJmcnj&qz`w=
zbs0Pg9CqvD(81p9F^Toh(mQm&+A`+y8n4%D>xO$5=fg)TCnk3trMS{kS~kY3)&u=w
zUtRp~oaLA;yRf^)nU|Pnj;B!Qeq7Vj8pe_CikQmtO|Ym@ek!e`PYF<?%&~5vCD$h$
zI-fQ@7FuG-h-g7_LbOp_V`wI#M5nw7Mfo{9k58TI&nj)8Vn*p3Da@OvoIyBC`+QOr
zWT$wnQ7rMagm0r{3COe(MQ6vuKQlZNXBUx@z~yDd1=VW(!Q?$IbT``7%oPWQqLpff
z0afd1>)UQfOLJJ(BIjnTMJa<yF)3$ibw;@{z{fG1Ln8NdVR3a6f}#b5>bl}r2fpv$
zd%hH^>!cpd-|`eR?g|lhc+*giR{egjHy64Bmm7{k`<BXHU`U-Y`HhXBb03QgnyyAF
z8kA}JX6Am8;^=*Qu5NxXrg2I0?vD4k({~cv?+X}7kv8K0aHIXt6vh9SuxU0{*8eYT
z8sK*fEdMi7z6%gGt)-TJ%=u*5Xsi`QCe`4oqm_c8(O^Qmd7!?D_oE(9%@x^1X@i9n
z@CY<s$Ui<n7U$L6Kr+phE8Dm03C0IB+8gq)IGaJoKc!e6)Q6^+Kqd?ekbiTMgm%_q
z|0&n0cK^EumG>Pw=Z`PmqfM`Azt1oJFW1;W2B9+aZez-NBfb?EI4vcp9g^9Ouh|>W
zN<CTMJN)1ZU7_$Pd@iSP+Bdfkw{J|O+n?v-r&A+ech{|-@cGzfdl+_nu5aTgZlAXk
z_FuZe2z+k)*8x>`YF`f^Ja1Bzb0o8bZ-H4sW;pqq?)%T>jRd@Y&zxm`Xhg|7D}aaG
z>eU9cLZweYLLGaM(>3E6D+GNX(C(W)@7Lv^em?fiDEY96Lcg8{1NOqcJf5=6kUBmv
zx65>XJ!F@%(G}9Q`Ni_|c-~&0#x1f}6Bjjue&P~4nOqOvZ29b_`>cH~Cxm`*Hsuk}
z`yEq&>HfMJg4~L<V;RLa`1)3%5-!*exoM=g0+eN<7y9O~O439z7G@w0TPR{AFrrd~
zdbJD)qE>@&!D5cM5_L3hA1&J1YyxtCxb{)1F=25`AtG2E2!}pJdIe7hJ|Si0VUG^z
zet}o5-x1L>(G%$XCx}|VrdP?9bYOY3Yv-;+-kw`>hkKUc&VuqtAv#+?_K;`+@d{zj
z$s8*Zn?J@d8quY%k+JOUgj+2kmoxPBrl<cGskU4JkP{NtPDk!4>=4j0<j$t9dl=6a
z-Ms=OM;yqx*7b%k;Exh^?+G+k!<}McQrH9LwC9J$MwBdr&FJ{`>{3+2Illkw^gHZE
z&yV0-2&gttKCwg5Ch1q>++dFl$O9fl&<_y*C-6Y#UPi7@*0fHzoH!sp_CnM>;CH*w
z#9*^Hl2~0~?iw+rHqSk3o>Y+2OGCMV#{HKj`&=H#d#OHe&|Y?gL++_y{dZN&bx8LC
z*2zUVi+2BM(DN|Y8UZh^ORRkOyks8GtLVOQriP%TP27z;rL2HQhEkv|vtY)M7Lw5j
zIiUmv&(gH@;}6v987L$59lXFF{MU=)zDVORJYMjdXvf{fbzeaD#9bVew?Z^+ZhO=_
z;JrLaR+H>NwIBrJQHbUOggYTkNV-TlWWaJlPcR`Lr~+}lkQTuB-mvcVaM!8wz7Y3U
z)VKLvNLVEC*Fu{9825PnD92Ih;BEfV4K@O~xdV41p>U`$Ov2Buj(do~Uu_8P2?0m>
zd11gyFjq{}3o^$8t^+RONk+#%iWXUkJDD(&vacthc!Z6!W?%J0-1$Q^UN57P!ZfHm
zj}+2=r=s3Yv-`U#uKK}m^X|Hjh-_W}zeh~!mHIq3>V<Xtf-KVy{Bpy{y#m2EOP}fI
zfu1^|`lIyBnKz-^;R{-Yv)=+?96X9bB`i;#Z=+KM>nw}51n-+Xojpk<VDgFC)EYo%
zAxag`ov(Lm3-7ZzLk;{W^cCFd&yAOPomE9-@arRbHf#KxdmBG}E54U~8!JHL6=7$u
zRuI81>;=rA%4OeJn1L@J5JJsqP7rp~4Pp;*sW$NT1Vo!8&mW}71aXWK@)jJ5pKxUy
zof#id5A+T<%LMcB;nv0v-NXy))89pj7hy}-aWb>LhT!v_Q}YuwpW6e1*&O45KEEDn
zY^~tdC%z^C=(sHn6}ek!4da^rUc*25D){l>nkeB@i)bk1HfNT=IQ;fT))|Qx==BJ9
zQOeg8Rn-5{H=e&>{YimWZoJa|gE~aS4P_G<FV&DA^z{JP@IWAybUPbtC2GcQFrS{O
z1jQcB_?E|Ud^ljZbmx_|D1-@qh`Rr`kUhG!F#ol>%!5Ins{b^pPms;tH_z{~&Ny>%
z#xez8AV}__Bj_*cSyx?z6wa|BFN={^IVj85tSms!ur3WbaeeN&g<LccEca1N>|*EG
z$Docf?xHr7JnK-!SmShtu%aALCfJft<8Vp3lzY1$HqJIsGql23K}-}vKleAGzjfrp
zDQV(^cHo0z!(6=OsSiCV8tUm7>g|6Psp|zc=y-?naEtyytrHcGq4URRfXgBwP^EG0
zBkA+X3$@S@^M+vwLf)289#Da|6bdp&rY&Gui+ap|Dv&Ge5%r7vgmz<MJPc#{IZ1ps
z0n&iikZoJo*@x%&)baCDDaUi>S5BM<yxsc;j@qXCjvFryj`IfgwM51oLq_PPtFRqp
zUh7w=`+eF<rmSfStAL&0arLxK$fl>H=i3HOoUk3yF}z(@_s!3Sp3<S7xI=oKuMe#)
z+E1UOWVh~y*YSKc*B+)P7`KPm%4Rhyz0WpN-GK_f%FhYM+>5X4LLgW{J{-GwdZz*I
z--xiE`M6ZQfD8l`2@uZ;pxuS&C-L}L@_1E9C>1|UjRjQ~{H=R=AsvY^W><v0%)vHa
z{5O3U0yPzIEW=t5P(_Fqppo&!{!j)M)RpX(L0;a^xk1b!UE}B5$S0bk8k^$E0DYDE
zn=zYnXNYnO;GBy%nd8&u=@4SD1JkDpG`JS>5)xr;pMHK(-h39#%(edVg3GR4@x>)=
z-4D9z^`q1Mqhj3&cEI<3WB5Uw)bm`3$*a@#>bkSbBy=&Ks-QysEA-|^3f*1|qK=rv
zh!GNR-5XQD#5P>VpTbsBCwG43G*@%;hhDVxOZ<s?86zhP+cBRx9|tC{Io?A)N5agX
ztO`)<2zuHu9Zu$aKCs^OMZE2UiPi2N?iS@3uL%jh#!b0VQnLdJ^<jlgkjL9xJfwEH
zu1D&6)W4XsxpSKikjKa}NA~cic+(}1a-`RIq@=Es3c{&+pEeD@IjDk6N2<2TL;spA
zb%NGHpw;Q3T;Pzqd>@KxiDE#k_r>DXSn^l!5Eilql8nb+Et#8m_Kw`-n(?qM3b?b!
z?{%VrHd1Srn<@PPtTdxYSPBuHAqL7R<24PL*Wpu*wRO_Xk?TtXEOjz#g4W?gbku#<
zfIxdL#~+%pl3Po+>WB+R!h*hbTxGT96v0j3ImguWs!z27RL3tz2aYtZ(hBUgKD$>p
z7z0IfiDJ(PdqxiS9kB`>kcA4^${TJ;Mc{Y8twn;3MS`7$g0+Q$t%X7#%u^r)gMTcN
zW`+I*w*d3;wxqej0FKP8DRqmv0Lrs~-a?S-H_eKCM3iH6_-LZ01?!ViS1EqYSs3F>
z?QaBl$C1FZEIEczzOd5}vy>lXv@TlLjQ!%Wv$mcNG<j{%<dvlR7$P?g&iHi$SKheQ
zQP&b6a=Zx7>J~mdP)@{M)ctp0Iml-~-vUa9o`5U`a}$qLMW2hHY9sCW14_mDLA-T?
zd(aIc1&)slzID^|`|Q4H<`D%5e%qw(4-<7)2^Izu^1H$?kPYtnwu1m7hw={g>^u9_
z&q3#aix@&5H7iPZF+;NZy_W(i_=!#A*>{`5<I_&$xeMy)n|tK;_g?sK-O}3@ffxZ$
z#`<te!Po4Ner^Mk(*?}OZ^y{)#3;QV8kAR|*zVvs4$7dqlC18ns^O+h+rJhCP?ZN%
zl{5$mLZ9`YEkajB$xg?qf;dGP!gR-}TsR-eM5rCje;>%p{z>@^xF{~p(oP)+kt}PJ
zxSDIk{{_jP!(ZF~bf~8C%<h5r>63Gxz2*-33yh>epcYuSWd01EmlMmm1p$me=16|F
zC6p&fs);x#a+0O3sYEs5l9#_uM{5_0HPB5c+r@y_?D3WO&z!y5udy<Y4B1w0O-)?+
zwC^5Ia$2~uJzFQ{g4+XddsgnKVh??%A`IVIpM}6O4W2u&)@*vK!(OOc!}OJkCsswR
zmHquI{AE~`D`1m7%N8;RB|(+3^ZFYrJb#1YXbXqRL?>58Hc<yzHB6}r$v$ws)aX!v
z%~l_&>rB_>2zO*9_-dI)WpBDvg>e~alS)geOGHH!hC~VWT|Zzrz2SBuu+p;lAdheO
zjug1Z0CG@p<)nMspJF{j0iEG{#~Uvi;<z#WM8bm4L%h!DBkEO5YsDeor;|=@2%eM;
z*tj0d5NqdzZndp8X&hf}M%onkPAJ{2175z3^JgDn>trb&Qs33bITke2kmO1~b3m4D
z11-kcjbRGUy2vX&LbSgGuw87q&rvsI?AUlxcFDNPB#9hh`G;wtt*Dr-#fhCpTR9yA
z*2y|r<0|ode#oD<3T8(Vj6-r)Osz1`0k1df>719*K*>vJySsF)tXGlQ9XHJiEA2iT
zB3p+2l&e3LoIIwM4JWUfHd6>cJ5tUhA$->R@n5JD2#<!ZR#XqM7NY45cF*3zpMsK)
zaee8&h^}8Li<<<fYyzx(%bp{G&0RQWJf~|X;6YHJ7X`8B^yXN%cM_y^i#!z`S7j;|
zfTO}vQ`5iek=fA+)3_&&Tanb(b4S{Z@5p!<=%Xl09}3<&y0M_ggrJRUE{Q}yCf&2X
zc_$pCwYFQ4tr=dgIdf$$&m!}#o!p7kpKlNNjH%O{U`o-tU~{J`8O6?t8#g`ugoK7)
zVCYC~4{R0>n%S|EGo0nkB=H;#7b&ra@WZrUDCEP(I*sI@-XS9689YmdAO?LUjC+tI
zMs*}x1aa&jWY9qJ?`Ys$!ewR;OJ;2RU1iPYq{sE!eOF}f+fZ<UeSlw^4Ff*G#$(P?
zIFi_vkY8-AAWe-RBfiS=?A(}R(kKlLH5N?;VY|FMmGYe3l&368aDqWZzyk0enT?t5
z>kyXr0b!?9`WYQ`)k%eW8E269Fa+Ha`IOsO`_3{biPT#eu|&S)jc%0H8Wf7~JJ_7T
z+8Ypj2&y{tVj#%nG#P1NjJUDAk&73M>uX$(FiW}FQ|v)BGYUK(nf$~q+QryZk;O8)
z3ejGmXOHx810xeoQZxu^xMXtNVccoD{hqE~ZI3ft^O?^W_B5m_Xp}bdb@v5)LhULH
zl~Rb!`J~GDW>07WmJZf9=LSbRNED(dzKsK8Y2##eH~7R9gwVSsCgnf}mM-p-CknSP
z*xAK-)8>|kwhaf6J<F^2usBRa?UkK}%QpL7_x*vpP0qXCdeJ@Wme%fWc5W+e9ya}w
ztl(NRgGWo2p$XQ-<Yh%P<qD`>WZ+#5kL0`qkI>|(Q|WdDMKCU|D!@a|@7A}2d=KS6
znB5N4jxZl}zMIwRWfbyIa6`=a)4QVR9o(Rgu=Fy7_NUR6wT-4BK-bT5#lai*9l>=p
zQ$sVcLSSeJKT=~fN7k1J%4hKv(6)n6MRY4GN;I@-(Wn@K{%pjOr>-9rs%`A%JbVF!
z2`}4yRagI7RoiOy84-Cd5uBb+g<(Y)CV8Ae?gH&S!S3Y_j=e2wtPF33lz*_UM{yK6
zH-}DvKxBmr-Of<$=A?=P1mSs%$`b5q!D(`#Q6m}{@is&8A*2-BD=@K!G<4@kBXN7C
zK>SIsPfxGEIXO9r7zDiGw;u*aCu&(a!aY49a6+W1)R`Mwy1o`?;mg1dcYT5f%NXgG
zHB)OS_tVvD<+vb-YZIvHlY?j{PgDr<UvJhNw<#bD)@Wo<XwepOhnFfAQmU|K>A-E2
z?LIgQOuJsZ=d}OH^GzBId_h_y?tk%im$7j~U4x)wJLZ^~nVFfHIc8=%X6BfgA!cS~
zW@g5inVEUodB4?sqn(j<wbK5muIjE^r|v!XsO5H7KXtwG=I{DEd}D6{!o%s?6^obZ
zakqKx`BBI3RXaJ%izHUOxvZSedoMsK-_@D^^58D%<zXvBXU=kBZs|pVgn9Ntc%RmH
zf1k?(R!YUe0}(4BPtI>=GbI=uKQcV@8eg}VWbNU|-}L*F^i%k;H+Hophopfj{p!Wt
zWuhMD<;Mq@r~QQ#&!vZ|r%P|R@cK4L=#D&@JKE+n3TZL(k$t315wB}SQ0|XZAx?y}
zX$xr5z2U+-29IZVEX2iqjl2Lf)^&}v+}d7(pjdK@eSE1xGV&}lVPv-W8r;Ww6H!b}
zvWFq(4U6IBxlZBf$@v$5?E}q?)daN&xyf;9L4{Z6^bEF*x0!XCRnsA?m%2IB$$VZf
zt@Q@_E$w7XrD$21$WpN)1Q;^}Z<OXzeue7arG%;_y)@(LltczU(X~U>M);TX<oXQ_
zI6O^1tlv7=>c(eU&X@Qk+aJ)U8)3{&1rV-m;cm@VA##HLNa{Iu_>EF%(8<%jBaSvc
zDseW3liE*EwV<)UzXOWh9_Eygre_^~t#P(NVuAhoxElrtM+c3D+7RFJP|swTg~=G2
z6*HqF{QAkD%7K%W=NxnNN8>%)@puJ~j*VQI`qKR7A|DeYXQP$q`5CUw`KD>PeS>KF
z#E5Kg9@ENNmtO58iRMsS2DDQpYj}r0(})qN&9t?-!@{=y0zWr)c;GGwzFPn%u4D#&
zYvf}PCxw+GM};^#)pT#G$W6Coyh=d~Jilo{|BUalxf3l;NQS5w-i<Ys`lQAVJ`(4%
zo=TuEVU5O>xfkej9^p_@Si0d7Wys%+!5-L>;=swZ1<uTCxyfHy_`ppnlen${Q23eP
z3R08OQU22imog#kXAyAROgk-cm*7yi*ok0hH8)qp*LDG94RK^RW=v4_iLqi=mTlAO
zR~@tXGna?PxxzyA5HHb?H{w0~LV}zAq%(-EpzBc=f{%G(u@-dE7@!>}1BR{$Ra;C?
zuvfKsJ+|Q}Huu%>XNVrq9$X%19(=Fl&`o;=!3xjGo(i3Wd_-MB-Vz@nS`BD#h2rrN
zv}{h>MYmZ5vWsU+jE@^0@*!3}-)pu`nH$%8h)@<*7<*sz{1ym28GCr6uQtA?@dG%X
zS9-0g8bvN@&S=O72@KwrLh8rGkTBvt*jdEnJ{SkK>>o(P8$|~3j0zBYXfsd&7cTtO
zA0Y{hJg$gz+nQJBPqdzV-pZ0G<XnTawNz&q53mo2uV4FbB%b5mP@m6l+V&pD@Cp)o
zNZs;FDEz8`oT2&CJ%nc=eqItD5h3ExU0IwU?9X%hvIpw5_ft^^bU_u94-=NeF);t8
zW$<lJZAA13x1+o!=%e-~`Sg$VZ|3wbQ@zRZxxYK)9nxya?1vx={TPkI!SC+>rr^fq
z4jv7HldmbAC;8;8I*M|XlS?MfpDkfHy_M>}BAh!alR?&DT_H=bf1pt|PdJ}QNjo`5
zTuK|ov|y!UvWcy6QTNycC%gRm7`gX}Rta;*X3-D{;@jm>&2mvuaX+YuXH>b&C8n9X
zdf(6%XN81tn7*-KT?eZ5qPq)}F=ta#zwE?^Sn-O1sGf@){YE3gCBFiE5{^2pMwn<x
z3pvmsUUw{ja>t;?t~(PAR)!0`RQn{qInyF<c44MF)fxJmP_vDDgBkUfd2ook?zps^
zlDS27-F^<oBXSH4RU`en<-%x|HztFAaxJ}j>h5t;tinhJ!8?OYoj62F%ndqH${|U{
zrzAj5*$4izu@Tv)%pMw#9J*PJ0b=WJ#pZ&&X&FI_v+GtW`u==%&<&|=H#mjL3i>jQ
ziPm$gushv>oXZ4zg>S3*!yz{o!i2Y5+JBZ?6PFH!UQtLy##o&!va>r@aju$~eBq^<
za8Y?byz}Z$pvWga?igQG-Lt^K=o;LiHw#%$E|knoxrP!3bgD&ZNT3B3YFgh(%T6{1
z`ZbxuvrP!26M|7G%K5H>=IbX+iUl&R#g9rmX=A)nzYx2v9C+31r>%<HjEvhR*q}MX
zjD?jK>3ZYRp}A$Y6=omddza=>J~v0DN$i=GNvn4ej<I&4{k7)}?Q>A?4YB8z?p>_w
zI$;GAM<vLjo>Z!SZfy#>KKE$ea&SJh;nbcY#+0{p{)M;CZmaB!pc^>^Y+3w(%-8r_
z6AN^S)Ei+^p*zjvA11B~ktXtpdditVLZ;ni<k@+@Ee5d5m=VUw<PJA`la#93|LFO^
zb<+5-WDR&+yi_{M3@d~T?PEmHq^K6A^WyJg2((LxQ$0L-993bS@28~x<<l1xDQYB-
zGZLjtDg;x3S1B{YE*1`GZchbfbj8Uj$lO=kn(R^4oiOTTePChiL3kTDl^Bfq#OHN+
zXMv0?`#tz1dU`&Hj`EXmTCFn_T;Lnhb~pVCuBY=<=39oxZwNXjT=X@E_kBU-+vCqE
zjM(`1vhelw@UnN%WyZNNyACEALggmvjac8nhOx^{C;gS=7Q-6j9uCjje7n2pm^ltd
zvw3#6+v>XPAvoZ53xVj%tp-2br4#$+INT~<NtnnHc^EHRwK(+3@|hCBC5N;^<*fIK
zqtTF6o?6D2nsK^T(bbcazoKm)NDc$*bwucEGrM5BtzDC=paQK;w4Z=WoO}wI8*}MH
zgWHIh?LAkkXT;A5=z#@IHX{0w?=<{{J6ZyMs>aX@q|Q3C)&FWJAl)HKPMm-O6%Hkq
z!-(v}QPpUP&1BH!JPJ{dy2oZxw;s>XzBI==#%Rz$t^d2rGqm0YPU&#`!&V}kI(xmQ
zLEtXZF|oPcd^KAUI#ELqE<<m{v8TZzlu21csQm>>ONsoHJ?Tbfxc{iG%7&|cf~)KH
zrXtIo{5Bi}8X6p8Y-bh3uqpY5ZYStX?t11rGt<r<6?87d5|Mq;-}$z<sj3+l=XbQ>
zm|u)!tWeXzA8Wd&5(9ZN@t-Mh91vr!lX!8&)T3<h-|Lh+y?!GJr3lB@dR}&O)whv#
zP9Lfy+2Ash!j)#kUMJmT_#ed52IpDkw|H)58*}d<8+ww;c%9%fEEdD>qM^Jcq4SZE
z>GLw=@_UxQ(Zs)5f%U$%oc=k|>BgErWy}G>T}TV}n!AAV`g10(Ojtv{oV^?%jMah<
z=5cf->|pX)sr||{ffT$DsnldO1h=OuTUnk?Z2M}Z6dCxeozD@$J|%9C?xQsqHmah0
zn#@%BcGL!b>x1un0~L?_t3WBi(SWL811pHvR>V^75xr5vL%Ip0l>D1tt&upYaO!^b
zv8vd|b@+;Ir`?^Du6j@Kwal|m-`}^*gUg|dHx<9Wz)1EeMOf=ybx3e26LAS^R4=x5
zQgD=3mXt~(4j`f&t*5t-_bk&&Y3(JMoLX+~k6kxcLE2B?3$)oQ_^N2D{+TpKU6X1@
z-9mgQM_n+hc4*yISBo)ke`J9j1wk`49%d24{YbW}Dh#e2c?ho<n_Ra|t$141I@%Gw
zq#|HeRn|y|z;QzrdIF!^lV?g3ItjML>NsLam>i1B90{q^YC{rC$X+I`+8lv+>Fw$m
zVg>uaUpNw*&xFEQNVnwqN#2XRv-&F@bEaTm?yW1#yJ6Cxj7<hB&Pfc$f|Y7z`&C@K
z2n`J#U3NoihP7=I2T{)xQo&uDoO{eo%=Hh2cbPG5H7yMk#21=O9o>1H^L|mc7mKWR
zSxOx``U?tFdz20Zqc;+m826jxYD}Y2>EHge8+pB?hAtoF%}mViq0-^Uk7FLr9(aWc
zHMM!TM78eHm^etStuJp{)YLzefpgYvk-t|meVF3Wlfp&2npWh5X4lYQ)W;Ml?lBPW
zJzwMf-bFE-v6q$F337J}-G3Y=u@l-?OE5Dsr!JM(6JyUXyRm7bKu?ddD>Y6WS+H;s
z)~r}uEY5StcW$|e_{&rq$4m+f>w(D$hIPuFq@kqAX!Ju4Ogd)~rwuY|ST-=lVt}=N
zGz}DPynIZhN_9E6g1ut)mtaMZ5z-SURIwMeaiW;ciY`dtk4^&xVkuXZg_gRd^W$|4
z$up*+!-$ob;R4ZEON-0l?R>kVZdRLiBvoxW6E1L*k#po08%WaCh@Q|GCx^y8=3Kmd
z#kpC^E22X!AFfUmAr7^K$SF2PkEQzN03Xs7(obsAieaOoGcYBV6z((%&?M=(xt^Ve
ztIV38pTmlW$G6W&lk!=0KF!Vw3$tuEj`v_^t`M4<9`pUzOx9fVXS_a~xYAEB-jhqK
zzxp@l*ap%x-Pv)5iJu#05pMw`X0Th}ilT*(wxV}S{?BY9wst*jl6ECO+}S^S_a}=E
zgHCpze}1K<%J34PNY%5t7`VH?wlih#*W*OGtS1iYW~xk0)lh)31<uz!d;4PHBw)!D
z!>#wQJ;K5Fve;x=<!IFWCSK>H(vMUxpVlf*hMX2xRI>-Ucd5s%^_py>z=!n6YVX%S
zq5d=Mr}VvdSOSz8xKO9Z8b!|LQmdbKm57bqKQn_VTM=qUQhEG!G7<9BW&9&qb4gEr
zO7<+w(W8fs8TJh8!LN6OX=o#I{a{hYW)$N-jRvQ$Vz66nSn#37SIb$gz$9cB1=Z3x
zTx{hij&`B<gc`dOD9hjdyjv=xy?^oqbnM%<K~qfZv_nb#-*wzaBe;BUvNR9Od-Gg)
z8Q$Oz9Ja$xAh9A7OpUyUx22xUxLX`KrqhV%Og5El8?l~IYpwMoc+D<#v&8X$C-R%7
z$U|*KQ+-SBDX431&4@!o{j1hAf=s!BDjbhvwlcX0#0WT@SA`Et8(2Qk!HtIN%Vhx~
zppd;|iBhPPzqxa&By=_Tow-wJOccmnDOutktIV8<qXcp^Ob4f*b*sVG)O{fiMw$YZ
zUPshbzaIWvB(zx<OF^TQ+K)v`&PXCDr+zn;r!r!KY8ADB*FK$h$UT^%Mi-#aCBe>|
zn-UW(vcPhF7(bU7+DUS*V!(-3=tk!ce{gafgu|Jr+U~?zjp!^U`%IiDBcwam%&!%O
zmnw7yDG_FikyHXLNiVYpf59YCG#_4k%?MJ=p+0(H?Y<an3A7jaEc#oDb%<IFYlE|j
zM9XjL6Wlj5bBVlNDDdzDPZ~X*iYPOIf_}#82gz#WpmX)aIucO)7T-XRPp!>$7E~KF
zNv*P=VJR$hYYloYV~A0zD-S5i4k6ub7E~@#etb^~;w>Brlgz{lEOD)AkJE|t1#8hJ
z^=;N~idftkrxUn6pO7-DXSo0|I}0F)=qRanIMH+xkuD>Hz%T?#(K=<_7<EDrDN_jn
zNG{8<<&}Ds76%l^S0v*T?)MQ!r_L%SojYFsVBN><6R1jXZK@~Y{X_ODmQ>2qfC^7!
zH8C2rtCCj4tnYQ2YSUcq5kH+G8#Y$X%g8K=*oh4f_iA4bn!%F-w`xA9wh)L~0$t_I
zt@X$JiVdWs3*-<(=AQ%B1W_hv9NEp(dY?H*VTD4tR%ZA7wn)U|pjBee6^aNeu*I33
zS}ZKNd92QNGa7>~QfzI@=PJd^THAu#EVcA?52c$XP%~6DHFvFDst5O`kFliP1AEWH
zpVDW3LYp7{UDXN#GmO;Iw~k_K+pP$A!8ZF48W%Z1Qjzc^w9wR2T&*2wBVhn|1M{s~
zD%bs~5l<uV8wgWEx~TrbcLNS~^S|KBd{3QaiWHBdJ^Rs|I8Qxq&g+^DAI?@*-lTx|
zxW;01Ic4VJg}_RcCJ-|ut&~FpT{ZdA^@thtJTn??B@4`kz|2wo!{=+&>U@0M_39}G
zkLMgzD*2;d`nl|MKTiEv2WC#I6i}!R=+1s?54;7I#ocd=>sH6TfsSFoc^~wQtJXyj
z@cGisQP(4to3PwzM?T!1+_bw6bV@ZhwcruU#4$nn5!0dlP6b8)4+9&spM0l6Gri<!
zKg>J!xC}yx*Cl|&dh5Plg81GpzQxb3$WW$;SfBJXr&&kINKi(IR7>gfYZ;qJ9dM<m
z%Y8VN%cj>=_!Mr-WhZrI&rMP0U;gK%OrK17Y)>OWJECF#9%WsQUTTGSlFk~(Dp}gt
zV9W-1<J67`gl)&bn7tBXI`fgD4YS2gL3N{>1}C3jnHmd^X3%1$U_O`k23N{osIrIK
zmq6AkX7xs!*#Q!uo#hny40If&9YF;@L$JZ}$sFl<+?LXG!C(0N<DXk3-ZEE4-hxdA
zZrdSW_#n=9C*p2@YtA{F)C%Q_^ums$D#jVj_G&Ch?66P{2Jp&iuRxKi$3yTKAj0%9
zKBV?%SjQujF2|);r%W`4=5OMWq1k<^0&WDKW~Ib>J2nzp@{}gqB)RY0iBZH+c8g_q
z*PG?-oN%_5u1juG{t`|W%2a?+*4uL{PsS13O}z_xpow2%@_mwE0ha@X1CN>`%phKI
zMD!_lB|p-)IVw)6T7TreeBiW!|G6C^#Tbe>P|XoG>pOO)@4}j&?2Sc_je<?4KsHoZ
zx`n7are_|06*4S7xj*E-+kVGraN?Pcj?C0w-(*VAgFWigb{rIYDB28W+6lY3-A&+L
z_?THw)t=auaTgKj<H|0~GaT`=sMS;B@Y??VJNiD^YH6qW1ItzOGPd3L8F~Dlb45$w
z1|Xr2tjv}Tq8Teq6(c6qm_JB+k@!w}t9C4hgD;7?Vt-#|&7O52u`>@W=7HIpESS*Q
zYk)H?*%96!=TK0|Z<fbbLP1E4I~D=eHwlYcmO@ZHySpQiV#KGbqqO8H2g%?b4xNs(
z*#B9-&{)fqwuTEttK8G=R-HU8C(Ro?vPCCCLW(`m{~SghKw<}VMVykliUQ@%_?;Rb
zFA3SBL?R$oX%E#&4AeanpjGB_oYLW0VJkRW5-%Ixlu~kIHNOP43_YYwm8nQ0Ey^x?
zlUy}qqlLZSo>@34TQql3+k#d!NJh$0#H4rkxD)S`=`7W@ZqN|9auWH|P}|I?xvoVa
z53*hZB$G3@?V97xs}b`|1w5MgA<TkY)*@FgiW^my%+S6#BUAE#*LF|XB6hn7)%3PZ
zxD|4O(XlH|NN8temgY5)dzKk0x8r9O6(l(}$;derP~aW=DxaNK|J>Ow)b#12N6uD!
zQll@alaf!{!0ZMb8i-X=%ENEYY1yujM*Pn*$i(qzrI9!GSZOnGslnD1y4g)5qaz!}
z4gbYzL?6Eo(mw5%I)53uwB+a)C->RNyXx8oaL2G3A-E_g9%jJ;1@>!EZxrB5IL4{j
z$Ele|xp4IM)=*zGoom#MOJ7O2o@|>8ll?#2G`PQHMR-o)PG)w@{q~uYoopH43ppTf
zoN=J8!9vkw*-Xb^j#6u>LB18%9<c$n{lIJ!RVk`<k1Va<V7tN@&qpt}b9^2#^XC$B
zavTbl$ZI1=FL{CvV7%8X^-zM*u>nCQl>tH)6tDviRmc`qUS20Q?Q-l+18MK<5&c8V
z!K>ZV`O5@#bZUH>+mBm3GOw1HmDz?vq^^Ythw8#+$MiPKwYr+={or&ZgR3q}uky@u
z5n~hghjld9p(q%bC~Glt7<%82RQYZ0fQ-y4h}$zfE?tG77T2Jdv7NDJv0=B&(?20N
zYp!^Aa%KjiW1bm$;HTeH&Ge#rDhxE1Gw4?2%QeXOs%PTyGAb~L&-rzj-p_%Hw?l$|
z$;aXhk#+<Z)9wP?tO{VhHcJlOjtJeU&&7lE+Y0Zk%AU3=UH9$YKs5BRGu;nYfqehy
z*&exLc(5rS@S`NyS}D9AD92ZL&lBAysCQsp7-mUtCfTkQ9l}^>tl_La4D{U1e8+!`
zl|4)zCX1XeSJ`-YnKDv;8X0LB$bFt42DJt^I^?N0P<3|XnL286bMkVnEwHdpFL2JB
zvnNGaEm@+)`yMBse(r}N@sNt?RNpbr-lJh`-V-OFLC-$G^LW*zsjeN}O+-G5vw=Vp
zm=1hjnvYAU6P!SXhn%|=NhTu8Q(Uf2{Y1UsOZzkq!|r~jh24988@jUnfb@$;VVCn(
zF&Eiw_pQ_m{rR`mS!&=nE@=scdSjY(N5nAMGlpNyPt-Y!eT%%Ya@Db`N5<!@(#Xjq
zYnC?fCEL)x&$c!yU+Z1=DW>r7?{vSv!wGPseuudF1{AXe)Z1<o7EF%INQ{dp?1v~E
zmJJlc`HOGN*{Ufly+8E4y?vRk^wpl-{7sl$b`9G)mA%B1JQrtG2B*mRFZU4O2h!%}
ztP(=SpW_#PZCi>z=Q@`<4RBGJ+Ul4-*8tb~@!|3Ex&WOVJ;hERE(Vp}d0xKJoM%+_
z7k6X@mBA0iDvsemERl*bn8K`f)@`URLM8n$FK`sUMKz9aV*S8x_-+{0*L_gJE?8nq
zR;-q%tQJep^>TD8Dw*i}_udP7@1rMKfcR0$B8kytwb4f;X|%>s25f<N`dPCUnb|<+
zS8IAwT3lROl4g2VJgSe^_BkGQXKB+ik46L;{o-D=XkqeSZS6*PYIpa8Ej$$C@iH^E
zS^@P7#4~&8yKw;)X=PEetJ8BRRZfOV9Rk$_tmDf9rYjGEcfz+`d&Qv|jPnxp;_n;^
zSc<@KLB$02h4JZA{`JmQ(;ajrB?=AXYOO#H{UYGfX2y_F`5PH&^yCvPhP5PxWYBmE
zn#Ut1NS#(s<HAn&{VCfk0pKpE9%NWpWE}%(RZyLjubpY`KWK)6&p<#Pa&~EgGSePb
zz^{hN9+;E*xzsO{S9uPMua!t5JxX0+eV6I^p*OnksglQZi(dRT0y_Cm*G^;*<Nd56
z$xl@GgheTlXN9RzN6-qb4k{;>Os}_Bgup|caF31XV!1=@!{)T3`_U2p;HxtbcaYYo
z{+Y~Jkah`++%go;*`=l!E+iUGywH-3<)7HqVVZ1QYiC?-t8!Xn=L$c)3(T4OLw9*j
zvAFv;0EXCBJ0DimrExTITs_WVxfl1h>o#%WT`G)q?oNie_k)+MPYARV(5AIPIGmvw
z<YEC7as&b8lwHf5p$p@wqQp&WKAk{&dUkW}5YuT2Ayz43D3HpynqT8N9&74}%sg(W
zX6%!7sK<#Zm=?utNoQ=FY_tl(C&{F0GFI!j7dX@5!oquSYI}IUqK86Tnf}@;cfw)H
z1=czDbj;GaHroM3W7PXdM32u@e&U5-pE15ZK~k@JNC7-((Rhio8#IFuR0BMdI8FaF
z7;#-DRmvJaED2ErwUS972RJ9NtJK10yA9q9s5kwq_}LQ;(uc?8y_}w<PIZy{a-X%c
z5_C;d+6(=OKSS?oN;mqkX!|;(Eg~I=*pUF+fPDO)zZt{oPYPDEjgfuK?uESZsW-;q
ztf4oNy(QI*GqRBiO&2i@X4b#5OBrMe1%>vkL*<DS;^yU?RwAs##QvJdw2tsp0=dN2
z>UGZX%qUu%r&}NKkVEjao#|LTUrA<dZ*@4}l0cZomuP?;wgmCqR~$TGROL8TPH~=O
zF)VA8K|_^lT7h}!M#iRx;HQ=#Z{0$wYK2)x>oX+|S4Y`8sQsb$Nmytbh`{FhMf~Eu
zi$auQpE1aKQ}$GjuvwqkRq!5NfLYQl`(z@@I8eL8Il4XdP4TB>#{l~wDR-U?Zi?&_
z&1j{a9NzQ$B@b-yVQe(3iYl8|!pO!_B^%md$y{5h$DruwSUC#Zd;8k2T5rE4N^Z#g
zg#C;rtod)3<$njcqIV3hANd6dCEa?tHb)$9S-{(w$mE7^CrMUaO&4I>>m+-*F5`AH
zChFaP;FzzZU}EE@hh(L8Kk`<{E)_)@HOP)HWJI&^xtvx^Z8y}6UiVaL(?hvx!lHw|
zI~L&AmVl8@iDZRQh&*`3d1-{U2I7jK0QYi)SBz*wKnU7Wldxp0$_04G+LHu6geR~*
zX-^?v|2C&cX;*>7`9MQ40y=PBM85DWMch(e*uyVVH~d&p62mpWX7RbWQu-6+m9w&R
zGXPpX^n|yC6y0@;>RCLn+O^G=EEogxAx(%i&EcBX5$2cXFS27Pts2MfaX8;_3~}sJ
z(FWXw1LcT<nMRMH&Uv(op~lHk7DslNEc1t;7_pLsLmU>1>afout8i!z@GE0pmX)JB
zR}IVsUJ;4D>^UAaO}&b{WoWFS1|*?IsG^ad>$>JNjjPm!g_5}jR1K`hwVdaqHi-(=
z_``*5lZ>@}EKcwewf=tbILITleZ_F5ub$T~p^SQ<KAyMQej|c%-)GZxP0HCLFUsC%
zTEQWa)k_Wx?AoNSw=w<B89|w09RhRS!_ECSohk%n2jQLa6#za|RLAqiXn{_4>Lo|I
zk*|-~kg%>a8730qxi7tUJlYNOMkBry36VN|x{*LIO(OM;G#E|iz+-#QV!6tbt^Q@n
z@vXd*Ty!9>U7kpBL0x^4(Ik(jYa59LMIsUP0*0X?;B(<%JyePVTwdMgN8{9^?PXs+
zLs!t_H<70JThr@RVIB$?85=$vqE&0I^eBa!BE#%;WL4y89SVss4I~A+_)yvTChwQI
z2^XJh=>91q6-QDmsXMY-_mNS>5f80ZV~WHGYL>99y8$1m$DXS>`kA@giuvAe_BdkP
zDE&#X1kF0VZl|i`D2$EEtCYke8WBwcliOA`S#H2SkB|l+tiAgamJRq-=E94X2H;mt
zqjr~~CU>!FyiIkfa)<KGNyByqaU$Zm?TN|!!>3{mt@oZIwe>pq3^@cXwOD?*#lDil
z!tvRKH!&#vIbbnCH~i>|hdUb%c(2PGcpY1BDJ?B2t|ToMQ=8V!&uf9uht{lX-X9ci
zFY`T5Ddt^1n44a<VVlt;sUpRJ6qW1x=Qu_03Ob9i3m(=ZoRn_rLlYyMPZpk8bQfvq
zzkR2rU%DN*3y0*28{K@Q$!1xleu}n!K>7yEL`}w!m6NZTUpNIyQeUGV=}9N6H-nC;
zFd|-MJmauL`D*0R<t^)%T2Ea)dncrrRzJ3O-K8js>AN>RY#w{l;6PT*V#daL8i|pg
z6Oc#{DUUx4OYr7(b^$fDkSfD?r&{Fa@F2?$^FZT-n7ew^jKf*NsZ;r#NA_XBhNOj{
zN%+*ZNS3TvkXP0`Ar0wp`X3PbNDCY~_|@qz$6%yDDp4H|N0cNpdsm?qKKwwKDxIx3
z6nFi}q_1KTkG=?f=;OWmmLqiQ^JrjcWp#>yKKsX$NT?IRLnZN@A@i2Bt{rvIo)>B;
zVeO(UPOT@tOd#qu>5d)<U-<7jG8nE<5PC~^Id>?oI-PMt6Os(-gTf|Z&Z~zULMz%8
z;M+s^SlP7nWo?B7$f%DRHO#~hNV=k!JT713T>ej(6H%`n%tZM>*Nsar3q#!4<>WDq
zvu`9KBkj6B5%%9}Auj(cB#F3nl~Y}{Wzy!>i&MU$AVbDAvk-&`1#d}5=EpVLd(r^D
zrB{`ySv65^zw$FFZ>g>&mUECdH2?l^F&M=twF-1TzagpG*f7A$`1g;x-e^rdX9Oe?
z`*wSGnf&N_F<3^VitQ6A%6D5RE4-yR(HJ%H1AhGA-GT^39Sg5N!$}lkO*-Vbv8_&;
zvtj3`i814P0V9;F)?kNN%0Hc@+1J52tr{mmtPhRE0_~@R@yH*PF(Oqm4L;C*z7}G2
zh=d}dvB)*N<*IJnRHa|~Vvxh(gcZzaOU;7Z@5Ce3{-pDRKpHD_rWHoYMu9HC>QAN+
z)0!5gDxzIdk_fOCg};A_&)5*^Ve@)i^EN6Od>xT<x6~Q`yUJPXbGvSuH87U=&{dxo
z@OCdWD7g=~|3N2pwqu8vHo5lqOJAX5KbPd?`}V%{RV|`R_;Hvw;?{9bsT>0F=J60c
zI09^^otT9W)9N91X0H9i_?a_3VMS&xKZ~NH=*_@X;|K-BVrOFd@4f_x@B(Yv*t6Q)
zy~nJfB0$f&KUhXrg1~{TR5p{#My6<d&U?T&F`frwHEp!F9w;sC1ZKH_6~P3mrsvuI
zp4b7k2XursRk}kwJltoE6p|x@-r6~5;*Oa>NOEM#=PUIW)nveDjqj+(9WBi%qPXK;
zOXQ--33}#A$q_}9tLj#{?YC{FQ_yYV^{f76`*fOm>U-RbPB4;FHupu95FshXJctl8
z{J~~Q@5lsQiE?)mGv_bKECr0dd0(1hFsWrhy5%@nFWbs(mT_8M%-=$v7UCzn-YVr@
zEW?f($=473TQ7zrN|tIF=L{(K`=zXB^^4Gt@4SNNv9<Cv;<bkmf^@?Q8h=3&Cc|Ap
zg5b;NPAO+}YQWe@4UmA=f2X@Jnd*BGcaA7qclx0qa6>=aL=CXD@BkcIr&J3S>5-yV
zq*Q!xU@=5e6J2G^K}W03UgbeHqI_`#ExsU>>pwe=a-FD6+mF{?c${LkYK)IF9J$y_
zyO5r6S4*7pW5JuG`kqbjL2khTmq01OM<+veT(^w2X|!(I9fV56K}3I3++@?pFG6LY
zwdQp(k2g0rIA*3ITpFBQnw+k=>ibhQ;W`?ag4oyQ&tNc2xOy1EP$o+xg8Nh?*u^EL
zHDOFA6P@rnecNDVWiEZI9^P<*uwY&OWN;aprCrisadBIr^D#4-C*Ry+!nFtgby~D(
zieE7qO{tC#B`DuAvYymBI3J>&#2wTnz4E%enFXz3AwBW}TqWrxSn5OUu8T0yr0@$e
zF<@iqX(2Uf_O38!GD>}sYug!S0nLO<RP%Am?`ipJg48r+M6blkrWTGh3B7EU`j@ts
zln6`{uC|kWloV<Q-HPO%4|oS%op)_Y#`($dG3J@&ud`!|i(i&$G}f37OXrr9)+HsE
z1~$o_Gkfcr=Qu|;N0xY27sZyBl~tI(jKbGD8XrJj(vLg#-y=y|cTaOr3yo;`+UK-r
zw_S}%EcK<N7#;EzPR)XTKiQq-n?v`@RjF=0KZ&eK@xN^x4^0iO4$<lp;fC{pSxtK^
z2t1mU=fen_nnB^G0jIE%i(C800sjRfQT)-xJt<hh4`m{+Rtpk@r|-l8-}OB#tHN$v
zNdC<|^>6U4)kW|6{y+-_(v$BK)8NJEb4bhmAezkmI;z-hB+>#-B8T}3D8^G#%~)Ib
z)W)J`F_Z7Um^=+lF=|FcVoM2T(=Vw_Vz|+m6n36en#E*0m(WUJ3@1?&(eeg_h5&^o
z>n^Y)yrD%KrB&j>1WZ36wHdbajk*M$v=t*-t4dlUC^+_!m5|y+ulo!Tkc_K^q{#Hl
zt?f5z6TiBjN(yVtEBN7uE(=1Be~hl*h#h3TPbXcyyOV`?(e!3N`?x<Qm#<6$hHl3W
zuixAuGIedTK3=ZhGzMI~D}XbzoOj)?-uT6L?md>i-$_Yp2;-QvZSzY>L={ZVPfNh(
zg*eyd)mUcd?`JO^Fr40uorZ^>j@>$$L{A)%vpCk*H(*HO{1tSOGp-pjo;mTFFi`Ho
zYNPU43#={nmTXoRw|$2q5LYDuj|aZhVyx9IMPHFKDOZ^0MSzd_QL8(6kN-N;BT6Er
zL)XbvuWO=i>QCd;Xxlz-$rcyYRBd9te)wZkeS^pN{P_Iz;`rQ)Vd$XY9z)Zghy{gA
zwE?EHadwK&M6KPY5OM14bm<}b9B2OF(%)$l*xwdTL|^_BX&dR6>SuzvV)Y)L%m&f6
zgd^Nt77&DKDkv2aS_9)q&Z}emRcEMJuS$4~?Y<TK)lZz?$bwXo$H)&6HL_dy{0H#a
zwq#wOs+;NWz36$(hTD@9;6uOteh$}QyVqmxA0UK*x%Er3jOL+}?G1MXi|O%TE7?0V
z+n*vgok0$%wIW^*LJ?xp6`nR;)l2Yq^eAAA$=^7*dKn<nIh<ard&5TioM+JB{|w7!
z|E`=g>rOizTaDI>DtTYYUNXds%a%0$?Zl|kaCMp(98B0K?%bG-4b&6vbVuQB?5WE(
zCR39JjN<ZVY&sXgucGZ<X4!ZLC=)$DIyJ@dh9|jX&o`g|^}jpd+inD2)|5q4c39k9
za3$AhM-G`;Ad}aK=Lp@b^dgQhi9MpS8#EeXxwv*-%fp6Pa$cqnOm={Kj`3&x4vd?P
zKnIP`Vew8%(*GvvKnufXx?^@Xy)MY&oyp7hZEDQy$sQIGP6%T>U-k;_-j5eQjkjxd
zJjcj3q|Tx}R;1Ts%PXnyQxGV);sYMGuXqI}Z^t0hp{)IY4@&ZVIZFNnS>l~Qt5nYp
z)jxDCH6Y*mVE>&9|0jriz5pyGI~nWuaU*E8Fs9tU2&Te4is=X%AaFUGb6O~~TF3lo
z_9XYymH40L9DcO5lQi!&Da8>^<=(Fd$l9|A3CQlFzKPhso_3?M$1iQa2S!2Wz^cs7
zPBRf}nGbi-+tG&noB@Br?u58tjGs)PuNxOj8A=%&e}(cV%zX-DRB`+1CZSU1u5};8
zng5XpW)8(NmMX^bDWE0kF}kD#tq4-0EB&70toF)qZn)*0k(A}ke!gALmwzeK6{nDS
z-4cOkd|=}2-<H-&#^jU!TsE$2Owp4u_IG~bL}&5w7;m(4gg5Oy_6)pEcT{4eh2)S!
zs9<}0?QHG6g>Fy%_UG*f;pNhE)SKo_7Wpu3F~w1mos0i#v^HjF+FvL2Jzn|;EV78Q
zLGTFOSH3NsB!@O8w<TMgN~gynXCLRsg5LE&6Wc6W&w{H&!p0+4h2|sa85|KgWUscP
zSCK#Akpo$D-sMjfh^i9g+Z*I={`b}AXH12tbAHEZg_nto3EmxdUQCQ|X?*716TKRv
zG)hSvW4ZftNqlrv)O86H30?(fIF=dr)~9K#Mdz{hn$HvaE}vbtXro;~7tc4F#BESg
zB9;TbVRI;(@LKx<wl2Qm5^J}gppT0CmWh0SS}DB}yG}e8G#`W>=v2^@eF|UV4F6sm
z+S;&h*tZ`(Rn!fx?48+Wx@=r}4nIfSf*x*i`5e3z+_Ej%cCFgep0)NY>|;7cwiRkQ
zREntfJ25poEzMQBXsKEbTB7RllJ{-Oyy<G;XrID&l;Q_Ge|AX>x!ibz_UmrHOD06x
z?7vec_~LE7cLQ&Wxpsl!^he)*Ad4T0Y-EK+NP}H2?HmZ}n3HGKTz@zk$viRPf6ya-
z^tp~zA<dMa&7{bfE8&+De{MQPaE!hRP%3awzG5Vl`~bxNn|HGNE@`Cj?8Y~&Rr>1M
zg_&5|IsVFWR8~6H&IgK8Jm=~|S*o--`Pwi}aR7BGCj@(s)Xs+kL-K}EEbH&)Q#f4Z
z-xTO_U(E01_u>+IaY^{da<83}IJdnuW2o?;(732FXJjh&uK(G8ocN6kIm4wIM@ov?
z3s=9-R~)|`HQD7ZFi8-B6<z=ROamYLTFhSx$Qkwm^k5~#heHwO+7J3n>!?3ej~MX>
zP2W3F(aJTFuQA`LZl)<0SnKk3x99W}Z9wlY;*)5wqjzyL+9O>93D%yLZyt=c#E21K
zgs@3tc7(Q+qoP0k`Nt&j+u@VLX)_8b#sib`diEElDG6rz@U(aV7XQky7CXF}b2W$p
zYcqFKJttmBHFOV49Ia}0pzYCjE>!l`);+ko8Ti$fy(~>+My})N>MPMJayhRd#VzD%
z^oKhC99uJUhWf!oV;}kxa7HlIsdNb1Ij-$)#csUq4Z=hWl0?WU@q5mIzk#FoVc`Su
z+kt8gmGAOp@>ahp`u0nUV#U)fcqjWAieJRd2;67!U~MO=5n%-)h2`pU0`nh`8dTVA
znbAYRdim9v&$8gsuY%D=ptag!mT{tlSI%braKc4Z+hq?&;>mERJY%t^J0}f&3sA^(
zWws&kpecEq5hK|Ndq~8{J?C4RTp*ls;57t_6wuLw^N!HNfVu9-JuQ!QIavv~p2TAD
zGGAxD_iG9OH8Xv`KJZ=9QvlZh9tzuto|gaS4RX~6rixexccbn{=Z2ZD%ICRcmJach
zXX_GL$TKuVbXjw^!l+gDeCKE8I|!MBv?VTy&>Vyhi}ndIJ)CRjiu&8bJ9UcDYt|Pm
zyPg`ekiq|M1-Kofutk^x21wxzf;%nmI>{`AN(TNSR*h`iJ>USRz?j5|fOhx$8jpx2
z6Yvl9n5sW0siVMJhg*|~1uEJ4QAvLDeT?l0epT}E-jbJ$^K??XG0cZYNQ$Cyx8Ej0
z`w1GFpsqpg&Ow`-lCo9T1fj2ZON3B`v%jtB20p$eM3JwVDv-fU<qTMna6vwf(ES0I
zP||qBsmGDKzDF;-=N2CmpH&MuP0iPSnEQKu+rR*kke)-+Mja+J+A3^GNH`*Olrkec
zwYP!fUS+7cx$j=-GPD@C81zRj-1G6)i)FY;fF}O}Sd~svLcEBRA_KD6rE)1=r{Noe
z?CdMhh?!cBQ~!M|IgM_}!-Hic-?JS`VGFo<7wq&jx77;$xfD>bZrqLmA^5c`!tBNG
z%LnH=-MRts%P`<boxSfaah%`*1r>W+LsdvS@y^;nS@mqO?n#9M_fPl%d5-lWN1of+
zcQ}EE9tw2wnPy_fWwoLl#b-*5-3_6yrUp-1UVg8e#wpR=RIyB6<8QM!3L9CN+i${y
zk~lYFf6ldw`lKMI7TZ1{2R7pw{|^enm!t8&=VtJk04B*7s`2Hie1S0lj|4!UFaT&7
zMgR%&j|~Cr0WdWGWRica0nfkI0EFhBTEhHKD)~Y^08qz&Nhn`v2Ma(r`HzGGAZWhM
z0$Bd(CjW^AILjAF^N*AHf<pk&*Z?j5Mff6V=>L&407Qm~;R}!X!f9B)co;xi_Am40
zYxx3hSO9Im)?dB(T7NkzUuXUY*RTTMny)c@^%bxN#9;-*`H#2rkFH_;>NB9PUtG@D
z`m5c4z4rASaL2WO3k%@2FMx;r-x&WVNb=R@A4vi@;}=@<Z`^>Mv47>^Yn*^>7Qptu
zJOX<6pFS|qf59^Uk$o5eXw82%|Is%8((%=SFDB+|i2q3<pyP~8U!V>k#(yVn0H^%&
zS^j%M{t-8Tr2I<=pvzy8zV@?zMf<PF9RHH@kGcUg`wGqiuz6U&CKAx%i?R7y|Ko1{
zi@st1n!NwZ7y23;fT;PJ@Gm&$|Hj<_lF9sElF!%Fd?n&*T37(R`bx|fdGnR1uVcSr
zekC7(@BEuuzytug14t<#D}bQ`hX3y=z(xX;4`7p-5wQ6$U;ium!umfe9DpeOr{4Zs
zRe$j_|6l9*KZMQyrjh}%0R#G~;jaZyLI1suzxDwt_^ZYLyXyTH_21F|vwi`u0c!W_
z@oOT#>h=H6y8Z9)5F4Nq|K3r!x#|ATt_q-L|5ryvJEq5?kN!u{r8g8#n^4VZU#k#(
zLX-gP>gX)bZ$qjQ{hG)f?3;&%_1WI<tZzr3{dCucuN&@verJ&<!y^5d)a>P;HiCD@
z&M@TyT1;_Ny=RM$iZE@~JPc4e4em|_dy=!B4E?!`{p;vD@Y<$Ud@{QFna5e(MJmFF
zJx2~dSy9h!*q_(wZ59c*YPqqY<#M)lVtmd{hsdwo-38jvZ-B$XKmR?X9H9l78LtId
z$ma8YKk@|JVMcka%4UED)<b2!lbj;I{A^vNFu@oPVL~urZXtYLjU?vwiCyDIjr_hg
zP*S-)@c-d`nEn4z)&MFKE1k5lwW*^S0{{bKW@Z0hlQ^LPz-Sf{c^_%wsBLaK2Oi@0
zy<&fv-ilJ&sN0?qHzJi&_t)P2qKKtYiL+Y!jtNZA6EIKn4grEp4*C}!%3d%;&^Mr9
zI>k51I>kJPCLG)>xc-?FD9EpZ<MG5zN-;?P=<!~=!()o)ajov{ajopp2n6Uidii&9
z-6iwVdhQ!jm~VFYF7Z~~Clv9FpML&QF-w+M4^jhkp0#jf+`#xyUYQ@hRxFp-;+wvY
z9q*MhoqtB7Iw4}<zsaj|7?r(uh&s`nxZ_<K!y5H(4C(r|+Sg>AqF?DMO;2t{zcYPH
z-`sChpL!p9)&6#TNnmsN`yLbSPq{|GokhYQFr%*ftz%W0Zv`%fU7pjN_|bfhQ<2}o
zwZ65QMXw&h?fc;jxhT0st3LeVywT&~H$wS#34&QR?A1YYI+^t=y5f~TJ~U_Netkhs
z0dM<HR~qGyz(Q5CjRj!?wz!cwXib^DJE(Ft8NB!TVmB9Oqk|X9-E`lE?iyZjPWm3v
z{14&{tVM!$!9juVk*-C}=xuJ>NnLO+%}?Yy$dF?5l(NdY`53K#Q;F%b{!C^e!^u_=
zhqJ`)weZyC^-@hwg>(hIuJzGV@WL*JH@xNPoJbG9dK@3n@sFXUkS+H-8$V|&_LO{1
zd44D?UmHK)km#h>f*|@9!AJ~gg5I+I(5e+P(}m~jio6-CQ>8hwdV700pdAu<x9kjw
z8`A-vj;91;4v9JOoP2J)eYoAY1$@w9L<VNB%G!+f(xjLg<n@63smJQFP}Q7U*;v?W
z@jOcsPDM2;Ggvztx0BoJ_tvf@6s0pdIjWTqo0*gvm!6Oek5?2P85$KfFKRYVsj$TX
zTtE|)$fJngMTWnJ^|OjL&&wYLW6>=l^LIdbBD68EA{<gYs${A{?IodvgW4=Nm4u@r
z&U|8`B;Y>`SCVxCP;nDjt+AaAD|)fOhv@5rW&~MIxixu9yFW@u7G|hH#iQpD)i}=3
zEsxDby^v!6k_yF_(@+IMS`o*^ii0Zt$b^im^`rNbGA~Kl;zx?q0iA`Jpz&oEVsawr
zK5S4s_r1qz)l6l&bC*&#|INJeqXUSZ8O%T`8G@OC2}nhWe_~u*787=jP$nT0gA09L
zz(!6YVO_7u`W*J^Cv*dXs-JTj2!(EjbjE4!%~RpU`>hz$Q%#a`k#L)#;cG#+7gp<G
z^ohAuO*U-$*nY(shGu9X9AQ{R2BOC9gL*575ngJ788LIIt!HgcpuM}ZxG#iIUJpZK
z9{3We7xg!sycfgc;{&A}HvA3|%+nLrBanLxu<!=A8DYW*rwCj*CMk1hu~A7fM>~Bz
zG6Mq?LP~dDf~hEmuu!Ga218VJK_15Po(KqWR!E*>Ry}Ez`nWQ^@t=VPuIdnzP|J2A
z>AoR_nGD)6`*Y7g405J1gS_9yzxA~|qS=>2i6s`jej}H-HDX<|^$dbdNcbKWZXQ;g
zW-Bu@gi_vBU+&00%!1C%35gW|w@B3ZQz{a2d+GETcoUIXh|U?<gVizk74gml8>FtJ
zA92h5XgDP$Hb2tQXli`;><$;i<YxC57a1t?b6u92w!L6@9w~nupP?FTbdxit2HUTT
zB#l9L<X@U?sCT`)Ds_fXDB@-(2TbgNJB+TZVG=D)Ka-tX^MD0$y_Km;&IKC4>f-D|
z>KU_7)p06mG&(*UWTAp4=hVwn(h8d~iYe5WtF)(ew{+&wqhX<+wJetoY8cM_7}mBT
zk-+Tr`T|n0kJi?_B!lH#!CPCS?E)-M%<HB1cGMmzAfsgm_f1;r$!2it5v7+6(}Q4)
z(-}d|^z(oXt2=4Le_t~*aRWEvqa7Th!&NaRABEY7??F}XIXrKXj*vHHES#!oPgx*U
zaLh3%IXlNN;kHGy77Q_lSC6oWb*5x$E5K)ItMb269B8O2JYc~U8Fz&~&iIX<fjA|u
zux(lOdZ525S8i?R{sP>rrrRstqpKP_E}kKNXP5Z^-|aOtG87>cVQk2Muf9ct=cC^J
zt=YX@m&aN)TDJgKw**(W5SOiVNNRr9?c`d^DVJ0yZ?4}gmsulHG;bCHQx+t(U+)OU
z0rI_4R{7X057CT<USnt`m3PYk*g?3jClOwJOS5HhQgjxR-OztghvG`Vh(Nr)xi&W^
z_WO=zPD2?3i@eG#rgAVR@R*ba$jQBCD;Wfbk%0AYuHPXpPT&$DwGYPALU+jUh<{xy
zgJw0TW4N`lH1N6zE8UH6jZ1M0Xj9r0r4Do}PQ|kPeldQxD1RSXSZOMuXhLe)jo^|6
zJfx*!G<P)Aab4LKlE_Ph$`=M=+pz0zh)k{H3WZ0w$ZaL*i&^N&RT0Z1%aMcId&^Z#
z2xyjJv+KvCftU!@G0#+=GWN9{+4|?W0XsK1I?0_ej!g_<j>FJ^S=Q|%*T-*!?g&AT
zuX7t-AS1_bNU?xP(5a|P(=_6>Mhpl!HfLyX3)A4{qOMMyj~j%?({8<7K*BI<*w)oO
zu%nd>G#rggYhnT}wM6-)Z*gC;WXw(R?U`42X9X>AGjGOqE~hrA7K}3hQYhHqNVS|X
z!Ckw8cUR)Z%UC@4j9rK*;YXsD<MR<{3C*O5dmdSlplLJD&`uqd6g3IHwLg>{jnQsL
z$S11Nw}1`hixG3Fqx5E^A9GxSRcQSNVZ4=V+hbui7^*@Dq-PGcxS0e4)wq)ZI-ppN
z4n*=nZ&iH~o<6TQ%)75d;KxR6;yG>G_<MaYws^|W$2mw(&X1X-sBr{n79m*5F#(r4
zk1<R7F!i}n8lKD@80~5{{2yZZP+|~f`dAvDsB558-Ev!xF+rG-wn@b!VmWw%NRGL1
zZC5zkE(Uq7(8K_c%ER`1X5c5j=*_ohqR*n~(CM+9&wh0gd7v>p=sSaFQcv*xPVmoB
zjHk<>S)n$;O}KY-)SO2#h7;3mF|$)4!dRL9L7x6-*-sW`bj~n#;hd=>o+Pk{LY%iN
ze96o}Iq~mF9j>yA4vojn@=)s(_yUkGO$cCHob2D443J%VJFd{%#ZE%~+XX-RMI1bu
z=XTtk+FE&b?&hlm%LMUqBgv=pnpAsaJ!?B*y*gm5hf+2LH0ks>;FOFoN=T@NF=quj
zWvvO};yw=~o0pp9p3r%d==Nzm;kwd%!avoBWGm8mx!*0!ypAyY5u=Ivncx&GgJ_qb
zaIbnG&VqQ3)(NP0LpBtsf%<QmlMc6=u2_>?ws>6eHmgJ;6r{px5)4a7OzcTk#2e$i
zcZh;Vkch=I3HS(oh|!u!))*^OHHVyR-_wI{9d@;Tr)|kP#IO0}{9*BgzTE8^#M{r>
z^%?(6|AaAlPxMo<g%av*3iy3RwcTzjkc=w8tj7@c^SZO-wMet5Dd0w^A!lQ{BFB#U
zl3-9BU4|D~kNeb4#cDb@Ww+-Bg*q=}oj2mhxf#4B?}!ITz!j?Qjzen`ZCm9DX7Ewd
z6`I#C8UY(q7jY(@QPKBFN8qRaO2jF%v~xVq9()UuT_!$Rbvi+nVZt2xHtA%q_5_SW
zTZ?8(-<tLs#l;U7R8_+MGFuYGXBAH>AC#`ZuGGidrdyY*&;HH6%`xz2rnhilvU!M8
z&?;MhdfGKQZqjz*H$hizYBb9M25O+|fT#MWC`z5g9F5!)WzYr6iQ)t831;lzKYGBj
zT5p3wu<$r3zwu&R+<Z6tI>wzGV%OAbRi7v*x>1UW@NxYFo}k^6CA=qT$W*UcYcZ}@
zrCx?npIEy>y0W?ubx^@2$htC@bClSBWQ9%nt6=X&U8l1T0({<<yr&13kW~&RVj}{E
zX$jmd+}?;5)RSy+@!&eG2HUVbJCQZ>`#fR@s(H%J)T)_&gG-<fE5|w|B&iRGpC2@9
zd^S59CxD}vwsCG+-ErL62Ka&)mwKUYx*f5x5oomF)cbk(7iHJ!?=Ro9b37z4A5puN
z*OWn)0x+5w?&u$XykWq~`B1k5P1#oUh;p<1`gQmQ`nUm+$(**OM2q>TM3zZ}%boUe
z%~FTAnddg1rQwhyY1P-nqfmXFtrE(bc{ocn?-$9RT3Afkkgx5MQ)yLNsr{(0on~DM
zdvaQMa-^-$$u5icrzm>v5&Ej6KkIp(x|a+e()4JRC$snpHM2+|25L+WI8;`C7YcO5
zDVj|6h;YuIcn-Tj8&R8pT4Fhq6i=FF#*3YUg#+?l32$*BzWM3oB<$upNLH8QNbNx4
zlV7Q<xH5))!bRlsda0<An?K-hgfUFa(FmCQEIRen`FiK`zx6wEnQW}g=#eH&0X|Yl
zle=zJgI+%U?Tt{S%?o})5PoWf6?2sf)(frmZ4H#uW}%#dWr|`U+1pR#1c<tRfzlO}
z3S}w?QHM+o-z9)gq-BHyB!#={1tve6)wdcHidw3+=EmW!>XB*|<D#R*6t`v_(Mac}
zGNeTMXQvjH78X>};92duYK%S`=+4**XM_4x=LGpqS~=g86Z%+dBZ;X=!D`tB=8-<m
zi5^OdaFqBQvG;LPTVv;Mi$*GZytK5q&g*2112<n)stf{1pBh?zB_31GRUeba!&?rA
z4Udel8WrsCC1BJ-+1s-VC6NwgGZ~TWqZ14L^o}Axe;FJ>rk5xYji(S_GjWi#Fp!kA
zU_7A~mk?#-zyM+{NLDOJV4O@Ae5#+{Bc4=_!Sj`KFVqz<l@yVbY&D{$8cx!QBEeS4
zT^J}#RBbP}VfU4jKc{x0w>0~xAD+0>1M2`m4sYeu_#cFwW2`7Jn5K_y+qP}nwr$(C
zZQHhWk8S(hV|(vRva>sz>~7LDZJP8~lO}!oy-&HyQfXXuTrt6jDt&<2DP&Dij?GeX
z$4JWYXms+EG`c#SejAIOWZz(eihKm$WJ0kTsV<Au+jb>1rsvh4a_B$oCuHsRa-)w|
zzD$xY8Ff>#dMWL@EUsl=RKgF-;6b-b)^#&<vwyUSJl_rd#dpc;A!{Bl)@eTX$=So1
zKV<#D^9V#6aKffF^=ZjONu%%PX~d$X-(t>3O-C_#9E?2W>Im5+o=(q?rC=%RSwz%`
zB@_jV_&VPLo&^20N+aUiPbZj^{j^k{!9R?^fvc{!L!G-Sos+Lo$SUl))%|aB>gwp?
z1XGk|9*Fu0_<MlQ<=HxL8?+PbClpCZ$;wHT@j}`snov+rXzN7g6oNpYW7}=JzPsgb
zEovsD<D|Dzt(mmjZaofn;^Hp&c^)V5>-;X!-Tgmr`gGefoEG1&LBs0*YHjlMblHf?
zb+Wyby```jUknV)3=f0rXa0P@2R!D#RxRf9dp<nH-~RnF^Q03t^CHd50o=X_y^H8%
z_>+^_A_R<?*{NN$l9?)*C?w+;<w9^X4B?lP&?02m(;$bOsD?tqh#c;4WE_{1J)+>6
zjKLo^YZPA$F0fS5$x<zloso~8ot~VZkdLmK0iLKO9Frp6gw#kCF+D@<g{!u4pXnK}
zAtWW`;!0y**N?aA5}S3DjBa{deq35^wo67MCD#qxOF|)NTCX2>7G;R}r~Cw}$_k7+
zKcl7~eeU5(zbT%qvc>zg?``!C?bX)a&Voi)t+D-aQ{0`eWkvm8{mFT;@9EH~-_1w<
zuE+5A+K%_vU38_R$)B0JRrENY>ovGPi{vSLO!wWs;CvUn7IfFEnwK4c9e~32lJeI#
z9Qw7FQ>&~4_dtFks#mGjYW0g%k`GCy7pb7~PJ9)|J>+SkG?owa&`xVv&c^9F2jE3B
zTC^Ez!G5p{(6$-ItjMG7^_t1v-3*BNZEds?Tya;v{LtiUpgcPCE#dC_C3Z;s9nkbL
zdEEnC5WF*tJTX<n<n$Y0TTdUR5CVXr0;NjS;q<(|!xJdeWW+^i!;LQ5vtgQ6r|2Pt
z%1a{0dYL~RMB2y3E1NO7AD3Bp{<*z;b3V#iF>=VdI$ItNYv&rtIT;AKTJ-gHjdZV?
z)ouEjxmcKlRv@ZwkEg1vl3f-%1$0Mb@>f4uBdlHPZxXs*Hx}1zy=(UDpI1vp#>h_A
zbsXz|`zmX6@o6iLmeT5Wh8X_QNUUE9k)R)xyJJUZnGmeSVpU7U1^?A0=B^T7rExdx
zF`irKFz@TX2i&uHy+?PNb%fh_qPnS4m|^a}c%j?R{**cg<|+7oc|-8u^d~p|HA8q0
zX%559{jT<*nf-|KXI`3xoL_Z&<?}pwtJ<hq8RW!=&Xa<nW4C@C!iB7FKQ8$~;``ha
zj-jhakbaf(i3*Z*6fP(<rw^!HSv>=qC|qDMLS)~6!UFan5J+2?v`YL}klPrvM&GzG
zYt6n8#jG)U^A`{+C?n<y46_7MEL1Jvj7DxLSm1FFxkAxSCnFN5_{!#~<|FATTfiPh
z{guxlEKtf(wEkqOK11O`y3MSia6x^r*i*Z(_!Ah#3XKn}R^&5kanp}UT>86U78jr1
z8&lx=f)=|j|DLmnkrUwJ<BpLy=J_BE6Uva!9hEnB0>{i6v<-1FpG}&~6+35s(TSxq
zewayFpT5^*mh)TT@k`zJTQ3v8YT7orh+H~NC}n%kUyG+LAHR5Q>s9Yv;HB`;Wh+{>
zebnZYF7G=@;?DYo?~%Js@NIC@Y?&WhafyR_?a)=4X}o+?*n~QIcB-tOws`LFx##y+
z2;bm4Y4&EP9F&edMBSyd)oE&<S9I@LKXZtkHJem!SmQdvy+~hueB@w=iMpz~rVn2v
ze{2W)O@^heaGoc3<p4LyTcwMaz`X{zDrlXgp5!LYTsnT#(&d}rwn)>xM*MBn^mVFS
zKKqORFlFdgzjD?hnO7*7?N5PIxwk|AiQA-(<@kY{gc{qS(-aHa`B?%;9cOsbqN$rS
zx51C0wnPs<rFZNRhQO3hQ|m6p7QSNL`p#%kOkyjdm%l~*ZqlD0)+_+4y5G!sBG``{
zoFcZpn;T>P%=ie5haMJw@Ueq5o8$w-4K;`W#R*QDk6&7=#|=Dc?(+7Xhm~w;Vlu)}
zU|=aiOBU`wV2X9O<d4Gu`_>k|f<gJ}Jd2U2JCVAPvayotBaG*w0H@6^h4zXd#!dxm
zIP$ZRDzs*+w{a={bS;-ZZi-85O6b)iXNqeXfYBiS0>|;~r?SR9Rpffm1h1sav7d|}
z6nb8aCS@sIdb)k@vGYQh-LFz48RaZ}k%I{gu^KUK={)^t0}{&xZd*s#ZIl1F%X^NM
z3Y9CG#4{h=Hyv3VHusPgxpe_$9Q58Rm&Wc4cK)QP+X@pXM6PxJ2iT?DGuL9}1`pGv
zv-TzQTyt2#P|JwJE-n9tu-|-we!~=tEY)#>Zca!fR%v*@f=CV>1eJ&n&b%Jk_vf!j
zA#XAepSGg~IJ<`-fc}W?TN8g&uO0^J!rN#I@TdQPw_OkN*E(Dft~LGoJNG-}kL3@`
zZuuMeyLbWgnYV)(e%w|=>ORD-?!JKwwpG#QS5yj!tW10OirO)EW=IGQ`Yb!q%JkbR
zeN81GYiGl?fE@qqOK|+NiH&Ir?%1YZWFJ<H3ySfLC|<7a@No}^xtKkuS3AyBBGt%-
z+|z0_F<;N8f;3|DJiIVRHc{(E(T2368|P()eJN~lH%lEuk=^o%DSs+Q!*6?uNf>%6
zwxDz{hj@_dxjg=(yqTW5FzPOfIJt09{KW&YsWJt1_LZ?#?s@L?xtonRhLc?yG)t7K
zh4ffc@=Vz-=Y|h@HsUNYq_<s;<WV^j%CnN$+T`6m)rWbBcP7kpy4fItlWm2w#bDM4
zCLU88T$#Gj{bJq-)9Bcp%Rz?iE=?B`(jzaAy}*K{F`o3aRX@^u4EypFK{I07JwrUN
zO(|vGl_Om1nL)LU>B|tcth0JhY?KcEAL+>FuW2g}*Pk|aX1uqABNM&(1wPPB#4`Ic
z9?t4Rca9Ihw&0;^bUodu%#!sYt+NL^GUzZAS-G$@`vbZBbV?RB@aUo7&!G_05L99-
zos4v`QFP>Fd;x8;nr{kY)4YW|_%`~xF%Ig_lg$Fmb0w1#Pc^!oZk89qm*CcDLVkX?
zt}3)JRgY`2MqH)Ub^lCWRI#10rtK-G;M2a`Nze5ShA9r_>T^NKGto~+Gtgn`zlQIu
z0}ng(9&3NTGBmZ*o3_BszoF*t8hQ77LzdXFg)eOO_`PTKqT<4zuQ|fayepGdo=9M~
zXmeYg9YGGJu?#sj*6n(6%!s8*<l0_!EyiaLdvIP{;-VEpDfB~Xr<o{Y{+zUg`@R*e
z&sw(6-5lIOo|;p$yYK4I1z}#Lf2eZPgIkasXnalYPP=3MGh(jH$}J1JHEI2tl^kq0
z(@j*}Szf4Jc0MK-U7D9?=U=3ot2>Lu2VdjQnV(i9`tHF|Q8SnOnuT+qrda+c_<Lh6
z9<+WRcKe!5yC|N{UEg<-<4`AOUi44qc^rev3p@mw<G8&*Y6^wUQ`I2V4Rm3Z)<(dM
z=6bCLAnCceeGLB=OojVHKwMn>{?&USlG2v&$86{Z`$W~c3%yX1vL8G1@cM-}7K7RN
zzu*$i|A|Zf(~|Pfp79R=GBW(bpzN&7|1taz0m?r}sY~$RSl~ap_+PY}iJjxWuQC3w
zwg24je`8uK|0UD-e=;pb4h}Ys|H3mYEDRj~2cDVs_ViIvZSr5~Y)_uu-4GTc-?3~;
zkb~eRWGN9wYKyP|L;{h72qa(v(FDOExZFol7ywoD7^*m`h;Tt#22pSrQB)iOoma$B
zP&}(VKaXe@aN2v#xq%~`SeiR~{dwDw%Jr>PRxQ8Wg=0hvC7z$;wNtX&JI}F3is(Qq
zO<jSmx-_%HVUMIJ<)6Z<)N31gQSp$4QPf`sugh0vcOQHbuNsQ9!AAha$@Bh>;+*>$
zdj?wA$BztZva+r+%hyDFff@S%<7hww9h|!(j9CGG$7_X7qw)XjJ5wk6#Y%ksxI$M`
zKj~TZMpR6MecuFC{c}|mEaarX4|Qz|ZIz~C$t|NQ;{N9+wZBqJA^EpE(n8-8Tyb`)
zD>OR2rF_X``Krlx2bR^f8-7fle99w+;>|S48}`l1c4En#$xN(cHZypdBwu`qOl9&-
z<R%wUY~P>l@@z)VBv{4!odC|G=~@usA_CDuW@*lS`3+w-Erfl^0EvozLa0+EFsh!R
z-l`D)Al8Ja`GQcHAI9=|Obc}eQIRYeVmT;;0aBM=wl^lYrAML`Kz>6*VOZ9!OYpbJ
zw^b)H<BE(82DsP!;&mcdsm3qlbZRx?B&h$?U{l;Y;QA{vW03QS($<9h`h@ri)Hg0G
z_lYUDKp02#b|D>SMw}zwOc8cxeBp^tbWuf17+#svw%jW#9*?^*+e@lIPepoWz{#o<
zmId-trube(c6?OfBSse^(}Ul(1m{U37Vmb6DrW+^B^=Ixwb6ywR!EoEDt?jI1s1lD
zXWEND_vAA)`c^nwVgM_K-aIQLk#0!t>2XL8e`4XwAr_wQ4y5L=y(JL6N|n0lj*o7D
zM^WPnD265a23U?5p3{=xJCW}|My|YYT^84OP~SM;U5R*=36fho*w0C}b%0{i#3%mS
zf5bK?%(2brWTn7|U<Tb3MQ*_bFU4iiG6pr0SAquoxksVeAStN#?@$iiEc!@nPkQ(r
zqk=uusST)U+>+)2)8@HZj358$pTUdJN2a{#6~4ISvnD9xsa5L+`N-<nxlzLDPQ`=a
ziFU&muh3_Vjrd*x_Q=)(EzS?glp~vgNQoQ}Dyb1Fl)6E<@<6>gCnVd#_6xEj=Qts*
z9FY2lVwelb`Afk~iW((>5LFG+bJ5@7Y6WU-Z_pE{3u=C&I)1>2y8~v9TNjDKuv8Q!
zXgA7+{%f2-SMUQBg_y_9aIV2e4?JGr-2|2g<ym=B`cgI5eV@A<A1pAg+p7@zf^j^D
zRlxZv`8h9q-fx!YMQ2lR+V2c7zjX7DzASzy9QM3Rg4Cw%_zH0U&U3gLK9p-A3dxMY
ze}zXfc1J)j$`)TDnq!O~f|6FSW;}HzEkMf&OkVV>jMzTT5Y`oAFltVPZCPdq%d7W%
zSyNoG`;;wlS)w2ur3q6OFzE)@;f*(y9K%RjQ<)OBKy<1(Jz(=yZyw~F0>2VniA{{r
zI)Te*#ueKf^6Uy^`(iB;15rKI8o{b2)vhWE^4lz3T-}xXHykzY#1`(zZ&p}`7{?EQ
ze=6}y3x3H8mPz7`zuArQ|CPtE6y{1XejK?#KNn~(T-iOPeH?>YgzzrUy`hn};qaas
zpVB7W@u^Tx(Fb#ca_(Pphe~&c<{h#RZoxa#@JeyNiQ&aA)t-!URP(wZXc^NU*K@}T
ze}I3$f2ZOVs-IhWCA;mXtQEZgd?(i(U@!dm9o0CZUGIYQlJwOM@IUCx-m=_iv6kU9
z8uP^5GhF@%%SRLG&82P!>z}A!^aLo}OZowLB;kYNoyNb>^I&IPi|Y-W@<hzwOklQT
z_LtL-VEBdq4jSeRCUR^<Ke%gH1ci>p-x>ELqu+_7*dA%>K<-K_%L-8lw6+-FK5Rft
zNpB>{GYIg>3o8HQ;sN~N*5ZZH05l*~miL~(-_`oyQ2PhL7x$u`?f;GVzW5CWx855Y
zq)|r&ri3qJ7bpZDcnA07|CO#)ri3o>{XANGbI0|5PJe&#()?nOPpGgUU>uOnj_bHW
zzATQXKNZQbFJG6}cDRK^y$$U7<Hby?<cQ2(`QYZzI{gc5oeKX_{PKW8tNh-Xu%LbZ
z+5(#eLeX{5GKj7ssvd}kAILs502m*H#B6|{;Q$v7IPQqmUZghL6x(*M?h`jB*mw5W
z{6*|Pc2R_-@+e>jMVTvKe9Zilrau%>9|Q$&T=#0o-Xkjh#-$g8idXopQ4HPVL(ajF
z)Cbyr3*I9IFX+EL#tc9Y^zta|b4k?7T|vMpy0}sG7U)4zkn<ym|IqKCXJ06BseCS5
zb0D}o6#fRw2f_OW#nGOcn-BximloZs`jmCqpR2#mfA{B$XP}ZmIdB0mTp)1vJ(>Zh
zHW2sqtbTOXeSGfVY+mYN_HGZZAFX>AC$~{+16MD_I>A||5dO>wCKp%;U5I~NAf8U0
z1D^r<n=}sG{58Zb^>xRg2GckYfAx`-Ckh@wjIu*fGVxf1pWQ97NFQ5Yannx_${!6M
z!0wu)P<^N_=@S~sCv)USiH3ADo-DxUOKXYzBz@G+_5<26+^s|C?;2V^iu*jW7O2`8
zzX}%PU2B|kFOryml<(%U`;VS1$&saA0y|t!q|-JPxF@)Y2jd%UMn5X!JPWudWB;Ty
zKzBv_BGlf)U|sosITwp(a#3DbwjVa{?V58g;t{9epITH!B1r3w?4KFKDKt-k4XVb5
z;GzM0WCP!G0ZY;GLN@Wje__QhjWm_z=7g2(2Af`Q#El7Mb1AOv@LCLLrHf6@f?bF6
z^_rS);Rf70z%x|WrsyR$6k3wf@2^mNL99*?Jnrx(1Lf~YR{M$>fP)(Gm=9PG5Mw$C
zI<waez~5};IUDuBe)3m?)VqC6bQshLt7hsuM=Olp^o;_fAI|}MU3-vsn=S1N=~kmZ
ziX|iFdPV*vc9o&<>7_IcR|!c!+bfr0^`-yBtN`2>j4in_pB8kz0NP4g6QBF4VnI%g
ze3vK1qbnVzYzs!9+=7M45Vv4Bq4}f-xHWPg!L%Ik7szNt?r3=%UYnqBTfp0qn)X9A
zPT;jq*cxunRb=bn&0I?IL)kGvH2XNSK*#fY4%kdK#2&WWWJ97HU$pHHK<bN9j0o&g
zej#+*%AY5?1zI+W`#|{N&ir_PP<aA&Cc5{(2}9sXeA|I0W)a*9UmZu@0XW68R%K&P
za1Z`O7f<$1@im;iJ}|PD>&BIN4dJJ>SF(@o_6zW%^N&t`H4#j=<6ljWoSSXH>$u_&
zd)>BQy?N#Xm=dgIk2`aXKN_q$Al(K)2|ED8+}$AI@F1<y0J1CUZ?8PmtR3OB0dL<y
ztRAVQk)NHUmKL~D^CYIH&iOHSnDt9t3-;$e+26^LJ-jD8&NTc1r~byI<fXG1$m>uy
z=>bBr3>7Cdmm0Z{k_q#@Ez3Md56+$1wPrZQQ`jIK62V|3Kt7Ty<&<(-s^BMaDeme#
zG<=ng=fQAdL4Ba*?SP%{E(Gw5&Mc@V@!NIW<J^~@ehsuq6rgMv`c@(-m7fBz<69A)
zePlW(I7>fIkH|K3G!>@$q7X;Iu!bZV4#JhJ%md)Xs5xd8TY$U@%KZk(M{#WEVta(V
zG4-j(6|-tigYW)Ay<2<S4^5_^Ja|R85%^5*QUAl<cgA0+PA8CeKkkz(ul?qlp&oyo
zlJ{f!=A1U+c0LoWcU?+Bi&80A@^Wu{<_?C0Jb>!=)GvJgMOVnoMy;E<R2a$CZ+;&2
z^9rZC$L}Hr?IBjQC!U5DEmB$fbxTPiC-%#eVmqQ|?iwf;pJ+njNPeyZj@g0I^@MEr
z#VKdmJhV?&4@A0WcL~xo$2LHCl+cyU1&k>TAeqo89T;ODLm99VKtilgr(26?ec-iQ
zIhI@X^-$X1GOoY*r#`bAS)wwz&zr==h2R{Z?=MT+-Jp+ax497TIK|~udhtUq;AIah
zE(!-sf+MTIONc1&b=rm{?+>Fc5wg~S;9b>k;w{Qj;oidq^t&9u&tGC6uz3hxPLPC2
z@wa|o0@lA4e89e0@bH3dQV0iqjwI=Dfxn4haw+zRBsL{ynS|ovg{8;WuFwwT9W#Tx
zD9`xi+JNy(C^Zy-?Fl`NvqkCPuG$IN@m$m{v*a#7yY3|8g4pBKw?1$*_m4R8<LBNQ
zQi?iL>h}U}4iLUIB|63KmAGEr>`$)v0bsg$khpvxSUaFH;@1c<uBdOHI9_TB*fh@A
zcAfY0kM|VGq`oGS<Yn6s-Ir{A;pzpqFmIvsQ6lRve*LSz$I2K_YD{)M)Hb;$8swZv
z0@-F%=N72II>f9LG<%5w5~abHgq`Ao!6%zsIl@S{0@UG6O(Zr4<03f`q2P*g<Ok4x
zRXtI}`=RiSv%l2zMa}g$&D7l=d+IHh-)Uay>$mal&wuEfYrfMw)a`>EZhIpXcF(mP
z_f!M6<`!4BVcEzBXL*2cvW0*V>&7C*TzW|76noYo^r{3uEjf}`ID&a%a4UBC*@|Ah
z9L5de0?@a^&4F1oppHcC^`J69uhvD&4Z{0`#})B_cOws&`m`M9DB{A}{o>Fm&*wyw
zn%}S;))7tlOM*Ya_GM0bJHXn7&}oAcdk`)|>#|~H17=Sajr;)@6G3(H3U7!k1ycy)
z1f(wSa-m)-+1>nh=xz<Sw|Q2epOAV(9z*{c-72Z27x?1ZBs-Z}|IwD&)p|g?^J-_m
z&wpnzr@nAEtkYAOv+l89@Z?+*N~Z%~cE+-+@p7%EDV0ye1G*waOqn>42dD<nr*=?;
z>7SZ&g!Y;_(Cuh_H9BQ(uvb$+crJr@<NOVZcZS0{)73D)1>ifTe<R-h@E3fmi3oCi
z&#&{@8l>LOj_bk*8<g5}_0Z8Z?pIHP-UZNOOXGj>&LSpU7^cV@U(#5o(^LVX`ilFV
z41deV&C^lG>=@ea0o`Ute&`D(6Eat6XnDyi-$*DWu!wUQIpBy4cWeu62oX|X*3XUe
z@qVItR#f>xX)A}LMS|o-0?ju-W?2W~0{7nUP`5Ftz1dHWz~Aq@oI$%Ue)ul;35NWF
zc(dOvG2s1;^#_@`>WIrLfDV9~FTp0&4T7(5m)UKI22)HkrqF$HyJ>27%JtQI-;T*V
z&K85cGtYU${-XGe%tx!-PuAT<=yK<|lieNjKk0{h0pf>{el_)zd2f8UzA=TDnpywc
zD`Z{qHr@o(c7Q%M$NZYL>qvA1CRYMO9p38%=i$bBc*3&jv1>>(a>TpG@J3R@f`qq4
zP})&wi?}JZUuI9#@=DMjdh0(k?7`>h0r2|fqYBbzm7BaG(l|qP;nhAM-V4MeUm9<S
zU@yMqkCi{?ufU8${sL_OVNGbmu&7Z@xWm8-z;>Wjqu+y(>UTwOi3s5^Xzt<$!wlzU
z@oZjP`x&oyz7k1G3T;0qyiMKXT!}=bq~_ZON7OJyar-HUi@otr{-Cg`b8(iK`ODv3
zXK(bK<-_)iZt(#;cNWUgt6N2m!~0gq>w$r5R;^Wu-u>AJBLC_Kc&hop-E~OL{BfQF
zWtlAteF4@A{W+R*pNZe)Cw&Ug^>&~M@!+d?vkXv?O=q4#&D-nW=W#rGERuvj^Xu>R
zlV5pGN0qO0N{7L=%u3?#uv-B5{rP;o#NDng*T!6JZYJiX1utH;la^$2otLssOUOsZ
zM#e?8h=hoThJ}P<0tdrzk!3JN=NMDb;<-r8>(ynvT!EA6u2NV~r7T!F9#({y-gduE
zrOLcjO1ophSuQQz-d@^WOsZ`|=X7GSC56K_muM7T8(J<)A^uTkBpy2BtX4W+^(2-G
zC%kDV4z4XJWZO71oZ5yo7h&28OPV^0QO8KqF`=k}oRcgYJ4h%IMsO18zRc?M#h?a>
zsGqb)F@X~%>WPFqN}6XEXVeK4pQfh7y2b1#<SFTxw4;}pe0@-4HBJN18RkutQw51y
zX~_d9nkT>-Yn!(XTieWPhHs;>XH=+}Iy=7+x1qZ9hgVBAG>3RG(leU(o_dZ%XWHnl
zqUd3ZdyUKzmK5^QhG}cwp?jv;Sjh8Cs~d)ziUI5+ss%9>mYCt$3!%{^3AQ=174-y9
zFPhTUiQGwj_j`py%0%+Sl}$duxTCo3pi2rz)+jiftgeBbl&niTb}2=}$eM!MeVrFn
zGA^p>@FtdVnZZ%inZ3PstCW><BQ{Nf-Vl43*e7znVKy==jw@AZ#<a@C2;5Y&Zh{dD
z=Acn^t0Bn={3V4vIE%-sVpf=$2Q@}7Z-XPzGq0d%3QW3>CjFbYj3s(_)gf*GFs^w|
zM@#918d9P;hd49EXK~P~;<cPtuAH1&x=F$SaTdiIr|bdPsVTiR!ZVI58WwRv{77)C
zD(XuoVb3ldyr*tdwmIQ`S)Stc)Ru+1GIG0f7An3Xg%$jpwK3ULwzt2m*t--sr$;=}
zxn?|P_a5CaGMcV(=G9^QS4sD%mOl5GBA20dTWwL{qS)4QgOt<WS5G{b{v?u)YAq>*
zo-~O?6}l{EcR|B!N|@IR>jwx$dCm@!C74<ja!bsECbhW7P_$v^hnl+;!#}-O#icRZ
zJ~Pkftn{5Q{g_@;&muSs^y;Fh#YRh5_>R<-xF8S<ON_&Y7>f$KN-O3=6E1snVZN%=
z`U2LKH1!ABmhq)d`XNR`KTvkriLXO-{!R>hkFjuJ#$6^$ZP$vhX-83Q7eu(M!pTF_
z7=AgmeY3z-wKAc!Nx{s9Nw^e7%pS>Xg|8BIs#kC2vP$5jT027}b3=bjWrwK86zx{z
z!itEUF7y&@NBiideO1xyC2hr9+x$Z-ThTa?)mzd}NIi8|+$y%H>0$P(AVh`|X4zx?
zpmVZudpANZ4;zPCrD)JN*iMjI-t{#q3=Df9@V>e{#alRG@1LDg;kyzL8$79)d#o-&
zYFC*b8kj}KKI61OI9!7<s(pg4`Cx~78G<96c83rK<h6R5qXO3^YkO`dh(cd<=79HO
z^$!P$%&4s3Hx!g}Yp@FVHY^X+vL)FNYaddq5&{~4=>?c-zwnkg-oD`emVjmxI;pqf
ze|Aa*tq9h0)^n`S5`)X$S>4a)pSp%ct1@5;7TGPX9VyB!*1q>L`aOV-Xos<VZ*;c0
zO9?3vLj=bMn*=NYK;B!cEKWLmYN;5<N|CicNwqT+l9YeTY=^7b4F4VGDqD>ecL>aX
zDy4U|6#IXjYG0}btm*9q_Eh@%DhlEmwO|p0M)iEzK$z^pl<&QYt(5X!3UFxZrU^{1
zb|`lXQwX*ShjQqVN{84=o#I6(Rj)!Rv`W`NdYYkKIfG~@BGWRNRdNNn6q$vw3XdLj
zU~Ohmtgzmgx^=NCj~aI6VYNbDKnKco5kmaJvbT*b%fo1dI3fK};$}qIVajf(>%^Q$
z?to8I4~8|xSXPuEiDnaE2e5}!>a<7)m<LKlWm*j?a1=nO7NJ)MV;DB8-69Kn0RV#x
zc34)S1vg5ewsR$K*ZfpyrcOaBG;y~B4;@Z?G!QGgP&QkD7x2!&{eV;f<dI3SKHF+)
zEM`+H&ShZZUnAb0FqE0oXyp;E_iF)Zw5zNn<?T>GBluWwHK412XCwJ!N~$6Tuxpbo
zoqdjdnSHE%w|%>UOsF2#8w5oHs1`?~oU-6<Z?<k7U)62<0`?ob=dr>_Ut%cxd9NTD
zUQ2F;;UsUPN!~_Pe>zZ#0WM4z01p%oC<@3tKqHd?49s-{un+SJHNdJJcLCsvz(^*B
zpHf?yDt9P`_9coY7G%=Q3DY8ZvQ4w1ClnzyUXyQ+eXxB%ecdXfQ<c%2N(^e$>KRdu
z0wqKU<(6eKM3e=f4<|nnL%?%BxCkjn^a@Y(bGLLAQXweE5GZHgi)V>ia{qYPft>+>
zTGV;u1i%T95}>~T*Z|~Jq(?05Kx_avVB4S?@EYMuksH@M`zXxdG&l`r17Uz$;D7NP
z3<UQ16hSLcQf~~RqJwD>P%Y(XS|D)aG%$X}L%UTxf}wV(V%*8);JKN3|F&Kj!pp&T
z`+I4;KQ&aBhsS2%rE&Atgqn9A<r?C14zqC$mvIb(aSelU41aJAdvOgz5g*jZmoj)M
zh7PN)tA|!nwLC1BF+gq3ttIThK<>xzzGN%&wYQ&dr#Myjj>ep$+23H<vxuPar7v#r
zv6F6TC*8z)t?SP-0?D41Qzqoz{2f>WHV5kh1_ytEnueT)nTBuyDFYeHD4s@h?%-U;
zv0=*wp6=2d*od=al<Ur26pn#xn4l0yFRWWcdw0|2On!hfX)a(qj$D-zy(l@*x#ZN4
zEp4{R%O~U1;=oV~on*}6RV-D}V&fTPp3vMxvXFT?=9K0YJgTR(H|gsJ;*9SAZg<o4
zgvM^NuuWpw*N)`$zSfoO>nIX>p|oFquj{6wu+tP25?pSW7$lDJC#!f0osE_cYIX*r
zZuDYHm!o>+F|ECON`)NOQiPh4^zK(ZjtnFntu;!Bp_<YTz7o}&6w$=f(bsWo#NANP
z+m>>}taLL;zMfbu)osEc*(#l!*rL;HmF_FiJyP(NbS&Pvv1e9k#q_ew?o4mXtlpe{
zZe8fH{hPZ9l1J8UWem^btC@YQzd&|vzU5M6Hsf&i``|zwdw?7(N?qElazRlEsOGgw
zTP>R~7FC-X^%gQ0FIAtTs!M%Tm4(K4P(k^E!Wm^7YpkZHcdJQRJ<bt@ZD}g0>3JmO
zF6+32@tT1ouIecII8jxjn=a#C?%y?5Q<aZdBL$a6dWO|`WnSezd70=`r~98R@g~uV
zZuHqeni;k}z_sqs3=s(itS%&%jb~PgUB>Yd!F%Ykq?hX+83o9k6eZ3cLqY8X<rHO#
zN+PocDxI&fp33kU!Fy59Z%Ex#(6PjrgEVEDdTj4-v~Q&TOPeO2bd9c0ZS>OqKB-i|
zQ{jOeRT{#Z0!CGf6ZAuqVupsbX?b(=a1>QqBKPvJlw@3+C^&l9y(G=ZL~lD2*1~a3
z{2?s4C*lB&-n1nNHvI!b{D)>d(olkKkv-~%G|>;9^q*qK>;R1XC<UHB^>>BfYHJHd
zxCb6o^;Gy)8LUG;)Rboxd&!2Y%&-3rVCv&u`-!BJ66j=H!uZh1X`$DJ7`J?K?3JQ*
zsrU)kbjhHKb#vvl%1uu+zUdYH*z+mx%ZykjOZgXTiZR;Tn)@AXYLLRTCG+rtLTs8T
zDA68G?LerW$xArfa+b{toBvMm+tnD2cZkkW$Ukhiq&cTb`LlM6%ecBRcIZNUX7i<K
zVO%3XFS#-)ZPC6l$jd7u&LI?o3J$})>KC~}@Z#|ajC)Wawc(De==s(Hx^*$yC55kG
zE|W8exifF?$e7HEd)aRS!*-epO$kz0_NWrCRZZ?lh*37X?0Rw6{<G%0B{8P)j|C=e
zdA3FH2Y%G+1^pAEHIYV2<m4uuR8isO+IO}<bGYE-+678>C;wS<w*680D3h)=cL=tA
zxrTy6O3@G5CREl>pxY9mSN85;#$I)O+K$6hvL{#lVXF`O-njpM`8(#1R>lZ;R@qL?
