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PyMC Examples

PyMC를 활용한 Bayesian 추론과 Gaussian Process 모델링 예제 저장소다.

👋 처음 오셨나요?

초보자분들을 위한 상세한 가이드를 준비했습니다! Bayesian 추론이나 Gaussian Process가 처음이시라면, 초보자 가이드 (BEGINNER_GUIDE.md)를 먼저 읽어보시기 바랍니다. 핵심 개념부터 단계별 학습 경로까지 친절하게 설명되어 있습니다.

📋 목차

🚀 환경 설치

1. 저장소 클론

git clone <repository-url>
cd pymc-examples

2. uv 설치

이 프로젝트는 uv를 사용하여 패키지 의존성을 관리한다. uv는 Python 패키지 설치와 가상환경 관리를 빠르고 효율적으로 처리하는 도구다.

Linux/Mac에서 uv 설치

curl -LsSf https://astral.sh/uv/install.sh | sh

Windows에서 uv 설치

Windows에서는 PowerShell을 관리자 권한으로 실행한 후 다음 명령어를 입력한다:

powershell -ExecutionPolicy ByPass -c "irm https://astral.sh/uv/install.ps1 | iex"

또는 Windows 패키지 관리자 winget을 사용할 수도 있다:

winget install --id=astral-sh.uv -e

설치 후 터미널을 재시작하여 uv 명령어를 사용할 수 있는지 확인한다:

uv --version

3. 프로젝트 의존성 설치

프로젝트 디렉토리에서 다음 명령어를 실행하여 필요한 모든 패키지를 설치하고 가상환경을 생성한다:

uv sync

uv sync 명령어는 다음 작업을 자동으로 수행한다:

  • pyproject.toml 파일을 읽어 필요한 패키지 목록 확인
  • .venv 디렉토리에 가상환경 생성 (없는 경우)
  • 모든 의존성 패키지를 가상환경에 설치
  • 패키지 버전을 uv.lock 파일에 고정

4. 가상환경 활성화

설치가 완료되면 가상환경을 활성화한다:

Linux/Mac

source .venv/bin/activate

Windows (PowerShell)

.venv\Scripts\Activate.ps1

Windows (CMD)

.venv\Scripts\activate.bat

가상환경이 활성화되면 터미널 프롬프트 앞에 (.venv)가 표시된다.

5. Jupyter Notebook 실행

가상환경이 활성화된 상태에서 Jupyter Notebook을 실행한다:

jupyter notebook

또는 가상환경 활성화 없이 바로 실행할 수도 있다:

uv run jupyter notebook

브라우저가 자동으로 열리면 examples/pymc-gp-toy_model.ipynb 파일을 선택하여 예제를 실행할 수 있다.

📁 프로젝트 구조

pymc-examples/
├── README.md                    # 프로젝트 설명서
├── pyproject.toml              # 프로젝트 설정 및 의존성
├── uv.lock                     # 의존성 버전 잠금 파일
├── examples/                   # 예제 노트북 폴더
│   └── pymc-gp-toy_model.ipynb # Gaussian Process 예제
└── dataset/                    # 데이터셋 폴더
    ├── datacomp_hourly.csv     # 컴퓨터 시뮬레이션 데이터
    └── datafield_hourly.csv    # 실제 관측 데이터

📊 예제 소개

Gaussian Process Toy Model (pymc-gp-toy_model.ipynb)

이 예제는 PyMC를 사용한 Gaussian Process 기반 Bayesian 추론의 완전한 구현을 제공한다. 컴퓨터 시뮬레이션 데이터와 실제 관측 데이터를 결합하여 물리적 파라미터를 추정하는 방법을 단계별로 설명한다.

🎯 주요 목표

  • 컴퓨터 시뮬레이션 데이터와 실제 관측 데이터를 통합
  • Gaussian Process를 에뮬레이터로 활용
  • 물리적 파라미터(기기밀도, 조명밀도, COP)의 Bayesian 추정 및 불확실성 정량화

📈 데이터 모델

실제 측정 데이터 $z$는 다음과 같이 모델링된다:

$$z = \eta(\mathbf{x}, \boldsymbol{\theta}) + e$$

여기서:

  • $\eta(\mathbf{x}, \boldsymbol{\theta})$: 실제 물리 프로세스 또는 컴퓨터 시뮬레이션 함수
  • $\mathbf{x}$: 입력 변수 (외기온도, 상대습도)
  • $\boldsymbol{\theta}$: 모델 파라미터 (기기밀도, 조명밀도, COP)
  • $e$: 관측 오차 (랜덤 노이즈)

🔬 데이터 타입

1. 컴퓨터 시뮬레이션 데이터 (datacomp_hourly.csv)

  • 형태: (yc, xc1, xc2, tc1, tc2, tc3)
  • yc: 에너지 사용량 (시뮬레이션 출력값)
  • xc1: 외기온도 (첫 번째 입력 변수)
  • xc2: 상대습도 (두 번째 입력 변수)
  • tc1: 기기밀도 (추정 대상 파라미터)
  • tc2: 조명밀도 (추정 대상 파라미터)
  • tc3: COP - Coefficient of Performance (추정 대상 파라미터)

