projeto do PS da laciq
1) Explique como esse protocolo impede que alguém, ao interceptar os pacotes trocados, consiga obter a chave compartilhada.
O protocolo utilizado no projeto é uma variação do protocolo de troca de chaves de Diffie-Hellman, adaptado para um ambiente de comunicação em grupo. A segurança da chave compartilhada é garantida pela dificuldade computacional do problema do logaritmo discreto, que impede que um atacante, mesmo interceptando os pacotes trocados, consiga obter a chave privada dos participantes ou reconstruir a chave compartilhada.
Os valores que podem ser capturados por um atacante durante a troca de chaves incluem A_i = g^{a_i} mod p , que representa a chave pública do participante (i), e A_i^s mod p , um valor intermediário enviado ao servidor. Nessa equação, (g) é a base pública do grupo cíclico escolhido, (p) é um número primo grande utilizado como módulo, (a_i) é a chave privada do participante, (A_i) é a chave pública correspondente e (s) representa um valor secreto adicional eventualmente utilizado pelo servidor para compor a chave final.
Para obter a chave compartilhada, um atacante precisaria recuperar a chave privada (a_i) a partir do valor público (A_i). No entanto, essa operação requer resolver a equação (a_i = log_g A_i mod p), conhecida como o problema do logaritmo discreto (DLP - Discrete Logarithm Problem). Esse problema é considerado computacionalmente intratável para números suficientemente grandes, especialmente quando os parâmetros do sistema, como (p) e (g), são escolhidos de forma segura.
Além disso, mesmo que um atacante intercepte (A_i^s), ele não conseguirá calcular a chave compartilhada sem conhecimento de (s) ou de (a_i), pois a operação necessária seria ((A_i^s)^{a_i^{-1}} mod p). Isso exigiria a recuperação de (a_i), o que, como demonstrado anteriormente, requer a resolução do problema do logaritmo discreto. Caso (s) seja desconhecido, a chave compartilhada permanece oculta.
Dessa forma, a segurança do protocolo baseia-se na dificuldade computacional de resolver o problema do logaritmo discreto, impedindo que um atacante obtenha a chave privada (a_i) a partir da chave pública (A_i) ou derive a chave compartilhada a partir dos valores interceptados. Desde que os parâmetros (p) e (g) sejam escolhidos de forma adequada, como um primo suficientemente grande e um gerador seguro, a chave compartilhada entre os participantes permanecerá protegida contra ataques de força bruta ou algoritmos conhecidos para resolver o DLP.
2) Explicar como um atacante com um computador quântico (com um número suficiente de qubits confiáveis) poderia descobrir a chave compartilhada utilizando um algoritmo que determina o período de uma função.
O algoritmo de shor é um modelo matemático que se propõe a resolver problemas matemáticos difíceis, como é o caso da fatoração de números grandes e o logaritmo discreto, utilizando características da computação quântica como o paralelismo e a transformada de fourier quântica discreta. Tal resolução representa uma ameaça para modelos criptográficos cuja segurança é fundamentada na dificuldade desses problemas, como é o caso do RSA e o Diffie-Hellman.
Ao aplicar o Algoritmo de Shor, que resolve problemas de fatoração e logaritmo discreto encontrando o período de uma função matemática específica de forma eficiente, o atacante pode comprometer a segurança dos protocolos. No caso do Diffie-Hellman, por exemplo, a equação g^x mod p = k representa um problema de logaritmo discreto, que pode ser reduzido à busca pelo período da função f(x) = g^x mod p. Com um computador quântico, esse período pode ser determinado rapidamente, permitindo que o atacante calcule a chave secreta compartilhada e, assim, quebre o sistema de criptografia.
Dessa forma, se um atacante tiver acesso a um computador quântico suficientemente poderoso, ele poderá usar o Algoritmo de Shor para calcular o período da função correspondente ao problema matemático subjacente e descobrir a chave privada de sistemas criptográficos baseados em RSA, Diffie-Hellman e ECC. Isso demonstra a vulnerabilidade dessas técnicas na era quântica e reforça a necessidade de desenvolver novas formas de criptografia pós-quântica.