zujX&pcL<^lj|oqtXL1GihQX)V5lr2XCthKFLqE;zDUhE!hiKcFmxZ>sH@|U7<Cw>&
zM?OwUV4JYvS=zitR+MUefwm?7H>Pj=y!I35H?qniM@F##G&Z*fk^Et)#wguS+?EK=
zEWNxAebxx$OeO9@`Q=>8wPn1mz145s4ucyO-jV5%tZN@IqdcOV0oaP*z;PsRw5MJn
z^V6OSob$g(tW~Zk>Bc=;j9(Oe0Pf6DtNRuP16ccIy|wNO?ag{S{rSGq-i>qn7*Kml
zhM_J+e*wM@Nxyonnm$_oD!;vDm>W*PJtrV?XM4OE<&GTc&NOr<T>8W8xAua|<eu=?
zd&r-N{?Jz(0wY24@(Q%}2=7rmM~NH+bCyN2!E()#osymE>xJFbpEB(yo8ERlwfbfC
zb81<WMWDlJd%cMMh5}o)En!>w_E#%<yZpVry6@5#<m-Ga!ZE-j=Zv!6#xba@Xx6%+
zAN%5NOYXNL%9?xRkEFh_%wGU43!ITi4aX?1cA^?@8Z|ytvLze=+J9l(Ymahvhu=O4
z`iE=puzu<C5AH#YA9?|V2|<%aa4&ZW>y$i)^a0L?ds<vQ0exEh9+;`?GuNBA>vO=H
zlGo0<=Z#+YzDa#z{wpP!X4!1nZCP-cdd$A429O<N<-~MW2t1qFhort4ZoJn4?FE+l
zk?x_<>XDCM;)W;b4B4nZYaWUuVFPTN;B@)|jDgy~e*xVPh0_M4IKw;?jxCg*U1(F%
zCiK}NEf3igCF39cxah?Km(nc7N8lKhx2pDv;g4Pq?0ZU*A&&AZ5}-UWW^Z`4LXf8x
z+^!zlXH1x^(Pf}TG90^qN+m6Bh2Y^#3vo{^ebUCGITWlTI<j#lwBKkB7ZL{g10J;v
z-A*scTc3?$-XKiZmU_RCUOM9I&_CZ0bENT(@4@iqwp#dFvd{yuf-krn@k^t)5~2L^
zWPbOxIna{4@ywTmrwMhTkyl(~RQ8wmPAL|m)q~~H=eg_(Z0wGLpUT!nfIG#!?}ggi
zWCqb^or>9_u-<!qx_-D~ZXXLuP;;!q{zEbEMQ!%ZywU37Ad8m?^2IfwOlrcblykHf
zb!CZXzwnd&O8{kwvtkiF3bDKGCr7{h5oqLHC>sR?mOXjQr1|{AaZhiV@sUdix_ntK
z(?0R<{o|!r(QtjsJZor6eo;!n9HnK8Yhsb&BjM;xE3W{%NQFIyvPJptsyx;`&Xk+i
zctA)i{~x*=!*!2D#3AH?gSDyO$ECFk>*vxBdq?)%@YSB!o5JvO`3_mU;oek0E<I2y
zx$v9JaPA`Z=TgA+9R@78S{5wVBTJ|!OVXBOoDW#qpwn-9uPiJ_;naU(qM|*VF1V9u
zN8ufjYQo?4C9m^<nJ123;yk3SgU4M$J;XmFJRb>s%X%x@JfU$H?w8gUNIr*<II)@F
z2PsPP_PzIbW>=Du^FQB&rTgAT)<+@tB3p_vuN_~irUMQiTm=zKmN>s9<V}ztuq?}G
zS;y=(0$2+e2<t<I-XO`6>5#EOz%mj%<(5Q@6bfm)<I6KVH)SAaD{1(;##=h-+I~*4
ztu2F-?ya39FBd!Xi+Gu4@hx*J7eTVz9)q?;k0wj-LV0~`e5m<ZGMC!79PT5L33I|B
zoD3N>IK3o@!~C~#aK$4D9p*H{93C0Zm>r6NI34;iW7qSu>dHY&4@)u4=Cc~JIfX$%
z&1uazn5-E7zFxw#R)BzU%TF-0z5>62-ydV6V-{2}4h1Nphwm<k_?W2liz0Qy3)N)9
zoGuz^Fi+l_WgAGywukp23CnuDID_cZ!nqrDg_@jn7x<vj{8scAw^e&rYHVTIS|heM
z25@jmzo=MWe)D?w7@-m9JB4i%z=`6-@}hp|mQmY(97#r^XUr!2qCNg@?4E|+{dtK7
zcg*&mJL>&>yRRvQ?S8+fu{dk$5RkVSzS$Zb1v$k+G`L!wK^t&ZWg=WKTimmimyws0
zJfrVnTull{=7IP_C4bxr&DZLeNFz3%(G%Q}x_1QM)o=VA>35i4GiaG&I3po9hrQuz
z^-7+kogBZw$Y=H)^=k%8EpG-F8-vA{xzEQ(ja;ax(aY`S4I(a5A`%giw}6PKxUf2(
z!lG$cxO`tp)N1Z!Wu?`{O6nd!19P!uZ?M+~45sBQEJI~~Q=UCTwu6;~a)nD1NQ|U}
zBqB7I5fZYFVXagzqlqUsd*3nOWyX=4iMgsrJI3YiPMuuay^=Le6lR){Bc5U-8z+c3
zVdWZ5Qf~M-Ik{7NLGx(b<t{&kP13UdM6y85ZfxLXXD1<1ftQPCB{w(mr<sgg8yr?<
z)?qkKdNL!kk-^w~ED%OHjJw$U7sh=#AR-19)80I1_KkZ=YlQqp!y0PNq%kml>h{U&
z^`;A<t5vkdVO(^Jg;z`-58apLL*>bR!ONw6&|j+}#As~2nPYmyF0C0dG1$4+pBasi
zd-y^p#o(O?ap;h?Rls8Nc(9v>Noce5t>C(b3fTQ0LpbU2T`Am}=|##ZQ%w_|1!-!5
zjm65z9!PU$_TyRRY(G!>o64N-?#wml&Q6mh7;QkxN#rYJtS+=vuU|5pZtxPlbRs)4
zoO(^K(MCp2M%Ip>b}#|R<O8j~v)`_Sgsl7#pJ4cjJt-MUsa@<*#_=x<g^!DhkdTT?
z?~{s;i>r@T8z<TE%;~&*WsK6d{0WsJn$OeDMa>pXrW)-Y=52JOOouHKq&zDb*(8ya
zlAVu|l8}#;lY@?x*+R?#TAkf|Q}_s>+qUv0!vqR85;BFJ?@&3&=6Ny7Om14Pc};tL
zap)>LSMwQ?Hm4Wuu=AWoWh+Kh!I92W0TlE>Vs`&l{5*S5oy;zOw=}OqvNR75xh$1E
zJiB<>(-T$Y67m_fb;$p%Y!WTGaqSJg6kDH-dz!cFq_RB7tRcT84p8Zh)U$Bv@Y@_=
zhkqv#3jrH>t^QU(cUdy2&uNaFy{Fk|lsj79PVK!5{$}rM5Ip<#SK#;I3rKR3zpw4^
zDfW+itxqh!jKIr~HMd;ecH{R^yx^8>L9KLkIYQK#;!RHl2QM8NpPYBDK0GHKACoVR
z2M>vX-+qsTBC*wz=c(u5TBt6*<|F^LFSv^GM%SHWp*s)+gcCq1=0OP2C=g(fh$R_8
z5m6Y400{{rB+)tm>gX;uS_8LRV=SyUzBlgpuJ>@`RsSoWBt(?++3xdP_ib&cww&Ah
z%i14G%9tFqv6mYbYIo$U%*ez}ZV5DRtJ)l*g=$miCoEG#{3g7<$}oVFcrYVZmz3h#
zZbK9R<`^Ibr(v#P<uG<weJm^tyW;IS*C*}b6>qYR2%i^HX94Xus3*9i08s$gEK8OS
zVCOfr_zmCcJri4V%Qd6V_AQK~t!u4lHMZKJAuJZiZ%iF1@l4Kj&Gwj<VDN0)y`LB(
zjn*iZW?*n*We0{JaE4!&sg+fl#fjNzG@78`;9S}0S+~1^hUTVV1n?po!SUtgZLGf_
z;8ZhHwZuJ7wqNwYM&X`b284qe3It{)_Vsc4`PbZc&zz$#1AI`#*J`fMv~S{??Ppig
zQL;ODQ8R1l-sn30jQ+bb*aX@2KpQ>iwGcX*TjCqAjU^1SNwS|?Xj^KVvn)At3{Lj}
zaQ3HeBTF+g!%M@ZrQdFsTGNS0sHQ<pRpNizYzah~<dv-P^Vw>7H?uT13)@*RFf;>}
zz__KYmsV}L3~XU#iEDQ*#9nZ<yj%b_mX@c^OA%KlI&say+uI&w?rENL{%T&oFD}h5
zMZTL7Wgbj)`ST+$*NRx=O_<LaoRCX1zF8y6HA2GwYHw8h41fv0?O&_Em6WxaUKv19
z@M7EM1PAIdCv4cVnC(qBG`lpo3a*CQtG3wh=^;}WNO%eIVsCV?=XO;rlSXsyOyyvd
zrNPV@l+RajMPZFir3b0a%Gr%q?<c1D`gvuoXC9c0+_~IzURpE6<f65)(N=I9t`|s$
zE68RSed7H7u8GOMw{NbMVO@jRJYmk%cCxmgu5M>(J6qfR|0XYc_84KJ3J0&p1@-|2
zT*>yEBKT^K0>ta(Mrq58882JtMHS4fzFl}RfTt3@6&Kh>bpNjLK18ymK@4M%8O0^`
zK^+($7GG#-;b4txc1Q&p3|&@VC^NJ4x(j7S;_k>SKG@-FGm8%wUJT&rZM)_&`v}d=
z>y@Y21_j(0#?y)Ox{GXp4CSo8P{f%VtS>f5F4%b{dr#!&1Mim_?LHA-VUF7%Kj#2D
zkTczB#XXE?U4=amhRrCms*7YUlFt&j$$vpjP4a8Ogsu`VlDJ8}O5rB?%Y+-`|E9Dw
zxVjk?_EqEkn8!2pXwNgxr?iH9^r+9Zg!X<!%jN-nwfRWT*H8P`iFgxz!Mi=ko7_mx
z+C*9;a_YPo?7e>0ApEG$-wOR$&s&8*TI=kqM|&FaX`Q=0ooZ>R7;&IRAY(&9g7m0=
zhDY{U5tEIX?#joa7(ufl1NXE6Kkg_19+5x};MLYMP*`w|0y}jY^kXaMC1CUp*a=}l
z#1Vs90BG@Ing(kysDYR#A-ZAaR~97!)}sM$gaW|9Jx&11L6C#`5S~yCWGjn<uR6#Z
z2<9IbV}%&W4g~=iC;({S&Y=KsBZMPPtPQ$@6!9`bt3w0CQ{~7iz#)@_Ka~BP66hRg
zuwt4Ap>j|OWLeS@M~K%XqKK(N4OAnJLyK_&x*`6m7G(+nkP2lD5B99$-Elh=xRF@o
z!(6lhZ_<k)7}WrLLxn+HqY~;p8#=Po12HT3L*;^E9|v4n4TOUHRRN?Ov3N_d@Q}13
zi3e~5_Z1AW5Waa#%;Ee^#256R1br%jSbF^=@|%i<4@f1bJm%8<Fyci>ks>$t79hlV
z6EmhEi9?BrACy1)niC76{IHG-`=wq$fIpS2BWSa;P=#F`nb7Wk6_}7D9H<s>k%V(X
z0A*dY087FWcT|okA?Z}QVyO)cb9OSZuYf<dH~Qyt4N|tC84^LH6m~(8Aakl$2o|lu
zghsFfJ?sJys9eC>PK|w=w|euotz_kv*rN2$m|U0~SdPW6c`kNCv7iC+4l$Ts)_@cH
z=VPxde(VK7GASi0At!t|DRWUPNmL2y(TV!f#P;61!n;W<%7YJhwLRvQH756blXtDY
z%|=kB%TOk=S0Vlb>AJg~0-|-v|F9xB2VOu@LSrQ&pIw_WksqD-E8w42h=KN{qO|x5
z65A6MBieZ?Atm}^sHR}y1bnP!ElZ0B0m(eC|4xx9Zi@AX#b8Y=LZsM~bV?2BNfWJg
ztnKbgD7(E7Mu|i>QSMJ{Z&oA?v4C&l7`)#!<DPgB{8X#LECdYz3*%H`f*9WviIIsa
zU`8<36ez-GD*)_l&Fw>4J((AFQ>auqBQ5){oatM3CWiYvoOlo#_)XR0>5oBNOY*Aq
zNJW$+D`wAN_it5~MeoBIDwr0XC^{!q@09Fj_7hNJm>S)KY3A6C3`w(6^84gAFmo`#
zMSe^3YP@8>lEo~X1e8-i>h!-qs^t(3VNjpGe4pSpg-ZzllW@;u3&&oGWNM)R-hpId
zShHLNppaEURL9v^c>Z?U^JnaJjRTu~UR+3pRK&I^=6)&n^mm1SsRch<=4H*<Pu(|U
zt3Pkug=-VvRrKv>^<mHWVHKAYB3sx@ihStBRh(Rm8}q^`=Gm2`6Z=mtR5g;WY(}Cr
zlq;cJ+m`1@OJIRn(9{bl5-&aG$6Sr|KR&fq>hDTYK2pmX<=HKYATApB`CE$Hum&EP
zGsT#Vc;Q6OAuQR>OZmyf*naqeSySUDr|E@|EU5KFifQNoFit3rSbWE%^D?cgWrF=$
zQfmaoKR8S8=}@OoOKO`~o!E7qLHQdil*oIbJS$-g$%`XudOlFU`JVx7eWS-YELbt4
zfs0)fXgw{$pidnVL_G~k!7&Eqv&Mrk?EwbYYP^Z1ON+Ts;P)35Vu>B^1{fh@m=)rp
zhaFhLitPaSAoqj3IW^=(f`k2_5riHPZbTTe0rWVrI68>Irb`Ov(#Q;T70^g7NCS0`
z-?`P5ktOAn2YKp}8yMAfL=^vM5@Fl}{CLbzVeg+3`6T#D@WVYPyZDS*a+nh13Qi-C
zf93c9VGVAu++_jnzeVt2Ps%uDhnPeFUzO0{i~yGWtxrr13I4b!)C^<``XUWjB|yc#
zAi#56D(J_!gYq|qJG>3*s{{~dfSiaTF=5$+Hw{@ND^LtpDJeBdV9|M!o#a^m1IEjC
z*dD0X6o#IM*EZHAEq(>7P~u}V!w6<chZ!qjJyM`Z)r6{JYGpGi?BpZQit9-PF4&kj
z;*%RbLU>Esx#mSKNvs)<oP^g>%SW$OKlV!`CPB0L%o1DbzYM+1g?$0?FuJDrgK374
zO?@vAgc?<T8hJ0$DN{$M7IBZ!sYIv_wT#p`jc+bp$|0YWU9NV((<oJgLxJ{wgobv1
zXj9q&A+Hu;TInDkRG^_(F;@DZ6N!L6g*qzL0UmxHNw5vw7sBM2Cr~vpd<4o=sFMM2
z);;xT;^9*$0ZLhVDyh<;f-fJZ6Dcm;REkt65M@mPguzJ=Rec;PRfy4ZToDZ-#i&Pt
z9GTjIH8m(ZicBKZC_{P^P(5O#qmw|37CAzsBQ<+S)F@SvLQxP95hhWCCQ(B5ixHp<
z)IgHx0@9&Hi4X}5GUcO__vnm!Khhbh6sXjVRv14<u1KUZMVQ{lJ0gWzvcAjDqW}y<
zp!615dGACJ1aV8IR$XdTY6o6Nr9x4HG~f}ZQ}!~>d>rZ#Sb#wfLR3-Mw9itPb|h4)
zQGmwmm?%;T0A+FrlnJ3uL2951AuzJ9S}=raWEv<^3wGWVomkXzsSpfWpjz6N3{1&z
zK&@0Bha0LyM}<<A$>9RrkPi830V!ePp_nI<Q9iDTNI;bcSsF@o&a8EF!eq&KLwrv<
zQv?pj@P*o5f=b$?qeH1ynTkZX><bLop&MQeyciG<qM#TJT~L^UB%n${pCow#q-cB%
zDWM7&4Cr_qfWm=Rg*pH&YD7U6GKnmW8p{erB&=2g7!C#q5$N|ovVk<v+#d@1l!nu(
zLPZ}$W34hX(hN#9P_0w;s8WmQ^RR3sDk2b|ajH);nNBf66gi+@Hw_z53;>W>dT*(3
zpm&T$HGv_r<buG4%45!o0EuvjqvGt(nE+WO#-l(38W_5~!y!{hg$-I2DhkCC2j$6}
zfL$Q~<90#?D!@!cmRAfS2;L)}L9TELlvx-TSQj8V=%$kg8zc*sN+b{|bY<?Z4>ge>
zP?`iy3UrQ7)Y;GgpdlhK)+_?Was<rCmV|a@%{0oXKawZ`gCHfr%>o&YF1hUKpf$IX
zf#n{&ZJl0<v|mnQ8zC)uDkT62ikOlRi9R8kg!4uv2BnAs6sY1!VE}mfR|unrilg!#
ziNFv5L5CD<65Sx6ZPlVuQf)E-oMf_K!2*j>F@>D|4I0xB1BJ>o0FzOOASpN|%Hx6_
zt*RAnb$@)|T@(q$1F<9;y6FUX)C&^7L;!;+0w2R93QT^1rt$$qpvuOvcmnktvMS_Q
z)oNb`$$$u<$E4sl7094x)Y-w$NymySdwj6dhbJ_BI~e;<<Y@1P55tSu;l=jy+i{Bu
zj=<fzWF@AD6V9yM)IhgmvQZ{Sxj9t)@Y&HMPfm75(!faor=60FkQNPlB{UxF3n^)E
z*AQqTL_!(aQ9=P2YWi^a1QKUYh6jU*xHED`C8i8dTy_?S;}~Fx4NvHd^vPHWX@jSS
z6c#;c<{aR$G2kYNoe~bb!U2g>lF~PzDnq!lR{-E_yg4}ufzn@=0bclf^yHkR!6Uaw
z`O%|fWFt-krYv9%V{vi^2_=Dw3=lT<#K`d`<PBX83w5S}Az=foo5dqe3#fVH;9thd
z?PC%OF&QT%DtMSo0V%yIJ8Q1=Im1I6ymWX}q;YAm^Fpq{IFk^NztV>Z8U<DNVrYN_
z4mo3IEO$tM49Nj>d^$Ao*Y|*OS|=7z5qhu^3#nsmYBG!f>&QQX?}=S#OLWhy>-0p9
zeeE`NHo-ROv~b@(Q`>Uey59NRAAN89h1+LdJAXSrw~v>GPrY}3*>7F{UGjZ<J3js0
z?|$x&-#53-o{zk@W3N4}o0fgIJ3f2e?|rYoU7x!IY}j>-pcQf!<L&dT<sA#G6&(wz
zWL>i*?M2P!JLkIRxdV(i0?-04!Dp8yvs1-2<;(L7DZ(27dXc-xV2&2M&asC2ybJE9
zN)7nGmS_9irIkdLH0n$43W?vd`*XpyGzpCN8Ahckk?x97kC`4p0<^}|pd0&K-{Gtt
zk1-(w6Z*1c2`)Nk#>e*4LH>2j5l(BAVPt-&_o%lt6k^MlPHRpKtT9rB4bu?F!oh86
zELF{bVh}L0TUbixDGv%%p?WjqUC1)MnCYUmQo0Rs6{N)`)Z$Vhqn*q)A>DXPUAc4Z
z$u5)i&o^?M{@eao=G&0@*`&2}?#IX{Prf3Y*XdSRsY0dygRysvt}OccH7lyvuGqG1
zCnruSwktMI%!+MW72CFL+ji%6-*@!=_vrU_f7<KA9{Y^3##|rPne+EN%>F+jx-RRb
zrMu!u$blwz>b=54bOS%GRRfm`3TNQ4=UMq9gqFMgnEF_Caz^8a9Tpt0$I|`<#*4#|
zWc^klOb+{935CgNH2TlBd9BhlB>Mo++~fSKuf~8+Rf*7MNF5di%}p9E-F%_fe<2Hs
zLRcf0$e`!K)6XDfGlp{QIoi$?kkaeS@-s3Mx9^sG^&78HixmdCnHF{6Xony`mFMlG
z{pR9VL*#eS3ug4Yf<2IeDn=$A^kxL-U6gA;M6U-8?5`T2rnkGDsv$$T=kN(S9I7D?
zpjE%`JX<r~02{1VxAhP%q+`JP1f!+B_ITQ>kGaJ&pkp@9qc(lj^Y)zFrO~+0&jNFC
zjI-06b2~<H*zVl2HUD@gJBa1>8&}tv-z$;L28YpWNqdOF6JhADKnB(+%BrPb{8PXi
zIWQr$X_F^+^L(eLC9G}hU8DI}t!${0jz`xu<5-2TRiH5%;_VM4!OHz{2mOhf|5IPJ
zL?u^((yXmvLIdQ(W)BTmCQ24T1Acp#aq(NHKyi|rvAZh0+l_{bhPc!-`}6nsR9`+z
z>fR%Id*kZp^?Tg0Vk_ISmDbr@x@mG(8<*+qy1NukQ++0;{*Au-3R{TYY_Au|%A7d?
zgFN=XWN9#i`sNHnP*y|1X3)e|%~`x-mqns%^~GY9hl`a$ou&9>8=HoevsaLom~x7Z
zSUbvwJ2)R;5N0u>H^zg-cJXTC*;B~8CUPlKcVw2N6G`)eP8k<EQ<@p5aN&HHpcMr$
zx1CThmcg$MBu#?3>_;YcE_y7opYkghQeJT`Q>Y9W7zs>JmY@^aZiA7(=8U39PDx1#
z6{z8Xp1v9?+^{VUx04XOblQ#UjbwoCtoL~spK1uDr*tNy-lfLH&Tkam_x8`#$ENVL
zr-*oNX@>DkTmC-t(SNTp%o1KM$?4Ty85v&GFplnCeXbtD3qi14cvBe`Ml8-|c6wla
z(H7qsxiV`<ZfjhYmZ4wtLwpx*kW(>?ZE$b&BtspcyxuE{06mtwp48Ukr2MO@#0-xv
zQ>(!%A;hgfSr~#P10UbJwNPEE8;fGwq%`h({Iwe3ft!7VPhFu7&qcI!-ISNM^TB+T
z$ejoUli?BuJXh-NU`4BWiix%D%XYyxp)fK(HTep>-wnQ~vi3u1WXrB@tYZe2gqX)G
zC4M5c-DZA%XXb=Ugm%&mV4_Q3-N9lu$9(gWQ@;6~is2_7g%=v0#y>Tw`AAY7W3YYS
z!$bXEziP68Y5Z9hh@<g>VqiYrxL*=8%wQN1Lp1g^*xA#^kT%T~#fm_e^u>@RuL~y1
z{gil~tC;ht{bZ<{iMp3DFk{C;IBL|=P@vKNUF$6q=y@eqw*=tqDyVqX-w`^DxTWl>
zG<nbC5Dq_?jL#*pP-Hqe*Z}Z5uH6>aZy$G3rTz^0I*#?*U<Stde2kS_$9J5;wE57l
zmz=j8=zFOuH1?!o&m}Jgc~+$Ar(-35c;?KF=<&YZhi(xb;ZESCWJ>+jz}<G7rW?4D
z9#Az)XE%8}-8y^~pmg!}Tr2#?f6~7*g?KtH-S+Im^N?;F(4x^r(efnGSRwtcG)=a9
zo!9}|bB5i>h9PbhbeVj1)a-?mp!VoxaU;^sJ9hsx;Z>|6-8yhgh588Zo~WtlLGxzW
zQdXzFm8{rk*2myBLn|I>V3L{^IcJ)`BS;c3;xzZO2uH^Nz*uxloLH1xmBhllu}(9G
zKbys1KJ$5VHqS%^I19bBTM0%$8I0p3eryv)l?CsO1<AM8M-uu6x(3r1x_ypRlcQtj
z=3>{j-JSE##X#r+Y%Q!;_&1k-cX!M-u0cK=76a;r3=^mNr%c4OLi7X#O%%G4**h;7
zduq-;47#*`x0Wvs7{$*|*bNR?{8i-Ki%`Y{5C{)!#>gK>)E?L|cMQ<x@!NVa3aE!M
z_CJGeBLQUpuJTgV0EPNtb#Vb99ZIt4u1EfkP44V{w;c$y);d6vN3XMshL1>^qjA1T
zkDQWM)1%f+O0Q>~Jg~mK)`M8=79QiiO~lk1V+Z%+dJ~dK`%+K!>Jc|4le1ggaR)`=
z^gAH$Fl!$E9W;h36hVz?@K(Rk0%9bIcBczI?m%W1CsRY@Ne6t0Ts9&UpUOhh$J)V6
zO}0yvu5As)e)!UHg>4Ii*ZkEWic@+`3q@<t{n^#0{ug*YvUj=K1i|*<nTes}r}axq
z-9@C=5`Ts!qdTXIli1Z!@yV_{ThhrpYPFeqr-r$}Md%I)k-VTBAllXat#tZv`4I8p
zjZ}lj@=!}s+)V&`W`!-g;j87K9E`+BT)=FCr5`lp&%n^9<@rnVkjKy+j_Zm5yf-;_
zvaS3BFDtvbQ-5k1ou{cOV>#7(Y(m9Sz*ADi_k=I=)l@}q?J`^lqwQx@0*5!`x|?h1
z8$ku^WG_;eMjysuplPNwtVhkwGN9;)p{6nmI2yTi&*;&$uzbmfIiLuk+mUhlDhsS9
zmcGg1h-ECe_maNME1aUsc3OQu)wM6zvi0O1aaF;9YmI#Rb9Z6mb@Aa`%`QHp)nAyw
zkqoH8d3|5L5a_6CIv1R}xU_937-&1Tja8=BxJtgN=)mlG>tir?Q=dV*F{znID*tG*
ziM!=rip1Hr^L1BZYkE~Iy3s{2E43X^hAGdfepNt>p&x^f6ohvZTKu8xC!)(J{XxH#
z-EErt$I_B{q1<8Bswi}KUl43_*nwD+HH~$Ki^i_6(RlUGMhv^V1J`h7w=)^n_vMam
za3$!Jw?!$BKDZ?lip)QZP)%PF2^qn`lMog@0E+YdDpTmI{J!&_c<avK!gHyQ$n8g_
z%|)yC(RRjV7L^r1*HPBe`kOy+%K~jR4{meUe=K|o=XrUbG^4yUc`4%d5p^Jd+kR$I
z7`wnD^Ln0~NU<IT*?`aY<?LMrdv~`DX{1dcAgQTcw-gWj(<?Da6+h>_l&MP~r+06V
z>ZEx|mMyURd`1J<x(mB|($$I07-Z>^G4eSTaAzjM`5+HS`LbUg&}cy1FoX95Cfy9W
z(RBGXg|WCB@GdsUL`62)PKIl^PGKiG>)adcJEYUQkRQNG@XO%bCo(Uw4Y;A1%JuWD
zd2F!Q4Eec~!Y(!Z>NiEtENPuF=&%0;;#^lg5Il8N#;yeLaFY3W?9u<?UzbhaR0oNq
zrKoVi9`eoc!|ZU{+#e~#)^5z}+ghn2tbmteCF{xZ_i<0BOqV-6tQ`?u2~^@4TR8a0
z^KhGLT?)Qgxk{n}iVtp(vGtPq1K0V+DkGLS=bb8bTginM>NZ1n7|4}|^Sa4ekupwG
zEM3I*w*=@G>1aU2QbrYpBo}C)Zoo@yJRpe9x46iH9r|N_e;uAMPB%PM)V#e-8?Nbj
z)?3KUEW{6Npi<$yFMxSqrm(1GuJgIgvVYw*Mhs#a+sYK<%lBeaIaVc#ZUDAws*bdi
zwW<=r7kGYl;JdzBK#tz6wNZSFFjJ9$Z)97anzv=8t^~5jz+9)RkCSS6F!33Dxf`pC
z+~@nFqqcy<XRUUY*2?9R6jq>NXQ{(rW7@TQ%LRf<lUK$D#jL?2C+}@ztmAeFYDE>8
zM&>H@L=>-@(<}REg1u38ss8Sm%$g>z)Gv;AeaW@Xh_kG7TuThTXI{ON&kW8+qnKuS
zTWMHjp0T>FwF#fKo287bh6_-9FDzC2JkRKmJM_82@;=nbFAeRd2qUS+s|YdG&Yobg
z$rTBn25LJRpoL3H%btqtMF*mMh)rjmaS*q$)@%<*R--Q11o!PA;xRg=QBz%`i?`ur
zY|zY>bi{@X<}xZ5V!rhoH-X0Xjt}>t;+h1{>7G2}lpX@D-1TjQ?KjrcJ{ohZYAO{-
zE8JN=u4Qe0=au8BqxzzIHBX20>RMKTO}R{3Za`c9RyZc3^^#oUHyf#E>m<Oud1pRZ
z^-`5@EjAChSTvDcby@n@JbV}mO#fN<E5q!qxFW05=Ojn9VSxoUvsxB!g7O{;O8fgm
zmwcUaIu8-CL+cFu7KvU?myVYcu4pywvwx0}M`GV<hsMk@jbD7~c$eFz4*HYWk_CR!
zhTh9N4hxL_eh;GLpe7oHuWcyocDU8Jox9l5gGh*ckx;TH6p8^kd2<D=-SPK@7#06b
zh>QZjh<r33Cf>g8^660meAKuo7+mD|uYwrbER01<TVZ~&C7X05Xi@yM1$Gn`zx5s`
z`MgAX6u#F^Fpj5AZt#0`xtCkzzJ&Z?Nbi7K;~290h`okI<59bBk&ZB&IX0MkYe=fn
z>dt(ktiD>oQGJgr8vi(}s`%5^*l)a1n2J60%7w%Gjmcz;IWoby)=#t_EnQu%Oif07
zo`X?8=-|@*9$=G?6!BhvOgG3|U{)N?F<B5UcR9){>gaOZ7~U1m-YwMLg2ZSm#};cV
zcJ;V90j%jR+Jy0WVI)%8u8RLTc<gvT*BDPgR{v>>t37ioeFVS9LZC(-?c}3_8e{M3
z5aMDL;DNus`eL=+qN!O7kFz8PkK^LvLv?4Z6iszWWc?U2CffJ1cBD~he~ath?!!}Q
z*xOc-T<q?=R~)_BGNiLXJ~m@E25p=DkG-z1tx<r@xNp9JK5I<<kQcrAq3fV8Gn?(u
zC4JoSa)bL0;SV7CkDRA_QGshW#1v1sZ26_VSi@C~*7skaV|7)RHPssnw_ch}kUMN@
z(Y!4@cufNcJL?;5dKwPOFF6m9t<7AJdgqQ(UEGGfbE5P$UJLy=@}3OZPcN&l8Ec+q
ziSRxyHyTZl+FJ*3*(PHlhe?|R>3oz{M%}|QCwH&&=r7Oh9%}!#%upPaRLpNTwek&V
z5K~BTdAnH21^M<e&p!y;DdJ;SYzNmTM}$a#dIH}{4hX3SmZht|<w=wLo_D(`H?6BL
zaPyNAatU3*yDR(7VevKrc!@TfqiB2iW|B-;ZT31Jxs+#mH<W8)3L5c7J`F6Atq*Q5
z28-BJqxyN68tdEe^ZTd$r#9&8z_TpGP%Wee!r#uAWE!FhYWjrKj@}QWxY3eCardLz
z_ggfMKtDaX1iHZSz57}X(G{n>Kj8qWPu9FY;K-$95`~=LALV1TvDzh|aZ)hgqlUS{
z2ie8+gn3R-C8Boag6rrq-P=PKJMb^G_svmW?OJf+)Dr<_HJ3MS0+*}vLBB80!VBwc
zi!gZJvfC;qA4-_hEgWSyodNgbxn>a)6j$hGFDyJ=Th+YEjJs!-!y!dO-1E*FEzgnr
zW&b8gj87_LZ-z%ih6V}?bl9`G_bVJZk~#45hi(AXUva?Vy4Wt;g%1E-a@N+lCM)0j
zBgxFnG9W;jcZ)HYKD`2;DfhD(lWo#=>-QO+jM}dhb-uB;lp}%sRfbuHu5T)(DRJyW
z8sFVz=qq3RW`9G+XG`CS4iST~_2Q=1(Z~6H14q)?;q!P}ruoXqd4v6dSks4JRFfY5
zAJ^I^f4OzLIgz3_gh~xh+r7l{N269pk6;LdYZv^^+|9QSXH#(c)DEV6W_fbGPSp;9
z(QZ5JfvI9gcTy6jp+EB0yK7qU!EM7AAr481?U)A?y6pn-$vQP#s>?oV1Cd)>?Z68K
zmZi5vTN$%VpDZfltrKfjTPL$V;y#vO9GH!B7g+Fgy-)iRGVdq&M+2Gcqon~5d9x3V
zIkQ8Pb3?iHs=pj{Noh_IO<BsPF2C;hnsY5JNQ+BUhjZ&9Fz9HhZl19O`m7g<>9Y!L
zG25%hwpOhdFDQZnGP3y*GL_GlFV+S$r`mhp&iH-spZY8AYYO^Wr}|kudi!xWU|<84
zxieF@NT^z>SU2)bW8`u?M_?OIf`{d40JJ0PS}aA>-h$BuZj)KZ`Kn-^=}Ch}Kq}p4
zS9KwwuY6wgzC6+c4mB=szVExGT%kf}E%w(%@522?cd!J>f(fMl?F?rPbfihu*E)pV
z3?s9V2Fh#sW1v}|I5%uT;{cgwl6;EC#<rN+RNO^<K1qkCSBq%qePc?U2U6*RPobPQ
z4@8waMWps!C;l^k-tMpJ*+qfK^LfJ{UUe#kee}Jp1yc_$h%vw?-Pc$}{85tl)7FQ%
z;zZ3`<+~2U%1}j09FO#|K&hc1W^2!-?_Q0!`t=<BJ-0>*h4jPnCG$+rk=1WQg=Cf$
z2{j+DjL!Ot@)XZ#ZbxEyd&fHFF@Du`z$Q{CA2WWFg-RC+F%>__g7djtH1k$vE`@8e
z$DI*43wU*MhAO7sYrC^T@woj!ZQ|&JE@bt^+K0Fz>Dzk8^v3PrfV)h`2CN8sOGbv)
z>f1=VqD-(Z4pP(k9N}3?x&7Qm<Q;y(hfDPXteEzLe;!^&0G(z%9oG<$0Z`*re|&KO
z;+dt1;$1ezEjoBfowt?7KEdt%a14=PP0&ifQE~EhZQcB|eFH7VLI8kse6Q;)$~XlB
z$ZK*e567qi8X%R~huJ7Tm+1S`eI|>J;!^|jJ7v<?co_<Q?6#tVC84)RjvLnahiz}`
ztJzf(@G>LgI7|J$a@}@b(lg4s!S`yX%JTraj(~fU?a!nNr{`ieHuRK^_oX|470UpU
zl2sa=tePeV&mO{)2FvxV_wcu<s6Ep^(;l36D!Y4G5Ud?AZ8xX!j7L;ws;^2Z`%Vk;
zwB{lR?(`O*FzF=e(|%bdZ!U@18$9=oZQ0l)(VjN3dx}r#T1DbxbK!ketUA~q^X~Df
zqP9oTN4f1LuUS($E6fkhdA6zUTWhbp<TYe;{C-e;@l)zrV15zZ(it<vt5w@tNwnv$
z`zq!pDV}Bn5s5y}Vsc$OfMEDz*_*$jMKML+bUfX}NZ$38r}xnjAB?}{WcU)fG9`h(
z#{RFv$t7ZwMS$}=%sTG5Z+l%Ne_Yi}#lOjS<(B1bC)>DdXffPS0w3WA@=1Ud+e-ZZ
zj-O&>`7c(~|CR^E%*_6udJdf!Im>=VxS%KgprpBh?ePR*Od_NrwAy1tInN(MYRtjn
z?BR987c^}KFzCyKT~A?VCo)g-vGO@vT+8^Vf3tA+P}CZszyMkErJzUFt8ETzE24!E
zmrZ0l>oZs?Isu<Z_EPOVxy}aNJcV1!M4oBe*Ul$}S4&u3_TthCr9~hi`EVXgHw)uX
zt@=ZgVV83*XopibEn<O=C-Pkef9#q?jbh>DN=~KA{9ZN66eTaSJC*y)tAp#_Zgkg=
zLK^8VKlmJ9Jew3;Op<s_Aju@7wxMmU!ih|&vk8!{Y{mbZ-TEJjoBwYk3_BOo{|(P#
zVrAlF{Ljr>;DL2Q9co}{i&OjD?TW<H5BkUSyYan;z3~O=eP=HY3$6z++(%<!ZB1*D
zm>5`DFhR600dKJ$>=VZhEp<mkfC3_A#c7c~D|~Y1Y2mrr8K1=ZF%#d;KAC%TFqho_
z*v3*vGotVC>Hv7tbxq0SVR5}&{~8~K3`7=Qxn|B?werY(aIV%ak$`&Bzt@x(gt_o(
zp+_a}0ySE4e-!OM%8=&^QdmR|9Ip(>&Fy~LvWNhCN7z2cza9D+vIVSx$Zdy((r|e(
z9(h{~sBQwSY|3GO(I;dO=zun-^ZP{6BV=B^PoYA5WgzMAI92D1t1EgngPL&dSzhsF
z{k1DLN7{`8q6asOe6sE8vnyKS4smZ4pd`ruHhk8GOkGFpq-rV&FJZbGgLw!G<s%s{
zvh=P`HC}8h5xNx>T48#rYjr%9y~by|(56-kmo*f<$sxCz-NmmOH0>n+Y8%LXY^vmS
zD@Zdh_e7XrkCdBAQ2a&CWW;OawEuMcvtQDI5|Rtq9JI@1b;2A9_J)(0r2GVZj;32K
zc7~XN!L+wOF^jGvFH{?IAVOZV?AoXVP||nP5vGAETyHe<w#a7gs7c1{B<Aong?~mc
zJp-KA?LGRk_x#Y~eOFE%qgej5Fgd)Zq!Hw`u%l9em4=sg(!h=DJQ=NVT2bbCvU{r7
z{Oroqy>0o3r+rPwM|B{I%dE&Dnj09vY|_5hou}vLVhNZQ)2ijTLR8osrb>HSE!1>i
ztNx=qqoAh_JF=+Q;H7ae8-7dnIKXZ{(+i=Vm^jHmMNdsTJT*3vnw*)K8k=Q`PHT!f
zWw3u-?+PD!6Ykes+S_Sw#CEbqh83gq^XD!xob$wBSOgfFTt?&x=y;C|qYm6$Vs}5+
zE_Hp`Dv`_Tz;l=D@&L5g#v;G()yco7h#M&w+uVPp{w}pSM&IK;HFf<<M1wcJ%h*?|
zdpKvf$3HxVm}l26E*v}>!0=?IelUXNxFz#B!MRrUpl!EuYem}+r$J~BaIEog@1>vP
z1qN~IZBn`K@oBwr^Njv!{Irz7ZSp+7<gBfZo+{6yEXlM%ZK@xFXpJmEvY!UIN!dH7
z2|(o<=2J*KY49x6@wV4JrSRNW8{k;x*~PKxR8YD|>6ZU<6;a$EuV3GBMY_sc_q1Hp
zfrs~D+|>Tq*+%8Tl!LkDmHU_Aj8;)}77wRQ>o39PYBIMK$<?P1q2|T$=As!`)kP+x
z81Y~uKQ#!_02x3(?k_S^YIki%{9m|r%E7twvy09e9LVn9g+})Ebf!GItt-wBhfU^=
z#hi^DQ#KLRbahWMc<OjGf<|kG6znbia&=~9ctZ{jsYTHyQ*(af6)J*&amCO)RH$Zl
zl}KobN4afc`xz2Y3hzfw_0G8V{Y3NeI+W?{lc5|%h<gskq&aCg1Ny0&2%{@vJMg!C
ztvU%(?|!AMJ9=V5`{cl}o_3I-^0M8rWK?<N)t>t9m0zp26)xvtu4^J(hV3{i!5**r
ziokMI6`ML_ns3??5r@;RXVYU%XXv`gQ0$n-0>RPG;qkFS*&PJtx}_8;T7rK8JY9ld
zEsQpmlJDus$_ZO1R*`#o(Wyx*yn*t?ZsW%E1ZOAZF@p#Rs&Iet&LQWVgeapTomU2`
zYW$ci3{9)o=nt2NqMTi$gSa8#V#!T)`4uo+@y?$N6fE2QEJ(7pHiwe!Kj3yppFb`4
zM@4mXx}|li78(>Yw$q|)D?$!kR=3SG?%=Gl3@4Bmc}LQ!>khx4<7sjgE5m8<6&h2&
zFs&B<nW9^1{x&j*3}fT9`giurT<`nZcUqnE2|0fy^zm~ZGnXInfpXp~7vJxdbUq}P
zAN)b61TuFMVFApUqws~7#5;jazU~luk#{m}==U9x75DGDD7JEqx;QpatMQ7R-vQe6
z=0NBNOob_-50Lpfg(<-g@_EdhEZ<k$`96iNA8bDt+G;upD+w#zy+E(*tx*OEkO!|&
z2d|I^RSnh|{vyKc)iQR<V08hot}qAR0?8H!)Mi?zJrWz{H4W)%F@E1wa4r6^Dq`EP
zY|yMAr!flxqs*Feb=>GUvv++rK|FPdxOwupK;`s4bGEPZ=8HOV&cD1kli8&y-(B}f
zn;^d)XZkDPYKARkOo2Se;<~9^)b#ODQgV7*Y^+w@M)8QE8JHgX<0=@nH}4A8xE@n{
z=;W9a8?QK@?AZ;m>?#QXj#khS3BdnsWM*dILM^(U)oG+w-`VAjX(exmeL^@TnEH*3
zR|J^DqgPF+IasYwq4r8B{Oorm$3@am7*Tm>J#{vQvAHs)PS3!5RT-(YZmd=Q9^FX<
z>ubpw?OL<mjprBW*p<aYL%iIx*{cFOE+2-!g3R&A-9*$Q5Bau%K(Yx&g4JVp81RRj
z#)=Q&Oc(EL_<h2Jw?#x%2-~E%f<0oJFLh@?YRX#R_Ci{`VLL%if5N)@^GswG)miyn
zn)>&^xb}J>3_^FT%{U%AKOgoVV>l6vXNn4tmHXZjHPdxP)8yiI1N-B(5&s(23QS}F
zJQwM{YMNn~0q%gd|BT*A{y`Dl7J1w2vIfg(mh+yVL}UW{XoPO{Tqk%3I^-BBsCw||
z7}CP&ns&ue$&_8UuaO2JpwMGiyr)S2od(c}^e`~vXr&TLOw86tupL;dK?Fh*{KTK!
zmZH3}TUghe=BCoyhm=h%;+W_=l*rAfJ4eE=*Ys_~=0}r>4IQ0<i77*UT!!KGoQXU(
z)wJ=uwU|EOzh~tBi!UUfYjlkEO22}dDN&vOB*b%<gVd5{54#CnNDv-uJK*Zek5G`{
zdA)QE?FIAvhWrW91XW-<fH=!SZ+nElt-I~h|AF&_a|!xHamm2DJNLZNo{o4IeJ6h>
za0vXfYR>(~qyIkbgpGxLsI=&o79t6U7BUAHZ8p$g2Vv)~H=vhe)=GhC_~1tidwwRN
zDjewxtM=wl$wHKnJ4grA0q!emEZFE@dT1)TW-!+sJcZXAXFD*cZAN@K$$KmxP=X!?
zU)nC;TWbDjV93|st)c_($zF7ORp=LwW?dT!j&bj>w(PfGPjGJg(3fPFs+Z0&H=s}S
z!zn#SH$m^ho$*)xwV7R61P8W9(YM7fckiUjbaVBq^@H_&PGG}6i%vcF<iF!s?hYLs
z^IOovr*K)fEcx|)pm;rIc`Zf?G)L<8wN`0eweTA={=LsKlcB+g^%_#L31?2zJO}ah
z&h<j<z@ODwoXsY%(rx%<1z%;`>Y{Wo_`3q5+j@3I3!i!2`sBXJZzxjd_No2?aytN|
z%RpUi=%iORk8F97jiNep3LxKY`i58VH3qkTU(wn%ix;K`1|R)-55o=EJLy+*%lho#
z{Rm&T09}6|$PWDWJ>DmOoqS2p**N4ivJIVReQ;CW({<aip8gS36K<whw%FSZKBpam
zM)rUPl9gGr*t748;%D;-<CaAyIs+JNQtH%=Yo53Y)RuUnIn#41b|>D*5TS$*$<CAT
z{hgiQvd&##w$a?w&C-sR<<C^J=lJJnD6V1(NAj7~rX3yiwHT{0x~7BG$6IqthLEDz
zmvu;*r?kmf0!{X*49ra?dC&v69KG=K5_rDDGFFWW3v71?vO;#xpUIh8%Y#j5$(7q@
z6T5M@;g&M!Wn0N%T3#!t+Iu%;)Ha}7Ck}-4Cb1R<V!14kX7p5gGo}{8h8iZu2F^Bs
zf)Q<8`^`2xe=Ym=(h(<=i0(7v2uDlHS~9cRpvCoe!;%V<ct%bsi3qJ@ZF?CVYo<Z5
z7lnv1nxx&L;8$S~Fa;IKt?Lnqwt)k=NE+(%h@h1T)Ap72x5{2b{CzMz`l02|1w=<j
z7HX!hRdT?J<+JnMXc6s;yT*Ij_&MTH!}eiR#W@6y8af8L?eFwd)eVIx0akR|l+W$H
zFIM;`-lvYR$LPg$>e&{pLo@lx@sb0ZhD1OZCkI8_-w4$(f)Ag)Dpgo!mUBAvmzRk2
zBokv=G7o{km<Ocge^`J}wR#Y1iMHwds`EsvU-n;7MTwQ~3pCO$zAjxW5zQ~Kiz#mu
z&4;KalWpuh@bhH4-b=TSZL?z@b5HaVJVy+_XO>%06TCi@+6y`Z*V4TC*2#1r9$xZS
z@~g=5Wv(_>$(*8F8yD~7C~DwUc_<>Z1Pdoeq+X*>(mrWy?DHDt;kcBq<WP90fe|){
z#dTE}urf4B^p)n?AipRG7X9_9XesHb55u6tYl7}!BO)TeBfOdP*-$^y)0ytOvBcmX
zRKEU!$2(7lSiJ4tdfd{}Ztp!gVTuB8kCq#n*8hzKa#a!n15O4Z3XNQWZWE)uc~)Gy
zZrgsv)$sfQ>Th;$VDH~F6V>YHoC=$d+ANWeNUiGypo(@CPtlT^eoIwV5<zRDhic!0
zh~CPt(+hab%mFcM9Q6V-*{&(?rFq_l9@B>K4vV|9$Eyx&v$x5ex-+%kr!I0GO15md
zabmgFM(H>%UiXU~XJ^zjdf1!KW)!?gH4<i%T2~?FrJ|}OKZ#u-EPtL=iX*m`jU~~!
z&ZlL#Q?j)Eu~3!M@$L)%d%HVWlt^b?PK%K-v);N&dr3pTm7J`8PI^;29aqz>A#<IU
zrrua@%BseorMu8**)Y&!W?Xzze9dMTTj6R#+riOh>PMoaleys*x8^sSG4G^MyxAf+
zF-Q#hY{b%U*)lL<&#0M8)%0TpGk-AScCg6Ql-DrQ6omt#pHrrXHb|_QOQ6edXkc0U
z&!Dh-XZM}Vox1>j#^;XJQ86$S@{D7PY{RGa=3u#Y!Q##mR7daKc`V=iZPETE@v732
zvIi$wt}Cpqa;~e_n`~~1W8TJR;iX`t=?iuav5Wnqx*0l{U|lawgVSlMk1aal@V2lV
zuy6?^#sQA9f1q5Z@JEkf%6*OQ(x&@(u3Qz#AMBPF3B*T`knZ7$h0tP}4{8P4c+DiJ
z|29ThEZhqrj2Yd|gh(T{!!UCx%mw8i0-Z_pfoaMKYQAXZVldPB*-h3Ak8X$^nlh4p
z7c&nQ^@&h`UqTBWib7<8LbkZT&anz(pIbTev+D1!Q{?A1_*S`KOo9ehV7=+-4}Pxj
zqip`jqv+kRQn2WZ&bz8Bd~T=EvtK+;V;@_C?sK-lw@)pE$d|0HJ)W(WJ@;mGya5J#
z<sw=Af^97*$BCGEci9#{pmW1ZOjWc4pYJ>iy4fs=OoDWF@T&HSTC?hf$eXOGWLvt9
zMp6ekQf60j+fqXCFh${mVtjnjT<JPSeUdQg;F;x^qxFlhO&y&&qwUKz>thDfof&V@
z0zsAw*mci5wu7PC@xjxx7BISZfM4<DLZJD5fzoS2Krfdg+rf+bM#h4V*+*+|TS$(3
zoT%r$2;r_|{Jj++UCC~oa_)VL`;SlyMjZmId3B*=NM%X)Eg2qwLjbmoi4$x=D{FCw
z_T78TYCqW)wWY~S6H)m$AyA{1UuK83`&LtL*5L2$EVXlr$O;6cbBcr<L_YT)=^m#1
zIR7K3Wq%CJj0FRbe18t-<#1|Pcuu~22D$kixP7|OnH^dmpkiR}N#N8Afg)$XwMH6X
zXFTBsw>KT(2rNTgQ+mfAErYprQD_H(YENc(bygL;5rb@q<-t1}<;=<|y`L^zLb>l$
zU-XZ9Lrj?zvKahg=-IoEeLC}gMBsq6!|%n%;mx!QevS1~@Q`+ezTKQ(fg{Ko@nY4u
zYQg@s>P|!bHgeDrII2KFgb1Z+n#MQM3B+p;6UoPNk~|c&Gfhp)6WkxpY=&wcYTQJb
z!U_usL}ZjNA55|DGqW^4)TfH=am^$7Kl>2uGmA<|rcr)%AWOkUAgkV&_{HcU4EKa$
zfmptVhw}c)O&AcO%K5>kA1fQ;SJBgiQ3XPDB95RKuWBs`L(LJ7up$`$QH%ByAM5BL
z4-KHGDNKMM&AvNlED{$}bg9^0OBt5q@B2$--W&@{l9Gm2LeyD7B~<pGj3gKzB#B^z
z5~#gCe4;e`XdwP}u&+A$y>LiAvIc5jjh!e0qiVbfvogp4{%k>v{LK#!G+L<lK7XMR
zk`PpGNL3jHY}kM@^2d4}(Oyf@1>D_#xQ^v<hh!pxAf)r8Q~z+rcL|Bz#j1<W{S2y6
z@RLZ8{RxA79jS0lH)6z}oO~}O@bYkP<~c(j#f|Og&EwY)sD1L-x-j>_Jjy7fgM1^&
z2BtP`oK=GTkjah<8=syNV<z!py+uL!n#p=4Bb%uxrFE-?c~@e0Yow?5qWxbVA|(<+
z<(<l}L0hocOTv+4EHP;d;rw9&@R2BRAD$_{(t5`W%6y943EF%6T}f->Irk~3r&Hl#
zWB*A&ho}-~Xpx^fmV<D}z8O#bE0IacOYwyfmokxtmK5oB^#{=a)na)(ZuEh|WJGoo
z>4xV;Hbj<tC>NQ3<xa!Br%W3{%)$hJutXUEW4Ir~uZ6$Cq7vl&3nem;w>YQLB>KU#
zAA<J-Cl4$S+7MfT>Q}d7s7LnBZ@#kL_mr7yP}B-oC3wqQIYpHGfEmJ#q!h9N<#+(h
ztJ+A0ffULf3Kl%ECB_ty5yu8pELSbsa2e<&;jwI9O90a24}kzhft7U{CN<ynP}y31
zla2Bi^gxa3yb<muV`AK}m#}|2+pV6Ya<L>#<W_{F?!^7VmnB;a5-CK+(-Z%)Dpev2
zuuoTc!c3teqz-?W-lL2dNUDK3h${0E*Wt~K$|>q+EQ>r01)K8+qH*@S<c|vpS4dgv
zr}Lsc$Y_=~7d9mpy;~WO<h2c^t+s+|Hbf<%(CPmPYE1>lXD>h!@@3jhauA#i7Q#r8
zIzgE9PC`;eO+WXoAfEHWGmr>Cg(`6Zi~a@gA0t{Qg|cQul=vz(ju{rHnK>C78=L0K
zqyxru`qx}h!CTTriH1i4ZZlJgddHk{p8|%AlFhK|SI{365@_TUr4-=w9GD?TuY<-g
z!$1nP#V6=xH$}jF1ri<z8Hxb~9`b0l+dg3~1gb$EG9DJ1MQ>n|KG}*NOApS2Xm_|>
z0X1o9iKZc#!aS6yA45<bGF5D2yVT_ZVFpR!D6=9$bC?v$aeui$uvR#L1&tHwhMMHZ
z%Fl5n?n?GDKWPXTKd@jdWs)HZ(ybi5#P+%d3hYu{*=3bTal(+^Z>R$)C;tjTTBTyM
z3AhnAH&dwalx+4cd6ZIszoghN7((b5MTT%e98q02t7{*aFgw_apjq%~i~>T$zvYy0
z&PaCOop|+-V=aGVh#W#M#Rzk}={u1&_`%>9#KYct3K1HxM|?L=5J#Tz5ym>yYk%L9
z1ucI*$<mrc5-0SYd!=82mNBzPu{Z<U8}N590~=6h?}YKPp0dQf<<X-DOG8V_znJe;
zbLeNi#Z*ExbLNXGj7XeS%4ib+<vkDUxMd0PMAC|R9)$16oH>r~RA>-7)GBkttKf{e
zsNx7^T#=UUqE|RxjA!Of)llORPO3lZ<w=PX0=`*MnN2I6qWXUlCUJOCL+uKV-<jxs
zmG^NsC7-6B>*Z@PQz7rf4+BUE@^ER65BvWT`H45si3n7j5vd+Mps{#C$hWNv;8Lx}
zB`I{xlM_jsATIdJo<y`_f>UDLEK%w+!)sq^1WrLU91|Wa{zHu?6Wub<x%*p9DnHKs
zC%d3hMS5*JdItW)L)955Whha)!8$4hXBnu;y-*&xv9F;UQ@|%m!UFy~&{LeRY>049
zV9oE@KSbKGCEKd?@^^Y!kdUQ4@`IogvL}{i<g`6AGn|#-wpLk|G92w7SY5986aG(H
z47#Ym#P)e=(zM6pW!+zUee?9O;1FS_3I!;^&gIy3M6H`KbGdIHltEBgkfbi8Ubcaj
zv)RW}WEX^y*nLay^R}!TBpr;qASZE2`Y19^a@4X;%+hR^Id9bSc_YnFKcYa_rxr5}
zo{&cgVn^hNiei7I$@!yA$vB(r8xNs7(E1Gn6gS??WO#+Cp3PkpoI_V=5*rK7BJA0d
zuWD12N)CC^=JK^DWa|<b#J<u1E1~3xr<@B%-rQ(_eLN~6)EhToFRZB*b3!-t+&ESd
zliBadO0CUY85~~@EjdHq=VG_8iNnW~AB9xFzeQ-LU?Q!Z3`@SUQ%YN8t1{AOOY)c)
zVzeCKl(wH}lf<k~v2)gxWRGUb@ug&F-S-O7kF$>9?$zSzSogo_@0I1SX0f=$^Bzr^
z^na6ER2rWn`>Z>y4{s5jy6=d78k#}!q%XJ7o>628MMg?I)NQ(I44(RFn5gjs4*JTi
zh@I8uNK)%LKuoxLgc2-=VirS_S{zTcQxjgA(tf*I$o@KNE|5r57jUmGIGQ%8ornq?
z-f~MebWwF~4QS1lqIyCIFp91s$b$t6JJ^ouFu2bmX<@r|6fAbIo<cq-2U;x3@BunS
zn+9QaTbMqQ#A(+G%{KTFFoO<TmTB8iuHq@#NP^cB^aKXvBB3;%(syJo)r=wc*yG1n
zc~JR{%<btXf}CN=U)tUe8AY$eLAZ+)tC7tHGIwbDzeqpScBbh7m*gT;Pa-a`xM^fs
zN{(?pBI#q0jWbXYv+pIjYN9rp9rbKBFH5H=*gi{836?uPE?f<#G9?q<jsJ$#lxkB8
zj{XsG<IH^YrpM8lq~Wop*)H^_wU|N9d>yv+Ut5v@T#jAQxek2rgi7_`0hwTIVxWi<
z0zw;c!O4>Y11|rxLl5;x^!m-6M1R;otO7!@l`N0xydF<~ec(FJdgrw+#nYb2hM5%m
z*h((6IRbQtsZjG?7OxcoV0JpQNBb|yNgJ0h{#r<<CJMxD;ivfk3OC1u=Wz_{+L_(I
zP#)67NMoT%Ka%L@a9Z-VR^zsuf(zeOh*JlD>_t>UQFs|Y4(kj5l*qH4PLts|=joA=
z-wnl&IHysST34A5d{8FS$7jpShUla@{zGb?F56-4el*Xg(bp+K4FbfD%=yug=~gYc
zF}#p1+az^5!h<#@C|=ci4=$TX$W~-}w~(|8CW=B1`{vI?tSmCPMA7#0^W=nHM{#!F
zo$F1__BRC^K-B}x<VoSt+U)mS&R#x+^|6t6!bcMFJY9T&jc90|Rq8Y1&Qj(uCEKxO
z!n?H?;6!RZTN!9=@Z<@$=gLS>Ktt+L=7#)|7;FXv&(M(iWLU{STwIgBRTruj;4J7X
zVhq3o@1)0tjd>LijN*g+ZyIcD|J7joKW#W{|CbGih3Q*?!}cw?`A^La`+vRrzinM|
zuyXuo_bo_GCOVxFsq>D8(+08pIZP;=7=&F3!MnslUKLTpu2B+RD3EV|YbndX-e2<<
zRZXY6=V4u@T+7m172e)N@{SV0Iac;+754eVE&DvXPffKoraeA~H6H-V=j^T~ntk%c
zt}W`Z{R)t5-WJKBmwC&L(DY1YOV98qQvbrs>SEru^nBv!Zufk>_|$c=;$kG5w?S`n
zJ_7OTb}oQ7#lGpgcGqeD>e9}~ldXSqvAC83QuJHa+v2=IV9|xsrJ8*e<!NPLZPeQ(
z_987vH)m<A^wSx)JB`Om7;6QD*;f=K6h-uxLU<B%P_r`lC%!EpTbfY@w*K%q!k#6#
z7bP%NkVuo7ePBS+Ns*Eb4VLa|uFk~6GDq4{`<!4h<LKDLMIbXt$aY;=ag174hx<au
zre%17GGU5k8P4dJLKM^!>2V-9@d@%#vxvsVl58@YBLq>iuoVCwrw3!fE-@$57dOb3
z;Es%&)Z_%&S<JlvDu)*&0bB6byD@aqUpvvC-$lhHlt4Vn1SZau5`BPA)()B=+)0Y=
zE8QX;+u!{YCBMCaIYx{LE5ndK70@zIW}{%xhA!{l%j;ymLO3wDqGF5`5K@x0mdjZ~
z3$T}^aJ%+hq$W}T88=KIEKG=@q&M?S&Ebm?A5nN34*<?r9$^h;>ryc7>nOblRmKcA
z%@ng}TvIO2VY8$w!JJV4A~j^w@tdb_ex)(PEQQI+O?{VF2oNeiaRbboMh`i<hoD1a
z#CBIi)I!CBabs!*AuA*p3-ziqB!C9*V$`MBg4Ef=!iT@-!g^^GLubVOG799rE}|{<
z!5WorVr7<(FmBKq(=Z1SC90yb3Q+;e-N-ABP!YKg{BhRco31RwY$21ukOfUgWr_V7
z%I2T|Q{jk-tc3$^Vi&yOKLv5u6f8mpLorx#LO0`fMeNYwa~ujp|JdUbXn9y;Y+l09
zb#pWQ09$i$`9z)8^SC<b0{)O1Wi0w{ju^-PzhlGB#Q487vDvw}*qHzG9G!bZek-6J
zzgnut3*tbjt|^rzePtyfnHfprrNacFgiym}hrxxBh4QRK@?;!ADP1a>BU%SOZcv=y
zs~~V9K7X98x~L1;sUt(^jO|L_zHPo81{tcjd{sSfWyX6=aXqa&PF*~8Lf(xak>qhQ
z26>qb6fQjRC1{Gx`eusqjg5v+QM-4z&cnocM3dFB%2Sr%^OQR1z)H3F5PucM7a1Q`
z*sp&Gh@NAJ-YjIRH!Zu)rJ##qKKg$xzec3}sm<_h=eZ5*z09a{yL3mik&B{e{qs}t
ze6a<VA(f>E|BiTuuNu`+l#PA<rAxc^NTdHO!mSU-AQZ?w7w*J13x+dg)#}zSU!@mx
zzZI7BsNv@0ts`)D`OxnJ^fjMHKU&afcl(F-1bxd8+;!0&T-5q^Ykxw}(<t^EsP3v8
zFg{2gN1FcuEl<Y}v`{{xwiN#Q>G(B($x55Wa`TcXYPCbak@CF!JBrSt{^Q|7gDGoD
z5|#w8_USNYPOmrddfZ*?9x_Pbli`ImViz||m{9lk)UK|zz#{t)Z!P1wCe#VkV#-mb
zYsegbkT2di;ct-WR4+%qE_6$+L#U1nbx>(jSqr5@8_^0TYlyQXQ(WF?nPDuM34;cA
zgoS>w#!Da-JB~GlM`iNB#9EA3^HBi1q3aFr3$ioy71f9(6(4!pYl5G$R7)cLOKYMe
zJjZ#Gs*{213(@OW^!`(c((nSSyoT)EewR{yeGK_Xwo)#0c6(fUQA(#0H@c>eka9xy
zkDzNk={?aEDONFE*&}I0rSMwcK`Mj!xj2!J{U%Cik7}0r24EQA{0fLe#lpkWoPcO#
z0~EVUB(+TV5{w)LFL*N2nODreZi9LZDN+2uW22Oh*L$J5bqsL7i)~7sR9)X!t14z1
z#X2=vk^Ml6L`f8t=8gY&GaEiX1Hwv$oX`>h<ya2FSe0KxO=}TLgkSx?b=fNYSp{K5
z3~S=L2hpsGS)c`dU2%h<wKV2=PB@u#4~1|o{)5AO7BLPiCel|kf>qh2ogXozk-1wq
znnTiH8>nltBfVV=A26@(6a!d8SJyy-k&qHWO%c6!p0neqgqsZk^$fL@m4pXA_5%s2
z+eYBWc<j^6^i>^Qv50gFQ})(<J60Zx{H;unC)bI<6MwuvMQVmH&ZOwas9me9M~3$8
zmx2r9#S6JW4m#(T)(6H+;%r+2{Z%0m@kMdX);?stJ+`d;@uWQcprbdF4#+&@9Ep6B
zt$?UTy=UA3l8(WJyn2Ss`5f68zNS-aXYrcur_X&u?VN>a6H^nGi;2wB3lWTBs4!aI
zmv$|$piI}2n_k?f_uyMD<)8B>9s~h2Dr+aU<gy@o^pk4971v#Q*3c)mQu1uk*Af;H
zH{dkcX)o2LFFLZo@O9#QkxFdAKnHf1ed1#G%G7WWLd;fmXIqxMK8m1O`IC^x?_*z$
zB*rIoUB`!`M_1Hl?2c9V1C=pajV8MfQRyO*7jb}6Ua{rcgjHskD3c)NAQ9FgOG%35
zI*MQZg=_Qf6M?Jv&gekrw3@aEdv>8-ZFTKL`A|ep4rDAKp<*2_VVd}WcyG({fG>fx
zNim8yg&xg)u0-2ATbyzr)SgP?psC~uk<W+d^(LO#@13GBz3YQZ(*1A7C`>rlLKQvZ
zV#D+k?ve;v9#Rmc=>Oapq@d$1AqpRazws}dUcqT3k}c^~5cr^rKU{yr`_UD@mNLvR
z$a$&DI{$!ZZP+qcu3V`<)U!MTO`|CgRWJQpCHzW#f}U2cEqg>Mae{k-p{f6B_@`L&
zXa;ma8aCl*n?V_`X^h9*@10+VcFm&T7O_m(CZ8y2%Dh=gLL{dRP*&aX=98hO_2l~X
z5=ekkdNm7!P@a8x<XG-BTZwzBfmW0yF)*4wpT{pdU@0I7Dn7#<Av>URknJBG9bSpN
z-yj;R-hupia=llJ<qpeK1qlyy248@3ClgCQP*i6*ES3t(F`b{O$N)PpGIyr6NSPzI
zK-{1a5b8)=%IOkKuS}jnVuNG?MsUG%@HZ8@nTNi!n~as4^W7>Xs3sU`$lxCs)Rx;*
zp5^)o+&722TyVayV4IIkY#m1Po0XU9eE|_=ICbU=8S=-v=z?1yTL&+sR-x*_mcrTj
zq?Fq#-(=1&2s`OIuRG${UCf$9f4Q6`UEXy?Bw(7S#yHn2>V&#n<wiPC>lD3Xzb(td
z7PywI+z)hSn|**<6+sUNe7($*j;_}Dj9O%RA*+@+mP$pERy)JXDP-j;Y73MS7<_5+
zh^^#Z3aH;3kvIZF;0xON-zO<_wizFKTFVq@PF%)hhueJFy2m89<k3ytWx!Oo;Y$8>
z3Zf@j3*v87UBZnn#XNB(>LdL9_&||EHIa@2ZlXEb1*G}66@ofYZRD(f2e7417v{Ax
zh00CDqemfg5ewKHz^!4=glr!8Z)}%2N-(kQ6EPgdvW<XO1rx(#YV1nEiFS+qMnF9&
z`U9BSukJp}`$~olJEhiC{AaZ<wO^H=e|<d4HfCk%bUcPenB>VE5mWXa<=LLMMBl$4
zCcbb~2)Nzh0HbHVKA@ALTK~_I{h!r)pDjO|o(uGRrH?B=1|d|vl&kv@U7wEdqw0zt
z`#+2Pf2sHXZfO>k!0vH|bBB@n&Veg@zk&AJRzn0c1B9URg@XfEA*RBhBA;azBlPB>
zI!Bs?9f^2%GN0McA)0oej22e{NmPW8Bm9gctSgB+oH1+-OqwCL%(uR$>=>*q<k&wu
z$fn^-1lKCH4yzn-Nwf~?2>IZC>v&Yhtrc+&<l4mxi~5XW4VjwRZXUh)%VItKmYJF7
zJ!72Tv!4g2n0}P7dOA}Ddt9q;9qm=wI8b8!(lmdF*#M7yk8f#|nT<R!bSHga_$ZS%
zS^O-&{@LtWAdoXPi0Hg1(^gPi_>`aIv^hUBGc${P{Cl&;t1H?Zh=%l%yz`cgDloNc
zb_D7Emc8jZ^htr><96Nm5q$~t`l_^b2Ja$C1d7af)o0J`+8hl&Mb^2fAr*@-d&=YE
z>kK~DfT4_F4$B-A9ZSuaiK!2Il41yGc4kx>EsfCKYP#b+_<m{bZk??fV95W78)gz6
zBa%o<l8F+hi^jdHH`s3$!~sMVu0lD0*LykCo7*^OS4WZ#!LL#}te3bC+t;zD;Wk-8
z?7Jz`kPZ>BF%-IgC*N=?(Un*6G@%PON)we<KQyrmKg4N@>%SHT6;|o3X~n_@w}9E6
zCqk4IpONU~i$NftCjS}<pSc@x^sj`t;fDK&UY<4)dfsoZn(eVe=>udrx*vs1vGgGc
zS>Qvj(k4J1kd8oydBK>!zC*n5|2|^y!Dimu9K>-#4_Q?730qNWX`wz3TG55>p&lbi
zFj8y?vy#&-2s@D+l0Z_I^f1A{+R)zHJP$$M+n$~^HQ_2C-Lzhw5^lQW>{I>RHV4Px
zCB5L1u|tn8HqgKc`q;mJNQ-j~Zg~9(d0X-LNwCwD(1Z3h+u9e1nR6cu63qMJ0j2~T
z&c=xe-W@)%5Nt(Y?(q$DS(Sz#PJdBH!-<(uTSEc+gJ&EM(t_>K0us#0p4AESh%t=*
zbKmM8ng`ZD;;IjBuv55UPxz9OzRz%w2LLVRif=2d5?jut9~?_g=MQXK!d6`78Q)iO
zV<6b=72zCQ34!1%oTyP0o=*<QtMPC-+;7INC^NX<(>4@~rKl!!^2qSL-1ztW_gzSy
zWQbTnot#9lzD(00!cnM%R{X|6KQttS0pMl1(ZRep-I}#YLX)6}!V;h5=^*1~#`41e
zklIh^ISSYqX9i<Z-wktbL}q|*1%c2b3gOw%CK*k7lI}m_o0o`5t!Dkt_Q4j%U+)if
zW|=&WgZCB<Y|7=uvQ-(ZHI}^^=zBwvc*?q(O4|E$v{)C|Y_pjHhR^@n*E7y5#{cG?
zRMis&Ko%CkIdPvi{tunX!s|T%AT4{m!18TRDUxtfF&1@8S;(ViR<q@nS&Wyl96dbi
zkn!?JsGG;On#(80PmL*6ZZ~xuTybEr3i;XLv{0x#1=FE!B1hwXXXPAmrji`int}2b
zh8IL(-pH&Y)l=>0m8nOdt@;ho>@0IWSjzjmSzIt^v*bht(X|&7v~}am-i5CP-KN7r
zyXRC^v15MaML{4w+O*`azHt08VQg*f8rdIww(cX%LQyOD$4ccYPASu)L1~_co6N3>
z<fR~9g5X?O#4tC^JfXBsH~YAvcoKy?XM{q%C*oq_$`o$&{Vvnw(;Z8(>*_fLpGkb)
z26h=#mCe3IK`fu<J~Q4*lY~S%gA5*-F@{mWN|cl~cHI{#LQ6vh1T`E@mAzIq@1HrG
z9<Qwp_K?@c+HSxu?Lae8@zG7j<K%^v{5UZhOG8$$DXVZ(!m(ODa-(}|6QCGF%j)&9
z`~Lu4K%&3e_E?(jb4B@`{<;}8x?Bf`R+3Z78mslb6_wLqLREmT(Z;8{R4_hywz5WB
z0BP>)19z74Nk7T%Z*1`KWx{;UQsl9cn$`C0njQ~XrpLMTXt+gRdO(u{Wy$kwJQ)bA
zw&|PD+!J!`oMRCrqv?S%Cu&2mviZe)N;12qO{~Uoela=TmO7i>JbS*e_UhJ}>)#%T
z)uTSQV|Fk<C@BgChtltx&zn5Ij(4+czAezwAiBC%bPem(RyMzsgBQf=r>Q7Ct){He
zS$4cabR3GDa%x$-UGMGU1p|RH-o!dTT5mKN8OPht_k`wRXitgmtrmi+#T=kUZ(V6^
z&=ho-#*6VBUukWv-I#Z{>eiIiYKGGm;1R7UdM{V3{b}TFADUiKRZ~`~iQel{NzLdF
zleG__S5$VHSu%VAnICG#7*$MhR!lZlL8Hlh)y4*vx@I1(L4Of-ce1wI&}Y<?JIj56
zK)KUa9`FU~+B=(PJ8iMfKx<S~U~!qxCbmC={oxi(FJD`$$NC!CNHIe^oQ<!&@~R5G
z=j7>ps>*GRb;iL_=(Oi+_P8#e%5TaJ?m4V}>;b;#0<nkCwjMa0G+Q}8YT9u^XnJfu
z-?C`X)EexGda-^5!(N$!;2PgGa&1c4yeYxK!paOT9)1Q+4q6e!Zs+@{rQJ)jk<gnb
z*BEIV&DPq;o9V(l`gqQEGbdpx&uKPux{CXpn78DLDc`ZaPh8u9IA^@gohim&9KC*h
zdo}v__k2ApKRES0OKN0I3Tl!jb1lM!qs*fxxkN!eCO9zzu}<3yPCeG8D<w7CHBYTA
zHV#J}gU?tO-$6K0UvNIl_&G|wVs+-xSt7R+&Q)=|%Srjj>{>{+vVbqR(oXDF@G|f>
zcHcMn#5&PE&G3(lck&+Y631Kc)J`eq`%1GL9^-5E9{g<9dmIuB?bS+ZY&eOqb0-VM
zR%UDDldao)rQ%4a)lM|GckcC-@*@yU<}O-riGv$Md-7Tvntr+qy%`Jr%C)tPBN4@$
zh9204p<1z9s%wIyl&=MM6t8O>@5;&fU889FVDho??0Qz8XOpo|`y_u@+ue{?RG*YO
zp)!$|-*qxn*XZRgGq{l+<I+w{jy)xNoSBW|W0`g-6esU<AmHcM2^_pyD-()Z(o(BW
za@9KZ*)FHuS<}F;oG^;ASNlpZpL`sh<#iZ5jHDRHK&#iw$B+*hPS|n&fOATX$C!tB
zs$dn>I8AYF7PmUtn#rwRwr0w-nr(Pfu&t@CX_J^#;w!Fg9f-V|ZFmRr3aiAe+{hC)
zp5T$HkO&k0+BPpyv&dD1L8R;383|jMX=7C1E*Z91qoPz%kr(ep_3et0<2Ah%*uo53
zv*A5B=pBZfSf2B+c<~UK2DK6&U~h!#4fBS3qoimFBgsu|usjUka7J6BSTxgG5wl8|
z+gWpKxL4aIB2@)Fo8ifA&0RLMoV%S62=y5qpL)CpQ>WEzjUvPs93I7-a0e$hVgc1S
zv1R<ax3cE)+QxvdmM>LGG`26!1!n>2lCuCUwnXU>&W2(=(pk*yh1_0f*e%>{br$3B
zz|msk2W7zL#NmnStA;dI%MSp)*`yR(duJ!^pWV2(?7Ago27v1++*NDC889AxV>o;;
zkI|d!>v%i(CYSk5IIg}{59<mDmvMSHB7_Gcz@uE0;ddws)nkd(IfV){j+W+Hz1GDm
zt(nII*lc*39P1pZTT+dfYAUZNvo;X#%n_HdB}I=&S<OW_+QzRDVbPF8Wwpj2S)<VM
zdMC2#eKuo_Ou<%GQu%L$W>^~VOr)eX2t;VXOft@&$mj??JcHl#R-s2`ARvCNwY5g$
zMQU}>0d>dfk!Vrs2}2nyfYCwLINlcgu0~V2>k~Z8<aVlZUW^lrH(ErpB3qA68CQqn
z+9)3hi!<LWj96j9#A7^dSgpM0QQ~!=y1ny0=Oy+N2uB8<ZTMy&((nZCrP{!$27NlN
zov>4_(ZU=Eghh8>z!<Nv=q@?kxaI0`vd`hSosD0$SZ`#*{ft4iq>ig=$&b(DPZ#sB
zqMhSgrHL*fnUI0;xNcCA1Gm474Q03aYq^(`ANBlD`$i{rf)jsS6u|?rqs$Zwri|$g
z=yOj_Hg+Y;Irt-XM)3JjNfj53U7xS%3$a#B7d}ULIf-?S<d@P&QFsi857XAQQLrJf
z4*51}uD8|9#_~r%+-l_kRAQ^I3l3zkCVi3Xq>$Jt49f|Dcz5*XN}I3N=EKd$Ci53T
z>`zGBoI2g>tmAh=rO_X}WAI+r1^A*Te!XhC75CJfx(26sa^`1}G5WlXN^m2Q76>>4
zy4cC(a7Or4K5bm!cd^S^*MQmO_1Wqgf;V=+7#$u>D|2FZH}D6TQKDZq9EP(ws}~RP
zGkq?ML|h;~U~>m>D9^-wqNLWJ?ZchLuO^$A>N?HIU;1Ll@l-7W8IIv8+|k$+yfx>!
zT4!2Qj$6d<`7XmbOhmPbm)=U#MeH!HEWyhj9-*j;cb-*=M}Bc~$vk@;hS!T#C0?0r
zx>RkxNQm;|cu~!qFryeO;#LXnxYiW5rt-wwYKERzQ8it|zz(HtWMdr<geSA{ws!WV
zsT?(xznjVzrt-O|95I!{rt*=gd}u0%OyvVp`HQK%Ybpm!WxuJsV=DVhWv{8cY$`9A
z%8RD*ys7LlmEESY%TzX*$~C64-c$mnvc^<ao60IvnQki6Or_RTYD}ftR4Ps7EK{j4
zmGP!B+*GnmCDT-fno7E<gqw=hR8()L&^{IX6Tv?g{D|O(1^-a+LxLX^{9VBh2)<wN
zeS*Iw_?v>iF8IrW?-qQQ;Li#Etl&EZ-y!(Zf<GzvcEKMP{87QT3f?OC7Qycke6!%2
z1Ya-sI>FZp-XeHF@T&!1DfkM(e+up`7;kG9spW!SA^0-EXA3@A@JhkQ3SKOD56)wX
z>XjlI0AvD%z$9Q6a6YgcxCXcj*aAEbJP$<EEcqaw3Y+Cm=~`eDpaa{17l6IM5g-gv
za}hNcQF9SB7g2K&H5XBH5j7W4a}hO{BG86Bc;~@858iq3&VzRzyz|J4TAlPZa2Sv&
z27CZe2+RWRQk-6=dgL9ZAKQLR+J5YXV|$MsIi?sw-ro5_=ibgEoyy{(2qgv0-VXi(
zuopO@q<Ev0y^kGvOcE@nC{D2>upNg*tW*Q<81TJ-glZ#rS_ylA#iX*BB2BT1v;};*
zlq7s_rvX4FPzX!{W&sv@8~iZPDc$a!BEP*iF{$q>e*nAe@<i>j%X`2067-9H0(RbF
zu!ZM?Em)MOEm*Ytf<8?b_DbkGcRtvhd0-8Vy|jkLl}q~cUYdAmNpJflK<}b#={nj7
zNYocRoomuY=~n4Bijvkz>!oWT15%5$mZC_LHc|_KE`i?#{0{gdph)+?=RS&-?n2qS
zA#X?7J1M&JJ!ySgFQ<DOlv}w{)JM8XT81fhNmojjlL~o-bSWO=T+*_jyi__z*nc9;
z6>_e0PMhk&^|QE5v$-FYE<ir_TLinp?dNRG&UJ?u6-i5|H}EUuw+o+nNWBT|JwTRL
zNS9zlU3j~=M3i3+$=h*RP+lUPE%Gmx=J5aFkuHMd_6vh@X;97y`ZYn4up9Dx>FhSE
zYe-Qg(u`JdF3ptAm1bcGCree*6v&CvB&iZZ87WN!CR2nolSV<Wg?<rmA=0-Y{UGEU
zkP*^6lvscPtw*E=NFO52hMY$psUGkFGl9v#M4(jih*2w%;xJJzyk8mV0;GAbM@w-S
zweq3_*cp|B?*Jre6!NXecSG{tjR^YN;cw-moZHqj(Or}%Wd<`cf^sM%uOK~`b_Hb`
z3aYL#Ma4)nQo-*LO&TTTQU%~gs)_qb#Zs)Ox(Jd-Dum=s9~rdg2j%df92S(epv()F
z%MQw{pnXVC4whokg+S3Fq#5-A-zMdt%SlqQ)Eko$DdEi#GE54WBE;l`0g)K|B(ydR
zlM{)_iNxe2VRFJSIZ2qDFyuQ?A_bGt50M5y_Cch+kWNfQKcEkg1VjR1<Y80T1l}_?
zF(}VwGx%7ssX=)TB)7lGUcuSsVy_3~yKFD-8QT|>d)Ws<9){%phu8-gYcHM`+QK8S
z*|syKEjv4?VAHgBZhzqS18i=1$ZhHA?uVJoFcfVA9L{ZA-MYPhf2V2e*UvQe?b~J4
zG}G9tPf%-)>>1R&;Staz#<qGZTc9y+gH{y5_zU|a8o*6lqCwPFIaRcbwmO}>Mf6a=
z{%-GknkJh0*MTYSv)fsiw<r7a>#A$is}-+GUOh6}{ls?F1qbhlyL$F?dvDLoa^HR{
zbKQ2U>biA<;`-%A#kKJ|+2wsEJ==ZV2HCY{!z~-6@cQKX-`C5w`sf%0Kk~qs0V(eP
zZD$eQzU-D8nQO$I?4}zfSMtrNY3`((S?rC4UiTX}vPal(mX7<v#j@IVD=s`-wC&<z
zXxnZXBApu_VP~=N!e@Nja@DnsO=s2ES20DsSv9&_O%hwh)`-bj4aq0>>Y!Z1t`P;-
zL-O=BTUV;C!lEd)i5T0%c8ScFAh8YEi)>e$h0m<DEhop##TJ<l!`8R@i)r=7{VBPR
z``PDY*K<1+mv^V#!L3_&CL{^D1EVQqVjtn{e0*rOyK*wdX)?z9U3BZfekAs%rMY+S
z!V20|Tq^u`4I0GdL%WjtxSu@8(ChHFH$}zX+=D48?zayz@6%d8_tsX`)ryJnZXZ3`
zy?u+~dU=cL+OiDC^_%gD?q?olw)HG_J>wx;hUbgWErVR5DLE~Oy>^}IS{G1UR|iyA
z0OR=SVcGS`Vb%3<v*bFmNpT&<(0C8!<hi|vP#Z74X>yez%f=Wo-y_0BZo<UBy@_o?
zNp8OZ>z~_SX~y_mxtzJKK&zIaiVuO;m$T(7QwFSA$y}>}6{zK>z>t;hmE%^*b5^qQ
zm2CJ*mb#K@BNCE_CnO9@h|f!i$xVpLNeItQuw*63nF*AUaP-R<+tI9}QtF@{g9pW=
zxq76#VjRvM1D!Gb2lTKFh#@srl{}++M0%P$8$EJNY+O`$L}Zl38WtrhY7{PrD2wbL
zusDsyq_N1DiWr;}qo`DFl7CHqjIl&gq#PMDibjRk%G1Lyl5eBi!Z*geK~dXSB#ZK<
z#b~Twbh5QibV6)WbiC3lI`ioHNAEhi>FD!EUpQ(hJnB8V<*0si?@^W7S!7%0(aeWg
zBo(qqZ<g{8&r#18p3gk#o;1&3PpW62$KkPg`g=4_vM0e4?}_n*dn_K=Lms)ZGPj!P
z@fB22U99(HkW-5FTvtWAY^&09TornF<@B0X#@5%us!MCIqpNjg4PF<k_4tx$(`(vU
zZ=StU+lB>BdWCQ0x>}d3U$O45m{QXwH#heyuGMpde(kl;sY1`0tZU9<S9i3u=|WR3
zZ3>$3BdB$7YMGu^R;Q<z`AS`;RS;VWGW>(3y5tFjm|gXBTl<MwTri<g6A#wJElo`)
zId)SA_y2~Jh`99RGGul*=+bn0Wxm$tCeu$()(bI(r#iGUK9`kM#r*%KDs+EUh2Fn%
zx=-)pEUwUZA~n2ny57TCjMz&JYT~~aF69#uw26O@ZIw8)fK8uXQ&i77$j`n6jskxN
zz5qT4jsS;&kAM$>L%;{XUx0Uk1HgXZ9bg}@7kC+X33w5B9@qoy26h3PfNOyDKmb?+
ztOiyA(}8I~El>kg1C_v8Km{-!7!G6snZQsW9S8@kfa;y+|J479|6~6V|6%`!{zLwQ
z{&)Qc{QLd;{BQZ+^uO+Z*}vPr%m1AJS^rM|4*%2sC;i*~kNY3>Z}qqOxA^bzZ}xBU
zulKL>ul2Y11OBW1EB!0{KlL~Jm;0~qFZ0j#Pxe>($NG!?J^bCSnD3oxf0%02b^LRH
z>Qss~|CXeZBtEGmNPfi7@tSo9=cc`*>bNexM<-eyP0>7xl+bxZ+DoyWn@;rjI>~#@
zTEc?hA62Ac;~S^Q_~erz7Yljzw?(5Tzcsge+C$IM?}Fd{^9XIF`-ArT=|NhFh>y_4
zB3+9IqZPCXyc(8iG>)dyx#Ck<OK3CQ6D&2Ge3VW6b5aEuQS*E1o}>5Zx9ltU-S)Nm
zuSYExP&;b6jm9Hh0c}8UZ=he(T~tA<kUCDU3cgpWqxrOy?js##{o*r*{Ig|O(pZ{-
zwv}U)me3;9K8?1}1JppRv=R14sEY2iJVs$s6Q8NhzeyuI|0cfU=q9`+T`8@Xo2iK|
zr#tB_!mB@B)A8iD&)#X!wR8)5v4YlPPN&JE<x1JtHMieI4`IBXz}Q@jS-BVUaVK5N
zQs`D%P0Lsm-9eAAoRdc9U!jL+En=TcPti7v+dY`y^%$|Gn3rFm^_8a<WrJA+*3EpH
z#(L0~|EBM*UyQYIF;?7FsOJLoyoTmrbzKPA2wd3Jmf@^`)?n6ujx+H9?8S5iEn;?@
zlsjk*OQuWVe+R5L(8DYXzDwx=Hkghg{&ew4!cz$6L2U3mAighIBK8UPru-#O%LmQ#
zz~pQo?L6^3U``f|_4W|`3ibbtZetpg=`-3#9W0ae#mo(%7l9oZw}<HojNc)6B-3k*
zeRo?>qD5^`g1KLB3s(EOlg_3qu~Tlx{#u4L^Z@qy6LcN@7IH08o3Mj!rr%%<+>5o;
zjJ6)HcN*o2Z%WGzjzJHs4C<<PJGXbf*tuKOyW1?)vA#?H19tNtv7ak(R)i=-KOjlg
zulB2NOXJiSm34lg{K~3yOlO}V;~wnz>%lL>&)n|I%E#pQ)GeJKsSkG)t8wbUjwKzJ
z<1TxR-k|5{8QM=TV`V=_f0eW3XXJhICyGz8sJqpl(Su3`{e*5hHJ-9aX;daFo0Vxw
zhB^r8zPPKZ=p5WtKHQfJ_@|iFYpvPJb?VuwU;ae?QoV)v=bSIb?YADS<)2Vi=rOQW
zYBdd}bjqSUs_>>HWabSXl1}OUBC|8{(jzl6BGdDfVZ&*ND=Rm?XU`tV$r;%)74FW-
z#BbrBU)`M(7tfO1nV{I+vAg4PV|VAo{&`1s78{mVAdM)HhvlU@9X%wgbJ+0VxjFr%
zgkDJWkP{M;5}d<WoIQ?18evIH8<>=;#S|6TvIh1J_j#@^DX%Z+8#B<8Zc9zD#$U_6
zI%bjUzRG8RO-xKl8#btSX0F>=QPpc;PXDX=XY|W0ACg)yx_qcTebC^(mPL2p-Ely<
z^&fMTFTT7V9VEs-)2*c8#LJ*P`bt;LHj2S3az%L5*qDd`1Co*@DLf(~Nsjlz5}&le
z8<F9N*f2QD;k>uhkt`=~@H#Sv-dmaxE{AW(kmEMT#K$MI&61RCw{0FUAS)ty`Jl{w
zIq~iw19JCK;fHu1NzUv8A>^?gE>~PUxsx;F;1IjRm7S#-?Qovd4x<qfNgEbMIFdIk
zbYz5YSePMGa-k~|KRaB!bTC3zb}fr@W++a3TyD<r;UjX9ketpqdrpBoB3HH#E0Bi8
z<z+~NhAFn$F*e7L{6QU0znY$7k2&|;9*)e+SJ{Z{(dmw)UiCe{nq80<9g&opp-%01
zDSLcQ|HxyX_V#!?nmwcY9D6)&Nb#7`j=QsC2aO#s*Oe7I6QZ+?QB}h+s%3NoA60KY
zrO9dD#8g?Pf^6E*KTGSMD`#bA-CNqvo-Akgi1W&$3r62t8WY}2E|AM2;}SJ{iq*Az
zMCQJv94bu8b;VIqZgOT&;lq}c+h;c)DR19kU=i|oI3pBBCn+~BDL2#PeRlJ)5rZOr
zunq?evnOEjG1gy7O0Z)+a+@s1tCwNw8Z9`=3G5gBQwt|n`kd)8Q5l2T1Ga*q!VaA+
z99isfbc{)HB=vrONNRe@u<(Q-86DGuqsQ(^ACwd+9ZD{qwjj$rsGl}CMaj;#I!Bjx
ztUC68lzj<w9Mzd_-MYPRRlQdAzVCatx}}y{>XOuwTC(JQw<RxNFd(oEggw|`1WpKB
zKvqa*NSN3WF?k6IB;({{5>HMbgxG;(66Q=cFu?|r*fKZ^CRX{~Th%SKY%}M*W4pS#
zT7B>RzkmDw|6ak&%3ilLn}rsOAs+x6x*|q?w6`n3YO)J}&8jWlo<3}~h>gfF`!5n-
z5b*72v2sd7&1%gD)w(bY1Os2GYJ)^JpZ!X;z}R6PTG<ws0wXOgZrLddQ-B6To6Vkw
z?mck~F|ryakIgfl&)4BbXp3MYlVZ_x47K&5Y48-{@FLFnG)7r3jDulDU@d^q(CSBY
z#cwf~FGUsruS|<E5@6d@O3+G~p1=7f{!zVDDLi|;0p&KZ3ET^oO9KKP=f7BoN*Cx~
z26j(@Lg~C0&UErezRG|0GAN$U!(;dtQI=jf1D`{;AtDE^6MY|Cc=rX0Mm6x^3-59&
zd`G5$QxZ9R;Z3fpq-qhhIt;`6xt;1g>gUu))Dl8XtCy-DRewn>)j+k{ngJ<E3Z|ao
zB$i-cx*9Zlj2YvXjL#V*8FV3yxc?RoCu$O-3B9vw%}#UD43*GKTWLst&Pp3iCWUJP
zs6#M^CsiVq<#H{t2?cuhJbI%@#|1Ts+B$|~2~yRju~C-(@vivjt_pIEicNT!$9hAb
z>=NI`(QP&pkK3Q`O94TmHbJ8B{_!s%Vct}qQA;vv4oP-I{hC@T2qQ^7HI5{?oD{ap
zNnxcwH*TeIM9QJr>MKHTa{5wwbXPnd--WCq7?#QWzEG&p5(pwsLuo*UvOpJ^&si+k
zE+DcCD3h5@77KRM0{LZX&6BH#Z|*`I+Z$P3TfB+gyLr!^o-1xElPXg<!JpRr?3Gl1
zrn;l+5y`rtj_dkA`$cW{_S@Q)FTXdJwpZ@m%O4o(Y;jvOS@1Hs{hCsbwdblF_M&T$
z1uRDv;3ZxXyr}9ygq?g20N~zZ9PkhZ+TbxjrP}}~1F)hb5Q^3e6iY#BieoKq8I(<O
zZknc529MF`Cjs!Q_S)0Ok+8>*a%|RPSOWxBho}^SrC-NtxN&UMW<6zN>0_h2uv=xD
z<~0}x#xFlHOHGaAStrNc0>l**^2Nd8Harq`I5Q6OJ`A1<;aO~DbPz#ZXu&zw0*7|%
zb3NJq@e13%d7$rBu9RQAZcY9_Uf%i2eajz&2Y=DM$hH3P#Hxp`Y%5lK+B&1gf1Y~c
z#9c<@D+nn`TslSgP{f%OuuAC<(KIz(rOkO$noYwrhQt?jyQ46QQIX50t8zjCR1*f1
z5BjmmU}N_C+Y%U~x(ySRIfKOsuwl6@eoCLf*f3}wGzFW+!u#A&EIl3<eG7fJgpI3m
z0*l^~g5d&6bV6W}`&+|0a$a->1sQ|{HmZECOHzOmsAa<W4?1L~c=0b~4OJPvrhMRA
zH@|pi&v;4aZR<_%x&MZpiT1X3yG~NsJX~-Ylr5@%-m$nhVpX@O4oG@?Bj^5n;KWWd
z%YSq67?&^|J96Y@%G;hn=?&qv9a+{B$g-@+wtg(&)#EW*TwXoY@8`T;wS^e)ykVWO
zl7yAEdaP%x5+$@+Bo=6yLZL(Lg04wUjXq%vgx5gtwb}fJ`{V*@?;A?5>r2SC8Ya~+
zEWy*Qr-W!-$Fqb1Oo|ilAIH;LiGlG;=9O5c#_^<+<LZWC;lTtxfiETOv`uItfW39^
zY=wfo$>AREx;-O5|K)Wr-LviCRcSc;>B8+>mhbJpP8M5Pz4}h|q2A&6Ki;2w`z~(B
zSN9oid3r-<A6Pa1slkI!Vn1AhAbUspFNkeEFJR?S$rbYHs=`bgkbzmi={QArXphHp
z#Pga*s)ZhGO{_0i^Ef$Y00#Cu@zGW9K~J2VU@5%UL4y$r<)HU-zrvW|C`n*<!~Rk^
zmCs?=u%TgmY-lnwZHa@^<CmL8)0k%exDy*4_BCOccs^Ir3t4WSCcuIoMKTGZxA`36
zu{gG2N}DIIn9*9JN&f0Y$gH|OWM%YPiL&z(6YH0>USZ6qyvdMVI|J9uez~{mH><K)
zjm5|Hk)wH;TxZLtuHUygtp0XK))3-04PQebn$35^w~%$^h;Cv9xLUw$O^<hZIIL2n
z6-B6+JW>Qy(Opazp|V&^Q_I0}j-Y`VWi*O*(`kB!zCcU;kfzf$fQEs@X)Z@uYp^!S
zSsm#LtW2iquu9__4qyzT2+lyj<?ZPi?(@(_Fx=;Itt6F^tR&WPpOi*!EtQ&4iN0zW
zrxi7Yeqz{cUX{NuCYbE8c%7J{)Wwu=bd2ju`aHTp9~{f&1obpoGg6Gck-Jc&JT{8H
zif-#RjSUj(ZBP_AT~tht|Nn@aBTkQFStrM_q?6<6y3M0Vg4cM_q-dq3x(k4?93?0d
z%3WbGISC2Ngp*l{M4r)#Q<`|i$&B#=A=r@h9A}h?(FfB@%q@NJt?w$`fuDYNMS0lS
zTRn5_{iX4v`?gKr+P!ilUF4S47L~SrdTDI{Y@HptYIDApH0M^gZMxE$&p-0``g^Ln
zaIJlE8C)Y*yRYl|@;A-xZNU)TvtwxN@#So3w7+t7*f^9cZR(6Yx^eaH6;VC^+9&sg
ztLw6BZ)v^z{Hf5Y;`&vY^<_sPX2l-Jp(@CS;(L2Nx|bo=Dj7i+fG-5T(8f57L?hEx
zL)7d6PN@?*r#LCy);e8nBT7Is!Lnt-Kar_BU<T=1sCt@$yb#+(T8X&`Vk4YM7*-fk
z>YN%!<Ds#{=#D}==93tE21Dw?bkbsJxSD{gjx;yBUp)(e>m`dftjo8q?v9$Ma0h=&
z*vDw?O9mp`%DCJVjq^8SPZV;%`(@|`ODY~)VdT2y`~zz$ei}KT!P8p>vWbWK9kt;&
ze^0eNY*p9&681In0gm)55Pa`RtH_0{#AgKTVvNKpnXX#RjSNYVSL}p<f^R^Qf}79_
zgkUdeoFG+oQm3jTrb@@-KR!+$ClFa0JtgMAxj5xQ!{Q++NM131(RfN!{)qlE8n2wF
zhb2@;LlF{EOpF3@VE5sx!d^xzVYA8iI_YGdzfD^G(T_elg+%V@2QP4o(~P2^oGq;G
z^=t7jA`=yK`5m$i3o$InXO_riC^{o+HcnSfgc(=>F`=!CphZe2Dx$(0D_5Z}nCm}?