2. 실제 관측 데이터 (datafield_hourly.csv)

  • 형태: (yf, xf1, xf2)
  • yf: 에너지 사용량 (실제 측정값)
  • xf1: 외기온도 (첫 번째 입력 변수)
  • xf2: 상대습도 (두 번째 입력 변수)
  • 물리적 파라미터 tc1, tc2, tc3는 미지수로 Bayesian 추론을 통해 추정

🧮 기술적 배경

Bayesian Model Calibration

이 예제는 Kennedy and O'Hagan (2001)의 Bayesian Model Calibration 방법론을 기반으로 한다:

  1. 완벽한 모델 가정: 컴퓨터 모델이 실제 물리 프로세스를 완벽하게 재현한다고 가정
  2. Gaussian Process 에뮬레이션: 복잡한 시뮬레이션 함수를 GP로 근사
  3. 통합된 추론: 시뮬레이션과 관측 데이터를 하나의 모델로 통합

Gaussian Process 모델링

커널 함수: Exponential Quadratic (RBF) 커널 사용

$$k(x_i, x_j) = \eta^2 \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{d=1}^{5}\frac{(x_{i,d} - x_{j,d})^2}{l_d^2}\right)$$

하이퍼파라미터:

  • l: Length-scale 파라미터 (각 입력 차원에서의 함수 변동성)
  • eta: Amplitude 파라미터 (함수 값의 전체적인 변동 폭)
  • sigma: 관측 노이즈의 표준편차

MCMC 샘플링

NUTS (No-U-Turn Sampler) 사용:

  • Hamiltonian Monte Carlo의 개선된 버전
  • 자동 튜닝과 효율적인 수렴
  • NumPyro 백엔드로 빠른 성능 제공

💻 사용법

1. 노트북 실행

# Jupyter Notebook에서 예제 파일 열기
jupyter notebook examples/pymc-gp-toy_model.ipynb

2. 단계별 실행

노트북은 다음과 같은 단계로 구성되어 있다:

  1. 라이브러리 임포트 및 환경 설정

    • PyMC, NumPy, ArviZ 등 필수 라이브러리 임포트
    • 각 라이브러리의 역할과 사용 목적 설명

  2. 데이터 임포트 및 탐색적 분석

    • 컴퓨터 시뮬레이션 데이터와 실제 관측 데이터 로드
    • 데이터 구조 확인 및 기본 통계량 분석

  3. 데이터 시각화 및 탐색적 분석

    • 실제 관측 데이터의 2차원 공간 분포 시각화
    • 등고선 플롯을 통한 에너지 소비 패턴 파악

  4. Bayesian Inference 모델 정의

    • 데이터 정규화 (Min-Max Scaling)
    • GP 커널 및 하이퍼파라미터 정의
    • Marginal GP를 활용한 효율적인 모델 구성

  5. MCMC 샘플링 수행

    • NUTS 샘플러로 사후 분포 근사
    • 샘플링 파라미터 설정 및 수렴성 확인

  6. 사후 분포 분석 및 시각화

    • Trace plot으로 MCMC 수렴성 진단
    • Length-scale 해석을 통한 변수 중요도 분석
    • Pair plot으로 파라미터 간 상관관계 분석

  7. 사후 예측 분포 (Posterior Predictive Distribution)

    • 새로운 위치에서의 예측 수행
    • 95% 신뢰구간과 예측 평균 시각화

3. 결과 해석

파라미터 추정 결과

  • theta_true[0]: 기기밀도 (Equipment Density)
  • theta_true[1]: 조명밀도 (Lighting Density)
  • theta_true[2]: COP (Coefficient of Performance)

Length-scale 해석

  • 큰 length-scale: 해당 차원에서 입력 변화에 대한 출력 변화가 작음 (낮은 민감도)
  • 작은 length-scale: 해당 차원이 출력에 큰 영향을 미침 (높은 민감도)

예제에서는 공간 변수(외기온도, 상대습도)의 length-scale이 파라미터보다 작은 경향을 보이는데, 이는 온도와 습도가 에너지 소비량에 더 큰 영향을 미친다는 것을 의미한다.

📚 주요 개념 설명

1. 데이터 정규화 (Data Normalization)

왜 필요한가?

  • Gaussian Process 모델링에서 수치적 안정성 확보
  • 서로 다른 스케일의 변수들을 공정하게 비교
  • MCMC 샘플링의 수렴 속도 향상

Min-Max Scaling 공식: $$x_{normalized} = \frac{x - x_{min}}{x_{max} - x_{min}}$$

모든 데이터를 [0, 1] 범위로 변환하여 동일한 스케일에서 처리한다.