z^(w9}*sRIA*2eLAZpwxA^15n15>}DbI>NohX50bBUA74xB{l<xu&UK+1x6CrI7$z?
zNbp;TFC=~o@P)t^MPA0*^GlXXi-qEJb*Zgj-gIbeY;?LhMge6c-Y@Ny^}^mMt&CPC
zC(5W0z+&N74!cCTyw*5Dc|q?Rh>T+Op%1<ILpA!)>)pDUs7<WJSm?pXTKr{7cs+xE
zZY@$TatZ7c@i+=H0trG7h)VvHSl`xFo}VkcL?;m)#XZ0B`l{;-mi11JqvaCVvlzsN
z(D%hEOmrNG`H$c}7rTn&GVU|?49-6j><8@7l}Bn7@0EA6i$=G!^=|2PtBj!}e=Bw^
zrP1z7g(7{+0`t#QX0I>hjMf%~WLi@&$ln(7vKnl5f9ixjNx3sfZ`?Fo3x}88aW((I
zaJz@m%=z7_9X%lj?HL|v;U8c4$-14@m_;4zA5QR}DwTa^qe}Rw$#O;8kff1ql!>PW
z+vrST)g^HZOW;c!U#yNYBmp^HwE=VVP$Uwbu12VYfy!WdpP`Er3Po2UW}5IFzVI5>
zq7R?Nq4i+cmu_hBc)k3ZSKPwLCQKm?k4DZQ{+<zwBSA@GWb<AOe6v>wz{}@jA5xSg
zEe11%(H_i%!~H8mf)6)b`cIu|-Oz^7mg1`Jm|0;8r5nKY-#8d`>fOUb8U8`hsTRWa
zWyvDWZ*3VFU%@}n*M%k!SwDOo@eD2DAhroex(UQ!Cpp3*w?W&aoVL(vFk;!O@@SCn
zsa!f_>EA|AbbBH84fGJAcn}v-e|$d8<Dj4+^poRwoXK%{Jp&^&q;rfNC)R}tlr+8e
z+nZkA^ZM^@c!l4$_m1AN4qNxm+U@tye>-#V?H%Xd`^ww9z(+s-efJHIEqVM$8-9t_
zKgchasF58+h&JLIVr*8*gu=v5gi;|?s84bsOVO5h=V5*d6)nsml+mZF7Rt9bTaV3I
zOn|h=d$ZYgg0;c62}-DCFvG-FMPX}TM4v|XAlkuPs+%ip8nKW;3&4|4j^l~l`KfVX
zRth0-LNE+e(um>Fd}&sbi_R=^jt~@UyaFv44%n$=;u(H>Ajv8u8YZ0lbElT-s*Map
z4u12>AKo`~TaN8qQN8_+6K%_udR_n3%>`NHIx2Itza6fxbw+FkB{qUeDMbI{^ugo1
ztYFjT?cJWA{uu1@FCL7EUImlL8p3t2a#^gbb-K!$ai=46C`eI2LnvqkX@Uyr9t|=D
z&OlpgQVrBdX{ACD4Fki3tL{xMOb&2c;22Rk7ANAEoumAv&*v*AnsbL4O=7-iaAEB4
zprJL0ePD|^7PrlPxt{z4pJ`C=%eobcXRTw`_qC^YvBh*?pvQ^`9e;gOjIzMqk(lgc
zF&kUjpW**)L!U>v&}mxmDdsWcBPxVS7N`YOENNTCw!{X1Xaj_ewt0}B*g{Tx-ixal
zEVVQ$@_{s@xkYooh74*78WIv3TEl6UYBp=6N~y+~G9z9!i3Cqcp>#4u+YVZ-u^c!^
zAn_-BzPw^WWYxIMa9rPrLi0s50%FrB!U8ksQK5z#9la4l`M<0z`~R{sw6Mu>ysXLb
zRNZ6sO|#8UCe%biU5IHiBlh-@!G;TY%bY`p1<owg=H!LVmhy1x(oLbI+pgMCDQ<mW
z>B^@TZM9!J8t5x}A}g=ma6@I?GrM~393_vJ`y7k9Q{|R;VrXl1$#~UeHT`1a3d&zj
z=D9*LRNLCS{B}-j#0(*L;SBjB$@3_7O$nOGGBh-Kj9e&PGjbZLW~8SW3#p=HKm%oR
zPDM;t?W)sq%4kw5U2>^<!j?W>!Y2AUZnNdY3KE-HsWSU|JdR3mA&~h^O+zyD)Ohot
zcDd^GxSSG#zOC`?IQq5~x1o)=8E^KQz4}JGMsRFYL<VzRev|rP(98b^ooGu$`hCfP
z-PL>Uegb}45vgq2@Q-bL@0Odo9bR{_uj|P#lW`>P;Ds}iApAb6q8}9G^*IkY9QNs|
z!;I=_zZ}Y^IKRc1013p}0A-o*xHOFxqehb=Cn7>zL%bz|X;K8oGqE9z3`}eYU#2~y
zN0XrO{qm`CJUAK{(-3`rt}kP(3nw;uQ5f^icWCN;KuqMrgTQGB^t6ZiR|jP}qdyFs
zGE=O0qEkk#m>S-2OS?AM1;5Y3Pu$TJb1fRmf?G@Nev3hson19jt@mWsudF?CFSui6
zB}ila8!!A_qC$AM>v(X=j1iH;j8X@N<uq>YDugSdi}=b~Xrl`s?VYYlwR($PN>D}}
zvV<O&%VTAgO0Nf*cV}8`tHuHSrqJ@P^ERCGfp7-R&e4sb8pAa9ASxm)N8!k1VT{IN
z^WK9W;HU(iO@)kF-Pezr=wun(5{|{3{5Njl-*<S!NV8eB$z!*7gn1b_k?FF>5-5o)
zyaU{<o&57i$)OO~y7R(6WeFs8keCsqrggNCs?deT7ooN7L^mc6y6EvmC*(1Fq49;l
zkz0>ZGST>|7p}thIw>o9>cLmNcr^tfFcSt!Wp_cLX(Q3H4xdy(1p_9N(?|ln-e^Ff
z%jpa&(#V_)sPNC@e|q7LXo9fPU{2y0LZbeP0@uP>8Z*qpS`lkR;D_QKjZkSbMv!j?
z86uFOi~s1sGmIOV*Msd*jpkngc<49J=?uvt7)8F~weoK~K>m4_CQsHnoS0dL!x(Q8
z%FcfT-V61)VkuMw$|+|jH|xP@Gbkti1fkt3?sI*Yh+X&)r?>dw3m<YBbYqVZI*C7H
zFbAQ}??ayFm#cCxok>qu6&Z@q*<%tz2H9lLU?>GefJ*7KfhiG{#-3NB7+^|*ks&;q
z2dxi?2V(_JS>J+T1oq!LC%;T4mm9?-C_D<wMU;d+m{wy0IsAxJ+-tV^0$?Dtr1a|B
z*~MZ0h7~&FW1rU>gAx8)-a>2gwO=P%5*Dy;iP=JSAGGJ~j7y%)s<{E4Ki1PvAzsm9
z4q0D$*%D;zehI=cP-+Dv2$YKs8G4svQVxusi60U?G(~(<u+=U#tGConsQ;!W<s7;r
z<h0x)N7b!d%^@PEewLFsJOphqhhvasSVY(vN^wvwx6p*g6SauOg#z}eIq*;^B=nU~
z=st>qZ+uh;*@=&x2Tk+rc+(_kf;y~tq`0j<2xh7{rOjouR#4v^yo_&?iq`F)T;1BY
zP80CC()qqP|E}E|3WKS1$e`7I>t($$-7fn2^1D92So>1c!?fMJj(mTx-GvB;+U&L2
z+rzvXycy|r#v48_@-grpe338{?E-oRBf6cgnl<X_s)o|i)P%Irdr8;n)OXO2;E!+_
zo)(Bw>!lrnEf=*1vLDkKATRK!&Ki=02@l~XZsvM?N~vG!Rq6aXo7M02`Jq&2m%80S
zR%i06pz16~dEMT$cehufgkG=TU{wK=8|n@E=_<kKqz<WpNY8}>><0*Jq`VAZg{Yg(
z3ucW}Oh0hs2>zE9_7AZ!dly(U$O~J!zzfOeGeM(HYvDH<ExL3EKjF_N1K_%cK$vky
zqq8os{XkY@^xExh(Scm4#KhwWUs-TqIn14Zp{LWU%7Ulye|k;aD|$?j^%|~>H)u$T
zbd#i#AZe1cLIY_abuvZ=b!R!o=#oL%S(l2@xnw#SsRBJlvd4J9VDPCvu!+R&E&46o
zR@9?Zxsbl0<bvfM8y(GNnznPqy)eWUaLy$4^$ndz$1Ih#+`4=FDtB$DuB$l4wmh@>
z_ix>D{9lGY2|t<{UKiZ{lg~W<`i|(@RUfz+paF`5AKp*nuGO_jb3GCU#jgO-#d#SA
zbev^42IW3R?T7xeYEG@1uBw&#Q*L+2IwKVsCoXT0C!G>3O1#Tv^5PzD2%Ecbjzf+-
z1L|>mv?x|?*S5rHI@SU{{jW!#SQZUF^4fD7ol)jjzqsmq_w;AA!R~f)LkAbqWLxk2
z&rk2$zUBU2_@ncW!`~j?|KdiB{B{&$zm3)!Bc9+i3QkSe%nGwYN69f?scPt2NFI_C
z00`IvKMT%AGI)>fEXxV?3I0XLvwjXoU%yguK&h0;sNjK6h_W0on-hSVan7I45Kd^&
zmlL#pVxyrVVP6EjASEq4VIf3=xf2!wDuNclr@k0YIJ9fls2$P77eC5$M1%G*{rMla
z#PxKn2s_5uWP1yIk-yKB%J8qmau$Ar*4MX!f2V;^C8W*%wYO@oBk~1=NSL_!yMzs)
zP*!SdHZw(;%w`{Sa_F7Yca}4oH6SdsIDp0kO=l68$Du*#IAC)+eYyh_6*c>2WDC!x
zGzs45!#5pJ5e}z#FA>ha00V*blL~%wUAFv~CDz_?;psr!MXgywyJCT-4cYPnxypTB
z{t9!UgFnz-u>8-`p|HB{a}qi7xg>ElSJ3Ot;b<rvny!Y!8qy_oK^IatAvJ2u(0o>-
z($HqJ-byBY^Z~s-Ipg!Ctsf{vrHX};__ywD`Mk(w1v1wV6p1DeH#-<}(SB;7P!}4-
zdH8H^UwOyUH{ZDZk6&0iwSLrITgR=rujZ*<JG5n#iWR^ev4D>5^f>E&XRw_fS?j;*
zmB+6B+MU(f@^G08;Lc{Ct4q|V<aVUdJh6;Rg|tw+p9{H7q5W*en@B^K+cjNHx|I^S
z0h&$b>8i{`%!JkILP$4b71f7Sm!8Xcb7y3PUdvpg73s{YZ+bH?3wkjBMxv$@IsV3$
zIL)W^i9EkUR3mt-HA;hDQ1JqIxEQ7WQ09UfwEhs+4jBGD!GW7qiazNsoj%>(9mMxx
zt|Uqc&IwT`$+3)RnL4#-l*SnuYn9DJ5XC|MCpG{YdCPn8dIc%Kxdlr@OTA?N*@Jjp
zb$o9`GjqgETsIMc5zYX8kmyJelco$~%fMtRIbF3nO)#a_m0-D}jMk)}VTaNn@p_$l
zg-*vhjXf;eLquj;5acL^i(CU=77*FXoKXV8p7R_JTX@hYoRZ*!Mwe3y_>?1C>e$_8
z4ky7^1IzpPH$h7<))MEpy50K7SG7j7$;n19))86N$9E64IlO);%4NAe{tx_)Ox%r#
zE6G|c@xmK=3$2jyZ(m+zjfne6gqDpM<ifZKKx&{yW0L`^4Fy!2l0xZiKgCh>bd}N`
z)My;C8B;w&r03#CrFkC@=Q6CfOQRz=SBTU9St!K=?3n5N1yK$OlhuT{j#(!aTe*!t
z+`LG<zHI~{U53_|B{p(-E5V^0KoG228;n2|&Rb!%!@^pSaUsRB$}C}Jtu`o2duI}f
zJSlr$FY51jUSty=d)_Gs{KAQpi&X=_yb(4&X!QefFaN4qLSl71Q&-12-~?sRj@$*i
z)F+Tj$<_S#Umy>+ZOii9B?_3`L_RI}%Iv`=@A`dp%j`-d^_3USNp>KqQ$!CJh^iGz
z#dK8}R}y-&$LVrTS6$TmL`n}Ol8nh5ht~H4^9Q?#v{=9A#X=s*1{!sD-J$#-6#f`#
zEew1}5DTnDs@ggGXT~C5C}s%k@AU%;2?aLJ3w8bo)cc}X(lwV#`uT00MEzWe4MljG
za1wEjQQD#XET>cvI9(AI?FS6w)_)*ru#frvvDDYtX0^<Bii?d#apB=(yJ~yBvF*wK
zy5_du@S~r7c;BN#cdvZt5&Fh6hadXc{gqF=_srq*pCmKy{{2tC{>m>m{!Tctfqz2=
zq3c2T4sl^CW<i|Qnj}aM;XwpdlZ45+466Si63O`NbGh^KY4g;@xl&xL9R0zY$U>Tg
zda)sf)69Iz1iyar@bXm1<;i_+^QJONmb-VXy|(6w3~VlqHN)6-`<8+6kjvz8!SCaw
z2_NMLY#l4h+=`r0lu2?ek||BJ6W4QXEECISV=#7>%Vr6UhfEWw3U&GjO$nCfL<`y(
zMj!L|d}aLyg+e(STR;#RRr|cSdC{USI(BlY*r@(ykh}~IeSRGE8bkpjP}f`&04JY#
zelZ)bEaE_FFuKAS&qOXHI+g^A9pw!ejz{-Ra5t`8C1SA=W0C2(b2K?n&V?DJv5&hi
zop&m-?bm&#(rP(UM`rQPT}wBGh<eYq16f^`*uu5gY_1?dsMSFtNC!!cG$=7AB~Wsf
zOIpmBW0+OegEm{tJ3-Ug*o0i3Ck|%kxZ?54_FwVY2JtX&He(ctgV6DWb(3w-3b8#3
zg);>Rs2?zu&5N$M!L#oEt=lU0uJK2gEqZM27Ejlbt_|1vSKU0YYf0=UFRgiI8ITUG
z2(4a`>fzdBJwrpuksUR!&Tz7}$h)$Z?<;3r9sO&|PkxTo{{_if!UwvM4LFDuTtctW
z$O*g9<033_ogB)~aylh_P_JV&vL4Mrt=7rR$egZ59>z*Nj&43UKDU40WZ*b6i)UUC
zLz4Ruxe&Ra5JEsTp0_D(&Ua<lG5C`)CR@qhM5no|!kX+akU#UUS_*9Z$;GP!vxVWo
zh(?I(11K5{3voTqIb<H_Im^i`hFDT0J#mvVdnOdhTW53)+#8HXa5Z4Uhuu<=g+##x
z>%GT$;`TdJ+vpQl4&1n=BV?ozoxw>{>1bWWwQlURVSaNPW;#<t_iP`EnG;<rcCH5B
z?BIg+1j#S0Ze3DzgqH5w2wteun|j_fq4f`<^}BIRrL@jB6!mtk)FLI6xR0onGFqe8
zCUqg#p<l}7E^UO>ljX-Y37<=c3_9(Le`GAFGPolYjd=J+?&g1E^G1Uxan>6Kv(J*j
zwqcLZBviV%+WGIok)e`Hk*)U#pF-;l5@TFGs5e1imfKxWr9`>Y;E-rpA0byNaR-kT
zI(P;x?%}aoKkIUZwNO4^j?Z`UE)fHF^FV#c|65CL1^@1T{zJwS2!h9PPwqKjIq>^m
zXiUi>xKixNeQy$WpZ^~0u9cn2Mo(_`>u~+~gJhR?&^_OiJO3iqf(2Q;6iL@g?B=><
zCg6)?OqnQQb<|I<*rQsyDC$K=C{1W-Dwy$QeXgKUMboxm78Z-Hn9FRlmD0gjldR3x
zrh4MyK3%E)305PLnqd|+;b4RO)thilJve~d<KTrQ9sBO_d3^z}B)E9#tHA4w2TlC;
z6$bm4z7`2a_(Pu7O8YPQ580^KuEqM!q!<7D*OL{i(1TM|uj2o~-xW@=_)UvG9s1q7
zMV}Qn;nczEFrdLUPtK`>*#=UKP+4EW6@zk%MF(Q_deP~Dl#W8ALTRx1r8=cW7O;7A
zArvJH3XLWnnvum5%~1lS0YJZncg369;!UAqj>Q)i_GlLvI20?#qqz9cztfsYI>Ez{
zq}}p=zU4IqB4A0VrI`P)!SnwIjIXW)RN1W5XJ?Ck{w+Y~i>%FuB-MqvMf~Hx#jNAP
z1+nUoK1GIr4&BMXf9uv0MotX~yH&#kflVDEkk7{pm<0^O4Ecie2ZSHhoDXsV1E<v2
z3<gTA4#2=k4xje+sG$<7)l^gxg&?|;lN<)*zcUO4sgoRY7y!=h_j{+S{&NO{(`XDR
z0O9vLkE#QKboi*EUS&5dNjRE_w^IHpp5a6<xq6{3w!XxB9NXs3Ocz^)-<*-n|Kf}Q
zn%OTLnHG+hfxjp^uIX%B8UNW&I|nlT^i}H~<64GujGWCKlRvU&JUtwNPlC2wd{Jie
zwaUzzp+ad(EX-yXac3)0t0oDO(n`;0q|=EJ8AXUZix6=jhPHyUP#ztrBc*Di8miwh
zayBWHp5%<*10-QXvTL2^bRG)4O_FZKF^hO!^>y*A>R;ck_hILIDCh&B$0d+9@oZcx
z(|l^zNM65{YAr5WyL@$KO*)kxS>H18nI(^n^=`dR`frc77Vo?D?%Se?d@AdD<_lY=
zmQ%A2*H;WxvL7HOmnW|Ij#M&Tl^&8G29VQfJ!Yq#PMQ&wdxtY)#W|f}7(U54vEt0s
zA+1(3UDcjb9Q9Con9mnt$E<=7Oun(TKd-4d+C%^K1lEv{U>Z%-x%0<!2awIp2asWb
z%*Y(2=h9L~;j3A>JlE439NE#a{E-cr-hkQ?NP1U~jx4jM@*a)!om$qdNGWF{>9Ady
zmR|)kG4s%4SB*~%X{lc)ivfpb@2z*=q4NcOX8eDf!1_9k^u-V^l!rdW#Rx7KuMr+(
zq9#_bQi^r6X%<;A%O%n^mQ^9L4NdQG5Cfu8AqswyQ(-_%?sJTXASf429b;K9eN-kB
zHo+RqM=zXl$GU9-MYPyv^A$Hrfw;BVe1I71J1n062jr8B_w;{u|L{W_t6RImkni8L
zDYvn>R^Hv!yHY_y`21k|!Kb$FUlHlMdAszM9f|y_+s3Y0&)<il*do|ThGj1iVd6H9
zayZ-}dKz%78@f+&ELOWp0Z^f;11GuAVL)&mg-oeXPFEG@Si9TpAd$(~|L7p85P8(t
zqt!+uSi(1t=YCHA3U_K7QC{FaqK7sd78|oj^1y-u9((2`M}Wbr&+1%p{`H7mvnmpi
zC=zSOI!dv{%8=XYwCGjOO1Ja7k|C2KnN%7A8SqFFxIDELT~_riUJv36xqKQExo$E^
z{sU<@O>_{8h+(88RZuBU$n!9NQs{@8l)9RnbNg#@d8zCsXqqOKG(L}(%GU5J*I{?n
z=y$o@gO3dUaPZYZ2{A|yk_KwfJ(wPZemFRo=wW+c&q<beC(R{LWpFaFlm$p+mSn#V
zAdv<HkwEh%htIjozH(nhDG3HOfK0&%Au%28>su^2S}ZP(R8BY?kr9o?mpSU|i6B7r
zrMuEXE;v4CLi9_*dElm8`u5-79^FOPv87MV2g9*ZY*6vB(Nak`YBN`9;8VHvL%DOO
za_a|VLJJS&V#{Ol(nh7&d?XjYMPCS#|9ux3d~9!Lf<fFW`nB<E7JYW>wuhFaQx;b|
z8P4_JKGKq%<=JX4*WK6EUDdgLS8myKMQ7)BO%41>I;N1NdbZ!FrNTO!L$hpId920J
zUyfHS>Vh{u;AU5K4s1zlkJOef>K$BMo4sJlx(exz)?^R}CmOq9CzPPLl|yk>?;xxY
z{dos+c&jjTDEmExJw&)$0vaj={Q*BR=>UpUMq>-%J{p@VMC+-Sej7!ldbkw}ejyAk
zDDcIq^Wsj17{-8`+nVoL7gE{c{F_0WR^y4dtm#gh#vbP13fVL=N88sk(j{Hl{Q438
zZ)v|ti48ZHc&%$7qSvPqX8vzkzX3f|m_kWXJCJiL(n=hi7sF0)i|jinQZYn@(-5<O
zLV<a@N*&T+?=&!GL`kNr%sFt3)E`wStgK)zzdAnWf}&i1I3?tc!vAIN%j2Uevi)z}
zx?Au2-sz<G?sRuL-JPVf=Vk*!2us*y3nC&AMFho-0p%$oxMXkz#|@1R<BYftBZ4?G
zJe&{FnV-w(IP;#U6J^G@yzz}hlFP5EZg)r^qx1WG=8vDIL+9SQRp*@go>Ql)PMr%!
z5uFcljo&sg=+JOZWLpWn+>6_{4?V9ihT@<!6?Q6;f>cDP!;#O3o=cI`O;pK?24p7;
zdyUv==(t>z>mYSprLvfFfi@!~;OWNsLi4Cy5$V5>iWBj`_mcsWLRRPz5dbU!<}Ree
zGpNm?#RvFc4O_(^Mf;Qyr%ipLW%}M}2at{_DF$m<v&9}ywz5slO;5Cx*qR6VNM;6T
zsy7^WYa{iUruyS;ZJm+hna-J+<E7_J+4Lvy+=8ri=P{8U1q$My+vLHC7-jfF*pROw
zof!`=UaopYdcqt_^Tp-ix};mHbVa2TL6=7D4hNj6tX2NosZkb0{l2z1=@+?^_NLhB
zu&%7Cwz13@Of+VsznA)CI0X{#*0cmHwvv!T8q8k|#(!JeR%}UBc%?xZVxu~im*opJ
zNWNv%kMX|fi&#~Hdjl9<8oNFmf$EqVsy`KDc#Lz{X=fR<*=@+_wGWn}A+Ev`2{oCH
zdy-#&m^O^nDS6bl<q_a|F1XiD>Q$}A^~ThncH2p<iq)i6RAX-UI2N;|W8|39Xz9Z7
zB+1)GYbw+b_0xF61@?H#qaGtSfvdf^tZ`mMa3)|K5zU9`i6Ncd?<+7!r_LA7C9pn|
znm=9o-x8liDf<dAjwGc=o<b2-D{An%TR$ZV1+bu>!cLulow}kyO`pTzGxRZx&ucil
z>haAd10%bDV8qqITY%?=ZUS)o!fjJ#-7$amm6N^GdZaT8rY9OA#zcGR^!aoHEN#8B
zd)2*DQgg0sUVU!|n7Zk<Nb7?1qU$QRN|UfpGm)-_(}`D}LA`pbXb@PAMVi6^iqmtn
z0&-Yo-KG!~@kL;y-zTQ5C9V=!@~KP2yUV7%#)AOAX3U3Jav_$CWrLo+Sgb;AH8%yo
zakaXl9P{;cdZf$0`9wd)fR21YS|lHiqR2dby#5;%q#2esZgYp-EdY2m$O-rZwh*rJ
zy=es(%Ty#?>u;QX%bc!OZ(I4yS?$vctE=sF5_VjTtOs!i{H1g<5qBfAwTg}g9m*$n
zt-Ggru)W>8`Pz-wnMxyeiR_ai+|%=rl!DX@QG*N(a`x1q9I8bYLGqV&y#E>4>nBFm
zo(tU^6h2XaV3YB90Y>|~V{9yj`=1f3wlqGqe@;B*IDCU5uC#GtEE1lp3I<K_tXA&}
zNPiqr@yRfgun7<Oeb!9SJ(vy|xN{U2jSX{<@46dtkf2JabqIGVm4h*&QLtaMBBM-;
zs^Ve>GW~ZVW{a_!6_yMd9Ttb%T1+tvk6#<7<Btb}7Ts~TyVUxz<?Iq2iIp7fXnfPR
zNcLHe<or|v?#_{^h#a-ZjYN2yyMSk+E2kKn>MQD9+2#q;lUp}mdeu~8TSHB&t8!wf
z069R$zqP!mxNT{9d_l`H)|M(uMD0PZ%bjXYE?Qc+v$`UkaD}`cy+2XmPqoBN3hnSc
zi1!l2yPKO%xzJ2&j;LTc6PkB^Dq4v-;hYrScj@PF@0s0$45M&41;J=Cc{s&!r_)nF
zV2gJ(GF3@^ADLKwGvcbIlYM$L)iU9|7fZ(CKQG)6lthzG)tVD0RG8Enhqq!$>7s=z
zz!&V@TtUP9huWmyRW^BzPIIcH_`*xTWy9~_)jDK7IQAJTis)4<U2Z582~hY{EFvTW
zeH28|a0&>?c5GlBd+md!<IX0xN)@Az2jt1{hX`~8ZJ(q^T<qNFWXj0PcNIB|oj<oC
z*C)QE(7V0v^3`ald5d*bJelJ7GO@wmI5#S|V(c^0j%2;pp`M)r9P(3ygjAl4ILS;Z
z6}6=1&H+M+&rHtpgkct%5J$KVCOjipG3f?Mqj%<3i)_5Yj57yPXr3`>wV}a6X|^ze
zP~gU}vSsx6EXOCd^vG~amVojL9pz>DWez_iJ6~XCFsM{)xYaQQ=+RWf^6BE2?2!=t
zIr~h4wOI9jr}S%3k}WDhMu0I!<B|t_R2O9v!#gmoNm$L?i)i&Bt2pa<y~ziOq)h_n
za6>Y|F*qrxGZ*m!=>h+s*JmwcOh8LRMsGAwRKTBGxg$|@V+gll%5!9%U8>0tCPo%(
z{6V_o+0~C5Ljh3a4=DLn`&Qn4wbdU4l*i-L9a{x{$r_|6_@pexClb(M)&*?RtDs+U
zfJ~*!;)aO?Yl{UWFMdC20NJi1h?{C^o@k_W1#u>r5mYHymMMFpMUlZA6b4OJlG)&i
z7E5r@T@d%g*hC+t(*rGAU0qvakmu<*UBp>`XH@7M$jY%o<rxwSXUoOHjSYsw=g_m+
z@aQEfaPvZ?lDE6Q_SJZ9y+4$-OCPvhyn5+swZc{K4{J17wCy&h*KYwHk4vLv4tJ|{
zCZ)=V*yB^aM_(<CGKmt}qEc9Nn|`FVsFW61l3?w=;G_F}J_{-ZjcTRMh|x!<3Hsv5
z{#`4&bOQ1h1!#nV3dg>Q(-}Z9dIpVl3?A)_R&y}oV{BHWSRuXJ6K4rrtpz~Wlo%8~
z=5>bSPRi+vGX(`Di4lC_*p^Sy>9c+P4LLX5hc)o1yiq$Uu&sg|@XgBtK_DkW0ss@Z
zKQe7`Z7e;B_gLJKbnu|Y>MI2Cu-|yic0s}Uqd@O2^jNk+=d6oL)jJ$^`@{+0LvP5A
z@W5Ivt`g}W$e3(ymEFzcARa(i_)q3Wu!)?gn@-}|?BgDvqgh5Cs>xY765sv<2jg;Q
z;=rc;_`n+)F{PWB8_(2{mUJ(mD&aCfB?mzAM5+{`g0Gz|$DTM-$L&Gof}#U16Y0z8
z%{0`}0Ed80qnFSOjUGQsi~KaVhdfQ$rO!b#^%<q1YUMaR?%Bf{9HXP*cn$rGN~O~h
zPL3W;Q^}a~bIglkqzv9sbbgKxgb<g4592NfgK}-@%7qn~5;OnVgq8{G*R|G_c3e1l
z%4CG2y{OSE;8sK}Pc4v7?a=!usE0*xI=mCIItclFA_r*pX%2PM)AAy2CQaf+u&jtQ
z&Eq|Dwn$ExCM?h^jvYG&xBm67!%IK=4Dov@YCntkg;bQZu7vwG)8Oe*J?6wMJclon
z3dv~~R8RJ|pP>p62ZvD&JK5QUgJx2Plg7=Xo~LLKsixk7O=F1vpA&ckF6kV80|z<g
z%I2<MN|7lel<sU?ntJ^hJA0@dzHoXcp|)P?gg<BRMQxRkmedf?E(#REJiQrbU0)gp
zOcI*$P4rz3HwN(M!zDkV-)8SUb$};%S-zDzK@X{|nAE1B0dP?V0mFiWBcUy%CUPTJ
zli!d5J-c>Eo%n5{BqNc)UO-u>D@h#@9R)NHT~rDxrK-0@X+lm=k4ZEcds|G<@)$+g
z*iBlk&1%SdI^%9f6XkY^hFop9G85C&ZITlRk>l8?2qp(PK{!q*XC4hi;SF$abkPjt
zxh|0=O^uc{!#m*6L(7J!rSr_Gl%;VUyy&J1eM)*1(O-&O_U};dnW<X{{YgNp)k+Pe
z)grO<h+3#pLM7_TyOcOmi>K582o$=j5+37uD^w*jqjsC+UkEd!Gen>-#wrKdR6q{C
zT)md+=_Xa*)vd&AS2e_Pg-BmnfEPJDIPwGl#0_@zKpmJXZ34fUJJoTKb!ZAWEG>i&
zERN3YWCn-7s~H}cdaJZ0MPEX1Pf2?o>B`5&Y+`JvXIe$S(MYj699pOod4{Yq>$Fd_
z=oE&>jYb>zQmM>!NIpJ5?uwBGa2#z0&XY2sYg>G#)YVjyY=pMO{uvYC;o-V9Q+277
zu5l5)U~!{1CH-YX2c{>HqsL6G5Hl=`Tz;L&Y^Ib-lLCl>%A{7Cpy}^wh0<&`X&=|=
zSd&SmQt;g4EDID0G{ZC!e^K@u^XMV*sJWHfzA8g*Z!fo-4bB&%7toWW!(jcS7RO@K
z(5qmxbRR5U9GF`t{T_H|yL4UsYUxM{ya7H<Nq^liMY<`Mbqk(B7_m^-$mjBOXbMWJ
z|7|EYjnw!5jPsuqUa&y=uwtoH)fP`qfH%XBAKEa)teU4xr3|&#!KE8(4JqmNGiUOd
z!)T5qQ<c$i-zaqCSCDcb86O@0l#zb{9i;>vuMXFqgN}ZL4td`T$Ia3lUS7oS_&%ef
zzdf@BQRBrje}Q@*4FMpjKZ2AC$?SPRz26Nm2}m{;G{n>2e!YG@vc^5|2;EC;8c#(;
z3r7Jx&TKE>wU(zL^EA&ZgpoBmyb8G}BYTft^Z~QPl}_5yu*$*SD<!~N_=9M>?#x&4
z028J;xR}ruLuUU`CQLb~YSE>)n9Ww66?oyNExc7}F0$}yj=EK?b~(u`{fPeU+@{i~
z4MyzYjm{|*B0&k^V1~1Rk2OUT+lPNYtG&qSvV>~WQE+pX1wvC}v4gFv<9(Cofv+M#
zwbwW4<kFuaYEnpY9f+C`)h$-(_(DF(Lj&Y_cgSWlD*_sg((E=Pk9L>nRw_e^5DYz}
z;P}GZ42Fn3q)>!yx7+QJuwk?r`}*BJV#DN9RO#H5laOwZvreQ+gZboac>91Jv(0BE
z>G3$8o*Rw1Ehb@(cIbb+&#mjauzKkQORjQlSa)>#6F)1Sb#2=dlXi1jYp6*2-_nV1
zt(d*~^4d8Ix|bfPN?&t*<%P>GtG~SqNxxS5HB-SZMAE+yCos(S2BoH)I0}omLEA2o
zSK_n2yC{?LHnZ8SxebmNg_R4GH5&9Z7`4>FakSx$W8E)reDnAprCEtf=3KF6-MZNq
z$Miq|%9p-fFP)Z7Nnc2x(a~LRta<yRuRmW!Jf&xl+@C;nxTspuZ9*QpgY4DZ-y%4a
z)*>51oIu^G(~;>`^28DS5&b{IfqZzK$>D$x0|W#5VU?$9{*>XS`E!#_jnh@QW?CE^
zsA2(ISrf7<VOtxcu@z<Oz?YF=UHN37C0JO4-+})BCl>BLi-o|x@5e&>8<&iS1*FqC
zET9>0fC^G;MW2HAPzJrB$bbfEgF)@#J<zjTH1oXD?L?(|TipABO0@fwicqjA2n|NH
zd7IMXLm~+XLO7HgQ*4>9)9>_=ajzkBHWW0IKS7AOlw%}NFO{R=B$Epv=l!{Z&%leY
zmGuJvJ`ed#8gBRmU2|tyY1E<UP=CdnA_?g#=?icJ$0(&uaG~^frP1oIuHMrQ*A4A4
zL`shBscncj)hQqWYVpaM;T;UN**74h53tJ-@~<FvCywC%IJ+F#ohGr+fFx@ctPIB7
zPg?{lr7>F+9Hp>Pw`w%9?KzP?sz0iK*YO*&vYv~o#2jN*f_dE0Be)~x=QFj%Utcr)
z`>qy;+vS;A76aR}+;`>GKAVoMuUACcnqX}t7z<1~*|itZ6h(+zi)e~a7l_HC0;5r3
zw_Ak*D|A|Siv^5=74@b`Y($8_$U_3lb45Fh#$rcAp|IcXNS?^#F_tDE!_&H0rr~U0
zfk6&U3FZTFNgl-fLhUGoL5#4AQ?&t$ezsxg_1KSZUZ1JV+Dn(UA85Shnzv@XbjXsJ
zvT*I8`46kziKO(W(v^R@dvnvIm5Y+?>zaOdxGJ+}clrFe7p=JZb-cPY3Fjh3D05Oi
zYJr^FGJ$hj>I9|I&AOp`w`gQp!D&Y&dRv@D0@Uf1#%=B*ufVWuz{L}%Fb}Fs@?1d4
zF}sK@ytqC-n#yG~ovDiJhu@~#?yyv+z1k`2uSjaaRR~I3F_f+$Sp*-GQ4~wP@tB-I
z5S$srAliwoWe!6mE5bzLz1WDQ6e*KnhxT0pquOCMd$c>ov6v+9!LDvxa#y#&jLLg}
zEU9tCl<JN6OBqcTTj}_FZ#7=|*wPQ){fkt4&8BOvtX(~&by1aF4`zW2_5=0Pv!q{0
zd!+}ZyXoW7OVXR55G49R!S$WH{*2#KgV6K_qSi?*kx%U#trm+dZ&z{jkJf6%D5q}K
zYTYh*CaOPb$Rx=+=~&C^5>+FQ+c5P>gY2Y}!-k`ChKw@1ztni^7k3O7tXYz_xm`t9
z&5eV%vm9WnYl0RP-PXn$eDxDxED~(0?f|wfJbk5ZKvcg@bl`qMb>@fkz~L||zE2nM
zzu%`1F42{1LU0yXcXyA}FGL>d7O<-0$6_SzA3uTTtpAb<9s2jE5W*dD`5A9chjyLK
zRh!J|5zqcxG>NQ_6J5&Xpta}gSF-Ni-TAsvz1Xtn`#+Y(j}h1L2UU<}>WekstAaRN
z=RZ|JWW`s)1pPjD8{pwCgp;38isz7b`yJI#UXK0VAHh2M18yt2yPMqQpQZRgbQ9lO
zhVC68Pd<>pC*<!{qkE^g8_~T7M{0Ep=4)Lk9i!i;BXXN(D&+_=iU*tcJ9wJMD?ho`
zrT6F$XrJ6VDrXRt=M*D!pi&1&Z4Z1;scKZ}6kQ-wG}5L3HVJnKw2*6)MA6@gX#0xN
zBF`x$Iw>PG_KQ@4N7ksHkE#1CmI7TLggL)yoLKr%J9l7Id;|yXzyIDDw=J4`Ra@cX
z((BXbc21i%v!Ts%`P=W@^_#`@Yj!XC;6w1zulGIn{NeqxNG87@op~5>|5t>)CuM{h
z&U`3lRoY3|rJxn8!ECeOJw{PyDYVcEXt4;k820r0TlhF0aFMUip?OB1Mw7Eec`r}i
z${rbT&juLb6S)MexG4{6iZfUZv;no#-+fLiaa4mLlY2a7s3L2E!O?kEMn-L9w^*Hb
z+T7t|Gp7a&CX;1uYXB@x0N5D|TGT)kX_X}y14kX!M6C5i-I_|w{W8S;0n`s6>K8Ki
zMQ6Se%aQ&R>0Nq-iDg|OtJNg9(5(D5S4>fa?kGZ^332vgWVx)L*ldcTKD{1!jk3d-
z$%o0jo5meh6&snD=O*OnM`j(j<2$Dv)XZz$`BsF`XWas3KUPK3c8soJ#FX*ld7JWf
zF0y3cJAcrs)3s`cU-Ye?x@c;sV^aNG+miYBR8Lz`?}#i|e|@Ea*II+GhT3j#pTA&6
zv}J0OxHVAd%T5lbW-nX0wi6+>8cFCB{TGrKbG2+=sx*3JUy${3vQFsi7mfH8Q4h2G
zSVjR^mMRpAZK(JYEsi)gWXD~F0=n$PJ6Gqrn(`4BxpzmbS%%m$b{wNbHUOY(lpwe`
z?$Jma!QJcCVZTk$pm<8_3roj;3MhtAoXH60Xn98k?HWF<De~^>s3<n^2_SBW-;t6Y
zCmAfIPUPR<IdWKD^P~<!2oBQd7nN)Pcqlr7dg@vHw>_C(K4jcOZ|sI;x#dF!YY+D*
zyM#!mj%oxK$|x#Bz}|v&s7zmmbf_#_U73Yhq(ha3l?dIHmDQ10ajd_kSX<3FgeFR-
z*A?lY7M>?n`do=NLNTrr$B4CAtn!s+iz<twzG7crX=zja!N$ghgQD2nMD#HuV{(*Q
z=DY*BADn$8``bV33aobsg`eb)UXG*2nA>Ko#%0zrx(u<3)EF~L*sLzruC8XL>$-H8
z>o9*x*4f{E9&dy%l4=fVd!7n3M5U995NWwwHL~{qFfh*dYKVCVqW)v`-v^rE2YE|z
zqd5GBb1VpaWa##taQ*jU3jDX%Z`1MP*qNukYiD0TIKx=E7hxqtHBl4f9H76Vs*vnr
z7%5fyDuk4(+J?GXSc{NSS6GJxR9DxKC{333w<NU<jNoc2!kIp%|B!tWh4=*6dcKjG
z)LI`duPv%emV}exzVh;k%?Bq;XgS#WeHa;K&l=F^GrmdtA%tKqy%-@?)+)LRv4{{d
ziou4Yc69?ocnkfoO~kC_atWVj8FOG6Jy`rJhVuIm^X?BC(c#cPfz53MHa}ov=@-8r
zI0!kHQNQ5kz>ldgRfBxWX~bR`s7S4uVI8_ZXB!$4Z6EnrDw!Ebr|~a?jrhlwT#*Ld
zpSy7(w(X;CR1BYcz~y4NTq()<F6Tp)GY*nqn0yAP5;~hZj+2Wn3+KW~av6f)^^t|k
zE-71n*M+5JUEAh}moA)ARNQsRnySv57NyI&Zk;2poI6QptL^Bjsk)%S>#m+(SFvzf
z^8+<|y3&g#78f=wYABo8J_)=v{jv##t?TZYG54<Sy6EH;^|LN*u#0PUcFw==axpn=
z^(~pM_C#v#RTHvHCq_$WU*+7o!9QtDdqelML}K>!#M`4;`h9k}?CsH45?_#KMm$W~
zLVv(6k$pUL7kQCZChuXQdk4sq59IH;^7pFIy;JN3vOkxr75UM))?60kXV?eOoM(ZU
z@`x(aB#*}%=E<oXg~5npDZUWHIwvws_c(FF;{p$D2-7!Nn{>M3s6mceKB|Aa&ydS_
zEUzw&UQ~|Bp~_>j71P;sLVM21R$LJ?Lw;HBWmTC@6`G`#2esp7DlV)ozwW8oieF|^
zzP9x<@cW(@!8%BB8xcQO|I(?`nVlBiydRW2FA9+Y0euk_7nQ0RI^0Y12S5ob76F-O
zJ-rru%Um!R4i~6(S{eYiQ|odS7YLSLfjH$$o=oHS3{>?YYtn~bHj=^24)iAn(gVo`
z`Ov$8#HJ_n2{cG{f^23?rUHIc>=J#d!x)Sw|F|<2R8N_ruoilDzFU^`S*PoUyNhuI
zV==e!ctzGMeH6|N2ZB236<c-3$%N7nD5d$N-=r+bal0FFTSHwZS`B`RDtBa+8mKDk
zEw?)&Rv7Co-w!gPr+6?LEeL2_yfRy+;cWqz(QYg#P}<6hZP{W2GFs0Xr~u|Pi8xJH
zX3|MCiN%RR<e6DIN&X|#*@pfBTRM{*$k@{OC`n(He9|0_&iFHO*l5&=%k$5fHz)#)
zQ&;$0MW8XzT=DU#P^`o$y`1#yaXJcIE=@tP^jldFpdwnJWi3UMR+Jl!dYDLXp|U?o
zua`#cbRt39^x@z8Z0c`I0w!fbmXCntBZt6JvXq!kB&9TUji@fQQN5N_D$(mGDZ#QS
zRCxove!oK9YjdauRX)E;UuyN)3Y1nGnjNLs{U9!CY!SV_ERysm5(SS%k|)s=pM>lg
zt4?Gv7W#<o#xdeaBp_qe02WYM|4FiM0NotGXBNS^QLT7V>WBFB^ZDX2feh0bEzqcu
z4E|5CTg|Zw>5Dm%z;Z|$(m!%i(fkcCgWPn5(VrSVl@EsYr#@WtL}YkB-C28Z;=8gO
zM#*IO7+r}ZvW|L+YlQujf+`f%JjW@J&&Ys7tYSa>3@3)gwiUluBUNhh!Yr_Wu*tiQ
z`SLF{V4Jj|<}arW^bX+9N?Sx}OBMvMjQ61$x1t&~RGsL8oSI>D)Il}FYLrR^Za|~K
zZs{SpfdN!~I!RvKk-@pAKypA%LWSfs(w+ftP&YHnM;hI|bLW_5rG9!p^6uAB4g5RI
z3`$2?sM~%;aR|&D5Ai_U3~3<f%?z5|(iXLaRq0hqtzN4$859(wQ=<QkENe5WS+&K;
zXgIA>rNX2hGMOkutWK*n9HJ<M^khb+6qAj<8EuH*9OXzUY*qTcO7ue(CD4WZ-<X#$
z;U(*}@t_>ofS0#<vtXF%c&HJalx&TUoZk0Hqhtdo8yWL={p;4U1y{fYuVf{gDA}^F
zzM2ImMQ}1Jy?pzQ9azTO&_Mb&bDC07Y0<$Q;&~N3L>rZdRGgAi(gOH~VKi!*sOd>W
zUnYqcpBe^mZYsR7=Pmc<KJe|K7wD&l7t)Un&tOiUX19ai>;QLd$K&+1XQned*q>4O
zJZYHPE{aNxMljpGURROB;dfa95X@?||Bzs^*<6Rrps0vaIS_u;UZs*!Y3z2Jn)zcW
zWP1g_wJoZ81!v8CUaj{0QJ*|nm8?98#8!#EoFq|T=lmkFZWthofcfkBFNgu&YP6VX
z93IL0vmrE`8}ZqSECBcrw?z+tHIp`$>ltdvx~n$~?7etq`})OK;BPBtOp(lBRb%^8
z`{-urp8BazJ;VO&i+1U~zGKq+4;CE!yd8vocMOCdEI4#J3h#7DLz479{pQeG7hs1$
z5J|p=qL`J;E+ms;(Lx_8EVS~6lt#xPD^LK1y^#LKfb3@ST!~w}$no&vgv1Q-Oz>AN
z<e8O2N7?xN+pY&sNV6}zbNvdjsQ$;t9|gOl<;$+?Y!0#XecKn^xx93{z2egU=w15Y
zn~zM`ZcSaV1*hJkI;0s)5ql5nDW9mtVa3#Mp&mk({w?^`nXf327cqqcJ^;u7c*D@~
zM_^i-!MC0|fNOa8%-76Yh!+D@^dkM7LG_%V+z-EeUVDi3Q0NPKZ~)C62M7llgP!vH
zC<E#QJzk+PFsVnS|2lO_`tL{k_U?Uy*)@Dn`jd1Bw1J7VWB6m~yVIuuhuXNCx{6)S
zcqu1UAZjR`&hngsM!KXsq@l1D4WRndxKD#Q;UHI*2uF6x*yY1hR^7E~NtJu^AKs#S
zhnKFqaY1cl-nI>=Z?YxlU9x%d^RHcWldECNWlJ{A_M_H*4&DTJ)2|`DP(Md;P?7AT
zlK7BcT0WzL7n*=K)7Y3nANsYHii#He!LryWb<kHK?}wvOqJssm(KH7+<T{}V^Lre8
zk7F2tJq(gqq?waRB-Bg;G5iDAQW2E~v|3sV?pP(g0ve?bc;jTaB{cM-p^doqRjBrh
zMrx;D1At+m3(My{j$_!vG%djQ7*ad=Pz^Zsyj;5p8x8>80e47iSEH(5VILU!(d40x
zA$TL)g1ovM<uu2=Mqw{6*B1Kw2;N;i^LK>UN7&_50Tn<<F$g^#k2YXs3|g(;2zn_a
zGQuQdCZ1}bp7xUC!ugbDHr|^h8O`uW&Lfi?3YGimf2eAzAumnJh6Br0(h5~!w!V_S
z;oeECGZ9k_w}Y()$f#0m=ZbL24Hvd93(eA}QcQGa7c=Yh<J0EHxD@RMO-)DfE8TH^
zfH&CLIR6G!LHR`^RnZfRl@v#M%)J&EFX<65fobGorSsCxz4ZVQ2D5TRXf~hPA~@pQ
z^AP4<b`bLW;q8kqy7rsDNzJNI$Z56iwU(5rz?b*DF#F*LrN3UaeO0NaZOOE`?Q47L
z=HGY!WjFoDKKej#+uWNDu1|5U($-~=zNk7Cf~kgU7jAj2EEc-(%8pojxeX3~JG`1{
z-FL(Ci*X-sJ@XawB$BfSAziE2n`xTuq1=qR$7~`ZMrb#X7#2ueU7F6ljv<?YGBl0G
zKqhTvo~-Q>7A(JY;MVTT+b_Scw5#qw-^)i<9tPY`7VKuz(%08rDt#{1{QAB-6RW$V
zPs-l=-A=F>`0lgfl~^QAmPXQaB8zPo)!|@|qt^*t1wEP(DPnCP6C!4e1Wkk%Bbie2
z^h@`?yr;8%{iFB2yir=17g{o-au;+y`q5)kUppMnu(M09{?A*s{^QO2JEJ3Fs!Il8
z>NF46ehpN2{r)XT<uXA00nrqv+QhgXze7&1w_1AcP~aG#xabB;G;1`QG|;VaYph5S
zdSbnCXzeK^z#Je_Lu2V8yj`1Iiw$aw$gl+Zy^uK8(2sXM{Lq`*5E;c4^M}?h##$JQ
zNH1OS%Eb22f(vGw!<l27L8PX&uC93LyrFHQxMOEaeRJn|Rm0yjcSxJ3SLuddu~#ge
zDfN!!FUQkw2v10#!(lGoQ&`AZ0s+Bp_YmMJxZbnCP3ETc19Jb%0sj0L{GR3KEJI+c
z#T-egq~)Vf3vWgY84BZZ>G*~N@#=JN!P0q}VD<>`FRm~2>zUM8#7cb~^TXQV5A6+8
zqzjg3OfpWtWcDMRrl_cBDJtUpJuZRm<v5Rv(Z_pCCY=cz{;CEv!9kvDj^-ShJQ}p1
zoTF?6ur?Xb9G62h>I7JW#R=|Ig?uijrFB}_C0EzKeB`26fbOv+4=%3jQY^e=){nQW
ztX_RZbWVG<28fHBv0zhzIXbILI%=JkDtPaAcY}2x@QBSL{e9!5bAE<K;{NL&xWiO3
zwMLddy9>#`0guAf(NMNGtnW!CE5p#K;B38u!zlZ%X~Kp6bM%cI0mcE<Il<@N@io#9
zqdD}B`IG6?2#Io)bh+FQox`8bR4F6XBNz56G&yd)PPe6ncC?JS0Q@zr?nE%(HDH}|
zbGk7a3$Y`86<y@Yu^*Y;CA|SMV=m-$h~0|#ZNmK4RclqfHNhVnDN0=flg>Drz~uPF
z>}E#z&8Pj!Vq4AwV#2-Iv#%FCM*?R#27mJww=R5rb~qALfuE})%P*0xf5#iEjjN;|
zsVc0x8*RQ&q;lpMvFx>u;+g*3J^AR0_CiM?;)0vFLb_R^rcH?QsT3P?wFW_bRf$o$
zxwh4HRxWw%$}vrNhM$v>!6B-hPL;W*z=#-ELs_i|F3%+#<`aCioKMrc|7h-LZSpN$
zKJ@H(Ee@retyj&HHlUWX6vf?xTCPRXw$^$)abHz$HB1!u#*GGTuiogy??6fuD$oyJ
z@4!x}Ou$%?X8jz_F%k-+f8ls=GqDRm4WiHGvixj}IB#+Xw1t;SRhP~*TFt)Vi!J!x
zqd8G4)tIm4SFp2lw4WLSF?zwq>uX*ZHqcvc>HqK*DZQj_w3uU4Bbe)<3Yk-O58||p
z3W%nt4P<)DV4znWgmz1>&4?`+X0Z?1;j{q{y@W-QtBa$@X9!qrnF?dRQ`kMS?EiL)
z^r!NOhO6+*8;6kwAXF8qgev<4*$T@{oqh*iu<QPebYh#dc6<*0_sR8jz`Y98EUPDW
znf||weFuD7)%E|o?>$M@u=cd9y(L@QlDA|@-aC$0yhmbZID_m#CJ7{A1#lJ+AV2~H
z2ua8Q!f2`Sk3w2nAO%`l{*+QEB((5r3nhN}-TNdt4)FVbesPAaIMKOhe$RR5o<sY#
zkD+f9VA+`PtZGk&M7#$h=|GY~fjCa4eHRd-VO=m^fL>QjH2v&13tp$F+g^Wb?#mF%
zFa6V^7jA3#e>?wj7h~>6@7zn>Nd0B!M{n%~>wsaLS_S+EsgJ2Awoz|f0h7tNOWp_h
zXu>=Q!?3w`c|1~g&K~0t6QPhEkza>lrb94&Lyw?G?fk$Bfj?E<WfAzds}BtMZvW<q
zd5I{S#rRP~0ATHSUvSmV(!?!{R!jY=hP{6nC8-Y_IRWWU1ca$d|NJ}KRxBc>4kNs9
zGqsiG7n(W-v7vd7isT46Y&H{f?GZ^bnGik0P=MAX<RcDRwB)sWTUMKOItC!VG67v}
zPBK(1#-CQ$EoQUQ+TaZ~?W%5>UvEDB5@PLrKl@F`!8ZW5_y(H8yFa@fRQDBWI60yG
z_Nto0+c<ytuOyp4dgoT^2=(v7#0%s1r`Zh%@XHjxkJ0-_%TZ4#Cf!qBu1Umb=%Cje
z(Lo6ykN6|ts8DDL$Z0hHi-7*`r&w?B(-W~+w&bQPl7^D`-XgJrn{D%XIMf$<RSs9@
zDsbFT@ssj+alwwhsQ&!fkM}$_D9o}KHzx9mHscG;!<{R_9l@*&U+4OF!nKY}>Q$Tj
zCuOAaHxA_=d@n!RaB{>I&oQdF<kX8O3J9QfYoWB<Fmg-XZl{=IG{W4Q*pus&sQ1Xk
zBnkrXCzMw*Sw{1}q}Q$wPH#LQuFdsTq!rO>lN?*N>X!Rl?XzkI3vYPqmhSue^83l0
zS&5d7vBsr?BfgdI-qQW<>|zjJxB8x&N_twu{(&_$tDYTHX{oEN1J1<Cs@i4siG^z#
z*S$ERRR9U3xB|-QQ79(^W{3*KV!-Dcl<YkM0yi81DVs>Pw4m9iNhu_UdBN~(qSutA
zWrWYBy0~_$MkBqrskEjhufLX*HuQ6{9l?9vPm00Else~h5pSCZmxE^N!GVE*<cc-T
zVn|CL#OGf_T69=eG!tl#=m@q-A`u=DB?Agl7TUw%=%$e@0O&Lbg%vdU3SC1A;~Cr>
zpOnbvfD=~hFc%!)s(mHVsm<Htq%7Bm92dh`8xhn_nVX2rblPL6U;O=(WLH^FkOh(B
z)i0pO&7xzAKdQ8aLWW`%R7wEEf+NCW!r;?t^<Jd9sA>}le3_chHC^~%CMP;2??I)A
zLu1vGT1=Bn%!olSb4ybG6xS6nv^?kX%JeoaSjpAqRS!`Y?=m=rnb`&owTR>PDMvpE
zxGhF5bt^{~Xr2p7?y)!>dUPsQt}8n5_1{9}c~UjhPaoUfw2HcqTF^b95TOM~ET65Y
z3izl$N1HV^4OC~2wQCJn3+^3h)H8kQIg35?rqcjsjY={5xK1eZ>{H66JT5omkU$QE
zbg1zJk~T}<ms1eaQ+ZN=Gdztv>G9K{RG-LnCPj30NAH$rWor|q1#>pll-4LR`=9Jz
zy!PfV_mnNmW;0`rBad_!#ABOo&L(!pgi|~E^6X|`d47NMtVFn!ymjl5y-$LYvl{Az
zqu5kmb%gqS_vpwCZ|{O9=)U@Q;;)Rom=eo{x-7=D;|h7EeV<Us1sO-#7?9J|k~HyQ
zmMsODAsA7l8nRHqikMyjn%Y19ZFdw9ia?AvRrpNiz!R-wYqx)S*LH!Ryvb2hUtXv$
zD)aW-P^I#f3CY#-+)g7NWKSi?tt*b~dzAXw3t&-2tg%8}I`^K(>qkdRZo6lBa&GZg
z#BSnEh@4<1D&S*$j7yGZ3Ay{kayk^!2^CT&+6&-6U^3kXs9@p$z-1oS+=u2hHFa&T
zDd~NA@t(a+2Y<D4`%)kNW?jPg5cU2o^M=Z6N=Eyid}JZOe%`PBI4x<&Cnr{l<wTWE
zqrsp(WRWX@?5G^e^p10cSa=^H$I|F2C3P5EW{Ng7vn<KKA8CQ)I=PpUVf=hr%q1hC
zU<Oa_$m4xq^j%65x;IusO$Z5M_45w*6vTDW@_4>ibTut)mF};GCaqS-CxYznpBnVj
z8Zpp>Gy=@4iZ)a}N__^^KwaF{zIt|QE7bvdx2lPbJwmKfCEA;%f**3jI9Di79xrl<
zt^uPlGWpj|M_=ETNl8QcP?q##T%vqn@}@lx)Zh2P`n7ARpHZ*zX7zNBw@}X8ez~Y1
zf9?yD3m2U@wD6y=E*u<v;)&vl`F%|-SAcI}S4sJsQ07<vL6wp1jQcPvvM;sTq_qkv
z`Ik)ssHcFLv7g9Jay&A1DHRwPH2Mf94M$=^zBeiOR5r(A8CV8z-2Kv>PNj%r$&H2;
zzk6H|FES{^c^@7dth9CTb8`wB^OY(9<P;@(|6N80;l5!makiY~XXh3_ds_HJfj_cg
z{@7gP0kn|5WsqwQ7`u&8F>BnMoh4KS#^pkub06jqK$gAcr>!S~kcNUkZPd2w6$5$&
z7N0cf(Q^|^@@Z2_75*v7;w~CnKfb`vA2`xKwsyzmyCO>qx}zgpn<G%S=GaPVN1_&t
z1m-S}=F+-Q+@{ENYHG`u{Odbn`?^Q=9|J|tYt1ns<@UYy+o$hXQ22-Z?!dN+{kwiu
zm(~JkUC<Md9Z<vlm?bLp%d*vK<sqG%<Jy-g%m9p|Obkmq0;t%L>D+mSBVhelrNg20
zkOqXWdz7?8c#_xmcw5h~rc9kw<o@;bW%UM^Lg)@Uh8LGfx}G9eFLWe*LM^#**}}fa
z3hF;&xwHn)t?RBX+xS#ZPgZ47V)v#Fsu4=z)~kQV<MfSFEvAnO<uVytd`KlHaGsET
zlp{ctU%Wu)R&=y6g^6k6e?&5#=RV=yqi{vI|6O!v%G3te)s;15qkF4Uy~F-oJ)Xy&
z+L$t_k($1mx>cwm*-w?>2WcwQ(3gq`TrK46=W;WZM^%E%{TbOQ>+v9BQe@DVg2Tz`
zf+S57eh^ZyLBIH!b$*jV7WT#qeX_$eK?U?q$z%JU>)~`{XyR-7@VDl9X>zcX1Orfl
zZp;%^*=;tnj!`KVXPFPV<k?vQ5#S#cU@TeEp$C#R{M0irKtmD}2u-skSz|;Gc9M@f
zud&F63pmm&L;2`a0AzA$f&M~Y`@+%$7bGMtJ>L%UBq~`}mAhchs&Jx70q(VFIh34S
zU09}~MS5l5wxvNI)90(LdWG8Oc1ZK{^80G)=b#hpf^sZ_C&<RKqkO4E!V(@*$T@&@
zG$W;bDGC1nyeR18agd|DQuMEs^aj==>5&`qBI>j|9P-h!n^)Uc6W>JNCcgT2=Kau)
zo3Xs8rn;)Cx%^O_Fe3BG)LB`ILt43WA5<kQe;*-44hMN0+6<6E_&w8epk&Yp{*T5W
zx&Dh(&x<Ynufe(QGd=yopzT<9_ccpt+dQkR!H}aAxP#9A1#xNDQ_E$7K*&0<xK!5n
z)Lrnry7J<Jj!kuuY6bq%&h29(d{)M~)eHJ(7*JPRPZczv-Z|OjC6Vo0dZ=1(rKeM0
zRT9~~xtnUl*YyYO=0H5ZyR{`AE=}=<+yr@3i0TG~GPB8~KV*}O1N&rX|D1?%h?iuF
zC-6h}aNUvq&u&7LI!E`q`bf2sH+Z7A=cidPFcyQyo~F3Jxh0-gM()~vox|vEy>{OC
z&6|2C)DVI#hFIcVh$V#3V+hZx$Js*ZI3`bJ)O71^I2F_I^cZY$$|Zwm?>(l}-F0#E
zgO4@e_6zE7UEPEGJ7#x|-rFg9`r)Sex4*OO_`@rxZ=dY~*2VLm0VQh|jXh1BhwrJR
zW|5hYj~1*5MOc$Xt;rcz%f+F6(w}A|J+t=5d=yW^uGFAY7|@tM1YkfcOLB3}jdi8f
z3f^;PlMt-KEyyj)fEi~ShY_C@Xsa*vsfwb3p;a*nzPh`JW@K;6tVDh(2?R+rR`~l$
zcaDYWBRF~a>V`^t-J(18#paKc@4u%%wX5j~`cyC%(qv~_REP9Jv5dvSxX4&8z~fwR
zB`_2x+mvQl!A#9RKX|&Q+UFf%%C!n}>w*Xr@g9CgN+mYbMye(F8{0Q<KXSUor8lkX
zMJihylTT}apYHncL-{U+@^!;#CRQk%Mh-`fVQOOBDO8V3(s<F6d;;sC2e)50Ihyu#
z;h95frn5{I{x!F6UgMyut|?NNBkg;5wB^A;Zv#0z*0)fbsA*`=X+1Q*=RjR9{(5J3
zbIcr$d99Jsa$o1BQkC|D{=wFU+_K_aPhDqW<Lanf{aZ-wO0?~eJOy>pK_f4%RxOrs
zD%qFCLZMioP9d*=N0@>+7t+uRp+<;tNYr`5GNfmfhVirQ4|V)TwCXWIQHjH-*Y64g
zubg_TGmAfxGn9C7{_xxJ8k|)QgxSI7x&NL^ZCEy>-4Jh{Ve52_ut-4Lx?L#F+b5HY
zppHTnm18p!nv|{ouL(`~nrBOy6N|;4uBS@^#Ez7Y?%G^cTBGC*o#;u~I+Av4Tca;p
zqstKqSku-H;>g-lP&O1Lci)7p9War#Lk(z)s@tj?S3MQ035k>T4o)C_sJQwSSw#E>
ztAzR>LWuDFVssx?@P3xi@e+29xJ+w=UlfQWpW8B0%g1N9X<NGIj+rWlPMaGu`FH4Y
z3KI-#Y)THF>m(Ucr6ecUDfa3r8rpKLUNr~D^VvKO-!Qy*aYtBZa8_Cilx5Woma3?+
zv~6_NrfnikUX`n0YYfPgE{@KwFgwKg`ba>ha`=?|EH1UTV9e<Z=Jjm4=aCk(tt>BK
zj`_8<5$}dwdv>m!lZPswSO3m<lQ@sr5gL^X<;<fjn?QF|FED1wF_9b<j{-=QzVss%
zqJ0_)@_Yu19!q0m;;dv*z<|aY!T9>peGl8c9Du7$&P3hF=JwSN1{ddsp5M8njwyC}
zxqw-G+l|FS?wv>e2x><?M#AUs?7w-(LocoZhkb`!U_15vZ}EQ=R+&lPl`lU1`|&>X
zoJk9{%nY@x4vR$f<>gf|$V<P>Zs&Urm0%b%B-iN-Y9W`yVIJZOlllf7i6?^0^%Cls
zNWFlN3z@u;O!tbCiU2(z6oP#;2ad(kGOjD^*-WU764^D<Kk%VIZ<MPfGNav47Fp4#
z^FZ*fU~~G15|N-sYp-Bx*iub?g(V@@t0Z!TKppUwRV-_873YX_EY5<Fc>3G;y25$j
z7masqv<W00zpJm8uW>i7jNE)<iHdjH$&?n(cDMH5+7nW9oi(n}R$ZcMb7FjJDf&x6
z!8)X$EUJ#|hW;vq<(yGrnBM0Lo&%g{X0BR))F4P!6VjZZv4@DRoG>69gU7n&K~W)4
zE>?uZsj8oX-iv@fk`4{I2k^PZpC^(j_%eOIqpW;QjYA`~>lA!tu5jSyA|!2=x^C;{
zM-R=fPJ~KiVS%eLr|=+t{NErWQYXs{MqMMV+zd->R{a+0&+Bdlyw^%;xxaPkvrm6N
z7}v;I%%4a1pi{w<5ED=v)tD|SQ1jJ%88c%X?Nb`ZWz%J{WJ@7oumPA9(UxYC7+`kC
zQY0U`m6S~7NO04N5c6+AuQzP$EW#%xlxg=o=EucRZ@>yv)L(u0s_pqKzNtJ4SpKO$
zJg|h7X|8U7F?SehS}DvQ&6pR_U_mPf03gQ=z?lvMeowj#^}{)3scEO;@U?lv0HtK9
z2k>New`o&nyfLe)wriGU<p+0cI#PS-v&QO*UA^s3Eu@_HK6jycb9IcoVewdbSW`IA
zF?Q=6og2QqW%ixD?|{fa=hni=yyB92YIcm8eD(81ua2#H4(1NaA;p=DbubF3Fe7?K
zq`oW?=@sK_eG;J1on&c{B1TmWy$F@5nS>$fs&J6X!o}d=_+2@3ANciJVD!wp@6A)-
zPo6~8%1N-5(t8qhOJ5hBIWq)|!1Ki>>dsN>Pt-eq-H1=Uy?_2F^&Yk3{d<<q2f0X!
zCP>k7dIKtqr7$8GAo`Pt#cBp2PzpFGp@2a?g<4WkK5Rq52xd4Ti6reG4bZbB37e5@
zJt2xH7}N*r1$OQ`oCR}Y`pUt=NHA92RYK%xE-!=8p}4uQ?#9YQLpFG&>Ejai)MWf#
zgKs|A2GriFyhzNgyoutXRIESLQqxn1&^(R_s3uYktx1GgF?p1Wsm29z!#GQbtLf|q
zm9i`le54nhASh*(u+n2|#mOs&d;+LPA9=&P<5#x~+*7yx(%p%5Iup*A-#+p{hq^9d
zEw4?4ER>7b`QUr&8~2VqLH+u;5*&Vr>kviDj{?h{vVn-YZ1Fgvr;lo4u!vtniJIvu
z8>+1cC2D5YxKsoQ;|Noo6p%R7RmV(jDM;7XNCcFi3JQTF-O9jZ;k9=^y<+9Oz=ykc
z?s|aw;MLyyd!K(DoLh7Iua=e+G%wE~cFm_gx^?SbC3xeL_YWL+nfkA12&xY}EW2<N
z)B)C&C5#im{ZRYRnO`Jp$czQhAG<MIRHhxzm0PSrg+h`k%&g?WcO7S>3S0RQE1~!S
z*=I`6;TA(_rfY4I>3l5deo`$hM*K8ss$bDmzoqGK?*#Tg+1^+)s+#p!U1oWtWpkxJ
zH!(bS#k)I?+!KyF%kN%z2K4SoY@jBOE?>W91z1ZxRupJzT>II<u9qW)eV=T*``cTS
zQyIZ3#&ehi(?q$M3{3K!Nc<g}!#hWEu*ka?BJcxvlEe9aILEf*x*@j2f}a{-3*UjR
zDG(Ew2}V*jkHBDZCw^ajj%1(8V55=(d=mr}fG2?7hJL7mCo|G(L)TM1`=RhRJT6D&
z(4vw8mz$MstO^x)YU6RcDbFn7^YO!ZRVsy6#G>m8-kL1Cxv)6jmvD;J?h=!EpafOI
zP<5dM(xZV^C}3b&GPXENoh@MVzQ|ylBf0d0a!3@UClI*chyDS^KO-%JRCQsRLNF#z
z%)e_$YZEGjHkq@c*e^SrrmsLW`rueTU@$rugsOaPKmOJ=(vT+KdG!lY%n)D#$QRj3
z-DJi&;>(k=$!P?YnqHB-r65D&D^gpEQ&$u4ia)*=UwdR|_2UcuUs45{lJ02noFc8E
zxT~n5H>{9>7^pn<pGTWJAHBSnIz=7B9~yuE)>!Gb*LNQL;~k0W+uneZIg4Q=i;;mj
zu&igb27}sij=1z}CTBKJn|$ICpq)8t$4}oF317Q30#yO^qVUmO1ClM^@a(1SC0G7h
zG^@~*$(Qn2+HBprflN7X!#6jU;AkF;E>|bd;AOHIpuHVuu(=s*nci*0FWB_ah{CN*
z+#C<L&$1(pxdleMzd_yvF#TzrMw2yZM9g6@AankGf<qJMLBIUzIRVf^rm0KL0G@H@
z1%^Qg%J7Sxd`p(7hrwoCIiZX;%`5F)l~8FyEuo%`rfr*l*EV{0w}Y$BF{qmQMh9nQ
zJ<L-2T$OiL21D}~EidieKHA|Av=tlY_P?6v^)xLlv&G9|7X9r0(RuxLNb&tJOF|Tf
zAlm2foh}!t%{EP{pfFEEIwk=L4?rsxqT8QphL_BwQHHXm^cwQyR7upCmX|JIvYuS^
zoBpQV^9szhW0mn0?f&95&#dZsrEQBar>NeyW&80bJLVsl=f7c5*Lnl-mkEEsSU!@7
z4mOo(dAz*l1<|IR!}%8Nd;ZE?>G~VD@9byz8b*uymkbX<U2KMW5N7}wCEbvIvC1ry
zaoA42z-Tt}^%F)dAL<42_jKpAxZpwnCQuj9Farj<n-;>tfz;wO6scz1riL$}J^-An
zb!KO>z|@6tU>$!z><H*&yjFrm{EMOT<xox3cVIJ4kT|#h<$>aiOp(HrXWQ2JYjEJ#
zSN@!#$~A`<<!>vDn#H_g@X71O;gKHwZtC(bG~MUw7sORY1ao2DXeLK(*J?#}h)E`0
zcEotq??noQh$bD<n`*G5kAVD4VCLXkmQ7?p^GsL<(KV4EQ5@f_T{F0C$L*Vq;ZUAo
z7VcDP#C-M~{?wVgjnVG$g+;OTCzf=a8v?w!?YHdNeKVfHXXoN80m)Y>zNXfS<$=DN
zXZP=&A2u2wy^ml0is2w1!MK<{nu)QYgX3l57{O*SFwbj&5786=P~f4R4iK5>4(x!)
zAR`J7QzG!yVel20n)({&AHexjUmrmKADCh|aMa<OaROcBMCZyg$Q~y*gQ)`tke7KJ
zm>3RX2|XK$cM8XtB<A_>V(R-q@_WDEOm4<69ymbNAE56@?}FNJFQXOnVXe^|u}~n$
z(Cc&n$CVi_u~_jrTOf#_);ymX$1^_nPWY@ko$7PTgjtW#y==*bHhRnw<htJjqX&dE
z7XqFOBKRvn9}V@grBsIg0-klI9p{PArWx{%<w~nJ9-@wYX7uP4oMp>63WLY+8E7o3
z3tHtXnLNf7rZ=c00L)grj8^J=ti>au6nsO0lN!q@Fz}}SC@q}V((`<GR3I@$iip-=
z#H!@Sl4oS>hG%TVDxyY>+ilBI@UVETSWq=l9dH+CRpWTEu-aN^F_ui2i}lmZVrdHy
zqA%%_!5_4jOde<Yatj)+z+}M$BI!9pd2WUc9_qTwO~KSoW&(VqFocS${L%J2g*O*`
zrtya2?yhIL27f+eFA4??l(Y`${Ly$+Ww7Y11|L%u^iXzmbcQnE0q?nkSxmBxdX#61
z2IKwZ0fi}>jK!E@Q-QntOz&3e>egVwB_pFz(w<pZ*U`~paOB8Y3~FvsnMslvO>w8a
zBw`Q=VllqZ5KVbu=Hrk@6<9%3!<0%j8m-n5#!4nMF_nSzRg_vie6D{Y(>H@Xih@ft
zThQKMy0My`AwJ{CDVJcf;x?0(A^R~q=$tETU_PE3%wjRKf^NzS56ZwvCMg_yXTeRw
zuMUfFk|YSgPz5~Hs5ehZGL%6t*xP%qcl6Csu%00i2zAlOmB)*sCMi4}Uu=pNgXL8R
zcP-BThSL1^ci^*cl{Itbjtse|Lq!pY8>Tr>Txt*tV_#AB%a_4>UqSmBxq6w*CZ_0p
z7G=+2c2as;Qk1RH1kRDtC|l_LLL%X+J~W*pnP=S-7#8}N;6h-7_!01=o>2hLrGW5)
zCxBX~Luk{3EsbW(mTS=pdLO7MA}N#JO_r{T;Cc9GIF1uchNrc)-BUKd+6Ib1p~BZx
z(6}h;o~kutBcb}`^)`S@gL%{|e|)Q_xu7?0wbYn!fV-m(v9-Ln;NT;|s+y6gW_H(p
zqgTfVxUO!?5Vf_e$*<u@!AFeI1+%K{k$MY~`PQqKi5K8`t(f~11_1jUsW_dDT&e*c
z@w8MV;=iP#516X(cu;#jiUq(l^QvSBf+ZTXUAt#V9KTyRr>U?nZqY>NR@QE>5|{*m
z-oAN77k*#4<@A`Zt)a$@f7#O<8a*)7clU5GQYp1aLN#tF$oPKc&vw-@c_MlSGNh1v
zgmD~Zp=DUz2@%Ap(q~l}n6Chm8f9BmWnP%RO}ZetXGGt~WW_H*%GoC~CfLuDLX1mh
zV3B`9!32azI_P%JB?R;6&W<1&pl!>u1d>XLVi}T`(T4Efj2ok(V0t+oEg_-<$4Rz2
zkP9;7K#`vx+Y+rt`pF_ft@Ta5Ikyc2YPOyju|x{;HQ5CnMLX|Yb7S#Pg^g^A)G6d9
zwS*bte?MGW>5%fu36gNma^iS6ZWR#mtuL?NGO;7U;E8$EV;#$4s<&T#eIlp4&6VN<
zK|x9BFgq4Hfyv<UPwM4%nhP1SNxPk4n#_b;IHk*aiID`A{%M8u(@kcU84^O(+SJk;
zR4TBho*{gdKX-Vv@RLsy8=qOU;GkD&RSWQ`mfH?EYHMm8TRB7XLhWS^=DBdaR}L5y
zl2chhc2(cH2KI~RMdkt<XnOcQ*R0jGNVi5Hs*5w8hZrM#T5mAq<NzqUGeWUQgngcS
zj%1xQPiDic<5?DGf~`$GjYi6qya7Thnc)X_LkW6~jXZfd6bcM&vN7OisqdKTke4dR
z^(h%Q89iD7$!lD5u-#RwUoI;0nsP+~m6#1!#M-GHX%8qgl$GM^O7Kjz$GmuNmz|w)
zK0k<yg_(wMbIBYSKijDo*$Vkxiq&Dg*ih6Xs`uxR4&5tlZS3QfjuTByk>hy;R$5xf
z|1g%*sq%|dF*G1Iri!V|HIs!<6en9I&2)m1e)jKzzY8y*9%|?;q2IhzfG*RZK5%*<
zG;|dxhRD-kB(>(*Fyp@R^&4c8f;3#)ZSdnAGH#q~4Gj38Q_&d<#tzN(HtTIxkv;AQ
z8SNVyt?^A~S1didrJ||c8HhK;n<Gp1cUl{4;O41}#S4P9e&yo6k+JMx{=N6#{b2i|
z!<o)pC$WTJK=ejf`U+-m>+*28S%q0TyOM2;^_Nz!>+mUy2C5VDERyC>d_l;ud#HVD
zyNk=Aez|U|v9vvJ<Hprj-Z0GybT$lh$EyLrk*2iM2;?|cfHj<lpGqMVVMEWWG=b1W
z7};??nGuz{CY*ZA$h1#5^x_GTUN9llYo?fx&oqNmOoo5_6KZ@QeM>1>UjAX&NiGtZ
z@fw}zS_0rPJkZuy=e%zhArE?~O1nqN5<4q{*7h1dL+N!<)h?fssVpo6oJykFSMHJ=
zJ3|c>M~z|uj5`oh7J~pqK)S!+;Kr(KU@NJ!Py;1pMln=2p2S>ML^L-K6sXxTKD6b9
z(4c*c9Z<_OnCDsWHjc}oX`JPd6B@nvQ^`3}_^cGWh)e0SUA!bj9*hnv(>rG9tn51X
zWdP^jUV`W)aGay|*#S|-RQVvqj2*xG-G81(LB0h1&g2s*4JvU)f;+`4iJC-wI`X$d
zdi0S0D$MpA;{PeWd_sZvt|T+gW=yd3j0vVb$z{acOY~^D8AEDPgn-9r9#wh*3W6j_
zuG;Seoa(E^QIi;kT)xyCDI}U}8k7=^Ld1%p<#&h^tPE&nL)e0sF%^`&74yU2BUmk@
zqI2NWK}5w6$&4CWCT8iICYtqy69sx-4WCI$!V~#=!-QV1ozUrXrX<MV%BQ$9^?`Qz
zsZSB%Qx~T$UZVT{S#rMudJ||pbRcH^KtW7DQV^&#d=#&Ld~9%z$RG$Nk=M~sZC$)w
zm*3gg;7%;6g%Xha+*GaIt70i~E8M2pRX$PyU#YfxlCRj?Dsym#(w9qB+u%!3a9p*|
z2AIS*t`-;+g5^#z=ot)E<w$T~nYCkp8c3lRD9lJPC|s~HF118v<xq=LUM;DCxno<)
z<v4DOG}x&5rDX=8fc_Uq{MN8Yrd5cb_>;URAA`J)VYTP6V#xIjOadLW!6OElQ(?qT
z$EQxje;4GxP(6{QS5Bz(_yo|$CNTXqCjT>Od5FE2l3Nx3HzuYPCCz_2^P<0le2l7c
zAY*e?26H+qbCaq&Q=OTWNjCf1ni`!oOKL2*-0w}DSiW#qqb{ec-aw5cl{)$(b*DM%
zFVB(K+II9(Lo`%Op^FO00|{oqtmiQSDaN#zloX$W(UgN&pqj*z_=mQ@Wcm0SHb8Fq
z`a%s8pR?rnx@gU|lk;zUc15^+%Nc5qxqLWUHMca|Q8|#mdAGQ9(<@t1oUhq&e%aR7
zb|i4&$b*XuV@vLCzTwe@!HbZp0ctk68B*oKim`_0Ff%DX8FUq+=*f4f48BPRf;izR
zgwak)K9wRF$>68ZQqK|pI0=mv{(())CM6vN0wDE21mH8JAx?%FTWTN2^p=<>8LE(v
zDs=f&EQokQfT%&TVBpb#rV88XSL17sjUHH}DeWuUwr%x|{((C8(?t=Zm>-K}ijC1C
zVtql4SIthzptRb;p}zh8mWeH;9?(5!MO^jf>#x6tlr`lKh}+@GbFtVdE{~^xXFg?d
zehT58@Fb?mfd`HXbQ4;AHuRJj5Ab-R4BFr?piw&Ltl|RNLnSe)T&_s1y+gYWf5N1Z
z(|Q8NGH-KBXSg(fGgql|WNWIUF0MA{q)L!g0!284l&=gT>|l*s#``wgq0Y2KXM3nE
zk+@O7ODo&c<sD%So3^Yq5Ub6Hrzpg#Pi3psY=l|85ME1A7Qr(+`20L20L;n4JcP2d
zvvreM%2XNw^XWkP!AdHVxRlJSOsRd1bagHzsN`0Jr0&_=jBDV#Z@It`s&uyv^S!-I
zO*hmS!=rn9PaRvPy<x7aI;7*s42sa$aC@1hbn)H}Q@px05C6_tVv|(GvvYF&27Pg2
zcDP|#t=acUU#r+!XjfYF8otiw@s>0Ms~1(62sWRK<W&eyY9K$w3|PTQ9*>XC$I%%K
zI+a{5c?qIB_E|mea}Jx0L1SW}E@o6BNSA-<asgceM$Lu+nL%a{(UmZiO{7=B6zYRg
zah6oXegyPVhk?{t>T<Q%`O3_e+pG87_5g8)A>(J73+KeCC6uXqc~oIDh|S{4vipwU
z)ri6YXyNx0pJ4&4_&kO~FXx7~B0Zg{m$F{^AHu!_JgV~C|7<gp+4p@rv+w(sb!M{f
zdjbg%AS7W6kU$7aK#)xq5f!b7t=0wCTB|`8MN?ZH(R%gvsoHBFn`_mUmiF4)YSk{}
z@c+IuGf7x_{||;C0cXB<U%vPK9VfIS%~yK(BFV^LP8!Le^hswkik#I;P2#+r=L*+c
z?Z%ib8i0Tt^xyTP<pM`tiKC}J2)w%&O``ImV(MxgPJpTw4|KJ)dKyRTZ73=ah44Sj
ze6#LoyV0I(bD<}TfPd$wXFQP_zn)Xgp=*P16$k_NuG?0i-%TVfav?-yz4{Gt8=%RF
zm`<aPjPn9GF$Xaa?9&P<O~(8I_S|Db6!58Pb5H(-{fcZ^PCw-Lt7KFt3M>gEhKppf
z!W8<j!ELpvmYiOEd;Q(@3M1(>;(ti<%r;H2d(YLqJHOl+sMI+;>~y+7Y)wXAr}n-6
zI=cJyXv!jD(HTYj>J{cM!3ph%^Nie18Z&x$Mg#;H)+9H>hMbn5B$B;ShhMp8GvojF
zvzc$DE<Hreh_pth9z9<Y7Vw`$<qutcMJ$aKp$GI%(kQ3id<gq?hJoXu5{sk&oX=@d
zmpW#y;L<B!pnvgJsvTbNQ<lV*jLgv6s4fr%<KU!ah-Wg90S3uRi*1)2q`@yhhyqzg
zL2@z$d6mee6L1*)nrA3Wb6uZnAKpT@sHOOPqOhi8O0~m@j)Zz+zy3-W@;GHwrPsxi
zKJcVe<nmI7f%!$Pzy8eVcQ};jxu8p~#0H+#`1BGz6C{##N$T&^+qRfh#z<E(3^K7*
z^Plf3tum>JQJLn*EpZRZLS3%7Swy7MOubCz*3)R_R0FLqA;fdm<;|ES3^$<Yv`U*%
z!&eT6pS=iqmu^=BA6oQ9_8uhLoz7i^Tq~VxM1w8y_w;Y9F;zQ;d2TZqNmTf$|B~p8
z9y9t@IxG}S{YtD%q|t{-x7DJm?!SGJr=Z|tw@p^Mz8A*>MHU$c5NEZhiybrnME~qA
zGrD|0w^(9pDw^+5j?tTc*0dCTU#L>)e<jPv?d(he$pq<X&RnzY2^y&W`YsdQbwq!|
z)R)F7xj(9Af&$)+UmlS;qg4Uovn$3x+N0wFS1z@rVP~wuBH~t1cQg+aE5PTMg3n(?
zZ&4f5Lb+Tc!cbfwv9sBPfXs3YC`NXwf_|{WY-=<7Py+bT<LEH83jObBg-0*gQov*W
z>wnSTQYHA`M^&y+IzarElGjoN(ojcg@Zw-K){Sker0(cknUH`_-+%Q}MnCZ~!bJ3G
z9>V;X!5~oVV;m<Cbs(Y=(Zw>9mox@G9F^}UrvLRBVL-oq6f-?Xl~T3OUH={o0{q_?
z6ZsgHU)R2e5*``8hXK6DwDCFgCG?HwW<Gfo;(t7goMQe2{}NHsTWy7DkyWLVFx>_T
z&#FQQp;msL(4RF4g$}k42Y&>Np}WATcj>+h_y(?x%?^Ch@C*5ACwf9){$rQtLAT>i
zMt*+mxsQMG#9dQW!ME?Z@WvY#_M8<|JhW=`=q+0}o_oCZ-W}`j*uQQ4N$lg%$A6#s
z;a4X&uYB^0XI`E;@%i36&mZ6Ry^n<Z_C9jQp(jtn4mzS{xQHDf-wULbA_U`OJc7w)
z20?IVVoYHAsF;NW0)2G3-Uqu7bSr}9u1RVFUlH5{!T7+JMfx=Qvx%8ku!G}AHlrJ;
z)(OlrbA0UfG1PJr)tp3m)Zb20mrhdOpd66XJ%DhCA>v6O0S-jg;S?ZDT9C7Hq(5mo
zoNd<Al7#*G2k>{Ue2ELL#PD~pqYt6CJVX7O`uqpfKTe&x@jaOgg1`$n2#R5N_C4X-
z<<1Y~3jTwa48#z4JMNXQ!CTXBOC9(Dsz<HQQ2Va@<`nET6##wzABGvRf?yd-3oRKd
z$(y$6g)ZP*5D+c-X`Uh@Cqb+s(Rrl+yaSLF(f-ktyP9*D1b7ZK0;fSEa3u=`fyd;>
zW4KGG^XP;aNF=GW(q~f)^QlIz))PoLu>FrOCd3AxSxDWz@COUgJq!+$QN|EjN`sO>
zG@&uqRacqnd1Yk`xvx1zNdEN+h?puy8Bu$T`uxuHjzbUhL5-~dbbQSagX|;-O3Fl9
zgJevkJT)ye8_g+mtC=vH1<`4e^iG4!g*VB|@WBg`kNknYFNz>7*Q~SBNk2ozl;_$s
zCVDfIPR$^~#B4TZu{0YUMveFshvQ2MG2ZxNYXa0eXy5YMd;jn#<-wM$Ke5z<8Om2R
z1Q$A29Z}VX*FCr@q$?k)KUc=!dls}}zw%Zoe0DTtuNx}=W{APWY<s(xpIB3bz3*xo
zuJly-K#@&_W=^1(t#wzAzb2pr`hEM=KN3G?Sm9368IWO4`#_4rKO>imrj<InDL9*9
z<}*qGk#7P<@L8xlg3cm|eQOw+U}L;~|AvK0a^rYOe`mE}LpnaVd}(m?BkKxd%MN`1
z#pS-Pp2bo8lj5$px^Cx_7v5ZY;*h4WH%VO<DFm$2kw*sieew3An*dP?G1M&}6NVSa
zL<eMIPIHlrjx<keN#9LGa3k}xGo~1mu$XM&Y~wk5I}h1E%W!|05Ix#|XS8<9g5ZV^
zsGq$}Ekt94&TQeH`n<ipDKc<(pCzW4W3$R@LsJrotZCzkrKhQnKHRz%MbV+*k*|&|
zxoaSTVSuktll}!x9Yng*J|q()eLm-OKu8)%j3jN-N<=TxV|u+%X;h|^tx7_v<OfKR
zNPYuV^ei5{D(i#EFa6sMWX@tg&_bc_%Vx1GnvG7QI!7e_)0$xhM;mlekFUwtBTkcS
zuy;AiQaVi^Y(XPMwI#*g^^2|y0=w}nXr3jMdaJlKD5ruvL&Qn#iI(UXGyjxCm$y)l
z=ji+cpfijVr}+|za+)m^ve}kUCJYEj^Wm+ZIb$I)j5Up9NrLCk*-Jj5r@=TJa|F=l
z0R2D~Z(ts&#2;z_1)89ndTB$(;<wwhgUkDwGN<_$d{QUns{K|0)ymD23=D}Orrt`l
zgcT^IW}C_)RDV2078D=eJFJoEWgM(*j#k=s07Z8Ii}(mwL>lp>`F6W&+LXpJ2qL$F
z>Y4vyWLm_RXAJ{x%1W{j7c>zxMnd*lZ{8gaG>tsM1#Ca(Y$tmUh>Ostg;qPCt+Uuf
za;H+L;|H6oE3B(d4u+f^6OX;KW8nG4W$T#z!w+tc^px91#@+3;2@zM!VFb#s&awiL
zf;)KoqYX?BLu`{M^kP=|_#^!*-+$|cea!|v_06XB`wLIK_TGwn4#8f#x*{Frdo6Sp
z3$5xWKyI~2`(#C?94cKZlZG$BOn?@h{IW1^jAQY*(U<YVpNR6kGj4`M7G&7u{I(f%
zet8o_X)?3xq=_UWVVeE^Mx2Z+A964mdk7YR1xf@|57%htu;nU^TEm<94c}~#`;#JS
zF*j?lY%Vm|C%9&pUL{FkBww!)!=F43f1(hhN|nQ;6}T-#Ss7ErXD8ZLj%-ep?BBb^
z<Fpa85_dKzpmvuQ2;5z*)aBUL&4VWT2OOcNqdCu`=K+s8kft;{@OveS7B^-ZAdl)Y
z^^had(o6|ilqn`jz!iPQK#DUW_}7AraK2NT$E2b!vZxw)1<0Xg&|!|=z6ExGL;Dpl
zZptzS3qy5EyUn3qeRQGC?%|>r1xi=Ev51=ZOk;OO>>_GVpwpoQN5s2Ltkv6ei2{W}
zCgOxj=J=O&cu#PZq*@}D^05D43N^C!TUS&oRa!Ka!UVSRDD^PqPNeN(R#_P)7jad3
zhZZ&1y(*S#Y5&spl$hr3wGOeASs>B|YNI)?paGmSAoet0ol%h>pj=jxY*-laCP4;1
z$DXV^L$B3}c{n`ip8RnwF1=Fn4$4ThRi*43R$aL>Yv=gi^PkV=yF1&iY?GFa_EFoj
zVusI0M-b*kaF#0Iq1Y8>V--mXkg5yt07x1LQ4q<5$zUc#3I!yO57Tq-3my$7qBN2q
z4Y@cUnIo&#;BYkTBDDIONlS{Fm={b=ol5c;hZ6)^y^v2@I9#<(XV3{)3bm3gm^rig
zn3!YMa)G8xxxr#Cbvs}0G-`p4vmw#D_F?5{3-KXa;Oc6fv4zUCd9CJDuGqf+VA49U
zqFZ@o9ez6flfC}c8`dprQRXD$UeE?~yjlx6b7ca*Ez1eUyMPmEByvWBc!1(UCFc1u
zUecYBdq@EtbwIhzn-xza-ww>qn$A~R;L<o49P_?8^+2NuKG&=iTMSZPnE)N*o1Hqf
z__GtSk>M3iK0_dua@cB(R>9AbZEzZ9$?gpdEbq0Uq4bZI*4}qy+&*WPR|JPp8TcjI
zZ|qn$7`6|MZ5i%SXGs=#7PQQge9O$0ug5|50P-6~0r2KZ#DmBuZPS1>{-k#Lnkl-u
z3<iQ)q4T$U2&{DI;n7la-KK|szIW}T>k?%3#)p1E-9NUa>*#1#p?>rDqPs`iV=6`Q
z=&98U-+Jq%V+&H79vN(V{jFE;=|vCUeP`=|A6|H+?bvs^j-I~oVm6y0px<>MQBYAx
zVUwJDd6^S+I#Jjx4_-#02pk#Yy2O$;5|~UXK@#aO!}xMzctjPmkj^+-gub!v$+1$b
z^S)o~PV^YKI+f_g_=uK_KhS62b<kQt?q-Nh_2b<mPmdOXdLTNnu}^uk5IOTA7GAQm
ze*FN3&3q2?v)ifTG>5%FudI{B(_)zJbDRzbVm1e-^^E+ugXmp|5eLaI!`>r4pXaPB
zsxqA8yq5iVd)bouB)Rymq4=B()P+4ePp#7Vy&<E-?h0zlyseE5GoN2C6Y99B{lFkI
zHS)cIImy&M`{MKWZcsNa4hcC*yROz<=8#~Y-ds-a0XY?e2pLWD{UC$0AeT!@xRsZ+
zP(tdA2E3f(XLuwh!zJhS{{q<}0KIAcV#=+xFlBOj{|Q2g*d2a`BN5K0r4}6h4Ns?)
zaMT_XpX%n$s|wI}_CLSYd*(bAD3Ys;u2ft=O-sytnO38-#~t!FKQPsew5pQ&tynBJ
zv3bZS*Go9~^(l_OeM9=*H=_iTAeXl;-CSubD06I#w~n<2bZl(skyDB0fE=6on(i9@
zk>~`HEkZnLA>X4>dUS<IOb0S?W$a~OKfu6|R4R*Hn#HVzgHF=<9p>5RjkEF{_4(~+
zyF>aOKC!!eb)8)n?oOrplE#W1KN?>4qvb{GaecHcQL?<sCh<0x)U7HvRPTOa{gMw>
zm7uY0>&)pTMb7ecg~QR@xhT?gcp$DPslxV%nk?xI*^<SjR$tqK{?dhatu8VeP(dyt
z{T#^Ci<r-PfWtFgmO(LcE=$47>G?$|kX;12cPZ4rERINymMq>C6x!>2wN)dPNO(Ux
zV)ENf7MFIok*I86gEI>lEFp-ikG#iaqa2ObA}C|Bg&JR73_k?w(`Zu+?V!G2Byzbd
zT!Dl`Tp9J3=Q2^4ar9jMf?)!ubR&UDSH=y4lmIcoo-=H`@g|iS6?{SGyNB$QIGW8Z
zA!{Qjbkq6N!UAf0kW?fvt<dCEb1;m_=dn5Hy#~92y_S!j;VEq165q_u;|h<Q5E^|T
z^AM+SnXSmh^H>Le{>BSc*r`xm+@ok@rBXP@)n50nKcXCrkMaXmK@9;jW<H23Lv$`#
zKUtHhg+WCPZ(ZSit3RzTAjI~Jjf71BX+{FiFUp8-BxC;ND-BdatIBM|p`$EoE>VIa
z!RIHIXqL=Rx&11eM;cw#6*YSJ=$#^c+#)Hd>s;7ne^6(&c&$9Do#zYcoPOEwbXIwR
z)hVFH_(HwjAV%N+uEu6{X!(ExtVYAa6>9>;TZg-p8Xb{JvFv7Ps&(=5r7r4FWk*=U
zDJx@HEzW_pYlGB3jDD+@uhlVut#QR_35KJ$q#IpAW(s(cTd)3^_!WIaRf#xHlUn)`
z;VdFyL@!E(@Io#*#mL<lMzRA5`N<o5zIuR=1^IEJ{NPk}<u7;TM&!C+@i<0BmM>i%
z-MZJ+xO(T&#@6lO{`M1mj!`eMxI#veSrqPQZgAGM2_gbfV|&TUu5zEUtje6S^z8h5
z?O?g#2aoliesIr{h>fh4&ulEL*V)YiL%<|9i6Zp@d0)HFg;pg8eQnjzMO*gYo?f>`
zrKx@sP`MdU*+Ao0#SzCOc?lFtqH|_D!gODh3E*`}cq%`60jW%V4P~s%@ABoQS76;V
zJ3ViU%n_ZtSVVs*i1hXL1h(ATd;i;`brZ$vs8ZsT{DsTq8NzlUDy@6JKvv)0ab%#d
ztkSn`O)sutmG&0to_+kTtFMjd%>uKK!DbS{a9SnRi3`vw-j&|?YF~ThnrA*(H@voF
z^ACVF19{<J0C_nP(;1-H7adl3=cbg&gr8~VCfjly5ukGO8X~i|P&v7=@D$3|2h8z-
z?wYW+t1Hmf)E<&rr0YJ~`Q69ets4$Kw6Ok`%0le-(Q2m{4R&wZe`oF55wWv8D09e0
z*PnT6>5m@RwKyyif1TGOz~Kbag!m_;mtug!XXAF2A$idW)u?XD0Qt<ElIHK9Q?rb|
zsrERo(XpJz25d*K)v6?hzae1Xs6c{i6s=-ISS;gnbrA<2bw{YXxsv*}lA*2&s9pZi
zH9cr=NzIMA#GJ2k8b_+PQ7zX=3NRp;Pvh%+?NyQ9@dLM4tXq>De+tR+0RKCX4GFBt
zdQN`PWWrq+MNmEnNoqgC=S?1FSGVZZ-R$*yBHKn5ndX>b%gxRUF#Pe&zdz8jz0)Ie
zC*56N9KH3xOecfcyEN3(y&ym_cApzhBuf&*%UV7h+Z<T5r@d&$j`7Iq@zGV(eVQ`s
z`a!w3I`}PWuUHgM*2D+yfWDkhZ6Y3FYyrO9|DwcoS?Zu~ij2m9F=fP!M)O6z#?HNr
z=WgDiKJ}&OIYau)aCJfv&hC>~68Y2TuvG*Y+(E{$!28ep<xCEXsgOC!<38D2&q@;I
zK5p^l3yCg=Yk(E^MQdYr7AjXze<VMCpQ(<iF?IRIUVK|KUZ5q<o#qz2Tom&yp74!8
z?rNzG#G8P-QKS*^o^jZ#d>0Mic+gjs<a|}t^}dQO4X*cASznz+tAXF;QFiA0E9kD0
zI6fR(-nTR|zQ@_H>Xtj2TDFB&G-=~HGFaTc`{jc_e;>9j7F*PtwkHQWtBRxQ2v^?J
zQoIuAm1<9XIB5!+RbN&Qr1a06>YIFM-%{Fb-TIGPPh5TTuH{j5XpJ`L^{A>1aYJFT
z#M89#xvgkJ(K>f~RkUZz{-fm|mNz+TYTKZ+p#ORwSXUhqc(K%PpQ?b=7G5d>MwaFj
z+x?`7&o7vg&nZ}LiY4Fem~UL!dLqAv!=lm1=6SWe*8@rVPuV;srX#baWf4cZni|~J
zGOt>qF=`|QO1mLAI@BuE1l6y70eqZ3Y=b`TupqQ#;R5fvH9R4@*by?T__KBut@q1y
zp-QK7^`_0My41RmP2RBOc>UHtZzaN!v@+-PX5Jx6x)YjBtBk#+Q0`A${WEqiJzeHT
zT$7GV&I^QyzUCB9Vwek#hzdEgq^BYQIA4}SRhhG;d6XyO(HO)Gu|=>Ap*I6A0oQ1h
zSY07QRkXXQ-eoWIszhpoUdh0)NI4HRhv3B7zuup95EZd{zf2dZa+y|)?b<mOC=fCo
zR;-E(&#I<2;@j!7nn9c~ULxUHO}Vqu^DUyw?DK>myTw26q}jX4{Ek*!l1nUrJhq44
z4y{zTZn}SkCMZ?&oSIN`Sx9b4yHs2(Rw+bz)$~N%$xV-~4lx*O7`UctYu}@&?zK%x
zO@YOP(Gwg{e@@bPvWXYXTK7~8uCM7e87;JWcB)Gx;-lP4p!yV@=G##N0`-SR^vzA(
z(oN9$S~3T{3OLK6i-q}ohUqB!=!Vz6<Z<|htX@2?v-d1)E3=Yr9=ckc+B`B+tO~1n
za+OXdFxUcysz7^vl_k|2_Ze7xnL&wuLve_3tZX(GenUpm<;60Ufsszemvnb{n;vX-
zmDnU4jn7;jtntZH<4>$q>4gvr?-bCPI|02;#CS%h)he=6)SOFPK;a8Kdv=JLUVM<o
zC5c(G;HdhIDieR*)2&r;^<k#~(2-nKCg2%KiPaf0mPa}p>)lXegy`<q&|NFnJ97bo
zx=e+s%ca$Moyn?xmCLrCu3Y}iS_nMZY9xK8xv8mksso;`e+mw%oe8>7?vxMy$)MM(
zrr>P;X|aKp$!zQ>O68AlvLqSTVad#46wp?jM_ZAxB6CkSo^uMbR3`G#hG5|rUKd!b
zCXFZ*4{jJ}5v_dVK0dERVsixz)uB!hUmMz)1-xZbgKO7dMBjPvBGa3NY%XvXSxc%8
zb~ZP;?MaWyA~h=bfv~ZrwyN02OW$+f@!dm)R7u_VJ&lwVI~s4()C&!MV|lnfpzLo|
zxMhq3``52!i`lz(00*#U*TGUp$fOeFxEQVrD4_%C*i*iBs8y3JCW~4Y4@QtIPZ@l`
z(?-O1CY?$ZPgTREhKNBSmy4$0w&tW~3eOKy(jGF)!2I>?T$(g*TXP;uZpvGX(f{hu
z+BFg#sgvl8QkxSpsH3^b1H7b4ES4CR{6N%DT~k@;;f&5>Vz{%h!PU^tVq<?hupiL5
zVejG19h~ckbPlI;R2mbF-F<$FgB^`_<oE?r6h(il%qz?96h!H%KL;Y8G-W6Klyj4Q
zHyiSs-^M^Mb?#ph>V5E+yA~Z><XiOp|Drx$)*oNqmhvilmKLt)DEFx(;iU(<j(vM>
zZSlZuP4|EM!g4e<wm!CK`;mKUM#jQD+m67e5c{Z|#BJalA*3FOOa?Nc^Mvq>O`$2g
zXodo)n9@MC=5jcUDN$Awv_9uFI@f0XH|m>B!e_e{==H!G0vxU8aZ0l47w&AXchv*_
z3Rb+jdh2eOj<<~2*>Wk5s}EXn>S1&Ts4qH;hdR<8Wl3e(suHc=rpJyY8uatkQR$Ym
z4)4#V=SGF2tEECFQHj`i1s<(l>Ta)$^o$=kS~0w~zKTrN_vWW>RDc6+#F^$W<)~ck
zG8jzin~^>JW=c}jcQc}MG-tCZJFR?ZQot?A>Q}h42^ye4F!bXgd!;e5nc;FMODii%
zyxf&<U`LCauF(*mg?Vsy0rSh!C~7EdS~L`)?C_i+kf}Zf&KX0zX|99M4?*yri_y^R
z{GReA^LsgPoEy3%v*<Y2wp4Hpw|}LpCae><8q3n%VOjC&JGz!k4n!9+hDQg-1g_d5
z80TXvjx6YZtT~AN&!PniN1W6L{bACQu4wevZftR@^uO)vThMHY_(P;AT~X&s4Yznz
z%Fh4|#{dmO#3i8fwsU;VWtCDXP=RoE25~s7`8<%Wh3I>{xipYQ0}N+p^k}f0oHL9k
za3Zp#XMu0)IG3~aSy^eNQmE7ECEqJTyOh)qS916Tc(^FIuKFiMZ4u?@dRwm>V>T;g
z0#|Wsj2fZ(+?8>!w6v<W33Av5{1F>)xEhI^DK09CPNiN3C-M@ka}aH23c;Z*OxmY%
zMFIUNr8%!O3#UljU=VWwN*cL7TG7<uzJUuvYlo%4DM?GER^V@{;@wRRp1K7hsofih
z28LHOOEzR4;BkP<veNFTtEtgh2YmY9_U#*8qg}pb&(?lzR*T{dK3RXecU|S-_kyJ*
zH6w>B(XVI5B5nD&mMxX!9$5}+iRb_{S0SD=(MTkCwFv5yR3hPDRlNcf-;RF^?1TMp
z5OyT7_;vU?|0lf8N^4NV5pZLeTq^VVJ<^1!v1>`d6Ekv&6r0Ckkb@&5Jqe3}taFs8
zDjHhttu>Z(&+ztr2WP=`%A+=|!t4-NT55{S=0pW4C8_(OgLZo`(mQeIgKYtKS*XNO
z8z%=k=OOEqUi}Mm2|WwwdqHG}qko!=Zi-+bdPE9{Ll6P1b7zO_BKd*9c_2F&1lP$T
z?BF!Q4kM9>5cbEPb|-kK#^N42bauzB?G<kyI=-}kr}n#qsHr8rq9JZmvw07{@+sOr
z<h3%=#p^%#-Bsj%?Cky2Q*UBlmDal?jP#Wc1|Gg`)9S$({X8%ehz#Ea5?O>aPj+;4
zy$l4<La@_3P_KoilwPEUFqXo8kHzwR8)`E`aq)RP){JD%Prch0z9pba(W{ZP%y!b9
z1%_jusFaZ;V-{^^e!CpH2k=iV0!9vPC&|FX60K69)Jnv9qfOQ9sz}%R6E%K=m|xmc
zorosPVOO{l*K;-2K)NHQby%%R@GtF}MsHQR%4;uG2sH``kA-qed+Uk|ORQ0wzZ*Aj
z<vLHra`dyVoxO!70m{{do#C>sup+qR;KJ6;ZDB1(lJOL%Jk^6$N1o`>7HA{xP(@cz
zEZ2#PDr%D<Ufb601j&=U?nRkWSN#TvSwn3hJ_WohL&B4ZM9F#l+tUU_5&_x!q&?$=
zp5}U1eUTkCyah1GX2-G}<yjUP7@)Fp<gj><Yy}EfLYJDD-4u42Nt0A!AZ^-aPhD+;
z*BW)3#B7;Dp^&i~w{?0^f1Ho%ErZn8Pt}hPbhov7l;!I1;za#@%qdj<`b3qQt&6zA
zsjiS*NJgxRj&*yFeWz~4+o$jGdhK|+_**LW(ZXGei!DNoQ}8jfY9rJSJ+Ma|&}AFQ
zlVu_icN$Q`I%~7xhH1=@g`mp;6+m1b;4$qEQy!QHP@quKg)@FUedUsN`G3CsawCCJ
zSG~z-*t9Z<b5s>u$H#XaX(h04?1gTi3mVi%y<fWax4(Y7jX(v?x)M}hTEG9+-G@&s
zBv6#2^wmURKC=sG?X!%RkpNPTIMTe}J7%+61-Cc@?(+m^vhbp6w#uhN6TL^2$Lui>
zH1tt^zYOSMezgn;Ay*A6vh5_|wzZzymeqISJe51;tLROrP^|IL)adF5Rz}i0&TegK
z@^o%%2`w8KPR?BIKCn2jVI;l2)hl(B5!<({EsslddTXdASTnY9TT}n(BOSq>olPTW
z@822gJW?6$Nm)deA{SL++j#8B#baBrvbD#%3Rf;&3@5ox0177<KZK|yAZIYWgt+j3
zoYCtM4b0sNCarV1TMpxg6h|d+Sr9_}z+5NSs=)Ah@c{jA>Lp*$v*X@p`_Rfz$g}nC
zr_m)cMRm*G|7g%DrFE^zvDG~m33_4z6&{($+}=p7oS^=4`@|cE>v7}Y^DU#p)F;$$
zCssY*vUPRSJs;hX%@Y_=pdT?La5mugyId&wG8RChuxhlLNeD+ZC7u^*p~i@_up6eE
z;-3H&idsy#B|(Go=Iz78kW({TxLmEp-V&+~bTro69c5l6Pf(ySJCzvqlb?RcD_!NT
zvN)23g{InATi2>)d<)(@^G{!mhP0O^$|E%%nJ!Y}axO_3hxgo3L0maqUG$f8sFR})
zJ8DYX!wR5R%~Tih1h8lY&@9bq<3)v(t_v=*UIHeJAOTvVpejjcpQ=j0%S>s$T$=5g
zpzK%P)eRh-T-&mLS=3QGxZ_w${l4T-fmF!Zu(Wh#N75~qd27Oj0}E=XF8sSY-#Azs
zT6VZ+(KFxK(Hlf{dh}IGQ$v-es4}`}`@uV_qTQvY;F`yw?r)*G7<bZpu>r*TBFUVV
zDPiIu$Nzc;F&f?Qh8VgVcv+e4$K^qS@(BWyE>>V3CP_&1fFgj;*zqTxpV&R5U9$CP
z<B5~~XDRC8z6;BT9$HuQ*FW7iadvwtOB3}cyAl>2{>(1w_eb~Mt3cn_d1k!u#mA1%
zTo^{FLG)36<?5pgpG0GKU0J{!e)^XiO)ZuF`VD)EfTrvOnsSxSC<Et^uv+alUJOrx
zgS!wnIIsZWgKS53F`w<wszQ%1T-yY_34&0*^E<akiWelmw<$H&8!O*&dMx$S>AnSx
zBkHanxAN*LszzEoBE3t~KDw=X|0`R1CY(n)8r<D`d-`8};nC{O{Z!_uZ9B(C(f!nk
zSg56;djG52{416&G}o{G$AOWzPxdsn=eBmR5dIaSM#!{4!bCD^QkhYaf=fa%JqY~a
z7uo%(cj-a58&?-6Znn30;||yC$|9QWae+^?Bl^>pOIAA!#K5?i^Ns7nYg^?v?P#I5
z{C~Sy^IF~izLSO0oh%JFkseV@YP5RTg<$gv;A4y5h3G>0bb5Zv3d^;uuxeHF=#A|v
zezsd>ys=T$pvd;AFy!Rb%Y>8oCD0cw;(iI?5t7q#xn6i4yyB{9)_Ec{DVdv&K<6OP
zFfomvorM|_N#FzgMD!ydu<lQ$x4d^~_p`&kzf#5HySI&vO)MVvD$zI^{|F@yFM8~=
zgVc|ym$3uX@2IQ)i?UD^%HQz`;J|qh8$HCkhz4=NEmGB4zFaH=#Thunxq?5jNXDP?
zOQf(kieyLiuUQYIGgcHnn;QE{5!}4%%IgywV`{zDaO+?Uy;^}0D3OXA#aLe-E;7bb
z*a<6Ho*F{g@<%(s=idba#SGwu9VvVX`G1Uk30zdyz5hM;-dUJo_Kg{4XP5zI7?y!y
z8G!+0abRRoWC>_cL{UT#Bq}ZlwHl3CY^;g3F{U=g7)`*vHpXUZl2_|9N!!>gHcgw_
z@Jviinmqe}%m17^D@fn_f6x!ih;x6x-}$ZQ{Lc5MC&g|)Qz%SO$mNn-(I$3GED}Zl
zQ;4nicP={U{38XV1bVsR1D#6$+c<6fuMVePE?+L2cq#qmo?Yv*x;q})X4o_Iab53$
zCR6SYUOrp<bB;{!q;6-ezR@-GgGc5pTletdtC`8^)tx!z15X`1x&isEIw+z=<Xg~Y
z448XF!a-N3RHRxR#}o)S95G{zrBkV*f~FJ&iT5M0AxfbiLwFlB+5R(z|6^)Az&V9B
z$>cS>>bN+^VT^9!kIT|?sJ!n%Ka;_u9xLK%UGuxE2+1T*l9KvacU68YrwIJ+l>5Ch
ziiy!kHXk!;$O{-3lbnrWF>#FakAr>dRsi883|`Z4j$(m-odf>@-%fsk$DG7tCcijI
ze+KxLQG-7Zqd9j3$LRkb0<d`re0%aF{FmcEz*t2L)A%)P_$(HKjbrQ!#2u{QgX_Xb
zAR7t%PvZ^bOG^BMlP9U1lP5tge8#hM=XxDIvzi~PQn3Um=L9$|g|;9&9VZY-E)e(K
z9Cmaxo1LJ+aVC6uCc&&y$>9$pnlRRsDAdr3t`nvQ&};%ICn5yIYw(Y87Wv0G8~l^n
zB4+iHpKjIWm3yg!-<0M_wrt^>9BJQxC5yb-reWpyTXU0TQu|y+9W~O}WT33>1yrjm
zPdRzdyksji<PoY}Rm6h%IXY2=pDV_HL9Sd_&1tPz<btfY6H<*|h_nDCX8D}v3}2?%
z>Pyll_!6~BUyN4nQ)qd<XfwyhHP70&m_uKZ3=Rd0n9vMBctSG`ZZ4X2LNm@4xK<Ay
z&rZ(3`L3=8Y7aP2P+FNZ`IR?~`e#yNsx4WbQbLh_Cc#8;s)Ar<_8+g;XjKf4hm&7N
z9iYJcxfa6XA<QZ_sLzg<QmZRnI-$qUd!08I{VdS9sxZF<SPCeCbga~!AcvnusuM|3
zj5L+tV!m{9vd?Zd`Qo$&pHVB9NBg+iC?Aa*RzQ!94YecC*HFYX*uwOo%P3on1Mo{O
zmOaQZK;wDmrpTqKC6utlE{%#3Q2BeQhxt)aQhNzi8DR4w*bYvBXBk|9CbxRxgf~|&
zKpf;&gSF2BanVE}abqd<oAuNYKW`CyPBatfKF5}+JLFnYjm2Tfn8(dYR{su*7Jno`
zXN}_XYy)IaEEZfKzB{ilVO%aLg|1aQnm9=Y{5xu2rlE>bXjhNGB^+O&LfR4p<U|NG
z(|uZi*&qP2Gn26JT3=~v-dzg3U|w5aRj=yUzPlZDTWaH@Ew$8Z(f{@Sh<8ij0lc}k
zbfD_FlY*)zHrBTsE^#MR4|GsHD~c1P9&nevvh&%ZHoBsI7V^X+QI}EbX=sPA%2%F~
z<2YjsQ$gy_3iy2Plq7&x5;%yb?<!xXp$;PN1SwE969khc#*ZkQ8U~))xwq<ZZ>4wJ
zj~0FOx9xWib{!$^-fL?3qwmJm;_?NR)oDO7_5A&vN{o(`cgP9G6-<vgu(A;$q(nT5
z8Ilk|N{3Kp8PgzfCQqS$@X_dn0+j2L*BIz_H4}j&eiufW0721$0C0p~jEuM}OAy`B
zza=Tk2;AD0(`H5-;Mf-fgO_cur|wj9xwUK7<ZV0m@DK0ouj+D%O)ih~@n^Q~uvIS1
zkdjOKs~x;b!FZk5Z4-F8#~4*5#*KH6jojZPkD*@hG`j4Po4y<GD6;dijREfFLpduj
zEsB2vQaKtU)I#RmQB1*@R!hW=age|<g+e+-1O%Sqh=hm<q?Rx>@GD0EAI9m2hhehF
z;=%WOzy5yn7YEiJX?K&8)<cJC4>Uf-UESXGDDTY;O8_5`&wu}DQO_GMv)?>dz7Q;U
z@!%^@Lme1^k$D&6I%dJ<osCti<KqEJQ1}7?c8N4$V$4kH+#EGRPf@FNw_vfVKOf~|
z>zTgL)xPu;Ye+Q$KG+axr*U+|_TTmPLy#h1nETY<6=`LZqR1xMQ&h;}l|OZ`wWVZG
zknc!LHK~O_Njx#x<H<Mh{Eh~HVjiBB*}tnjQT(PeQ?7H?F7(1kw3;d+k3-2KOsEQM
zliO7y{Te1iWVA6gp+GGqjR|UXf{~Omyp;gEoRVT=jXBCc7V72*1r8n5XhJUp4xvLB
zlXJ_4R-kB19|L0O3zscHWSEu~QBDpT4MX3<6N!NW4UA7o5nlIywb1w3EiC`NIT{%T
z=8=YUc^GUr5*UUCH1^}dIA?{0F_XuCOXS_X*;Z~gn<|TeYUJd=KaTwTi|yVDSfP8|
zwY_g|t*ZftCqC`&>R8p&zN%Z{$Uge~Pkz?cc0$@uY~^t(I!|1Z#kdt#yYvS;mL06K
z_bx44VG`Fn%laIa$J+Xy_sXfO{lf!Y8wUF)&KauH7tL>N^5o%xdV%~FT4Fj@IiiI+
zAjYg13u=Tk<ytB-w=|ODmYaR?dM!r8`Am9&kFSsR@$^clxTJO#xR<Z|L-c5ylTUZx
zAsmVsP95g{H#?3jShFu*Xf2~Gc}a3<Mp0U#x6LZGxhZSDRl-Sb2AV3OeR<8or?*m`
zpgYei2X*azMQU}$JR{|)&egzod4_xs(XzhQ!Sf1GUkh|M?Tk^VI|?j)1QSASck}Ql
z(x=eNd~!YS8Xp}T!`~Fp?7+<CyFi8HuTW`-moT9L+QFB9U!RvKi?Y@OS&bywO(ii#
zKmYuHo)KvB=Yel(+(`m2Z{jPOAT;v{(ohd&Eb(Kyh)+iguZfUw#U$rE%g5A{KE`xR
z7ch&6{vfp#QKllBlw(K20GQXM6Zowq#4kYnvWB6B)L^SGVnXOvH7pdeMl-NHWaysx
z*Q(Hyt4Xa}TjHCmFY*=ZQ+#$k#^Ts~$@-XpT#Qr5LyhK4k&&w$I=>BqxTJpo|Iqzr
zejiIaE8_oN^}vX`*)-uJ&XVJ`y?f)<yj1UQ^V$`{<YFo@&nA=D-7ahOLne_8y|&7P
zsl~Zj8_H?n2bMxnO{`$FEn2*E)go=)ywwY-vZ`#qqPRR@N$c7<Msr0$B2^Q77phOi
zvJE9hPeT?}<JX>u1&sDflL4SKGq8#gix^pl4oe}$XJKg+J!M4_io0e)@{EV_6sml%
zLh!}taUalU_#VV%2^xnXQZmGBQV1NQ1?-0bs03&fa;H1hQeK@dna(qhv-G99)lU}j
zk^($+*Y@QrRk>NIYO3l%u1+x87uM_>raYBdal&9MJ_vafLf*{3#CW6<7D6IYd79LW
zu@Q^XvB;`50NWk#Z2nR#jCw^67ukE@v(1m**|+D)Cg;#y>Y@F^o|T1K&p_4iK3UI~
zBd6|fso8s_>(%>PanpN$FY4J}`|N)--$Io1QT5~>>72`f)m_B2kOr#^GeNzD^(z*e
zFlI#QfPE?!Q6;)2MuL|>!ACQEOeWi>XQi@m7TxvLLSq0<LtOC(RoQH^4&bdI?@dS}
zu}Nj%BUySWr9?)T3}s!*k1AW(;7z{#hv856KG);iP`_*Uz_4S<k_6RNXpMC2%AHT_
z_mtbA12{>}os%e{zMTB!_g&zbfdS|H?_B?luBwPeSAm*EAYS9KoDocnOjB#T7Kb=8
zL5}#aa?oQ8SUc#WqM{kJ4bq4J;*gt7r@K6H7+gd_{J+`E>5rVM)qQ1!?#IP>dAjl@
zg(}-cX~Oo>!dU1r^QnoPY}3L#JGHVlU(I>I3ieLjAx0pr$(YM6k;`PPcz|I7HCLY`
z27nxcX`A+pT&^4w2UD3q(S~yTbRoKW9)>B5K&B6YrUZtQgpOZ{qgym<mN&L1H+A(6
zdvCpe`prS@BP&~bk{?>1-&3Divf*%j`TlN#Q(ZT2t|iZDv)6QapE>Nfx1_PwW6RG<
zQ{{LXb86O>>jmf@ZUv-%1%r#lVwodM4ocri)L<@{l3#-4#$s&JbcV@bV9X1oZYC@W
zeV3nxN=1Mu(#R1~Fwv=)>rIlJ13lCeVnjx3qO;*p)w2hV6My8SuGmM7KSJ@EJF_%a
zeRW02^C$2|e>dD6@_UkrC1UQ27!Dn?DOQ3MJenITW>4vnf-4rHZrD+w52}T3G|>lW
z!lq@sjt~wCjaD3}jULE+>G%7<L;P5~(_a6oG}#TB*tSOM%W6(^UB`;t)sN5R*~&=f
z<a6G3XQK46YH$jMR-R{4;4QS$iEd4?vHFR<V5B13AVl|^roJct0;!M1Qbtw2*h`Qw
zHYTHq6(C}HK0f*ed{_j{{x143SOqL+>B^M_i#$X(Zp(xDneVTOTfk+T!(pU${Dit;
zDat3A9=6dGn`52)Z}4?fW(71arnb0zVvJC<6|+4^n%=2#)&fY65z9R*F=*AkSoC<M
zPlYJMV0_h$!t52j2NPKIO^BM296_?eXeVa#Oth0Aq6R%-^eyU>SE+lN0vGr&*Cpbf
z0)|)qdDWDY2acwtS!1a4rwD9foKV%3aXlU~(V%phC%+>!6Q6<m&9*o@>G81R%Ulz8
zA;m730PKbo=VJ3lGkgw2Q<^Uwese1=KC|9*Encs&2{1BBeodyA_@sKSkAr@R?TebG
z1|cvt8Ue+>e;GtT@q2*>5m0c1fPzOLpbQ=minx|!@K|<h+F!==n-VCU-Nuz3eoZ2<
zrBa=y;=Ig1|J~}$i31;`+hhuSU_=_D7mBrzA#Qax^*!aAKbPsLAdO;yQTgtFD&oY#
zI7WqsZOP699AMANj)T8RYNbLmjeX*#Jhb-MusNd%KA4v1&T0f?yw8jnRQTlRo75+x
z*=2LlfiFozHiqvt)2%j)2)rd&YJf0HP`g5sK*t7$i?$zJR$AN7O^dS^*5*;ak(sg`
z;7fOo=IzgU0#0r*xNLW%8FO|Yt&;vN(PCNOOGumr7PyFPlQFqs@-DcqGuy=$JJYXv
zfnBXDj5-)1lTj|GJk68IlxQD|FENXJVlx{SN-!LSV}BS3W#(1}y<3HI)lSdkH~wu4
z(y~S6swyFGPFOu|l-xz^OHjk@oiwI@IehFnNP!$pvf$x>5OBp}J|-|nv)Lrq4}y|T
zkE{~;w^wK!l)#Qy00jk)14qC{svdk<Rc06N(2l<b#win-y+!A$oJ-!MELBuYQd14p
z=Ec2umzNq|v%-qe*d?zqTFI|5=mFfESy3~tPeVVMU=#Pj_s8+-%aoFee`Dq+Fi0Bw
zB!qnu`h+0%32}ddP2Q@01AGkretGh><LLbHFjm3(0qMci(1&JX6>e3Mh9x(pvbvK&
zGS@+1Ng6&$aNS}>IdNg?iaQ$qz$LhZ*r2kAF?!R9#{aZJ;n3w=01qXHKB0)*FbGc8
zpx-6JFl<al#8wD#YwgW#Yfdg{KHWd~*80Z%hdPGe>R5Yo@6)$P&(M~Nf&B+I_MM`B
zxAcX^6@vqvZO6g6Baipp*!;-5+aG;t?@vmG{<LfVw@;h~m7DhDo;<kwl_yU<{>aXa
zgOBc@cWE&xqlVlL>jtHp!)9`bXq+z*im;ShzrOYB58&UoLRcuM9mtP`!ivi}4t_f{
zIf_5G{?K~RMHLO<?#b@HLw!JS5~xm6)Jf|0$?<WRZ@mUJ=@R)X8neXemaw9tumUCs
zu4(}Z(8BhF)}<#MbyG~oM0t(mPJBpM#=j%E_@QH9>pALk>Wg1ce?4<%#^+nyLK+i=
zeh2_zT$JF)&Vr3{Y5Y4Pe&S=2>;HIa`!7HYP@kiQCSE^-@<kQQ&i6Aq5f%~VIHUGy
z^ij|f&&I{*bXd#<yaBGgPXsGgp&t0AL8F9`QJ}Z5SPcHr&4HoJ4&*;sz<@@m#}S8w
z)(jOHO-bFd^Z_Bo6D5`wXX3B_s+&_#DV!JsKNS;fk%!PaOLcP|Ssu3{c|ODAVWid8
zlI7zswzhCQxZ`g6)n!m`D<HL7q1~#n1gN*EXEC2zFUy1kpVnx2R``81Rv(Y(=b5>_
z=-^&)=+<LaaJpv1T}K%`uGRqjqe|$J^h7ulk894b8<fXkEK3*RbwlTSGM_v8Hg$p;
znfwwz@yd~f?oFLtjjQ&?Z`gNmWtywM_d4`?HJ$iGqfHkl1)jv}_VS@q*}|&JH$Eaj
z*-(99Z9)`fpWMc<)UK~DuD3xAJv4Qjk;PbxX)((vjx#P1_hHmk;|-$%K{R?H!lW~i
zPW*Tcp|eud2Nq|<g2U<=S?<lzOE*3G?PG(3J1=An7Vo&W{?-(>>ITrAXt}~jq5iaS
z%@|d8?PpI8Y^2^Zs{pw9B4`2fXVg$1Drn>dgbkH|8P8xom0pX)s??hw5bG=wB|~T?
z;fqnM2oZuSJ1*~8S(`F=k9zYSl?2*ZO9f}XKUMYV+e>xRC8u&#_W!i;Ds|)YuB}Ad
zC)B=6ACSnN5q&>|^jR_YXhMPsExlEvF{0?fQ>au51rPIC^#Xx(2D$#kKX3%%hs2mh
zdkCb&Nke>~r6+<OpJw1?snnS!BwbaTae>Beqc*Polea9Xzol22WWTo_)YUGk%^6-g
zes4M()Tz{#Y%yhZ)>BK%a^#cu5<5DnodG`9LOyJ;9^hJiHnZNR(~Cqhnvp0zADXzv
zr$xvl=pY9(V>4I?WG!K`Bk1<;jrmP6$RJ~FknksaZl%w$oBP|>iIWrWmGfBHULhqB
zg?VJu1*n#4ay^u5eu0`go##+klRVRT3+QeG)ZG*;8OAc=whnqFz|;N`s;wMvz~Z6i
zaH4o2Kob9Dapa-=qumKsXe-~Zx{7I<jgFNO^~3@Z_)L_RhOpL(ANq0a?)Q7^Z-A_~
zJFm4CZeexy9sO?q)~y9SwU#Kg)QP8f%9-ZIF6vFCH_6m@bMF(N7Fd67)=;1It@|_8
z@aJdt8Qg`|ffT(_>R$)u!}M8Hkvl5uw*Tx&fL0;aW>Z*ho6RO)ycv~}bRju?8#nA;
z0?QFOnO<U;HmE+NX*A=8X)hT(4#!y{q%`y@R7{?%ihLa~oj(g5cB7&IUsx3R8km#k
zXl)6=zc!$rI%Lh$g<gl&s+=8Pw}Sc{SR!8s?1|}x{Fh*Ew>jaK9DuaK+ir8dufXi^
zrR!6DX?iUT3bD}9ihM#d-zS*;1kR5flI8S&1#uW~1Rg@)GN<1n=<&k;Rw{U2jLVwV
zyrspf6eMH_aa<H%Qq@G&Q;C`7PH05pIb!2}wK>r`rz)ELZ{&mD7t6fu4V5;vGA0&E
zfnju2QTr%GRiPOj&c#U_#URdU6Hy1UGgbdaP64@)&(M)Ze+F&n(JH}_>!WV7%}@g(
zeIS^=vLSR37zd9;l6C`_@+-^o(}veh7-_=El*p$}G%DsS>!TWJg8US)en4wxx?8Kt
zk!wjFcH3ok`m)g3s6N4$sOS55u(pYwp^ky`K-LUFqe<ha4l`Tgn8fUhAOQweA0qX5
zr2cjAv)RIyT*|z&U!@W;i&}Y1XNicaj}-p7L-;DNmBB-dOybj2@}uIv#t<(wP8Q+2
z_Fi8=U7?DgGkH+*6OF{NfIfCXt{pI&in04r%yB-WUXF3~K8ZokbbWJdW?$59ZFg!-
zJ?+%CZQHhO^Q~>$Hl}!M+nU;Td*_#%+}!VvFWK2=@9dqGjgxb-@I0%Fz!T~M=Bjx9
zC50IQA+;!eCW8s)11kRaC;@d~Vc?VdE;;JH=LP=b`w?2gWNYGtUqIgo=->h5wmDXF
zFeNFL?FahDI^{K?cN)`7rCgG*`FB7g&0osAKtH9hVPi&n1FjPy&slz8z6KHKV<3LP
zPJm2cpbH0VNZ9VEAz$S8&6u{fhnBkIF`U2^=bPp+5V@jHsV0Eq=CO&pP4yC2N0~&i
z=JTds={j<+j9Z;<$LD@7dQo|C$jt%p_DQ+>H~by>(B{Th+&!}ZMg@%Ab|{hY90ziJ
zG@Q$ij}EE-O))QIpOOL3SHlDoW9U^N$x%{6U>eg3EaQh%u>j;ttF=e@l4JJUb{p*u
z##An<b^r1~oywJG_aDS0u7aM@vX2vQY1p&hza}!~%<e4i7i_nFV<!>K-4(aa-?12-
zrk60lH3<p=-@uV%av_Gcm~AlOmwTS7zJxWjx)ZqN%_f2yfu)g|qYX!0^NE?87`F7w
zthN?2?R=P2FW`&pNzkQZIdkh)Qn|_-O3F8rd~-wIsM0rdEt$B`woSGDVC`TP8ic8i
z%NNqK)=G*(NvXi`f(gS89J<igz<hME+n;6&cAfB1fpmvd7CX_v4xy1OjLeFDlACm)
zQyJ)}VA8Y|Q^hQ7OHsHOrkZvc3EkxN*N&*-ZZy%IUcHrVB1!jp_FcWRL9zGX%G~u?
z{xq*TX#<-o-L?ABfv0pglWyHZHCqO{Gi%MYu;8(-(K<}|EeiWTDboG()8dva10EJ2
zzb0DxTe`TZQ>bU*87V@dUw0pqcE!rbU4BV~u!#sKaUGC@m|t!7o$n6H6Rma}P8|EY
z^ZLj4ShoA?FU*EbU0v=F`eotLgKXDqaeM!6U0mv0Z}@tcH#(D(H~04zZEJIxiWQCf
zXe|1H9fYkt<q-OizBaY=`oPejLfxU0%HM&YDsoD7@`F8KDzH`r?^L_RC9f(601xOg
z`4mmgF;nXGF0bxpaefE8y9CnC_Hv?yj`^G-&)d|E4l>YQki}-CR)cRX#%uBP{Zs^I
zlvm4#0t3n|GjWZx!xvBLUz)V?rY8l#*Ei>w@)l{HBvCkzPTxZxB1}U?Vg>&3)}BBu
z5P|3C?miZ>gab;_ocf8&gc~FwdQnUHRQNSLY-r8xIwBO04Y7|*swT>xuAy%RW2O!}
zoitKWbGHu6$4Xnx*v7w=3fj~Jqnzq}+Bmm~&6CE~dhwaL5QHfWxzhg>CZeUrn`sEi
z6*-7?!`U=YH3}(cN6f<rAi^^u?!nCtMn=N<sb$J+drhlajiLm#iMGb}ES{5g4w+=>
z3XDO-%2>~Q@(BB628<t?vk`$sizN|gnx*f1!Bi=-(_c32VA8QwEXFgsefpi5S~*L`
zC{Kl229G7TBE&DM53h}5^DZ3hrS?In1#Z<~K!riCT`efPW6LSU;20D)=BNUPMoUph
z4mkn!fLqUO_+sZpK1m2}O$&v{Q+4l;S33}H<Mqjl-SP_sG#N72?gq2n@Nkgl&~T`v
zRMu~eep)G=-O39N74?Pw2N+DX8tyGEl@qO=7LKRwt0~eteCX&p%JQhcNfVo<nN03~
zx?{uD7qu66T{OL9PdU#9|J25I_iT8h5_Oec#lK_I_w$UzYKo_<sGPizrLtrXN*ts|
z%!p>4MxH<{;F$gGy0IkBl#(hkuGdKYDW&CO@lwX&!HRKw!!6f}c)=mE^{x4uDpWGA
zh#X<zCRc-kjph5hyz<KT($L+|Y{Nm5Mse~)m-lVFYH`k;g`!u4NEoTu^fwLHzywjB
z)>%1~FGjk1jb=)#`!l8qx&wg(^j2K(4MRkO207UyP2R|XOjK#x-s~1Fs;V;#0(j0h
z$`J4)ajCAhPJgk{-*>5#-W}h!<zd*nD~|VYU_={>M}Eu4<?_wbI_vG7o=BhZYfWxY
zMFKkif=1!HNnCbiKjC7sc&}O_m8VpdlwdSn<dWTdZs?)ngn>7KffTvAk6cLjho)dg
zP==PEQ&~me&tlRp?HDO@f<zit9$9t)@!L%pR|5!D@^gh6@;MMl9!5@KK?}k$PK91Z
zhULs@_>p8OA%37J6EJ@on$?G*6ta*H!U8qk-G|`=#dt7@TaTk<w`J^eP+qR|Uowvx
z57WoLtLJ$uX@4K}zFiCsQi^;7e4Q7<+^p2SG}XO7$Nf?7)jGBguLmF16jcAR1Jn%(
zQ@97B#Xs4=Xkr&TUOQKlHF((6yrnhCq3@*0@QjUY1Y#Lr5OM@DnnesW7%UK?X}-7F
zeeq^F5&wYwiwLTBSmp1^Emyclcy&!V+sTek?VQTaez!MWS+~jYkaMyvOMrA?Tr?jN
z?=!C@CFp8Jea9SCcEJ+kxNtu*;cK0Fi6BDH2k?E%g=F}YW|hquX%(o|kvEqz4nrow
z^NLB$8gmfcVAD2rA*h|S=8^34?SlIm+dr4Y2JEcb=&t)Lk}WPH>Tf-l^`$JkrK@}n
ze#+C2t)#(QRlZHr&{0obZtf{<Z!n|m@srvAwdY#aUR}v+<0#t9ws%NL=D%H*@5d>o
zz^aIAb#rY;y2w8-$(hAW%%?3jtT0C_JXB^Il3yj8u4-Yn{fVG>8vtnnSvNGm!grw(
zL>Mm0^g~fJ5?&WW;oe$3eE}d1zwFut`Fk4@BJGLF(N+GAThB_P53}-P|3|3)q4!y)
zyAJ-{lSi9<u6V;(jbI(qD@l?6+FNZlXuDdS{MMhH5^i0WbW;^y*<f7lW{6pm&|^_?
zaaq_wgjruYR0(wEY>#-mkBo;n0>+>dhG8!HxEy^lkjl{V1Je&5$pi`sqp75PI``Ot
zV)AYtE%(ZZK^9&q8b1|3*}#)XVu4BWlQ>Qdmc{E|srr3o%IF2##IFQyK7Tb*-Hr*=
zm8zE&w^az=oja;TKpyluuS@rzxHnxDGX}G6?6oe%-d+P@k^BRzGQkeGXMSLn<uw)$
zX?gH;Kt}Dk04Dvnf4IgR<jI+1!y1Uc7(Oe1BvG6$+OA859SIdRJRnH^!yT7Z?&h>y
zhaL>#%@2<};a>1CSgh*G%hn!S%W}CUlodXfsk%nXs^Vu%2N?gr)SHW3>1rz-!j+J>
zRG-5*6Dr&=cuZ}hvpxSz6N{PNryo%5Me0y8d}}gFh`6>-Fwrq4q0=ZP1|tLu5ni9f
zfC?V3<|?+{xho3xYj-Qj)mcuF;9j_GBVBggOS<XcRCd>B%cm?K+B}h~ccw<>Z9`!F
z!!eWDJU2;2`UZ=bo-1T{;llEO@s0E>h}Mew9Ve4YZt=6ZWYolP6nZ)MZ@3NM@21b<
zZ0gR&<&nFOhlDE3(vQZ*^3H@|?K`s(N)Gd}!`N*)*T^8mj%;D;8!2b4&BX5MToTl)
zHD$E=UmphUY8l*p-9@gZJ(5${xNiajdkBaRbz?aBeE$7#6VTA76<!Jy0KZ>JG&G+!
zQCoI7QsIE2o*@rg4@;MF#c7;QcKq>@{%>gSrU+>IFu<d0m9$Cr&46HP>J$Y8iJ1kA
zC-m99SeXr*JX6lKfSv$J?hC{3gc#}(jZv(qk<tP$s4dPM!N3Tc$jF0D<?mYrh1_kw
z$}`Th-)EuArd6?Rw3d3VJ~0=cX>|cX&bpKvbb~Zli%;%E;7{h>M4S@3WeuYhUU&32
z9hlgbN?VGzeDG2tF2CprrUDW}Ix!puni&QoC8V%@3`;RXnRwKGzCtZHb0<P_L2e4I
zw|zp4Nzb}<q{%(#m0z!D50&rkz_Z<-S9<B&x?+(}<+0CXkO2L)6l!7N5Y0%qp+9l*
zBt0Ax7!^luPzD?-&C`|7FSR0EAO}ZPU8Zdv#bHalY-IpvfFBK^m7i305ZWws9Xmcm
zf2kZ4Gmz+Q7k>0!o}ImtPlFcnHF(;lSS*DnSW72SrC($;S*o)R-xvMbB=!?6Z2Faz
zRdwjFFZv6-Wr#G&q%oZ_(t=COmn<r%FPzeY1sA9gQEsa#f?H-QYMWND++}?l1@EiA
z?LuSdQg?Zhx57QU<<<Fp_s1n@O+))w&ZPrg3OXz8!^01lhB)<@JHOst$g2wfyu99*
z-{5eCGJ>shB8eu}t^g}zj>1w5;fiFSRpUiX5(+O!4son8JC@+jpJWPS@~A1Y-Knkx
z6%N57F~DP9c$q>|PaXEAm`3M3eP_567XH4H$z9E13_5w|o{yB9X#2=XE)PKlJSnW<
zCAGLzU@vGOwE}xWvK7S|4=&yC{%AhovNhCf28YQfnY@7%$=cbTcmZ4AR{w5p=v>N1
zYon<v8==iMymk+7eRe&xfokZ`(-Kza-PGG@zuup|Bb<4nP1)_E+*mP#cDAs%0%?->
zm8A>jnF@5xpR$romlCek?mrg)24i4kG!cJyJmI>ou7`F6G7x>^{S{23%?aZHS>8Mx
zep^XnS8>W#-25fxvk;X6&&(oaY-$wPIHa95%dn%ey2yGnNMKkVyzi+SY6-1AGvlDF
zj$d<oOH~ogcID~zg>UYc`n!T;WpxENh$G)S`RmUI#uj=q4++cLd!P}064%M>2R8H^
z%t62v+#5SKv<x7>Ez=Q2T>T6xQu#vU7qqo}cV;#vh-75VqW|`4&d5PMvcmVh4wil(
zib;+%JC81HwBIXxUeHkqtYiq~H&JqCCP*ILmQ+re+rdAxF)M0rq<$Xg9df6wUq~?b
zU*2DzOw~@!<rY`;5&lN67Rp1p+1VT^F&SiJdCQD3V&Px1u(C<$7{l57;#|?1AV@S{
zIM|r};K2iX*Fa=0q?+%cnBIXvpiz-aHjq8wdVkHUK+rZZ<8J<JQx?%#8W*4G>n^A?
zF)>*u%Ne!;Gc($o%OvB>qlKE7ytcO8Qqj=Kuo5`F>xR6nW^Pu-k%nSrI&F6|^Uq0+
z<Y-n?<Z2o8{J6AHsl8A<k2glL(l0Rc?rcoHMmKV&mgFTjr8>3nF6G*I&bGk!?NdxG
z#+V!l{#x?)Z*v?*I-BC<0tspKk&`Av<Ufcm8j$9v1H23W!x6?*TdKfd^{FpudfA`;
zAvmz!7e#o?BeV2HtpY7uImz1JTH9>wMXL!0juOavI>XS*L-^iPM11}>r?I&tDdGn@
zT8ZxI;N1dEwjEkz(=ObYZRC~CM1DD5pEq^=yNS5-NqtR+Fs_Mj4<k9U6ol>oT|U4v
z*4qbWd8Cw#yBapZ6ru2x<FNq-H6A!J$qx|o)M1oWA7u~<X+ferH1;TpX`I{nCpswC
z8C@m2Q%CfUu(7$ng9rkPX@{nP+214EDIj91Ip@w-Oz&h#Ap-p{SZiPqXqcJ{46vZV
zjUlojK_-bfiGlyv^<>yYxk%>9%m2X5tI@Vbw5)gjjG7p9Eb8r4oKW`Bh#5ey2)dQD
z)EfQkd%WpwPC?wVs;>XOJ@K*Gah!Xf_x-Ws|Mks(EO&)4r;h>m$f~!HpV;AIA~^Do
zxgpH2$!A^5Ps}g)n@DglXSo0z>X+q3;1uz=o}{PG;w{T(7%g$1yT638bm_V~&MGhd
z5`U;bvxNQ1kquQ&7mIIgTeFkVLK;8c3(?Al+p(#%+fLin6dpI9&qc;t{}eZt<er!P
z*AQ`1s(Q6u$4<}bkn7CnLu{NsoBwv|ekEQsrg->F^q1eW>Pq*s!Bo@5Yc6H}qxI~%
z*nGlsIOnDB^Wm!c24q)Gal>WAorjqZ_rUkBsw+wS3X`D3eH0ji>d$_VrK=s~P`)_6
zH-wx=7Tr&qhr^RJp+3VVtnE8C-{OO3O=m220vZ2rg7vhoNTk^5=-exdI6_oPet-E{
ztj}MaK09%BkMpSM6W2fA?MHNCDU`FHK;bd=b{4{s@z^{VE@yI;@yHPebPJb^7)dw|
z+#}cN;Vk53m3=Xy%G^yb(lH+|g8wwL@LEAnxXvXZ`Z9&b>98F#?Zio?c3zGJE8Q;?
zb=BeV@OW_@t`85B9;@rI)m5Ka<+Us8tlbVbI%beYmo~|J)?zp9b5Eu9FjpL;Z3w|H
zFF0|z4Gg?mV*vvAb%=B+C~qly=t+$8fV}ehWtT#UciIi#w<c1s->E4BGCT@BF(W~^
z?`&wTg>Ux?HuB_^{3Q50uXFylUq>-}&%TaT&$sh6bIi}*{R!6Bd3^>tCs@CAYOM)J
zV`DMh`8NG7??!4pIo>vv2Ljy7kjL;H74x=S7LTfM^_BfEeKLHa{Bha-IUeN`OL}dZ
z$VyO2QA<?HO8WK&4lI2a-X0A5eCoqZ%#e8PlvPdne=!h;`|DEf@uyziEr5Z2n}U9g
zc(sC9OW}p8KYjRoin*7*1GQ5(?{|ggM&hbD>d&?ga`buKo=04VLx1CrL?lejCAHah
z77_W9ch?!N|3>b?^*xki)DraPx!EDwkTkdB*0$&gH@m7u;Q6S0%E%48yl<5Jx;Noq
z-8bvbTa0@kmQ*@J7xTFK^)iBfdb*GD1sR=u&>%0nJ03BF9bovj09jn7kExJW*;{du
zf$`+BUgAu2L)SMVE31#e|JH21)?Ecf<858wx;?q!jv=e-_=t#DMyP>f*K4%g{f_4+
z8r)Xf&4}x{o9QqsZVzac!RNkK%JexKXOF^C5#PvabxX|CDdjDos}6i!7>zHB%*l12
zm@u){@)}=Wbh%fX09R}JV&(brIr!_`N47Bkh{u%n^l*p`802s3=fH}e9ASRbkFQ^d
zgG76u{_4nU9^x;}@ACSJ2=e-#A3^_62g8hj#AYXW=B%(hy-<clM_p@!-rfZt=k-G)
zPJVo#3h}stM!`0;KCUx~d*EtF<de@tNcAOI>b2r6F#h<m(_f<NtT_-iys;fH__K<N
znk^gDL^?lY0wcCYY9prC%u9En{GO-K=hdUi^%FbmB`HWgKCtnZs&R32Hd4_T8E%9o
zS~aF-V!415MLoT=d_SGwrzg5qu?s{=64fOo<~-J>qPfcl^;_Lsh20yR@1axy2iH{0
z#Hsqcx~4UuuO|j@M~ZTyEqZ6E7nu+0;KDlLRQoRc4y*B{T;{N6|8$Gu<OSf7nZCL*
zB%kMyt=Do^i4ME-BYfK2sRX<z#62^!u(p&UbNupw?!twg=Mt=J$|m`FO{A-yeo0Vb
z`sI`0U<YTX!Cz?R`+P&~?KmuUBP86;symVozb9W%W2wPS`+$wBBNEA?5OVG~t1yp6
z)O}WoZ~VPc-767$G^8w25Vuu3mE5q7Wio>z3i?#hD=O-N;T4b#D)c3CPOTt@^p3nQ
zKa}gaNln0WUzkiEkrj%%QAk=u+UA-@BiQ&0E=0QYp?;5f5GUAz;}=ni{8%APHmRof
zvTIc`@)&fuUD5Ttdz))_TgKr~O^*AhUd9dOuQFc4&G4<AZTr&K7l=bD_sn2(Khnc`
zNtE8c48LaDv*@>0QSA&OSG+i5PdJU$c7Fn7@5X3<bF?vm(Bjy%;9I2Ju~a0U-Wa<A
z?N(7}TfU98A>XVE)Kp2~0_QtBDG`BA829WCs#zB<5?Kw*EnU2XuxbAHJrqZ}`#X!=
zblM&H3o=t=MlISxh?VJ#e*ei3E~R&z@Wda`IAJc5x<mvM5rnb5Qf2c6SRY@cZ^tL{
zg$qYhS>oI$T4yCWzr^4*{vyO3!9H6t#T0kR*nE*wC=)VLrTDGAtwFl{deW{FLpH|`
zmg$V(n}L`+(VeqZOo-f>F{zD}L-V8LAN`uKIEKvlY)Y(IR+;;0<V=b*fomd7BpV@$
zW7A|IPkP+VnDU9-tzrL40wml~BPu$2jj=_eD6aBmdd!e_Gm7qqc>2_0X_{>Aba9=&
zoq-~=U&}bmWu3@rahARdn29~Ero*87kv4_v<#4NQFX?>!HhjU}l%|F(L7>pX@;<dD
zzs;)dbw0ZvENo7TzGgotcy8XltepKBZu;2vOUfVIMNUq3>LO20EG}$%xt2@bps#%3
z+pn6p+j_PI->IQf&}3b|+M3e@#@j-FsW<OtQeP?KOH1`txAZQTj`};X!bd<Ehl?n5
znm=$_!|WNGToUu|aq-xVG59u>;Rf9kMlt?ZmfXj0p5V|t5%|;IlQI@kt}*QF=Q7lf
zTw^reT1nyy{)JMRs6ZHxG*>G0^yKD0JjTd`F;{s)GKLRcgWmV+uXTz30b5@ZrwC3r
z9Ol$1rcG;hD0<DfTq1KME*j5Klx}$3G*TC74Xevhyl7*}PMxKMNR}oeLWbreQhNza
z-o?yqB2{eSWjkOU$&+z($xss;D2JsZ@rF*T{;M*Sv#<Lv@6)}6x)#|>Up8qrT(g!<
z+EefNr9TGwo|uVwy7ysIN)b^5!-&x58CZ}UDd){cv<y{+AHd!i<|}U$Mr;us9>-{+
zDa=$iC01O?xi|v-g#Ae&zWL*^(S#E<JLPjph!{S`+NVtZHjnC9CD7RY_O@+G*+ANu
zxFjO8mCa56*su@B_x&nxVLq8imR3S4#w_8>NzFNuy?-M1m3r$=^>ch%Iu&1tdwP8S
zEY{cS>w0f7t)Avs>f6^Yu>NLb=?Br`-3^9M)x8lrYQl=`sgGSC1y@JrVJ-KV-4hH?
z;W@+^T6z0pug~&WXdXWK0<8eE$n!Ul?qM$;IUEW1Y_a?bZ=P2;?_1k)HNUQ8>ifXu
z=G@|?y)UB|`EBl-iVN)R!aq?ATkzlukHuBQLj<p!S5DJYlieg|nv1uQE6_@ukKc;y
z<O$-<#O2S)idbK&ZlXX{Q&m$P=+-9bR@SG+(?q^7?_4_k$R@8F!U;6&gU<9uhkiDF
zOjoVA6^{FLd$`~X(DEZ5`;$Qq9T<>%QKI+eFHMw7Bs=+mX*tm*K`-lby8oJg{VX8=
zq5AgMA6mBaCNHe?Q+SN~w6+iY(_<d|`zIIgYgf{BhL6qo09BlfY=#$lk>x(iaWn4%
zeRi+UTW)u9_mt=NZO&Xi?yRHOYueHE=(hnd2!}uW*83Rjm_FMUvI9~ZZkt9&v)!K}
zqXX%|B%#MbajsYMz?^kTE^~|HJwtE)G?67n&8>(x&E-UeCvKru@2uqi7JG^7N*43k
z?8a}3%j^ZW(`;#fw+xqmmT22fn{(4Rm$Hsvbc^TBt$VsJ+&9QyT>b|igYc!a7QZWK
zJd+n9Ly>85o5~I6h%i45Z!w~GG?*MD?-QR>V|6<ZoC*`}txvsoz_#39r6<B@e`~jT
zu5JHjs$2CMrksFJz1C!O7*4%L+WVntso^<6?YY#gDzC@+GM-n<R;LH+W%a0B(!|Mo
ziF=}T{?=Vxe<6POIdM(Rzn6RFHz~}+ub<RXYBd$fN=Xez?Wc8{m!g_N<VFAV<#t)!
zLhH|6Q-n)<DK?`@K5Ri-2CiGNj-aLDYyD_%J#V!fq$iP2%Ibepk|(^!@k;gUf%PHq
zJGd%L$8|)tCJ-l3K3E;XfAmzKoX@4(&E`^WHt#%j<+A*|y06$ze6T;PUX0#{*7fVN
zLeY}O!l&^zsp?&i_x;SfmQj!SJJWjw{+##xS)V&=VFPcTZL@Vxekbd-=Y2rQL-=K<
zb^^jvfQWgW!~38%M!c@?<ITJ7`=GQXYuiG~UTgh_C71UgB75^zy6?eOe$iA?R-G-M
z+rmJW+g7&seQVav>&9uSBW}&L7?BMjdJ(3a|A|yvEQF`s){}dFPg^h4nZjwSVp|Q^
zmd}QAo3G>h&HuaW{~B*l$=~wgDQ!EB?~$p}4n>aE^p8saOPSxvcycY+`DmKQ6#j3@
z=fB7qJ<b7^!rlub<~e=I;wb&dk8#@E`SD~E305u5pOW*4TAF0WCBK^+llw`Fe9F|=
z;(O-@wbmrgim_T6BLRsJH8vDYhg4c?M$Mym&5bEKb_<UU2{aqfTAC}GfKwS(h=WV0
z8kxu`KIPx=Ll*k^DWdZ;e4@XlVR@Lw)2vOw8`dY98xv&O)U8d?CEGSy8Z!_YzGZ%E
z4^g~ZYpqF%l_gu4;+-Zr#i+F|q$%62j7yp*ts7Ygy~af`a#xuyO<QTUG-;__R;QLg
z5dMEX)&Dv8U$^TBvATNQlkhgt3GF8z+E7DSNJNkl?QL-7>=CiuVzr<);ySRf8~;!%
zyDBo8WnTy04|$qc3HHkXjJ@i9FK6sIfIH;bMyHFDC~1bQ9vACnjl<8utEKla^GBT9
z<$mL5JCcD7{h3gvo2d>m8{a}v6sb{<OV1)<bsKWY6|1!ocBAo1XLWA%!SRaS1J#Ht
zTN_rAdRa^s0bUt5SeOj)<EGr9$Mu@oBd!uq7m1|>J9_V8?5SEFgWfdIpKO}2ImOcL
zRI;;jaK~z+-Gx0(C6J4)P0#^?qY`D?ck}6(WLBJCz3vp2uRp$AL&%4RzpXTSLcO6=
zQF$ieUEw<|zOwiDY+sd-kDl*RSF|M6+VSxC8g4}`PgWP{pc-ss<@Hxq0a!9_m*fiR
zP?cuJEAm1cKwB$kL(0yXKSRt(;4vF`*Ku;@Z~U6Rv<qv9Z<YmTN5D_UQm8gUB$BbG
z5!|X}G40jqvB(+^T`=sCC=E;)^Zzqq?u2)mx^k>CtPZKvj!50U{3ji`Trq#2Q~ivE
zZe^G^;?eE4L3dLwdbTR)eC+7eiH@o~rZQeKo*iScrER;dOJ-@Dj?WqNiinVq9<=eQ
zd%r74f90-2twS~Xy(8R<Qz<O&^k~5>a4d6Bydq*a^lC<00ezRRS>&MR*i9FjbIY}E
zktAU_J>1y+{x-eF8qLX3Ao`QhLb<7Gyyi&rnUkxWZ*qTlq(<S7v>h#8g)e&1(A0aS
zHK=gOH0Q#B6(av2p44o6?2IPq461A9(9br_SI+fv)O;^>9({%k(M=?bZs739;(Pg>
zuutzICL2?e4My7aoY_Awu<snac0~&)pD-xlU?u;`trO`nqN8tm>{`Qz&ak(N69JAD
zYo$&mfmdR#1(hzcJq`Dex!{y#<(7&!&{d<%bS-lgzjE$SYLtR_yG`u8B<}BmQ`)%t
zlxy|=FVzXUNK*;l+_ml()@&<j);Mqq(MKCr@Xp;BE_KAnky!O6=mR()4;9J=ya!8M
z)p5%qeqFe@GI?7@bRDKuF{M@m=0U>}tK%@t9Y>Ya=!j|eg;f8=;WE{N8mX`B{f*v|
zR#<G^ixomAs-PaNovSo$w5Z5ThUnB$WP--@z5V`p*+?uQz0D$*?U%-pYWs85c0!Ip
zUHb?`{#r*W7kg>Yrnu&j%Sbia-=;z{^Q94RodYetyvWRvni4Yy*OCZtK$$j_lC6TU
z*bSd`2dz+XRh~OhLF%&_DT~D7QWt*9EoVk5gI4~8RKCOYT*E^$5wFHfXROW)Z<CTX
zxC$pmrY?_8)EVfKmI}F9j8pE8b#n?o%tpiOv!IlEmQLZ}rYmfZd64#2Q90v3>illC
z1)awtYQjJ-{1@Z*@fWS~v#a?dq34v$5LK-yMPkB^r3S)DIX~KPC}YomvC*EdIz!CK
zc9gE7cXymmmharEUWod`Xw31^;z@*cOPQ3O#=n!(#3K^x^(fZ&uiL&26VP_RA8A;(
zYbCuEaPqkA8kuIa32z{Mt%b&A^!u;j+lBP>r!-3PE2UsPep3qzlJCNLfw>YsuVSCG
zn3h&`((JlY-Rl&Li{?hHQ>*Vf$^VR~9WQQBF0-1dRy}@z!bn4dYv0VZQa8xi*Dea7
z=7lX%hwy3fQ`5bwdg`+3&fQ)0?8VhDpSxB(Qt6`ZX2poA0@l#nLivoNEiS)<od<P3
zNU1AO-FsO5Xrnx-DZgz`VeJjrufjp6L9Raw7&%-f5Al&onQ4=&xOv@_@+H^$1htoi
z@zo(F*SG|`%YU{4)J?)V{&CF}DB7<8H=ezwUKxG?=Sz>)gwGb$QxB~Jst#-S6WygA
z6wV(as(4!S2<jpJ_FBouz7fcwUhSAxUMhzW2Gy4pW&3ff=9w&|-|yX0M-eg&dr_$*
z1GS(Wx?Axi%ziRPUVZ<oJlras4tondz*TpaeTeJTN_cX0Nl;#uAh@L%E$I(Kn)fF*
zI@VIJfka?K&mo~YPF3Yz(?KZV_T5irv}OZV)m|_8{7sC9Uxz8R0aZL9lIp6}w9YGD
z=|R}ds3iGD8R42gwz@%+8NqB$EACXht#(z@EhqE60a(rx$yz`Pl0TYO!RutHT_2mH
zK5nbszxc4Rr>kCk8N}IEqVXsgC`wgqN`q2**Qwc+$u)*IaWIiRHd_ue9cnT0yIZM;
z5D(_?VQ?1#FjUsobJgoQ*9v$h=(sAIy?0u%Cb-v_3c&&u&-IG?UniEcTr1wfDG?wy
zDgs#Y5jgql!)NK%$=<xIhvoLwboZ*3nL1!Ix+7WUY*5{*>5+t+-IxQ0Mb!H7Q-MT*
zXNQU~r|JH7DY%65H|6mos#CZ;h`aER88fdx(%RMs38GFz1n!`OZv>BeSaZFW0(C(7
z>XsN1(;$;q;xtViE36n>nSR{KPmER6)e&jejNEI4I3lI{V1TCeH8Pg*G(*`D$QT^1
z0BCc;LHhL%4^wMlV^mY$tqcprj^NTwULdN>DoILpiRD}OpP)WfYk@Yjgn^iA!Bd#-
ztO3<eVH!GVtd-O7&$Wh)vmo?vC!wr1As5cdXe9W#V93U=$i7XQM7|){5X9Pg8Tp#L
zP@)Q|OGdp1>+e>(&YIf^5vxpQr`X(NJ~^$~Ih3?7<}k{IVu5@CxJ8-Or<-7!dH^&b
zBLU3tL6!mWbL&bUI(PN+j%FV$0|y@-&7Z<A31pjuP)WBcUX>rZv{B>*rHaPp=mW|T
zb@SRsq0`5QU_JxRo4KrX9P=9Lvpf0zV$xi7Bjbw;(zASHWGwK<MIY#Mb>10D=BqY8
zc!Dl{UN7CIciehE#xBYRB0X+=UI~zZ^q0K)U&%j!^gF)2AC{K8BN@7=k@wOZ6uVKr
zV%C&MOaVG^IRfZz5bW`qf5jTpS(1K_$*$IH0(#zP+dE@y$lH?g5;5-})`W5?-Q)F>
zxW|YW35hpGC7rN1g<F-uUqNMw`HQg<h~^j{NV#$d3z$z8x#Ik!(qKY5A*8_fMZ9`A
zBDcw)PB0lIt}%okh#O+BFzQO`BJfVM_dg$a9kFbiW(pO(8w?s|Fy7X&V1h5m2Tm3(
z2mUUe4v<%P4m2)a!(ddr3i+NP?1@dz=;|`U@k{lmLjW@RIY6=R109hV=)fzP3?9G_
zpbRz<0Q?ZZJkW!M{ud^OUPwS6I8Z+D_O}z(kX@OY!38{kG{BLEfh({98ygG!0M4Kq
z0w`wCjf1Tn;K<Ez1qP%HxD_?v0Re;u-l7{^G|!+V1~_6f#DW7Y`#JEiu|SPE8Nvb@
zV6odk55W7I+kT6AI)VXB4Dew9Nr8?O40IsC-+_*_3~XS=%naL*fUW>XWQJZi0CZpj
z26i6^kl6%}70j560SOAo*na{6?C5{dHE;nhLdHJ-PwF)o5IXP{)xZZ1`x*S85A;CM
z-~$f3X#X=vbCVna5{T39!O4&cUPOd#4*~QJyk#`-!NJ~v1nz(vL+=CUFp4U=@qjc2
zG$26F{&sxq9sxCYfNZ}9CBqd2aI60XjiDDDKm>ju+3XTuvxopV?dO2Nb`EglVwi>o
zV)UOt0znw`-~m|yx9|P!@Ys1!z~jJMRRbR^Z2o^4I3rfz659nGK#VCE<e-3}|4nCL
z*oFge2i|HL_`qYwfgGGJ`pji>33sDl|FiR2^e}@KfwSOZn}g388PGris{$Os8McuC
z+yVbB98}#N{D9GbNAyYnup_A)=!n8#27cgTKm!F-?Z*ZIUV|QN^?UF$@Ie9o?Nrs^
zgMi_SlA$#kG%!k#SQG&^c$mu&p8*r(fX6@w3E<lQ;%o3h&d>`6_$T&u(UL?mhpx2j
zD6&YYk8~OYNdDh)5p@|U$|wx*Apo!a?QqyDpvI&OcF;iG{&p;Ee?-7Y;4MN&&blN#
zfmAEV41o(0gBqAI0fQYF@ZT1R4SZ0scff&cZwc`-aWJ2!iiRAYD%hkbhG7DsCHo?V
zIUJJzWY$3ei9kr5VsGgCU-%dZp@9qgbPajFsT{+4G<2;q7*+qU<zn8E|E`1&3{VGh
zU}*5c#H!C!IvvjtHxJSJm5wlE!lV7y#(^t(IukHt!lkLAvrkXQWyyq|bSTlDO#?Xv
ziV;t07%YPjHjf$JSF-gJHTc3FHe6e33d)GhEL{e1YHDhuiX*PCgLm_SU3!S-kSnJ~
zu3KxWx}cz>gk^IXz_v`a?~<y5iG}5FhZZU6k{B`m3$1B1`eNLG;-3|$T`+s_RAklQ
zC)5Gxwk%$iW{Nojp%WGc25Y^XOc%IcnchPiM@p(%l88*=!dloFT4*#U1l6#o&SXJi
zBATdSQN}kbPxxRjOmPd9)EKdIw(J@zDkFc;0!}Jb%CJLv$RL=gEQd|uVn`H2UDMc*
z4MPS#Qh1?(hKhn!>HsV~b%I=l?2ih~?FQp;$x;eZaR`|YAxqWODqU+v&L8H^+<ENE
zVrq`}n#!e<Z(N4;YI;$>rX8x*WMor?Xdpz3v1`-ioCbo&ChONkWS0lhqN9qaun>EO
zEQ-aLRigKI4`W0%W2*~e5);Ocei19`QJJKMNi#$0A-&rMO%b(9Es`BGad>d%bf{rt
z9#A7eL*wqPblAKNT+l8fAw6L>L@koF0A*&ah99J<<({lq@yatgOdW+8Kjv+U%@!y(
z>7%3hK$)5zAvw(4SBf21L=@d+Gfy(njxCK5H(8~PY9-Ni7s@-2FebC)nCwFq$X-f+
zJj?!O)YyTqbHsGyTC-v})ALBAGP#&z-xIqlkXmBzC_R3oK)>gDIhNZWP7)Q>)I=hL
z)%8JlLd?TDKEmv?k8QH-r5bpFl0uwh?{HQE6?NYH?DQ;~Z*m_m{->b!pt~`hZ^LR_
zNIA=w=vp&ZAdTCO;y)afk0o28RHS(S`q@PC@84_HU_b#s8hxYaVfo_0!OBBY7y?g%
znPkw4(XFAv^3CC_%q%TRQK)3DLGOC2fzGPI)v&^rSw1I}^kL|ac4(^BUm^<zwq=|#
zvAzq!m}bgX<!r$>!QsJhDhH2b7TUfNrfus0#d*~#RW&R@dt_12WZ|38RL@|=xOb;f
zkf{hC2U<7$q&S43H)KgiY5r0aF((i+>4JEpSOjnqW*%aH&)`UsO<cAguy!V}4|>$J
zY8f3Ok*7NP0;|$W4|%jv8o112W9`?%M4#+wtVXFb#!S#MqC+rC&@ke=uwm7zn8S28
zIs%GmtUUCtXHc128Q==kGOG3EJ|;)b_4DGGM&fGDrf_L#X*!Hm(hp|DRHHkac`#%7
zRM$J4%mNUKQm}2swWG7sxWq%nLzN}q46FZ9WtZ4%?N=j>#6}c%HlHmhVdb?d^uv#2
zuiO2^EFv3Dq_ZkFNI>u50&Mw}?a^$m8wF?&dSNQtF^;rXaIBEPV<ste3On0uuh+w(
z?X6`^-$@3VpV!hVX9eCjb{iX0Nl;lfX;lpC;r7NM90htUTSlelSk@qw&9C=R8L7!c
z4W6ztwx^V}IumRSB|f=^GOW!GoRcxLYH$x;e3dg#a>v(4;Dsom{Zo7GxR%adO187f
z6s!Ie3<V1~-c;5z6GBZh)a^UwLk2OYsozS>3JFG%MFz1lVxk~Qk~C0=2_xSclwwXW
zDve^5pl$a2C{l^g%@18GZfRj@ob5ola-eb-=1~3Z-a9m!t^_EEa;_1xVkKoN?k17J
z`G~rerCN7k(_tB=CLR3AV$=}GW4PYG$?oHJ0DSEJeeajM9WCbuk3=K8?BP&8XLyZC
zKy!<)<b8jaTo{ALjw#zv{s@DVd)(3M<zk_D$<Eqli1(+kD2MgOu@mSq5dj4&mz-bH
zNdz~)RT9FYmC>AG6!|AvRL2Dxp_Y$?&9?T<{{5(8r2y*Bqgqg-Ww2riL=<Np0gx>_
z70(UNjBCTFjT$y9Nov=t{$7ZLd>s`pxA2asA^gdmmI~L1gX+QJ^z7KwKem%Cw#Q)+
zXSaJ`5Gq7EPk%Z<49MY?w9P}HrH25AK(TD2Rj3*GgL+g(ne1*ZzY2EB!Ds+ZgMr~(
zVge0%6=RSFV+FkiLm~tp_`$-U=$Hgp7V&`acyX928P1;32^!trvWZ7#fpqsz&VEkX
zxdDwKjj2T|UN9Z2$rIE;Hl9(^Wino~PO+FV0a+R=kJX##ZW1<=e_+dm^?k?S{=FI=
z2aVrOnnHg$wEx)c7Zd@f{~fPCk4Kc8*6Vn!II>p+3Mw*@dDWPdtYqZvAjv31hZe-1
zT(EBW^e_fX1>;aK%;#FGdJM@Wn4!v<0KO)fiM{U1zfb#KV2Ff~JN*&qCQ-WhgW}du
ztUr-FmCK|Pf^wsq$)&)uYo>-DZz;u!acgcTr$bR^u!sZ=5Ri=P2^bEZ%tR5YUN<CT
zOZw>&!wijKv$an{JZ~e0Y01NVn$Vg+&in@#nYCmq>W0<0Vm>(LK8p#hh?a_YJ@LV!
ziCodzsiJYPf&&9nEtdZnj(k3+v`N7}YHAu6)xH{b_R~D;^{#>=ijibu3T>{UiB*p+
zt3m!B678a)yh*7k=NC(2v8XOu0czpRe=q$-05pXd0Wx>Ej7_BB$icLsK#A-|Mg`Du
z)uRO0vwhZRh8V8Zt^v!=wO_sqGH>3BU734XO&yz^M}u)<6bipuC8~3}eoN}Im0sI1
z(CSHI(5o@5{vE|7!e`A&zR*qFI@dqSe;mVOYKzbPog634<VR38PK{^#BU9GOH9Pj*
z%7uSZ?pAvG-6rajll&eyUV{d6CTJx6aCwjnaueQ9=k3hT_o4&|&D<@4%P<~yOH1#H
zH>)P*xt)!;l{X2K!O1ke^?nE~E!C}8bc93Lhmm^SLbs0Q<oM-u7_}n(TU=)}R&Kes
z;Ef69{fCibk5XRGSdp;l#I_^yC#@v&l?)xjoN+@L)f~0~`x7~+hro2I<-RW`YvH4#
zm5sGC+X%y|$-@JJb0%E&$k23JeM9<7l7mqXCJ=3WywPlt$uWJ?)U5F=db<n{gZ)5&
zl305%LslQywZ~0{0|F)USVR4%4siz0Uu}UJ5zNS+g0SYRWV?Rs1H4>ls1Vc=2@$#h
z!z5?XkiKMzM#XN-@Lp86Vf>+RZo<#y$jYQws)cCU$jAg-ivt8d^NPHQvn8r2@>XMl
zwle4Hd4>IL`;#|n{u#XKqo9ImNmm|)D6tH8iLjp`d-qJ(IzZ*3wM7(|uKFOudn-)y
z$T?)rdbAw9(eAZ}1OMjN{|&(3eL+tY=HVq<gY=Fn{3%%80S>!ABY~o;6vA3@{KK#T
zCY4Nt@vY<zM@rORW0-2KoUx)QhBA_k=0)x4)X=&u$L6==P3h{L4qT~{Z={^y&-7xz
z=Dd<Eu9UPhGnpQq7}a2DFH=9N9OFQQBu>W%hN3)<WOpm8dP{{M?_q1{XwcRw;pv-|
ze8QiN+_}f4+OHC!Z*Hh}?%3Vh%8J=>-(V}wycBq_CDyfznH<%BRo;1HN=L1N>`aSJ
zp(q25rtncb&$-_H1Pfl_alHEwc!&g1(!v8J8MT4OnaHQ46$-Tl+AG*f-N9(7@7nR4
z2~{kG7b@@YOi{6LNCYyvk;H)JPZ2%PZA>n`c68Tx(uTeX7RPO#fBIV5tt3<mva59Y
z(2N~Eo~EXXieG2;%1(lUU-HD7=+0s-zrrEf{Ga71FeBon5IQQVKg)t-7i5p9SadYM
z^5J21HTrYs+zkvzhpWp#j9}dfpj7$sMngkV879h5m>bYL7jd}pBs!PP1hDJTxKJ~m
zneNV=&$k+^6IUMV6z18FzB-px{^FGKOS)Te^u}(OoEY=xut;)AmE{v*|5XG;e!bKY
zX~e*00E|N^(h-$N;?(O7Ez`l5#P1J<n524>C*lb1(6%Y%4{(Zd;M)Nyx}GghV3*iM
zk9dUykn5cE1w0}L=kklI28W87)sc;OZ>o-89}s>7^11l?hiEbU@_I8fkoXf6wPm&H
zxpYbY5DpV>9_XCkIaWD7>}feO6Wp(!Oe1ggQJP652btLpN3AJ&yG%{2G6yZKHZk<t
z3;qTJtDQ9ueqJ3S3q=A=l9B^2<gjjZk{p!FST0pFU+}(8=r-wfDdLuo9k6dF;e20z
zA-1H^&hA<U3k|2{-^kwfJYxJ?-Ew|Ox4nAU`g~STOef|Yn7eN4#lDvKIb==Ljnp4a
zKpWq)DB>j%c;3B#_{0*8iyO1aU$85#NPlGm66A+J6$aT9lM>3`MG*Z-!qSPXY+u(s
zje-E(cCCQdf-uWaHLQE#R~syT9l`ytA>)~!IS1hvK7@V}?nb(=aFQ0piQDtFD?4Ht
zFhkUF35<<85de`xl8y+NyW{$H3w)z)e7yJLn9CtcE<nxB(lU!R(Vg=-<g(0N{Ugo>
z%$@Xm(bI|r#ho>ES3$owZh<WXUY<#=`J*$Mn<vlr-3GVXymxVvDk)l@oY`^4vDC?S
z-TT@fwQ4puxx;8jIQ>8SmsB!MA=a&i%Ia*{(J-gbMvpi@Q~IR+g@5}}M?H3;pW8R9
za>r66w-nvOWg`z(yEoCoBJsyEAR!R*gd0O&^nsW^>7%w8(3<nalO|W%4xnohwYjNO
zocmsMtEXUX#e#RwJ+tz%Q6?krdSHx9Wa>dL1)pxi_HZ#G&IxOM64wv`&mJgsC<*hd
zj@4>%blWUlH(H8hZLd8vsz!c@kis&>QjD5?#2N9RPn)yyy1rgpd!63#Ukm0vL2N&>
zR@YG`^RKM)FWERsb@64*UJK~ZcS5udiwTJ6M9oTi<nSx!Pm3~-*JsV<w=naqDrA;V
zLGSCQM}x0IV5(oP^YB#?cGGXrhdF$x+wOo7E;(-TySrbXd0y9I7GNdL!b`#s*AT+=
zwEQM4g>_t}140-}>71dAlr+lza*dQGC@D#9U%cfnU?YwyGT6U+)-M>MfY<;thBnp)
z(gO&x`wmcKY%UDK=^xYL8b7BdGuFJ-e+$mnO}Mjio6m4MPiHt!XJ>f3<HR!r-wW+H
zN1bq7Ia<ADU#HF>c^Y8p^WJXIn%-0=+&TH*Ar<P1sMmx<!{5EYjY99m<z6OED+Az}
zoS!k7ob%SD9`GD7Mtf%+Q<_8B(`qpQ_7M5@>k(zVwtZ;};(s}U%tY6j(dca_wdMH`
zGkPwS*op2M^8c)EYt<^R!}9SFsjnuqMHk0#Zm!ZFqFx(9U;kP&#9Ombh`k2&KcE@L
zZga;t?F!$QJ_T=g4{#Yv?S%0RYJ9YFKS`8*t93rnlW`7c=*EjMYiUkOch=d4d6fno
zKGjS-wB`KHEh-*FO?>`&+9dv#eT+Z#O|k~(eRKP~z)?nqY^eXz?4I?&N!P_mHu4CJ
z2zx)SZ|<|tc>u3%qSwA-jXu0L7TURF+1Z@-$=wz1b+IzE)(<(EM%%6jAbxdcrp;_{
zHo_kzTqjND4?Wk!yWL?dbZ1j$Ir)()v0W=xw1N5rudMpehU6mnV0$zs{oux)06}(B
z+{Zqh7Y9WDz?w;t?WkeQ1;xX@bjmXm5WmR%>y|KLq;bd8Zf}T$Fcb;u|CrbZm*cS^
zcxiU$%U7p!tX;C>*yRyETDLw%zfN`ZJi)gj`|`#0s^>H9JgKLHb*SUu|Kun6h7<0b
z(~caK&L`ecnhMkt{pyQ*piSk9ep#crPsJwcyfKy4;Zf6)l+WdE&F7_gx7rdSP%s2w
z^Kf4>KQRujBA<H!g6rc}I85-3_zo-&EX{CdaA%nMZi8;Yqz}G{Sf$zZnDvZtfOtT>
zRZc8#Db3Wf$%O%%>!fW;&CqM&9ZR)S?t}LL-);9lCKu6WEt-SNSutj$8wRcEv={c1
zY|eCD3m5%Y7Dca?_f~FcuVqJ%7k1zF^FbFx3#IvRuYu)4e7mX<ib*Lss`fg0u0PMg
zjfLH8pJ<HZFj_MKs8vf=%uiwKLe4Qn1%$xPul-+cWvu1!xlwUu&xSSXOJP>bFMdzV
z@IikrU})m0&IrwP?R}$7HNMR*4e}ZZ8~>%F(DtrYUu|)VBrtPd55GuT<K?7umTM?b
z(6qpO_xpv`8S^>2Zq8#BuAuP~?!t;f&+T{1ic(k9ddnh`k~e=#SA}n~mPqj@Qf<@X
zca9A>pOx^U(WC$#-J~0cF(k@mV3y;SRNhV`ydvSMsIQ0ouBlG?Yd`r9*_+m%)HgqQ
zSUp&4F=YCJ@)7L{pLa~C^#AZK4paqED*JpnTkTD8<}UKQ{HDxVXM#pRO<It?PE+uP
zuSG=4?kewzTZeWe26N8M|EgN-4Ts11d7O9=p6^}`rk?)BB4@$a(xxD79QqZg1wa@2
z$HOdkf}=Bo{vm5+*(=1NuWZp<YS3HyGqJ2$k?5ZFkU|H%{pwFk@GkO!kXbfU*tv_)
z3>A^`d!&u?y#q1ck=wpjau<s`>mU0vH@p_^iea8Zqgban<!^)*EEDdOBQq-$b?{od
zGykY{)5UEW+Q#+8F2^|zWyWb00OKRbW5M9RXUfZQpue7`o-pCd5$%k2QX3(yO-A_Z
zINlWA1oyB`UH8reTiyprU-CM&)n3yps?N>Y$CAzF@4SonKG+qA-rsygrB4QE9}sje
zHhg1>AYDI_Dfs9EF5%zcjUa!|ZEHE0|2YcEf%Jw$`T@Yq{?*@&G3$d-ij|7lis^<)
zvVk=a78+lMa`$6EEwo;h*r)-8PZ_3<Mo5f4$Tw;iOSJ!YkZshix#&$z;XObWUbZR+
z>N_J$BOU5H8|qyae7adtC!)vlro-q(o6)BRyH^dM>&|#5z}V<_i$XUf!nj}XA|z=B
ztJaJ*qz?O+{*O+oK?x0L9oh|b;1#(>q?B+;O9^(}4@O0}3@P^HZDlxq+R(UEp<1Qg
z6eGVf^L?<s(^20A!?e@ScB6K?Tt1FZy=LJBqMTSCHiAw$e>|+eG{M=XqNWK<llnME
zbqM#WP&pGQ@TTcWOhX!Ljyj`6rr1UJTq)rbX{n_ADZ<ZAL#CV#6Mx!1a-tsKCS@UQ
z)C2J~8sM<*Y#?1K1LQDfE5Ld+91ED5(45rN)Tiqp^bQ3MbyKu|6IJ6^_%x&WP!sEu
z?^nS!sH&=lj#g@^wEXZV*2i!%Tx$KtLOGhJI@<-;s|dN14%(MK2Y|ol25(?AJ^;`%
zx6Z6`g5Pr=VAGv&gF9=-R2FyEaw#GDRuu@dKGXm!bz|Bq!md?GSJaJTtv}kOtk0|&
zyr!IVW}BeCl)(L1BX)3Kq^3&NH?>~;X+Qcf@0GX}ywz!4YJA(>nlU|#FdJ0h{aTLA
z-^`6RGve(j{${~;O@`>24cIX=#xWO6Od8M2n+Mqw0BePPmJBbrc2@+Sxkk0zy|+ra
zW)~4xE^CB!R{o^A-o$B&w(puZ#dDj_buz-cWwzKZ7d08oXx?mSCL^EQ>fFS5jVd8`
zod4+}^ixOPsov53w&1-v-^+R&U1-{qZyIbjs9I}|or2o7sZMAT)ywm>V!OeO$HV<a
zfwx<R7!e&ti-^nyVBwhq(L<~k1h-iSd1oitVHes4YDMnAWZ<Q-Y|q2Ivu*FRccGr!
z9o)y*v;7;}3H9AmXs6jkxk4iS4pk3b31bhtMnn#E4>fGMX}B3<utDivO<sfWw+h-}
zH|()Lv)5XNAhHP3lO2tb-N<rd1?_`nvlH@R^Idgm;8c#?(FucRVi~lXs@G&*J~<N4
zL}mkT!)c$|-SH_HUO-EJp`C3iX*pa^RbAAVr#<TVm&Npxb|zxGBK6s0V_eJddbx7>
zXgT7f&IZHHrl-p_%fh`ysCId<W<(oRzb2xNb9BZz$hq=3qSI9F8-M6JJL}jcyGiu_
z@bwlzaRuAjXc7nn2tgAdxCe(B1{mDk-QC^YEjR>sf_rdxg1bX-mmq_?{6o&U@7=%Z
z)vKEBy?X7{-?H9aGgG^}FTd|{`ge%zwu0fWQ!ZNSkLpQ2*_2uZtSo(LptI2+y+2%n
zTRO4AHD8*oml>Le%d!gKwlZ0yAGsQl%1Wc$aG;7FKQ3euJ{C78hG<4`xhySbINXe^
zaJa;;8_Z0(Gu?2Rn`v2oM`<99uAi6d$WY(zc3x=4Z_4$;puctC(Eo|wREE#J@~QoJ
zVCgu%f#deQ8V8Yyh!(uqAGAZ&ML)|4JCE;0NbE)T``AYdQ&kxUD*eAc$zeGi9WThl
zFzvcKwJx4X_fz60v2P@0WRF!#mo;S!=wzHWjH&JoN$;<@ne6RK_jvEw?yW*w2m~1u
zEf;NLGR;3tRIF8mR2oYgEbQjb=@&XIyykVW&aLKU=YK(4hrIKX^xGxB6to~tUEErV
z4~`}-SWcv$nwgAQ`;JZ^QBD;{?R5`hC!;HCM+7IrC&zuRD+Vit&3bFr6W6+}1lzHh
zVVSlvHshNF+XVy>e_(iyaE_Yhi#5h&$4R*c%(zZ>2u8e6Jj>wgkMEM9)8@U0g9nZK
zl81)}*3J2a!dy#%ixoszY^f#R#RKwd)vN8h5X7~jh|t4{eCEMUKV3WZf_q>N{?C2b
zz4^m>v{zC2eazZ}@>TgUhUY{5<>b*N@!GYX^?l{_wchH3^oRWe?$gN15PUy~;9rvC
zA3<n_aRYSbWgm7q{QpE*MlKWn!FMC$zv34hzyX(>Ny|z+<G6iatU)Vtm(yYHk#Em=
zKO@f_KBo}wi4%k(f+b8Wb6K#@>*$5)@%<Yu0e<(DsG|-hKrmWFuXw-d+gzUacJFhm
zx9Jo^&d-iEA3goNXYwc3E0hqIoPy(yaXPV=fG1M17|Ookr58`0Y7d@jKAy`|%93Tb
zyrouvIc_@UMf0AQd1evG-b(r+++c;<;qD6Eq80uAn4PP~C5N2X7)A{fBrq5el5%tA
z$+DKIBgu<`#7KDU8{w63tShw8QD3QSN6@aC{@q77{ku+N#=iWuS{1yPWO|@a{9VS#
zldzkzweqjYgxS<t1ILRCTLZmo+9Q#hpk{upg@CUF>J6Jb=#iREIgctcx5d{^XvVHP
zW8HAfG6G7&I^H7VQV6B}ciJ>?e`&paSb|46cwjJYNX7AGS$7P%e%EAeha$L<dHJKf
z7+}|?g{?74XKiQ3^Mq)BY*h*(_`F8^ao{(CxBG7y%PSf_Vn{5R262JNEa$D*H_Pn2
zG4y`!MT*A}@=v^v`iKt@QNH36XWU0Y8fgzct23JJwg~(dP=^ZTj>|Bcw;UFaQJlJ8
zO?0bY$IR2m-vTCxV&3me(@pZ%U`qNgk3{`SX~#^6)5axf0dG~#QM{!QLM>xmzwUn9
z=i(twFYAK%<|QgTL`=g!ZV3yu_K!#As({^^I-3}Jv4`9PsJ0H~;^m7Q6Cai_?MBC2
zK@C0WQE$`>_8fb9$(`^DG9jV4N6{fB<CPLoCw5bs+<iehc>@$G=w~Oct>>aFt%c9N
zMHQdrcXi{}6ND%?ME}$TdE$kwsCx$OQt#P;>@;AlQy$HdKXeeHguQ1vpgAKQ%v|r{
zwbM?(WGv))3Nh}?!v3*VKI?Ys<92m=61Vt6oAk)Xh3<^<=uD)XiZ8MD(<z2s1~4PJ
z%5Kg!%G-!LS%BrM<MthmhE$m%4Q$ptkF}MZ!ZWdQrfzSQ!Y{T1mDcB?1d)vbZCvz<
zp1)hy+(+zNq+d;l$gyr(&%jD9=akxUcwdrjt=KnxP3&ApuncoCDkKgyf7lz9#w$e4
zl+ONa6_C;Vp|V-ApIIHDImmM0DFt9>R4BI(X6TE(2pM8R=k7urfNYwvgHNni(mb6w
zivgLHTVMTuVOaR(o5Xlrq8{XHd)rmOIRxAg7&Nppz-5hxL-dW_kqU5+Z#W2so>E)q
z%Wq%|(Yy(@DM(SG@%>6F`pmK4&9{RYDF{9$7+R4u<;US2uxHRK-BbAJ&C2R6%X`rS
z`E*(+Cum8x%l>iTp*0EarvQ$b+1u$5LH{XsXU~sM;-VF0xt2+T8eK-ov{g8oQKs~X
z0xvFsutJqG#HOE+Ya?RkB=pIerl!&F1u3#?8ZXtiXbRIzTQw(&brQHMyi6NT-O@&#
z%k&=ojKF=`XeP10F|8T68T#I<9)6$+snGvC6(%Q0Q-st+9zp&yYjXgVZ?z?g8b6jz
z=I@!h;O?HC`mU&U#9wp1S(>8G!@9_*<^JMCiaUCphm4D$!Engb*NTFLb@>m3trR&L
z(s7iTr+)oCrOBKKvNE9ef=?ME0WSnd4dGu^hAzqOtVrk;CPS{j3SA^-mZILx80UoM
z$Pc1U{#MYSC{(WuEOI^=$ab}#r3Hj#=GO`I8c{@7zkgf`nG)aYxnOrwHwZsPxAP3t
zuafV{sZES%uK0V_3)Ih*KB_EP{k3sX#kY#zq1bnRiy^$JVujA)G(Auhdtryi9NwcK
zCf`g;KWl<NYm83kN#-mS>lELc@1#$E7-8C`xUGpgE=tul(^}BCLX*SSehZ1G{3{F!