2. Marginal Gaussian Process

Latent GP vs Marginal GP

  • Latent GP: GP에서 함수값 $\mathbf{f}$를 먼저 샘플링한 후 관측값 예측
  • Marginal GP: 중간 변수 $\mathbf{f}$를 적분으로 제거하여 직접 관측값 모델링

장점:

  • 계산 효율성 향상 (차원 축소)
  • 수치적 안정성 증가
  • 정규분포 노이즈 가정 하에서 해석적 marginal likelihood 계산 가능

3. MCMC와 NUTS

**MCMC (Markov Chain Monte Carlo)**란?

  • 복잡한 다차원 사후 분포에서 샘플을 생성하는 알고리즘
  • 직접 계산이 어려운 확률 분포를 근사

**NUTS (No-U-Turn Sampler)**의 특징:

  • Hamiltonian Monte Carlo의 개선 버전
  • Step size와 integration time을 자동으로 조정
  • 다른 MCMC 방법보다 빠르고 효율적인 수렴

주요 파라미터:

  • draws: 실제 샘플링할 개수 (사후 분포 근사용)
  • tune: 워밍업 단계 길이 (샘플러 파라미터 튜닝)
  • chains: 독립적인 샘플링 체인 수 (수렴성 진단용)
  • target_accept: 목표 수락률 (0.8-0.95 권장)

4. 사후 분포 진단

Trace Plot:

  • 왼쪽: 사후 분포 히스토그램
  • 오른쪽: MCMC 샘플링 과정에서의 파라미터 값 변화
  • 수렴한 경우: 오른쪽 그래프가 안정적인 랜덤 워크 형태

Pair Plot:

  • 대각선: 각 파라미터의 주변 분포
  • 비대각선: 파라미터 쌍 간의 결합 분포
  • 파라미터 간 상관관계와 불확실성 구조 파악

📦 의존성

핵심 라이브러리

  • pymc: Bayesian 통계 모델링과 MCMC 추론

    • 확률적 프로그래밍 프레임워크
    • Gaussian Process 모델링 지원
    • 다양한 MCMC 샘플러 제공

  • numpy: 수치 연산과 다차원 배열 처리

    • 기본적인 수학 연산 및 선형대수
    • 데이터 생성, 변환, 통계 계산

  • arviz: Bayesian 분석 결과 요약 및 시각화

    • MCMC 체인 진단 및 수렴성 검사
    • Trace plot, posterior plot 등 시각화 도구

  • pandas: 표 형식 데이터 처리

    • CSV 파일 읽기/쓰기
    • 데이터프레임 조작 및 전처리

  • matplotlib: 데이터 시각화

    • 2D 플롯 생성 및 커스터마이징
    • 결과 시각화 및 분석 도표 작성

  • pytensor: 텐서 연산 지원 (PyMC 백엔드)

    • 심볼릭 텐서 연산 라이브러리
    • 자동 미분 및 그래디언트 계산
    • PyMC 내부 연산에 사용

추가 라이브러리

  • jupyter: 노트북 환경
  • numpyro: NUTS 샘플러 백엔드 (빠른 성능)

🔧 고급 설정

다중 체인 샘플링 (권장)

단일 체인보다는 여러 체인을 동시에 실행하는 것이 수렴성 진단에 유리하다:

trace = pm.sample(
    draws=1000,
    tune=1000,
    chains=4,        # 4개 체인으로 병렬 샘플링
    cores=4,         # 4개 코어 사용
    target_accept=0.8
)

장점:

  • $\hat{R}$ (R-hat) 통계량으로 수렴성 진단 가능
  • Effective Sample Size (ESS) 정확한 계산
  • 수렴 실패 조기 발견

수렴성 진단

주요 지표:

  1. Trace plot: 시각적으로 수렴 여부 확인
  2. $\hat{R}$ (R-hat): 1.01 이하면 수렴 (chain이 2개 이상일 때)
  3. ESS (Effective Sample Size): 독립적인 샘플 개수 (클수록 좋음)
  4. Autocorrelation: 낮을수록 독립적인 샘플

💡 팁과 주의사항

초심자를 위한 팁

  1. 데이터 정규화 필수: GP 모델링에서는 모든 변수를 동일한 스케일로 변환하는 것이 중요하다.

  2. 워밍업 단계의 중요성: tune 파라미터를 충분히 크게 설정해야 샘플러가 최적의 파라미터를 찾는다.

  3. 단일 체인의 한계: 실제 분석에서는 최소 2개 이상의 체인을 사용해야 수렴성 진단이 가능하다.

  4. 결과 해석 시 역변환: 정규화된 파라미터를 원래 물리적 단위로 역변환해야 의미 있는 해석이 가능하다.

주의사항

  1. 수렴성 확인: Trace plot에서 파라미터 값이 안정적으로 변화하는지 확인한다.

  2. 샘플 크기: 복잡한 모델일수록 더 많은 샘플(draws)이 필요하다.

  3. 사전 분포 선택: 물리적으로 타당한 범위를 가지는 사전 분포를 선택한다.

  4. 계산 시간: GP 모델은 데이터 크기의 세제곱에 비례하여 계산 시간이 증가한다.

📚 참고 자료

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