zyOh{CyC4<g`pqVq8C#n3E^#(1mO-pSPNtW<x|!Xn*imUP-FO7#tY7{^eL9o0xOuho
zqTInLw0YN7m0PX{c#tpGJpq=zOm}%#{5Sf2=)>E#Ync1koRH>kfj8sP<V%Adv5e-u
zh>2T8A_=qTY%Au$vK|!5jF}B6F(^Byl*k6!`@L-}Z1fD7S%%DN5O#M7O^32;?X$SN
zQinG3^rCLCh(oETTAA7>Z%y`fkC{Q|Uvsn{Mp@#FNxLP^MQf<439=Syer=^#=N62@
zl!tjx6~|7x!Nsdq+?cPVw=>U^|FQ0&%WJ9qp3qlV0~gy<@Y#vQ5$_5y&eg0ptf%PH
zwyQ%>4>6OEKB(Cm!HnaZK0C^DIoT&f$S6jsn|^<RzKXhna>JhE`*P>cV@lf@c{RBC
zbspS`?W^LLE1$$L>b2;yP{M2q*cBcWA1&o6lqV^H_(@yza)YAB=;QOj0|BZ1qdj1J
zg|{il3P)-fxko?cZc|;88E3u$;Plm3S9(~f?PWq9fl7&D+79$80RSwm2y*RsrbJjO
zYm_htSZz1)@Y5H%?m7;Mrgrk(j0au)hJtN(WmSpUDCs8o^32fm<mT%~gZZFAbDkkn
zDhr;w$TUm!Ns1DOXG*7?+b~8pHKF~=L&J;o%90lJZP1E-342oIwm9SWGS549Th2%a
z_#XqK9{5V(<;HTNs)uYE&7R~3yV6%d66hKd_ID)?rvRlwfdVmOtwBRXosq3aFL7!m
zy8S;fl+fe0Wx1n&G7HlP<?tJBGyK&w0xErjZcr(4)QbL@x*`uQBSBHoDABk&CiN}K
z+V`+BwP?F24w}h}P?n}SB=$`*r}74Mfea3i(<YHER*~0<^Bt$BCrx=i@$=)RDG@=E
z&LXA`wUXSpi06{gWYAE~Y5)o80=C~6S%qHIpFT;CDqbCbt*wg;yvvdjY010hO@q*+
z-;{0{y;+dRhGEceu9|J+n;(&PBh-Vle~M<3$F&<&?J!5J)oaXyyb8|~z-;a8+wDCT
zKa80U|I}vgo`0BLDAeRciJ?{7T>AFNx=S{v%*FE;&#obt9=!!}m(JQCG*d-A8^%fG
zkW%ul5oJdXwz`pB;0uta<a|axCn>=!;)uHXckBnXRkZ;7(y5fFQwOx9=I0tAo5x>=
zNKrqQ6FNp6=0SW~4~zPQ@x4ZxIo}ez&BxH|jw(IhW%O6)!o?BL(X{n62*X5iW+ku9
zBy8)3iOU=Q8SqT;2$DpaJrIw0bQ3eg>nED!O`|AhpyD5d6R-EWw9einyM+|i<*BZJ
zj4=`H0)A^}8pZ<@dwh%&E7Kk=X-|{6ix=5(9R?@~gg1S0(^$dB&S6Vx-ic`~&Y`c8
zFLr2WRJga9D2<8_5kU*iPG`*Y*{rR7<AZct%v+zk`!->;d@Px5G#1p5<7~utY@$E@
zIK_EfoD@#_`Dw*pd682NhaDXL*_N;S8Zb=h;JhR`A(%n=HQhjRE2@z!sRbq@i849P
z%AEl0NS%?Fca5R6GwkG6Gcc8ZCfAomV-wS)$6V${LpYQ8c};Ma>7Jg=`0volDL2FC
z5O^U4YJ0wzoJ<~z^Up)?{V(1f6h7yHPLz(@n6A_e9hWmZ)XE8v><?<T7Tt3%f2DzC
z3c2&XDnrsq`AV2r^zt`Zl=c<@(?ZNVPB!{DoN{GvF75)3LR~_iNOaEPZm<d2^9G%j
z3Q8|s1!BA9Qi`=2O6oBSre$K8Y6kCR079(svGhTb?s-nB{Ih4=!dJ8{0cVhy#VD|n
z(piXUH`P7`L9y4eXt7}&P4dr1M+<R8v-eANUyfY73TVj={rK*XyIk4w3&Ogc74t$P
zszstLIL3s!$65r%7K;$G)no&=#Uf&u><D)SQuPW=!aORHzEW0BTALl;Qqtq%=Uug^
zWd!$-G<S<1wLdlPiwTIdKV(fbo6vq6_r7IKm3NKv{LBvF4d?hKa9>ljNG#I5Za>*n
zO{wNLkB0m0JQfmA8s?#@=<BA5J}R;U46q^+jR3cT4@N38i?5cPk7!YvZD$d9oQ2Mg
zF{03&#M&fASNzx6#B@2%4$qZ_EN(BPj^dF_coaIeb%FDPu9~yhn_?fl)`n3#u&Upp
zw+DbT`yhN#?AJqL=#BYg8f0R&Zg|h~<3c^6>}@27l3ZzzM-ral8C2HY`%PP!&$hF`
zP1qAY6K2ZDtiwy@KD;dQ-O4obEHochH<A3Nf>Z%+o{N69{^RJxNB3VAG7l^901m2(
z2!Ec_zpC)DIom%cWQ7|Z(v=^q&{_A~76tdT;RS6#SKDnwXX(?1<8fqMb$OXc*m@XT
zb@AqbG#(V&;#n5*EVsWi>3(Q49>prE?G9Pm-I>VFd?Hb+2BoG=Td+oW49R7flJf{u
z_krLQ6)3pww)+O9{o=OCHx;+UxW30}RLuD~H0@=jkGq`M$&!^2c$?R!f^|0ke6s8A
z*HL>+-)kn{n9SoK3bc5HA6?Q<<#I33j|WS`EHgB13KbE2mH{Cwj$-H%8jZC)^6kYT
zki^ZDfJR)?*z(<j{c;x19_8e%iq2Cy8E;wZgtWfQCJTt!+bt9z6eU%i6?PXhxins{
zdh9?*@_H0ycJkH_loGm+h9mnsG9tYCKa1}6IW9QkWt2n-NtvHQGWuUuK>oiBVue+Y
z_w&0OTjPDOg>#Iz?Ep_<XBm}oRK@8^>C@_@snS`Ue`{tdfJR2%)MMj3AD^|H&eY5I
z>7O*C3x!2T&Kmj#?JL#+;#ITdO%c>1G%u2ej0OD?N4bj3US97q@5$64xC*WX^*!_j
z_PYMkX0-yB^{B0C4r2GvAI8Nv;pS0mP6npsi2(HgdaK-V&Ual^_bn$f-<n6a$QWlT
zc){0FV&@NusIAVPG7i@kW2C7Ua>d~Tzs5Yq21)b2Ds?UIRgYz26abNUx;o+qL`%NX
z&n6$oc@|{3Ni+w%8SG85Q}pT6v?t5VDxGZ=ro21)Jo@KKO};LlTVkLP=zGgS0Q_;h
z;zDoW&gld(-~3F;_d|73@YvZ*^+w*oZry@l(882ogizutRkhpjp|QwuRGuShjXH&<
z7eTID9x(U2$II~DU@RcDVJXFCxwZ9Xa1GyH?5ZT3N9XMoRopLMajn>hsxt?c?e6VD
ztkUHzQyTn<nW0Z`FUPU2rG0qLcfmOrb2}YJBqgxFI+opvTmv5;Z_<)ELv@7Na)wZ|
z!fCsF{*YytH`){&5lim`o}6ojJSOknzPn<n*#=9Cx>h_#$gPkZH;G+rdpzn{0T+b^
zwdJoBIB0h_seo5Yze-FSFccmm&A@uax5`&3=NRft(Hu==X0_0Hkmk4aQ;*s}<<vK-
z8fyn5WeT^yAfB`3F*#@GJ0y#LKFUlu)a@CM(~o0hVytS~q`9QrNJBnBxFHA-%68>7
zk~PFNUz>@Bm4<%SzaFzLi!NQ4DNVa|yDSbPS;r_3Nw+pvDEE*Hl!u$U=v$qutZSdx
z#Eg21W6{OIS_d<%>6+>A>BH&ye8Q1$1FA`OjMGVK>3>q2*c_a8`$irBH--d*k8Gv1
zhkwf=)i`RRjGpLQNFM$kan!gNb)<U@meeGw->4hRxp5daES4UXUr+inRFW~`v0<}?
z*Od(zxPE-L;9b>Iy+MFrjBIfod4;)++SjC~>>}?XkJzl5t`1C%z>mPIHs4uYEYbe<
zT=C2>N-Z3nrXA)q$kh9@siH#rvUUeCc6+9L`mTm{dFz{?KCdRBR(^$ih+8(cXl-Ru
zb0pppJG%sOMozQhG2!X|dc@=r0b1-o-lE03)n4}~qng3_`<wbiueZ;8t3Np;pl>TA
zL7-1>7pTqHm%Mfp10ha4@tAXoFuIk#mFA5yulZ_E%bEln*3|o@Ti-OLIrwf@-GL4%
z6=wI%FcXAvzADD8!;NPc<dV#>py*K8gn{01{PKQyuY>nDVmV7`q*Tp)8Mm_KXw7aF
z`eBaKkA%fwtI7iw?Xr<feHpzSXFsh@>Z8&lp|V(|D#z#_^%I#1XOQe2<t8mcSDsq-
zhQZ8?m$-?=Sfgw|#1wqaY`^olbLGpAPf;C`5Zgum!}|zk3$=CXLx;P&x$|?YvgErq
znY`ng_AI+q_iua17A})7b>6afFozrW5G3k~m!t?Iyg|<hrqW&)tmh|K&*?h`p^c1f
z4{Xoq0Eoo;1K_q@{+Z$3Gv@lZNuCD78*aGU@SPi5x)FQR$v1S?zF#6IHW_{jVXHrW
zu5FaEuuGfUWGNS72d*=n-zac`JI*54*JRitd`$Q{!F`dtxact2y{#s041P3>1dP#W
z(HE)xF#i2an`c%*Z*8_YCnVPGk4NUGzXT5frucXKO8GzE-DQiLj#9}yNQ9o(x(#vm
zdfaE=Jw^1f<*wi3cc>Vr?oAQa3j=hjy_2VnkLf%|?xRbP+M|0cPa!9Sqw3LuX9YG@
zHg<i}Bd0v0hc&b*e4e}TKUd%v3H_i4C-%c033L*`Sn}xdP%PNI;drwk^M*sT^1_$v
z(*lMsmsn-=8{GFtsJh<~u9<XY-a5lp79w10bY{LiD)hxCUwGe{`Thu7cN`%Z3(YdP
zM7IIQuT;<n<9>F3UiJm@<d(e{agd$jSC`|%dhfJ9&QG|y<%6z$rQ|wZr`!bk08#s~
zWax#w>fkVVHOHe^D>{7N4~SYPY#2krDP8Z1W~3+*;d_ey`K%yo19uhq^O;iC=k1IJ
z^OZ#EePj4NYS9bMj0A7n=NTHlCnwp8w^v-L_d>E|o6HDQu%PHTpSM>|KUd-Y^1xhm
z_}_>BY*$g}C@ZeRT&8>~<nw|rO7e5ZFS2=emBa_#J8>TAuj5OF@5OxQ9iA=Ao4s+r
z3)ap%iS=bFTgjJ{+T^PSoV7|8xH%1-K}g*R^&06q<lVCi&W&2yn-`Bx$QRp+m$Hs!
z?)XV#!cU%Rmp+lt3j2iF&mQ|ck<Y*xpEVt0p0pn(gt>Pdd*gLF1ERxj0lPOaHG|&Z
zT$(+__334ivcoBTXR$v07Us&;%*-_!U5U3eFlBg^h@HAzhqz{kWe-1><oB<AelAh(
zUrX&fBRM{NQ5&xfUVv`t)Ob|}32~{+tOLG3T0*37wSkBDz(5YW9=uPVIbC_)tm?dj
z;HTbH?p|<>?sZ{SLd;hudVfhiV6;$g>3ImR7ineqh<2L4DSdBAq3iT+w=OFnBlCNP
zv^d8fgMnCvoEM6#=-e0dd!D$b&KupmEMsQfw$FBGe<fRb@6jDYRO#l*{jda(96EHL
zjGk`<!X*eA=9C{}s=?Q{!e09{r@wL+`+dx3fPH%YGFZ2dpKk@bOx}3@dY84-xd&W#
zXxY7J-MvWPbr|U_#ARtC-r~r<Qx2^oIbE74w0|hWy@(FfC-<=^FS~86Eq(!IY5}?7
zvM^G|OIK@FYqFD(t`Wz_@MKO;-a>d_An(`P5L<bWSF_+D7M%|iqYsgotuh7cPtD;j
z46ZNWOUQSIvS0?<A*=f5ckQ-LgMdTh^Y;wVXP4n8*f$+9-b_De_`TLI-k+wxb6a%o
z$#m|8uV1L0HVIw0sa@D@<Bh_rV?S`U%~9F(xDPk<-n%Wb9KI|aGCx{%`fRkUxKmn%
zUrC&K*cI4KOdGTz-dc3>ynUQUc(EHto)fbPx`I1hgMA+V@Dj79F=y84v-4nb_;DSw
z2=mSx`?SXQ<*Vl^%%hio$9mHwJNzwt`%)Ro^z-a}<de}`!i#0&4ERUVP9C_&2H!nE
z7KC^lr*z1p1q9<+GF?AN3onZEyb@(92TAVq{<7fo`gFQSLU*4#)LiKI<-%P+?zEm+
zr~zGDVqGKX&cA8-vH%1*NA~@iT<}czwcFu6!o+`-d3SpQ{siPDU&k|O(#hm>6?jbg
z;qdg7+?!?haz4s8J2lcabn{{3*F>Y#GL6^Ec+irr{`hV*`pHmjLfom-)~~A<Z}er_
zcFKz}^5wUYX_5PFoe)^bftyb+tdtvRUB~Nml*>+ESus2t+-N8^Jb28VLzg}rF7JG|
z38sx)`dj_yQ{+;P<!&eP!^yifjt?#-_c>y>6t;3&cWc*PrVrEf3ubCO_0#3hgNX3l
zqPx-@q-Wf1vgaN;mwkO~m`L{o<gnU>YCGOoQJB{7rXj0KOlMBkLd+LyQojJy^>*Zx
zlb1qo(A&uwQ~Ms$XSXlGrBWBBX}%&^5T1NN>5p6fc6zPw8W)~~+QqwbLTe&(KKWky
zT0`#3VH!LQYSJO5KBGS1Iq1tC=ZI<(?c**V@cPWGe&75!7JKNqHs-Q^;I%Mc)G=Rl
z0UcLp*0PwwRJx*m8TacIFtk&M@Q{rfE;ZqM$TSHzL5e1XKl1W^&c2g++o5@yhUo3K
zo>XxMHk_<2<QnE2hV6i*B_=F7dgm%geEZqxxS`Nbhv~Mf{#q%{-Mteh<(eeYqI5v=
zpzWyRtukj8D>9;ywV{Kfy^)^PKhj3u92t>`nT?2%=pU&;#Hc~U0%Fr5A_8g<0RW6p
zf{7W*0)SsB77ZdcCeSMdWYQpFW_y)m0zxI3nVE<{AkZs|2*?N|Vg@rq+W;Z}>pu}@
z02GXsiHHpdfU?<$K)_dVmVe-E(B4eUM9e@&A|McY3)&0B$V|k_3gxi@UumcqGaFPN
zfbmr|lnEtSnE%@ZF+s7J!O+f3uXvzWRUqI$62uB6nO_Zndi2VDMPgxrdI(~DMPdU$
zNgylJE6MiS4fJaCzw(a-^%mNMl3)-B>Nx0CkO{~Nm1G0{$8+#2%?fzsGXtS2m>7Zo
zqQlGvjTwlI_1_IPC=LtYKXG7#3b6oy|M=inoBrW5fta8QSlIq40D-|8M6AsJ`m(S<
zWdLmd6tJ>DaeyH3YkBR@27tQ90t7;xV<7^8S&3M{04O$yh=qv>%4Z~E{f|yI;Hw<?
zHRym>Cx}>~R~A+ls4U}uu0U2I5C9Ct_-8vC^FJH^LxWz21M`1rXxu>{s4Ngn#LU77
z^^Xx6c&Kg=6o=_Gu^?y?SpV7hnnh?rUIPUUHZ-JAJE4jHXE!SplNqX?nFT5X2L0zg
zGc@B++*cbxP;6+Dp|SwR*W`l!1sh7g=7Z%we86jb!B9+=*Zcq&fv<M5zQznnL+xY*
zyp8|>+iUzltWezlxBTO?zWT!Y8b<&dD^vy=tN+Fe0A_;59|(BG1v0+UETC6h=%|Jc
zK^EX^A1Dp&&%*fnbU^8Ud0~S31BUWmV+CYnhS~!LLUY0VA9?0i`G3z4^d1xw#PUy$
zi4ls)`fm&XfnaE!pn3mq?t#pVPz+Y4e|9i4LjC=}?){SmLwWyCf$C+3hU9gOy!y_}
z@;Y9anV`=kv;f(ld3i0+TtSN#krvVae*VG#^ZaviG6<VlIvUwC2wUno8VMR1*cciy
zNE%t2IGRGI16FQsWW@iOK3vnaV!F(KGky$)cq8I32~<s=06zFl$_-?%sMf>VT9N~q
z>*dk~R=umS*poZq?p}D#G|rdX>sQHRAefTh5#aXdHt@axK5#+ztrPciqOj6x8qLd%
z`RH<(ZfpL8DyS9ksB0%(+kMg-OmM^B{zJ&#J8)&bX{%jBzjZ5++Yem|<_kQ5<Lp@h
zC9GPdfQ6ci85iTl-mNBSch%*r4K@btm>e$Iu?S|}ruolyThP0<r$QS=o@5)TBX4)^
zDvb<9rR61$-SZoQ>=FJRx1mqsF?d~Wo@G?Q$;F=DZ{Ry^DE_~vOK1%LJ6-<&hKq@n
z6~yx2*g>Z|FaQMjzr%Orh2*K&`{xD-+&iL6TZtQedgqZyjyn*$v@1+RL8;RDK`^8d
zsld{g=qJA~EM|gWynmO3qIjKpDAt7k&>)->f^4onj|X3sdT+b>Md`fq#a#U=H(ARX
z&;;gP-R$-8!-bd68h4yYCKx#GvzuZ<Z(_{)mgtRcm#FWrKMoh1p~tL_Z)1#-4|P0+
zBs9825NO`Sm%o{*chzda^S+)mdvl@lcH$waUdz3gS9#gm_piqr$InUH-m_Ci{6m7i
zLPBrmj*QCbB%aTY?g@3Z2#J$ue}7!+%Tq4%;pC3iaTa<=pa~0#ynW>4?UiBBscSS^
zUKqjjo%MdRH%FuX%Ti*+^7s9q<4jV8sg;dhn?6#f1J`nU0-Z`Nzv(2J?=j(<Z5u0%
zx_Yj3<O)4E+<6;~>BT<dBu+TSCuHA78NVAP85=8|^F1(9`A*hXdF0N6=Z4{a+dJcR
zo(izt=5`2dFsR64<`SGeqY`M$7YR!#oxVWSbr35T*7kj`hYLxI$P5S5h+srO6Q+JR
zv`S^47`2P&S(LU1af&py4OXIflxPaNloX605Q9q)NP|VxH{d4)v@q<9xuZGTnFz|0
z)!}=G7-P#85wMF6?<zwq$7+sFhr7dtYS<CTa!bg&`QmrHmY2H()8K_{-QSVxwP9s?
zuVQQY(elovmN5UD5S6%Gn0$N=X8yMf2}2Rr^_KdLrP$Ne7Xpo3C{O61h3wtNTbOFt
zjexZ}y0s|&cF3at|L*m_0R9*01w@efJq1||h9daj{vh<4|04JwP0v2$2G<>XHrdiY
zPE8sw(i|Nzo|Q#zkJ9Y^#||jWTI|9%lZa=k2WL-`#bXU$nlmsm*$7h?TTxI7BYa}#
z*L@?w!U170!-dKtWP|V7!)T*n{6qNQG36|Z&h6=j%Q(jk!`(PV&ck1sCxrY*$o;q+
zZ`}Jc+?GTq>L26K13sv-oad&6)>PLzgpYIryi8VAN*K)LscFV&ve@%2?al1uvI~iL
z7+6hWIXpH4X;pSz_t?H$5^_+Ga?ydv!BkAdt6wP9=&E+H<0gO3hrY{&rI-aDK2`rc
zFZCY=d%1t|ajw@D9>&4(R_ZIeuW?fRQ&Bu<VnJQhbcrWLo>QDYM;5F3X$Ks)&0bhW
zQ0_Fu2YBIUD6skEbZ_XSDltAY#ih>vW%?8RyY1$9qq=JGNBa!*4r?`+jE*m*hv7`K
zY!>QL;JBaTm;r;>lEs5#_1v+Ve6_GrztW~ex=_P~i_OLs*+H{v!*sH0##+PZb!YrG
zT2{@!H-=O4VpDs^gs9m{l}a@f{JxgsD5>QBtux-<X=SaHI!R+*@KTWV7xHd!3w011
zCf81=yLH92v$kwdmRdcP9#V-`Z7T0;*%_H~oYP9G*4&L=S<x_bI^~C?<bNV~@KlA@
zH#2VQXdy^zN61)UROy@BH_lQaPpcA3xe2_Xp6XCG!5=@Xh*8R|S!^ov2qOGWQLYgL
zRsp{=GaK?dMa`QXT#?c)6eyQ;xmPy_-lPBY7*l#G4oi1;78}dsrlQ|m;0||U){Ei-
zPP#WsN|^oSoMqgrH9=??0K-rQQZpn@qE}!%FsF!=$7Oq*87c~#qX`yE*a{|=_I>qf
zU=G@IXr(q5mu`Ac=)_sad)_}vPn^WlD!8ONCCj2LEc}|7C0=UXkeV@C7}5^ck7-pl
zks0nlQI0f)Zjwfp%X`B|dSBnmN{+Guu|0(@=up%}<1W&|awi=J(2Aq@#_nAg&x}jJ
z$s~|z_eeBLC!_~IWU$5ESXgk#ff}V>RP*z0n~f9{V=qy{G)Q-l9Ws!y#%_k3R-Wb7
zSeP@eFsZUUn=P61`{rHM*zu(%9SagR^IErS0Y0axO2imGj*EHPIe_$db+{jgN`pLH
z=ns;g`qz44uY!TRU8ntc`JolMxymI9%O*TBT!(kGha)Q=k3VbHW}A7tG#r#wyD$4T
zw;X2Jdo^^lkYk^yZ^x6H+`PR<^(ty9AM-Ki4cPFrIxv5d;y&sD0Nzv51pVcv{Nt{d
z#a};`0pTLrFm9_G#QhmKcU$V^wN*9Z!Mpo1g)*McnPhSfpTffn)8$6+6Hbcf$@kqv
zegdL;@O3MjDDN;ZeTcM@O_bD4K94wQF2<i>s+W&gJ|}(Z3*$KI;9;1l4E8LGZfK7L
z+?yN62}IH!*2q)}NXj&yhCw@?FEx<4%8PSC9~;K`8ruVNNRE540@nai5@r<L$!&;;
z-UqN}0Kf!sO;to+edCL-hn0ehUCxBr;FFZ3nmKo<_h|l9)mDj$$mC(OPLkQypi_Kh
zT5W4Cxck`@pc{gDh{1VX!W_6mtWX(MU`)Ce){1dQWr+W^7HgIN6DjbTv4uz0rvIz6
zp3qzgY&{ZJsqQ0*J$6d=6?8MqmUWq2@H_P@-j2zUG#_4p{2F*vqh3}16aLljk0jL}
zN*Px}@q~?&n+b<c;D=63Zr+o%C>rVC@KXYec;3+v>-H}~j*_77v(MT@-h5L+e|XDG
zq9FT65?io9_1Nk|3-Y%TR#<yPW-OM=G+F|LtA^~!rHL4;1w)2DK@a7arsw+STQcpZ
ztG5>E!7c1DI+$XY5>%POm)!}xsx%r1(s)ym-}-YjBVtjmNa|trK^zI*rP~MH*VJ-t
zvE<!?w7>Ml*7?+ir--x^4nL@p96Q2N7<yFpgJ^{ms;X7L@tf)1`}Wfl8iwsYmOu4j
zTd&Re#_xkiSb$t)Kb5h}$(PE%ryz*T<z3|!uVEh^6a#7~j*Kyyd!ty;FVDrxa}wT`
z6;VgcR(%xht{z^%78O(*?=wFqb|#$3eYESK`OWPbvyz={y_cYW@%cxw(j=k9*+*p@
zwfBi7M_=%KHER1j?zQ5$WOwv2hzL`1qB)pmi>2<ZC7rg4oVG+?Ke=+y4e)$dLdaQj
zqzRVZSXpvi5<z;Hvy?;MI_|%vWAgUjdm~{)wU2#3)Euj8t==)&O(%h{unDS*_pa$x
za7!-lb!-1}sHp1UV;^QR%a>U0WF+q+&JJJu-nN;*c<@IypDsFK>~C5a{4RW8a3nI>
z;w&`>_eH2>Kj|IAKGO-=J>UtM(E6T)+u?3l&dpJ=9recspF3^!xBZGHypo}x&=-A>
z4$>+y6ygc;#y5#qq<tg;mJ#pSx!xpvi{83GkB682l7shwEwcgMtdj8kqPGhXOQ=gC
zH?HkoB*jrmZs_*qWFXz3LV{RUw#*iOzqF13m|$nx5mjc^`5to!Gd`deKU3t6?L=Kc
z?u0NwWS^M3_aN>PAvvO&M|Xpw=q(r4!#j3*0wmt;Vy1EL5N_d{&8`(`LgdCN#+wcA
zdDoUJqB)U$`b7e4g9fFPeXkw~ZoYhNwlVUB{U<+pZ84ek7)u^r57X#a`4U5F@Q`(4
zR!UY}N7`VDeUv6OB(apt9m$%AgX)(~GxC;v4AmHc;rpiVtJtXGvn6Op7!a%=`UsD@
zc)~3fy7$-;g%Uh-@(GT>5#a*We&KEDZTjuQQ_!RUE0Ip5C-Qlnx-^G9{JHzG)FSF+
za0rWFt=VfuoP&&J^)*Mzq75d6^fBa=v^)AkNASN356R<K|D{8bKpg>Qk{mR&$Pm*R
zRA?nANJ{b*^je`!77=3#ehZOB%{Kk;9u1KM+W5-P7wG>%NMM_kgb?j6WMCc@T8Rj9
zlbnNIE3_XK#D;<cAu(vg79ViX03^`HSAOBZh!1K4q9HM;#KinlsOThQg3tzYU|ysQ
zJV4|lvHk}%fe`E|RA|NDgGv(2{92(h3C`bC87PetZ)5XE5pO5MfrDcVKD<_6|HD}@
zonHc($fmR4{^0o05(9QdtqKUi7d-kIj6YML0uSgf36Vw1CgGn&r6y4nEDDhY1%`e2
zj8+o7FC@r7;*K_1N(`;SL$n1i%|o=UHl2wadU$xKUJkOe=g}(OuGQ6sOU@WldgcvA
z+G@tl^Jh_1_^qV2eq}MUhlz)trPs(DdSzCPe*}kKnWSDCYm1Z|*^27+`CQu2Thtv<
zts-Ar&>IOX8J=M0uf(I#q0k}o60f~nNI0cXYF%$#Xq|OJmC-1}nwM*@#2z_&Ew`+`
zu1t5*b1O4&i{8~JFQGI=V%hNF=8yhIp<2;U+{Bl7DeVyo8KXF_KihMb@<w^nAwQ2D
z0r8u5<I=5Rf0XoiqBQ>wm2_qtBvNvV*TZX)UlV~b(J(%<4n@a2#JG^!@Y4%j6YUY1
zkSx`;TF%^1ZwW)Ua!L<6;!SkJh=~tW!O%$O1M?aTo;>gAcMU8JrusGp_?3BLcJa<x
zV#>f(fB91yv5hdWSx9ou7PYJ$|M2eGrSf(%#Fb2!CuDQOx9x+F0}%~YuRrgcoQD!^
z(}$yX-&rDunig#6_h64MWRJUjy+{yUh=zOXYO1m&X){DyPd^Qf$j#h}N{m4diw?7U
z>wz=R!uy5LH75XXloKsQVlEo)>EO*7qF`th$`Yi~C-4+yvWksMJ1O8@7#1+VFjK#p
zaHt6@q4da)8e_iyMqsT-vB`6}o#R6IVMP^d(6ie+iEG|lLVCjY4{PoUtGN{HQQB#9
zlS*iV%b$zmV=!c4esR2^VPS6}4amf!+tK44l7_&&neUNR$*La&ti(!r`%pXb(^$Xl
ziMmC9ygF&{d!vt@ectL+y1+8bdT1>-!c$rX&bGs2&J<CoLiH8lp~ofC<?Ma2d!cu_
zcbRttcb6_u6fV5Wk`d=4Tm~PbEDScf{|0gID9^aWgqY?&ECG_bdJg9<;nP_QJd-RN
z;f(7XFYc~#9GsIa6Ekh>?D#HwKu=%;cv4MDQ3HmVS*bK`1)0ywHA?-jwd_?SQma?s
z^5$>N1nb^m`8ZbS*%%fM>@N#>(Ve?#(<pC<i_>hb?}*6Fw2Z{_%SnEfwO?D1yqF$6
zhslpgM#;G_k6e{_^xZ0=$OQJ^ew{hI{Z0*El+ZUfOYrjxJ@hYYe%!jb(TzKPjdGOP
z)yWxK77bbC>PB9W0BArH`6kZ%SFi!*qysVD6`tnLOsX%MshPu=r3VOshgbMXhvpB4
zYSV+TY`+fh#sh(lwtYnP_2WBJwdsH}d%8`hp;SGLy09Z>#lb2IYS?inbs^^*P{FQO
zek`~|-cvna)gt^yh2s%gMj%3=BRa*;sD}>G@>%OCor$V5wP$d`n%aEWkxE0kMq-XL
zUF=SKBz`WTZqsA<7ly6se5GUC`neL^j5>Rrt{NSMM_LAY+qvtm8YijMc9Vp;MP5I7
z**(kRt1Fd6kJ2&o!@g-Nx8aV0YJ2UJqy{CmD^RaeYh!GKQtwj9rj-(Pg1Uy&@Lj9T
z<u!CqF%<_f!Ru*kj4?f*=HDtAWOYiX2wu7+q(%n!zHhemLhK$CYiiUZg?5F&N?@hd
z5A!$-)u$+=BH{8Z(oT6OG2cbP$ws0alz&srzf&=n4QH^F#dp~AxKor%NUR{NsY|cj
z#4OU#4(GXD{>2mw1nC{m%RkJ^iHP*86F4=_zhf@?<A6I8i!_PeMv!(sf6vHpqex(&
zuAMchiuDmiKN~la=(rV}X^+9`F3Yr0E+OOL)aE`^fq496X24ncX$!X%0|#Q~=tU&c
z!aaTUv<0|(%5USTU?Vwe9x@^t-RSyqFM&2>WGqN+2TtA}JQ_TpIvzb5J)oP_JHcpS
znr=_)5QlMV!KrPT&$Nf7Sn}GpWDaj|(IGO3n6qV&X<XsHQO~(Mw8@Z?20zsr%ty^N
zE0?xE&G-tQ&qpcylcJfmZDE!fVCH>xHvK6|{-bbuQe|efs}#D%S4$nw_hTfX|HrN%
z7rGA}4q*brzaggp`U65c5kia&ImAxV)2}JKhWnJ1L^$n4#d&Xx*J+>dqHP~^VZD9l
zA1N02EL~kB{KIwO&}93OS%0+rKJ51Ky;yf{<as3fgSi^8)6hM>j#Rtua@$86q*mmE
zR@+Uu(6Wy7^5J9Ud;L>u*6(C|NUdRhFB+3BozAyZO%#vs>r>yPRkqs~`InqdZ^XqQ
zvm$V9+HGyw;^L7tpKhMob5cbHSpWUh@zonib3Fil9j$gy3NGki-FH|QxGX0BXPog0
z#ub&nM>0(<@)on68D_UjToq-d65gB7GEa_^-W#u-{gHdD&o$YXh3-2~j6NXl1bt*9
z?9@i@EuQaQRR`xsM5Ms)J@2!JPNRR1uhTt>>63gPn9dPtHQH`I_1fs~jJU@9DPpY0
z5x(y3`qlfBPjJV?m@TE`_ojt&2g8p)LXo(hsipF94}`A)+xj+XlZ&4g5U8UD-rxoP
z-cNh+C3a0Bi*dB)Rui-)^~pAF4s0JdF@E?%^A641|Jj+J;=TyqxeMczh7FMc9qn+O
zGScw9nvl1sw`6dUI8RO%65NLShJ>D=V^A=^POwQ3Pj8FMSIsxLKQX)>-dz6nc75v&
z<Kx%SZ6Zh#HwdsNlpBP8b@+O~#-3I`iSHWj9Y3nyP*oVDpRL{~$wvLC{Mg<owU&dD
zv5enLdTF|!e;T)uWP74o>5Vm$D^l@WtqLjAKdI_^enaY(D~m_<MG=tYiK3w<Q6GD}
zEq9LR7W#<hfuN2pQaGh<>GWAEz<W^;@^h)`3hR!N;IiRT>Yn&1KGYJAMz8dbm!uJ&
zb3_}ZsK3O(XT-oi-JZk|q+4i(p$@&@d)qdFoBhr9E9hEjCooSGPsqVKk%rNa^sw1R
z#GsjIhk0M18I1d;b|c~5lQ&*~&QB2?-th117<fU<n?!1+E;z-M$c7Y6$(sD?gA~<4
z%hD%gE^!Zo1`9ApFtfSG*6KogQ(qRvZGLL(k2>-MzrA<3r{<FWK6!4qYiO<9X<T_{
z`Bo#;%hUw-5Ayz>r3Hd(5|5O&ac<q;Z03XAs@VbyM9buyWJg%q=nSY8owgmf@oeAP
z$ucoz{ua?oC1np!mrrn&J+x^TGEB1mwVCP2c`40~G>oyV)#Sd=5KaxVu%%rQzzCEE
zMBo^lUhDN{w%FnAZkF8AC|09Jg$E_&T7@zzh3tuDkQ6=EAlaja4LVE|=SI8;+zX%*
z*-Q{`sJRn72H%R6oT6$_J^QokGMor=U7~V{mgw=&6<+LfeH>`Hb@s&Cdq}9v&=j8Q
z)&@ux#8`+?9R#YFqNhn%`<|aZDG~_-0z5yOzSX3p^@BWZRalAPw7&KEutL*=IKTdk
z8Hmr86Wyt?O=;^NvJq|TV$g_Nw@&YXF?KWB>C$GbX_C=MpkN2zq<KSfw72GaDB<+E
z8}1hSnc<NSuM<ZplH=eZd#Agtdue0J_R}v$O`}uBUoA$A$SNZ(Y!aWgfIiKzD$NKt
z=qSJb3MZpTtgA0yStFHhcy!NyuRyHu*CDxvO%ari(bh!c6O8|Tfo&Z$Kggo_efrss
z=Y=3Bv6JZWM_!ENX4e%X?Jo?E9<ELAv%*a|t+(zEaE-Vomk>Lav`YB!4f0!3Pw9_r
zEX9lnVH2x^rY%_Xh1|~A=AvI~H&QcvA6&0YW#;th(k47^*4?=yEVc}mDe3*Py6yPI
z0N18W^){XEUnj<q<UClT*01si9TL}nWgrvkchDIEv_~lY{6WW^S{A5Q?l7wYHs3)l
z6dUcb61#d@S-*QLVKu(_2~T||J%x?m7*iki4tge#AuFQT8VCrv*g~x9#Quh{MuABY
zWE?~}y>rCaZqS{)7H(7F$QE5DOjEWHjV4M~lg-8qZ{?c8$Vc8WSJoI_AKXxRl|8(X
zbc%t8A*5PZ@p<k;S`b4WM3=Y67buD{`#^<oaLK1$+!OFE5IgyjKZLi0k23fhhoGiz
zPbBcY{PL8^4(U!!p3IO*RJ;IrL4F+e=WUKnJi8R^jYuTvA<NS|lI|oTq<}|OdVjVg
zo=%tg55kS^zF+u1UVXEUE6Q68FU!%&+w}Zxh@Y!FlVTl7%v3yRHnKm3qv_rylpOvS
zZr_<x(@JF|z5~&kJR&bu-@j)9;%dXNnr!R^U59g#;gYu@noK@hH`hKNv8$9g9xuFV
z;f%E%cfWYA-aR4SN9upb=yQ+TD9$p062f|UDk{GJKnA+xR$uD7S1mQR`lwleX@%C%
z<4NKDg>+v~OR{v~YmKxfRxZpBG_8oipIBA>w7VDqetvw3l5Pd!7{K>~vtglw&c~y@
zqA@4?tdNq8RSN<FGXlQhyp6_f0J;ec%~r&9xf=d>7=CD(Y`Dv344D&3PJJ)3lW+!p
zpRk_gv?aT3^$BhS$Y_T62CSXGnYw-Hg!z}6xZ&7B%DdP^@=&8e@&k=22)av8$aSM+
z>qFlXpgfisWRaD*f44D(tq=&~9f!WQLsU(=#)ogmf&*Q$og*J(eVBx_ThM6tGwn`v
zJU&&$XIGocK^6C0+^Q$r4P+MO;u;$lYZ;2rC}CjBE~=SbSnK}<t4ULhe$SbGSM0@!
z&qw-TDrKI*-FDjuurX>OUdTYp(BWy_yS2$1e3&xvz`*J41=$R?Y&jhn)DO2>b?~_6
zteP?2P`O&N{Vv^`nQ9h>j`3R)PURy8wqBQQlKx1tykTsiBpqP0x5Gz~8pU{9pI(?f
zx9hV0j5Ll2TdKe{l~`1`Wl)R~p_*yjkxGlA_Nz+r+%!!Pe58kDG%mbk7LH7EtTQ54
zUq(R|j*qo_BmtH-sNLE<%bTdx;xU)Xx$R7R`s$Km!+lGtfS}~2uXgHlcYdEyfzu^5
zpN<4>pt?c8f&TAa;R>-V{h=DnNh<yyb|uAAIVLl-`w_wlBvKf$k@wvAFWm}N3VtaO
zIcgO*`?SU=^g^L>0=dNX--1Qd8R(d*gy4E(l`wykjx>w>a3$&UWuW$xZ9~wxNZ4T`
zv#Z~(9uR9z*+!OtE{Be|)O9V14JaS*?=rn)B=%!^Tj555lAD~TiVQ@GPnDv`m9weT
z2q72Mf4Hky{Wvj5w8^P9p-FZwA$q=CKr)%Da+v|A&$b+zYs)4a#WYQnQMO>qDkqDE
zsrW8>MRKGyb;18r`gv9vfpbg#`AhuJw0!=LS<=$sY56>~23%mCi}FRjZ+10a`3lKy
zbAzUbp@cOemNnt8FgTDm{pvpQMs_>4+qog3*_`QB>cD$rCkJ9{aG(vhYjS8yBwi1`
zip-~=U;&%p)lW~-cx)-%+-!0TmiP9gCYoFvwpV!F;Div$Lxy-MqdA<p@GBa9<z(oq
z?$wv<S(SLKsg7_NRDWU&sjFr*{+7E37)D4`lBr_kp-Y51rPlqnPq?h6+7;hQC_e17
z1X)WxJ!5AuQFWQttM96_)3U18YY<e1d;!m;qvBfBr(zhy#R0bRVK-&=rG6qH5ODyg
zva7yGkYG=2e2=FMNzgYtqB&4&V^?A=;wZpy)L2Xxbl&ACp8oM|3yCGmCa;mP|1<5g
zx!$?cAI?WHpiXisuE>y;k=tmgoO#-CqNYpDj{3oeP#PG|-O|J|>s{>&GIDZ?{Yx>i
z!Lv_^5*cG`noZ>7jkb0x>@E{ZgwF+sDTPn-zxGj99{#2lK<MaRqSwm4WpQ~uKHv2E
z{pnb!J*<luTwBAv=PF)4bck5~Z5(-{oYm1udyZd1_2}2>@{MLS%{?A3O=b^xXL%93
zn|}*9nOQS>>^8N;T>>Ra>j~{rg$fn#)u><Gh1M0j;6x%k643VLWp@r%K-ZYyGLp;G
z_B4NZ30W`?s@3R^t&05}!``Ry3#?CJeOt;ylLh9Kf6lDmQ~9LwDf+s$ue67Lo{p8S
zflf+2wVG34{>XtX%!z%EEhNq|DAO>V8(~mv!QrUUAzj)O!AotH^<{7(Dcj^-n&{sU
zx(a83;W=D-t?Hf3_uQQHxTj88%^Bj9OV^r}_VWQUs|^^)%l;M(ibb9HcX~$MC_?(R
zF-@EDRRV@?EEPs6`J)uc5y~|yk~X04qqS3<OOm5}&DtqN^9DEAvndq5a)4djr3inf
z^6C0%VXQ@Vs|U+|OMj_%o(Sh-{j!Tf?q`OvUsc?E4SnYxW*fmM5|0@ph5Ua<T!_dw
zVKm8%2sHUe8|4H7QaO`+)&XlvCg+mZd^IrhlKNr@?$84P%fm_AvTs6F9n{L#T+V7Q
z3dRO8G<jOf>Tjo)OSrOmU=UE&sVw2?`Y!l~^mHxBoz<dS3uMULrYJkP#^#Ctpna8D
z<<+9{M_YX`jyPQnRp}Aafu3u1HG0fz`UXN*$P{ej$JDt86ReONK&Ej21smbnQMM#p
zm!CTW4gE^GXGCr@)KY?$<b2^wh!;!Vy#F&k8Fz08a1PPNEWEBrXS1nRs7sPxxw{20
zY{G$K;5JH1I{MpH&`diLCP=Djg>2Q2PE({Hn0p#WOnslL^R5<icMIR^OXg&m>tchz
zm+g&%I&_(tnlsuaRQez#S9nO^UPA9My^W=LbC1UkC~kOZky7%U0mrAyu_jv??G#zh
z_oJKVUEbLiWdhJfSkBv@EZ=a1-Df2g6rMPzVzVr}sn*n;$ZSF|D^;BQU2pkjH(DyK
zL$CMoj)tW&e@im)XjyZ<F+b*}CD+JJBpQDQlGxhHd9WaNV5*5jk)O-yMq%Mj#z2yf
zMRLFQ?In_%oumsK^^$2iR}?{*FqnI;*z}yf=djbXv&U_csqj*Ky+Cs(By_jrcIl?a
zr`P40iJ0IXLqJFS?OUFMD`#vUaQ~{%NrYgS;oOzk=$w-QNvnHnyy@IIQ=fxzsK0Q+
zA}Hv+%?8XJF~#oL(67D_yzA}H(USc$DCZa9MVuv=QwEzbpFG;Wb$r9Z*n1o|djE*C
zW)|$xn{?KvkQ?EGBj)}?vU)pIFm|L`s4pccDUN>F?mnH&I3MG#K|DbuN>TX})|cJS
zpW<3~S%bOUrf^;DuTQNo8iGlnzb|Sgdf3_}6f611Ra46l{7f>aKRXEY*O=7C-?OAM
ze2>CdTIe&HA05$g`;#MCXfrB>CDmr0;Ir5>VRsWjZsahh#h7Vjxxy(y-*NN_BIfz_
zrFnbv0xz^TNs{JFnGGFrSF^3*c>6I#{H%KvYxBMd!)DXvgN3h;v`PsXF2236cW~@v
z9I>Hc<EB<M-I}n~;zPG_7-1(3cBKgP3;05=-t(6p@`%0ZyzQ!pjssd+d-n35`Hg?}
zrf8Ff-6+9;HZBY4z1H;iSa~u!jn9v=1V3!DCN(M2;$j_2s^hR`5G*8_2E(nnY<p4G
zk~0&nq77K1Znx6Ow=CG(@b_9GazdU(Bzg&InLo2o)x@Dopqr)ePQmJbAp$Wen?z2w
z{F?glnO*)@3$KWSBbk7RBZb0!v+LAX8N@A%&4Wf)^k|+hr4muY(YbcTq5Kg-@s4MF
z*Za?^HFAJ6CJuQwSQP?DR(~#jU}aj6x_%=nlI$j8iEjScqu@3f_U(thXrn<|p@}qF
zSCeKgNB$4Lm$EBS+4-yq8Pz1=e$Yye4>FAACFrbnhsiw0)>ImApWaTjrYmCOhw2?=
zMYN267T31d&!Oo`jM0s=ybgqo3oz_8nk=LJHc-=2>wxITCP==7eiS?Vw-e2M%6eQ%
zG+wI7Gg;IyISP+&>pRjG;vM*X%M7PInKUj)hJdHB@oYvuW*mi@?dDdkm;Wks(d<1u
zJx$VvANi_+JiEJo7pcT%hN5XxRX#f@7uQ*<(uG74)~CR0PFXg}(O7zu{N5YMv?LZY
z{cH{Ml4c221AG;Bz3v-Chexb&(J$ypBOluydTFx^8N-+rg$ecj+x5Hi2HC}ZD(I?X
zCvAbPcRDDBV@-bA4%C&)HfYW-Pegfw0?e<U-#loXFLWFJrXj&EetN|d<d6Fu#I1P9
zFBNTjZ!D<QZt^D5<Y_;+_V|ncAJ+ak$d@2k{6xpLJ#)skZQHhO+qP}nHqIG;$F|Sd
zo;~;8z4u}Fx9>&lM&ut=ncb1y)fpAt)mfhmL`6fQ0R{=hkOYb3BLxQe1ucctq=cs4
zb*<g>m)Q8Gj{{9ZZ>pMRr7grpXR58Z-oboU3QF_Z&u6#4@5TR;_VknGVQ%-d03~>)
ztcx|{WI;Du#>I;MKRZAD#?F0RpPT93|Dm2DWGKJ;G1b~>&1_>%ZT|l_GN8>6i`<lV
zuu>pc%0ql03)Be5JjxoW+~njjEc2To>A51I!jSw#vOs)@Tod<QABG+Lb`H%pTngTG
znkiUcVF*LBDvAtzbB$Tf{5$|O!TgXhBiJf4>W~?x+(dRl8^+x53g3n@GfInlr_c~}
zdgG1^JjZxNo)w0DWDSD*L=!jShH4Gukb7ORF%ElM3h1YqItAEsy*sw>pW91f;YMi7
z4p(fsA=%or7?h#%!tEt99B>vUpNuFd_7HcMszO6Unv8WQcF3z0`c10Ls5U39I78UN
zQrs_O@RVl?qlIr$*^PowsgD#!s{j=8D}`Zm&1f0)|F+qh{5{)%9!gjAm{Wv-==OOQ
zZbY~2c)=4NlAWGOX-#8GopGTB2le7zhH4KBkeG7e|K}WY?gnWK1b{6wl!y>@17vsB
zl@}ZY&nK0`N$eG`#F!ef1b}Yk@!lynBoFslA?idQwE$3I9SjIN>O{^t7a0c5SqJU8
z&sWs;qrv%35+hwk`)Ugf%~zD(Y>@Z@gNuAJf_Vh<o0X|B-cs2>1^0-2G{R6~twofH
zG-4LB#03A!lR{$WXddWF`kIM*Wae0y+JM^q5Bbfo;yqA1>^O}{!pQ!qqnZgNGhw=i
zA5z6g_6jia%EW044a|lZyrqJ;at_^x_vXw5LBm50Y-eTEkFZjbgV<pX<U`>tgIa`0
zg;JCOu4AUfY`sNxBipMvMTM_C1>WEaL_j#J29o0<2W|u#w4SeEx*dXFK-EM9a${No
zVZ=xlf}^Yirbl><1}2mg2{u#iOe#!A&^B^Fcn>eur?7<NS`fJt^HNTtbEL&uQV~S7
zMJJJAT}dh}DP|o*&cK_e5qclirY_8b9k*7LK^ROXp4va-DJ~W86ePFA=fbHFZNCZ`
zpF#?Un*!ne$2&iZQb9R)a$2efr<?b;4uQmd4E*ALq;m%!4B4fL$Sf82rW=(c#{yO!
zMV`!!YL)pC0W6}mc#zZ&6-orTp2IL6OS-2G8E-d=nv&HCr2q*ci#vnDGl0fn5pDlC
z)an!$oOu2yM7<~+77oc2QKC2l*Q2a~zB8etah0WDHuu5&CXv81R#M=O=4C2`_d|^!
zmJ0DcvLt{WY7z3VWMRjMd;%f(VqGcP;S$7PTS#8wK>t%C@+~9IJ`RYT7GWo|D`a_9
zOMu^0rR*+zDw1U;EkN6^qWWo>*VQ2Aw<cxdQWsWAQgUM|t`o;G1*XNn2q{rc#Pbed
ze~OF85fYC+Nl8}?L7)}s`^C=R7LT)BW*7^$Sj6=HCV6j${mQx=_^3(WoB}qJJGV}o
zv7j1%k_s|I@FnYD?ZYV^R9Fu*pi`px#p|XVE?}*5m{pjd03Yq=*L!aA<AQV66+o>)
zSb`Opo!EVbB;aSiRJfiJaRBMhBOS#Y{u+~=+(coIrgk)~p`@TpgA&dqDQ8AZS@-X)
zn;QxBq^DtwGOH~u)dHvTuSH~Tb2G%TI9K)v_hg6TK(PUtGQd`yi0(<<9&efU2%9Om
zOcl>J8<0I4T2I*`!slbcU-(;5Je-$VX(#ztL$nZXt0K<e{L7mnYXrxi<n7A!%|yCZ
zh?w)Tx7}KiAJd%)z3lnOmBm3lct9@jhNQrGiFo*mEO?tftLV$>3bUW8zZYLfehkYr
zULAlS=#c{(oH<$pC)$kc*aKrhOQep)^g1X@DE3m}U5jwSRJW=MPTo22FHl!KC43U`
zIL^vL`P-$!ZP<{oacNJqw#(z2NVK+dpxtk-g~o{?Ky`Vcae0mYIKu}<$Y0G8bbQaA
zoTRu?%QPj{NtS|(S9EX6k4XS0-}7k;ZjF@t;%5K3r6n740nXpLj2fekWkwqub>com
zEy~>*qzqLNJ#(~Qj1EZz3n13;G_+K1Fv()#b*fwt1~{iE3laRO6K$61lyJ;vr*4Ou
z@27Rvy~8QmI1Q|ECf!3QUBBbC0_GFmmw~P!(o)S##Ze>ysQ0#wG7y7_SatZ_4M!%-
z4>Cy*@8}I4CA9PqXlj&)zWxDn*FTRnvLSwtG+H5Xu`bewO4_M3k_Kgp-U0qI=mA3|
zI3ds4Xl2r(dAVXolQzA@KLDut1_xv;%%}S%MnxHrnlhlaTS45d4j4fN;>xh#6~*}j
zV8&3@0myq*6zvFNAbk++LrENv+gR`?)6~OZM!aPsI+(o)5N$_VOx#FMM_{&J!)Qbs
zOoePXy<KPoc*r2yD1!LI`;@TBpT<L!_pO5^E27HE$d(iEIPB@s5u6ufF~DrVg@i&+
z&Omkq#gNAlpCd?kHi;~;$*Cc>U{oU6zXXddRYU5a_wXTaLn8$s&t;`?V_cy?ze?$K
zNr8_p<<6xKgg!`>`Q{}Q`z;l5S`UbDMTx9%E-^uNoCKXE1@IoD=V68*Nko#$g-!YB
z%~&e!SgYAA#k{G(tU&8v?2usgux?T98}oqpq_n`qmvA=ep`SPmlir;wEufn52$v-t
zLJPB@-e8`aDGgu}3FNxSizJVTX%QAQEh7^d(fUds-_J<BZsSOQy$S8&Ocf_sf6};w
zmKNVA6!Lym=@l+>{U%qWFA93dp!8`N_Jei@qL<FtXQD2X&ZtP=|3w|AU55Pkh`Nkp
zR*BLvh?h>UVho(QPL@TP{At|Ime`aEM~i+|V=9%HlUzHuViK?qqn523ETekC3y&8f
zaxaS53+oHs=oq9~BtJniDjg-A46RL~b}r3JEKwbnD|+rsSI=0UQoXP@bdMIMORT<!
zCJ|TyBI{H~EkTkLq)|<;QJb{SC0!*O^0$zH7ny)A<9DjI7NIUp%6@Y#T9ztx$^lF>
zdd6hyKkgAcx+rfcbDn1XytfOh^B|NX(jj-8CiN7G4YQNlMMhnT!=+q2oH|vh=PFj0
zXi2cMn@p-zYobIT$B;OdJ`#zzX<?WwW;OEZWSSMH02})62%mirwP@X_iAl0^>M+fz
z;lokxI9+1QLt&-`<(L*wpEsPfy$!rJ?O%}ZW!0(N4!l}vAr?^&w|IqB2peeZhurA&
zfZwCs*svLsZPtbs81(AWPHo}{-ef>x5Ie?n_32j4N8I>C8OafsRUO#~u0V%2kAl=k
zgTW4_ZXul3anji&fF?&QIzw96cmNAf^l>@pOf2aXxa_fX6tM)1hzvuYbk*;Xp2?o1
z9Ts6ow0?5Bb6ZP=I9b>$2>j(iAOw#2ixAp*HH6MHQ?2<L9IicTwPR{@>ZaDFr_s_X
z!9-v;)j)L5ld~lv%`)an@=>V_s--wO81h8s1mOq-V6Y&+g<~pbqLz+0c(^*%G~puQ
zUxHcLVHJ^Wg6e4tNb}wlu5zpAOMQO6rqVaMUgf%UDU)M6)N<K~wQoSv`>JOipx0tX
zMPb20%moEC1vw_Cl(CkPP6XLpBH*sU<w<d=RD+))C-%HKMO3&m7PvW_XLxkkAc78t
zAlO)G<;b8@l3JeC5Yuu<e95j&<nU*3c5t@fyfER1)o6?qY4eoEsS1xy&vQ1w;3zh2
z)Qm2MzLILmxwL!8Ok7vTFos$6iN+*$PQTI=XFWtvq|6ve68&Fk3G!)H%SOyg98Hw=
zA<9-gXpV^FrFIh2!)2=iL9;~_MKJQqk|$O6b;99_XMtg?76GB)r7F&QN6W+F)Y5_B
z{DMw(a7UJc!0*}33l?Hz6ugE~@;H+Vl95}kYAYJ9p^HQkC1At9k$|gUNcBl&!exsW
zAvHztLiREy0i%EA!aF&|*p$s%=>tC@E8vnL<(b_?N)`1sT$$#n#a1j&qT|q(1)sI?
zp~y46hmOc7-dEv(PIbUAG4Dr2rSO0;PoeKPfd!H<C*jBVIE58o4ELpYmB0jqLP6nx
zDb!PAA4VMIZJ7ziV&Kj8w}PBN>J=j&z&RPn>9Z%m?RwV|&q5XTZ8-_x#>ei5?ngjb
zkde^uoPH+~j~&ANYQm}~A_Y<98tS#or_2hAxD#zkG{+*E96IC#L1rNRl}$2uhyv#1
z`wO!X5!}?otH}stFbsDj4&4j1z7YPDJQ#*Pc287-L_HUbs1N85=5T@x#_cePs3({J
zcPcDSNS7e9yd!IdDR?SO)XA-}rY9vuIO?oe$!lOVP?6FCnV6#z>fQwKPei2Wr)H%%
zlz=)ZkQ&CkG7&SJ+yQjgzv|d~&_zPSV7`I`*{HF5B*ccgv>Bx!a&a8@P=Y~EV81$q
z(iQ0`aOP2lhsJ-$32;S&Q^c{l?gUa`9}?iFi?je+WPZeHs{o+?bdtfvEn{~ukuyCr
z{UbmJo|cPu2CP)5&b-|HmjrzI@xEnQKjeJ|oaFJI_nr8>{g0Hd_rBTp-);BqaL>Fv
z{FnTgzdRK19Zm{x9S-XeO>>d}2w-zPai79VzTz<IesQNt;1>AYgm{oY!^HL@Zp3|{
z0H6-jp&kjMX6NF34ixhNg}Gwp<-H8jyOJR0KIQ@Dgyv9-1?w@`qn8u0#t`f{RPUG2
z{4o7iw(~ok=qGG!^A*U5+A^2yB_zK$;_Awa-PhpmJAMSb4KW995i{m1Jv3hJfU1PE
z#E0ryNw)|;J6%|{q%jDRE0h{<9ph+I!X#qcq~pbNhld5OLS9lyA&M3J4S+sf1KlK&
z^&(V@D@CHK#9opklULbUS-icJAb(jNELyR);~SY+GZm8tlbbM}v!cfSW^a3BEn~70
z19rt}(G`w_PFISN3DXIJUBN`>*Va_Etbybp{xbTtCI`iQx0Qqq0RP)!y>Q7FB6g^Y
z$<XA-<yh;uedu-r<5b?#S=jp<M)LP(9HsG6D$5xw_jVCvIMboQ4S+W9)t_x47#s1A
zGR}N$VD90%dT1CGNs!frpaN1eeq?&1@wH(V=}P%jniY3i@^)}zSe!Y6IY<_(Oj&C4
zHWcQX@%i4;tx*V|g6Xne6mxCP(b8dyA#GpS3#VHu9(I2)p$BTXt}Tus2a42pz0db+
z9XLdA8B=v#HEsTj>R#z9mf;aqjMc+L1o(p`+R`1%vZE9eV7XS;T+qPDph-%tl#9#O
zCAS_Kba-L~rrE}$w6bD$eAq%UFmR}?=~6SgoZ|Mzb63@52V;WqXM)1ks;9#C@;#S$
z2lXbGn<X#LX2<pXP^S!LVv$f^Z*%wIKK4lCN#q6-T}mW=TZijeNY+E#yn1=->RY0L
zpum{h&cgDPX`(BgNk6K_95!=Kc8WZ|ZdaYR&280Ul>yVj5_3`0?S-awLU@(%Pqnv6
zv;S9kVba~@yB|26OxG~~(=z*<JVDP<YtNTZ#)1VlDod~3LS3`M${V-`3ttwdG4}nI
zonJ<QY^R!110uq3v*;$@R>%T(f>saU=y9zxzAwwE?Q5mEcf5P1-?QTK+8Xv1kqeNH
z0cZ{sI|>DDEVHpFXEU<0MiAZ_9gQ6#(lsifYe8RZTCfec>^Umj$xe-TJFmOph56#z
zqeF)5(P8!y^(4!HGV&ndEflH6i{<Y-s4*+$Y4y~Nmn~7*2k8<WvlrtORz-!x-6iM`
z@(;@A`vUcbcqH8riN?>ei&O`Xce{y5SU-%1@2!d2el8BFFLBsTX%i(DwVXRbWfE28
zYT)e+mGKKE0Z{g~Jlgh=Rnro>mE*O)D-sr3`30&H`3pS;58@+$uEs#!5`XpqqcBM}
zu*HqXk`+fu`sEd7JXUBPot*f`gU?^sw7P||rLG5wfBY^*)lBJ{3QX!G%40hlI(hEJ
z5c;NT5#MdxYTS!J+Fk+OT_((l$m!iZ{C503He&Z#!eG#K@#s=<8=Rhw{o=k+VcNBo
zStirN|8Cm=Jf%)KHKl(Od1*qNnb<ORQ)ld@J6~Cq14^IAGxt>Rb5(yC#N(XKz~iOH
z@4NhHB{JG_WdoLs9?-JoU3GN!`k1F4abwqEXm5x4b33&6*JD-znlk>!TpDvIcf*2M
zzgfj~W8YxGg$2z-B?ghNsV@6b(|#)7ThFSa&|3VvXmVY{T|FSi!>h+}Ii~%d`o%86
zJ0a^$oWM8F>s|3+6yMs1cM%Zq2^7z6^Yt6Ke%8$dfuNnXiRzWzG(x7mO10fT%50@N
z;v<q+h3&UD=$}{%s&)*~6a#ph>@ygOFRHB345Ht%3w1>Xh04IBdpcg#y2LAg9OdKb
z^~#d|-otSr@`6GI7!*?oo$v}YUqIFbc*%cDtl#w4vC=cxZ6@&$(l(xrwXF2Z%LX8M
zpUXZ8epj23Oqe@)6d>j{wJls->1YAAS5C|Qq4X@jYiv)f)Q3kw52tTDed>=q+t-zl
z%Z|h>xU=*GeCn;6b)IWgHt$Q??HLDLot5Rx|7!JF<X<!IDQ(~Ios#Q0;!patb@jZ2
z9q|1D-I3kA;1co}c9AJ)<WU&$jL@!#j_<j2;Y&_TF7--juVLAFc%MI>nhdWy*LJ)Z
zJ{fC^wM%};!B4>FR^J$7=GwgkNNi4kKl=lor(R$o26X+8Pj+jGoo%8=7+Tld9#@wK
zzUW4#On*m~==31!uK~<BU*cOza;Wzv+WBCZ$tP%MB-3KEy@EJZR`d(Lu7P5<h_o}c
z75{dl#z7Y&u}J$B%!t^*gW{db+HlA;E{Ec_A;pSl4kfwEN|uK<vP}D-1_SHIF>i%w
zL<z`$wHZrFzpwkZl*9LXdi&>){8)#BI>8oWfYGFdefIhKd>WW_GR&_ahs6}mbG9_b
zQsxSw$+KZi<Orc*pnN^np0%o9GBiiW9K1=Yq0}iz=FUq{%b=f9y6&8J(-Qw?%$0w1
zeHhall1IJv+pl-w+@MJ5;PWaZFTE}@4d3K+*m_FIg~hw9^+_JRVLy?qIZ)y`ob4It
z&}?nDoXyE6>}fekU0>bdb37TGHu3PT@7C^o$i{8|$t|!JvGdp0vZwnxwLoOZi*~c2
zsISCX0=%84rcvE(vHn9xzjx30ilBAyV_>y@7GI?!Y+Gm0B`G)+cqwzd>?GeNo({J`
zUO{<%-<)zEYEj?4;hJO8+c2j0nwk#0)=Ytt#6w25O#36Ze>sW8bzTf!LEBu~o6}R)
zV6U?IA0GXFoqUTn;n|Sj-kj9X>vgyM)XMjMdUo?+-A`V5nzErz&*0TwCw2`o{V;zs
zT_hZq7Vp5mwP~}7fHm1!;PF;-@#o#c@vB`<k%N8M?UA^XPLuaYKTW{%RnO$;^8|#s
zXna_GeeZbmS+)@I9`0F3G`sA!^)fTqW!|KE0FPNT9HTLOo}3ky9#n%4tjXpz5B}X>
z*`4*w-DQ{6H&~CB(g9G(`H+VXe0575<N_LQV2$;UvTtJ&^qak(w+{_tTG&Z$TxIc&
zcg6yKqU2OkYxHg~44`k4nA`4O9|=ZUwu9NH)9^ih*g8c{l`$KTGeF5*$UPj)Je0OP
z)Zd|oQnGKoj=_ZnxX@3Y4LnuW#<^zOG}b{nmIx3Cg6bsv4g<KKZ*ON9KEhx-c5C~r
z$*xzw4&YYK1BJdqg4ffobTT!_=y~U@EP4Hu#CN(@P8;yDpYql-XV;5tWLYl!`MpaH
zKi9dIFNrIJM3YpA*IrSHY<~`1zsBtP0p~@%jwG@?szf@BYb)aus6<jCGtqW3STEej
z{P3VzwjSgJzPZ>1E^bbZHjk;JF|%{TdFsv)a?&~Nf1hqPPIq`{Y9kd(_E&5JiY>ZK
zg1#yUap;|>9K%_(W#rGvUAq6kjM5exxdeQ~d0jai+LjmSAL)OM9LyV>GFQ{PKby7b
zd3t@9AGld$6y)G#e|f8O+348ue57)R&;AUSmNM<m!FBqW9M#?k$WneXa@@VfiL{VU
zzwAeZSt-c<u>TsP_sF`c7W!*K@wa-|l}zOj_CpNKf2-|n_}oX`LPH$k`{STsg-1_@
zii`JnauK{g>RICJlwlmjhKq&8PfTG`E5WUWj>Z$y#cL;YqsY&~_95TR;x#d+4DsA&
zcqJdpqAzmCr=(S7iBsKo`+ZX9Zs*y8XF!_3#lG?Mx!N+t7iXY?ab#|#{CX_rfL=lT
z_b#72t>e@!57*n++ov4Oy>RpKz<7+^>UPV6hnp44CFgd@aWe78rfAZaTZk7n98S;g
zZ&phlz?rV~03_>G;UZQ+zD$heUAelqM>~+jBC$47qn*J#0Cto`%-gt`EaW+h<?La_
z!=pDxw4*2KhVsf&(dd-_WHiO$z+6=W{%!3PEWnI)Ta~wDoc>1?7t+A781x4`kS~r9
z`E2GI_?c}Qg!@X&YhNMl-#6$mYQSXexvVSc95OxpS1xT9#N|lrEb1k_C<V%lS}J|`
zfIle;j8i>hJ4XiU@YBJw;fGHcShL8}5!U#T=sj&#h9bqR@}cnk>cwP?E$9%zBQ~d(
zfjy_!VsT9g;+Lx$n;}bgYovYmFZ_=RtiXlX{k?asDBQfBA*!6X*=;bP{GOtz-xmRC
z0pI)K&!L{8pZjeBm)^~+`$|P++c`ZP&-WA>JAZt7$5>8fznEjBD=ej8`ns9FaU1q-
z`1n`)a{GO^Y*hT)iR*mtE_;q4-}ASLPwDgve1&nP4#D)l)f=DY<Nq$ENXVyM-beFf
zZZSWw-;B7#6s3e`O_u>utu(ZLvAudce5DUOZnbaR6~0|PE&{)VnD_a1&0P1(#5e`P
zl2f&)B=FL0?pB<%F<a@K-`orgXgn2G-uoZ3+D}#Hbf{44Ul#N_OzRy}??|-CZTgQq
z*b>&qY+vl3bJu+pO{nNDTi7qdJ8Y(pd0w{!xU}s8%J4aSwr_a)g}-=x?Y%M;%HDh<
z+>PSxdPVz1&)=He+I=2zH{1t_>*CrQTG#DqGSf${y;8v!Vf0&}2J*E9+VAL97knhC
zd^UDP#$(}aG`30n6rI$E2fAUwzd?6wTrtdl46cL+1bfc8K3FhuP6~K@AF@0+`s<;!
z2AYY?M6O4cbXTQvlcQXozZw7Nrulh#Tt%A*Z7y1L@=h#O?Bc->q-Ib3QHZVS`Ej{A
zYW4^acptJ(F!0~J#-PV#xQz3;NNRlYe;rYI;P=nX&oSnEXshm?8&1iXn<K>NUOIo4
z*-Qt2x~cu>{^Sk8c4FUO9)<dtT9qODs<33~snu2Dk>KQU`Y5D#5!b0BZ0S8&8_pEM
zb+|3py(4sV6n~AF;c4-<R`~gT?Qk-I-T2`jJym|q(Re!T#We7CGBt?le61U?hj{yJ
zAA>bmU2pT31N%Arp2{)ljmP_);{!<fAf6q`nJJ*KQ%Npu%*V3L8Bs;3P8|D}m)utW
zeV2urwRf8bk7CgLeQT$*miLKE_X8Z^koe~P`tf#-xLde^s{V7(`kBDIOs$dA*F`7e
zbC|HhGwr2Sz)+A@h1%BHIE_L>?f>Fw>y2jP`LwU?wEP?YON9?ozzxNlas7(xDtAg(
zL5I_qLtU2Cfmrw|KQ5D13C-A#$=rhBfo^DET34rpEV&zv?s((#anH<izX~)@{1pKY
z`PtXdGwMc^BahSW{Z<%I&cae+fydqKd#2SC()?HHw1W)X$3Aj50{`CeD%HHf=~}V-
zmozsQz1iYCV%OCNpWLKYPXj9_Ipuflw(#P&)f<BfBC~l!e89cR5~SJHCu)v5KjHRv
z^4Ftu?fK(X%Ji2%{&Dl&cdv@y&0FZT{@p>gs{z>+l0B2lQq_wOBEi3caJ9?A+0eUu
z;ssR~fnxRnPiJ52OH00w_O6fg5)uxTCjs;4o3-}Jy)#!O9H$7B)8>ylt*%m#%jpqQ
z3jL-x0w&Hr%QsI_T6R%%YRgp<EcX8hf38dYgzEIyzNc3^6IsQiE_1KNiXR?5p(^tI
zSVjii_oj+S7DH{n>I4wHcxu~rx8$Rgx+#X};_WyS16Y6lRaX`Q)y<!qipixPWPfb7
z`C6c8P;~cNZlCTE$n|$KW-X5<7Ut=C;d{tzvVC4UviIo-Fx*iNxWPTY`(+d|ce80T
z@VAM=?DexoO6a8^FF%9ZZgL_v_0yo5q^{hf3;(s!&a~YWkcprbfk|I?rc)qb?>^qD
zG}SV@t^K<4<kuk6qK~I%&ec=uylZ^=G`$DS(}7OwcoXLESC_``@qH}lF8OHIy`&E`
zMO@vqft{``XUn?7Q*4Ux)Swx@z(Db9u?k&)51V8EypDezgCqRnq&p|3!8X=K<;uq$
zw#O;KPMxde#YXG3(qOkXR`cP#+q{=kC9S9Wb^;y42K0rO`~9%2xGr0zp1~bsaSLYW
zp94L#POsZE6L#na@qm&m6Mc@=ze61yKAxK%K3?+@M}YmOrnV-H?(41Ai;K${nqZpv
z0;{R0F0K3akIynXm8b_F*M21qQWO1InkTClkqG!dn=1yeS3DH-9|y@U%g`Q2t0@S1
zee!spj?MHZc{4#ppC2(>8_)OaKIVl{FQ_^9oC7opw7k0Xw%9kP=KUYhKg$mz75b}k
z2kQ(}#Xpj00H5N;mmIPmzlo^m_;f)w78O(l9f<9${m`cz4$hV08j(rKRrU%}y)2hp
zhkkknhFn234AuCbm{pp86^V?40dkESz)d;OFYNB`4}?607KRD>A#m`0l@P)bkM^9l
z%vQD-fV{?1s6kl-Wd!kxi7XXC8G&Yw$}P<2cigzLksg$hJaFFbg(*5{7tUCtb})nD
z2rIH<xg#?)3}cguPiNcpi3db=vAW!@!-(KXiyDdi-X|U7gB1s#m=^`DDgE}x`<A<Q
z1Q~fcNkS57WG~%~eqLE@2Q!Uc1KbW{i5svCLR52ImDaWW0_AH?m+iw?DNF}Zcc9ZK
z;s@Cpl{E0EQT*}e%bba^k&Xol341Ear^Pnt9WE*-*DUO>)4dp6<#jPQTt~-N!F}F`
z2Dekpxw>%;seha1hSy)||C9s5hACFXvRtOr$q=2neb<&;C-f1QGue^#B%-R#2|V}@
znm@10e)o$S^&tayBlg?^D|seR_R64Ln;dA=q+f9%VIKRmi?RCG<U1Uz5#xD$=RMzt
zV^CR1u#dWv!<>HOPKV6lB2XHfboS7`9ZxLp)~<VZ?#92@K0#WfT~#Mj2n=Xn9J{#=
zEs?|G^&VUIDJ+s5%6@-Hu4HjU1V{_?XkIoCfBuPt2IZNVX6Go-cdF9s@mG;(i?3d@
zd;Un}|4VXk9j_=V@7a7Jy>eUs%20Niu!EpGZLBRJxog0s?DNgb;e7eJkm%*HO4>VR
z^t;hdX7z>2yM_EL?sO@hZR8mP9I_wB(G^$T1HS1Zt>s-Q0y*GD(|_-e{%T_SL!AiC
z_{r9qn_;WDpxaRgst&;bhm*d~%?yG~$iM6&cl7@CweOSUcQ&2VOM($C7wd^YJzSDZ
zGCpeOh&TeKvB%lq++m7{)x69A2f@o8)H0VF27A;LJr_@xxuLF#X@-DZ8r%KxcIOnk
zDi4Zv$fLT8R=3F%3&OesJ?%PWf#Jp<;PZ`*`~L;Eh3UV!E&qwR;`k2^&VORA{tHsY
z#PJWt^Z$*;`NuK(A2il~!mR$^usLij|84uf<iPx&U~}ZGM;YP5Uiib(7svLdT^ECp
zD5=6|-$fP)2Ak4ii<06FXq`VM?K6eJ*?-^o9cXo5<#XRdKk`6sngjz<Omv4QF^mTP
zq;RY4^~(8Z*z@F6whn%^ljic^gjCzi6B5%$ad7f>Gw$UrI9w+3$vM7S`<#EUjXUHf
zp{Q0{4enEh=*#-Du>{kvHMtajwBm=ox%k>6@9VxVI$+`A(E~J1MNq4|ldTK=)2-2x
zKPqmP7&mH+oC+8a59+TsWt?tqvZi)>!kTGXj;MGjg`B|@Jatsym{i_Afshg%ME@7V
z&-(w@a54SkCNcgGHiv_ih3o%-&4JWS)#(1_+U1DD4$m6G-hg5`1S%#e27!?_O)XyA
z#2SQ99tA_C6*XBxVzZW%y;)XmVKT##3$7y1+3|6>HgB;izar1U3j4^t$usH6`Ml}#
zc_}cscF_0iKjpfia=G}x_eUP)G?|W%h+kHVr7K9|n0LoD;p@RVR8Wo0Q*}3!DNAbt
z#l=<$m(9!KxXhL~c@){fSgN+sRNj4lb7?>@vK7X?7qH_r3-j>U)Cr5t+ZoFI4mxQU
zlUeaAj5oA(W;0nCEM8H`x$*A2aUY+hHJWz!kx}t8nG534m+-l>bnt}5Tj4oSE1gQ3
zwbg1iR%;w`MO`RhX7`u*`v?As(D!vGDpoJ{5o#p)UCk~8)0{8(6C?G7-b!03;P~CH
zf^l|*sPC@yolLGi)MXRf=NWfAyw;M(>n&QJV>9%QHTvFeDtp8J+v`pwcG=iBOMr<9
zGrZ}vYjX1eb4|M6qKcgS@|$6Wm*Vw{(82fM^b3;bpq~|9f;pZl7VZhIHsWq#deeVr
zAV6m;Lt927^IU1)sllR6c22qw-Q2><mc=B>q;>9Cb{YKj?Kj(b!~AK<A2{PDvUVvW
z^76IE=;AX~u@@%Xtq;m6Ub(-(w)e6P8Q|D54CVY-4QkDOu`kiQPx^krSpOadisp1Y
z<4Dfs^KLidkB02(X#G#!$L%gt$o}r4f!pql4Z$~lIgO#)fE%Ilb3@KOT+czr^~lXo
z>OkY&Pm1>^<jVWNc1GscE}I^v&G)}kZOR7{*}hl&BDJQ!)l}*aP7J1NOg_E?o{wLQ
zt$*=+bX<!}8)LL&j$OW(b(39g{qxHdqxD}ZTJ!(C`NM<p!Nv05z09%yG5lXQzs(kb
zsS~lkXr%BZo#^VASxls9q^HHWlh*f<15Ex*zBm1;O`=mNkY~7F{%%J0?Jx1|eeoIh
z{u#R7x8h^)Z{pf`Rtk8M%q!F%hx?SFySr)%D3SW8k$uF>Lwo)^o?v;iYjpgRH_Usb
zaX<T}(R1I^?s?T^?sIoPr}fxiCMH)~$OhB2!5_>Gyp>Q`cXdQL8qJE*`lc_A^iabu
zr$~<(5E5g!fm*xmdJ=s+mENA`yO6wss-U^mT-jCSv>*KTa57s}SA{T>&1Lf5TBSm+
zkj+_S{n<Ggec#+<5?of2K!eTJ+-W&_JKQ_e72@37!u<8cOC=w%ZQho7C@UVKUqPJ<
zUwx~w;x)4FW~A31@cF8n^t?Kv6cAcMe;HPDf5vR&kf%QF<NAk4nw?OES&}RyLfW~f
zBQ)&@;a>f<Z~t`aYsX%nrw_;5rfXmvcc<d~PxgwL4Kxi3KcTfJjk5M+pOOA)9h64?
z!h)8PM*MR(?Fn;$RtlE~(%*kTIXcCCyZ{}{IqVs>q9fJVOXbWz)cowV=4wkE;T3WX
z^^_hTzHHeEX;yY&@McCOE9o9hXDmFMn{1W}r(E0a?Tz$EyJrry1v>cZf0e3K>dr2=
z@Z7<MK|hc8folZhhZ1v!Lq3nu_X7#z<Z_+PKs_}J%wBwW1}x5c19mecd@f1|MAE-}
z$V;&fimZhDm*D(F5SjQ36dsQ+uZeUbMLSKr*~<ECi+F~Ey@IkEl_{K`f8%LL9=ZO`
z6<PlK$={@k?gqF~(N-SDhwbYMVf@(e!01o9fv;J2gT>VbTjg+jpPI7TF;|NSIYt_K
zKhvb?4nHdL^}~l~(v%%}yl~7Ppu2obC<Afy9K)f_*Q!&CQitW48m_JXrA?Eop+x_F
zTz6JWQ-KiO{<&D=(ek;I&<)djo%dE7xE$#pnljl)xsIN<95-X6kk^C!(Xy^{^&A$$
zmf4RJ;HDC%NjAX8yGP=itMDOOhcWIhYo(<byOn8nuTEp%CSHqyw<FE_X(E$oG~sL|
z)l_UE)4RMiW6I<!-5RPW(H0V#t;VizT2*Yl?%B~WF7ZsG=PdD2ItP;zZ#ji9QN#~8
z{WM;!Y(1L?au8E_L&oQ=R`P2N0jzv`37|7!0uaUFQ#5Dqm}O>$|AZ+Bv1H5C8b@<X
zmwVNG$$jGpJS#eCw_)XE+SvI~%swjQ>g&|ixw~deb5o1GiKW7@5H_0$Q;iVR!gU@u
zTc0~=zbiU_GOepIZ!)|uudlC-EzvfmZR_cxzBjkn46A^$ecuiT?ozyG@l;NY9{9Cf
zOggI5AYXr`J^43m>#S?-Zf`a<w$NZ*+SXLsU`M$C&Ks;RALnZ6oow<7l=@csw0+%)
zbAD6I;>47rvA0jnb;#bp+|#kx)Oc)SKiFrf;VX42t8=uM)1Z1S_w>brvo#R+4pX7%
zCn3?z2o9H~dE6izfRr9zutucYpPk4)WR)hggxiPty1y6NUWEjE`mnkFrKF&g`MbxG
z)DR+lDk_tcXoAW0!qh97nJ%?5HVOtg^Ik}Wg&C_+3sbJzNqoB%(d?9a6?>|FeJz~B
z!s@|sa~2KT?O{VV6PbP~D7F8W^GIY)tce6?_!KZG5+Q+9UAKchH{bvK53DfU2&<yq
z7;(#Ab;}<8)lptv)>1DnikKeS7wtfB@(rM^eU&Jg2!Cx{-(_XDy-Ps<R^DeI8xVSp
zTYKY;GHDW<zp8y8K{^~&W#Oo3DUT-a+wSXYsrH-ed0BpSOh5StwcGCm(zk!Fg{I_?
zFGRR@+K&(S1|VWoW4Og>sll^xW;6?-Rl!UYg>_oOQYuv~BcH;j;WVyZd}W8?7L}Bc
z>!KnNYWH=D^E5m&;@%Kqvzw~qyxZOhd9me1eH&@t4ry^%*kPbW^fzTKA32dkA=VU0
zF^`v=!uy-DEqPfbOpj`nXN0ZG<&%&4>ba*twD4sA8EssmjakNv$Bl)!qiZ#5jO2Q!
zHIajN)0eS}#~8HO9Km>`{D`cIRUf=0s*!#K-^~H2DLo<srXTIuM+RVuR9v-f{zP6j
zvei@*IB--u1Wg!_(&UIDwTf<f#`cOc-Fr^+2n&1Mxc^l3lfX5J^nQ(gn_O>mR@Rn3
zXi9j>6L}<_Yc{C4c(`ZR{`7*(Wc=}tWUEMCCfb29Y}#-AI;lfykp2m!H<K1LsdqXB
z6WAe=P6wjrrjAdT+tehH{<pKYRr5I}>=ij|)JEH;cadMZ+>=!-W*uAK)wTIpu~``?
zW2kn>HDXXvw02CNYY5+dY&KPFG}@D=&;3Voz|%5q0(!|P2>~DW-@j3ACrfUe-euUP
zb%3Fno`qROXEFPdL<QZu)P4$x1Y4BLP?OhuB9?roNp?s5xK2b3Re}E1LzffI(2n_*
z%Gc9@8e`lzOPzX8^^!+4-K?WZl~Y8VCllK$$D5yLNT?WC@j9m8l2`)#zx#dX8QJKn
z6E$Kjh%?b3gW9zN4)9Cq6y}J*bxl$4K-pe4muNkyzdfYo7^<5gBS$E5DDq@=jfQ>i
z?FKR*24t<B(_M=~<wtZx(DxX*<Lj#(#2qcCckjfZkrzpqTF)b)$4;SupF>6N&_cV;
zu$bdNTkcXoRyIo6p!4M@;pdabSe{BnmIXB?>xRlQdGeREYmZZ@nQ9n$hpegDD{bPc
zo2yA=NYogRRd*i;E3tXDdPqL{;(KrYewo+hIC;eU^5m*CF{f6bQfMSTQOb|K|EQJp
ziU>>X7;*^SjlRd-TODc$G5{X{@yGsTeEoGBvInUdd7kQ_1<VMmh*%}QN501<I43VE
zldGjzz*2EfNdt)!gg!VHNMJ@Nyd!6s#M030q@fE_5D30aH0Dh;n^-Ioy;!D6F{Vwm
zBI%TkR#V2Q7OkdSn|gpowNa+|Ys{G{T^c|>_D4CFbPR<`yNpvQ8nslDRxAcBrqnXM
zSSnha3a3<)QmhZnO_?^)xF7AIG?QiwkIK5NGO1WQ`mijMPE0adOL;ogI2>)UER%dp
zm8x8lNh?}PSvJ);7)?z%Hp4g<ElpWfQi)zH3(ceqi$qK@TA4~*#wiz#OgT2$xD;(n
z8BK~wIC@_hO<IXatRHQp6pMNciR!)-i&m^2Eu<7ml1VWdSoug2U=VFf)m-{Jb(ld+
zfXY|dv+Pzf>6chHnqQftOcJ?RH5!#NsZ0`Sm<&t>nqR48>hP~HJ(wIcXl2c^$c$m)
zFs*1#Dp_T$GDgXw3}K2e>M&yPj9@YFo3vty=n!SR!~+YeXPLVcGy&;5L@NKp10Sky
z`mx>8SNUj%vRCowhO$@bXg_6NsxeGuU-~f%WnbzsgR)oA=mE*QCbWR`0|n*Fv;z_<
z{?r3ds-27jKB}Fx1AMBT^aDDoozw$(D*cQDHY)wJ19U3=^aC;~{nP_+s{D)tE~@;r
z18l1N^aCoY{L}+zDuRpyCaQ1Bu@Yro;xPg$g7kx5R0OF9z*N^62mDm-G61@<KIJWv
zv2EqcWaA1nWUB5`C>f^=G!JQ~2(%8FCXwjP($^5Q4(TSnXr0ndt>~Q6PNitv(oX$o
zJ7rypu{LF0lCfoFU9zz>W!+z6$I80oV`a*^#A9R1x};-a%DO~jZ_2q8V_nL&X$N>z
zv+2bu(JiHG#AD`E>{3qUX!jc<$88Z)Hi#Lk1oRDjy81qyz0ZzbSNs1z3=Ap4I{}@&
zKaO5M`}f}?$6pasABY(*g!DH8y8jOv{$H2VK5}dqF|~=1(Sc9zz@xk4-r0NQ=(V|j
z-##+s4g;vOjWvyZ-kZhy;~2D}auF*zE~yAvCQqS_`6m*xu51aXcrj8PH4jIM5L6po
ziUG8alsl|4?_OQenhU_}OdnU80N#e2C+muWt|h!A?P^@=0DcBmJSIvf8WWjK;x{EE
zmugLFO{6WUs-P;-8feMCoFh@yCF&As9c3L^9TiWJEr&*&EykK+2?1~|wh~o|Do2td
z&lY7(vJ@WG1Ft5=A#_pziX*9x?W72%Ccc&`bS`EtZc6>PhzTAgUA1Fbd>AQRc|=*9
zq}rER8EFXya4Z(Kt_`Ft(8d;LO|^t#OP65Hyf{XICx$_SC&dv=6<I3Co+Y0wW@m}|
z6#c5SB23D-@QP%PT!?x{>55t)wo(zS5~WINttvDvCUx$P%ssjkNtHY*<mE|<%Y_zI
zFZP^lLCT6cpqvvmC1n;>t_XTeS~@4fPm-1oQ_hXF8uf|tZYBOCDnmf}l5H)x_b*;b
z5d9%~4?6phoTQ!KC81&w3Mg6f5Zy)b6Y(-oxu7Zb6E#rY!4xe>d0;74i29a(ghqdZ
zE#og=Dxi9zDDD#_RN9FUB}{zqD}IUGA@h!i?v<<Rh}?-KB}DWlN#@0U<ObLr`KFzr
z7iUE27ZWp}^a;+MM&*-ur=MX{-?IW#j(n5Ppo=G>2uR*Z(tJ~u6OgWcd1u}e5PK))
zA|h=oxDo>Fi|whs7|O1Hb>~=O0%j$ZsVGsTvOzD1VNkclTqywfq8+GLMBQ}Bp`J58
zf^}Qct$FwMzq+%|$cu5K?1{SbEpY*EOKWXQlWd|IDm!YT8Yp@~u3T!JvC0`Jdcv+u
z$9kf5x{|KI$9W2_1b{A4ov7KOWDAw*lr!35I?<dcb}`+jLKc$xu);V|T;h83dGBHt
z;(DY?k^^DJlL`sl5uv}4E6Pu7syD2~%g7oeXR6ix(UxQYD$y%Zn#gpO#i`17<>L0p
z8emsuHg}XX-T#P3VgR&gOqD(?fcQd-Ma_ZOx-=PH6gKK2>LL;YX{JJGt|WhkEL$X`
zzO3BlEaYE2R$R}PBf==rv_zVt%n)T0I6(+463gE~tB}Yy^;L-G;tHma%<9gQQZxTY
zfJXTMHxw^<7CRl)#&WI(Q4`P36y8TZxGHLmt^?!XO4WkJ{enSBLy3zgJ@}eUC{dLf
zRRYBkV`V--(kaQTq&&ca#6fma4GEXPYbz9<q#>G2;DiVYSNc<g9D%i#7%7rF!&^M0
z%9p`!grpRRgDc4zh%@!;LLpTy72PRPYm)R{CFiSBj*#u7Or2L0Ta_WNk|8OFGLDkX
zxByZ*YV9;6ndBL~kdzoRDWwuoiCE215uAt1PV_&+nA)l++1z;?IV&<&6oR^{BAMH{
zS`-GE!gxr3Q#e5|p>D`!e&vh{=!>P1@D;kBaQ_4H7W9_y*5maD!Z)JVA?X|973URZ
z4e}>r5cBs3-uYahLeKz60V(bMCt1<h1JkX=p2DF1D?dm8lrK<k!lTcgN03KgM^HyC
zh4)S?!c#A>|Mtd(*G%@67rH0-yP3`41IjJ&Ey#UA#0}S9l)0AqIY9yVuhb{7xs;W$
ze2QAS{E504-h`rSLcmVRAc<h32Vy=VC?YW8IKvY!(!jJ!z^C(^-yIEaPmukd{_73!
zwfGMG(N!n|h%2zs9{p5RJ`Y_DpNHm(r+r85(`94r!xqFRa3}g2!WPJu?VqPDuzuuD
zV7GcmhnC#4E`)dOGn>Ggq6T3djp90*`IX~aJqTSGT@YP3T`=89Z_L8JhZz;#)2s^b
zSvH1yTejUxu8H1lm-6i6^-2sc_FLk)cSVV_SbY4VMG+g3zwWj0S}V>|+AkYXHVQgD
zCRaT+AyE(y+4C3kRy^tv^6+(VbsJ60t_96eY%~@SGQt&?mWbyYc~>+W%L5$`_*cEX
zd5Bi0Fg6_>KAX$0=tX8l$2{p_Yt2?u-05K%=i*@*eyy@bQ=MHs9&@v1*Rj%$jt|T=
zea=>AM~a*ADIyeX4A6Oj2=w&YXx8gZluNoxSk@Z=tY)?oHfne=Sdk|&w<2({2jK^g
zY1kRMYWSITCEVualV$2VHnHWRLnSwNK&_(XMD6@^@p%z8PkBT+h8(n9P=GUFbiNcH
zRRlG9Jfhk?7BP;d8cxlSK-0j-z`<ad{++pufqQJr_Y%ot{wwJNw<Er5<eJZ(4Um2!
zr2?_0?6tn6>hFAUUUgbl-JXi6l4>{^D3sQIgqb2B`^~MjN|DKH=tw5hOyQNHnt^4$
zaHN%nlaY>!NVgPzC3SD1v7x(la^IO6-Js`-s?wF=GJZw09Ln6&Ii*s?Px(!lDLcn0
zP%r}{d&%B}jXF|p<udFm!)a6Q2~n{c4zDvztIAW+9rNH~(;ASE<R1Mmk*#cQt2?bM
zArDKwKnq`~!%l`!hlOeDmn&oCxqcCL^b*(!gM$G<B?7?&9wAr1Q)PX`6~hL4PTZz#
zA3K?)$f+H4KA0G<H|mn%@H}!Fd(A(bqC|t59E|op^5I`X0Xy}wnS&<EBIPO77?jr3
zbTtUNE)nXVMNW@srv(Z~_2~(d?|XFME8Hra9r|S8ee~Ta4I;Y!jW$+TJhS5V#$$=@
zjj9>&DI=Ov7qLALyU&j6!JFN)-KW@dHTGt4Gtfo?PS7(TdB_!Dn;^D9t3m5MRYUYf
z6i#qUNOhp8pfW*RM`lNqMlefoc`$h(3{bj3;zDdo5S$<g!(WPsOTe&!Z-cys^o)>|
z;MRfGd!B~uNFe6GEJ4_Vu7)^_=$Rn05aht9LC}Kej09MasvzisT#68};Nw6-g=kpt
zc#x?;C4otTOp0K!K;fWag20K0aG>EJB7wYyjES&tARvQ+hCqp+kC4qlv_z=4pkF|Q
zd*Hl+5Qzwn;9G(?i7=%=e*{tXKyn2MiI5$E+y@~@fz*iz8iCA-5Ey~Q2Z7Fjw=?y5
z)dYb#2Q^6|5?+8HgFpx82L1Oa_9XTQ2N4Hf26ux7fOmm+L3V)*Kn;LD0vUoB0_TGM
z_X!Fp0GJ=*8}1W&4b~UT_dn()#9qi=*j~_H_+Ic{=w9GngkFeVm|l=xxL&Ycs9qpm
zL|#Z<SYA+GcwTT`XkK7m1YU?wWKT3tur*L#I9@PbC|;l~#4X56i0&YtAfLdVe>J=0
ziT-QS*^}Qx*mF08bi}=d+*3E?afEebaYS__aRhbbYlQDa=)~xR=)~!S=|t%S>BQ@V
z>qP4W>%{7W>O|@U;w0om<iuQq$py`YcLlKk)(M;$B;S)=;Vch1{B+3;h<})K`sSJy
zn0Pzo{J}dd_+Kmg;RNCKB7yOk0!bhoM}gw829ZHIje#Wo?<xPs@1;wwUwq4)(=*pB
z|HS$!=Leoe!QnsU*Dg20&urbve?;ik+WoPF?sRAwZDzw4b@ZL~xHmob#fy4*6Y84t
zN>GEGElp1(-}H_d>^ejx%^JHq><1`pi^SUE<;>4p!}zDgUoN$Q(6O2qX3)PQnm6A&
zetaE3+wY+yyqLe1B~JM+&)Z)7-C}QQ@?*TO__o7E%~vk8(=_(Ja0S+S2pRNBeIjC7
zo3S^_mtR*r?dJ6OHWRW!&TG?Wj9k`v)h8~PzW))nFigzlP3vr-d8B0WLVLwL*-6@f
z%8(3M{W_Qa)WU0yt2es4!}M<yW=N<IJ5;6HThQFKMdwYbw=AyVw6nkKR(Y)uS+u3=
zgV&l=n3&BP{$(S};>BGPcPCf3W7!;@eP3SEicqEC$;k_G<Il)@iShoop!#s<2Hb=6
zv2W}S-IJ;p@8^Wx^Nw|6mi;5`PS=CrBYva@GUt|!(uLSav9^6F?~d6ckuwD`jWZLO
zn_+H;u*nE%!#E5t@tAqya9p&m9nloi<R&iB4fFjZvBXKnoltxPky@&5i7!fHlaLkl
zzyz@nA@Pq;-g-y)Ou$7maFX`m^n}dfl9rBgp?Sk_F0;<Y8MJyxWv*6<TPUShaZd8J
zN<iHsC$sz8-k8ILuH8nO*~>m?XV!jfy+7{Cu;cJ=Bfm28?w{*<b^7UU&Cn~;p2p;t
zMjx$?lb^QUfRkP9CkX^E_m+>fueD!@O?;882?sLX1fe(kl`l*)66X@@gh?1>luuwj
zD99Js&$K@AeZL7LF2Jwe(3BaPG}dY^<?O?}v;4wOg`ShYP0|O)8OsL{AAH$z=1zVb
z#5+vn3dVJ9b#4;+XnX=xCtA$;VKshlHc9uaalJNum5z{gMP#`J7|XZUyg<6qbDr+;
zyr<{mdJmX;i_RQh&_p^@vossCXUQ35gw4UJ3JlhER**I&eO~wI9UqtL9*T5^P)^6_
z#6~&kW3-;5{q3`|D*N_<h1XG&P~(`}R<quU{_r{<LPY3K^tcW2iyHI#@Z9<E5m>YN
zc?Oqo(*NFBeMZ1PK;T}ieQ7VYF8bM75ngU=Q*%p=ejn;wStvB#+K3icmIk$A0Mq{s
z+lwT~67);NrgP+Ueot00R=i?p*P&5)O~A*~|GN<&Z6wq_U=UpV1{0ouRd<3orKno*
z7^^OtUDJS9sa8S2O8NJ*tmWYe+lswnxlrT1ob)8!blqb14>fkKy=okUngjDmEY_xj
zv5nY(M{K;ShO&3@pVZ9!BWVvT#QqwEwVyox{ZnSWzjK&1;YuztEXz|f<YE?#t`?=G
z2zbXe*>-<TR<+*O@TJI2ib?n@e6NS(>idi1`sp#-+#Hz?FQ0e5!hy^OLi>K1^I10F
zZnJAQAz&xxW>^s9CMU0Kf1Jzn6u^C(SI|wW#|5lmH{4b5&;_GQFp{`f`u1{xkIlH}
zcor6}$10zop)u`75cX=`<Qr0>(7L?3%1Ae}F_@hhhEP~^Q>0=oL}*gcGIgyb8B9Lt
z!(J}$+>hYBJ&Q~#`ReNX_mc#iC3<O&2W*H>?u$2CYB@vW`R5nHEEjy>N92MVKQX78
z=Fc^m3U|W+r!1yqU;Z^w_P$q(q1is4bkt7GciK97EHC%`z=G`3=@nsCIe3-k+clMX
zFs-0(>iQV1$U2Dg?qk|1)p>jv6K_#k#-4$o1)xWKcEC-?Doi;Ma_aYynHW}+)hl$v
z>b!f8FM)b~P%tCn%J~c+`iGm-$~i$C9w_@uTe|*~8jMQ6q#1KabU6A7Pb$<w$9caf
z)cqbdr(15X#L65nXlG|66gQ#8f{PHjRD2RtJ5|vMa5p#S?kagmf<NBRoj+NDopsnz
zWs$tgeb_2zI_G~PH}D=Ck64}Iv;h1DHGsG4mi^4XdFuOkk~=d%<`H_dU;W?O`|7Z$
zzV%-fNeLw-r357>m>C8Mkxr$NuA#dd0i{Dk>29Q3S{kI0?p8Xa^N!!|Ip==QaDMmR
z^Lw6q?>}drc^>wD_q*2myt&@B_pmmtiski3%UQ~h4WnN0kJTeqK=4Q3Lss)1nbMrK
ziO@CnBT|oG4cU?yH~+_aYlOkUTW<dFpy0Oq<{hNbtWKLX<ha-U4pO#j@gW{{UAeQu
z=|gsveaXHvG}%WQsSk<jb90k~^&KVijNTIjL!Wo}w`HGU99YQqN<-B`c&KUCzoAhs
zEhz~l2x{8R=L^j;pS!gAP_w;C`t~r!aPNqyaU<mPRZ+Y9av7}|F}O57mSn6j_2^Cd
z^NYyPO}Q}3{DcCluX|lNa$Ri#&XkeqWvL<=dTfiuV@G-%vjb5eAmH1c1goTLu$OUY
z6p2D=TjC<aYMR$|)934-68FtE3HP1|$;iq|%7?3N=gA;9_q9y!&hM*4;FBv9i%&K1
zXJc<9D?6<w(5=0T^sBKeb3dXe+mjl5AJ`<-N6m*&HGRauBp51H><%mD<t#8-PwjFZ
zjZV_6HkNMM4AONBwh{;YC@WW7LGzNJt@zP5%)6&<>`;F`oM(gCC(7vcJeWCYNN#$O
zgES&VRoF+bR+INWb&!bklZNE$x1mX6=Mh*eE`vIeWOz`D4zWwprXaZS_EKIs@v+ke
zAx6+O?<Y`dO8kZ+ll17z=DSO82Rzf??5S~C5}PeFv$19c#MP=PFfj(y)T&i{i?K;a
z)pydS+v3BSm*@&Jrgh4lQ2XKp2NMG)7>4sg!y05C=yqrVvlkMU?EKj4bee|o1k=Aq
z`tXrENli@d53N7QE%cetcke)FJ<q0pqNBDX!^+&BRF`VD5OfX;%X^~0CYl#OqP)};
z6x$Kara{D}J!h}6__Z{Z+h1k=s8Q1c<J>aR5q}EDrIMY(-(v9T9j~%(!yl36gU>BC
zRs}GKUKbPSSq^ynlgUQ;5yg{)+>`FCtgchy06L6^(bw_%oemkw#FrJmQ689f{bGPa
z!bfZYc&5h`B4*zGld8HrIz@1z@Zq9#*7AY0%KH1}2u}ri5ji2fx#bM|TA*1^=c0Wc
zCzwww+txu>-j9KUqi>mt*QB+nxJz$nZTA%{j?HHLBk6a)g_TQ-&t2wWQr7w%p(->g
z%9K=WktC&RK-P#a!_DU|5U3J|0IRW+b5urqE_@*)v!yUdJC!4RJ3`MQoc4){cTTwS
zlc&tnaphc|<4Of;O+P)Kj2@wdH*8%?P3fLsAsjyUM;L&YN1{U#6%tmd%TnxrhES!m
z_pV8oQC2R8ba%1sjxU1!5Jt*)%KTwf>-U}8m+^YzYrbUIo(?~Egg(lLttl!Q4ITGT
z@s6v%TJ6tgJ3z+~;k8ssTH)N7VT)D@dVqYvLwoVJ4$P(RJ>iGill`mTjP2M3>eA-;
zqjExrCg(0xHx@3gn|bibY(6Q=b!aQwi`IAP*}=^{>aQ5<6EPy!kD0S^dybAJb{~^F
zXdDMIJZ{Q?{bYX%U*oINQ{@3dA3vsn_C-dT55?kQcRdsV>(>O<=$g|%(+trId6&uh
zIDiuU+nv#5rA2c8F&&8kHRWl6!hE(uuaYplCbJID<DaXNjU>!tHQ?gTV)6W+#kwu!
z_3;`Bm}NVeoVYb+<vBK1dCHGz*EdZ^SOP~#D(>tTpYIN}mQvu{Go~s2h!K6Sdpn&{
z)ALG4No#2yiX(cBN2<`DG>og6ke<Ode;}hu&f_`K>e=^vqEonxgQ3DGe7wnV%C{ve
zr1Ocu($%NzO*KAOlO<oKU_q6nm{ou)$lXvS&F<C6G=hl9%7g;qxYu5qy9HUo<RMDj
zYrqX3jEIU^vFq2E2HH%t7|BpnEi|l5&2oU?Ljd2<`tyV8b+mlH3bPVuUjppgv!-Ws
zd5d&yZ_xlj*PZ*SQF=H`Osg^lATm<586~vi*UXs5Ys_X<*qd*7U7t-gdRTC3b-TFW
zPqN9rp5?LD&T}Z`|58NaP;Q2y#G^NLAYlIl_jGV9A|%+~*IURH2Vc`)=4?9c%z?x=
zONq4lf^wrhL0O>m<(%g%qgj@~#E%fl7=dD|rniE#a@Ce^Lx|tvMuM5Sxt%TshHsyu
z;d!`Q8pXBf$sQeS#CIMiU44yPBE$@#;qp)({CqwdZf=&um(@6uvA%R*vou+x&h6Gc
zO}CcG9_g&DP$yB;k^W;T0&fZJ-LJ8iCJm|egl)Jij?NmgfZ^i1RxXy?m)?!p*WpJE
zXdFRiZqAj(Y}A5rIAH<u!ZGL%YU!y><lFc+If_er+3Dk+=mfGmhVtc%%WMkk7nQJ5
zn3+G2(+?aRr<|*HGSn69?RLA4=G>{D+s3XvPJ$mFxNX-z+sF_|uyGG0?QB%<QR9*=
z4)<}dbtTkLv>Z*N+!kVi)VL0HKBB9O${!3nJidO`J9t$a=<9+OHjwKQ+1{J@wvyD6
zUnc&nrdhPV%0%H2>|Pj6x$kEq_GJ&NEgcJ{VoRONERQnf(1Lu5D$~*Yiug~T)XmBX
zTvRXLmxT%3G8+$@fbrNpzAM3PGZn2qaqis!y7RF@KxZ5h#b5yYT0{S7i{K$<#Mr8W
zWIw3NY;$>fT<fa|t@VNF&^VDJ7HOZ>wv1Yhs_K_=^Tq8I^CoOTN-df?o4kT8_THZS
z&HT9!+p~qr%7wGr+x(VMQI`BEzl62$oswc_$MZtfMW@7kRbJlJErM?Qop<Ij`>Z>E
z8tJH`X`cvuCaJTtI6rU7Y+YhL-h+O`O`345J=`S6?xK%pxsm`XpABAL+}sLWH`N0j
z6YtbaXcj*If=R7~=aI$$yl+yMT0wbcqh$Au(BpouP^E2$Ikt7lqRUB2lz*l7sI*z#
zp~pjm>-!Uxp;)I6GxrLs+RHI`kBXbkwojU}#(?94)~XAduqr1zTXS=>t9u>IeG`4N
z6Qe$M?^=LWPU!iG)&BY)@2wefayLIS+n!%uy>GN;Y|&J}<y()r$=~y3W_D}7>GsDC
zvfb4BMhvfp2%=)+-EHi#_SA^PuRS%lUHkgCuW{#zuT`G6X`@Z&d)=|Tp7|Po*hp}Z
zb?pr}CYUe4=EpF+cU?~#0Bh35zqj!<_?ik34)Mm8-o^fDa)&79>s=;*H}(~A0t`vh
z`3K?u=<p)%%_HOQaluyv$GpSKllr&>*HVJ&(?S*;y4~9Sl`e0|yvU|jDF<U76kf!e
ztLwalG5hUmms!v)7(sn3)bD4wU{6&pM~x1sKOkR~8n1*b7+rm^m>S1<i@|3R$eprK
z+`m*}eWW`@)jTcIT3P+J+6*|g`k=6IX&gEi&>m9k$c~u0!%znw9CToxA|;gV^ERLI
zDR!!Fsbq(DK@OCKS;xrCr{b(_e;G_cS9z;mRa!`u-=d&tT2Oyui*IOJ*?SUe0`@eV
z3`vef_UN|<{!aREfm{G=(cUi|k32KH=qdl(=~VmZr_HaG<N`(X;`9M2^Dplf+`TXW
z;HA=+??wy#yhRq4oYT&$5{eOmt0qZ*tMKgu+gl&RZ)<QwV2+i4VSe}W=_>+nC+t^~
z_kjc7FhV{)xfR4X&xB56B1~r)A<S#daks&hO%A_6BOe>vi{(NZBom5TDryvj<)_>o
zr}bnZeC7LBLA-Lt&P+l4MLMSa*OS~oS8kJPjv#j<r*IqEjT|gj^?kV(>3jK{a3(bw
zPvw48yH<`FLyK6Onxx)S*DoyXM-+AHxAY+o(=l1Fk0`KDctfOU^#qxhsmW=wTRpb|
zI;4Q_KE8S*y^O&2WPTlrTh7>SW+RPA38r(ca7@|Y8F+!gP%;0`+B_6joj$L`*G~XF
zM2E{@GqnWwLudsqH+>=30G-ym0oFHB_#L<T>^LbWZSx~B&hJbFC#^+yy9O<MZh-<p
zpT_Bdql$r<#x@ChHj1{lgqDoHnG}aIUK!}oA+I+KEanf~QHkqSAqGN%Vd8SP9>I^o
z<3{AMAEHNn+a1<>Ib!;T@pB2gpAkN&0bw7#lrI?jzQd4X2!~IbfUoM6zndhLnUEHk
zUq1t2qgd*gTWp2=?Po!IJ1JceUfa^cykDu0-ux)E;i?D1&{tmtT&5Tq<(4$!O=KH@
z$tU_-MSRPe-lxk`nSHEYr!ad+ZTFgj{lKqe+Cc}MD3uN(mu3@|LY|VNADy}%AV@^f
zO;)y#hI~VGTgeL*{(Kc`{$d{AUMiv0Ds&FP-K#a}G2K|ggg|jgPZ?ZOqg8(gP;{@E
z10Lj?2GgQsO7!CN>9v9ty9~*3W7cB3FOyy~W<N;#h(|(rDgTvjul=nYEeF~=w;9K)
zj58K}H?ei>IPOor<My|;Ax#}8zC+6Q`qN&CH*1SRn8S05WgUxHo{rr!)i6_=q`Z=?
z5Hj4QSBhoDxLHHQdN09AgCoLI&n<H9=~X(Wzupe_c=L1ET>0Uc3FIj6LjeIU+0&`)
zi8!`45)nUkgYxcn*N15u0(v}-cOwPj2mo*h^yE5M@@qa0;idw0?HS-#WW<IxLv{nY
zGzq&-@<7}%b}~sZ(n8XaOYpXy3j&Yub^vQI!NB=w*L=90k^PB^hZ(Ox%t)fam=SeY
z!k0dt*K<CTN+k_i)S<SwUN?_7Z<69x$SaindOu&G61ahNDIpa*oxWi}qClXy`AnbW
z`{>eX^Dr~ER)>MPh3*NhB)sq{xlb-Dh;^cK*cR4vKX$N?o?z@5`G%3=h=q0i$5QA+
z$A=i4W4)$cROA#@kKgKgDK++uBxCa*uKN&=t=*|hf4}fEJ!j~R5Y0DqoR*5`Q9s_e
zR(y|6tgjeJbA;&(tR}xsyjnJW4$bXgnEmQ&U({uIaMyrI)-PYzk=fRfB)4~4Ky3l{
z_34@tz6eLP;i_@y5xsO>EZh6i(wLwEgQe|oi_zk|a9!=D&0yOJZp!_bE>=kGoGxR|
zZbN*#BL(Oklc~z-+2JN<fJmsnvH7$8_>h7_LdU|OiTX;y4bwWqZ@ZQn!FG`&d*4gm
zIhxKm(4=jdEi(iTVmCSSUzm6bZ{@Z>zua42)h?<bch~kRr%J{#INXH(RI0_yON3Og
zM$q|Py<M>PlhyTW7=9u&d~)%)<21^sycwisq_3H=DVbRmm}$eVtM{-|R3q3Zuuc@S
zrLHhu%4;^Sot0NVb5BwMmTkr-_vSL^glx%J74P80zROwEG{gIDBSUP3C;44sz4Qv9
zW6Z;t+zUc;Z{4<ySJ^?}+7h}imnE82ghdbhl-f_+4ON->l@->*h8ESDT3O;N&X>$M
zE&~HhP4mYV*_8CQd)Ur)m(Pm~-{^V-)6wsZFw*0=#ulq(=}5E9i|3?0wSJ7|`ru9I
ztq|C&jMA}sn+(t%4>6kknscbWbH-OU`hzm-&|rG;X|Z~m=gC-g1LNXpWKj>Wr{#eN
zoYllz<IX1`25SQW)?YJ(9#y2<kQgjKZho?g`=GlpFeJ<54YL_rex4Frl<@%DZP%w?
z1^ntMFzWPy0vQ4y9=)3igt&^9#QEtyqU#GV;x;A@cf*RuPwsji9kk-F8&7UQRDvgG
zomldi(CiH(W^pCRzEgmFlZ2QdL!0+`fs*bxCQvnA?fPAd5y&{~M66|mtL_D3Qzw?W
z3Cocd;|AEkf_HmFtxcGPO5L|E$o>B9t-B||g?pMfo<{Z(z(wUTr`Qu$b`pK<hvzh5
ze9>>+q`8`HIPp4gG!KpRV|})AI3YwvdW=~(Eu`6_2I9nhTB2@3jv&y75H8*2)NzUp
zy-w48f>o@RHfz4b&;x%@K`nw7enHpFQSmEcqnP--PFfamVW!SjiciX)(ivKmC@Lg{
zHVjx0x5$~IBcGN|^Cm_~N0?^D(aB4^kqO~aXJDs|9F|9@rK(A`e}BhPANDcN7NIAf
zFHdGVfJJDN<<k}QlVLbnI(2287v!fLq_pV%wLN$Lqd|yPnuzVtzJZ#&We>AhCS7fJ
z=?VzQ&ip#?dHS8y4CTzRfJ{dDsyCzJ67}-*BkyZ?pT^#g7j5rumCsb3j2M>8%utMA
z|0JG4DBq_e5va&I+Bw|G%O*rWG6<@Meq~CC>Mn(V7~e9Hu*_rm7-y1>8ymn4@C)8|
z-Rrs&%Mm`jUglu?G*`}BCl*9jen&o0@ixOJ!reEbPe+W=I#sD-88RJQLlvb=Gj#l<
zF+r_rUh;V<O(lA2cotm3snHt-raHO9tQiz3!;%g$-cgEXiuds|IIN?)mCy}noTEQJ
z9WGZD`}Q#dA5O{TOQ(}TXpn2$Y5tnSum@{M!hc<-m`$7Fd8whRnFM+P8)KVmz|(Zt
zellTQergkGsC2LfOD0K%R%q+34vnwIh?X}R*>`;XXd{gY=~HwJQa2y`7^HY5{TW+4
zVs(9`Jd3G>=b^CEbL<BnZgac<8dKgMt_<67pirY%8i;c@zzj2yF<tfP7{Ov!_CA%2
zRiwOMM0P%)rj5lwULcoi@4}O)Hbn<`l}2cWM(h`H8$kO?B}aM1)Yw5wmo^bE&`;c3
zzL4zuB-JNEDtyI?=5p5xH4fh%!Ld7?Y@cX&mBrWT{OzBpKcIlWz)c;IxReN#&hx`H
zyz_aqbN=%~@r+#wp@*3i@1(QQ94Fq5vk39~<k4CwQV20%O6*<_ICi21YUTeDTjRdl
zewGfzxP3p_hc}kHU%c$jeHMkF6<6^qwJjydPU1(goM6t7PVbgSCf(8uoelxD%GnWt
zv2VGszPcFCk34YuDuyAiBb%a@CI}WwV|n#WsXU|b*tlKk{c9ckw*-&_9>~YrfyA+a
z#`_tz4w~UFbbY1~opR3&oRgNjN)bGYDdt1ZSExwh*u@c}BUc8{0(4EKZ*lUvSUv>t
z_v8`Jz1g(0q9hIM-$+JM2Do}ZhreNGX}GVIK<bQ73w>1N^C(ZtNHxe=*oL&)<vou1
zi$d>eM*nYqGn!Sh^eUsdAED5$C){ehE?+IJy@^Ey^?Z$xl};GOXPP*AzyrG`!)5(l
z5@BM$$j|0Ej*`p76e^}dNtZ6H?_ZQF=Mi=re|!Y!PceAvz@_jCVY?ebu&COh2KvN4
zV&qXGN~nPs%kBOVf9&;Js3gn_I`jU>uiKV<`6&bC-Vi{FMEq+c*6W|)rqyhi9+D+O
z!>$1Fcz<TL;=a-Jt~?QOsMOcy=Ku{>k;iJ8Q9zQz$j=}m8eveR-yxTB8tu!>6Ew;}
zt^u=;DIvt*_c<wkdYTv#Z9GCgBdb8hMqxi@Elj4i)DXM~ih?hapYUbKvtqi(O?nJ)
z+$7@tM}5sr5@V$($v+D&R`7^3k-yC`TsdXHOgSYblE`8b$wc^N3V$fcHL#VG7d00)
zxVuIjh2vr61p-6anV#~6-VOR#+*-~CdK!c))kE*r$|QOc8Bza1fnGtOD}xvWrGxWB
z39U;47xva3lmreMI6aJxxqHuztw&fVE=ri*n=Nm=Q?Zqe4)mB8qegc|e@Xv)=|xx0
zc)4&Z7$?RrqD%LwNy)<6p6*ivTUSY2c~i!K@LQFEC4q8JX&-~=KtQ~xY2mLC5#$4O
z3i{29OC>qQ_5=Lr8)Qiz6Fw1AQb&rmGq#Bd-zjxtG$tM8<NxpgUGyFDjxN(l<O5x7
z-N6WFMM7(dCWCy(SYX6M^!?`f#@+Jq3}FLNXL&s}9Q(_rZy(F!Qe#VUBd!coCCyoE
z#T6w9i^aCzK9GpP4v`8m_(H1^=|F#nF()~R;&q;suz@P?uB3=>Xds%o^f5Z}dxbq0
zw|(!z;TWB5FL`bDtJjbE+f1%m=V<@<9_CfA(Fo4C-No36*(Un)d(kn&{HD4~-?LhK
zOETp0=XFSQ_Z5Be{K?mBfh)xIqk4L0?bqsdZ~P*UjMgm70Um?NnN?*i2WHo7_4UY`
zASXs^lw8jbG_H~}o$T+ro-htHzM9u}<r>AMe_>7W0Gc2n%%DXzc;|`Ft+`Yh3o-^Z
z<`fJ3^4re`v2BXP)b)fn?v%58L$RJT-+H7He)Q!*0p-Bi9Sf{i!gu&fIM`ne4?!{1
zyizO(h;81yED*~Bq&Z+tK2O=gC6;*8|KgOM*!FGI`7x*O*mU&^aM*yx6Dl5jEg^K?
zus2@mSoLqI!rq6giwHjm?|2aRDJlwwo%=;zy@*?I)UBSo4>5Ig+e>cYW01OseKo(N
z;p+2gDbaZi;AOi{a8D}i-64%L`*!7*DSO<=TWsi5Qgq4vV=@$ct_O^X@MQhI(x;`%
z*6h8eC&YWFR8mcf&ac&M*es54r@{BXM9DH_M-bf-MN`G*{^|ATRL)SDs_>IHd3P_4
zU0LaZ>cp1K%#zx=!a5jYXo?Fm3b76;7B;r%E2*4s&J$9^u1n*=I;Bc|gHSc-T~NCh
zv|d^c6=N%~fR7%*;--!F)w91}k*$!e_%DS&5&*3EOPm)Rt50FUp;5ff4m~sBTGiAg
z44kv$Ep_H!G$@;r;>b#j!eig)Gw_CKahKt_gs<|c(5tMLZrx)4-uHY9fS0)S($9og
z(hF4gis6_!J@d2sMWMG-DDmV^DMK$%(&*D`xM@Bb=EiNW-k^mtx^(%n7oRg?wR9F>
zP{Yl8lwt6y@{HH`DW%m^VVz;64^(lfC|e@-Pc*{F1@TB#D+#Sn5<a}*@YiO^GX6G)
z_1z#)OpYkV9P7hwl=wS>r^feY&~HEf-0}XUsC8o1_&f6$;hj;daOblpmPh^l40@MA
z+3qSOmZXU!cJ<}0ruUVay<U9U<%r(@Ld7u#d>HiNTR&pM@*}lIg0J~}Hf?1-Iu+}H
z-P_Kf()+tZr+36GT|ak5n7-k8A=WLe7SF7(x~?c0!G{QbzZ$msR6g)U=Enfu940LN
zwVwxrQ}y(ZK0mJMvokk!*Q9@}fT%vn60~)GNPbsTo`wS|NdK9Sgwd32SebZ|vPN)#
zq(oElIQnOY)(?+G9;N0zE=S^%WR>O;hFex$?B30_h~{6_tp~H3MQqcfOG#N~g}j2_
zO~2AjQFodBP=C3a7gqPt;xpBIXu)T%?`UP9GZ~y$>W8=iQZz^A3W3s&YwKr1usn{e
zV0&^gX7u=#Frs&p{?4%N#gX@60{K(i9A!dpSCqH&;=B4g1{w=D^b$d*U8iG#<a6b7
zl<NDv)30{O;fZ1%-|dV}0T%LYm(iLeWn-_!jzhwB+|7<R6D{Mxt`h{mwi)csH7`UI
z%4GMQ!nf<|$~laCzIC6I9^-LpBtw1${AdfBGSEtx+Y-9BV>m?aBsrQu?8dKXn0JRD
z%0OUIyJRVBcPGJ<T}2n7u=(s_Z*!!u|5qO`!OV4zoygdutvMPwMK*`!eVrgS_61yw
z@F!2ib~D}XH9!zg@4pC&kB$B1{PEd~$^FDryrt0^nd>@(Pf_u9CE+JSI8)RIMS3iF
znwDQ*rnr7=lOIeQRb)l(1}|1L`KHx0!`2>?UV<Iboc4HWP?I88cv%`EylfZ-6>JjR
z5}K?s{SGacF~%Apwz24Q%1j8RnDu<7bK>|iZH!%JF)F*)zSq}MKurok>yvfCh;ui(
zJxVk@)WB*y5VG&;<T7#!dW&bU6K#qn2=3JF)DfS({lrCGA+;d4^7eD#L#S%s!Y)y+
zGfUq<_80xyVtO1L9Db%3pHGEmdA?Ds;dXmKlBFITu5uC}mfnBX<#WiZz>M}BV*&wF
zj<bqcv5EF!MjVv6UOHQ~mp}TDuYtL=HxgBD5mR6iEuhdUHyTb2MtkX2aZE90bB!C(
z5&kU8>YmGpnzh?<x8M>^l@k7*#lp4Q2u|bWh=P@Q{6&hI>9yU@($99_J|nr&5_Oe+
zSQ+=u!SnJZ^Tv>>dqPZeS7)z(q}SIQ)l)B#%)fu?a1xPxz!S^cxc{Q5)t|@H_H-HT
zdlq9**0dQn{n>OpWncdYnrpJD+A;`u_-oGper**0qsil=`oR|cZ}^1`jkdMbDT6b3
zB;g!8Znirj?#4eb`^L%`DeI4A^NSx{%(~63?-r?8!IQ|`#Ml$b$=tv89xYsEuv&Ux
zXlF>?HO+CakNIpQp`P8k6x5riy&2ST`FMmeAT7ppQQeJCB=Zh^KmnT=Q<j4~NV=$7
z!Nj1ZIj#nCCslEZ_A_4FaQ*!(N}n1pH_a<Cl3g-&30vLmD6~&IYyl@C;IW3z&RQ~?
zz2PP;iM%MhQ|Sk%mlH?dVbLyiu8-NPS8NTx)drw9*A9_0Uw#+cxzbQ2A23CzvX1RU
z9lUC9|M4tVJCD1}s;*-`mbo%yv&1EFcX7|=$1hDo#~7PZ#29APTvcqOOJBYA=C4rC
z+dtaP``6EG*H@L(?ZwnB)*mXJsw-}4MJJRq$T-$K67TODuIrf@^)a_AnA=B`ofYjp
z<*~6`N@JNN-J1x-BiP|X?$C}H75{}fQb`a@^<t4aYDaSIm-*=mB~gJMPG5K+zft4X
zz|2UaEY<L2{?1pS_{%dk<5`2}28eV&n$H9JmQ5nQ?aXY{9~o$PmZ%&|l@)~0^Y4ah
zWN)IAZcc8uE(nnlimvRWJ9HKpJ{RJcn`|M3*8R+ju%-_weZjDG640yqt<Z2gUXJ%9
zM`59lub&&bvi+f9!i6N!NOsF^VVQRf?RpFc)8*dldtKj@Q!5L6eXcc0wu$N-6!%_a
zaCLDeiIBX^4$2<pW_}|^LZ*<2m-dCqXpmXt@o_+#z$iBEOIf^+;&#UM8f5RY6<*Dl
z`q|||X#_K#C8!KG-WQ(Z!=wGMH+s(_UJ<Ka@km|Kq}QqIcE&j-gzV0=`0*2Pm($7Z
zA3&ihrsP9+vl45IE)~ux#q(1yNO$V`=(a+w5mlji*?RV3feLScrqK(<jnAT_eJnYP
zS0^V|ZA5`Ip=*!NU13%SQyHHo_!#WoebRj9(&H=<Y6G8cnA*Qr86S75%&yKBzYJgc
zV%eA2Hn{Loer&rW-GE^(*+h^<@nB+O^#_Lume<5MU837nd7Vd3#49yjPsqsDc+jtd
zh8dVxK}l_dfY<10zlUq#qeo+9=1CX3PBKdr6W^3Izmz%&i{!gHoWiCcgL=_p-Tj=e
z`Hz|;&jU^u_d`qfd>*B><J)by9;djK*|lif#8>e@bTqGWyU_h1MoAjtzA?ez=rfdS
zd)i6o!6JVzJM^{lcF)Vi3c5z8GpL2W<UtBw9<@<o?DYKp^z@Zr<m}t9+%IX5%I1TG
z>cJhGQywFR-!e`McC4-rKORr8Um}XS6HXIIw5lf+uq9T;dO!^nM~l%P-)5s5O6cQj
zmb>zv>N*AE#M6E11^c;Hn%8dp^pp5DvR&1#5r*HFB=2aTw)>`uW@fZEf@ZI7s{VB_
zwu~A<9Wf8Td0leZ40_G?o;vTR;eBHL?Ck4Dc?vdy(daOFP0Gi$Rq>EH2Ild>+WPJR
z&dDU{X#t(3vcAFG71(Fb(zIvinlam6pmL{Z%NY@b%+|Ye5b5U8`dDPG^{WN)=(6bJ
zz65jry0-ZMh>u{E7q5N&Y2Cz`ZyF&pxzZxzyIuiwlXF<~#!Jh?P}%#LZ5whEx<nH`
z%%xENv^Pu@e5?`d2=|ddoP6p|GM9Y`0)g|x35&{C;1@oyo()!Nh0~v!gY7%cXSzgu
zal~HF?6FC7xu(^Iqf8Yhi#r!u)Mta^i6Nkip~87zxTY2QVzhNYg)D*ptj$V2oY=F}
zS;ALy$B|bZWG8wy6ytJv%uhuDksn74YWn+ZFhet>n*I15y0blTAIL0xS&a?V+PRAz
z+Izt|jfwABqdCVaMeM-^d}5;bq*^!Bx0W_1f4>`1TWh}c;}u=)K+Q!N7%xsG|DcEl
ze&%}qZFVrQ;M`*ewjN!j38hNvfoPYTjutJ%33~7)IkF$`yMQz1^?ERV1z<Q4GD|By
z3)A#E^U*6fb-5bfb*cg>7s6|uKdeN2)mK4#OHGDfDdSqU^saADYH%WT2A}P{h8FxF
zzzlz{RiPnovPREfZl7pWj^i>rtntIfr#LTrt;lw?GcVTMVz(oY_O?qmMRXX4dGDcf
z!<W_tpwi-QaeF;4jhN!1HHmffdV&mf*q!zJ(Jkk@=4#CnWUA!NCIlVd31#n|R8k^e
zRejo1N|T7_T5?~eigWh}O4;%VhqNVY7V*b4*-Um5y_|gbVWG-Pkg6zMWv=MUoihvY
zm<O;hOprKXWuD7_R#@>(jz#S(abrNYi<;Vn{%ad_CHH;KSV+T1m|Ya$Y%qP0oc=Yz
zMnsTwM4(by)JHO*^`t1VbnS%9%&ZR)xq;M^6$E%@)Z|n{l@(8j@zdFJR(pia<-0*L
zS??=lM+R{qvEME}l$N(b?;NG}&)@Z|IJ(<MZY+BR<y+k^JU_V?=6wjuOul?9tHZto
zuklh`a{XZykrSH37es1zWywHTGIL%1@UkUz%TP`(^7~7CYOe&s>9)mgBRWL=%a44P
zGny3FD~V`C;Z~>H&0_@_+R1ejUj9=Y{<#vcUixn=>Id380J#3e%d2NQyI(kd;X}?{
zP5W`O6?*%r<Hy&g*BMMiCg+xtS$z6fwVj5EPY0_!zf_Gl%svxH6sv`SYiF#|DNPP7
zm%XFx!d3CjSLNDl0wUmpPIruo&OEEr{9}!5boY&h_e@F<O5tTMt0tlvnXDWHf=~FE
z`9@!A@&lgGH}2G;jZ}KTLf5#RrxQ4hM0=H~)SRxxB`!h^yBo}Y@TBva9@W+oMCWGB
z#Wy}%ZbJVtH1AO*>fxfmooy@U3sI^odj`(p;5o=Vie6S?ZKlv}oZLQ-OZU*<4G12D
zI<~ooN6!`5R|9v9Jl?;%D*Jxy1R)ul2@QI7kVqSM=615%pGNTrw{L?_G~&u@CiKMx
zt*b*{Yns=X<pELMMsk(F{)*qOzQ1)g)b8!CXEE%LlJj5gXK{Yv-B(*Bx?1d88Dgmg
z_XQWuYz~D-^Xr|JOf~#y>8m0tvYH-MNcicpB4y+0lC!%XO75HZxjURMHnotHTkCwG
z>x*)~Y_I&`X*0rX;~fD3zsuoI`)=6FMvGkg%LcKx)|*4Dy<S+Ck1gd?wli+E+3lP&
zYpcrqWC(MUpYexvc%F}>JvD3a{Q7j#b$0su4A{t>tgU3PTa^0n669pGF?d?<^8>fo
zdB;hT_uFaLd0`vtH#J#vo-O1p!;3n}cyBxrq9EnZp7kGH7sh-Fe6ux8%MdGc;jj9}
zLOEuoO&`*WFa0R5JDlIU6)Z-SMxos5_EfgBFJwrRyFI#S`iOz58B=Jl8${L29(1`&
zmvF9ajYWnY=riT__96blfQ4_3mz~L#*eBCZwY_0J7(_hp31)db4>u3RCwkm9<1VWa
zQNmp@Fam+@jRk@E`70LJx%WFY%jN68;uSu_w1>I!ZIBO<nAxeAy+jpWQ|4gRcA#~H
z%HFGLcwbzRXsvLZ2OdotlaFPWiV~enXgFr8Icc>l@)oSe5anAV;e#5N`-k-<LQ}Xc
zT5`$vz8}-5&KCJNDxOi99+;XB9&H><<<!q^YgOaNiS{z(Z_tq^C)B6T)%s*5dUX#M
z&A?OLUQ{KKINrO9+#P_wd!i+t8n`&PMzix#=~tMg>Zw6Ya^}yf?m!=tm8G|IPX5r>
z*WJ@ZiQ9KY-5VFzNV@t!eOg0$?E^$sPMdJT!J@`rcfwwOF!D*2pTP*9zGz`M5tE8s
z!_xYJr4<xD-`R7Wrtsx-%ZAUwlBNcjZMLVQ_2Zos8BD>Vrt#tgJXok;2ve!|O3bxR
zhi*NKu`?JrG;;E!toh~tDOgRhVR8>3z^*WktbE_L#9QP>h6zyr1n73|S<W=CYOig`
z&m1dxMZbq@k@MMy*GxUqs&ZRSjd=M&U}vVHE3*2X&3E|#hpkPGBy>_zDb9k)4_+Jo
zk^SNL42pa?Se*T`*);o6y-6QdYSS;MuZ<4J1Z`$_hQ`nvIE&(_>iFEg)+K{#FZWND
zrxS7`KVu@o>s$eSrfS{sTaUi9;gNDu%}SSeH4QyZ)C#|FKT63Jie~M*sGI+EKIKSe
z#LrjWV|z4Snix#s(Y?cOx)GIjnzYr)&i<K^K#O;V??u8$v!&|u^By`Wj3QF$V#=Kh
zzWOxezj%{br2inH=Jn8PTN6tTKim2d=F47q{JnRNcqn>|*)7MB|0?#2r<j2jG`;1X
z$-zJ^r%HRii;WD}r%#0>pM}4&S<m8pivXXxR<-oCUGwGID3B^V4HnvQo>?(B{$pP^
z{-C<0VZf1iHtGA>Y&6UVjmkZF3tRe^<<a8qWNSCSIxPRp<fxrwCYlPqLK<bQzscI@
zB1O6U%BX6?$5n%jzzgd1LTBkwTtWBb{??}eS?$LJ4aFxtO$U+_6+QJNV>x^~VRN$1
z`en7+L!9^crYF(2xktL$<|AZGY&%!PNM~jGEGQl<(p_BHP9^u@$JoliI7W4Cu#a(-
znzsU8E?ALWThXvaaaG;@)q`$WVD2(4%FDbcGhm<Ssn`0cMf=nvV$D9+cqH??lw`1&
zT$>1j;c6AqZ5$RC`#=MnwmxN3|MaCwZCshoE9;yb87s6G!X;RrZ{bMyHbwS7K!4#-
zYCxW1YKd*7QCP-K#!?KoggH0g&#$#7e^3sg=o8US9Cm-_En7M*FC~fmbwdwXWH6pZ
z-}sO#%deo|zz1^|G}5XAh{sb}iQToXU3TLtb2KYEi!%im1s`Co?PgrsYS0t$<imLU
zKCkJj?)jr$N)m3oqTR+{jFyFY0~eze{4HW9M-Syr&*WMSf-d-14<-E<O*{6(#>`14
zHYrUjk6KGpF@ILtH0&L>s4y4Q+Z8Gd9YtG)%f4)cjEZ=i&c=zBH48uHrQ{Y;o6k?$
zI~F~N6jNQYijw5EQDj&uiZWk!Z`^IF5)-NR@U#$~(_q*UxXN6dj!3Q(;i!GY*L7W4
zvnGOI-GY-VT}%ethP_gB4`*o*BAH7Ia@v<DY#B<Fs<^Fv7^qRwx1^Pq&S03Bn=~}m
zwrF@AL&iELRVCMEcZHVK+(C`m?qBQhGhW}b=$rmwh01Z35=L0U;dx)r?O(2S0<M;u
z=l85~T{o!ChPt8or)TDziR)Y2)$tt|9a+vKM|D-7wu#@D%t@|l@`Lx5bJNjnE{kTi
zA+$>#Y6hodFBKR@IZQko)(maW5`KQ%U)*mYI)Ch;l31EG&I6oSWtL}=Pn?9fzU~k^
z#s~?kbDd+g?rI%x;;ZBve|Cj@@TxNM&YKw{vGW36{JAaG1V&oVDQ;I&GrBrGrPLxD
zMpdo9=)~c<?89G3#G)PjWY$?V)P_A?rKD~!k^|xW!y@lYI?{v_N+iqbTy``PU<p@n
z+a6%rQak5v@!VFKGtd9l`2NI?;b(1S;6BD+^+gxUV8y(TW?eV1GA|hxJbj>b;u@@D
z*S|ORcsrONdUqu5v@tQB#^a03Cz6xx>)ZT$t*!sXj$e?!@A&n{hHDT247uSN6w0Me
z3xz{9X*Fs8x|tgE@4U#()D&H;5u7pzdtC!vdtFWi2R-}W1XUU7zwHY~3kCwf{QP)0
zcJ{UiT?;%MUIAxoU41izJ*^(X$i$M5ey6sPp4P;Gk6r~L1CX&6LKvHfyV@cYTxAvY
zUCs322J`~_yv{t%7S<NXVQ8H#%q{JBocZW=4XpGKJjmnUWKMe8KUnO|_~^kLKz0}a
zNY9VMYinT0BQGraw?@b_K6+z&dutv}PA4ZP4ks{&m8}sc5DtfP0zjM~5Id5C-Ok0*
zUe}r3(vIQpJqRQ0^leS7?M<vKX@B>qt7qk4&qq&B`?r3r|I)9e9mgNQIP|S7IFT1P
zfgE7Y-yI>3d0yEf-?^iYu;rIA(YLj-vof@AE~HhlvNfOu0f2Dc-~9iR=Z_Xr2p1>h
zbvu4zdkb@Rdn<MWD}Cob8UJyKm-9EMzkvLk;D4d~OV|eb|ImiDgRS`=x-ih^M3^Hi
z5SI3KNaVmjkQ?ap=p$`sZ)MB>he8z)Hh&(No1nn@jRQ&i6VM-QoPTZn-^7Wu{6B#H
zlX{(Xt&t!Be}F_X@d*8iQqjuF{J+vLDjV-V2nb<adjvlS0ODc?0NH_DiU0r)7nBDC
zVg-PC003T26wW_d%2*kg7`ptQwEPR_f7f0}05UTFYfV^K{9PF`GCaao`VPM>DIv`7
z;9z3F0~Z0pghe5u>>%(906UkEAcUQp3(Cz7g>!LpalZfwzkqQ6A?81~{VgbxB4KG~
zuWPA~`0w=gm$v^xc-sF5ADsUOW6=I*kbg_d|54X})b(#^;NN2Yk9Yk?UH_H_{w?PJ
zc-OzDu0N-JWGRj;4*yZh^Z(Da0KyWv0B}N9`v1l91ooFDhp>sAwYjbfvb<3=u{TH1
z+S@uHey=c)eOT$4;^6=x+<)QzV}YV7k1*s^FmXlDA}?~PsM7*zxoAO}w4Cx*R`$pf
z0IfWygr%VsEfDm(E%HQIofjf1EDD6dMP2|vU_l6%(C=dDueB2Y|DFRmf~bkPJ;Ih#
z)Erq}3M2Hb3=n@`86g*0e_a?kCp`YHE>0{*)v*URa%6ZvJTfv=+8iCA!OBweS~oK_
zB1>K|N}i8cPR{Th+3p8FM$s6_mm>9yu`}=QJWemZCnz^>dPw_1GJ-6Pc9RZzd>-$A
zY8?~%tFh;ryYGMmCw8s2-=_Jaw+kNhZbY|8_`|n3l6!<{$w71T>TG_rtKin{2S2_R
zIbXd9m||%Vyikv+S4r@PcP(-=QhB!u$566cVy%F7a-8o<YyqxWGpL9pVJRAS!s$jH
zc<D^gs|uh~Dyll7oA11(@_3()Rjs1)gS1o1*L}qE=WQxwOsQw{`9t-^6ze$1-<D}?
zy_*UhxVm41neyY&fwsR6OxoP9D-F<I3My3QcLV}A^+>~nY}xXS-+d~g4W^JjvU{S(
zBweEQwEta@)WC<k1s4K#%u;n^K?8$~PbQ~5&=MI2)bI3j2o*oV@NB+|h?DqMo}>+6
zxP6g%U#xqJ@TmOhvsP>@;Xse~HTR;DyrpZ*s?by42bQ0kWboBvNXGD}JKb7039vZ5
zYw^H3e4*@^pc(m_c-TFkN4f)Ob7BkrNit8%8odF9bdSf9?!KhSV1E-TU0oY!WA~jh
zCCae+FnfLxz}4E)i!1lEFp%TnhOZ69TI_4u&$K>+$Av6@6?)X(btAE98s&m`9kb`#
zf%A$kjhl`M*FVL=%>Jd*JKG`*@o)f0kA)-u{NqClg+Ra%+TWM{_5mV;<M)Tw@*gxH
z2<g)(G%g5ojgLZuL2tALL&3<+(*Kzc41?Y14-A9DZ}7pP$eqLgxh)p}d}9nQ5cdr%
zTww5x{*XJ0-@w8Jf!!Q~8+5Zj`0owjQLw<dZ_psXoA@9g;0<{pTwFKCg+Ku}WP@;n
zZ}P!mH~64{n{A;$7&86*GiE60rW{ZR;D%nH(3`SB;lI<_KlcX%+_WVO2)H3H3<SHO
zD;SsydG80MKM4FLAN+=FK%|-hC~bj2WD2}VyI~I?5C%XU14)CSVgVvo?>G2BV9<>*
zkO6dq4+4eU;DZBh#0PTEdl;(jkvEW_sCq`;&;g_30|CJQf)B!lIxYwRgWqTi1aPD3
z59t{<;td3WKv3fd1n0gX2N(e4LbW*<41wRIal=q!3k-vRQRM~0xNqnl8Rj?o;{pS3
z#6A~{8;mL&7dP-mOd~_^1|L#;K-73cM&%8BP~c79fI@*c+d{!`RM}tvzzrXQ0l+tM
zEDU@z|G~IGH|zo9hTYIT3=X&vTijeX{RLTs-0(kcIP3-%I5J96?S}Ny8@>jI0ih_d
zfV^SL_4|bxe~oh_4aS9{7a#x*1flpEk_Nij9~^|5BanRmVhm);Mu`O^9}G2SfIy^Z
zsF;CVAUKK-A&q-uuK1lIQ1b?ohD_ur@**P()t`YNC=7M31%g3fR9{2VZp@*`WB>-B
z>JN-`K$JK~iUC56b0m!mh-wccjSI!TNWL5M(Qg{+ynv)3-|dGYFBj6CQEkZu2SQL{
z3&;iMf}-RIBoh}msvO9;yfH3v%7dWtL6MGyDhHGcj+%>s(3`mq2!#W0*z$LQjw%}r
zf;1+Iyf6qHiYhNR(kW5pMW&$}@^V9voGATqBXbF=Y{=;YwSED@0dQ{Aw#ZPpp#!8C
zH^xOGhTUij1EJ<bAhOy(^%rD8gM7;I&zM2T42!BOB#j$2Ux9!~7e~<xa!>&3xJcTK
zSOtNR6F-VxkTfpTTn9qVAE>%Q(vVs}!HlG#+8hMt1^`g;L6Fa_ZqQ&LC@L1DXQ1jH
z8Tw$<SO7sG$gufmEMR0*a-sMdm<#!zF(^3<NrR%+K42&S0z{GRH|<~Xq0UE0J~(Q<
zhE%~#EJzwRDi&_=jhqPP217xA$$$2?x+dlbTjZlU-oLMz;s5s+%6~3}b#3kcT=yV7
z4h#n3;XHmU@=_EJ=kJRl03Oc&A9$RvY!QyMf1=|2eLF$H-U500TXQ#%BUe?Rzajr0
D=5)Dx

literal 0
HcmV?d00001


From 562622dccb94e596e831d0257e1294a77efefdad Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Egor Ivanov <56685477+sibenshtern@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 14 Jan 2024 11:55:39 +0000
Subject: [PATCH 7/7] change some errors in markdown

---
 doc/Theory.html | 1387 -----------------------------------------------
 doc/Theory.md   | 1352 ---------------------------------------------
 doc/theory.md   |   23 +-
 3 files changed, 10 insertions(+), 2752 deletions(-)
 delete mode 100644 doc/Theory.html
 delete mode 100644 doc/Theory.md

diff --git a/doc/Theory.html b/doc/Theory.html
deleted file mode 100644
index f40dda1..0000000
--- a/doc/Theory.html
+++ /dev/null
@@ -1,1387 +0,0 @@
-<!DOCTYPE html>
-    <html>
-    <head>
-        <meta charset="UTF-8">
-        <title>&Tcy;&iecy;&ocy;&rcy;&icy;&yacy; &pcy;&ocy; &acy;&lcy;&gcy;&ocy;&rcy;&icy;&tcy;&mcy;&acy;&mcy;</title>
-        <style>
-/* From extension vscode.github */
-/*---------------------------------------------------------------------------------------------
- *  Copyright (c) Microsoft Corporation. All rights reserved.
- *  Licensed under the MIT License. See License.txt in the project root for license information.
- *--------------------------------------------------------------------------------------------*/
-
-.vscode-dark img[src$=\#gh-light-mode-only],
-.vscode-light img[src$=\#gh-dark-mode-only] {
-	display: none;
-}
-
-/* From extension ezrafree.markdown-preview */
-.vscode-body {
-  box-sizing: border-box;
-  margin: 0 auto;
-  max-width: 838px;
-  min-width: 320px;
-  padding: 20px 40px;
-}
-
-/* tables */
-
-.vscode-body table {
-  margin-bottom: 12px;
-}
-
-.vscode-body th,
-.vscode-body td {
-  border: 1px solid;
-}
-
-.vscode-body td {
-  vertical-align: top;
-}
-
-/* blockquotes */
-
-.vscode-body blockquote {
-  margin: 12px 0 12px 0 !important;
-  padding: 5px 16px 5px 10px !important;
-}
-
-.vscode-body blockquote p:last-child {
-  margin-bottom: 0;
-}
-
-/* checkboxes */
-
-.vscode-dark input.task-list-item-checkbox[type="checkbox"]:focus {
-  outline: 1px solid rgba(0, 0, 0, 0.2);
-}
-.vscode-light input.task-list-item-checkbox[type="checkbox"]:focus {
-  outline: 1px solid rgba(255, 255, 255, 0.2);
-}
-
-.vscode-body input.task-list-item-checkbox[type="checkbox"] {
-  background-color: var(--vscode-icon-foreground, #ddd);
-  border-radius: .14rem;
-  appearance: none;
-  -webkit-appearance: none;
-  -moz-appearance: none;
-  width: 1.2rem;
-  height: 1.2rem;
-  cursor: pointer;
-  position: relative;
-  top: .14rem;
-}
-
-.vscode-body input.task-list-item-checkbox[type="checkbox"]:checked {
-  background-color: var(--vscode-editorInfo-foreground, #409fd6);
-  background: var(--vscode-editorInfo-foreground, #409fd6)
-    url("data:image/gif;base64,R0lGODlhCwAKAIABAP////3cnSH5BAEKAAEALAAAAAALAAoAAAIUjH+AC73WHIsw0UCjglraO20PNhYAOw==")
-    3px 3px no-repeat;
-}
-
-.vscode-body input.task-list-item-checkbox[type="checkbox"]:disabled {
-  cursor: default;
-}
-
-/* kbd elements */
-
-.vscode-body kbd {
-  background-color: var(--vscode-editor-background, #444d56) !important;
-  border: solid 1px #5e6a77 !important;
-  border-radius: 3px !important;
-  border-bottom-color: #565c62 !important;
-  box-shadow: inset 0 -1px 0 rgb(0 0 0 / 33%),
-    inset 0 1px 0 #6f7e8d !important;
-  color: var(--vscode-editor-foreground, #fafbfc) !important;
-  padding: 5px 8px !important;
-  display: inline-block;
-  font: 11px "SFMono-Regular", Consolas, "Liberation Mono", Menlo, Courier, monospace;
-  line-height: 10px;
-  vertical-align: middle;
-}
-
-</style>
-        <link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex/dist/katex.min.css">
-<link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex-copytex@latest/dist/katex-copytex.min.css" rel="stylesheet" type="text/css">
-        <link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/gh/Microsoft/vscode/extensions/markdown-language-features/media/markdown.css">
-<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/gh/Microsoft/vscode/extensions/markdown-language-features/media/highlight.css">
-<style>
-            body {
-                font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'Segoe WPC', 'Segoe UI', system-ui, 'Ubuntu', 'Droid Sans', sans-serif;
-                font-size: 14px;
-                line-height: 1.6;
-            }
-        </style>
-        <style>
-.task-list-item {
-    list-style-type: none;
-}
-
-.task-list-item-checkbox {
-    margin-left: -20px;
-    vertical-align: middle;
-    pointer-events: none;
-}
-</style>
-        
-    </head>
-    <body class="vscode-body vscode-light">
-        <h1 id="теория-по-алгоритмам-">Теория по алгоритмам <!-- omit in $to$ c --></h1>
-<h2 id="содержание">Содержание</h2>
-<ul>
-<li><a href="#%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0%D0%BC-">Теория по алгоритмам </a>
-<ul>
-<li><a href="#%D1%81%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5">Содержание</a></li>
-<li><a href="#1-%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D1%8B-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B0">1. Обходы графа</a>
-<ul>
-<li><a href="#11-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84-%D0%BF%D1%81%D0%B5%D0%B2%D0%B4%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84-%D0%BF%D1%81%D0%B5%D0%B2%D0%B4%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%B2-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D1%81%D0%BB%D0%B0%D0%B1%D0%B0%D1%8F-%D0%B8-%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%B2-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D1%81%D0%BB%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84">Ориентированный граф</a></li>
-<li><a href="#%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84">Неориентированный граф</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#12-%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4-%D0%B2-%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83-%D1%86%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B0-%D0%B2%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0-%D0%B8-%D0%B2%D1%8B%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0-%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85-%D0%BF%D1%83%D1%82%D1%8F%D1%85-%D1%81-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%BC">1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4-%D0%B2-%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83">Обход в глубину</a></li>
-<li><a href="#%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85-%D0%BF%D1%83%D1%82%D1%8F%D1%85">Лемма о белых путях</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#13-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%B0-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%B2-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B8-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5-%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0">1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%B0-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B0">Проверка связности неориентированного графа</a></li>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%B2-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B8-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5">Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе</a></li>
-<li><a href="#%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0">Топологическая сортировка</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#14-%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82-%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B9%D1%8E-%D1%81-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%BC-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%86%D0%B8%D1%8F-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8C%D1%8F%D0%BD%D0%B0-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82-%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Нахождение компонент сильной связности</a></li>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B9%D1%8E-%D1%81-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%BC-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%86%D0%B8%D1%8F">Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция)</a></li>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8C%D1%8F%D0%BD%D0%B0-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#15-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2">1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Компоненты реберной двусвязности</a></li>
-<li><a href="#%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B">Мосты</a></li>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2">Поиск мостов</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#16-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8-%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BA-%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F">1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Компоненты вершинной двусвязности</a></li>
-<li><a href="#%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8-%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F">Точки сочленения</a></li>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BA-%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F">Поиск точек сочленения</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#17-%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4-%D0%B2-%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%83-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8-%D0%B2-%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BC-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B5">1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC">Волновой алгоритм</a></li>
-<li><a href="#%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4-%D0%B2-%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%83-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8-%D0%B2-%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BC-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B5">Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#18-%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9-%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B8-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%B2-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B8-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B8-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0">1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9-%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B8-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%B2-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5">Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе</a></li>
-<li><a href="#%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9-%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B8-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%B2-%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5">Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе</a></li>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B8-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0">Поиск эйлерова пути и цикла</a></li>
-</ul>
-</li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#2-%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B0">2. Планарность графа</a>
-<ul>
-<li><a href="#21-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%BD%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0-%D0%BA%D1%83%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%B2%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0">2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0-%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0">Формула Эйлера</a></li>
-<li><a href="#%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%BD%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0-%D0%BA%D1%83%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE">Теорема Портнягина-Куратовского</a></li>
-<li><a href="#%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%B2%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0">Теорема Вагнера</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#22-%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0">2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC">Гамма алгоритм</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#23-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0">2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0">Теорема о корректности Гамма алгоритма</a></li>
-</ul>
-</li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#3-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B2%D0%BE-%D0%B2%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5">3. Кратчайшие пути во взвешенном графе</a>
-<ul>
-<li><a href="#31-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%81-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%BC-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B8%D1%85-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B5%D0%B9">3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B">Алгоритм Дейкстры</a></li>
-<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8">Доказательство корректности</a></li>
-<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B">Оценка времени работы</a></li>
-<li><a href="#%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B8%D1%85-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B5%D0%B9">Дерево кратчайших путей</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#32-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8B-%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB-piv--rhov-t">3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>p</mi><mi>i</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>r</mi><mi>h</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\\pi(v) = \\rho(v, t)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="mspace newline"></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace newline"></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8B">Потенциалы</a></li>
-<li><a href="#%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80">Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер</a></li>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB-piv--rhov-t">Потенциал <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>p</mi><mi>i</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mspace linebreak="newline"></mspace><mi>r</mi><mi>h</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\\pi(v) = \\rho(v, t)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="mspace newline"></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace newline"></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#33-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-a-%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B5-%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B0-%D1%8D%D0%B2%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D1%83-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D1%8B-%D1%8D%D0%B2%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA">3.3. Алгоритм A*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-a">Алгоритм A*</a></li>
-<li><a href="#%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D1%8B-%D1%8D%D0%B2%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA">Примеры эвристик</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#34-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0-%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B2-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B5-d_vk-%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE-%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B5%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B4%D0%BE-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D1%8B-v-%D0%B7%D0%B0-%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE-k-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80-%D0%BD%D0%B5-%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B5-k-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B">3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>D</mi><mi mathvariant="normal">_</mi><mrow><mi>v</mi><mi>k</mi></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D\_{vk}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0044em;vertical-align:-0.31em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="mord" style="margin-right:0.02778em;">_</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span></span> равно длине кратчайшего пути до вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> за ровно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> ребер (не более <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B5">Доказательство корректности(полное)</a></li>
-<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-1">Оценка времени работы</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#35-%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B4%D0%B5%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B2%D0%B5%D1%81%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0">3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8">Восстановление пути</a></li>
-<li><a href="#%D0%B4%D0%B5%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B2%D0%B5%D1%81%D0%B0">Детектирование цикла отрицательного веса</a></li>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D1%81%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0">Поиск самого цикла</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#36-%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B8%D1%85-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B5%D0%B9-%D1%81-%D1%83%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%BC-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B2%D0%B5%D1%81%D0%B0">3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса</a></li>
-<li><a href="#37-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%84%D0%BB%D0%BE%D0%B9%D0%B4%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%86%D0%B8%D1%8F-%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8">3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%84%D0%BB%D0%BE%D0%B9%D0%B4%D0%B0">Алгоритм Флойда</a></li>
-<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%86%D0%B8%D1%8F">Доказательство (концепция)</a></li>
-<li><a href="#%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-1">Восстановление пути</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#38-%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B2%D0%B5%D1%81%D0%B0">3.8. Нахождение цикла отрицательного веса</a></li>
-<li><a href="#39-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B6%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%84%D0%B8%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8F-%D0%B8-%D1%84%D0%B8%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0">3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B6%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0">Алгоритм Джонсона</a></li>
-<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%84%D0%B8%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8F-%D0%B8-%D1%84%D0%B8%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%80-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%B0-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0">Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана</a></li>
-</ul>
-</li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#4-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8C%D1%8F">4. Остовные деревья</a>
-<ul>
-<li><a href="#41-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E-%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0-%D0%B2-%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83-%D0%B8-%D0%B2-%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%83">4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE">Остовное дерево</a></li>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E-%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B0-%D0%B2-%D0%B3%D0%BB%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%83-%D0%B8-%D0%B2-%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%83">Построение с помощью обхода в глубину и в ширину</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#42-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0">4.2. Определение минимального остовного дерева</a></li>
-<li><a href="#43-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE">4.3. Теорема о разрезе. Доказательство</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5">Теорема о разрезе</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#44-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%BE%D0%BC-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9-%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8-%D1%81-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%BC-%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%BA%D1%83%D1%87%D0%B0-%D1%84%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%B0-%D0%BA%D1%83%D1%87%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0">4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B0">Алгоритм Прима</a></li>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%BE%D0%BC-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B">Аналогия с алгоритмом Дейкстры</a></li>
-<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9-%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8-%D1%81-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%BC-%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D0%BA%D1%83%D1%87%D0%B0-%D1%84%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%B0-%D0%BA%D1%83%D1%87%D0%B0">Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#45-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B-%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5">4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8B-%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5">Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#46-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B">4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0">Алгоритм Краскала</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-1">Доказательство корректности</a></li>
-<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-2">Оценка времени работы</a></li>
-</ul>
-</li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#47-%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B8%D1%85%D1%81%D1%8F-%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2-%D1%8D%D0%B2%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B2-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0-%D1%8D%D0%B2%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0-%D1%81%D0%B6%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D1%87%D1%82%D0%B8-%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8F-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B">4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы</a></li>
-<li><a href="#48-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%BA%D0%B8-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B">4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство(полное). Оценка времени работы</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%BA%D0%B8">Алгоритм Борувки</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-3">Оценка времени работы</a></li>
-</ul>
-</li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#49-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%8F%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B0-%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D1%8C%D1%8E-%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0">4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#5-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B8-%D0%B2-%D1%81%D0%B5%D1%82%D1%8F%D1%85">5. Потоки в сетях</a>
-<ul>
-<li><a href="#51-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0-%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8-%D0%BA%D0%B8%D1%80%D1%85%D0%B3%D0%BE%D1%84%D0%B0-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0-%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7">5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8">Определение сети</a></li>
-<li><a href="#%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0">Определение потока</a></li>
-<li><a href="#%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8-%D0%BA%D0%B8%D1%80%D1%85%D0%B3%D0%BE%D1%84%D0%B0">Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа</a></li>
-<li><a href="#%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B0">Определение разреза</a></li>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0-%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7">Понятия потока через разрез</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#52-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0-%D1%87%D1%82%D0%BE-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA-%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7-%D0%BB%D1%8E%D0%B1%D0%BE%D0%B9-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7-%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B9">5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый</a></li>
-<li><a href="#53-%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8-%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5-%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8F%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%83%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F-%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8F%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0">5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8">Понятие остаточной сети</a></li>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B5-%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8F%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8">Понятие дополняющего пути</a></li>
-<li><a href="#%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%83%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F-%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8F%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D1%83%D1%82%D0%B8-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0">Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#54-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D1%84%D0%B0%D0%BB%D0%BA%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0">5.4. Теорема Форда-Фалкерсона</a></li>
-<li><a href="#55-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D1%84%D0%B0%D0%BB%D0%BA%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0-%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B0-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8-%D0%B2-%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BC-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%B5%D1%82-%D0%B4%D0%BE%D0%BB%D0%B3%D0%BE">5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0-%D1%84%D0%B0%D0%BB%D0%BA%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0">Алгоритм Форда-Фалкерсона</a></li>
-<li><a href="#%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA-%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B0">Поиск минимального разреза</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#56-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%8D%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D1%81%D0%B0-%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%BF%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D1%87%D1%82%D0%BE-%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%87%D0%B0%D0%B9%D1%88%D0%B5%D0%B5-%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B2-%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B5%D1%82%D0%B8-%D0%BD%D0%B5-%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B0%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F">5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D1%8D%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D1%81%D0%B0-%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%BF%D0%B0">Алгоритм Эдмондса-Карпа</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#57-%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B0%D1%8F-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B0-%D1%8D%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D1%81%D0%B0-%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%BF%D0%B0">5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа</a></li>
-<li><a href="#58-%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%8F-%D1%81%D0%B5%D1%82%D1%8C-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0-%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0">5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%8F-%D1%81%D0%B5%D1%82%D1%8C">Слоистая сеть</a></li>
-<li><a href="#%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC-%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0">Алгоритм Диница</a></li>
-<li><a href="#%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8-%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B-%D0%B1%D0%B5%D0%B7-%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0">Оценка времени работы без доказательства</a></li>
-</ul>
-</li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#6-rmq-sparse-table-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2-lca-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BF%D0%BE-%D0%BD%D0%B5%D1%8F%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D1%83">6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу</a>
-<ul>
-<li><a href="#61-rsq-%D0%B8-rmq-sparse-table">6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table</a>
-<ul>
-<li><a href="#rsq-%D0%B8-rmq">RSQ и RMQ.</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#62-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D1%82-%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%8C%D0%B5%D0%B2-%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D1%82-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8F">6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2">Дерево отрезков</a></li>
-<li><a href="#%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D1%82-%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%8C%D0%B5%D0%B2-%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0-%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B2-%D0%BE%D1%82-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8F">Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#63-%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B2-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B5-%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2-%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8">6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B2-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B5-%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B0-%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2">Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.</a></li>
-<li><a href="#%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8">Множественные операции</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#64-lca-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4-%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D1%91%D0%BC%D0%B0">6.4. LCA. Метод двоичного подъёма</a>
-<ul>
-<li><a href="#lca">LCA</a></li>
-<li><a href="#%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4-%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D1%91%D0%BC%D0%B0">Метод двоичного подъёма</a></li>
-</ul>
-</li>
-<li><a href="#65-%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BF%D0%BE-%D0%BD%D0%B5%D1%8F%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D1%83-%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%84%D0%B5%D0%B9%D1%81-%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0-%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF-%D0%BA-%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83-%D0%B2-%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B8-i-%D0%B2%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0-%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0-%D0%B2-%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D0%B8%D1%8E-i-%D1%83%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0-%D0%B8%D0%B7-%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B8-i-%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%B2-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0-%D0%BD%D0%B0-%D0%B4%D0%B2%D0%B0">6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два</a>
-<ul>
-<li><a href="#%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE-%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE-%D0%BF%D0%BE-%D0%BD%D0%B5%D1%8F%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D1%83">Декартово дерево по неявному ключу</a></li>
-<li><a href="#%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%84%D0%B5%D0%B9%D1%81-%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0">Интерфейс быстрого массива</a></li>
-<li><a href="#%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%B2">Конкатенация двух массивов</a></li>
-<li><a href="#%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%B0-%D0%BD%D0%B0-%D0%B4%D0%B2%D0%B0">Разделение массива на два</a></li>
-</ul>
-</li>
-</ul>
-</li>
-</ul>
-</li>
-</ul>
-<h2 id="1-обходы-графа">1. Обходы графа</h2>
-<h3 id="11-ориентированный-граф-псевдограф-неориентированный-граф-псевдограф-связность-в-неориентированном-графе-компоненты-связности-слабая-и-сильная-связность-в-ориентированном-графе-компоненты-слабой-сильной-связности">1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности</h3>
-<h4 id="ориентированный-граф">Ориентированный граф</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Ориентированным графом</strong> (англ. <em>directed graph</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> называется пара <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G = (V, E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество вершин (англ. vertices), а <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi><mo>⊂</mo><mi>V</mi><mo>×</mo><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E \subset V \times V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">⊂</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество рёбер.</p>
-</blockquote>
-<blockquote>
-<p><strong>Псевдограф(<em>мультиорграф</em>)</strong> — это ориентированный граф, в котором разрешены кратные дуги, то есть дуги, имеющие те же начальные и конечные вершины.</p>
-</blockquote>
-<p><strong>Псевдографом</strong> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> называется упорядоченная пара <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G := (V, A)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, в которой <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество вершин, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span> — мультимножество упорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются дугами.</p>
-<blockquote>
-<p>Ориентированный граф называется <strong>слабо связным</strong>, если соответствующий неориентированный граф является связным;</p>
-</blockquote>
-<blockquote>
-<p>Ориентированный граф называется <strong>сильно связным</strong>, если всякая вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> достижима из любой другой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>;</p>
-</blockquote>
-<blockquote>
-<p><strong>Компонентой сильной связности</strong> ориентированного графа называется максимальный по включению сильно связный подграф. Другими словами, это подграф, любые две вершины которого принадлежат какому-либо циклу, и содержащий все такие циклы для своих вершин.</p>
-</blockquote>
-<blockquote>
-<p><strong>Компонентой слабой связности</strong> ориентированного графа называют его максимальный слабо связный подграф.</p>
-</blockquote>
-<h4 id="неориентированный-граф">Неориентированный граф</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Неориентированным графом</strong> (англ. <em>undirected graph</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> называется пара <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G = (V, E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество вершин, а <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi><mo>⊂</mo><mrow><mrow><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi></mrow><mo>:</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>V</mi></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E \subset {{v,u} : v,u \in V}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">⊂</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span></span> — множество рёбер.</p>
-</blockquote>
-<p>Формально, псевдографом (<em>мультифграфом</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> называется упорядоченная пара <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G := (V, E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, в которой <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество вершин, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span> — мультимножество неупорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются рёбрами.</p>
-<blockquote>
-<p>Неориентированный граф называется <em>связным</em>, если все его вершины достижимы из некоторой вершины (эквивалентно, из любой его вершины).</p>
-</blockquote>
-<blockquote>
-<p><strong>Компонентой связности</strong> неориентированного графа называется максимальный по включению связный подграф</p>
-</blockquote>
-<h3 id="12-обход-в-глубину-цвета-вершин-времена-входа-и-выхода-лемма-о-белых-путях-с-доказательством">1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)</h3>
-<h4 id="обход-в-глубину">Обход в глубину</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Обход в глубину</strong> (поиск в глубину, англ. <em>Depth-First Search</em>, <em>DFS</em>) — один из основных методов обхода графа, часто используемый для проверки связности, поиска цикла и компонент сильной связности и для топологической сортировки.</p>
-</blockquote>
-<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-meta">#<span class="hljs-keyword">include</span> <span class="hljs-string">&lt;vector&gt;</span></span>
-
-std::vector&lt;std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt;&gt; graph; <span class="hljs-comment">// граф</span>
-<span class="hljs-type">int</span> vertex_count; <span class="hljs-comment">// число вершин</span>
-
-std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; color; <span class="hljs-comment">// цвет вершины (0, 1, или 2)</span>
-
-std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; time_in, time_out; <span class="hljs-comment">// &quot;времена&quot; захода и выхода из вершины</span>
-<span class="hljs-type">int</span> dfs_timer = <span class="hljs-number">0</span>; <span class="hljs-comment">// &quot;таймер&quot; для определения времён</span>
-
-<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">dfs</span> <span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> vertex)</span> </span>{
-  time_in[vertex] = dfs_timer++;
-  color[vertex] = <span class="hljs-number">1</span>;
-  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> u : graph[vertex])
-    <span class="hljs-keyword">if</span> (color[u] == <span class="hljs-number">0</span>)
-      <span class="hljs-built_in">dfs</span>(u);
-  color[v] = <span class="hljs-number">2</span>;
-  time_out[v] = dfs_timer++;
-}
-</code></pre>
-<h4 id="лемма-о-белых-путях">Лемма о белых путях</h4>
-<blockquote>
-<p>Лемма: Не существует такого момента выполнения поиска в глубину, в который бы существовало ребро из черной вершины в белую.</p>
-</blockquote>
-<p><strong>Доказательство</strong>: Пусть в процессе выполнения процедуры DFS нашлось ребро из черной вершины  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в белую вершину u. Рассмотрим момент времени, когда мы запустили DFS(v). В этот момент вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> была перекрашена из белого в серый, а вершина u была белая. Далее в ходе выполнения алгоритма будет запущен DFS(u), поскольку обход в глубину обязан посетить все белые вершины, в которые есть ребро из v. По алгоритму вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> будет покрашена в черный цвет тогда, когда завершится обход всех вершин, достижимых из нее по одному ребру, кроме тех, что были рассмотрены раньше нее. Таким образом, вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> может стать черной только тогда, когда DFS выйдет из вершины u, и она будет покрашена в черный цвет. Получаем противоречие.</p>
-<h3 id="13-проверка-связности-неориентированного-графа-поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе-топологическая-сортировка">1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка</h3>
-<h4 id="проверка-связности-неориентированного-графа">Проверка связности неориентированного графа</h4>
-<p>Небольшая модификация алгоритма обхода в глубину, в которой будем возвращать количество посещенных вершин. Запустим такой <strong>DFS</strong> от некоторой вершины графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, если его результат равен <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span></span></span></span>, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен, иначе какие-то вершины остались непосещенными. Работает алгоритм за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>E</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(|V|+|E|)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mord">∣</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></p>
-<pre><code class="language-c++">std::vector&lt;std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt;&gt; graph; <span class="hljs-comment">// граф</span>
-
-<span class="hljs-comment">// visited — массив цветов вершин  </span>
-<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">int</span> <span class="hljs-title">dfs</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> vertex, std::vector&lt;<span class="hljs-type">bool</span>&gt; visited)</span>:              
-  int visitedVertices =</span> <span class="hljs-number">1</span>
-  visited[vertex] = <span class="hljs-literal">true</span> <span class="hljs-comment">// помечаем вершину как пройденную</span>
-  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">auto</span> u : graph[vertex]) <span class="hljs-comment">// проходим по смежным с u вершинам</span>
-    <span class="hljs-comment">// проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине</span>
-    <span class="hljs-keyword">if</span> (!visited[v])
-      visitedVertices += <span class="hljs-built_in">dfs</span>(v, visited)
-    <span class="hljs-keyword">return</span> visitedVertices
-</code></pre>
-<h4 id="поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе">Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе</h4>
-<p><em>Условие:</em></p>
-<p>Пусть дан ориентированный или неориентированный граф без петель и кратных рёбер. Требуется проверить, является ли он ациклическим, а если не является, то найти любой цикл.</p>
-<p><em>Решение:</em></p>
-<p>Произведём серию поисков в глубину в графе. Т.е. из каждой вершины, в которую мы ещё ни разу не приходили, запустим поиск в глубину, который при входе в вершину будет красить её в серый цвет, а при выходе - в чёрный. И если поиск в глубину пытается пойти в серую вершину, то это означает, что мы нашли цикл (если граф неориентированный, то случаи, когда поиск в глубину из какой-то вершины пытается пойти в предка, не считаются).</p>
-<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-meta">#<span class="hljs-keyword">include</span> <span class="hljs-string">&lt;iostream&gt;</span></span>
-<span class="hljs-meta">#<span class="hljs-keyword">include</span> <span class="hljs-string">&lt;vector&gt;</span></span>
-
-<span class="hljs-type">int</span> n;
-std::vector&lt;vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt;&gt; graph;
-std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; color;
-std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; parent;
-<span class="hljs-type">int</span> cycle_start, cycle_end;
-
-<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">bool</span> <span class="hljs-title">dfs</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> vertex)</span> </span>{
-  color[vertex] = <span class="hljs-number">1</span>;
-  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">size_t</span> i = <span class="hljs-number">0</span>; i &lt; graph[vertex].<span class="hljs-built_in">size</span>(); ++i) {
-    <span class="hljs-type">int</span> $to$  = graph[vertex][i];
-    <span class="hljs-keyword">if</span> (color[to] == <span class="hljs-number">0</span>) {
-      parent[to] = vertex;
-      <span class="hljs-keyword">if</span> (<span class="hljs-built_in">dfs</span>(to)) <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-literal">true</span>;
-    }
-    <span class="hljs-keyword">else</span> <span class="hljs-keyword">if</span> (color[to] == <span class="hljs-number">1</span>) {
-      cycle_end = vertex;
-      cycle_start = $to$ ;
-      <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-literal">true</span>;
-    }
-  }
-  color[vertex] = <span class="hljs-number">2</span>;
-  <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-literal">false</span>;
-}
-
-<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">int</span> <span class="hljs-title">main</span><span class="hljs-params">()</span> </span>{
-  <span class="hljs-comment">// чтение графа</span>
-
-  parent.<span class="hljs-built_in">assign</span>(n, <span class="hljs-number">-1</span>);
-  color.<span class="hljs-built_in">assign</span>(n, <span class="hljs-number">0</span>);
-  cycle_start = <span class="hljs-number">-1</span>;
-  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> i = <span class="hljs-number">0</span>; i &lt; n; ++i)
-    <span class="hljs-keyword">if</span> (<span class="hljs-built_in">dfs</span>(i))
-      <span class="hljs-keyword">break</span>;
-
-  <span class="hljs-keyword">if</span> (cycle_st == <span class="hljs-number">-1</span>)
-    std::cout &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;Acyclic&quot;</span> &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;\n&quot;</span>;
-  <span class="hljs-keyword">else</span> {
-    std::cout &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;Cyclic&quot;</span> &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;\n&quot;</span>;
-    std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; cycle;
-    cycle.<span class="hljs-built_in">push_back</span>(cycle_start);
-    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> vertex = cycle_end; vertex != cycle_start; vertex = parent[vertex])
-      cycle.<span class="hljs-built_in">push_back</span>(vertex);
-    cycle.<span class="hljs-built_in">push_back</span>(cycle_start);
-    <span class="hljs-built_in">reverse</span>(cycle.<span class="hljs-built_in">begin</span>(), cycle.<span class="hljs-built_in">end</span>());
-    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">size_t</span> i = <span class="hljs-number">0</span>; i &lt; cycle.<span class="hljs-built_in">size</span>(); ++i)
-      std::cout &lt;&lt; cycle[i]+<span class="hljs-number">1</span> &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot; &quot;</span>;
-  }
-}
-</code></pre>
-<h4 id="топологическая-сортировка">Топологическая сортировка</h4>
-<p><em>Условие:</em>
-Дан ориентированный граф с n вершинами и m рёбрами. Требуется перенумеровать его вершины таким образом, чтобы каждое рёбро вело из вершины с меньшим номером в вершину с большим. Иными словами, требуется найти перестановку вершин (топологический порядок), соответствующую порядку, задаваемому всеми рёбрами графа.
-(<strong>Топологическая сортировка</strong> - упорядочивание вершин ациклического ориентированного графа согласно частичному порядку, заданному ребрами орграфа на множестве его вершин.)
-Топологическая сортировка может быть не единственной (например, если граф — пустой; или если есть три такие вершины <code>a</code>, <code>b</code>, <code>c</code>, что из <code>a</code> есть пути в <code>b</code> и в <code>c</code>, но ни из <code>b</code> в <code>c</code>, ни из <code>c</code> в <code>b</code> добраться нельзя).</p>
-<p>Топологической сортировки может не существовать вовсе — если граф содержит циклы (поскольку при этом возникает противоречие: есть путь и из одной вершины в другую, и наоборот).</p>
-<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-meta">#<span class="hljs-keyword">include</span> <span class="hljs-string">&lt;vector&gt;</span></span>
-
-<span class="hljs-type">int</span> n; <span class="hljs-comment">// число вершин</span>
-std::vector&lt;std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt;&gt; graph; <span class="hljs-comment">// граф</span>
-std::vector&lt;<span class="hljs-type">bool</span>&gt; visited;
-std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; $to$ pological_sort;
-
-<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">dfs</span> <span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> vertex)</span> </span>{
-  visited[vertex] = <span class="hljs-literal">true</span>;
-  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> u : graph[vertex])
-    <span class="hljs-keyword">if</span> (!visited[u] == <span class="hljs-number">0</span>)
-      <span class="hljs-built_in">dfs</span>(u);
-  $to$ pological_sort.<span class="hljs-built_in">push_back</span>(vertex);
-}
-
-<span class="hljs-type">void</span> $to$ <span class="hljs-built_in">pological_sort</span>() {
-  visited.<span class="hljs-built_in">assign</span>(n, <span class="hljs-literal">false</span>);
-  answer.<span class="hljs-built_in">clear</span>();
-  <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> i = <span class="hljs-number">0</span>; i &lt; n; ++i)
-    <span class="hljs-keyword">if</span> (!visited[i])
-      <span class="hljs-built_in">dfs</span>(i);
-  <span class="hljs-built_in">reverse</span>(answer.<span class="hljs-built_in">begin</span>(), answer.<span class="hljs-built_in">end</span>());
-}
-</code></pre>
-<h3 id="14-нахождение-компонент-сильной-связности-алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция-алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности">1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности</h3>
-<h4 id="нахождение-компонент-сильной-связности">Нахождение компонент сильной связности</h4>
-<p><em>Условие:</em></p>
-<p>Дан ориентированный граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, множество вершин которого <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> и множество рёбер — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span>. Петли и кратные рёбра допускаются. Обозначим через <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> количество вершин графа, через <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>m</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">m</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span></span></span></span> — количество рёбер.</p>
-<p><em>Решение:</em></p>
-<p>Напомним, что <strong>компонентой сильной связности</strong> (<em>strongly connected component</em>) называется такое (максимальное по включению) подмножество вершин $C4, что любые две вершины этого подмножества достижимы друг из друга, т.е. для любых $u,  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> \in C: u \rightarrow v,  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> \rightarrow u$, где символом <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>→</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rightarrow</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.3669em;"></span><span class="mrel">→</span></span></span></span> здесь и далее мы будем обозначать достижимость, т.е. существование пути из первой вершины во вторую. Понятно, что компоненты сильной связности для данного графа не пересекаются, т.е. фактически это разбиение всех вершин графа. Отсюда логично определение конденсации G как графа, получаемого из данного графа сжатием каждой компоненты сильной связности в одну вершину. Каждой вершине графа конденсации соответствует компонента сильной связности графа G, а ориентированное ребро между двумя вершинами <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>C</mi><mi>i</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C_i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>C</mi><mi>j</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C_j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> графа конденсации проводится, если найдётся пара вершин u из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>C</mi><mi>i</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C_i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>C</mi><mi>j</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C_j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, между которыми существовало ребро в исходном графе, т.е. <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(u, v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span>.</p>
-<p>Важнейшим свойством графа конденсации является то, что он ацикличен. Действительно, предположим, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>C</mi><mo>→</mo><msup><mi>C</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C \rightarrow C&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, докажем, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>C</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup><mo>↦</mo><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C&#x27; \mapsto C</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7629em;vertical-align:-0.011em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">↦</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span></span></span></span>. Из определения конденсации получаем, что найдутся две вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>C</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>→</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u \rightarrow v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Доказывать будем от противного, т.е. предположим, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>C</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup><mo>→</mo><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C&#x27; \rightarrow C</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span></span></span></span>, тогда найдутся две вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>u</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>v</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>C</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>v</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup><mo>→</mo><msup><mi>u</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v&#x27; \rightarrow u&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>. Но т.к. <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>u</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> находятся в одной компоненте сильной связности, то между ними есть путь; аналогично для <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>v</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>. В итоге, объединяя пути, получаем, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>→</mo><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v \rightarrow u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, и одновременно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>→</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u \rightarrow v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Следовательно, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> должны принадлежать одной компоненте сильной связности, т.е. получили противоречие, что и требовалось доказать</p>
-<h4 id="алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция">Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция)</h4>
-<p>Алгоритм Косарайю предназначен для поиска компонент сильной связности в ориентированном графе и состоит из трёх шагов:</p>
-<ol>
-<li>
-<p>Выполнить поиск в глубину (DFS), пока не будут «помечены» все вершины. Вершина считается «помеченной», когда ей присвоено время выхода из рекурсии (см. основные понятия).</p>
-</li>
-<li>
-<p>Инвертировать исходный граф</p>
-</li>
-<li>
-<p>Выполнить DFS в порядке убывания пометок вершин.</p>
-</li>
-</ol>
-<p>Полученные деревья каждого такта DFS последнего шага являются компонентами сильной связности</p>
-<p><strong>Доказательство корректности алгоритма:</strong></p>
-<p>Немного уточним, что требуется доказать: Вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> сильно связаны <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>⇔</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Leftrightarrow</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.3669em;"></span><span class="mrel">⇔</span></span></span></span> после выполнения алгоритма они принадлежат одному дереву такта DFS.</p>
-<p>Если вершины u и  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> были сильно связаны в графе <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, на третьем этапе будет найден путь из одной вершины в другую (по Лемме (Инвертирование рёбер цикла не влияет на его цикличность)), так как на первом шаге был найден путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>→</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u \rightarrow v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, а на третьем - путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>→</mo><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v \rightarrow u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>. Это означает, что по окончании алгоритма обе вершины лежат в одном дереве.</p>
-<p>Вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> лежат в одном и том же дереве поиска в глубину на третьем шаге алгоритма. Значит, они обе достижимы из корня <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> этого дерева.</p>
-<p>Вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> была рассмотрена на 3 шаге раньше всех, значит время выхода из неё на 1 шаге больше, чем время выхода из вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Из этого мы получаем 2 случая:</p>
-<p>Обе эти вершины были достижимы из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> в исходном графе. Это означает сильную связность вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> и сильную связность вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> (по Лемме 3). Склеивая пути мы получаем связность вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> (по Лемме 1)</p>
-<p>Хотя бы одна вершина не достижима из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> в исходном графе, например <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Значит и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> была не достижима из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в исходном графе, так как время выхода из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> — больше (если бы она была достижима, то время выхода из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> было бы больше, чем из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span>, просмотрите ещё раз первый шаг примера). Значит между этими вершинами нет пути (ни в исходном, ни в инвертированном графах), но последнего быть не может, потому что по условию  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> достижима из r на 3 шаге (в инвертированном графе)</p>
-<p>Значит, из случая 1 и не существования случая 2 получаем, что вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> сильно связаны в обоих графах</p>
-<h4 id="алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности">Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности</h4>
-<p>Основой для алгоритма является структура данных &quot;Система непересекающихся множеств&quot;, которая и была изобретена Тарьяном (Tarjan).</p>
-<p>Алгоритм фактически представляет собой обход в глубину из корня дерева, в процессе которого постепенно находятся ответы на запросы. А именно, ответ на запрос <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> находится, когда обход в глубину находится в вершине <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, а вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> уже была посещена, или наоборот.</p>
-<p>Итак, пусть обход в глубину находится в вершине <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> (и уже были выполнены переходы в её сыновей), и оказалось, что для какого-то запроса <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> вершина u уже была посещена обходом в глубину. Научимся тогда находить <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mi>C</mi><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">LCA</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span> этих двух вершин.</p>
-<p>Заметим, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mi>C</mi><mi>A</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">LCA(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> является либо самой вершиной <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, либо одним из её предков. Получается, нам надо найти самую нижнюю вершину среди предков <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> (включая её саму), для которой вершина u является потомком. Заметим, что при фиксированном <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> по такому признаку (т.е. какой наименьший предок <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> является и предком какой-то вершины) вершины дерева дерева распадаются на совокупность непересекающихся классов. Для каждого предка <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo mathvariant="normal">≠</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p \neq v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel"><span class="mrel"><span class="mord vbox"><span class="thinbox"><span class="rlap"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="inner"><span class="mord"><span class="mrel"></span></span></span><span class="fix"></span></span></span></span></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> её класс содержит саму эту вершину, а также все поддеревья с корнями в тех её сыновьях, которые лежат &quot;слева&quot; от пути до <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> (т.е. которые были обработаны ранее, чем была достигнута <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>).</p>
-<p>Нам надо научиться эффективно поддерживать все эти классы, для чего мы и применим структуру данных &quot;Система непересекающихся множеств&quot;. Каждому классу будет соответствовать в этой структуре множество, причём для представителя этого множества мы определим величину <strong>ANCESTOR</strong> — ту вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span></span></span></span>, которая и образует этот класс.</p>
-<p>Рассмотрим подробно реализацию обхода в глубину. Пусть мы стоим в некоторой вершине <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Поместим её в отдельный класс в структуре непересекающихся множеств, <strong>ANCESTOR</strong>[v] = <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Как обычно в обходе в глубину, перебираем все исходящие рёбра $(v, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> )$. Для каждого такого <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> мы сначала должны вызвать обход в глубину из этой вершины, а потом добавить эту вершину со всем её поддеревом в класс вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Это реализуется операцией <strong>Union</strong> структуры данных &quot;система непересекающихся множеств&quot;, с последующей установкой <strong>ANCESTOR</strong> = <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> для представителя множества (т.к. после объединения представитель класса мог измениться). Наконец, после обработки всех рёбер мы перебираем все запросы вида <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, и если u была помечена как посещённая обходом в глубину, то ответом на этот запрос будет вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mi>C</mi><mi>A</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">LCA(v,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> = <strong>ANCESTOR</strong>[FindSet(u)]. Нетрудно заметить, что для каждого запроса это условие (что одна вершина запроса является текущей, а другая была посещена ранее) выполнится ровно один раз.</p>
-<p>Оценим асимптотику. Она складывается из нескольких частей. Во-первых, это асимптотика обхода в глубину, которая в данном случае составляет <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Во-вторых, это операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> операций. В-третьих, это для каждого запроса проверка условия (два раза на запрос) и определение результата (один раз на запрос), каждое, опять же, для всех разумных n выполняется за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Итоговая асимптотика получается <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(n + m)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, что означает для достаточно больших <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>m</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">m</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span></span></span></span> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>=</mo><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(n = O(m))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mclose">))</span></span></span></span> ответ за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> на один запрос</p>
-<h3 id="15-компоненты-реберной-двусвязности-мосты-поиск-мостов">1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов</h3>
-<h4 id="компоненты-реберной-двусвязности">Компоненты реберной двусвязности</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Компонентами рёберной двусвязности</strong> (англ. <em>costal doubly-linked components</em>) графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности рёберной двусвязности, а множества рёбер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.</p>
-</blockquote>
-<h4 id="мосты">Мосты</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Мостом</strong> называется такое ребро, удаление которого делает граф несвязным (или, точнее, увеличивает число компонент связности).</p>
-</blockquote>
-<h4 id="поиск-мостов">Поиск мостов</h4>
-<ul>
-<li>
-<p>Алгоритм:
-Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через <strong>root</strong>. Заметим следующий факт (который несложно доказать):</p>
-<p>Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Тогда, если текущее ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> таково, что из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в вершину  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> или какого-либо её предка, то это ребро является мостом. В противном случае оно мостом не является. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> , кроме как спуск по ребру <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> дерева обхода в глубину.)
-Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся &quot;временами входа в вершину&quot;, вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.</p>
-<p>Итак, пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> — это время захода поиска в глубину в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Теперь введём массив <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, который и позволит нам отвечать на вышеописанные запросы. Время <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> равно минимуму из времени захода в саму вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, времён захода в каждую вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span></span></span></span>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, p)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, а также из всех значений <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> для каждой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> , являющейся непосредственным сыном <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в дереве поиска:</p>
-<p><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>min</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo separator="true">,</mo><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v] = \min(tin[v], tin[p], fup(to))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mop">min</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">]</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">))</span></span></span></span> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, p)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> - back edge, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> - tree edge (здесь &quot;back edge&quot; — обратное ребро, &quot;tree edge&quot; — ребро дерева)</p>
-<p>Тогда, из вершины  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> или её потомка есть обратное ребро в её предка тогда и только тогда, когда найдётся такой сын <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> , что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>≤</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] \leq tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≤</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>. (Если <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] = tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, то это означает, что найдётся обратное ребро, приходящее точно в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>; если же <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&lt;</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] &lt; tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, то это означает наличие обратного ребра в какого-либо предка вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>.)</p>
-<p>Таким образом, если для текущего ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> (принадлежащего дереву поиска) выполняется <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&gt;</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] &gt; tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, то это ребро является мостом; в противном случае оно мостом не является.</p>
-</li>
-</ul>
-<h3 id="16-компоненты-вершинной-двусвязности-точки-сочленения-поиск-точек-сочленения">1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения</h3>
-<h4 id="компоненты-вершинной-двусвязности">Компоненты вершинной двусвязности</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Компонентами вершинной двусвязности</strong> графа, называют его подграфы, множества ребер которых — классы эквивалентности вершинной двусвязности, а множества вершин — множества всевозможных концов ребер из соответствующих классов.</p>
-</blockquote>
-<h4 id="точки-сочленения">Точки сочленения</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Точкой сочленения</strong> называется вершина, при удалении которой связный неориентированный граф становится несвязным.</p>
-</blockquote>
-<h4 id="поиск-точек-сочленения">Поиск точек сочленения</h4>
-<ul>
-<li>
-<p>Алгоритм:
-Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span>. Заметим следующий факт (который несложно доказать):</p>
-<p>Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo mathvariant="normal">≠</mo><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v \neq root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel"><span class="mrel"><span class="mord vbox"><span class="thinbox"><span class="rlap"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="inner"><span class="mord"><span class="mrel"></span></span></span><span class="fix"></span></span></span></span></span><span class="mrel">=</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span>. Тогда, если текущее ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> таково, что из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span>  и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в какого-либо предка вершины v, то вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> является точкой сочленения. В противном случае, т.е. если обход в глубину просмотрел все рёбра из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, и не нашёл удовлетворяющего вышеописанным условиям ребра, то вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> не является точкой сочленения. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> )
-Рассмотрим теперь оставшийся случай:  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v = root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span>. Тогда эта вершина является точкой сочленения тогда и только тогда, когда эта вершина имеет более одного сына в дереве обхода в глубину. (В самом деле, это означает, что, пройдя из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span> по произвольному ребру, мы не смогли обойти весь граф, откуда сразу следует, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span> — точка сочленения).
-(Ср. формулировку этого критерия с формулировкой критерия для алгоритма поиска мостов.)</p>
-<p>Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся &quot;временами входа в вершину&quot;, вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.</p>
-<p>Итак, пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> — это время захода поиска в глубину в вершину v. Теперь введём массив <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, который и позволит нам отвечать на вышеописанные запросы. Время <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> равно минимуму из времени захода в саму вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, времён захода в каждую вершину p, являющуюся концом некоторого обратного ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, p)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, а также из всех значений <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> для каждой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> , являющейся непосредственным сыном  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в дереве поиска:</p>
-<p><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>min</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo separator="true">,</mo><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[v] = \min(tin[v], tin[p], fup(to))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mop">min</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">]</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">))</span></span></span></span> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, p)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> - back edge, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> - tree edge (здесь &quot;back edge&quot; — обратное ребро, &quot;tree edge&quot; — ребро дерева)</p>
-<p>Тогда, из вершины  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> или её потомка есть обратное ребро в её предка тогда и только тогда, когда найдётся такой сын <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mi>o</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">to</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span></span></span></span> , что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&lt;</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] &lt; tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>.</p>
-<p>Таким образом, если для текущего ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,to)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> (принадлежащего дереву поиска) выполняется <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mi>o</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>≥</mo><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">fup[to] \geq tin[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≥</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, то вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> является точкой сочленения. Для начальной вершины  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v = root</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">roo</span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span> критерий другой: для этой вершины надо посчитать число непосредственных сыновей в дереве обхода в глубину.</p>
-</li>
-</ul>
-<h3 id="17-волновой-алгоритм-обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме">1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)</h3>
-<h4 id="волновой-алгоритм">Волновой алгоритм</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Алгоритм волновой трассировки</strong> (<em>волновой алгоритм</em>) — алгоритм поиска пути, алгоритм поиска кратчайшего пути на планарном графе. Принадлежит к алгоритмам, основанным на методах поиска в ширину.</p>
-</blockquote>
-<p>Алгоритм предназначен для поиска кратчайшего пути от стартовой ячейки к конечной ячейке, если это возможно, либо, при отсутствии пути, выдать сообщение о непроходимости.</p>
-<p>Работа алгоритма включает в себя три этапа: инициализацию, распространение волны и восстановление пути.</p>
-<p>Инициализация</p>
-<pre><code class="language-c">Пометить стартовую ячейку 
-d := <span class="hljs-number">0</span> 
-</code></pre>
-<p>Распространение волны</p>
-<pre><code class="language-c">ЦИКЛ
-  ДЛЯ каждой ячейки loc, помеченной числом d
-    пометить все соседние свободные непомеченные ячейки числом d + <span class="hljs-number">1</span>
-  КЦ
-  d := d + <span class="hljs-number">1</span>
-ПОКА (финишная ячейка не помечена) И (есть возможность распространения волны) 
-</code></pre>
-<p>Восстановление пути</p>
-<pre><code class="language-c">ЕСЛИ финишная ячейка помечена
-ТО
-  перейти в финишную ячейку
-  ЦИКЛ
-    выбрать среди соседних ячейку, помеченную числом на <span class="hljs-number">1</span> меньше числа в текущей ячейке
-    перейти в выбранную ячейку и добавить её к пути
-  ПОКА текущая ячейка — не стартовая
-  ВОЗВРАТ путь найден
-ИНАЧЕ
-  ВОЗВРАТ путь не найден
-</code></pre>
-<h4 id="обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме">Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Поиск в ширину</strong> (англ. <em>breadth-first search</em>) — один из основных алгоритмов на графах, позволяющий находить все кратчайшие пути от заданной вершины и решать многие другие задачи.</p>
-</blockquote>
-<ul>
-<li>
-<p>Описание алгоритма
-На вход алгоритма подаётся невзвешенный граф и номер стартовой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>. Граф может быть как ориентированным, так и неориентированным — для алгоритма это не важно.</p>
-<p>Основную идею алгоритма можно понимать как процесс «поджигания» графа: на нулевом шаге мы поджигаем вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>, а на каждом следующем шаге огонь с каждой уже горящей вершины перекидывается на всех её соседей, в конечном счете поджигая весь граф.</p>
-<p>Если моделировать этот процесс, то за каждую итерацию алгоритма будет происходить расширение «кольца огня» в ширину на единицу. Номер шага, на котором вершина  <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> начинает гореть, в точности равен длине её минимального пути из вершины s.</p>
-</li>
-</ul>
-<pre><code class="language-c++">std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; graph;
-
-<span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">bfs</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> s)</span> </span>{
-    std::queue&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; queue;
-    queue.<span class="hljs-built_in">push</span>(s);
-    
-    <span class="hljs-function">std::vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; <span class="hljs-title">depth</span><span class="hljs-params">(n, <span class="hljs-number">-1</span>)</span>, <span class="hljs-title">parent</span><span class="hljs-params">(n)</span></span>;
-    depth[s] = <span class="hljs-number">0</span>;
-    
-    <span class="hljs-keyword">while</span> (!queue.<span class="hljs-built_in">empty</span>()) {
-        <span class="hljs-type">int</span> vertex = queue.<span class="hljs-built_in">front</span>();
-        queue.<span class="hljs-built_in">pop</span>();
-        <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> u : g[vertex]) {
-            <span class="hljs-keyword">if</span> (depth[u] == <span class="hljs-number">-1</span>) {
-                queue.<span class="hljs-built_in">push</span>(u);
-                depth[u] = depth[vertex] + <span class="hljs-number">1</span>;
-                parent[u] = vertex;
-            }
-        }
-    }
-} 
-</code></pre>
-<p>Теперь, чтобы восстановить кратчайший путь до какой-то вершины v, это можно сделать через массив p:</p>
-<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-keyword">while</span> (v != s) {
-    std::cout &lt;&lt; v &lt;&lt; endl;
-    v = p[v];
-}
-</code></pre>
-<p>Обратим внимание, что путь выведется в обратном порядке.</p>
-<h3 id="18-критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-и-неориентированном-графе-поиск-эйлерова-пути-и-цикла">1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла</h3>
-<h4 id="критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-неориентированном-графе">Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе</h4>
-<ul>
-<li>
-<p>Согласно теореме, доказанной Эйлером, эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда</p>
-<ol>
-<li>Граф связный или будет являться связным, если удалить из него все изолированные вершины.</li>
-<li>В нём отсутствуют вершины нечётной степени.</li>
-</ol>
-</li>
-<li>
-<p>Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда</p>
-<ol>
-<li>Граф связный</li>
-<li>Содержит не более двух вершин нечётной степени. Ввиду леммы о рукопожатиях, число вершин с нечётной степенью должно быть чётным. А значит эйлеров путь существует только тогда, когда это число равно нулю или двум. Причём, когда оно равно нулю, эйлеров путь вырождается в эйлеров цикл.</li>
-</ol>
-</li>
-</ul>
-<h4 id="критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-графе">Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе</h4>
-<ul>
-<li>В ориентированном графе <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G = (V, E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> существует эйлеров цикл тогда и только тогда, когда:
-<ol>
-<li>Входная степень любой вершины равна ее выходной степени.</li>
-<li>Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.</li>
-</ol>
-</li>
-<li>В ориентированном графе <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G = (V, E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> существует эйлеров путь если:
-<ol>
-<li>Входная степень любой вершины равна ее выходной степени, кроме двух вершин графа, для одной из которых (deg+) − (deg−) = 1, а для другой (deg+) − (deg−) = −1 .</li>
-<li>Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.</li>
-</ol>
-</li>
-</ul>
-<h4 id="поиск-эйлерова-пути-и-цикла">Поиск эйлерова пути и цикла</h4>
-<ul>
-<li>
-<p>Поиск эйлерова пути в графе
-Можно всегда свести задачу поиска эйлерова пути к задаче поиска эйлерова цикла. Действительно, предположим, что эйлерова цикла не существует, а эйлеров путь существует. Тогда в графе будет ровно 2 вершины нечётной степени. Соединим эти вершины ребром, и получим граф, в котором все вершины чётной степени, и эйлеров цикл в нём существует. Найдём в этом графе эйлеров цикл (алгоритмом, описанным ниже), а затем удалим из ответа несуществующее ребро.</p>
-</li>
-<li>
-<p>Поиск эйлерова цикла в графе
-Будем рассматривать самый общий случай — случай ориентированного мультиграфа, возможно, с петлями. Также мы предполагаем, что эйлеров цикл в графе существует (и состоит хотя бы из одной вершины). Для поиска эйлерова цикла воспользуемся тем, что эйлеров цикл — это объединение всех простых циклов графа. Следовательно, наша задача — эффективно найти все циклы и эффективно объединить их в один.</p>
-<p>Реализовать это можно, например, так, рекурсивно:</p>
-<pre><code class="language-c">procedure <span class="hljs-title function_">find_all_cycles</span> <span class="hljs-params">(v)</span>
-var массив cycles
-1. пока есть цикл, проходящий через v, находим его
-    добавляем все вершины найденного цикла в массив <span class="hljs-title function_">cycles</span> <span class="hljs-params">(сохраняя порядок обхода)</span>
-    удаляем цикл из графа
-2. идем по элементам массива cycles
-    каждый элемент cycles[i] добавляем к ответу
-    из каждого элемента рекурсивно вызываем себя: <span class="hljs-title function_">find_all_cycles</span> <span class="hljs-params">(cycles[i])</span>
-</code></pre>
-<p>Достаточно вызвать эту процедуру из любой вершины графа, и она найдёт все циклы в графе, удалит их из графа и объединит их в один эйлеров цикл.
-Для поиска цикла на шаге 1 используем поиск в глубину.
-Сложность полученного алгоритма — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>E</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(|E|)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mord">∣</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, то есть линейная относительно количества рёбер в данном графе</p>
-</li>
-</ul>
-<h2 id="2-планарность-графа">2. Планарность графа</h2>
-<h3 id="21-формула-эйлера-теорема-портнягина-куратовского-теорема-вагнера">2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера</h3>
-<h4 id="формула-эйлера">Формула Эйлера</h4>
-<p>Для произвольного плоского связного графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> с <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> вершинами, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span> ребрами и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> гранями справедливо следующее соотношение: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mo>−</mo><mi>E</mi><mo>+</mo><mi>F</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V − E + F = 2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">2</span></span></span></span>.</p>
-<h4 id="теорема-портнягина-куратовского">Теорема Портнягина-Куратовского</h4>
-<p>Теорема Понтрягина — Куратовского, или теорема Куратовского, — теорема в теории графов, дающая необходимое и достаточное условие планарности графа. Имеет эквивалентную формулировку на языке миноров, так называемою теорему Вагнера.</p>
-<p>Теорема утверждает, что графы <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>K</mi><mn>5</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K_5</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">5</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (полный граф на 5 вершинах) и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>K</mi><mrow><mn>3</mn><mo separator="true">,</mo><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K_{3,3}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">3</span><span class="mpunct mtight">,</span><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (полный двудольный граф имеющий по 3 вершины в каждой доле) являются единственными минимальными непланарными графами.</p>
-<h4 id="теорема-вагнера">Теорема Вагнера</h4>
-<p>Теорема Вагнера — характеризация планарных графов тесно связанная с теоремой Понтрягина — Куратовского.</p>
-<p>Теорема утверждает, что конечный граф является планарным тогда и только тогда, когда его миноры не включают ни <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>K</mi><mn>5</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K_5</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">5</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (полный граф с пятью вершинами), ни <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>K</mi><mrow><mn>3</mn><mo separator="true">,</mo><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K_{3,3}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0715em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">3</span><span class="mpunct mtight">,</span><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (коммунальный граф, полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой доле).</p>
-<h3 id="22-гамма-алгоритм-контактная-вершина">2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина</h3>
-<h4 id="гамма-алгоритм">Гамма алгоритм</h4>
-<ul>
-<li>Чтобы проверить планарность графа и произвести его плоскую укладку, удобно пользоваться гамма-алгоритмом.</li>
-<li>Определения:
-<ol>
-<li>Сегмент графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mtext>Г</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Г</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord cyrillic_fallback">Г</span></span></span></span> относительно подграфа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span> — компонента связности графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>∖</mo><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G \setminus H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>.</li>
-<li><em>Допустимая грань сегмента</em> — грань графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>, содержащая все контактные вершины.</li>
-<li><strong>Контактная вершина</strong> сегмента <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span> графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> подграфа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span> — любая вершина в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span> и в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>.</li>
-<li><em>Гамма-цепь сегмента</em> — любая цепь без повторов вершин, содержащих ровно две контактные вершины — начало и конец.</li>
-</ol>
-</li>
-<li>Алгоритм:
-<ol>
-<li>Уложить на плоскость любой цикл <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span> графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> без повторов вершин.</li>
-<li>Построить все сегменты <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S_1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0576em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> , <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">...</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.1056em;"></span><span class="mord">...</span></span></span></span> , <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mi>k</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S_k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0576em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> по <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>.</li>
-<li>Если есть сегмент <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>S</mi><mi>i</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S_i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0576em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> c одной допустимой гранью — выбрать его.</li>
-<li>Если все сегменты имеют несколько дополнительных граней — выбрать любой.</li>
-<li>Выбрать произвольную гамма-цепь сегмента и уложить её в допустимую грань.</li>
-<li>Перейти к шагу (2), добавив гамма-цепь к графу <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>.</li>
-</ol>
-</li>
-</ul>
-<h3 id="23-теорема-о-корректности-гамма-алгоритма-асимптотика-алгоритма">2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма</h3>
-<h4 id="теорема-о-корректности-гамма-алгоритма">Теорема о корректности Гамма алгоритма</h4>
-<ul>
-<li>
-<p>Теорема: Гамма-алгоритм корректен, то есть если <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> — планарный граф, то результатом каждого шага гамма-алгоритма является частичная укладка <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G&#x27;</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7519em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</p>
-</li>
-<li>
-<p>Доказательство:
-Докажем индукцией по числу шагов.</p>
-<p>База индукции: полученный на этапе инициализации граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> является простым циклом, он будет присутствовать в любой укладке графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>. Таким образом, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>  является частичной укладкой.</p>
-<p>Шаг индукции: пусть граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_{k−1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8917em;vertical-align:-0.2083em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mbin mtight">−</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, полученный на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7778em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>-м шаге работы алгоритма, является частичной укладкой. Докажем, что граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>G</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>∪</mo><msub><mi>L</mi><mi>k</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_k = G_{k−1} \cup L_k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8917em;vertical-align:-0.2083em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mbin mtight">−</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∪</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">L</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, полученный на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-м шаге присоединением цепи <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>L</mi><mi>k</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L_k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">L</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, также является частичной укладкой.</p>
-<p>Заметим, что на текущем шаге нет такого сегмента <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>  относительно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_{k−1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8917em;vertical-align:-0.2083em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mbin mtight">−</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, для которого бы выполнялось равенство <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∅</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Γ(S) = \varnothing</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">Γ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6633em;vertical-align:-0.0817em;"></span><span class="mord amsrm">∅</span></span></span></span>, так как в противном случае существовала бы цепь этого сегмента, контактные вершины которой принадлежали бы разным граням и укладка которой была бы невозможна. Следовательно, нельзя было бы уложить <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>,что противоречит тому, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> — планарный граф. Значит, мы можем рассматривать только следующие два случая:</p>
-<ol>
-<li>
-<p>Существует сегмент <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span> для которого есть единственная вмещающая грань <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Γ</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord">Γ</span></span></span></span>, то есть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|Γ(S)| = 1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣Γ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>. Так как только грани <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Γ</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord">Γ</span></span></span></span> принадлежат все контактные вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>, то укладка этого сегмента в эту грань неизбежна. Это значит, что помещая любую цепь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mo>⊂</mo><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L \subset S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">⊂</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>, снова получим частичную укладку графа.</p>
-</li>
-<li>
-<p>Для любого сегмента <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>≥</mo><mn>2</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|Γ(S)| \geq 2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣Γ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≥</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">2</span></span></span></span>. Построим граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>G</mi><mo mathvariant="normal" lspace="0em" rspace="0em">′</mo></msup><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A(G&#x27;k−1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0019em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.7519em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">′</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, который по лемме 2 является двудольным. Рассмотрим его связную компоненту <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span></span></span></span>, которая содержит не менее двух вершин. Граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span></span></span></span> также является двудольным. По лемме 1 для любого сегмента <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S \in K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span></span></span></span>  справедливо <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mn>2</mn></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Γ(S)={Γ1, Γ2}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">Γ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord">Γ1</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">Γ2</span></span></span></span></span>. Так как граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span></span></span></span> двудольный, то мы можем по очереди помещать сегменты <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>K</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">K</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span></span></span></span> в разные грани, причем конфликтующих сегментов не возникнет в силу четности всех циклов в графе. Результатом будет частичная укладка графа.</p>
-</li>
-</ol>
-<p>Таким образом, на каждом шаге мы получаем частичную укладку графа, что доказывает корректность гамма-алгоритма.</p>
-</li>
-</ul>
-<p><strong>Асимптотика алгоритма - <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(n^3)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">n</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</strong></p>
-<h2 id="3-кратчайшие-пути-во-взвешенном-графе">3. Кратчайшие пути во взвешенном графе</h2>
-<h3 id="31-алгоритм-дейкстры-доказательство-корректностис-доказательством-оценка-времени-работы-дерево-кратчайших-путей">3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей</h3>
-<h4 id="алгоритм-дейкстры">Алгоритм Дейкстры</h4>
-<p><strong>Алгоритм Дейкстры</strong> (англ. <em>Dijkstra’s algorithm</em>) — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским учёным Эдсгером Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшие пути от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.</p>
-<pre><code class="language-c">func <span class="hljs-title function_">dijkstra</span><span class="hljs-params">(s)</span>:
-    <span class="hljs-keyword">for</span> $v \in V$
-        d[v] = $ \infinity $
-        used[v] = <span class="hljs-literal">false</span>
-    d[s] = <span class="hljs-number">0</span>
-    <span class="hljs-keyword">for</span> $i \in V$
-        v = null
-        <span class="hljs-keyword">for</span> $j \in V$    <span class="hljs-comment">// найдём вершину с минимальным расстоянием</span>
-            <span class="hljs-keyword">if</span> !used[j] and (v == null or d[j] &lt; d[v])
-                v = j
-        <span class="hljs-keyword">if</span> d[v] == $\infinity$
-            <span class="hljs-keyword">break</span>
-        used[v] = <span class="hljs-literal">true</span>
-        <span class="hljs-keyword">for</span> e : исходящие из v рёбра     <span class="hljs-comment">// произведём релаксацию по всем рёбрам, исходящим из v</span>
-            <span class="hljs-keyword">if</span> d[v] + e.len &lt; d[e.to]
-                d[e.to] = d[v] + e.len
-</code></pre>
-<h4 id="доказательство-корректности">Доказательство корректности</h4>
-<ul>
-<li>Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G=(V,E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> — ориентированный взвешенный граф, вес рёбер которого неотрицателен, s — стартовая вершина. Тогда после выполнения алгоритма Дейкстры <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u)=\rho(s, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> для всех <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rho (s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> — длина кратчайшего пути из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>.</li>
-</ul>
-<p>Докажем по индукции, что в момент посещения любой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u)= \rho (s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
-<p>На первом шаге выбирается <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>, для неё выполнено: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(s) = \rho (s,s) = 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span>. Пусть для <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> первых шагов алгоритм сработал верно и на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n+1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> шагу выбрана вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>. Докажем, что в этот момент <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u)= \rho (s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Для начала отметим, что для любой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, всегда выполняется <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≥</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(v) \geq \rho (s,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≥</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> (алгоритм не может найти путь короче, чем кратчайший из всех существующих). Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> — кратчайший путь из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> — первая непосещённая вершина на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>z</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">z</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span></span></span></span> — предшествующая ей (следовательно, посещённая). Поскольку путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> кратчайший, его часть, ведущая из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> через <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>z</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">z</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, тоже кратчайшая, следовательно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rho(s,v)= \rho(s,z)+w(zv)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. По предположению индукции, в момент посещения вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>z</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">z</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span></span></span></span> выполнялось <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(z)= \rho (s,z)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, следовательно, вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> тогда получила метку не больше чем <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(z) + w(zv) = \rho (s,z) + w(zv) = \rho(s,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.04398em;">z</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, следовательно, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(v)=\rho(s,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. С другой стороны, поскольку сейчас мы выбрали вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, её метка минимальна среди непосещённых, то есть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≤</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≤</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u) \leq d(v) = \rho (s,v) \leq \rho (s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≤</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≤</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где второе неравенсто верно из-за ранее упомянутого определения вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в качестве первой непосещённой вершины на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span>, то есть вес пути до промежуточной вершины не превосходит веса пути до конечной вершины вследствие неотрицательности весовой функции. Комбинируя это с <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≥</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u) \geq \rho(s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≥</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, имеем <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u)=\rho(s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, что и требовалось доказать. Поскольку алгоритм заканчивает работу, когда все вершины посещены, в этот момент <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(u)= \rho (s,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> для всех <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>.</p>
-<h4 id="оценка-времени-работы">Оценка времени работы</h4>
-<ul>
-<li>Если <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">m = n ^ 2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">n</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>(граф плотный), то <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(n^2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">n</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</li>
-<li>Если <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">m = n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span>(граф разреженный), то <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(m log n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</li>
-</ul>
-<h4 id="дерево-кратчайших-путей">Дерево кратчайших путей</h4>
-<p>Решение ряда прикладных задач сводится к нахождению дерева кратчайших путей с корнем в заданной вершине <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>. Такое дерево дает кратчайшие <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(s, v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>-пути от заданной вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> до любой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> орграфа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mtext>Е</mtext><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G = (V, Е)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord cyrillic_fallback">Е</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Если веса всех дуг орграфа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> неотрицательны, то дерево кратчайших путей можно построить с помощью алгоритма Дейкстры.</p>
-<h3 id="32-потенциалы-условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер-потенциал-piv--rhov-t">3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\pi(v) = \rho(v, t)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">π</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></h3>
-<h4 id="потенциалы">Потенциалы</h4>
-<p>Пусть дана транспортная сеть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G(V,E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> — множество вершин графа, а <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span> — множество рёбер. Введем в каждой вершине потенциал <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\pi(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">π</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Тогда потенциальный вес (то есть стоимость) ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(u,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> определяется как <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>w</mi><mi>p</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">w_p(u,v)=w(u,v)+\pi(u)−\pi(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1514em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">p</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">π</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">π</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></p>
-<h4 id="условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер">Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер</h4>
-<p>Можно применять, когда нет отрицательных циклов (следует из курса дискретной математики 1 курс 2 семестр)</p>
-<h4 id="потенциал-piv--rhov-t">Потенциал <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\pi(v) = \rho(v, t)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">π</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></h4>
-<h3 id="33-алгоритм-a-условие-монотонности-на-эвристику-примеры-эвристик">3.3. Алгоритм A*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик</h3>
-<h4 id="алгоритм-a">Алгоритм A*</h4>
-<p>Алгоритм A* - алгоритм поиска по первому наилучшему совпадению на графе, который находит маршрут с наименьшей стоимостью от одной вершины (начальной) к другой (целевой, конечной).</p>
-<p>Порядок обхода вершин определяется эвристической функцией «расстояние + стоимость» (обычно обозначаемой как <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>). Эта функция — сумма двух других: функции стоимости достижения рассматриваемой вершины (x) из начальной (обычно обозначается как <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">g(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> и может быть как эвристической, так и нет), и функции эвристической оценки расстояния от рассматриваемой вершины к конечной (обозначается как <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>).</p>
-<ol>
-<li>Функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> должна быть <em>допустимой эвристической оценкой</em>, то есть не должна переоценивать расстояния к целевой вершине. Например, для задачи маршрутизации <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> может представлять собой расстояние до цели по прямой линии, так как это физически наименьшее возможное расстояние между двумя точками.</li>
-<li>Более сильное условие — функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> должна быть <strong>монотонной</strong>. (Эвристическая функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> называетя <strong>монотонной</strong> (или преемственной), если для любой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v_1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> и ее потомка <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v_2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> разность <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v_1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v_2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span> не превышает фактического веса ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>c</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub><mo separator="true">,</mo><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c(v_1, v_2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">c</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span> от <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>v</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v_1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> до <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>v</mi><mn>2</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v_2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, а эвристическая оценка целевого состояния равна нулю.)</li>
-</ol>
-<pre><code class="language-c">function A*(start, goal, f)
-     % множество уже пройденных вершин
-     var closed := the empty <span class="hljs-built_in">set</span>
-     % множество частных решений
-     var open := make_queue(f)
-     enqueue(open, path(start))
-     <span class="hljs-keyword">while</span> open is not empty
-         var p := remove_first(open)
-         var x := the last node of p
-         <span class="hljs-keyword">if</span> x in closed
-            <span class="hljs-keyword">continue</span>
-         <span class="hljs-keyword">if</span> x = goal
-            <span class="hljs-keyword">return</span> $\rho$
-         add(closed, x)
-         % добавляем смежные вершины
-         foreach y in successors(x)
-            enqueue(open, add_to_path(p, y))
-     <span class="hljs-keyword">return</span> failure
-</code></pre>
-<h4 id="примеры-эвристик">Примеры эвристик</h4>
-<ul>
-<li>Если мы можем перемещаться в четырех направлениях, то в качестве эвристики стоит выбрать манхэттенское расстояние <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v)=|v.x−goal.x|+|v.y−goal.y|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mord">∣</span></span></span></span>.</li>
-<li>Расстояние Чебышева применяется, когда к четырем направлениям добавляются диагонали: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v)=max(|v.x−goal.x|,|v.y−goal.y|)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ma</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mord">∣</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mord">∣</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</li>
-<li>Если передвижение не ограничено сеткой, то можно использовать евклидово расстояние по прямой: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>x</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>y</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup><msup><mo stretchy="false">)</mo><mrow><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">/</mi><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">h(v)=((v.x−goal.x) ^ 2+(v.y−goal.y)^2) ^ {1/2}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">((</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mclose"><span class="mclose">)</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.138em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="mclose"><span class="mclose">)</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose"><span class="mclose">)</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.888em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">1/2</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</li>
-</ul>
-<h3 id="34-алгоритм-форда-беллмана-хранение-в-матрице-d_vk-равно-длине-кратчайшего-пути-до-вершины-v-за-ровно-k-ребер-не-более-k-ребер-доказательство-корректности-полное-оценка-времени-работы">3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>D</mi><mrow><mi>v</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D_{vk}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8333em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">D</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0278em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> равно длине кратчайшего пути до вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> за ровно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> ребер (не более <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы</h3>
-<p>Количество путей длины k рёбер можно найти с помощью метода динамического программирования. Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[k][u]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> — количество путей длины k рёбер, заканчивающихся в вершине u. Тогда <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mi>v</mi><mo>:</mo><mi>v</mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[k][u]= \Sigma v: v u \in E(d[k−1][v])</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord">Σ</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">vu</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">])</span></span></span></span>.</p>
-<p>Аналогично посчитаем пути кратчайшей длины. Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> — стартовая вершина. Тогда <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>min</mi><mo>⁡</mo><mi>v</mi><mo>:</mo><mi>v</mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[k][u]=\min v: v u \in E(d[k−1][v]+w(u,v))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6679em;"></span><span class="mop">min</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">vu</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">))</span></span></span></span>, при этом <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>s</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[0][s]=0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord">0</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span>, а <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[0][u]=+\infty</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord">0</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">+</span><span class="mord">∞</span></span></span></span></p>
-<p>Если существует кратчайший путь от s до t, то <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>min</mi><mo>⁡</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0..</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rho(s,t)=\min d[k][t](k=0..n−1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">ρ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mop">min</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">0..</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></p>
-<p>Пусть кратчайший путь состоит из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной ниже.</p>
-<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-keyword">for</span> k = <span class="hljs-number">0</span> to |V|−<span class="hljs-number">2</span>       <span class="hljs-comment">// вершины нумеруются с единицы</span>
-    <span class="hljs-keyword">for</span> v∈V
-       <span class="hljs-keyword">for</span> (u,v)∈E
-          d[k + <span class="hljs-number">1</span>][v] = <span class="hljs-built_in">min</span>(d[k + <span class="hljs-number">1</span>][v], d[k][u] + ω(u,v))     <span class="hljs-comment">// ω(u,v) — вес ребра uv</span>
-</code></pre>
-<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function"><span class="hljs-type">bool</span> <span class="hljs-title">fordBellman</span><span class="hljs-params">(s)</span>:
-    for v∈V
-        d[v] =</span> <span class="hljs-number">1</span>
-    d[s] = <span class="hljs-number">0</span>
-    <span class="hljs-keyword">for</span> i = <span class="hljs-number">0</span> to |V|−<span class="hljs-number">1</span>
-        <span class="hljs-keyword">for</span> (u,v)∈E
-            <span class="hljs-keyword">if</span> d[v] &gt; d[u] + ω(u,v)     <span class="hljs-comment">// ω(u,v) — вес ребра uv</span>
-                d[v] = d[u] + ω(u,v)
-    <span class="hljs-keyword">for</span> (u,v)∈E
-        <span class="hljs-keyword">if</span> d[v] &gt; d[u] + ω(u,v)
-            <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-literal">false</span>
-    <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-literal">true</span>
-</code></pre>
-<h4 id="доказательство-корректностиполное">Доказательство корректности(полное)</h4>
-<p>Во-первых, сразу заметим, что для недостижимых из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> вершин алгоритм отработает корректно: для них метка <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> так и останется равной бесконечности (т.к. алгоритм Форда-Беллмана найдёт какие-то пути до всех достижимых из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> вершин, а релаксация во всех остальных вершинах не произойдёт ни разу).</p>
-<p>Докажем теперь следующее утверждение: после выполнения <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> фаз алгоритм Форда-Беллмана корректно находит все кратчайшие пути, длина которых (по числу рёбер) не превосходит <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span>.</p>
-<p>Иными словами, для любой вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span></span></span> обозначим через <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> число рёбер в кратчайшем пути до неё (если таких путей несколько, можно взять любой). Тогда это утверждение говорит о том, что после <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> фаз этот кратчайший путь будет найден гарантированно.</p>
-<p><strong>Доказательство.</strong></p>
-<p>Рассмотрим произвольную вершину a, до которой существует путь из стартовой вершины v, и рассмотрим кратчайший путь до неё: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>p</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><msub><mi>p</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(p_0=v, p_1, ..., p_k=a)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Перед первой фазой кратчайший путь до вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>p</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p_0=v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> найден корректно. Во время первой фазы ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>p</mi><mn>0</mn></msub><mo separator="true">,</mo><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(p_0,p_1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span> было просмотрено алгоритмом Форда-Беллмана, следовательно, расстояние до вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p_1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> было корректно посчитано после первой фазы. Повторяя эти утверждения k раз, получаем, что после <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-й фазы расстояние до вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>p</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p_k=a</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">p</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span></span></span> посчитано корректно, что и требовалось доказать.</p>
-<p>Последнее, что надо заметить — это то, что любой кратчайший путь не может иметь более <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n-1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> ребра. Следовательно, алгоритму достаточно произвести только <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n-1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> фазу. После этого ни одна релаксация гарантированно не может завершиться улучшением расстояния до какой-то вершины.</p>
-<h4 id="оценка-времени-работы-1">Оценка времени работы</h4>
-<p>Инициализация занимает <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>θ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\theta(V)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">θ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> времени, каждый из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> проходов требует <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>θ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\theta(E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">θ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> времени, обход по всем ребрам для проверки наличия отрицательного цикла занимает <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> времени. Значит алгоритм Беллмана-Форда работает за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(VE)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> времени.</p>
-<h3 id="35-восстановление-пути-детектирование-цикла-отрицательного-веса-поиск-самого-цикла">3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла</h3>
-<h4 id="восстановление-пути">Восстановление пути</h4>
-<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">solve</span><span class="hljs-params">()</span> </span>{
-  <span class="hljs-function">vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; <span class="hljs-title">d</span> <span class="hljs-params">(n, INF)</span></span>;
-  d[v] = <span class="hljs-number">0</span>;
-  <span class="hljs-function">vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; <span class="hljs-title">p</span> <span class="hljs-params">(n, <span class="hljs-number">-1</span>)</span></span>;
-  <span class="hljs-keyword">for</span> (;;) {
-    <span class="hljs-type">bool</span> any = <span class="hljs-literal">false</span>;
-    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> j=<span class="hljs-number">0</span>; j&lt;m; ++j)
-      <span class="hljs-keyword">if</span> (d[e[j].a] &lt; INF)
-        <span class="hljs-keyword">if</span> (d[e[j].b] &gt; d[e[j].a] + e[j].cost) {
-          d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
-          p[e[j].b] = e[j].a;
-          any = <span class="hljs-literal">true</span>;
-        }
-    <span class="hljs-keyword">if</span> (!any)  <span class="hljs-keyword">break</span>;
-  }
- 
-  <span class="hljs-keyword">if</span> (d[t] == INF)
-    cout &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;No path from &quot;</span> &lt;&lt; v &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot; to &quot;</span> &lt;&lt; t &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;.&quot;</span>;
-  <span class="hljs-keyword">else</span> {
-    vector&lt;<span class="hljs-type">int</span>&gt; path;
-    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">int</span> cur=t; cur!=<span class="hljs-number">-1</span>; cur=p[cur])
-      path.<span class="hljs-built_in">push_back</span> (cur);
-    <span class="hljs-built_in">reverse</span> (path.<span class="hljs-built_in">begin</span>(), path.<span class="hljs-built_in">end</span>());
- 
-    cout &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;Path from &quot;</span> &lt;&lt; v &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot; to &quot;</span> &lt;&lt; t &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;: &quot;</span>;
-    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-type">size_t</span> i=<span class="hljs-number">0</span>; i&lt;path.<span class="hljs-built_in">size</span>(); ++i)
-      cout &lt;&lt; path[i] &lt;&lt; <span class="hljs-string">&#x27; &#x27;</span>;
-  }
-}
-</code></pre>
-<p>Здесь мы сначала проходимся по предкам, начиная с вершины t, и сохраняем весь пройденный путь в списке <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">h</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm path</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">path</span></span></span></span></span>. В этом списке получается кратчайший путь от v до t, но в обратном порядке, поэтому мы вызываем <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">v</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm reverse</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">reverse</span></span></span></span></span> от него и затем выводим.</p>
-<h4 id="детектирование-цикла-отрицательного-веса">Детектирование цикла отрицательного веса</h4>
-<p>Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G=(V,E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> — взвешенный ориентированный граф, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> — стартовая вершина. Если граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>, то алгоритм возвращает <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm true</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">true</span></span></span></span></span> и для всех <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v \in V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>δ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[v]= \delta (s,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03785em;">δ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Если граф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> содержит отрицательные циклы, достижимые из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span>, то алгоритм возвращает <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm false</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">false</span></span></span></span></span>.</p>
-<h4 id="поиск-самого-цикла">Поиск самого цикла</h4>
-<p>Приведенная выше реализация позволяет определить наличие в графе цикла отрицательного веса. Чтобы найти сам цикл, достаточно хранить вершины, из которых производится релаксация.</p>
-<p>Если после <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> итерации найдется вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, расстояние до которой можно уменьшить, то эта вершина либо лежит на каком-нибудь цикле отрицательного веса, либо достижима из него. Чтобы найти вершину, которая лежит на цикле, можно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> раз пройти назад по предкам из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>. Так как наибольшая длина пути в графе из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span></span></span></span> вершин равна <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>, то полученная вершина u будет гарантированно лежать на отрицательном цикле.</p>
-<p>Зная, что вершина u лежит на цикле отрицательного веса, можно восстанавливать путь по сохраненным вершинам до тех пор, пока не встретится та же вершина u. Это обязательно произойдет, так как в цикле отрицательного веса релаксации происходят по кругу.</p>
-<h3 id="36-нахождение-кратчайших-путей-с-учетом-циклов-отрицательного-веса">3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса</h3>
-<p>Заметим, что updated_vertices на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span></span></span></span>-м шаге содержит два типа вершин: те, которые лежат на цикле отрицательного веса и те, которые сами достижимы из какого-то цикла отрицательного веса. При этом из доказательства леммы выше мы знаем, что от каждого (!) цикла отрицательного веса в множестве будет хотя бы по одному представителю. Из этих двух наблюдений следует корректность и полнота следующего алгоритма:</p>
-<p>Запускаем Форда-Беллмана на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|V|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">∣</span></span></span></span> шагов. Если на последнем шаге до вершины расстояние не поменялось, то оно и кратчайшее. Если поменялось, то до неё и до всех вершин, достижимых из неё, расстояние от стартовой вершины равно минус бесконечности. Чтобы найти все вершины с расстоянием минус бесконечность, достаточно запустить dfs из всех вершин, расстояние до которых уменьшилось на последней итерации алгоритма.</p>
-<h3 id="37-алгоритм-флойда-доказательство-концепция-восстановление-пути">3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути</h3>
-<h4 id="алгоритм-флойда">Алгоритм Флойда</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Алгоритм Флойда</strong> (<em>алгоритм Флойда–Уоршелла</em>) — алгоритм нахождения длин кратчайших путей между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе. Работает корректно, если в графе нет циклов отрицательной величины, а в случае, когда такой цикл есть, позволяет найти хотя бы один такой цикл.</p>
-</blockquote>
-<p>Ключевая идея алгоритма — разбиение процесса поиска кратчайших путей на фазы.</p>
-<p>Перед <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазой <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1...</mn><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(k = 1 ... n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1...</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> считается, что в матрице расстояний <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> сохранены длины таких кратчайших путей, которые содержат в качестве внутренних вершин только вершины из множества <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mn>2</mn><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{1, 2, ..., k-1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord">1</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span></span> (вершины графа мы нумеруем, начиная с единицы).</p>
-<p>Иными словами, перед <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазой величина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> равна длине кратчайшего пути из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>, если этому пути разрешается заходить только в вершины с номерами, меньшими k (начало и конец пути не считаются).</p>
-<p>Легко убедиться, что чтобы это свойство выполнилось для первой фазы, достаточно в матрицу расстояний <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> записать матрицу смежности графа: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>g</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[i][j] = g[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> — стоимости ребра из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>. При этом, если между какими-то вершинами ребра нет, то записать следует величину &quot;бесконечность&quot;. Из вершины в саму себя всегда следует записывать величину 0, это критично для алгоритма.</p>
-<p>Пусть теперь мы находимся на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазе, и хотим пересчитать матрицу <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> таким образом, чтобы она соответствовала требованиям уже для <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k+1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7778em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>-ой фазы. Зафиксируем какие-то вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>. У нас возникает два принципиально разных случая:</p>
-<p>Кратчайший путь из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>, которому разрешено дополнительно проходить через вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mn>2</mn><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{1, 2, ..., k}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord">1</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span></span>, совпадает с кратчайшим путём, которому разрешено проходить через вершины множества <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>1</mn><mo separator="true">,</mo><mn>2</mn><mo separator="true">,</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo separator="true">,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">{1, 2, ..., k-1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord">1</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span></span>.
-В этом случае величина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> не изменится при переходе с <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k+1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7778em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>-ую фазу.</p>
-<p>&quot;Новый&quot; кратчайший путь стал лучше &quot;старого&quot; пути. Это означает, что &quot;новый&quot; кратчайший путь проходит через вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>. Сразу отметим, что мы не потеряем общности, рассматривая далее только простые пути (т.е. пути, не проходящие по какой-то вершине дважды).</p>
-<p>Тогда заметим, что если мы разобьём этот &quot;новый&quot; путь вершиной <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> на две половинки (одна идущая <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi><mo>→</mo><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i \rightarrow k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>, а другая — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi><mo>→</mo><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k \rightarrow j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>), то каждая из этих половинок уже не заходит в вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>. Но тогда получается, что длина каждой из этих половинок была посчитана ещё на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k-1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7778em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>-ой фазе или ещё раньше, и нам достаточно взять просто сумму <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[i][k] + d[k][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, она и даст длину &quot;нового&quot; кратчайшего пути.</p>
-<p>Объединяя эти два случая, получаем, что на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазе требуется пересчитать длины кратчайших путей между всеми парами вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span> следующим образом:</p>
-<pre><code class="language-c++">new_d[i][j] = <span class="hljs-built_in">min</span>(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
-</code></pre>
-<p>Таким образом, вся работа, которую требуется произвести на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазе — это перебрать все пары вершин и пересчитать длину кратчайшего пути между ними. В результате после выполнения <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span>-ой фазы в матрице расстояний <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> будет записана длина кратчайшего пути между <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>, либо бесконечность, если пути между этими вершинами не существует.</p>
-<p>Последнее замечание, которое следует сделать, — то, что можно не создавать отдельную матрицу <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mi>e</mi><msub><mi>w</mi><mi>d</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">new_d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0269em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">d</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> для временной матрицы кратчайших путей на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-ой фазе: все изменения можно делать сразу в матрице <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>. В самом деле, если мы улучшили (уменьшили) какое-то значение в матрице расстояний, мы не могли ухудшить тем самым длину кратчайшего пути для каких-то других пар вершин, обработанных позднее.</p>
-<h4 id="доказательство-концепция">Доказательство (концепция)</h4>
-<p>Доказательство &quot;правильности&quot; работы этого алгоритма также очевидно и выполняется с помощью математической индукции по <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>, показывая, что на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-й итерации вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span> включается в путь только тогда, когда новый путь короче старого.</p>
-<h4 id="восстановление-пути-1">Восстановление пути</h4>
-<p>Легко поддерживать дополнительную информацию — так называемых &quot;предков&quot;, по которым можно будет восстанавливать сам кратчайший путь между любыми двумя заданными вершинами в виде последовательности вершин.</p>
-<p>Для этого достаточно кроме матрицы расстояний <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> поддерживать также матрицу предков <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p[][]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, которая для каждой пары вершин будет содержать номер фазы, на которой было получено кратчайшее расстояние между ними. Понятно, что этот номер фазы является не чем иным, как &quot;средней&quot; вершиной искомого кратчайшего пути, и теперь нам просто надо найти кратчайший путь между вершинами <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, а также между <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p[i][j]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>. Отсюда получается простой рекурсивный алгоритм восстановления кратчайшего пути.</p>
-<h3 id="38-нахождение-цикла-отрицательного-веса">3.8. Нахождение цикла отрицательного веса</h3>
-<p>Если в графе есть циклы отрицательного веса, то формально алгоритм Флойда-Уоршелла неприменим к такому графу.</p>
-<p>На самом же деле, для тех пар вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>, между которыми нельзя зайти в цикл отрицательного вес, алгоритм отработает корректно.</p>
-<p>Для тех же пар вершин, ответа для которых не существует (по причине наличия отрицательного цикла на пути между ними), алгоритм Флойда найдёт в качестве ответа какое-то число (возможно, сильно отрицательное, но не обязательно). Тем не менее, можно улучшить алгоритм Флойда, чтобы он аккуратно обрабатывал такие пары вершин и выводил для них, например, - бесконечность.</p>
-<p>Для этого можно сделать, например, следующий критерий &quot;не существования пути&quot;. Итак, пусть на данном графе отработал обычный алгоритм Флойда. Тогда между вершинами <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span> не существует кратчайшего пути тогда и только тогда, когда найдётся такая вершина <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">t</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span>, достижимая из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и из которой достижима <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>j</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">j</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.854em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05724em;">j</span></span></span></span>, для которой выполняется <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&lt;</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d[t][t] &lt; 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">]</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span>.</p>
-<p>Кроме того, при использовании алгоритма Флойда для графов с отрицательными циклами следует помнить, что возникающие в процессе работы расстояния могут сильно уходить в минус, экспоненциально с каждой фазой. Поэтому следует принять меры против целочисленного переполнения, ограничив все расстояния снизу какой-нибудь величиной (например, - Бесконечность).</p>
-<h3 id="39-алгоритм-джонсона-добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана">3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана</h3>
-<h4 id="алгоритм-джонсона">Алгоритм Джонсона</h4>
-<blockquote>
-<p>Алгоритм Джонсона позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин в течение времени <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo>⋅</mo><mn>2</mn><mi>log</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>V</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(V \cdot 2 \log(V) + VE)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mop">lo<span style="margin-right:0.01389em;">g</span></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Для разреженных графов этот алгоритм ведет себя асимптотически быстрее алгоритма Флойда. Этот алгоритм либо возвращает матрицу кратчайших расстояний между всеми парами вершин, либо сообщение о том, что в графе существует цикл отрицательной длины.</p>
-</blockquote>
-<p>В этом алгоритме используется метод изменения веса (англ. reweighting). Суть его заключается в том, что для заданного графа G строится новая весовая функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>ω</mi><mi>φ</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\omega_\varphi</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7167em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">ω</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1514em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">φ</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, неотрицательная для всех ребер графа G и сохраняющая кратчайшие пути. Такая весовая функция строится с помощью так называемой потенциальной функции.</p>
-<p>Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>φ</mi><mo>:</mo><mi>V</mi><mo>→</mo><mi>R</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\varphi: V \rightarrow R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.625em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">φ</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span> — произвольное отображение из множества вершин в вещественные числа. Тогда новой весовой функцией будет <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>ω</mi><mi>φ</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><mi>φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\omega_\varphi(u,v)=\varphi(u,v)+\varphi(u)−\varphi(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0361em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">ω</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1514em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0359em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">φ</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">φ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">φ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">φ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
-<p>Такая потенциальная функция строится добавлем фиктивной вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, из которой проведены ориентированные ребра нулевого веса во все остальные вершины графа, и запуском алгоритма Форда-Беллмана из нее (<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\varphi(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">φ</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> будет равно длине кратчайшего пути из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>). На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.</p>
-<p>Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить алгоритм Дейкстры из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.</p>
-<h4 id="добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана">Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана</h4>
-<p>Как в случае применения алгоритма Беллмана-Форда для обнаружения отрицательных циклов, существуют два способа сделать вес каждого ребра неотрицательным в произвольной сети без отрицательных циклов. Либо можно начать с истока в каждом сильно связном компоненте, либо добавить фиктивную вершину с ребром нулевой длины в каждую вершину сети. В любом случае получится остовный лес кратчайших путей, которым можно воспользоваться для присвоения весов вершинам (вес пути из корня в данную вершину в ее SPT).</p>
-<h2 id="4-остовные-деревья">4. Остовные деревья</h2>
-<h3 id="41-остовное-дерево-построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину">4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину</h3>
-<h4 id="остовное-дерево">Остовное дерево</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Остовное дерево</strong> графа (англ. <em>Spanning tree</em>) — это дерево, подграф данного графа, с тем же числом вершин, что и у исходного графа. Неформально говоря, остовное дерево получается из исходного графа удалением максимального числа рёбер, входящих в циклы, но без нарушения связности графа. Остовное дерево включает в себя все n вершин исходного графа и содержит <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n-1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span> ребро.</p>
-</blockquote>
-<h4 id="построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину">Построение с помощью обхода в глубину и в ширину</h4>
-<p>Процедуры обхода графа в глубину и в ширину можно простым способом использовать для нахождения остовов. В обоих случаях достижение новой вершины графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> из вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> вызывает &quot;включение&quot; в остовное дерево ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(u, v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
-<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">Spisok::Depth_First_Search</span> <span class="hljs-params">(Lref r)</span>
-<span class="hljs-comment">//Рекурсивный обход графа в глубину. r - указатель </span>
-<span class="hljs-comment">//на структуру Вирта.</span>
-</span>{
-  Tref t;
-
-  t = (*r).Trail; cout&lt;&lt;(*r).Key; (*r).Flag = FALSE;
-  <span class="hljs-keyword">while</span> (t!=<span class="hljs-literal">NULL</span>)
-  { <span class="hljs-keyword">if</span> ((*(*t).Id).Flag) <span class="hljs-built_in">Depth_First_Search</span> ((*t).Id); t = (*t).Next; }
-} 
-</code></pre>
-<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">Spisok::Ostov_Depth</span> <span class="hljs-params">(Lref r)</span>
-<span class="hljs-comment">//Рекурсивный обход графа в глубину, соединенный с</span>
-<span class="hljs-comment">//нахождением ребра остовного дерева.</span>
-<span class="hljs-comment">//r - указатель на структуру Вирта.</span>
-</span>{
-  Tref t;
-  Lref s;
-
-  s = r;
-  t = (*r).Trail; (*r).Flag = FALSE;
-  <span class="hljs-keyword">while</span> ( t != <span class="hljs-literal">NULL</span> )
-  { <span class="hljs-keyword">if</span> ((*(*t).Id).Flag) 
-    { cout &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;(&quot;</span> &lt;&lt; s-&gt;Key &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;,&quot;</span> &lt;&lt; t-&gt;Id-&gt;Key &lt;&lt; <span class="hljs-string">&quot;) &quot;</span>;
-      <span class="hljs-built_in">Ostov_Depth</span> ((*t).Id);
-    }
-    t = (*t).Next; 
-  }
-}
-</code></pre>
-<h3 id="42-определение-минимального-остовного-дерева">4.2. Определение минимального остовного дерева</h3>
-<blockquote>
-<p><strong>Минимальное остовное дерево</strong> (англ. <em>minimum spanning tree</em>) графа — это его ациклический связный подграф, в который входят все его вершины, обладающий минимальным суммарным весом ребер. Заметим, что граф может содержать несколько минимальных остовных деревьев.</p>
-</blockquote>
-<h3 id="43-теорема-о-разрезе-доказательство">4.3. Теорема о разрезе. Доказательство</h3>
-<h4 id="теорема-о-разрезе">Теорема о разрезе</h4>
-<p><strong>Теорема Форда — Фалкерсо́на</strong> — теорема о максимальном потоке в графе, тесно связанная с теоремой Менгера.
-Звучит так: величина максимального потока в графе путей равна величине пропускной способности его минимального разреза.</p>
-<p><em>Доказательство:</em></p>
-<p><strong>Достаточность</strong>: любой поток между вершинами t и s меньше или равен величине любого сечения. Пусть дан некоторый поток и некоторое сечение. Величина данного потока складывается из величин «грузов», перевозимых по всем возможным путям из вершины t в s. Каждый такой путь обязан иметь общее ребро с данным сечением. Так как по каждому ребру сечения суммарно нельзя перевести «груза» больше, чем его пропускная способность, поэтому сумма всех грузов меньше или равна сумме всех пропускных способностей рёбер данного сечения. Утверждение доказано.</p>
-<p>Отсюда следует, что любой поток меньше или равен величине минимального сечения, а значит и максимальный поток меньше или равен величине минимального сечения.</p>
-<h3 id="44-алгоритм-прима-аналогия-с-алгоритмом-дейкстры-оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча-последнее-без-доказательства">4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)</h3>
-<h4 id="алгоритм-прима">Алгоритм Прима</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Алгоритм Прима</strong> (англ. <em>Prim's algorithm</em>) — алгоритм поиска минимального остовного дерева (англ. minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе.</p>
-</blockquote>
-<h4 id="аналогия-с-алгоритмом-дейкстры">Аналогия с алгоритмом Дейкстры</h4>
-<p>Данный алгоритм очень похож на алгоритм Дейкстры. Будем последовательно строить поддерево <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> ответа графе <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, поддерживая приоритетную очередь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>Q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Q</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">Q</span></span></span></span> из вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>∖</mo><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G \setminus F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>, в которой ключом для вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> является <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>min</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>ω</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>F</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo separator="true">,</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>∈</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>G</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\min(\omega(uv) (u \in V(F), (u, v) \in E(G)))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mop">min</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">ω</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">uv</span><span class="mclose">)</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span><span class="mclose">)</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mclose">)))</span></span></span></span> — вес минимального ребра из вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> в вершины <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>∖</mo><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G \setminus F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>. Также для каждой вершины в очереди будем хранить <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> — вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> поддерживается неявно, и его ребра — это пары <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,p(v))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">))</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>G</mi><mo>∖</mo><mi>r</mi><mo>∖</mo><mi>Q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v \in G \setminus {r} \setminus Q</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">Q</span></span></span></span>, а <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> — корень <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>. Изначально <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> пусто и значения ключей у всех вершин равны <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">+\infty</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">+</span><span class="mord">∞</span></span></span></span>. Выберём произвольную вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> и присвоим её ключу значение 0. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> из приоритетной очереди и релаксировать все ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, такие что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>Q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u \in Q</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">Q</span></span></span></span>, выполняя при этом операцию <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">K</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm decreaseKey</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm" style="margin-right:0.01389em;">decreaseKey</span></span></span></span></span> над очередью и обновление <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">p(v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v,p(v))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">))</span></span></span></span> при этом добавляется к ответу.</p>
-<h4 id="оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча">Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча</h4>
-<p>Двоичная куча - <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(ElogV)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">El</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>
-(Чтобы упростить операцию <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">K</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm decreaseKey</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm" style="margin-right:0.01389em;">decreaseKey</span></span></span></span></span> можно написать кучу на основе сбалансированного бинарного дерева поиска. Тогда просто удалим вершину и добавим ее обратно уже с новым ключом. Асимптотика таких преобразований <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(logn)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Если же делать с бинарной кучей, то вместо операции <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">K</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm decreaseKey</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm" style="margin-right:0.01389em;">decreaseKey</span></span></span></span></span>, будем всегда просто добавлять вершину с новым ключом, если из кучи достали вершину с ключом, значение которого больше чем у нее уже стоит, просто игнорировать. Вершин в куче будет не больше <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">2 \cdot n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span>, следовательно, операция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm extractMin</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">extractMin</span></span></span></span></span> будет выполняться за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>⋅</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(log(\cdot n))</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mopen">(</span><span class="mord">⋅</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">))</span></span></span></span>, что равно <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(logn)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Максимальное количество вершин, которое мы сможем достать, равняется количеству ребер, то есть m, поэтому общая асимптотика составит <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(mlogn)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">m</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, что хорошо только на разреженных графах.)</p>
-<p>Фибоначчиева куча - <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>V</mi><mo>+</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(VlogV+E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></p>
-<h3 id="45-алгоритм-прима-доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе">4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе</h3>
-<p>Приведем еще раз теорему о разрезе:</p>
-<blockquote>
-<p>Для любого разбиения множества вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V = A \cup B</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∪</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span></span></span></span>, существует минимальный остов, содержащий <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> – минимальное по весу ребро, проходящее через разрез <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>A</mi><mo separator="true">,</mo><mi>B</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle A, B \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span></p>
-</blockquote>
-<p>Доказательство. Возьмём минимальный остов без <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span>. Добавим <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span>, получится цикл. Два ребра этого цикла проходят через разрез <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>A</mi><mo separator="true">,</mo><mi>B</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle A, B \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span>. Старое неменьше <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span>, удалим его. Если же в процессе построения <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm min</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6679em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">min</span></span></span></span></span> остова уже известно подмножество рёбер будущего <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm min</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6679em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">min</span></span></span></span></span> остова, эти рёбра задают компоненты связности. Мы можем сжать компоненты в вершины и для конденсации применить лемму о разрезе.</p>
-<p>Следствие <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>X</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">X</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07847em;">X</span></span></span></span> – подмножество рёбер некого минимального остова. Зафиксируем разрез <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V = A \cup B</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∪</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span></span></span></span> такой, что все рёбра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>X</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">X</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07847em;">X</span></span></span></span> не пересекают разрез. Тогда <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∃</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\exist</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord">∃</span></span></span></span> минимальный остов, содержащий <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>X</mi><mo>∪</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>e</mi><mo stretchy="false">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">X \cup \{e\}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07847em;">X</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∪</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">{</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mclose">}</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> – минимальное по весу ребро, проходящее через разрез <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>A</mi><mo separator="true">,</mo><mi>B</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle A, B \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span>.</p>
-<h4 id="доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе">Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе</h4>
-<p>Разрез – текущее множество <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span> и дополнение <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mo>∖</mo><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V \setminus A</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span>.</p>
-<h3 id="46-алгоритм-краскала-доказательство-корректности-оценка-времени-работы">4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы</h3>
-<h4 id="алгоритм-краскала">Алгоритм Краскала</h4>
-<p>Будем последовательно строить подграф <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> (&quot;растущий лес&quot;), пытаясь на каждом шаге достроить <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> до некоторого <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>M</mi><mi>S</mi><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">MST</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">MST</span></span></span></span>. Начнем с того, что включим в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span> все вершины графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>. Теперь будем обходить множество <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>G</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E(G)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> в порядке неубывания весов ребер. Если очередное ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> соединяет вершины одной компоненты связности <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>, то добавление его в остов приведет к возникновению цикла в этой компоненте связности. В таком случае, очевидно, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> не может быть включено в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>. Иначе <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> соединяет разные компоненты связности <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>, тогда существует <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle S, T \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span> разрез такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа — вторую. Тогда <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> — минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из леммы о безопасном ребре следует, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>e</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span></span></span> является безопасным, поэтому добавим это ребро в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">F</span></span></span></span>. На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности, полученный подграф будет минимальным остовным деревом графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>. Для проверки возможности добавления ребра используется система непересекающихся множеств.</p>
-<h5 id="доказательство-корректности-1">Доказательство корректности</h5>
-<p>Обратимся к теореме о разрезе из Пункта 4.5
-Добавляем ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo separator="true">,</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(a, b)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. Разрез – любой такой, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo separator="true">,</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(a, b)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> через него проходит.</p>
-<h5 id="оценка-времени-работы-2">Оценка времени работы</h5>
-<p><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(ElogE)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">El</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
-<h3 id="47-система-непересекающихся-множеств-эвристика-потенциалов-без-доказательства-эвристика-сжатия-пути-без-доказательства-почти-константное-время-работы">4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы</h3>
-<h3 id="48-алгоритм-борувки-доказательствополное-оценка-времени-работы">4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство(полное). Оценка времени работы</h3>
-<h4 id="алгоритм-борувки">Алгоритм Борувки</h4>
-<p>Алгоритм состоит из нескольких шагов:</p>
-<ol>
-<li>Изначально каждая вершина графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> — тривиальное дерево, а ребра не принадлежат никакому дереву.</li>
-<li>Для каждого дерева <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> найдем минимальное инцидентное ему ребро. Добавим все такие ребра.</li>
-<li>Повторяем шаг 2 пока в графе не останется только одно дерево <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span>.</li>
-</ol>
-<p>Данный алгоритм может работать неправильно, если в графе есть ребра равные по весу. Например, полный граф из трех вершин, вес каждого ребра равен один. В <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> могут быть добавлены все три ребра. Избежать эту проблему можно, например, выбирая в первом пункте среди ребер, равных по весу, ребро с наименьшим номером.</p>
-<p><strong>Доказательство:</strong></p>
-<p>Обратимся к теореме о разрезе из Пункта 4.5
-Рёбра, которые хочет добавить Борувка, разобьём на компоненты связности. Каждая компонента – дерево, рёбра компоненты будем добавлять по одному от корня к листьям. Добавляя
-очередное ребро ведущее в лист <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span>, используем разрез <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">}</mo><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo>∖</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">}</mo><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle \{v\}, V \setminus \{v\} \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨{</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">}</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">{</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">}⟩</span></span></span></span> и лемму о разрезе.</p>
-<h5 id="оценка-времени-работы-3">Оценка времени работы</h5>
-<p>На <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span>-ой итерации внешнего цикла каждая компонента состоит как минимум из двух компонент из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(i−1)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>-й итерации. Значит, на каждой итерации число компонент уменьшается как минимум в 2 раза. Тогда внешний цикл повторяется <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(logV)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> раз, так как количество компонент изначально равно количеству вершин. Что же касается внутреннего цикла, то он выполняется за <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>E</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span></span></span></span> — количество рёбер в исходном графе. Следовательно конечное время работы алгоритма <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>E</mi><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(ElogV)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">El</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
-<h3 id="49-приближение-решения-задачи-коммивояжера-с-помощью-минимального-остовного-дерева">4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева</h3>
-<blockquote>
-<p><strong>Алгоритм Кристофидеса</strong> или <strong>алгоритм Кристофидеса-Сердюкова</strong> — это алгоритм поиска приближённых решений задачи коммивояжёра для случаев, когда расстояния образуют метрическое пространство (симметричны и удовлетворяют неравенству треугольника).</p>
-</blockquote>
-<p>Алгоритм является аппроксимационным алгоритмом, который гарантирует, что решения находятся в пределах 3/2 от длины оптимального решения. Алгоритм назван именем Никоса Кристофидеса и Анатолия Ивановича Сердюкова, которые независимо друг от друга нашли его в 1976, и он обладает лучшим аппроксимационным коэффициентом, который был доказан для задачи коммивояжёра на метрических пространствах общего вида, хотя известны лучшие приближения для некоторых специальных случаев.</p>
-<p>Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G=(V,w)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> будет представителем задачи коммивояжёра. То есть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> является полным графом на множестве вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span>, а функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>w</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">w</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span></span></span></span> назначает неотрицательные вещественные веса каждому ребру графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>.
-Алгоритм можно описать на псевдокоде следующим образом:</p>
-<ol>
-<li>Создаём минимальное остовное дерев <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> графа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>.</li>
-<li>Пусть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span></span></span></span> будет набором вершин с нечётными степенями в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span>. Согласно лемме о рукопожатиях, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span></span></span></span> имеет чётное число вершин.</li>
-<li>Находим совершенное паросочетание <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10903em;">M</span></span></span></span> минимального веса в порождённом подграфе, заданным вершинами из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span></span></span></span>.</li>
-<li>Комбинируем рёбра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">M</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10903em;">M</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> с образованием связного мультиграфа <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>, в котором каждая вершина имеет чётную степень.</li>
-<li>Образуем эйлеров цикл в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>H</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">H</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.08125em;">H</span></span></span></span>.</li>
-<li>Преобразуем цикл, найденный на предыдущем шаге, в гамильтонов цикл путём пропуска повторяющихся вершин (сокращение).</li>
-</ol>
-<h2 id="5-потоки-в-сетях">5. Потоки в сетях</h2>
-<h3 id="51-определение-сети-определение-потока-физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа-определение-разреза-понятия-потока-через-разрез">5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез</h3>
-<h4 id="определение-сети">Определение сети</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Сеть</strong> (англ. <em>flow network</em>) представляет собой ориентированный граф, в котором каждое ребро имеет положительную пропускную способность (англ. <em>capacity</em>).</p>
-</blockquote>
-<h4 id="определение-потока">Определение потока</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Потоком</strong> (англ. <em>flow</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span></span></span></span> в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> является действительная функция <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo>:</mo><mi>V</mi><mo>×</mo><mi>V</mi><mo>→</mo><mi>R</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f: V \times V \rightarrow R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">×</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span>, удоволетворяющая условиям:</p>
-</blockquote>
-<ol>
-<li><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(u,v) = −f(v,u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> (антисимметричность)</li>
-<li><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≤</mo><mi>c</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(u,v) \leq c(u,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">≤</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">c</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> (ограничение пропускной способности), если ребра нет, то <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(u,v)=0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span>;</li>
-<li><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mi>v</mi><mo>⋅</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Sigma v \cdot f(u,v) = 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord">Σ</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span> для всех вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, кроме <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">t</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span> (закон сохранения потока).</li>
-</ol>
-<blockquote>
-<p>Величина потока <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span></span></span></span> определяется как <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>f</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>V</mi><mo>⋅</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|f|=\Sigma v \in V \cdot f(s,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord">∣</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord">Σ</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
-</blockquote>
-<h4 id="физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа">Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа</h4>
-<h4 id="определение-разреза">Определение разреза</h4>
-<blockquote>
-<p><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(s,t)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> - <strong>разрезом</strong> (англ. <em>s-t cut</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle S,T \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span> в сети <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> называется пара множеств <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span>, удоволетворяющих условиям: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mi>S</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s \in S</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span></span></span></span>,<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi><mo>∈</mo><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">t \in T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6542em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>S</mi><mo>=</mo><mi>V</mi><mo>∖</mo><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">S = V \setminus T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span>.</p>
-</blockquote>
-<h4 id="понятия-потока-через-разрез">Понятия потока через разрез</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Поток в разрезе</strong> (англ. <em>flow in the cut</em>) <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">⟨</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">⟩</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\langle S,T \rangle</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">⟨</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">⟩</span></span></span></span> обозначается <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(S,T)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> и вычисляется по формуле: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>S</mi><mo>⋅</mo><mi mathvariant="normal">Σ</mi><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>T</mi><mo>⋅</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(S,T)= \Sigma u \in S \cdot \Sigma v \in T \cdot f(u,v)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord">Σ</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7224em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord">Σ</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">⋅</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
-</blockquote>
-<h3 id="52-доказательство-факта-что-поток-через-любой-разрез-одинаковый">5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый</h3>
-<p><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo>∖</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>f</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(S,T) = f(S,V) − f(S,S) = f(S,V) = f(S \setminus s,V) + f(s,V) = f(s,V) = |f|</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∖</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">∣</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord">∣</span></span></span></span></p>
-<p>1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>
-2-е равенство выполняется из-за антисимметричности: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>S</mi><mo separator="true">,</mo><mi>S</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(S,S)=−f(S,S)=0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">S</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span>
-3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм
-4-е равенство выполняется из-за сохранения потока</p>
-<h3 id="53-понятие-остаточной-сети-понятие-дополняющего-пути-необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока">5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока</h3>
-<h4 id="понятие-остаточной-сети">Понятие остаточной сети</h4>
-<p>Если задана некоторая транспортная сеть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span> и поток <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span></span></span></span>, то <strong>остаточная сеть</strong> <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>G</mi><mi>f</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G_f</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9694em;vertical-align:-0.2861em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3361em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.10764em;">f</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2861em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> - это сеть, состоящая из ребер с пропускными способностями, указывающими, как могут меняться потоки через ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>.</p>
-<h4 id="понятие-дополняющего-пути">Понятие дополняющего пути</h4>
-<p>Для заданной транспортной сети и потока <strong>дополняющим путем</strong> (англ. <em>augmenting path</em>) является простой путь из истока в сток в остаточной сети.</p>
-<h4 id="необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока">Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока</h4>
-<p>В случае существования дополняющего пути поток можно увеличить.</p>
-<h3 id="54-теорема-форда-фалкерсона">5.4. Теорема Форда-Фалкерсона</h3>
-<blockquote>
-<p><strong>Теорема Форда — Фалкерсо́на</strong> — теорема о максимальном потоке в графе, тесно связанная с теоремой Менгера. Звучит так: величина максимального потока в графе путей равна величине пропускной способности его минимального разреза.</p>
-</blockquote>
-<h3 id="55-алгоритм-форда-фалкерсона-поиск-минимального-разреза-пример-целочисленной-сети-в-котором-алгоритм-работает-долго">5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго</h3>
-<h4 id="алгоритм-форда-фалкерсона">Алгоритм Форда-Фалкерсона</h4>
-<p>Идея алгоритма заключается в следующем. Изначально величине потока присваивается значение 0: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(u,v)=0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span> для всех <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u, v \in V</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7335em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">∈</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span></span></span></span>. Затем величина потока итеративно увеличивается посредством поиска увеличивающего пути (путь от источника <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span></span></span></span> к стоку <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">t</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6151em;"></span><span class="mord mathnormal">t</span></span></span></span>, вдоль которого можно послать ненулевой поток). В данной статье рассматривается алгоритм, осуществляющий этот поиск с помощью обхода в глубину (dfs). Процесс повторяется, пока можно найти увеличивающий путь.</p>
-<p><strong>Неформальное описание:</strong></p>
-<ol>
-<li>Обнуляем все потоки. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.</li>
-<li>В остаточной сети находим любой путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.</li>
-<li>Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
-<ol>
-<li>На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</li>
-<li>Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, а в противоположном ему — уменьшаем на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</li>
-<li>Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных (антипараллельных) им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.</li>
-</ol>
-</li>
-<li>Возвращаемся на шаг 2.</li>
-</ol>
-<h4 id="поиск-минимального-разреза">Поиск минимального разреза</h4>
-<p>Алгоритм Форда-Фалкерсона использует поиск в ширину для нахождения увеличивающего пути в сети и постепенно увеличивает поток через этот путь, пока не будет достигнут максимальный поток. Затем алгоритм ищет минимальный разрез, основываясь на значении потока.</p>
-<h3 id="56-алгоритм-эдмондса-карпа-доказательство-что-кратчайшее-расстояние-в-остаточной-сети-не-уменьшается">5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается</h3>
-<h4 id="алгоритм-эдмондса-карпа">Алгоритм Эдмондса-Карпа</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Алгоритм Эдмондса-Карпа</strong> является реализацией метода Форда-Фалкерсона, в которой в качестве дополняющего пути выбирается кратчайший по рёбрам путь в остаточной сети (длины всех рёбер равны 1).</p>
-</blockquote>
-<p><strong>Описание:</strong></p>
-<ol>
-<li>Положим все потоки равными нулю. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.</li>
-<li>В остаточной сети находим кратчайший путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.</li>
-<li>Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
-<ol>
-<li>На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</li>
-<li>Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, а в противоположном ему — уменьшаем на <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_{min}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">c</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">min</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>.</li>
-<li>Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.</li>
-</ol>
-</li>
-<li>Возвращаемся на шаг 2.</li>
-</ol>
-<p><strong>Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшаетcя:</strong></p>
-<p><strong>Лемма:</strong></p>
-<blockquote>
-<p>Кратчайшее расстояние от истока до каждой вершины не уменьшается с выполнением каждой итерации, т.е. <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&gt;</mo><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_{i+1}[v] &gt;= level_i[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, где нижний индекс обозначает номер фазы, перед которой взяты значения этих переменных.</p>
-</blockquote>
-<p><strong>Доказательство:</strong></p>
-<p>Зафиксируем произвольную фазу <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и произвольную вершину <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> и рассмотрим любой кратчайший <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s - v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> в сети <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>G</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>R</mi></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R_{i+1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.1583em;vertical-align:-0.317em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-2.4413em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.317em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (напомним, так мы обозначаем остаточную сеть, взятую перед выполнением <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i+1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7429em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>-ой фазы). Очевидно, длина пути <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> равна <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_{i+1}[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>.</p>
-<p>Заметим, что в остаточную сеть <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>G</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>R</mi></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R_{i+1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.1583em;vertical-align:-0.317em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-2.4413em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.317em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> могут входить только рёбра из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mi>R</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8413em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>, а также рёбра, обратные рёбрам из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mi>R</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8413em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (это следует из определения остаточной сети). Рассмотрим два случая:</p>
-<p>Путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> содержит только рёбра из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mi>R</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8413em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>. Тогда, понятно, длина пути <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> больше либо равна <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_i[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> (потому что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_i[v]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> по определению — длина кратчайшего пути), что и означает выполнение неравенства. Путь <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>P</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">P</span></span></span></span> содержит как минимум одно ребро, не содержащееся в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mi>R</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8413em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> (но обратное какому-то ребру из <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>G</mi><mi>R</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G^R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8413em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">G</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>). Рассмотрим первое такое ребро; пусть это будет ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(u,w)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi><mo>→</mo><mi>u</mi><mo>→</mo><mi>w</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s \rightarrow u \rightarrow w</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">→</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span></span></span></span></p>
-<p>Мы можем применить нашу лемму к вершине <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span>, потому что она подпадает под первый случай; итак, мы получаем неравенство <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&gt;</mo><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_{i+1}[u] &gt;= level_i[u]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>.</p>
-<p>Теперь заметим, что поскольку ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(u, w)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> появилось в остаточной сети только после выполнения <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span>-ой фазы, то отсюда следует, что вдоль ребра <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>w</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(w, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> был дополнительно пропущен какой-то поток; следовательно, ребро <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>w</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(w, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> принадлежало слоистой сети перед <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span>-ой фазой, а потому <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_i[u] = level_i[w] + 1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>. Учтём, что по свойству кратчайших путей <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_{i+1}[w] = level_{i+1}[u] + 1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>, и объединяя это равенство с двумя предыдущими неравенствами, получаем:
-<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&gt;</mo><mo>=</mo><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">level_{i+1}[w] &gt;= level_i[w] + 2</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3117em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.0197em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">i</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02691em;">w</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">2</span></span></span></span>.</p>
-<p>Теперь мы можем применять те же самые рассуждения ко всему оставшемуся пути до <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> (т.е. что каждое инвертированное ребро добавляет к <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">v</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rm level</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathrm">level</span></span></span></span></span> как минимум два), и в итоге получим требуемое неравенство.</p>
-<h3 id="57-общая-оценка-времени-работы-алгоритма-эдмондса-карпа">5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа</h3>
-<p>Сложность алгоритма Эдмондса-Карпа равна <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><msup><mi>E</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(VE^2)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
-<h3 id="58-слоистая-сеть-алгоритм-диница-оценка-времени-работы-без-доказательства">5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства</h3>
-<h4 id="слоистая-сеть">Слоистая сеть</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Слоистая сеть</strong> — это сеть состоящая только из таких рёбер <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(v, u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> сети <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>G</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">G</span></span></span></span>, что <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d(v) + 1 = d(u)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal">d</span></span></span></span> - расстояние от истока.</p>
-</blockquote>
-<h4 id="алгоритм-диница">Алгоритм Диница</h4>
-<p><strong>Схема алгоритма:</strong></p>
-<ol>
-<li>Построить слоистую сеть по остаточной, если сток не достижим то завершить алгоритм</li>
-<li>Пустить блокирующий поток в слоистой сети</li>
-<li>Если алгоритм завершился, то в остаточной сети сток не достижим из истока, а значит не существует увеличивающего пути, следовательно найденный поток максимален.</li>
-</ol>
-<h4 id="оценка-времени-работы-без-доказательства">Оценка времени работы без доказательства</h4>
-<p>Так как расстояние строго увеличивается количество итераций алгоритма = <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(V)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>. В зависимости от выбора алгоритма поиска блокирующего потока время данного алгоритма может составить <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>V</mi><msup><mi>E</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo separator="true">,</mo><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>V</mi><mn>2</mn></msup><mi>E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(VE^2), O(V^2E)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05764em;">E</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> или <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>V</mi><mn>3</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(V^3)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
-<h2 id="6-rmq-sparse-table-дерево-отрезков-lca-декартово-дерево-по-неявному-ключу">6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу</h2>
-<h3 id="61-rsq-и-rmq-sparse-table">6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table</h3>
-<h4 id="rsq-и-rmq">RSQ и RMQ.</h4>
-<p>Дан числовой массив: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[0]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord">0</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[1]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord">1</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, ..., <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[N−1</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10903em;">N</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">1</span></span></span></span>.$</p>
-<p>Нужно отвечать на запросы:</p>
-<ul>
-<li>для данных <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>R</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">R</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span></span></span></span> вычислить сумму <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>L</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mo>+</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>R</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[L] + ... + A[R−1]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">...</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.00773em;">R</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>;</li>
-<li>(опционально) обновить элемент: <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[i] := x</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">x</span></span></span></span>.</li>
-</ul>
-<p>Операция — не обязательно сумма, а элементы — не обязательно числа.</p>
-<ul>
-<li>Сумма <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>→</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rightarrow</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.3669em;"></span><span class="mrel">→</span></span></span></span> RSQ (range sum query)</li>
-<li>Минимум <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>→</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\rightarrow</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.3669em;"></span><span class="mrel">→</span></span></span></span> RMQ (range minimum query)</li>
-</ul>
-<h3 id="62-дерево-отрезков-обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня">6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня</h3>
-<h4 id="дерево-отрезков">Дерево отрезков</h4>
-<p>Дерево отрезков — это структура данных, которая позволяет эффективно (т.е. за асимптотику <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(log n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>) реализовать операции следующего вида: нахождение суммы/минимума элементов массива в заданном отрезке (<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>r</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a[l ... r]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">...</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mclose">]</span></span></span></span>, где <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>l</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">l</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span></span></span></span> поступают на вход алгоритма), при этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и изменение элементов на целом подотрезке массива (т.е. разрешается присвоить всем элементам <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mi>r</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a[l ... r]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">...</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число).</p>
-<p>Вообще, дерево отрезков — очень гибкая структура, и число задач, решаемых ей, теоретически неограниченно. Помимо приведённых выше видов операций с деревьями отрезков, также возможны и гораздо более сложные операции (см. раздел &quot;Усложнённые версии дерева отрезков&quot;). В частности, дерево отрезков легко обобщается на большие размерности: например, для решения задачи о поиске суммы/минимума в некотором подпрямоугольнике данной матрицы (правда, уже только за время <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><msup><mi>g</mi><mn>2</mn></msup><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(log^2 n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>).</p>
-<p>Важной особенностью деревьев отрезков является то, что они потребляют линейный объём памяти: стандартному дереву отрезков требуется порядка <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>4</mn><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">4n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">4</span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> элементов памяти для работы над массивом размера <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span>.</p>
-<h4 id="обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня">Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня</h4>
-<p>В дереве отрезков обработка запросов может осуществляться как от листьев (bottom-up), так и от корня (top-down). Это связано с тем, как информация распространяется вдоль дерева при выполнении запросов.</p>
-<ol>
-<li>
-<p><strong>Обработка запросов от листьев (Bottom-Up):</strong></p>
-<ul>
-<li>Идея заключается в том, что сначала вычисляются значения для листьев (первоначальные элементы массива), а затем эта информация постепенно передается вверх по дереву для расчета значений на более высоких уровнях.</li>
-<li>Когда поступает запрос на определенный отрезок, начинаются вычисления от соответствующих листьев. Затем результаты объединяются на более высоких уровнях дерева, пока не достигнется корень.</li>
-<li>Этот подход обеспечивает эффективность расчетов для запросов на отрезках.</li>
-</ul>
-</li>
-<li>
-<p><strong>Обработка запросов от корня (Top-Down):</strong></p>
-<ul>
-<li>Здесь запрос начинается с корня дерева, и информация передается вниз по дереву до тех пор, пока не достигнут нужные листья (или пока не выполнены условия запроса).</li>
-<li>Этот метод может быть полезен в случаях, когда запросы связаны с каким-то условием, которое позволяет пропускать некоторые поддеревья, не вычисляя их полностью.</li>
-<li>Позволяет оптимизировать запросы, если известно, что результаты на некоторых уровнях дерева не повлияют на результат запроса.</li>
-</ul>
-</li>
-</ol>
-<p>Реализация обработки запросов от листьев или от корня зависит от конкретных требований задачи и структуры дерева отрезков. В некоторых случаях может быть полезно использовать комбинацию обоих методов для оптимизации производительности и удовлетворения специфических требований запросов.</p>
-<h3 id="63-изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков-множественные-операции">6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции</h3>
-<h4 id="изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков">Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.</h4>
-<p>Напомним, что запрос обновления получает на вход индекс <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span> и значение <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">x</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">x</span></span></span></span>, и перестраивает дерево отрезков таким образом, чтобы оно соответствовало новому значению <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[i] := x</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">x</span></span></span></span>. Этот запрос должен также выполняться за время <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(log n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>.</p>
-<p>Это более простой запрос по сравнению с запросом подсчёта суммы. Дело в том, что элемент <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A[i]</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mopen">[</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mclose">]</span></span></span></span> участвует только в относительно небольшом числе вершин дерева отрезков: а именно, в <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>O</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">O(log n)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">O</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> вершинах — по одной с каждого уровня.</p>
-<p>Тогда понятно, что запрос обновления можно реализовать как рекурсивную функцию: ей передаётся текущая вершина дерева отрезков, и эта функция выполняет рекурсивный вызов от одного из двух своих сыновей (от того, который содержит позицию i в своём отрезке), а после этого — пересчитывает значение суммы в текущей вершине точно таким же образом, как мы это делали при построении дерева отрезков (т.е. как сумма значений по обоим сыновьям текущей вершины).</p>
-<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function"><span class="hljs-type">void</span> <span class="hljs-title">update</span> <span class="hljs-params">(<span class="hljs-type">int</span> v, <span class="hljs-type">int</span> tl, <span class="hljs-type">int</span> tr, <span class="hljs-type">int</span> pos, <span class="hljs-type">int</span> new_val)</span> </span>{
-  <span class="hljs-keyword">if</span> (tl == tr)
-    t[v] = new_val;
-  <span class="hljs-keyword">else</span> {
-    <span class="hljs-type">int</span> tm = (tl + tr) / <span class="hljs-number">2</span>;
-    <span class="hljs-keyword">if</span> (pos &lt;= tm)
-      <span class="hljs-built_in">update</span> (v*<span class="hljs-number">2</span>, tl, tm, pos, new_val);
-    <span class="hljs-keyword">else</span>
-      <span class="hljs-built_in">update</span> (v*<span class="hljs-number">2</span>+<span class="hljs-number">1</span>, tm+<span class="hljs-number">1</span>, tr, pos, new_val);
-    t[v] = t[v*<span class="hljs-number">2</span>] + t[v*<span class="hljs-number">2</span>+<span class="hljs-number">1</span>];
-  }
-}
-</code></pre>
-<h4 id="множественные-операции">Множественные операции</h4>
-<p>Множественные операции в дереве отрезков относятся к расширенной концепции структуры данных &quot;дерево отрезков&quot;, которая позволяет эффективно выполнять несколько операций на отрезках массива или последовательности данных. Обычно дерево отрезков предназначено для выполнения операций типа запроса на сумму, минимум, максимум на определенном подотрезке массива. Однако, при необходимости, можно расширить возможности дерева отрезков для поддержки нескольких операций.</p>
-<p>Примеры множественных операций в дереве отрезков могут включать в себя:</p>
-<ol>
-<li>
-<p><strong>Сумма и обновление (Range Sum Query and Range Update):</strong> Помимо запросов на сумму элементов на определенном отрезке, можно добавить операции обновления, изменяющие значения элементов на определенном отрезке.</p>
-</li>
-<li>
-<p><strong>Минимум/максимум и обновление (Range Minimum/Maximum Query and Range Update):</strong> Поддержка запросов на поиск минимума или максимума на определенном отрезке, а также операций обновления значений элементов.</p>
-</li>
-<li>
-<p><strong>Подсчет количества элементов в диапазоне с заданным условием (Count Elements in Range with a Given Condition):</strong> Дерево отрезков может быть настроено для подсчета количества элементов, удовлетворяющих определенному условию, на определенном отрезке.</p>
-</li>
-<li>
-<p><strong>Операции нахождения k-го порядкового статистического элемента (K-th Order Statistics Operations):</strong> Поиск <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03148em;">k</span></span></span></span>-го минимального/максимального элемента на определенном отрезке.</p>
-</li>
-<li>
-<p><strong>Сложные агрегатные функции:</strong> Различные агрегатные функции, такие как нахождение среднего значения, медианы и др., могут быть реализованы с использованием множественных операций.</p>
-</li>
-</ol>
-<p>Реализация множественных операций требует изменений в структуре дерева отрезков и логике обработки запросов и обновлений. Это может потребовать более сложного кода, но в то же время предоставляет более широкий спектр возможностей для решения различных задач.</p>
-<h3 id="64-lca-метод-двоичного-подъёма">6.4. LCA. Метод двоичного подъёма</h3>
-<h4 id="lca">LCA</h4>
-<p>Наименьший общий предок (нижайший общий предок) вершин <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> в корневом дереве <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>T</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">T</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.13889em;">T</span></span></span></span> — наиболее удалённая от корня дерева вершина, лежащая на обоих путях от <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">u</span></span></span></span> и <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">v</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span></span></span></span> до корня, т. е. являющаяся предком обеих вершин. Общепринятое сокращение — <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi><mi>C</mi><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">LCA</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">L</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span> от англ. <em>lowest (least) common ancestor</em>.</p>
-<h4 id="метод-двоичного-подъёма">Метод двоичного подъёма</h4>
-<blockquote>
-<p><strong>Метод двоичного подъёма</strong> — один из самых простых методов для решения задачи LCA в online. Он не использует метод решения задачи RMQ и основан на методе динамического программирования.</p>
-</blockquote>
-<pre><code class="language-c++"><span class="hljs-function">function <span class="hljs-title">preprocess</span><span class="hljs-params">()</span>:
-     int[] p =</span> <span class="hljs-built_in">dfs</span>(<span class="hljs-number">0</span>)
-     <span class="hljs-keyword">for</span> i = <span class="hljs-number">1</span> to n
-        dp[i][<span class="hljs-number">0</span>] = p[i]
-     <span class="hljs-keyword">for</span> j = <span class="hljs-number">1</span> to <span class="hljs-built_in">log</span>(n)
-        <span class="hljs-keyword">for</span> i = <span class="hljs-number">1</span> to n
-           dp[i][j] = dp[dp[i][j - <span class="hljs-number">1</span>]][j - <span class="hljs-number">1</span>]
-  
-  <span class="hljs-type">int</span> <span class="hljs-built_in">lca</span>(<span class="hljs-type">int</span> v, <span class="hljs-type">int</span> u):
-     <span class="hljs-keyword">if</span> d[v] &gt; d[u]
-        <span class="hljs-built_in">swap</span>(v, u)
-     <span class="hljs-keyword">for</span> i = <span class="hljs-built_in">log</span>(n) downto <span class="hljs-number">0</span>
-        <span class="hljs-keyword">if</span> d[dp[u][i]] - d[v] &gt;= <span class="hljs-number">0</span>
-           u = dp[u][i]
-     <span class="hljs-keyword">if</span> v == u
-        <span class="hljs-keyword">return</span> v
-     <span class="hljs-keyword">for</span> i = <span class="hljs-built_in">log</span>(n) downto <span class="hljs-number">0</span>
-        <span class="hljs-keyword">if</span> dp[v][i] != dp[u][i]
-           v = dp[v][i]
-           u = dp[u][i]
-     <span class="hljs-keyword">return</span> p[v]
-</code></pre>
-<h3 id="65-декартово-дерево-по-неявному-ключу-интерфейс-быстрого-массива-доступ-к-элементу-в-позиции-i-вставка-элемента-в-позицию-i-удаление-элемента-из-позиции-i-конкатенация-двух-массивов-разделение-массива-на-два">6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два</h3>
-<h4 id="декартово-дерево-по-неявному-ключу">Декартово дерево по неявному ключу</h4>
-<p>Декартово дерево по неявному ключу - это структура данных, объединяющая свойства декартова дерева и быстрого массива (cartesian tree on implicit key). Декартово дерево основано на двух параметрах: приоритете (обычно случайном) и ключе элемента. В случае декартова дерева по неявному ключу, элементы упорядочены по порядку, заданному индексами массива.</p>
-<h4 id="интерфейс-быстрого-массива">Интерфейс быстрого массива</h4>
-<ol>
-<li>
-<p><strong>Доступ к элементу в позиции i:</strong></p>
-<ul>
-<li>Так как элементы упорядочены по неявному ключу (порядковому номеру), доступ к элементу в позиции i выполняется, обращаясь к элементу с ключом i.</li>
-</ul>
-</li>
-<li>
-<p><strong>Вставка элемента в позицию i:</strong></p>
-<ul>
-<li>Вставка элемента в позицию i может быть выполнена путем создания нового узла с соответствующим приоритетом и неявным ключом i, затем соединения этого нового узла с существующими поддеревьями вокруг позиции i.</li>
-</ul>
-</li>
-<li>
-<p><strong>Удаление элемента из позиции i:</strong></p>
-<ul>
-<li>Удаление элемента из позиции i подразумевает разделение декартова дерева на два поддерева: одно до позиции i и второе после позиции i. Затем оба поддерева могут быть объединены, игнорируя узел с ключом i.</li>
-</ul>
-</li>
-</ol>
-<p>Декартово дерево по неявному ключу обеспечивает эффективный доступ к элементам по индексу, а также эффективную вставку и удаление элементов, поддерживая при этом свойства декартова дерева.</p>
-<h4 id="конкатенация-двух-массивов">Конкатенация двух массивов</h4>
-<p>Декартово дерево можно использовать для эффективной конкатенации двух массивов и разделения массива на две части, представляя массив в виде декартова дерева по неявному ключу.</p>
-<p>Для конкатенации двух массивов, представленных в виде декартова дерева, можно выполнить следующие шаги:</p>
-<ol>
-<li>Создать новый узел, который станет корнем нового дерева.</li>
-<li>Как корень нового дерева выбрать узел с максимальным приоритетом из обоих деревьев.</li>
-<li>Сделать корень дерева с максимальным приоритетом корнем нового дерева.</li>
-<li>Поддерево с меньшим приоритетом становится левым (или правым) поддеревом корня нового дерева.</li>
-<li>Рекурсивно повторить процесс для поддеревьев, соответствующих двум исходным деревьям.</li>
-</ol>
-<h4 id="разделение-массива-на-два">Разделение массива на два</h4>
-<p>Для разделения массива на две части в декартовом дереве, можно воспользоваться тем фактом, что приоритеты узлов определяют порядок элементов. Мы ищем узел, чей неявный ключ соответствует индексу разделения.</p>
-<ol>
-<li>Выполняем поиск в декартовом дереве по индексу разделения.</li>
-<li>Получаем поддерево с корнем, у которого неявный ключ равен индексу разделения.</li>
-<li>Разделяем это поддерево на два: левое поддерево становится левой частью, а правое поддерево становится правой частью.</li>
-</ol>
-
-        <script async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex-copytex@latest/dist/katex-copytex.min.js"></script>
-        
-    </body>
-    </html>
\ No newline at end of file
diff --git a/doc/Theory.md b/doc/Theory.md
deleted file mode 100644
index 657d1c4..0000000
--- a/doc/Theory.md
+++ /dev/null
@@ -1,1352 +0,0 @@
-# Теория по алгоритмам <!-- omit in toc -->
-
-## Содержание
-
-- [Содержание](#содержание)
-- [1. Обходы графа](#1-обходы-графа)
-  - [1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности](#11-ориентированный-граф-псевдограф-неориентированный-граф-псевдограф-связность-в-неориентированном-графе-компоненты-связности-слабая-и-сильная-связность-в-ориентированном-графе-компоненты-слабой-сильной-связности)
-    - [Ориентированный граф](#ориентированный-граф)
-    - [Неориентированный граф](#неориентированный-граф)
-  - [1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)](#12-обход-в-глубину-цвета-вершин-времена-входа-и-выхода-лемма-о-белых-путях-с-доказательством)
-    - [Обход в глубину](#обход-в-глубину)
-    - [Лемма о белых путях](#лемма-о-белых-путях)
-  - [1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка](#13-проверка-связности-неориентированного-графа-поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе-топологическая-сортировка)
-    - [Проверка связности неориентированного графа](#проверка-связности-неориентированного-графа)
-    - [Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе](#поиск-цикла-в-неориентированном-и-ориентированном-графе)
-    - [Топологическая сортировка](#топологическая-сортировка)
-  - [1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности](#14-нахождение-компонент-сильной-связности-алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция-алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности)
-    - [Нахождение компонент сильной связности](#нахождение-компонент-сильной-связности)
-    - [Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция)](#алгоритм-косарайю-с-доказательством-корректностиконцепция)
-    - [Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности](#алгоритм-тарьяна-без-доказательства-корректности)
-  - [1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов](#15-компоненты-реберной-двусвязности-мосты-поиск-мостов)
-    - [Компоненты реберной двусвязности](#компоненты-реберной-двусвязности)
-    - [Мосты](#мосты)
-    - [Поиск мостов](#поиск-мостов)
-  - [1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения](#16-компоненты-вершинной-двусвязности-точки-сочленения-поиск-точек-сочленения)
-    - [Компоненты вершинной двусвязности](#компоненты-вершинной-двусвязности)
-    - [Точки сочленения](#точки-сочленения)
-    - [Поиск точек сочленения](#поиск-точек-сочленения)
-  - [1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)](#17-волновой-алгоритм-обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме)
-    - [Волновой алгоритм](#волновой-алгоритм)
-    - [Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)](#обход-в-ширину-применение-очереди-в-волновом-алгоритме)
-  - [1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла](#18-критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-и-неориентированном-графе-поиск-эйлерова-пути-и-цикла)
-    - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-неориентированном-графе)
-    - [Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе](#критерий-существования-эйлерова-пути-и-цикла-в-ориентированном-графе)
-    - [Поиск эйлерова пути и цикла](#поиск-эйлерова-пути-и-цикла)
-- [2. Планарность графа](#2-планарность-графа)
-  - [2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера](#21-формула-эйлера-теорема-портнягина-куратовского-теорема-вагнера)
-    - [Формула Эйлера](#формула-эйлера)
-    - [Теорема Портнягина-Куратовского](#теорема-портнягина-куратовского)
-    - [Теорема Вагнера](#теорема-вагнера)
-  - [2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина](#22-гамма-алгоритм-контактная-вершина)
-    - [Гамма алгоритм](#гамма-алгоритм)
-  - [2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма](#23-теорема-о-корректности-гамма-алгоритма-асимптотика-алгоритма)
-    - [Теорема о корректности Гамма алгоритма](#теорема-о-корректности-гамма-алгоритма)
-- [3. Кратчайшие пути во взвешенном графе](#3-кратчайшие-пути-во-взвешенном-графе)
-  - [3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей](#31-алгоритм-дейкстры-доказательство-корректностис-доказательством-оценка-времени-работы-дерево-кратчайших-путей)
-    - [Алгоритм Дейкстры](#алгоритм-дейкстры)
-    - [Доказательство корректности](#доказательство-корректности)
-    - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы)
-    - [Дерево кратчайших путей](#дерево-кратчайших-путей)
-  - [3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал $\\pi(v) = \\rho(v, t)$](#32-потенциалы-условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер-потенциал-piv--rhov-t)
-    - [Потенциалы](#потенциалы)
-    - [Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер](#условие-применимости-алгоритма-дейкстры-для-измененных-длин-ребер)
-    - [Потенциал $\\pi(v) = \\rho(v, t)$](#потенциал-piv--rhov-t)
-  - [3.3. Алгоритм A\*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик](#33-алгоритм-a-условие-монотонности-на-эвристику-примеры-эвристик)
-    - [Алгоритм A\*](#алгоритм-a)
-    - [Примеры эвристик](#примеры-эвристик)
-  - [3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: $D\_{vk}$ равно длине кратчайшего пути до вершины $v$ за ровно $k$ ребер (не более $k$ ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы](#34-алгоритм-форда-беллмана-хранение-в-матрице-d_vk-равно-длине-кратчайшего-пути-до-вершины-v-за-ровно-k-ребер-не-более-k-ребер-доказательство-корректности-полное-оценка-времени-работы)
-    - [Доказательство корректности(полное)](#доказательство-корректностиполное)
-    - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-1)
-  - [3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла](#35-восстановление-пути-детектирование-цикла-отрицательного-веса-поиск-самого-цикла)
-    - [Восстановление пути](#восстановление-пути)
-    - [Детектирование цикла отрицательного веса](#детектирование-цикла-отрицательного-веса)
-    - [Поиск самого цикла](#поиск-самого-цикла)
-  - [3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса](#36-нахождение-кратчайших-путей-с-учетом-циклов-отрицательного-веса)
-  - [3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути](#37-алгоритм-флойда-доказательство-концепция-восстановление-пути)
-    - [Алгоритм Флойда](#алгоритм-флойда)
-    - [Доказательство (концепция)](#доказательство-концепция)
-    - [Восстановление пути](#восстановление-пути-1)
-  - [3.8. Нахождение цикла отрицательного веса](#38-нахождение-цикла-отрицательного-веса)
-  - [3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#39-алгоритм-джонсона-добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
-    - [Алгоритм Джонсона](#алгоритм-джонсона)
-    - [Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
-- [4. Остовные деревья](#4-остовные-деревья)
-  - [4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину](#41-остовное-дерево-построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину)
-    - [Остовное дерево](#остовное-дерево)
-    - [Построение с помощью обхода в глубину и в ширину](#построение-с-помощью-обхода-в-глубину-и-в-ширину)
-  - [4.2. Определение минимального остовного дерева](#42-определение-минимального-остовного-дерева)
-  - [4.3. Теорема о разрезе. Доказательство](#43-теорема-о-разрезе-доказательство)
-    - [Теорема о разрезе](#теорема-о-разрезе)
-  - [4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)](#44-алгоритм-прима-аналогия-с-алгоритмом-дейкстры-оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча-последнее-без-доказательства)
-    - [Алгоритм Прима](#алгоритм-прима)
-    - [Аналогия с алгоритмом Дейкстры](#аналогия-с-алгоритмом-дейкстры)
-    - [Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча](#оценка-времени-работы-для-различных-реализаций-очереди-с-приоритетом-бинарная-куча-фибоначчиева-куча)
-  - [4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе](#45-алгоритм-прима-доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе)
-    - [Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе](#доказательство-корректности-с-помощью-теоремы-о-разрезе)
-  - [4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы](#46-алгоритм-краскала-доказательство-корректности-оценка-времени-работы)
-    - [Алгоритм Краскала](#алгоритм-краскала)
-      - [Доказательство корректности](#доказательство-корректности-1)
-      - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-2)
-  - [4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы](#47-система-непересекающихся-множеств-эвристика-потенциалов-без-доказательства-эвристика-сжатия-пути-без-доказательства-почти-константное-время-работы)
-  - [4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство(полное). Оценка времени работы](#48-алгоритм-борувки-доказательствополное-оценка-времени-работы)
-    - [Алгоритм Борувки](#алгоритм-борувки)
-      - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-3)
-  - [4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева](#49-приближение-решения-задачи-коммивояжера-с-помощью-минимального-остовного-дерева)
-- [5. Потоки в сетях](#5-потоки-в-сетях)
-  - [5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез](#51-определение-сети-определение-потока-физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа-определение-разреза-понятия-потока-через-разрез)
-    - [Определение сети](#определение-сети)
-    - [Определение потока](#определение-потока)
-    - [Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа](#физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа)
-    - [Определение разреза](#определение-разреза)
-    - [Понятия потока через разрез](#понятия-потока-через-разрез)
-  - [5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый](#52-доказательство-факта-что-поток-через-любой-разрез-одинаковый)
-  - [5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока](#53-понятие-остаточной-сети-понятие-дополняющего-пути-необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока)
-    - [Понятие остаточной сети](#понятие-остаточной-сети)
-    - [Понятие дополняющего пути](#понятие-дополняющего-пути)
-    - [Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока](#необходимость-отсутствия-дополняющего-пути-для-максимальности-потока)
-  - [5.4. Теорема Форда-Фалкерсона](#54-теорема-форда-фалкерсона)
-  - [5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго](#55-алгоритм-форда-фалкерсона-поиск-минимального-разреза-пример-целочисленной-сети-в-котором-алгоритм-работает-долго)
-    - [Алгоритм Форда-Фалкерсона](#алгоритм-форда-фалкерсона)
-    - [Поиск минимального разреза](#поиск-минимального-разреза)
-  - [5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается](#56-алгоритм-эдмондса-карпа-доказательство-что-кратчайшее-расстояние-в-остаточной-сети-не-уменьшается)
-    - [Алгоритм Эдмондса-Карпа](#алгоритм-эдмондса-карпа)
-  - [5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа](#57-общая-оценка-времени-работы-алгоритма-эдмондса-карпа)
-  - [5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства](#58-слоистая-сеть-алгоритм-диница-оценка-времени-работы-без-доказательства)
-    - [Слоистая сеть](#слоистая-сеть)
-    - [Алгоритм Диница](#алгоритм-диница)
-    - [Оценка времени работы без доказательства](#оценка-времени-работы-без-доказательства)
-- [6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу](#6-rmq-sparse-table-дерево-отрезков-lca-декартово-дерево-по-неявному-ключу)
-  - [6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table](#61-rsq-и-rmq-sparse-table)
-    - [RSQ и RMQ.](#rsq-и-rmq)
-  - [6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня](#62-дерево-отрезков-обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня)
-    - [Дерево отрезков](#дерево-отрезков)
-    - [Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня](#обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня)
-  - [6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции](#63-изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков-множественные-операции)
-    - [Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.](#изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков)
-    - [Множественные операции](#множественные-операции)
-  - [6.4. LCA. Метод двоичного подъёма](#64-lca-метод-двоичного-подъёма)
-    - [LCA](#lca)
-    - [Метод двоичного подъёма](#метод-двоичного-подъёма)
-  - [6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два](#65-декартово-дерево-по-неявному-ключу-интерфейс-быстрого-массива-доступ-к-элементу-в-позиции-i-вставка-элемента-в-позицию-i-удаление-элемента-из-позиции-i-конкатенация-двух-массивов-разделение-массива-на-два)
-    - [Декартово дерево по неявному ключу](#декартово-дерево-по-неявному-ключу)
-    - [Интерфейс быстрого массива](#интерфейс-быстрого-массива)
-    - [Конкатенация двух массивов](#конкатенация-двух-массивов)
-    - [Разделение массива на два](#разделение-массива-на-два)
-
-<div class="page"/>
-
-## 1. Обходы графа
-
-### 1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности
-
-#### Ориентированный граф
-
-> **Ориентированным графом** (англ. *directed graph*) $G$ называется пара $G = (V, E)$, где $V$ — множество вершин (англ. vertices), а $E \subset V \times V$ — множество рёбер.
-
-> **Псевдограф(*мультиорграф*)** — это ориентированный граф, в котором разрешены кратные дуги, то есть дуги, имеющие те же начальные и конечные вершины.
-
-**Псевдографом** $G$ называется упорядоченная пара $G := (V, A)$, в которой $V$ — множество вершин, $A$ — мультимножество упорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются дугами.
-
-> Ориентированный граф называется **слабо связным**, если соответствующий неориентированный граф является связным;
-
-> Ориентированный граф называется **сильно связным**, если всякая вершина $v$ достижима из любой другой вершины $v$;
-
-> **Компонентой сильной связности** ориентированного графа называется максимальный по включению сильно связный подграф. Другими словами, это подграф, любые две вершины которого принадлежат какому-либо циклу, и содержащий все такие циклы для своих вершин.
-
-> **Компонентой слабой связности** ориентированного графа называют его максимальный слабо связный подграф.
-
-#### Неориентированный граф
-
-> **Неориентированным графом** (англ. *undirected graph*) $G$ называется пара $G = (V, E)$, где $V$ — множество вершин, а $E \subset {{v,u} : v,u \in V}$ — множество рёбер.
-
-Формально, псевдографом (*мультифграфом*) $G$ называется упорядоченная пара $G := (V, E)$, в которой $V$ — множество вершин, $E$ — мультимножество неупорядоченных пар вершин. Элементы этого множества называются рёбрами.
-
-> Неориентированный граф называется *связным*, если все его вершины достижимы из некоторой вершины (эквивалентно, из любой его вершины).
-
-> **Компонентой связности** неориентированного графа называется максимальный по включению связный подграф
-
-### 1.2. Обход в глубину. Цвета вершин. Времена входа и выхода. Лемма о белых путях (с доказательством)
-
-#### Обход в глубину
-
-> **Обход в глубину** (поиск в глубину, англ. *Depth-First Search*, *DFS*) — один из основных методов обхода графа, часто используемый для проверки связности, поиска цикла и компонент сильной связности и для топологической сортировки.
-
-```c++
-#include <vector>
-
-std::vector<std::vector<int>> graph; // граф
-int vertex_count; // число вершин
-
-std::vector<int> color; // цвет вершины (0, 1, или 2)
-
-std::vector<int> time_in, time_out; // "времена" захода и выхода из вершины
-int dfs_timer = 0; // "таймер" для определения времён
-
-void dfs (int vertex) {
-  time_in[vertex] = dfs_timer++;
-  color[vertex] = 1;
-  for (int u : graph[vertex])
-    if (color[u] == 0)
-      dfs(u);
-  color[v] = 2;
-  time_out[v] = dfs_timer++;
-}
-```
-
-#### Лемма о белых путях
-
-> Лемма: Не существует такого момента выполнения поиска в глубину, в который бы существовало ребро из черной вершины в белую.
-
-**Доказательство**: Пусть в процессе выполнения процедуры DFS нашлось ребро из черной вершины  $v$ в белую вершину u. Рассмотрим момент времени, когда мы запустили DFS(v). В этот момент вершина  $v$ была перекрашена из белого в серый, а вершина u была белая. Далее в ходе выполнения алгоритма будет запущен DFS(u), поскольку обход в глубину обязан посетить все белые вершины, в которые есть ребро из v. По алгоритму вершина  $v$ будет покрашена в черный цвет тогда, когда завершится обход всех вершин, достижимых из нее по одному ребру, кроме тех, что были рассмотрены раньше нее. Таким образом, вершина  $v$ может стать черной только тогда, когда DFS выйдет из вершины u, и она будет покрашена в черный цвет. Получаем противоречие.
-
-### 1.3. Проверка связности неориентированного графа. Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе. Топологическая сортировка
-
-#### Проверка связности неориентированного графа
-
-Небольшая модификация алгоритма обхода в глубину, в которой будем возвращать количество посещенных вершин. Запустим такой **DFS** от некоторой вершины графа $G$, если его результат равен $|V|$, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен, иначе какие-то вершины остались непосещенными. Работает алгоритм за $O(|V|+|E|)$
-
-```c++
-std::vector<std::vector<int>> graph; // граф
-
-// visited — массив цветов вершин  
-int dfs(int vertex, std::vector<bool> visited):              
-  int visitedVertices = 1
-  visited[vertex] = true // помечаем вершину как пройденную
-  for (auto u : graph[vertex]) // проходим по смежным с u вершинам
-    // проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
-    if (!visited[v])
-      visitedVertices += dfs(v, visited)
-    return visitedVertices
-```
-
-#### Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе
-
-*Условие:*
-
-Пусть дан ориентированный или неориентированный граф без петель и кратных рёбер. Требуется проверить, является ли он ациклическим, а если не является, то найти любой цикл.
-
-*Решение:*
-
-Произведём серию поисков в глубину в графе. Т.е. из каждой вершины, в которую мы ещё ни разу не приходили, запустим поиск в глубину, который при входе в вершину будет красить её в серый цвет, а при выходе - в чёрный. И если поиск в глубину пытается пойти в серую вершину, то это означает, что мы нашли цикл (если граф неориентированный, то случаи, когда поиск в глубину из какой-то вершины пытается пойти в предка, не считаются).
-
-```c++
-#include <iostream>
-#include <vector>
-
-int n;
-std::vector<vector<int>> graph;
-std::vector<int> color;
-std::vector<int> parent;
-int cycle_start, cycle_end;
-
-bool dfs(int vertex) {
-  color[vertex] = 1;
-  for (size_t i = 0; i < graph[vertex].size(); ++i) {
-    int $to$  = graph[vertex][i];
-    if (color[to] == 0) {
-      parent[to] = vertex;
-      if (dfs(to)) return true;
-    }
-    else if (color[to] == 1) {
-      cycle_end = vertex;
-      cycle_start = $to$ ;
-      return true;
-    }
-  }
-  color[vertex] = 2;
-  return false;
-}
-
-int main() {
-  // чтение графа
-
-  parent.assign(n, -1);
-  color.assign(n, 0);
-  cycle_start = -1;
-  for (int i = 0; i < n; ++i)
-    if (dfs(i))
-      break;
-
-  if (cycle_st == -1)
-    std::cout << "Acyclic" << "\n";
-  else {
-    std::cout << "Cyclic" << "\n";
-    std::vector<int> cycle;
-    cycle.push_back(cycle_start);
-    for (int vertex = cycle_end; vertex != cycle_start; vertex = parent[vertex])
-      cycle.push_back(vertex);
-    cycle.push_back(cycle_start);
-    reverse(cycle.begin(), cycle.end());
-    for (size_t i = 0; i < cycle.size(); ++i)
-      std::cout << cycle[i]+1 << " ";
-  }
-}
-```
-
-#### Топологическая сортировка
-
-*Условие:*
-Дан ориентированный граф с n вершинами и m рёбрами. Требуется перенумеровать его вершины таким образом, чтобы каждое рёбро вело из вершины с меньшим номером в вершину с большим. Иными словами, требуется найти перестановку вершин (топологический порядок), соответствующую порядку, задаваемому всеми рёбрами графа.
-(**Топологическая сортировка** - упорядочивание вершин ациклического ориентированного графа согласно частичному порядку, заданному ребрами орграфа на множестве его вершин.)
-Топологическая сортировка может быть не единственной (например, если граф — пустой; или если есть три такие вершины `a`, `b`, `c`, что из `a` есть пути в `b` и в `c`, но ни из `b` в `c`, ни из `c` в `b` добраться нельзя).
-
-Топологической сортировки может не существовать вовсе — если граф содержит циклы (поскольку при этом возникает противоречие: есть путь и из одной вершины в другую, и наоборот).
-
-```c++
-#include <vector>
-
-int n; // число вершин
-std::vector<std::vector<int>> graph; // граф
-std::vector<bool> visited;
-std::vector<int> $to$ pological_sort;
-
-void dfs (int vertex) {
-  visited[vertex] = true;
-  for (int u : graph[vertex])
-    if (!visited[u] == 0)
-      dfs(u);
-  $to$ pological_sort.push_back(vertex);
-}
-
-void $to$ pological_sort() {
-  visited.assign(n, false);
-  answer.clear();
-  for (int i = 0; i < n; ++i)
-    if (!visited[i])
-      dfs(i);
-  reverse(answer.begin(), answer.end());
-}
-```
-
-### 1.4. Нахождение компонент сильной связности. Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция). Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности
-
-#### Нахождение компонент сильной связности
-
-*Условие:*
-
-Дан ориентированный граф $G$, множество вершин которого $V$ и множество рёбер — $E$. Петли и кратные рёбра допускаются. Обозначим через $n$ количество вершин графа, через $m$ — количество рёбер.
-
-*Решение:*
-
-Напомним, что **компонентой сильной связности** (*strongly connected component*) называется такое (максимальное по включению) подмножество вершин $C4, что любые две вершины этого подмножества достижимы друг из друга, т.е. для любых $u,  $v$ \in C: u \rightarrow v,  $v$ \rightarrow u$, где символом $\rightarrow$ здесь и далее мы будем обозначать достижимость, т.е. существование пути из первой вершины во вторую. Понятно, что компоненты сильной связности для данного графа не пересекаются, т.е. фактически это разбиение всех вершин графа. Отсюда логично определение конденсации G как графа, получаемого из данного графа сжатием каждой компоненты сильной связности в одну вершину. Каждой вершине графа конденсации соответствует компонента сильной связности графа G, а ориентированное ребро между двумя вершинами $C_i$ и $C_j$ графа конденсации проводится, если найдётся пара вершин u из $C_i$, из $C_j$, между которыми существовало ребро в исходном графе, т.е. $(u, v)$ из $E$.
-
-Важнейшим свойством графа конденсации является то, что он ацикличен. Действительно, предположим, что $C \rightarrow C'$, докажем, что $C' \mapsto C$. Из определения конденсации получаем, что найдутся две вершины $u$ из $C$ и $v$ из $C'$, что $u \rightarrow v$. Доказывать будем от противного, т.е. предположим, что $C' \rightarrow C$, тогда найдутся две вершины $u'$ из $C$ и $v'$ из $C'$, что $v' \rightarrow u'$. Но т.к. $u$ и $u'$ находятся в одной компоненте сильной связности, то между ними есть путь; аналогично для $v$ и $v'$. В итоге, объединяя пути, получаем, что $v \rightarrow u$, и одновременно $u \rightarrow v$. Следовательно, $u$ и $v$ должны принадлежать одной компоненте сильной связности, т.е. получили противоречие, что и требовалось доказать
-
-#### Алгоритм Косарайю с доказательством корректности(концепция)
-
-Алгоритм Косарайю предназначен для поиска компонент сильной связности в ориентированном графе и состоит из трёх шагов:
-
-1. Выполнить поиск в глубину (DFS), пока не будут «помечены» все вершины. Вершина считается «помеченной», когда ей присвоено время выхода из рекурсии (см. основные понятия).
-
-2. Инвертировать исходный граф
-
-3. Выполнить DFS в порядке убывания пометок вершин.
-
-Полученные деревья каждого такта DFS последнего шага являются компонентами сильной связности
-
-**Доказательство корректности алгоритма:**
-
-Немного уточним, что требуется доказать: Вершины $u$ и $v$ сильно связаны $\Leftrightarrow$ после выполнения алгоритма они принадлежат одному дереву такта DFS.
-
-Если вершины u и  $v$ были сильно связаны в графе $G$, на третьем этапе будет найден путь из одной вершины в другую (по Лемме (Инвертирование рёбер цикла не влияет на его цикличность)), так как на первом шаге был найден путь $u \rightarrow v$, а на третьем - путь $v \rightarrow u$. Это означает, что по окончании алгоритма обе вершины лежат в одном дереве.
-
-Вершины $u$ и $v$ лежат в одном и том же дереве поиска в глубину на третьем шаге алгоритма. Значит, они обе достижимы из корня $r$ этого дерева.
-
-Вершина $r$ была рассмотрена на 3 шаге раньше всех, значит время выхода из неё на 1 шаге больше, чем время выхода из вершин $u$ и $v$. Из этого мы получаем 2 случая:
-
-Обе эти вершины были достижимы из $r$ в исходном графе. Это означает сильную связность вершин $u$ и $r$ и сильную связность вершин $v$ и $r$ (по Лемме 3). Склеивая пути мы получаем связность вершин $u$ и $v$ (по Лемме 1)
-
-Хотя бы одна вершина не достижима из $r$ в исходном графе, например $v$. Значит и $r$ была не достижима из $v$ в исходном графе, так как время выхода из $r$ — больше (если бы она была достижима, то время выхода из $v$ было бы больше, чем из $r$, просмотрите ещё раз первый шаг примера). Значит между этими вершинами нет пути (ни в исходном, ни в инвертированном графах), но последнего быть не может, потому что по условию  $v$ достижима из r на 3 шаге (в инвертированном графе)
-
-Значит, из случая 1 и не существования случая 2 получаем, что вершины $u$ и $v$ сильно связаны в обоих графах
-
-#### Алгоритм Тарьяна без доказательства корректности
-
-Основой для алгоритма является структура данных "Система непересекающихся множеств", которая и была изобретена Тарьяном (Tarjan).
-
-Алгоритм фактически представляет собой обход в глубину из корня дерева, в процессе которого постепенно находятся ответы на запросы. А именно, ответ на запрос $(v, u)$ находится, когда обход в глубину находится в вершине $u$, а вершина $v$ уже была посещена, или наоборот.
-
-Итак, пусть обход в глубину находится в вершине $v$ (и уже были выполнены переходы в её сыновей), и оказалось, что для какого-то запроса $(v, u)$ вершина u уже была посещена обходом в глубину. Научимся тогда находить $LCA$ этих двух вершин.
-
-Заметим, что $LCA(v, u)$ является либо самой вершиной $v$, либо одним из её предков. Получается, нам надо найти самую нижнюю вершину среди предков $v$ (включая её саму), для которой вершина u является потомком. Заметим, что при фиксированном $v$ по такому признаку (т.е. какой наименьший предок $v$ является и предком какой-то вершины) вершины дерева дерева распадаются на совокупность непересекающихся классов. Для каждого предка $p \neq v$ вершины $v$ её класс содержит саму эту вершину, а также все поддеревья с корнями в тех её сыновьях, которые лежат "слева" от пути до $v$ (т.е. которые были обработаны ранее, чем была достигнута $v$).
-
-Нам надо научиться эффективно поддерживать все эти классы, для чего мы и применим структуру данных "Система непересекающихся множеств". Каждому классу будет соответствовать в этой структуре множество, причём для представителя этого множества мы определим величину **ANCESTOR** — ту вершину $p$, которая и образует этот класс.
-
-Рассмотрим подробно реализацию обхода в глубину. Пусть мы стоим в некоторой вершине $v$. Поместим её в отдельный класс в структуре непересекающихся множеств, **ANCESTOR**[v] = $v$. Как обычно в обходе в глубину, перебираем все исходящие рёбра $(v, $to$ )$. Для каждого такого $to$ мы сначала должны вызвать обход в глубину из этой вершины, а потом добавить эту вершину со всем её поддеревом в класс вершины $v$. Это реализуется операцией **Union** структуры данных "система непересекающихся множеств", с последующей установкой **ANCESTOR** = $v$ для представителя множества (т.к. после объединения представитель класса мог измениться). Наконец, после обработки всех рёбер мы перебираем все запросы вида $(v, u)$, и если u была помечена как посещённая обходом в глубину, то ответом на этот запрос будет вершина $LCA(v,u)$ = **ANCESTOR**[FindSet(u)]. Нетрудно заметить, что для каждого запроса это условие (что одна вершина запроса является текущей, а другая была посещена ранее) выполнится ровно один раз.
-
-Оценим асимптотику. Она складывается из нескольких частей. Во-первых, это асимптотика обхода в глубину, которая в данном случае составляет $O(n)$. Во-вторых, это операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных n затрачивают $O(n)$ операций. В-третьих, это для каждого запроса проверка условия (два раза на запрос) и определение результата (один раз на запрос), каждое, опять же, для всех разумных n выполняется за $O(1)$. Итоговая асимптотика получается $O(n + m)$, что означает для достаточно больших $m$ $(n = O(m))$ ответ за $O(1)$ на один запрос
-
-### 1.5. Компоненты реберной двусвязности. Мосты. Поиск мостов
-
-#### Компоненты реберной двусвязности
-
-> **Компонентами рёберной двусвязности** (англ. *costal doubly-linked components*) графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности рёберной двусвязности, а множества рёбер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.
-
-#### Мосты
-
-> **Мостом** называется такое ребро, удаление которого делает граф несвязным (или, точнее, увеличивает число компонент связности).
-
-#### Поиск мостов
-
-- Алгоритм:
-    Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через **root**. Заметим следующий факт (который несложно доказать):
-
-    Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины $v$. Тогда, если текущее ребро $(v,to)$ таково, что из вершины $to$ и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в вершину  $v$ или какого-либо её предка, то это ребро является мостом. В противном случае оно мостом не является. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из  $v$ в $to$ , кроме как спуск по ребру $(v,to)$ дерева обхода в глубину.)
-    Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.
-
-    Итак, пусть $tin[v]$ — это время захода поиска в глубину в вершину $v$. Теперь введём массив $fup[v]$, который и позволит нам отвечать на вышеописанные запросы. Время $fup[v]$ равно минимуму из времени захода в саму вершину $tin[v]$, времён захода в каждую вершину $p$, являющуюся концом некоторого обратного ребра $(v, p)$, а также из всех значений $fup[to]$ для каждой вершины $to$ , являющейся непосредственным сыном $v$ в дереве поиска:
-
-    $fup[v] = \min(tin[v], tin[p], fup(to))$ $(v, p)$ - back edge, $(v, to)$ - tree edge (здесь "back edge" — обратное ребро, "tree edge" — ребро дерева)
-
-    Тогда, из вершины  $v$ или её потомка есть обратное ребро в её предка тогда и только тогда, когда найдётся такой сын $to$ , что $fup[to] \leq tin[v]$. (Если $fup[to] = tin[v]$, то это означает, что найдётся обратное ребро, приходящее точно в $v$; если же $fup[to] < tin[v]$, то это означает наличие обратного ребра в какого-либо предка вершины $v$.)
-
-    Таким образом, если для текущего ребра $(v,to)$ (принадлежащего дереву поиска) выполняется $fup[to] > tin[v]$, то это ребро является мостом; в противном случае оно мостом не является.
-
-### 1.6. Компоненты вершинной двусвязности. Точки сочленения. Поиск точек сочленения
-
-#### Компоненты вершинной двусвязности
-
-> **Компонентами вершинной двусвязности** графа, называют его подграфы, множества ребер которых — классы эквивалентности вершинной двусвязности, а множества вершин — множества всевозможных концов ребер из соответствующих классов.
-
-#### Точки сочленения
-
-> **Точкой сочленения** называется вершина, при удалении которой связный неориентированный граф становится несвязным.
-
-#### Поиск точек сочленения
-
-- Алгоритм:
-    Запустим обход в глубину из произвольной вершины графа; обозначим её через $root$. Заметим следующий факт (который несложно доказать):
-
-    Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины  $v \neq root$. Тогда, если текущее ребро $(v, to)$ таково, что из вершины $to$  и из любого её потомка в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в какого-либо предка вершины v, то вершина  $v$ является точкой сочленения. В противном случае, т.е. если обход в глубину просмотрел все рёбра из вершины $v$, и не нашёл удовлетворяющего вышеописанным условиям ребра, то вершина $v$ не является точкой сочленения. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из  $v$ в $to$ )
-    Рассмотрим теперь оставшийся случай:  $v = root$. Тогда эта вершина является точкой сочленения тогда и только тогда, когда эта вершина имеет более одного сына в дереве обхода в глубину. (В самом деле, это означает, что, пройдя из $root$ по произвольному ребру, мы не смогли обойти весь граф, откуда сразу следует, что $root$ — точка сочленения).
-    (Ср. формулировку этого критерия с формулировкой критерия для алгоритма поиска мостов.)
-
-    Теперь осталось научиться проверять этот факт для каждой вершины эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", вычисляемыми алгоритмом поиска в глубину.
-
-    Итак, пусть $tin[v]$ — это время захода поиска в глубину в вершину v. Теперь введём массив $fup[v]$, который и позволит нам отвечать на вышеописанные запросы. Время $fup[v]$ равно минимуму из времени захода в саму вершину $tin[v]$, времён захода в каждую вершину p, являющуюся концом некоторого обратного ребра $(v, p)$, а также из всех значений $fup[to]$ для каждой вершины $to$ , являющейся непосредственным сыном  $v$ в дереве поиска:
-
-    $fup[v] = \min(tin[v], tin[p], fup(to))$ $(v, p)$ - back edge, $(v, to)$ - tree edge (здесь "back edge" — обратное ребро, "tree edge" — ребро дерева)
-
-    Тогда, из вершины  $v$ или её потомка есть обратное ребро в её предка тогда и только тогда, когда найдётся такой сын $to$ , что $fup[to] < tin[v]$.
-
-    Таким образом, если для текущего ребра $(v,to)$ (принадлежащего дереву поиска) выполняется $fup[to] \geq tin[v]$, то вершина  $v$ является точкой сочленения. Для начальной вершины  $v = root$ критерий другой: для этой вершины надо посчитать число непосредственных сыновей в дереве обхода в глубину.
-
-### 1.7. Волновой алгоритм. Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)
-
-#### Волновой алгоритм
-
-> **Алгоритм волновой трассировки** (*волновой алгоритм*) — алгоритм поиска пути, алгоритм поиска кратчайшего пути на планарном графе. Принадлежит к алгоритмам, основанным на методах поиска в ширину.
-
-Алгоритм предназначен для поиска кратчайшего пути от стартовой ячейки к конечной ячейке, если это возможно, либо, при отсутствии пути, выдать сообщение о непроходимости.
-
-Работа алгоритма включает в себя три этапа: инициализацию, распространение волны и восстановление пути.
-
-Инициализация
-
-```c
-Пометить стартовую ячейку 
-d := 0 
-```
-
-Распространение волны
-
-```c
-ЦИКЛ
-  ДЛЯ каждой ячейки loc, помеченной числом d
-    пометить все соседние свободные непомеченные ячейки числом d + 1
-  КЦ
-  d := d + 1
-ПОКА (финишная ячейка не помечена) И (есть возможность распространения волны) 
-```
-
-Восстановление пути
-
-```c
-ЕСЛИ финишная ячейка помечена
-ТО
-  перейти в финишную ячейку
-  ЦИКЛ
-    выбрать среди соседних ячейку, помеченную числом на 1 меньше числа в текущей ячейке
-    перейти в выбранную ячейку и добавить её к пути
-  ПОКА текущая ячейка — не стартовая
-  ВОЗВРАТ путь найден
-ИНАЧЕ
-  ВОЗВРАТ путь не найден
-```
-
-#### Обход в ширину (применение очереди в волновом алгоритме)
-
-> **Поиск в ширину** (англ. *breadth-first search*) — один из основных алгоритмов на графах, позволяющий находить все кратчайшие пути от заданной вершины и решать многие другие задачи.
-
-- Описание алгоритма
-    На вход алгоритма подаётся невзвешенный граф и номер стартовой вершины $s$. Граф может быть как ориентированным, так и неориентированным — для алгоритма это не важно.
-
-    Основную идею алгоритма можно понимать как процесс «поджигания» графа: на нулевом шаге мы поджигаем вершину $s$, а на каждом следующем шаге огонь с каждой уже горящей вершины перекидывается на всех её соседей, в конечном счете поджигая весь граф.
-
-    Если моделировать этот процесс, то за каждую итерацию алгоритма будет происходить расширение «кольца огня» в ширину на единицу. Номер шага, на котором вершина  $v$ начинает гореть, в точности равен длине её минимального пути из вершины s.
-
-```c++
-std::vector<int> graph;
-
-void bfs(int s) {
-    std::queue<int> queue;
-    queue.push(s);
-    
-    std::vector<int> depth(n, -1), parent(n);
-    depth[s] = 0;
-    
-    while (!queue.empty()) {
-        int vertex = queue.front();
-        queue.pop();
-        for (int u : g[vertex]) {
-            if (depth[u] == -1) {
-                queue.push(u);
-                depth[u] = depth[vertex] + 1;
-                parent[u] = vertex;
-            }
-        }
-    }
-} 
-```
-
-Теперь, чтобы восстановить кратчайший путь до какой-то вершины v, это можно сделать через массив p:
-
-```c++
-while (v != s) {
-    std::cout << v << endl;
-    v = p[v];
-}
-```
-
-Обратим внимание, что путь выведется в обратном порядке.
-
-### 1.8. Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном и неориентированном графе. Поиск эйлерова пути и цикла
-
-#### Критерий существования Эйлерова пути и цикла в неориентированном графе
-
-- Согласно теореме, доказанной Эйлером, эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда
-    1. Граф связный или будет являться связным, если удалить из него все изолированные вершины.
-    2. В нём отсутствуют вершины нечётной степени.
-
-- Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда
-    1. Граф связный
-    2. Содержит не более двух вершин нечётной степени. Ввиду леммы о рукопожатиях, число вершин с нечётной степенью должно быть чётным. А значит эйлеров путь существует только тогда, когда это число равно нулю или двум. Причём, когда оно равно нулю, эйлеров путь вырождается в эйлеров цикл.
-
-#### Критерий существования Эйлерова пути и цикла в ориентированном графе
-
-- В ориентированном графе $G = (V, E)$ существует эйлеров цикл тогда и только тогда, когда:
-    1. Входная степень любой вершины равна ее выходной степени.
-    2. Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.
-- В ориентированном графе $G = (V, E)$ существует эйлеров путь если:
-    1. Входная степень любой вершины равна ее выходной степени, кроме двух вершин графа, для одной из которых (deg+) − (deg−) = 1, а для другой (deg+) − (deg−) = −1 .
-    2. Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.
-
-#### Поиск эйлерова пути и цикла
-
-- Поиск эйлерова пути в графе
-    Можно всегда свести задачу поиска эйлерова пути к задаче поиска эйлерова цикла. Действительно, предположим, что эйлерова цикла не существует, а эйлеров путь существует. Тогда в графе будет ровно 2 вершины нечётной степени. Соединим эти вершины ребром, и получим граф, в котором все вершины чётной степени, и эйлеров цикл в нём существует. Найдём в этом графе эйлеров цикл (алгоритмом, описанным ниже), а затем удалим из ответа несуществующее ребро.
-
-- Поиск эйлерова цикла в графе
-    Будем рассматривать самый общий случай — случай ориентированного мультиграфа, возможно, с петлями. Также мы предполагаем, что эйлеров цикл в графе существует (и состоит хотя бы из одной вершины). Для поиска эйлерова цикла воспользуемся тем, что эйлеров цикл — это объединение всех простых циклов графа. Следовательно, наша задача — эффективно найти все циклы и эффективно объединить их в один.
-
-    Реализовать это можно, например, так, рекурсивно:
-
-    ```c
-    procedure find_all_cycles (v)
-    var массив cycles
-    1. пока есть цикл, проходящий через v, находим его
-        добавляем все вершины найденного цикла в массив cycles (сохраняя порядок обхода)
-        удаляем цикл из графа
-    2. идем по элементам массива cycles
-        каждый элемент cycles[i] добавляем к ответу
-        из каждого элемента рекурсивно вызываем себя: find_all_cycles (cycles[i])
-    ```
-
-    Достаточно вызвать эту процедуру из любой вершины графа, и она найдёт все циклы в графе, удалит их из графа и объединит их в один эйлеров цикл.
-    Для поиска цикла на шаге 1 используем поиск в глубину.
-    Сложность полученного алгоритма — $O(|E|)$, то есть линейная относительно количества рёбер в данном графе
-
-<div class="page"/>
-
-## 2. Планарность графа
-
-### 2.1. Формула Эйлера. Теорема Портнягина-Куратовского. Теорема Вагнера
-
-#### Формула Эйлера
-
-Для произвольного плоского связного графа $G$ с $V$ вершинами, $E$ ребрами и $F$ гранями справедливо следующее соотношение: $V − E + F = 2$.
-
-#### Теорема Портнягина-Куратовского
-
-Теорема Понтрягина — Куратовского, или теорема Куратовского, — теорема в теории графов, дающая необходимое и достаточное условие планарности графа. Имеет эквивалентную формулировку на языке миноров, так называемою теорему Вагнера.
-
-Теорема утверждает, что графы $K_5$ (полный граф на 5 вершинах) и $K_{3,3}$ (полный двудольный граф имеющий по 3 вершины в каждой доле) являются единственными минимальными непланарными графами.
-
-#### Теорема Вагнера
-
-Теорема Вагнера — характеризация планарных графов тесно связанная с теоремой Понтрягина — Куратовского.
-
-Теорема утверждает, что конечный граф является планарным тогда и только тогда, когда его миноры не включают ни $K_5$ (полный граф с пятью вершинами), ни $K_{3,3}$ (коммунальный граф, полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой доле).
-
-### 2.2. Гамма алгоритм. Контактная вершина
-
-#### Гамма алгоритм
-
-- Чтобы проверить планарность графа и произвести его плоскую укладку, удобно пользоваться гамма-алгоритмом.
-- Определения:
-    1. Сегмент графа $Г$ относительно подграфа $H$ — компонента связности графа $G \setminus H$.
-    2. *Допустимая грань сегмента* — грань графа $H$, содержащая все контактные вершины.
-    3. **Контактная вершина** сегмента $S$ графа $G$ подграфа $H$ — любая вершина в $S$ и в $H$.
-    4. *Гамма-цепь сегмента* — любая цепь без повторов вершин, содержащих ровно две контактные вершины — начало и конец.
-- Алгоритм:
-    1. Уложить на плоскость любой цикл $H$ графа $G$ без повторов вершин.
-    2. Построить все сегменты $S_1$ , $...$ , $S_k$ графа $G$ по $H$.
-    3. Если есть сегмент $S_i$ c одной допустимой гранью — выбрать его.
-    4. Если все сегменты имеют несколько дополнительных граней — выбрать любой.
-    5. Выбрать произвольную гамма-цепь сегмента и уложить её в допустимую грань.
-    6. Перейти к шагу (2), добавив гамма-цепь к графу $H$.
-
-### 2.3. Теорема о корректности Гамма алгоритма. Асимптотика алгоритма
-
-#### Теорема о корректности Гамма алгоритма
-
-- Теорема: Гамма-алгоритм корректен, то есть если $G$ — планарный граф, то результатом каждого шага гамма-алгоритма является частичная укладка $G'$.
-- Доказательство:
-    Докажем индукцией по числу шагов.
-
-    База индукции: полученный на этапе инициализации граф $G_0$ является простым циклом, он будет присутствовать в любой укладке графа $G$. Таким образом, $G_0$  является частичной укладкой.
-
-    Шаг индукции: пусть граф $G_{k−1}$, полученный на $k−1$-м шаге работы алгоритма, является частичной укладкой. Докажем, что граф $G_k = G_{k−1} \cup L_k$, полученный на $k$-м шаге присоединением цепи $L_k$, также является частичной укладкой.
-
-    Заметим, что на текущем шаге нет такого сегмента $S$  относительно $G_{k−1}$, для которого бы выполнялось равенство $Γ(S) = \varnothing$, так как в противном случае существовала бы цепь этого сегмента, контактные вершины которой принадлежали бы разным граням и укладка которой была бы невозможна. Следовательно, нельзя было бы уложить $S$,что противоречит тому, что $G$ — планарный граф. Значит, мы можем рассматривать только следующие два случая:
-    1. Существует сегмент $S$ для которого есть единственная вмещающая грань $Γ$, то есть $|Γ(S)| = 1$. Так как только грани $Γ$ принадлежат все контактные вершины $S$, то укладка этого сегмента в эту грань неизбежна. Это значит, что помещая любую цепь $L \subset S$, снова получим частичную укладку графа.
-
-    2. Для любого сегмента $S$ $|Γ(S)| \geq 2$. Построим граф $A(G'k−1)$, который по лемме 2 является двудольным. Рассмотрим его связную компоненту $K$, которая содержит не менее двух вершин. Граф $K$ также является двудольным. По лемме 1 для любого сегмента $S \in K$  справедливо $Γ(S)={Γ1, Γ2}$. Так как граф $K$ двудольный, то мы можем по очереди помещать сегменты $K$ в разные грани, причем конфликтующих сегментов не возникнет в силу четности всех циклов в графе. Результатом будет частичная укладка графа.
-
-    Таким образом, на каждом шаге мы получаем частичную укладку графа, что доказывает корректность гамма-алгоритма.
-
-**Асимптотика алгоритма - $O(n^3)$.**
-
-<div class="page"/>
-
-## 3. Кратчайшие пути во взвешенном графе
-
-### 3.1. Алгоритм Дейкстры. Доказательство корректности(с доказательством). Оценка времени работы. Дерево кратчайших путей
-
-#### Алгоритм Дейкстры
-
-**Алгоритм Дейкстры** (англ. *Dijkstra’s algorithm*) — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским учёным Эдсгером Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшие пути от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.
-
-```c
-func dijkstra(s):
-    for $v \in V$
-        d[v] = $ \infinity $
-        used[v] = false
-    d[s] = 0
-    for $i \in V$
-        v = null
-        for $j \in V$    // найдём вершину с минимальным расстоянием
-            if !used[j] and (v == null or d[j] < d[v])
-                v = j
-        if d[v] == $\infinity$
-            break
-        used[v] = true
-        for e : исходящие из v рёбра     // произведём релаксацию по всем рёбрам, исходящим из v
-            if d[v] + e.len < d[e.to]
-                d[e.to] = d[v] + e.len
-```
-
-#### Доказательство корректности
-
-- Пусть $G=(V,E)$ — ориентированный взвешенный граф, вес рёбер которого неотрицателен, s — стартовая вершина. Тогда после выполнения алгоритма Дейкстры $d(u)=\rho(s, u)$ для всех $u$, где $\rho (s,u)$ — длина кратчайшего пути из вершины $s$ в вершину $u$.
-
-Докажем по индукции, что в момент посещения любой вершины $u$, $d(u)= \rho (s,u)$.
-
-На первом шаге выбирается $s$, для неё выполнено: $d(s) = \rho (s,s) = 0$. Пусть для $n$ первых шагов алгоритм сработал верно и на $n+1$ шагу выбрана вершина $u$. Докажем, что в этот момент $d(u)= \rho (s,u)$. Для начала отметим, что для любой вершины $v$, всегда выполняется $d(v) \geq \rho (s,v)$ (алгоритм не может найти путь короче, чем кратчайший из всех существующих). Пусть $P$ — кратчайший путь из $s$ в $u$, $v$ — первая непосещённая вершина на $P$, $z$ — предшествующая ей (следовательно, посещённая). Поскольку путь $P$ кратчайший, его часть, ведущая из $s$ через $z$ в $v$, тоже кратчайшая, следовательно $\rho(s,v)= \rho(s,z)+w(zv)$. По предположению индукции, в момент посещения вершины $z$ выполнялось $d(z)= \rho (s,z)$, следовательно, вершина $v$ тогда получила метку не больше чем $d(z) + w(zv) = \rho (s,z) + w(zv) = \rho(s,v)$, следовательно, $d(v)=\rho(s,v)$. С другой стороны, поскольку сейчас мы выбрали вершину $u$, её метка минимальна среди непосещённых, то есть $d(u) \leq d(v) = \rho (s,v) \leq \rho (s,u)$, где второе неравенсто верно из-за ранее упомянутого определения вершины $v$ в качестве первой непосещённой вершины на $P$, то есть вес пути до промежуточной вершины не превосходит веса пути до конечной вершины вследствие неотрицательности весовой функции. Комбинируя это с $d(u) \geq \rho(s,u)$, имеем $d(u)=\rho(s,u)$, что и требовалось доказать. Поскольку алгоритм заканчивает работу, когда все вершины посещены, в этот момент $d(u)= \rho (s,u)$ для всех $u$.
-
-#### Оценка времени работы
-
-- Если $m = n ^ 2$(граф плотный), то $O(n^2)$.
-- Если $m = n$(граф разреженный), то $O(m log n)$.
-
-#### Дерево кратчайших путей
-
-Решение ряда прикладных задач сводится к нахождению дерева кратчайших путей с корнем в заданной вершине $s$. Такое дерево дает кратчайшие $(s, v)$-пути от заданной вершины $s$ до любой вершины $v$ орграфа $G = (V, Е)$. Если веса всех дуг орграфа $G$ неотрицательны, то дерево кратчайших путей можно построить с помощью алгоритма Дейкстры.
-
-### 3.2. Потенциалы. Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер. Потенциал $\pi(v) = \rho(v, t)$
-
-#### Потенциалы
-
-Пусть дана транспортная сеть $G(V,E)$, где $V$ — множество вершин графа, а $E$ — множество рёбер. Введем в каждой вершине потенциал $\pi(v)$. Тогда потенциальный вес (то есть стоимость) ребра $(u,v)$ определяется как $w_p(u,v)=w(u,v)+\pi(u)−\pi(v)$
-
-#### Условие применимости алгоритма Дейкстры для измененных длин ребер
-
-Можно применять, когда нет отрицательных циклов (следует из курса дискретной математики 1 курс 2 семестр)
-
-#### Потенциал $\pi(v) = \rho(v, t)$
-
-### 3.3. Алгоритм A*. Условие монотонности на эвристику. Примеры эвристик
-
-#### Алгоритм A*
-
-Алгоритм A* - алгоритм поиска по первому наилучшему совпадению на графе, который находит маршрут с наименьшей стоимостью от одной вершины (начальной) к другой (целевой, конечной).
-
-Порядок обхода вершин определяется эвристической функцией «расстояние + стоимость» (обычно обозначаемой как $f(x)$). Эта функция — сумма двух других: функции стоимости достижения рассматриваемой вершины (x) из начальной (обычно обозначается как $g(x)$ и может быть как эвристической, так и нет), и функции эвристической оценки расстояния от рассматриваемой вершины к конечной (обозначается как $h(x)$).
-
-1. Функция $h(x)$ должна быть *допустимой эвристической оценкой*, то есть не должна переоценивать расстояния к целевой вершине. Например, для задачи маршрутизации $h(x)$ может представлять собой расстояние до цели по прямой линии, так как это физически наименьшее возможное расстояние между двумя точками.
-2. Более сильное условие — функция $h(v)$ должна быть **монотонной**. (Эвристическая функция $h(v)$ называетя **монотонной** (или преемственной), если для любой вершины $v_1$ и ее потомка $v_2$ разность $h(v_1)$ и $h(v_2)$ не превышает фактического веса ребра $c(v_1, v_2)$ от $v_1$ до $v_2$, а эвристическая оценка целевого состояния равна нулю.)
-
-```c
-function A*(start, goal, f)
-     % множество уже пройденных вершин
-     var closed := the empty set
-     % множество частных решений
-     var open := make_queue(f)
-     enqueue(open, path(start))
-     while open is not empty
-         var p := remove_first(open)
-         var x := the last node of p
-         if x in closed
-            continue
-         if x = goal
-            return $\rho$
-         add(closed, x)
-         % добавляем смежные вершины
-         foreach y in successors(x)
-            enqueue(open, add_to_path(p, y))
-     return failure
-```
-
-#### Примеры эвристик
-
-- Если мы можем перемещаться в четырех направлениях, то в качестве эвристики стоит выбрать манхэттенское расстояние $h(v)=|v.x−goal.x|+|v.y−goal.y|$.
-- Расстояние Чебышева применяется, когда к четырем направлениям добавляются диагонали: $h(v)=max(|v.x−goal.x|,|v.y−goal.y|)$.
-- Если передвижение не ограничено сеткой, то можно использовать евклидово расстояние по прямой: $h(v)=((v.x−goal.x) ^ 2+(v.y−goal.y)^2) ^ {1/2}$.
-
-### 3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: $D_{vk}$ равно длине кратчайшего пути до вершины $v$ за ровно $k$ ребер (не более $k$ ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы
-
-Количество путей длины k рёбер можно найти с помощью метода динамического программирования. Пусть $d[k][u]$ — количество путей длины k рёбер, заканчивающихся в вершине u. Тогда $d[k][u]= \Sigma v: v u \in E(d[k−1][v])$.
-
-Аналогично посчитаем пути кратчайшей длины. Пусть $s$ — стартовая вершина. Тогда $d[k][u]=\min v: v u \in E(d[k−1][v]+w(u,v))$, при этом $d[0][s]=0$, а $d[0][u]=+\infty$
-
-Если существует кратчайший путь от s до t, то $\rho(s,t)=\min d[k][t](k=0..n−1)$
-
-Пусть кратчайший путь состоит из $k$ ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной ниже.
-
-```c++
-for k = 0 to |V|−2       // вершины нумеруются с единицы
-    for v∈V
-       for (u,v)∈E
-          d[k + 1][v] = min(d[k + 1][v], d[k][u] + ω(u,v))     // ω(u,v) — вес ребра uv
-```
-
-
-```c++
-bool fordBellman(s):
-    for v∈V
-        d[v] = 1
-    d[s] = 0
-    for i = 0 to |V|−1
-        for (u,v)∈E
-            if d[v] > d[u] + ω(u,v)     // ω(u,v) — вес ребра uv
-                d[v] = d[u] + ω(u,v)
-    for (u,v)∈E
-        if d[v] > d[u] + ω(u,v)
-            return false
-    return true
-```
-
-#### Доказательство корректности(полное)
-
-Во-первых, сразу заметим, что для недостижимых из $v$ вершин алгоритм отработает корректно: для них метка $d[]$ так и останется равной бесконечности (т.к. алгоритм Форда-Беллмана найдёт какие-то пути до всех достижимых из $s$ вершин, а релаксация во всех остальных вершинах не произойдёт ни разу).
-
-Докажем теперь следующее утверждение: после выполнения $i$ фаз алгоритм Форда-Беллмана корректно находит все кратчайшие пути, длина которых (по числу рёбер) не превосходит $i$.
-
-Иными словами, для любой вершины $a$ обозначим через $k$ число рёбер в кратчайшем пути до неё (если таких путей несколько, можно взять любой). Тогда это утверждение говорит о том, что после $k$ фаз этот кратчайший путь будет найден гарантированно.
-
-**Доказательство.**
-
-Рассмотрим произвольную вершину a, до которой существует путь из стартовой вершины v, и рассмотрим кратчайший путь до неё: $(p_0=v, p_1, ..., p_k=a)$. Перед первой фазой кратчайший путь до вершины $p_0=v$ найден корректно. Во время первой фазы ребро $(p_0,p_1)$ было просмотрено алгоритмом Форда-Беллмана, следовательно, расстояние до вершины $p_1$ было корректно посчитано после первой фазы. Повторяя эти утверждения k раз, получаем, что после $k$-й фазы расстояние до вершины $p_k=a$ посчитано корректно, что и требовалось доказать.
-
-Последнее, что надо заметить — это то, что любой кратчайший путь не может иметь более $n-1$ ребра. Следовательно, алгоритму достаточно произвести только $n-1$ фазу. После этого ни одна релаксация гарантированно не может завершиться улучшением расстояния до какой-то вершины.
-
-#### Оценка времени работы
-
-Инициализация занимает $\theta(V)$ времени, каждый из $|V|−1$ проходов требует $\theta(E)$ времени, обход по всем ребрам для проверки наличия отрицательного цикла занимает $O(E)$ времени. Значит алгоритм Беллмана-Форда работает за $O(VE)$ времени.
-
-### 3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла
-
-#### Восстановление пути
-
-```c++
-void solve() {
-  vector<int> d (n, INF);
-  d[v] = 0;
-  vector<int> p (n, -1);
-  for (;;) {
-    bool any = false;
-    for (int j=0; j<m; ++j)
-      if (d[e[j].a] < INF)
-        if (d[e[j].b] > d[e[j].a] + e[j].cost) {
-          d[e[j].b] = d[e[j].a] + e[j].cost;
-          p[e[j].b] = e[j].a;
-          any = true;
-        }
-    if (!any)  break;
-  }
- 
-  if (d[t] == INF)
-    cout << "No path from " << v << " to " << t << ".";
-  else {
-    vector<int> path;
-    for (int cur=t; cur!=-1; cur=p[cur])
-      path.push_back (cur);
-    reverse (path.begin(), path.end());
- 
-    cout << "Path from " << v << " to " << t << ": ";
-    for (size_t i=0; i<path.size(); ++i)
-      cout << path[i] << ' ';
-  }
-}
-```
-
-Здесь мы сначала проходимся по предкам, начиная с вершины t, и сохраняем весь пройденный путь в списке $\rm path$. В этом списке получается кратчайший путь от v до t, но в обратном порядке, поэтому мы вызываем $\rm reverse$ от него и затем выводим.
-
-#### Детектирование цикла отрицательного веса
-
-Пусть $G=(V,E)$ — взвешенный ориентированный граф, $s$ — стартовая вершина. Если граф $G$ не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины $s$, то алгоритм возвращает $\rm true$ и для всех $v \in V$ $d[v]= \delta (s,v)$. Если граф $G$ содержит отрицательные циклы, достижимые из вершины $s$, то алгоритм возвращает $\rm false$.
-
-#### Поиск самого цикла
-
-Приведенная выше реализация позволяет определить наличие в графе цикла отрицательного веса. Чтобы найти сам цикл, достаточно хранить вершины, из которых производится релаксация.
-
-Если после $|V|−1$ итерации найдется вершина $v$, расстояние до которой можно уменьшить, то эта вершина либо лежит на каком-нибудь цикле отрицательного веса, либо достижима из него. Чтобы найти вершину, которая лежит на цикле, можно $|V|−1$ раз пройти назад по предкам из вершины $v$. Так как наибольшая длина пути в графе из $|V|$ вершин равна $|V|−1$, то полученная вершина u будет гарантированно лежать на отрицательном цикле.
-
-Зная, что вершина u лежит на цикле отрицательного веса, можно восстанавливать путь по сохраненным вершинам до тех пор, пока не встретится та же вершина u. Это обязательно произойдет, так как в цикле отрицательного веса релаксации происходят по кругу.
-
-### 3.6. Нахождение кратчайших путей с учетом циклов отрицательного веса
-
-Заметим, что updated_vertices на $|V|$-м шаге содержит два типа вершин: те, которые лежат на цикле отрицательного веса и те, которые сами достижимы из какого-то цикла отрицательного веса. При этом из доказательства леммы выше мы знаем, что от каждого (!) цикла отрицательного веса в множестве будет хотя бы по одному представителю. Из этих двух наблюдений следует корректность и полнота следующего алгоритма:
-
-Запускаем Форда-Беллмана на $|V|$ шагов. Если на последнем шаге до вершины расстояние не поменялось, то оно и кратчайшее. Если поменялось, то до неё и до всех вершин, достижимых из неё, расстояние от стартовой вершины равно минус бесконечности. Чтобы найти все вершины с расстоянием минус бесконечность, достаточно запустить dfs из всех вершин, расстояние до которых уменьшилось на последней итерации алгоритма.
-
-### 3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути
-
-#### Алгоритм Флойда
-
-> **Алгоритм Флойда** (*алгоритм Флойда–Уоршелла*) — алгоритм нахождения длин кратчайших путей между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе. Работает корректно, если в графе нет циклов отрицательной величины, а в случае, когда такой цикл есть, позволяет найти хотя бы один такой цикл.
-
-Ключевая идея алгоритма — разбиение процесса поиска кратчайших путей на фазы.
-
-Перед $k$-ой фазой $(k = 1 ... n)$ считается, что в матрице расстояний $d[][]$ сохранены длины таких кратчайших путей, которые содержат в качестве внутренних вершин только вершины из множества ${1, 2, ..., k-1}$ (вершины графа мы нумеруем, начиная с единицы).
-
-Иными словами, перед $k$-ой фазой величина $d[i][j]$ равна длине кратчайшего пути из вершины $i$ в вершину $j$, если этому пути разрешается заходить только в вершины с номерами, меньшими k (начало и конец пути не считаются).
-
-Легко убедиться, что чтобы это свойство выполнилось для первой фазы, достаточно в матрицу расстояний $d[][]$ записать матрицу смежности графа: $d[i][j] = g[i][j]$ — стоимости ребра из вершины $i$ в вершину $j$. При этом, если между какими-то вершинами ребра нет, то записать следует величину "бесконечность". Из вершины в саму себя всегда следует записывать величину 0, это критично для алгоритма.
-
-Пусть теперь мы находимся на $k$-ой фазе, и хотим пересчитать матрицу $d[][]$ таким образом, чтобы она соответствовала требованиям уже для $k+1$-ой фазы. Зафиксируем какие-то вершины $i$ и $j$. У нас возникает два принципиально разных случая:
-
-Кратчайший путь из вершины $i$ в вершину $j$, которому разрешено дополнительно проходить через вершины ${1, 2, ..., k}$, совпадает с кратчайшим путём, которому разрешено проходить через вершины множества ${1, 2, ..., k-1}$.
-В этом случае величина $d[i][j]$ не изменится при переходе с $k$-ой на $k+1$-ую фазу.
-
-"Новый" кратчайший путь стал лучше "старого" пути. Это означает, что "новый" кратчайший путь проходит через вершину $k$. Сразу отметим, что мы не потеряем общности, рассматривая далее только простые пути (т.е. пути, не проходящие по какой-то вершине дважды).
-
-Тогда заметим, что если мы разобьём этот "новый" путь вершиной $k$ на две половинки (одна идущая $i \rightarrow k$, а другая — $k \rightarrow j$), то каждая из этих половинок уже не заходит в вершину $k$. Но тогда получается, что длина каждой из этих половинок была посчитана ещё на $k-1$-ой фазе или ещё раньше, и нам достаточно взять просто сумму $d[i][k] + d[k][j]$, она и даст длину "нового" кратчайшего пути.
-
-Объединяя эти два случая, получаем, что на $k$-ой фазе требуется пересчитать длины кратчайших путей между всеми парами вершин $i$ и $j$ следующим образом:
-
-```c++
-new_d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
-```
-
-Таким образом, вся работа, которую требуется произвести на $k$-ой фазе — это перебрать все пары вершин и пересчитать длину кратчайшего пути между ними. В результате после выполнения $n$-ой фазы в матрице расстояний $d[i][j]$ будет записана длина кратчайшего пути между $i$ и $j$, либо бесконечность, если пути между этими вершинами не существует.
-
-Последнее замечание, которое следует сделать, — то, что можно не создавать отдельную матрицу $new_d[][]$ для временной матрицы кратчайших путей на $k$-ой фазе: все изменения можно делать сразу в матрице $d[][]$. В самом деле, если мы улучшили (уменьшили) какое-то значение в матрице расстояний, мы не могли ухудшить тем самым длину кратчайшего пути для каких-то других пар вершин, обработанных позднее.
-
-#### Доказательство (концепция)
-
-Доказательство "правильности" работы этого алгоритма также очевидно и выполняется с помощью математической индукции по $k$, показывая, что на $k$-й итерации вершина $k$ включается в путь только тогда, когда новый путь короче старого.
-
-#### Восстановление пути
-
-Легко поддерживать дополнительную информацию — так называемых "предков", по которым можно будет восстанавливать сам кратчайший путь между любыми двумя заданными вершинами в виде последовательности вершин.
-
-Для этого достаточно кроме матрицы расстояний $d[][]$ поддерживать также матрицу предков $p[][]$, которая для каждой пары вершин будет содержать номер фазы, на которой было получено кратчайшее расстояние между ними. Понятно, что этот номер фазы является не чем иным, как "средней" вершиной искомого кратчайшего пути, и теперь нам просто надо найти кратчайший путь между вершинами $i$ и $p[i][j]$, а также между $p[i][j]$ и $j$. Отсюда получается простой рекурсивный алгоритм восстановления кратчайшего пути.
-
-### 3.8. Нахождение цикла отрицательного веса
-
-Если в графе есть циклы отрицательного веса, то формально алгоритм Флойда-Уоршелла неприменим к такому графу.
-
-На самом же деле, для тех пар вершин $i$ и $j$, между которыми нельзя зайти в цикл отрицательного вес, алгоритм отработает корректно.
-
-Для тех же пар вершин, ответа для которых не существует (по причине наличия отрицательного цикла на пути между ними), алгоритм Флойда найдёт в качестве ответа какое-то число (возможно, сильно отрицательное, но не обязательно). Тем не менее, можно улучшить алгоритм Флойда, чтобы он аккуратно обрабатывал такие пары вершин и выводил для них, например, - бесконечность.
-
-Для этого можно сделать, например, следующий критерий "не существования пути". Итак, пусть на данном графе отработал обычный алгоритм Флойда. Тогда между вершинами $i$ и $j$ не существует кратчайшего пути тогда и только тогда, когда найдётся такая вершина $t$, достижимая из $i$ и из которой достижима $j$, для которой выполняется $d[t][t] < 0$.
-
-Кроме того, при использовании алгоритма Флойда для графов с отрицательными циклами следует помнить, что возникающие в процессе работы расстояния могут сильно уходить в минус, экспоненциально с каждой фазой. Поэтому следует принять меры против целочисленного переполнения, ограничив все расстояния снизу какой-нибудь величиной (например, - Бесконечность).
-
-### 3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана
-
-#### Алгоритм Джонсона
-
-> Алгоритм Джонсона позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин в течение времени $O(V \cdot 2 \log(V) + VE)$. Для разреженных графов этот алгоритм ведет себя асимптотически быстрее алгоритма Флойда. Этот алгоритм либо возвращает матрицу кратчайших расстояний между всеми парами вершин, либо сообщение о том, что в графе существует цикл отрицательной длины.
-
-В этом алгоритме используется метод изменения веса (англ. reweighting). Суть его заключается в том, что для заданного графа G строится новая весовая функция $\omega_\varphi$, неотрицательная для всех ребер графа G и сохраняющая кратчайшие пути. Такая весовая функция строится с помощью так называемой потенциальной функции.
-
-Пусть $\varphi: V \rightarrow R$ — произвольное отображение из множества вершин в вещественные числа. Тогда новой весовой функцией будет $\omega_\varphi(u,v)=\varphi(u,v)+\varphi(u)−\varphi(v)$.
-
-Такая потенциальная функция строится добавлем фиктивной вершины $s$ в $G$, из которой проведены ориентированные ребра нулевого веса во все остальные вершины графа, и запуском алгоритма Форда-Беллмана из нее ($\varphi(v)$ будет равно длине кратчайшего пути из $s$ в $v$). На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.
-
-Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить алгоритм Дейкстры из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.
-
-#### Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана
-
-Как в случае применения алгоритма Беллмана-Форда для обнаружения отрицательных циклов, существуют два способа сделать вес каждого ребра неотрицательным в произвольной сети без отрицательных циклов. Либо можно начать с истока в каждом сильно связном компоненте, либо добавить фиктивную вершину с ребром нулевой длины в каждую вершину сети. В любом случае получится остовный лес кратчайших путей, которым можно воспользоваться для присвоения весов вершинам (вес пути из корня в данную вершину в ее SPT).
-
-<div class="page"/>
-
-## 4. Остовные деревья
-
-### 4.1. Остовное дерево. Построение с помощью обхода в глубину и в ширину
-
-#### Остовное дерево
-
-> **Остовное дерево** графа (англ. *Spanning tree*) — это дерево, подграф данного графа, с тем же числом вершин, что и у исходного графа. Неформально говоря, остовное дерево получается из исходного графа удалением максимального числа рёбер, входящих в циклы, но без нарушения связности графа. Остовное дерево включает в себя все n вершин исходного графа и содержит $n-1$ ребро.
-
-#### Построение с помощью обхода в глубину и в ширину
-
-Процедуры обхода графа в глубину и в ширину можно простым способом использовать для нахождения остовов. В обоих случаях достижение новой вершины графа $u$ из вершины $v$ вызывает "включение" в остовное дерево ребра $(u, v)$.
-
-```c++
-void Spisok::Depth_First_Search (Lref r)
-//Рекурсивный обход графа в глубину. r - указатель 
-//на структуру Вирта.
-{
-  Tref t;
-
-  t = (*r).Trail; cout<<(*r).Key; (*r).Flag = FALSE;
-  while (t!=NULL)
-  { if ((*(*t).Id).Flag) Depth_First_Search ((*t).Id); t = (*t).Next; }
-} 
-```
-
-```c++
-void Spisok::Ostov_Depth (Lref r)
-//Рекурсивный обход графа в глубину, соединенный с
-//нахождением ребра остовного дерева.
-//r - указатель на структуру Вирта.
-{
-  Tref t;
-  Lref s;
-
-  s = r;
-  t = (*r).Trail; (*r).Flag = FALSE;
-  while ( t != NULL )
-  { if ((*(*t).Id).Flag) 
-    { cout << "(" << s->Key << "," << t->Id->Key << ") ";
-      Ostov_Depth ((*t).Id);
-    }
-    t = (*t).Next; 
-  }
-}
-```
-
-### 4.2. Определение минимального остовного дерева
-
-> **Минимальное остовное дерево** (англ. *minimum spanning tree*) графа — это его ациклический связный подграф, в который входят все его вершины, обладающий минимальным суммарным весом ребер. Заметим, что граф может содержать несколько минимальных остовных деревьев.
-
-### 4.3. Теорема о разрезе. Доказательство
-
-#### Теорема о разрезе
-
-**Теорема Форда — Фалкерсо́на** — теорема о максимальном потоке в графе, тесно связанная с теоремой Менгера.
-Звучит так: величина максимального потока в графе путей равна величине пропускной способности его минимального разреза.
-
-*Доказательство:*
-
-**Достаточность**: любой поток между вершинами t и s меньше или равен величине любого сечения. Пусть дан некоторый поток и некоторое сечение. Величина данного потока складывается из величин «грузов», перевозимых по всем возможным путям из вершины t в s. Каждый такой путь обязан иметь общее ребро с данным сечением. Так как по каждому ребру сечения суммарно нельзя перевести «груза» больше, чем его пропускная способность, поэтому сумма всех грузов меньше или равна сумме всех пропускных способностей рёбер данного сечения. Утверждение доказано.
-
-Отсюда следует, что любой поток меньше или равен величине минимального сечения, а значит и максимальный поток меньше или равен величине минимального сечения.
-
-### 4.4. Алгоритм Прима. Аналогия с алгоритмом Дейкстры. Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча (последнее без доказательства)
-
-#### Алгоритм Прима
-
-> **Алгоритм Прима** (англ. *Prim's algorithm*) — алгоритм поиска минимального остовного дерева (англ. minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе.
-
-#### Аналогия с алгоритмом Дейкстры
-
-Данный алгоритм очень похож на алгоритм Дейкстры. Будем последовательно строить поддерево $F$ ответа графе $G$, поддерживая приоритетную очередь $Q$ из вершин $G \setminus F$, в которой ключом для вершины $v$ является $\min(\omega(uv) (u \in V(F), (u, v) \in E(G)))$ — вес минимального ребра из вершин $F$ в вершины $G \setminus F$. Также для каждой вершины в очереди будем хранить $p(v)$ — вершину $u$, на которой достигается минимум в определении ключа. Дерево $F$ поддерживается неявно, и его ребра — это пары $(v,p(v))$, где $v \in G \setminus {r} \setminus Q$, а $r$ — корень $F$. Изначально $F$ пусто и значения ключей у всех вершин равны $+\infty$. Выберём произвольную вершину $r$ и присвоим её ключу значение 0. На каждом шаге будем извлекать минимальную вершину $v$ из приоритетной очереди и релаксировать все ребра $(v, u)$, такие что $u \in Q$, выполняя при этом операцию $\rm decreaseKey$ над очередью и обновление $p(v)$. Ребро $(v,p(v))$ при этом добавляется к ответу.
-
-#### Оценка времени работы для различных реализаций очереди с приоритетом: бинарная куча, Фибоначчиева куча
-
-Двоичная куча - $O(ElogV)$
-(Чтобы упростить операцию $\rm decreaseKey$ можно написать кучу на основе сбалансированного бинарного дерева поиска. Тогда просто удалим вершину и добавим ее обратно уже с новым ключом. Асимптотика таких преобразований $O(logn)$. Если же делать с бинарной кучей, то вместо операции $\rm decreaseKey$, будем всегда просто добавлять вершину с новым ключом, если из кучи достали вершину с ключом, значение которого больше чем у нее уже стоит, просто игнорировать. Вершин в куче будет не больше $2 \cdot n$, следовательно, операция $\rm extractMin$ будет выполняться за $O(log(\cdot n))$, что равно $O(logn)$. Максимальное количество вершин, которое мы сможем достать, равняется количеству ребер, то есть m, поэтому общая асимптотика составит $O(mlogn)$, что хорошо только на разреженных графах.)
-
-Фибоначчиева куча - $O(VlogV+E)$
-
-### 4.5. Алгоритм Прима. Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе
-
-Приведем еще раз теорему о разрезе:
-> Для любого разбиения множества вершин $V = A \cup B$, существует минимальный остов, содержащий $e$ – минимальное по весу ребро, проходящее через разрез $\langle A, B \rangle$
-
-Доказательство. Возьмём минимальный остов без $e$. Добавим $e$, получится цикл. Два ребра этого цикла проходят через разрез $\langle A, B \rangle$. Старое неменьше $e$, удалим его. Если же в процессе построения $\rm min$ остова уже известно подмножество рёбер будущего $\rm min$ остова, эти рёбра задают компоненты связности. Мы можем сжать компоненты в вершины и для конденсации применить лемму о разрезе.
-
-Следствие $X$ – подмножество рёбер некого минимального остова. Зафиксируем разрез $V = A \cup B$ такой, что все рёбра $X$ не пересекают разрез. Тогда $\exist$ минимальный остов, содержащий $X \cup \{e\}$, где $e$ – минимальное по весу ребро, проходящее через разрез $\langle A, B \rangle$.
-
-#### Доказательство корректности с помощью теоремы о разрезе
-
-Разрез – текущее множество $A$ и дополнение $V \setminus A$.
-
-### 4.6. Алгоритм Краскала. Доказательство корректности. Оценка времени работы
-
-#### Алгоритм Краскала
-
-Будем последовательно строить подграф $F$ графа $G$ ("растущий лес"), пытаясь на каждом шаге достроить $F$ до некоторого $MST$. Начнем с того, что включим в $F$ все вершины графа $G$. Теперь будем обходить множество $E(G)$ в порядке неубывания весов ребер. Если очередное ребро $e$ соединяет вершины одной компоненты связности $F$, то добавление его в остов приведет к возникновению цикла в этой компоненте связности. В таком случае, очевидно, $e$ не может быть включено в $F$. Иначе $e$ соединяет разные компоненты связности $F$, тогда существует $\langle S, T \rangle$ разрез такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа — вторую. Тогда $e$ — минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из леммы о безопасном ребре следует, что $e$ является безопасным, поэтому добавим это ребро в $F$. На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности, полученный подграф будет минимальным остовным деревом графа $G$. Для проверки возможности добавления ребра используется система непересекающихся множеств.
-
-##### Доказательство корректности
-
-Обратимся к теореме о разрезе из Пункта 4.5
-Добавляем ребро $(a, b)$. Разрез – любой такой, что $(a, b)$ через него проходит.
-
-##### Оценка времени работы
-
-$O(ElogE)$.
-
-### 4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы
-
-### 4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство(полное). Оценка времени работы
-
-#### Алгоритм Борувки
-
-Алгоритм состоит из нескольких шагов:
-
-1. Изначально каждая вершина графа $G$ — тривиальное дерево, а ребра не принадлежат никакому дереву.
-2. Для каждого дерева $T$ найдем минимальное инцидентное ему ребро. Добавим все такие ребра.
-3. Повторяем шаг 2 пока в графе не останется только одно дерево $T$.
-
-Данный алгоритм может работать неправильно, если в графе есть ребра равные по весу. Например, полный граф из трех вершин, вес каждого ребра равен один. В $T$ могут быть добавлены все три ребра. Избежать эту проблему можно, например, выбирая в первом пункте среди ребер, равных по весу, ребро с наименьшим номером.
-
-**Доказательство:**
-
-Обратимся к теореме о разрезе из Пункта 4.5
-Рёбра, которые хочет добавить Борувка, разобьём на компоненты связности. Каждая компонента – дерево, рёбра компоненты будем добавлять по одному от корня к листьям. Добавляя
-очередное ребро ведущее в лист $v$, используем разрез $\langle \{v\}, V \setminus \{v\} \rangle$ и лемму о разрезе.
-
-##### Оценка времени работы
-
-На $i$-ой итерации внешнего цикла каждая компонента состоит как минимум из двух компонент из $(i−1)$-й итерации. Значит, на каждой итерации число компонент уменьшается как минимум в 2 раза. Тогда внешний цикл повторяется $O(logV)$ раз, так как количество компонент изначально равно количеству вершин. Что же касается внутреннего цикла, то он выполняется за $O(E)$, где $E$ — количество рёбер в исходном графе. Следовательно конечное время работы алгоритма $O(ElogV)$.
-
-### 4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева
-
-> **Алгоритм Кристофидеса** или **алгоритм Кристофидеса-Сердюкова** — это алгоритм поиска приближённых решений задачи коммивояжёра для случаев, когда расстояния образуют метрическое пространство (симметричны и удовлетворяют неравенству треугольника).
- 
-Алгоритм является аппроксимационным алгоритмом, который гарантирует, что решения находятся в пределах 3/2 от длины оптимального решения. Алгоритм назван именем Никоса Кристофидеса и Анатолия Ивановича Сердюкова, которые независимо друг от друга нашли его в 1976, и он обладает лучшим аппроксимационным коэффициентом, который был доказан для задачи коммивояжёра на метрических пространствах общего вида, хотя известны лучшие приближения для некоторых специальных случаев.
-
-Пусть $G=(V,w)$ будет представителем задачи коммивояжёра. То есть $G$ является полным графом на множестве вершин $V$, а функция $w$ назначает неотрицательные вещественные веса каждому ребру графа $G$.
-Алгоритм можно описать на псевдокоде следующим образом:
-
-1. Создаём минимальное остовное дерев $T$ графа $G$.
-2. Пусть $O$ будет набором вершин с нечётными степенями в $T$. Согласно лемме о рукопожатиях, $O$ имеет чётное число вершин.
-3. Находим совершенное паросочетание $M$ минимального веса в порождённом подграфе, заданным вершинами из $O$.
-4. Комбинируем рёбра $M$ и $T$ с образованием связного мультиграфа $H$, в котором каждая вершина имеет чётную степень.
-5. Образуем эйлеров цикл в $H$.
-6. Преобразуем цикл, найденный на предыдущем шаге, в гамильтонов цикл путём пропуска повторяющихся вершин (сокращение).
-
-<div class="page"/>
-
-## 5. Потоки в сетях
-
-### 5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез
-
-#### Определение сети
-
-> **Сеть** (англ. *flow network*) представляет собой ориентированный граф, в котором каждое ребро имеет положительную пропускную способность (англ. *capacity*).
-
-#### Определение потока
-
-> **Потоком** (англ. *flow*) $f$ в $G$ является действительная функция $f: V \times V \rightarrow R$, удоволетворяющая условиям:
-
-1) $f(u,v) = −f(v,u)$ (антисимметричность)
-2) $f(u,v) \leq c(u,v)$ (ограничение пропускной способности), если ребра нет, то $f(u,v)=0$;
-3) $\Sigma v \cdot f(u,v) = 0$ для всех вершин $u$, кроме $s$ и $t$ (закон сохранения потока).
-
-> Величина потока $f$ определяется как $|f|=\Sigma v \in V \cdot f(s,v)$.
-
-#### Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа
-
-#### Определение разреза
-
-> $(s,t)$ - **разрезом** (англ. *s-t cut*) $\langle S,T \rangle$ в сети $G$ называется пара множеств $S$, $T$, удоволетворяющих условиям: $s \in S$,$t \in T$ и $S = V \setminus T$.
-
-#### Понятия потока через разрез
-
-> **Поток в разрезе** (англ. *flow in the cut*) $\langle S,T \rangle$ обозначается $f(S,T)$ и вычисляется по формуле: $f(S,T)= \Sigma u \in S \cdot \Sigma v \in T \cdot f(u,v)$.
-
-### 5.2. Доказательство факта, что поток через любой разрез одинаковый
-
-$f(S,T) = f(S,V) − f(S,S) = f(S,V) = f(S \setminus s,V) + f(s,V) = f(s,V) = |f|$
-
-1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются: $f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)$
-2-е равенство выполняется из-за антисимметричности: $f(S,S)=−f(S,S)=0$
-3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм
-4-е равенство выполняется из-за сохранения потока
-
-### 5.3. Понятие остаточной сети. Понятие дополняющего пути. Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока
-
-#### Понятие остаточной сети
-
-Если задана некоторая транспортная сеть $G$ и поток $f$, то **остаточная сеть** $G_f$ - это сеть, состоящая из ребер с пропускными способностями, указывающими, как могут меняться потоки через ребра $G$.
-
-#### Понятие дополняющего пути
-
-Для заданной транспортной сети и потока **дополняющим путем** (англ. *augmenting path*) является простой путь из истока в сток в остаточной сети.
-
-#### Необходимость отсутствия дополняющего пути для максимальности потока
-
-В случае существования дополняющего пути поток можно увеличить.
-
-### 5.4. Теорема Форда-Фалкерсона
-
-> **Теорема Форда — Фалкерсо́на** — теорема о максимальном потоке в графе, тесно связанная с теоремой Менгера. Звучит так: величина максимального потока в графе путей равна величине пропускной способности его минимального разреза.
-
-### 5.5. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Поиск минимального разреза. Пример целочисленной сети, в котором алгоритм работает долго
-
-#### Алгоритм Форда-Фалкерсона
-
-Идея алгоритма заключается в следующем. Изначально величине потока присваивается значение 0: $f(u,v)=0$ для всех $u, v \in V$. Затем величина потока итеративно увеличивается посредством поиска увеличивающего пути (путь от источника $s$ к стоку $t$, вдоль которого можно послать ненулевой поток). В данной статье рассматривается алгоритм, осуществляющий этот поиск с помощью обхода в глубину (dfs). Процесс повторяется, пока можно найти увеличивающий путь.
-
-**Неформальное описание:**
-
-1. Обнуляем все потоки. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.
-2. В остаточной сети находим любой путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.
-3. Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
-    1. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью $c_{min}$.
-    2. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на $c_{min}$, а в противоположном ему — уменьшаем на $c_{min}$.
-    3. Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных (антипараллельных) им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.
-4. Возвращаемся на шаг 2.
-
-#### Поиск минимального разреза
-
-Алгоритм Форда-Фалкерсона использует поиск в ширину для нахождения увеличивающего пути в сети и постепенно увеличивает поток через этот путь, пока не будет достигнут максимальный поток. Затем алгоритм ищет минимальный разрез, основываясь на значении потока.
-
-### 5.6. Алгоритм Эдмондса-Карпа. Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшается
-
-#### Алгоритм Эдмондса-Карпа
-
-> **Алгоритм Эдмондса-Карпа** является реализацией метода Форда-Фалкерсона, в которой в качестве дополняющего пути выбирается кратчайший по рёбрам путь в остаточной сети (длины всех рёбер равны 1).
-
-**Описание:**
-
-1. Положим все потоки равными нулю. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.
-2. В остаточной сети находим кратчайший путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.
-3. Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
-    1. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью $c_{min}$.
-    2. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на $c_{min}$, а в противоположном ему — уменьшаем на $c_{min}$.
-    3. Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.
-4. Возвращаемся на шаг 2.
-
-**Доказательство, что кратчайшее расстояние в остаточной сети не уменьшаетcя:**
-
-**Лемма:**
-
-> Кратчайшее расстояние от истока до каждой вершины не уменьшается с выполнением каждой итерации, т.е. $level_{i+1}[v] >= level_i[v]$, где нижний индекс обозначает номер фазы, перед которой взяты значения этих переменных.
-
-**Доказательство:**
-
-Зафиксируем произвольную фазу $i$ и произвольную вершину $v$ и рассмотрим любой кратчайший $s - v$ путь $P$ в сети $G^R_{i+1}$ (напомним, так мы обозначаем остаточную сеть, взятую перед выполнением $i+1$-ой фазы). Очевидно, длина пути $P$ равна $level_{i+1}[v]$.
-
-Заметим, что в остаточную сеть $G^R_{i+1}$ могут входить только рёбра из $G^R$, а также рёбра, обратные рёбрам из $G^R$ (это следует из определения остаточной сети). Рассмотрим два случая:
-
-Путь $P$ содержит только рёбра из $G^R$. Тогда, понятно, длина пути $P$ больше либо равна $level_i[v]$ (потому что $level_i[v]$ по определению — длина кратчайшего пути), что и означает выполнение неравенства. Путь $P$ содержит как минимум одно ребро, не содержащееся в $G^R$ (но обратное какому-то ребру из $G^R$). Рассмотрим первое такое ребро; пусть это будет ребро $(u,w)$. $s \rightarrow u \rightarrow w$
-
-Мы можем применить нашу лемму к вершине $u$, потому что она подпадает под первый случай; итак, мы получаем неравенство $level_{i+1}[u] >= level_i[u]$.
-
-Теперь заметим, что поскольку ребро $(u, w)$ появилось в остаточной сети только после выполнения $i$-ой фазы, то отсюда следует, что вдоль ребра $(w, u)$ был дополнительно пропущен какой-то поток; следовательно, ребро $(w, u)$ принадлежало слоистой сети перед $i$-ой фазой, а потому $level_i[u] = level_i[w] + 1$. Учтём, что по свойству кратчайших путей $level_{i+1}[w] = level_{i+1}[u] + 1$, и объединяя это равенство с двумя предыдущими неравенствами, получаем:
-$level_{i+1}[w] >= level_i[w] + 2$.
-
-Теперь мы можем применять те же самые рассуждения ко всему оставшемуся пути до $v$ (т.е. что каждое инвертированное ребро добавляет к $\rm level$ как минимум два), и в итоге получим требуемое неравенство.
-
-### 5.7. Общая оценка времени работы алгоритма Эдмондса-Карпа
-
-Сложность алгоритма Эдмондса-Карпа равна $O(VE^2)$.
-
-### 5.8. Слоистая сеть. Алгоритм Диница. Оценка времени работы без доказательства
-
-#### Слоистая сеть
-
-> **Слоистая сеть** — это сеть состоящая только из таких рёбер $(v, u)$ сети $G$, что $d(v) + 1 = d(u)$, где $d$ - расстояние от истока.
-
-#### Алгоритм Диница
-
-**Схема алгоритма:**
-
-1. Построить слоистую сеть по остаточной, если сток не достижим то завершить алгоритм
-2. Пустить блокирующий поток в слоистой сети
-3. Если алгоритм завершился, то в остаточной сети сток не достижим из истока, а значит не существует увеличивающего пути, следовательно найденный поток максимален.
-
-#### Оценка времени работы без доказательства
-
-Так как расстояние строго увеличивается количество итераций алгоритма = $O(V)$. В зависимости от выбора алгоритма поиска блокирующего потока время данного алгоритма может составить $O(VE^2), O(V^2E)$ или $O(V^3)$.
-
-<div class="page"/>
-
-## 6. RMQ. Sparse-table, дерево отрезков. LCA. Декартово дерево по неявному ключу
-
-### 6.1. RSQ и RMQ. Sparse-table
-
-#### RSQ и RMQ.
-Дан числовой массив: $A[0]$, $A[1]$, ..., $A[N−1$.$
-
-Нужно отвечать на запросы:
-
-- для данных $L$ и $R$ вычислить сумму $A[L] + ... + A[R−1]$;
-- (опционально) обновить элемент: $A[i] := x$.
-
-Операция — не обязательно сумма, а элементы — не обязательно числа.
-
-- Сумма $\rightarrow$ RSQ (range sum query)
-- Минимум $\rightarrow$ RMQ (range minimum query)
-
-### 6.2. Дерево отрезков. Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня
-
-#### Дерево отрезков
-
-Дерево отрезков — это структура данных, которая позволяет эффективно (т.е. за асимптотику $O(log n)$) реализовать операции следующего вида: нахождение суммы/минимума элементов массива в заданном отрезке ($a[l ... r]$, где $l$ и $r$ поступают на вход алгоритма), при этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и изменение элементов на целом подотрезке массива (т.е. разрешается присвоить всем элементам $a[l ... r]$ какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число).
-
-Вообще, дерево отрезков — очень гибкая структура, и число задач, решаемых ей, теоретически неограниченно. Помимо приведённых выше видов операций с деревьями отрезков, также возможны и гораздо более сложные операции (см. раздел "Усложнённые версии дерева отрезков"). В частности, дерево отрезков легко обобщается на большие размерности: например, для решения задачи о поиске суммы/минимума в некотором подпрямоугольнике данной матрицы (правда, уже только за время $O(log^2 n)$).
-
-Важной особенностью деревьев отрезков является то, что они потребляют линейный объём памяти: стандартному дереву отрезков требуется порядка $4n$ элементов памяти для работы над массивом размера $n$.
-
-#### Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня
-
-В дереве отрезков обработка запросов может осуществляться как от листьев (bottom-up), так и от корня (top-down). Это связано с тем, как информация распространяется вдоль дерева при выполнении запросов.
-
-1. **Обработка запросов от листьев (Bottom-Up):**
-   - Идея заключается в том, что сначала вычисляются значения для листьев (первоначальные элементы массива), а затем эта информация постепенно передается вверх по дереву для расчета значений на более высоких уровнях.
-   - Когда поступает запрос на определенный отрезок, начинаются вычисления от соответствующих листьев. Затем результаты объединяются на более высоких уровнях дерева, пока не достигнется корень.
-   - Этот подход обеспечивает эффективность расчетов для запросов на отрезках.
-
-2. **Обработка запросов от корня (Top-Down):**
-   - Здесь запрос начинается с корня дерева, и информация передается вниз по дереву до тех пор, пока не достигнут нужные листья (или пока не выполнены условия запроса).
-   - Этот метод может быть полезен в случаях, когда запросы связаны с каким-то условием, которое позволяет пропускать некоторые поддеревья, не вычисляя их полностью.
-   - Позволяет оптимизировать запросы, если известно, что результаты на некоторых уровнях дерева не повлияют на результат запроса.
-
-Реализация обработки запросов от листьев или от корня зависит от конкретных требований задачи и структуры дерева отрезков. В некоторых случаях может быть полезно использовать комбинацию обоих методов для оптимизации производительности и удовлетворения специфических требований запросов.
-
-### 6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции
-
-#### Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.
-
-Напомним, что запрос обновления получает на вход индекс $i$ и значение $x$, и перестраивает дерево отрезков таким образом, чтобы оно соответствовало новому значению $A[i] := x$. Этот запрос должен также выполняться за время $O(log n)$.
-
-Это более простой запрос по сравнению с запросом подсчёта суммы. Дело в том, что элемент $A[i]$ участвует только в относительно небольшом числе вершин дерева отрезков: а именно, в $O(log n)$ вершинах — по одной с каждого уровня.
-
-Тогда понятно, что запрос обновления можно реализовать как рекурсивную функцию: ей передаётся текущая вершина дерева отрезков, и эта функция выполняет рекурсивный вызов от одного из двух своих сыновей (от того, который содержит позицию i в своём отрезке), а после этого — пересчитывает значение суммы в текущей вершине точно таким же образом, как мы это делали при построении дерева отрезков (т.е. как сумма значений по обоим сыновьям текущей вершины).
-
-```c++
-void update (int v, int tl, int tr, int pos, int new_val) {
-  if (tl == tr)
-    t[v] = new_val;
-  else {
-    int tm = (tl + tr) / 2;
-    if (pos <= tm)
-      update (v*2, tl, tm, pos, new_val);
-    else
-      update (v*2+1, tm+1, tr, pos, new_val);
-    t[v] = t[v*2] + t[v*2+1];
-  }
-}
-```
-
-#### Множественные операции
-
-Множественные операции в дереве отрезков относятся к расширенной концепции структуры данных "дерево отрезков", которая позволяет эффективно выполнять несколько операций на отрезках массива или последовательности данных. Обычно дерево отрезков предназначено для выполнения операций типа запроса на сумму, минимум, максимум на определенном подотрезке массива. Однако, при необходимости, можно расширить возможности дерева отрезков для поддержки нескольких операций.
-
-Примеры множественных операций в дереве отрезков могут включать в себя:
-
-1. **Сумма и обновление (Range Sum Query and Range Update):** Помимо запросов на сумму элементов на определенном отрезке, можно добавить операции обновления, изменяющие значения элементов на определенном отрезке.
-
-2. **Минимум/максимум и обновление (Range Minimum/Maximum Query and Range Update):** Поддержка запросов на поиск минимума или максимума на определенном отрезке, а также операций обновления значений элементов.
-
-3. **Подсчет количества элементов в диапазоне с заданным условием (Count Elements in Range with a Given Condition):** Дерево отрезков может быть настроено для подсчета количества элементов, удовлетворяющих определенному условию, на определенном отрезке.
-
-4. **Операции нахождения k-го порядкового статистического элемента (K-th Order Statistics Operations):** Поиск $k$-го минимального/максимального элемента на определенном отрезке.
-
-5. **Сложные агрегатные функции:** Различные агрегатные функции, такие как нахождение среднего значения, медианы и др., могут быть реализованы с использованием множественных операций.
-
-Реализация множественных операций требует изменений в структуре дерева отрезков и логике обработки запросов и обновлений. Это может потребовать более сложного кода, но в то же время предоставляет более широкий спектр возможностей для решения различных задач.
-
-### 6.4. LCA. Метод двоичного подъёма
-
-#### LCA
-
-Наименьший общий предок (нижайший общий предок) вершин $u$ и $v$ в корневом дереве $T$ — наиболее удалённая от корня дерева вершина, лежащая на обоих путях от $u$ и $v$ до корня, т. е. являющаяся предком обеих вершин. Общепринятое сокращение — $LCA$ от англ. *lowest (least) common ancestor*.
-
-#### Метод двоичного подъёма
-
-> **Метод двоичного подъёма** — один из самых простых методов для решения задачи LCA в online. Он не использует метод решения задачи RMQ и основан на методе динамического программирования.
-
-```c++
-function preprocess():
-     int[] p = dfs(0)
-     for i = 1 to n
-        dp[i][0] = p[i]
-     for j = 1 to log(n)
-        for i = 1 to n
-           dp[i][j] = dp[dp[i][j - 1]][j - 1]
-  
-  int lca(int v, int u):
-     if d[v] > d[u]
-        swap(v, u)
-     for i = log(n) downto 0
-        if d[dp[u][i]] - d[v] >= 0
-           u = dp[u][i]
-     if v == u
-        return v
-     for i = log(n) downto 0
-        if dp[v][i] != dp[u][i]
-           v = dp[v][i]
-           u = dp[u][i]
-     return p[v]
-```
-
-### 6.5. Декартово дерево по неявному ключу. Интерфейс быстрого массива: Доступ к элементу в позиции i, Вставка элемента в позицию i, Удаление элемента из позиции i, Конкатенация двух массивов, разделение массива на два
-
-#### Декартово дерево по неявному ключу
-
-Декартово дерево по неявному ключу - это структура данных, объединяющая свойства декартова дерева и быстрого массива (cartesian tree on implicit key). Декартово дерево основано на двух параметрах: приоритете (обычно случайном) и ключе элемента. В случае декартова дерева по неявному ключу, элементы упорядочены по порядку, заданному индексами массива.
-
-#### Интерфейс быстрого массива
-
-1. **Доступ к элементу в позиции i:**
-   - Так как элементы упорядочены по неявному ключу (порядковому номеру), доступ к элементу в позиции i выполняется, обращаясь к элементу с ключом i.
-
-2. **Вставка элемента в позицию i:**
-   - Вставка элемента в позицию i может быть выполнена путем создания нового узла с соответствующим приоритетом и неявным ключом i, затем соединения этого нового узла с существующими поддеревьями вокруг позиции i.
-
-3. **Удаление элемента из позиции i:**
-   - Удаление элемента из позиции i подразумевает разделение декартова дерева на два поддерева: одно до позиции i и второе после позиции i. Затем оба поддерева могут быть объединены, игнорируя узел с ключом i.
-
-Декартово дерево по неявному ключу обеспечивает эффективный доступ к элементам по индексу, а также эффективную вставку и удаление элементов, поддерживая при этом свойства декартова дерева.
-
-#### Конкатенация двух массивов
-
-Декартово дерево можно использовать для эффективной конкатенации двух массивов и разделения массива на две части, представляя массив в виде декартова дерева по неявному ключу.
-
-Для конкатенации двух массивов, представленных в виде декартова дерева, можно выполнить следующие шаги:
-
-1. Создать новый узел, который станет корнем нового дерева.
-2. Как корень нового дерева выбрать узел с максимальным приоритетом из обоих деревьев.
-3. Сделать корень дерева с максимальным приоритетом корнем нового дерева.
-4. Поддерево с меньшим приоритетом становится левым (или правым) поддеревом корня нового дерева.
-5. Рекурсивно повторить процесс для поддеревьев, соответствующих двум исходным деревьям.
-
-#### Разделение массива на два
-
-Для разделения массива на две части в декартовом дереве, можно воспользоваться тем фактом, что приоритеты узлов определяют порядок элементов. Мы ищем узел, чей неявный ключ соответствует индексу разделения.
-
-1. Выполняем поиск в декартовом дереве по индексу разделения.
-2. Получаем поддерево с корнем, у которого неявный ключ равен индексу разделения.
-3. Разделяем это поддерево на два: левое поддерево становится левой частью, а правое поддерево становится правой частью.
diff --git a/doc/theory.md b/doc/theory.md
index 8a6bd92..72ebf4d 100644
--- a/doc/theory.md
+++ b/doc/theory.md
@@ -53,8 +53,8 @@
     - [Алгоритм A\*](#алгоритм-a)
     - [Примеры эвристик](#примеры-эвристик)
   - [3.4. Алгоритм Форда-Беллмана. Хранение в матрице: $D\_{vk}$ равно длине кратчайшего пути до вершины $v$ за ровно $k$ ребер (не более $k$ ребер). Доказательство корректности (полное). Оценка времени работы](#34-алгоритм-форда-беллмана-хранение-в-матрице-d_vk-равно-длине-кратчайшего-пути-до-вершины-v-за-ровно-k-ребер-не-более-k-ребер-доказательство-корректности-полное-оценка-времени-работы)
-    - [Доказательство корректности(полное)](#доказательство-корректностиполное)
-    - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-1)
+    - [Доказательство корректности алгоритма Форда-Беллмана](#доказательство-корректности-алгоритма-форда-беллмана)
+    - [Оценка времени работы алгоритма Форда-Беллмана](#оценка-времени-работы-алгоритма-форда-беллмана)
   - [3.5. Восстановление пути. Детектирование цикла отрицательного веса. Поиск самого цикла](#35-восстановление-пути-детектирование-цикла-отрицательного-веса-поиск-самого-цикла)
     - [Восстановление пути](#восстановление-пути)
     - [Детектирование цикла отрицательного веса](#детектирование-цикла-отрицательного-веса)
@@ -63,7 +63,7 @@
   - [3.7. Алгоритм Флойда. Доказательство (концепция). Восстановление пути](#37-алгоритм-флойда-доказательство-концепция-восстановление-пути)
     - [Алгоритм Флойда](#алгоритм-флойда)
     - [Доказательство (концепция)](#доказательство-концепция)
-    - [Восстановление пути](#восстановление-пути-1)
+    - [Восстановление пути в алгоритме Флойда](#восстановление-пути-в-алгоритме-флойда)
   - [3.8. Нахождение цикла отрицательного веса](#38-нахождение-цикла-отрицательного-веса)
   - [3.9. Алгоритм Джонсона. Добавление фиктивного корня и фиктивных ребер для запуска алгоритма Форда-Беллмана](#39-алгоритм-джонсона-добавление-фиктивного-корня-и-фиктивных-ребер-для-запуска-алгоритма-форда-беллмана)
     - [Алгоритм Джонсона](#алгоритм-джонсона)
@@ -86,7 +86,7 @@
   - [4.7. Система непересекающихся множеств. Эвристика потенциалов без доказательства. Эвристика сжатия пути без доказательства. Почти константное время работы](#47-система-непересекающихся-множеств-эвристика-потенциалов-без-доказательства-эвристика-сжатия-пути-без-доказательства-почти-константное-время-работы)
   - [4.8. Алгоритм Борувки. Доказательство. Оценка времени работы](#48-алгоритм-борувки-доказательство-оценка-времени-работы)
     - [Алгоритм Борувки](#алгоритм-борувки)
-      - [Оценка времени работы](#оценка-времени-работы-2)
+      - [Оценка времени работы алгоритма Борувки](#оценка-времени-работы-алгоритма-борувки)
   - [4.9. Приближение решения задачи коммивояжера с помощью минимального остовного дерева](#49-приближение-решения-задачи-коммивояжера-с-помощью-минимального-остовного-дерева)
 - [5. Потоки в сетях](#5-потоки-в-сетях)
   - [5.1. Определение сети. Определение потока. Физический смысл. Аналогия с законами Кирхгофа. Определение разреза. Понятия потока через разрез](#51-определение-сети-определение-потока-физический-смысл-аналогия-с-законами-кирхгофа-определение-разреза-понятия-потока-через-разрез)
@@ -118,7 +118,7 @@
     - [Дерево отрезков](#дерево-отрезков)
     - [Обработка запросов от листьев. Обработка запросов от корня](#обработка-запросов-от-листьев-обработка-запросов-от-корня)
   - [6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции](#63-изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков-множественные-операции)
-    - [Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.](#изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков)
+    - [Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков](#изменение-значения-в-массиве-обновление-дерева-отрезков)
     - [Множественные операции](#множественные-операции)
   - [6.4. LCA. Метод двоичного подъёма](#64-lca-метод-двоичного-подъёма)
     - [LCA](#lca)
@@ -129,7 +129,6 @@
     - [Конкатенация двух массивов](#конкатенация-двух-массивов)
     - [Разделение массива на два](#разделение-массива-на-два)
 
-
 ## 1. Обходы графа
 
 ### 1.1. Ориентированный граф, псевдограф. Неориентированный граф, псевдограф. Связность в неориентированном графе, компоненты связности. Слабая и сильная связность в ориентированном графе. Компоненты слабой, сильной связности
@@ -188,7 +187,6 @@ void dfs (int vertex) {
 }
 ```
 
-
 #### Лемма о белых путях
 
 **Лемма**: Не существует такого момента выполнения поиска в глубину, в который бы существовало ребро из черной вершины в белую.
@@ -215,7 +213,6 @@ int dfs(int vertex, std::vector<bool> visited):
     return visitedVertices
 ```
 
-
 #### Поиск цикла в неориентированном и ориентированном графе
 
 *Условие:*
@@ -768,7 +765,7 @@ bool fordBellman(s):
     return true
 ```
 
-#### Доказательство корректности(полное)
+#### Доказательство корректности алгоритма Форда-Беллмана
 
 Во-первых, сразу заметим, что для недостижимых из $v$ вершин алгоритм отработает корректно: для них метка $d[]$ так и останется равной бесконечности (т.к. алгоритм Форда-Беллмана найдёт какие-то пути до всех достижимых из $s$ вершин, а релаксация во всех остальных вершинах не произойдёт ни разу).
 
@@ -782,7 +779,7 @@ bool fordBellman(s):
 
 Последнее, что надо заметить — это то, что любой кратчайший путь не может иметь более $n-1$ ребра. Следовательно, алгоритму достаточно произвести только $n-1$ фазу. После этого ни одна релаксация гарантированно не может завершиться улучшением расстояния до какой-то вершины.
 
-#### Оценка времени работы
+#### Оценка времени работы алгоритма Форда-Беллмана
 
 Инициализация занимает $\theta(V)$ времени, каждый из $|V|−1$ проходов требует $\theta(E)$ времени, обход по всем ребрам для проверки наличия отрицательного цикла занимает $O(E)$ времени. Значит алгоритм Беллмана-Форда работает за $O(VE)$ времени.
 
@@ -879,7 +876,7 @@ new_d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
 
 Доказательство "правильности" работы этого алгоритма также очевидно и выполняется с помощью математической индукции по $k$, показывая, что на $k$-й итерации вершина $k$ включается в путь только тогда, когда новый путь короче старого.
 
-#### Восстановление пути
+#### Восстановление пути в алгоритме Флойда
 
 Легко поддерживать дополнительную информацию — так называемых "предков", по которым можно будет восстанавливать сам кратчайший путь между любыми двумя заданными вершинами в виде последовательности вершин.
 
@@ -1042,7 +1039,7 @@ void Spisok::Ostov_Depth (Lref r)
 Рёбра, которые хочет добавить Борувка, разобьём на компоненты связности. Каждая компонента – дерево, рёбра компоненты будем добавлять по одному от корня к листьям. Добавляя
 очередное ребро ведущее в лист $v$, используем разрез $\langle \{v\}, V \setminus \{v\} \rangle$ и лемму о разрезе.
 
-##### Оценка времени работы
+##### Оценка времени работы алгоритма Борувки
 
 На $i$-ой итерации внешнего цикла каждая компонента состоит как минимум из двух компонент из $(i−1)$-й итерации. Значит, на каждой итерации число компонент уменьшается как минимум в 2 раза. Тогда внешний цикл повторяется $O(logV)$ раз, так как количество компонент изначально равно количеству вершин. Что же касается внутреннего цикла, то он выполняется за $O(E)$, где $E$ — количество рёбер в исходном графе. Следовательно конечное время работы алгоритма $O(ElogV)$.
 
@@ -1241,7 +1238,7 @@ $\rm level_{i+1}[w] \geq level_i[w] + 2$.
 
 ### 6.3. Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков. Множественные операции
 
-#### Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков.
+#### Изменение значения в массиве, обновление дерева отрезков
 
 Напомним, что запрос обновления получает на вход индекс $i$ и значение $x$, и перестраивает дерево отрезков таким образом, чтобы оно соответствовало новому значению $A[i] := x$. Этот запрос должен также выполняться за время $O(log n)$.